• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม
 

70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม

on

  • 1,314 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,314
Views on SlideShare
1,314
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
69
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม 70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม Document Transcript

    • คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและความนาจะเปน (เนือหาตอนที่ 5) ้ การทดลองสุม โดย ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย 1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน - กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ ่ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด) 3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู 5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม 6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน 7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย 8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)11. แบบฝกหัด (ขันสูง) ้12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน 1
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด ในตอนทายของคูมือฉบับนี้ 2
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยเรื่อง การนับและความนาจะเปน (การทดลองสุม)หมวด เนื้อหาตอนที่ 5 (5/7)หัวขอยอย 1. การทดลองสุมและปริภูมตัวอยาง ิ 2. เหตุการณและความนาจะเปนจุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน 1. เขาใจความหมายของการทดลองสุม 2. เขาใจความหมายและสามารถหาปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุมได 3. เขาใจความหมายของเหตุการณและหาความนาจะเปนของเหตุการณไดผลการเรียนรูที่คาดหวัง  ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของการทดลองสุม ปริภูมิตัวอยางและเหตุการณได 2. หาปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมได ั 3. หาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางและเหตุการณ โดยใชกฎการนับได ู ิ 4. อธิบายความหมายและวิธีการหาความนาจะเปนของเหตุการณได 3
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 4
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. การทดลองสุมและปริภมิตัวอยาง ู 5
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 1. การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง ในหัวขอนี้ เราจะศึกษาเรื่อง “การทดลองสุม” และ “ปริภูมิตัวอยาง” เพื่อนําไปสูเรื่อง “เหตุการณและความนาจะเปน” ซึ่งจะไดศึกษาในหัวขอถัดไป โดยในสื่อการสอนเริ่มดวยการยกตัวอยางการทดลอง จากนั้นจึงใหความหมายของการทดลองสุม เมื่อผูเรียนดูสอการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายผูเรียนเพิ่มเติมวา ผลลัพธที่เปนไปไดของการ ื่ ทดลองสุมอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับวาการทดลองนัน ๆ ผลลัพธที่สนใจคืออะไร ยกตัวอยางเชน ทดลองทอด ้ลูกเตา 1 ลูก ถาเราสนใจแตมของลูกเตาที่ขึ้น ผลลัพธที่เปนไปได คือ ลูกเตาขึ้นแตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แตถาเราสนใจวาลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลลัพธที่เปนไปได คือ จํานวนคู หรือ จํานวนคี่ เพื่อใหผูเรียนเขาใจคําวา “การทดลองสุม” ไดดยิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางการทดลองสุมตอไปนี้ ีเพิ่มเติม 6
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง 1. สุมจํานวน 1 จํานวนที่มีคาอยูระหวาง 0 กับ 1 และสนใจคาของจํานวนที่หยิบได 2. สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสนใจสีของ ลูกแกวที่หยิบได 3. การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่ง และสนใจผลการสอบของนักเรียนคนนี้ 4. การตรวจปริมาณแอลกอฮอลของคนขับรถยนตคนหนึ่ง และสนใจปริมาณแอลกอฮอลที่วัดได จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาเรื่อง “ปริภูมิตวอยาง” ซึ่งเปนเรื่องที่ตอเนืองจากเรื่อง “การทดลองสุม” โดย ั ่ปริภูมิตัวอยาง คือ เซตของผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม นั่นเอง จากตัวอยางขางตน ทําใหทราบวา ในการทดลองครั้งหนึ่ง ๆ ปริภูมิตัวอยางอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับผลลัพธที่เราสนใจของการทดลองนั้น ๆ เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องปริภมิตัวอยางไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้ ู ี 7
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน เมื่อผลลัพธที่สนใจ คือ ั 1. หนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น 2. จํานวนหัวที่ขน ึ้ตอบ 1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } 2. ปริภูมตัวอยาง S2 = {0,1, 2,3} ิหมายเหตุ ในเรื่องการนับและความนาจะเปน ถาโจทยไมไดกําหนดเพิมเติมวาสิ่งของ n สิ่งที่เราสนใจ ่เหมือนกัน หมายความวา สิ่งของ n สิ่งนั้นแตกตางกันทั้งหมด จากตัวอยางขางตน ทําใหไดวา เหรียญ 3 เหรียญแตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น ผลลัพธ HHT กับ HTH จึงแตกตางกันตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้ ั 1. สุมหยิบหลอดไฟ 5 หลอด จากกลองซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 40 หลอดและหลอดไฟเสีย 4 หลอด เมื่อผลลัพธท่สนใจคือจํานวนหลอดไฟเสียที่ได ี 2. ทดลองหยิบมะมวงครั้งละ 1 ผลไปเรื่อย ๆ จนกวาจะหยิบไดมะมวงมันจากตะกราใบหนึ่งซึ่งบรรจุ มะมวงมัน 8 ผลและมะมวงเปรี้ยว 2 ผล เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนครั้งที่ตองหยิบมะมวง 3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ ลูกแกวที่หยิบไดตอบ 1. ปริภูมตัวอยาง ิ S1 = {0,1, 2,3, 4} 2. ปริภูมิตัวอยาง S 2 = {1, 2,3} 3. ปริภูมิตัวอยาง S3 = {สีแดง, สีขาว} 8
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เมื่อผูเรียนชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจย้ําผูเรียนอีกครั้งวา ปริภูมิตัวอยางอาจเปนไดทั้งเซตจํากัดและเซตอนันต สําหรับการทดลองสุมใด ๆ บางครั้งเราไมสนใจวาสมาชิกในปริภูมิตัวอยางเปนอะไรบาง แตเราอยากทราบจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางนัน ๆ ดังนั้น ผูสอนอาจยกตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนฝกหาจํานวน ั ้ สมาชิกของปริภูมิตัวอยาง เพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนเรื่องความนาจะเปนในหัวขอถัดไปตัวอยาง จงหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้ ั 1. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและแตม ของลูกเตาที่ขึ้น 2. จัดหนังสือ 8 เลมที่แตกตางกันทั้งหมดวางบนชั้นหนังสือ ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดเรียง หนังสือ 3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ ลูกแกวที่หยิบได 4. จัดนักเรียน 6 คนนั่งรอบโตะกลม ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดทีนั่ง ่ตอบ 1. 2 × 6 = 12 2. 8! = 40,320 3. 2 4. (6 − 1)! = 5! = 120 9
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง1. จงเขียนปริภูมตัวอยางของการทดลองตอไปนี้ ิ 1.1 โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและ แตมของลูกเตาที่ขึ้น 1.2 สุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอดจากกลองใบหนึงซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 5 หลอดและหลอดไฟเสีย 1 หลอด ่ โดยหยิบทีละครั้งและไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป ถาผลลัพธที่สนใจคือสภาพของหลอดไฟ ทั้ง 2 หลอดที่หยิบได 1.3 การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งขอสอบชุดนี้เปนขอสอบแบบปรนัยมีทั้งหมด 5 ขอ คะแนนเต็มขอละ 2 คะแนน ถาผลลัพธที่สนใจคือคะแนนทีนกเรียนคนนี้ได ่ ั 1.4 สอบถามแมบาน 3 คนวาใชยาสีฟนยีหอ “สดชื่น” หรือไม ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของแมบาน  ่ ทั้ง 3 คน 1.5 นําแบตเตอรี่ 1 อันมาทดสอบ ถาผลลัพธที่สนใจคืออายุการใชงานของแบตเตอรี่ 1.6 ทอดลูกเตา 1 ลูกไปเรื่อย ๆ จนกวาลูกเตาจะขึ้นแตม 6 เปนครั้งที่สอง ถาผลลัพธที่สนใจคือจํานวน ครั้งที่ตองทอดลูกเตา 2. จงหาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้ ู ิ 2.1 การสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนคนหนึ่ง ซึ่งขอสอบแบงเปนสองสวน สวนแรกเปนขอสอบ แบบถูก-ผิด จํานวน 5 ขอ และสวนที่สองเปนขอสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ สมมติให นักเรียนคนนี้ทําขอสอบครบทุกขอ ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของนักเรียนคนนี้ 2.2 สุมหยิบไพ 2 ใบจากสํารับซึ่งมีไพ 52 ใบ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาไพทั้งสองใบที่หยิบได 2.3 เลือกอาหารคาว 2 อยางและขนมหวาน 1 อยาง จากรานอาหารซึ่งขายอาหารคาว 10 อยางและขนม หวาน 3 อยาง ถาผลลัพธที่สนใจคืออาหารคาวและขนมหวานทีได ่ 2.4 เลือกคณะกรรมการ 3 คนจากผูสมัครทั้งหมด 10 คน ถาผลลัพธที่สนใจคือผูที่ไดรับคัดเลือกเปน กรรมการ 10
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2. เหตุการณและความนาจะเปน 11
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2. เหตุการณและความนาจะเปน ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “เหตุการณและความนาจะเปน” โดยในสื่อการสอน จะเริ่มดวยการ ึใหความหมายของคําวา “เหตุการณ” และ “เหตุการณไมเกิดรวมกัน” พรอมยกตัวอยาง จากนั้นจึงใหความหมายพรอมทั้งสมบัติของ “ความนาจะเปนของเหตุการณ” เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจเนนย้าวาการหาเหตุการณตองขึ้นอยูกบปริภูมิตวอยาง  ํ ั ัที่เรากําลังสนใจ ดังตัวอยางขางตน ถาผลลัพธที่ไดจากการทดลองสุมตางกัน เหตุการณที่ไดกอาจตางกันดวย ็จากนั้นผูสอนยกตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติมตัวอยาง ทําการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน จะไดวา สนใจหนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น สนใจจํานวนหัว ที่ขึ้น 1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } S = {0,1, 2,3} 2 2. เหตุการณที่เหรียญขึ้น A1 = {HTT , THT , TTH } A2 = {1} หัว 1 เหรียญ 3. เหตุการณที่เหรียญขึ้น B1 = {HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } B2 = {0,1, 2} กอยอยางนอย 1 เหรียญ 4. เหตุการณที่เหรียญขึ้น C1 = ∅ C2 = ∅ หัวมากกวา 3 เหรียญ 12
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่อง “เหตุการณ” ไดดย่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้ ีิตัวอยาง โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาทั้งสองที่ข้น จงหา ึ 1. A ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูก 2. B ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากัน 3. C ซึ่งแทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว 4. เหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากันและผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว 5. เหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูกและผลรวมของแตมหารดวย 6 ไมลงตัวตอบ 1. A = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)} 2. B = {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6, 6) } 3. C = {(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1), (6, 6)} 4. B ∩ C = {(3,3), (6, 6)} 5. A ∩ C ′ = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (6,1)} 13
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง ทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาที่ข้นึ ให A แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ และ B แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูดังนั้น ปริภูมตวอยาง S = {1, 2,3, 4,5, 6} , A = {1,3,5} และ B = {2, 4, 6} ิัจะไดวา A ∩ B = ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน  ้ตัวอยาง ทดลองโยนเหรียญ 2 เหรียญ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญทั้งสองเหรียญที่ขึ้น ให A แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นหัว 1 เหรียญ และ B แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นกอยอยางนอย 1 เหรียญดังนั้น ปริภูมตัวอยาง S = {HH , HT , TH , TT } , A = {HT , TH } และ B = {HT , TH , TT } ิจะไดวา A ∩ B = {HT , TH } ≠ ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B ไมเปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน  ้ 14
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นความสําคัญในการเลือกปริภูมิตัวอยางทีจะนํามาชวยในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ จากที่ผูเรียนไดทราบแลววา สําหรับการทดลอง ่สุมใด ๆ ปริภูมิตัวอยาง S อาจมีไดมากกวาหนึ่งแบบขึนอยูกับผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองที่เรา ้สนใจ ดังนั้นในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ใด ๆ โดย n( E ) P( E ) = n( S )สิ่งสําคัญ คือ ปริภูมิตัวอยาง S นั้นตองมีสมบัติที่วา สมาชิกทุกตัวในปริภมิตัวอยางตองมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ ูกัน 15
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เพื่อใหผูเรียนหา “ความนาจะเปนของเหตุการณ” ไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติมตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ 1. ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 2. ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัววิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง A แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 และ B แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว แตม แตม ลูกที่ 1 1 2 3 4 5 6 ลูกที่ 2 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 1. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 = P( A) = n( A) = 15 = 5 n( S ) 36 12 2. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว n( B ) 7 = P( B) = = n( S ) 36 16
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีสลากอยู 100 ใบ หมายเลข 00 ถึง 99 สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกันวิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตุการณทไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน ่ีดังนั้น S = {00, 01, 02,… ,99}และ E = {01,12, 23,34, 45,56, 67, 78,89,10, 21,32, 43,54, 65, 76,87,98}ทําใหไดวา ความนาจะเปนที่ไดสลากทีมีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน = P( E ) = n( E ) = ่ 18 = 9 n( S ) 100 50 n( E )หมายเหตุ ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ A ใด ๆ โดย P( E ) = เราไมจําเปนตองเขียน n( S )เหตุการณ E แบบแจกแจงสมาชิก เพราะสิ่งที่เราตองการทราบคือจํานวนสมาชิกของ E เทานั้น ซึ่งเราสามารถใชความรูเรื่องการนับที่ไดศกษาไปกอนหนานี้มาชวยได ึ สําหรับตัวอยางขางตน เราสามารถใชความรูเรื่องการนับชวยในการหาสมาชิกของเหตุการณ E ดังนี้ หลักสิบ หลักหนวย 0, 1, 2, 3, 1 วิธี 4, 5, 6, 7, 8 (คาเพิ่มจากตัวหนาอีก 1) ดังนั้น จํานวนสมาชิกของเหตุการณ E เทากับ 9 ×1× 2! = 18 ตัว สลับตําแหนง หลักหนวย และหลักสิบ 17
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีดํา 4 ลูก สุม หยิบลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบนี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก เมื่อ 1. หยิบทีละลูกและใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป 2. หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป 3. หยิบสองลูกพรอมกันวิธีทํา 1. ให S1 แทนปริภูมิตวอยาง และ E1 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ั ดังนั้น n( E1 ) 3 × 3 1 P ( E1 ) = = = n( S1 ) 9 × 9 9 2. ให S2 แทนปริภูมิตวอยาง และ E2 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ั ดังนั้น n( E2 ) 3 × 2 1 P ( E2 ) = = = n( S 2 ) 9 × 8 12 3. ให S3 แทนปริภูมิตัวอยาง และ E3 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ดังนั้น  3 6    n( E3 )  2   0  3 1 P ( E3 ) = = = = n( S3 ) 9 36 12    2ขอสังเกต จากตัวอยางขางตน ความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกทั้งแบบที่หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืน กับแบบที่หยิบสองลูกพรอมกัน มีคาเทากัน เพราะวา  3 2!  3 × 2 P3,2 2 P ( E2 ) = = =   = P( E3 ) 9 × 8 P9,2 9 2!   2จากขอสังเกตนี้ และความสัมพันธที่วา n Pn ,r = r !  rเมื่อ 0 ≤ r ≤ n สามารถนําไปสูขอสรุปในกรณีทวไปไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณที่เราสนใจจากการ ั่ทดลองสุมหยิบสิ่งของ r สิ่งจากสิ่งของที่แตกตางกันทั้งหมด n สิ่ง ทั้งแบบหยิบพรอมกันและแบบหยิบทีละลูกและไมใสกลับคืน จะมีคาเทากัน 18
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยตัวอยาง สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง 10 สุมหยิบสลาก 3 ใบ จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ ั E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5 ี ดังนั้น E = {{1, 4,5},{2,3,5}} ทําใหไดวา n( E ) 2 2 1 P( E ) = = = = n( S ) 10  120 60   3ขอตกลง สัญลักษณ {a1 , a2 ,… , ar } หมายถึง หยิบไดสิ่งของ a1, a2 ,… , ar โดยไมคานึงถึงลําดับกอนหลังที่ได ํตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมนอยกวา 9วิธีทา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ ํ ั E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมนอยกวา 9 ี ดังนั้น E = {{1, 2,3},{1, 2, 4},{1, 2,5},{1,3, 4}} ทําใหไดวา n( E ) 4 4 2 P( E ) = = = = n( S )  5  10 5    3ตัวอยาง โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่เหรียญขึนหัวและลูกเตาขึ้นแตม ้มากกวา 4วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ ั E แทนเหตุการณท่เหรียญขึ้นหัวและลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ี ดังนั้น n( S ) = 2 × 6 = 12 H, T 1,2,…,6 19
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย และ n( E ) = 1× 2 = 2 H 5, 6 ทําใหไดวา n( E ) 2 1 P( E ) = = = n( S ) 12 6ตัวอยาง นําสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A และเครื่องจักร B มาตรวจสภาพ ไดผลดังตาราง จํานวนสินคา(ชิ้น) เครื่องจักร A B สภาพสินคา ดี 37 55 ชํารุด 3 5 1. สุมหยิบสินคามา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด 2. สุมหยิบสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A มา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสนคาชํารุด ิวิธทํา 1. ี เครื่องจักร A เครื่องจักร B ชํารุด 37 3 5 55 เนื่องจากสินคามีทั้งหมด 100 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 8 ชิ้น ดังนั้น 8 2 ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด = = 100 25 20
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย2. เครื่องจักร A ชํารุด 3 5 เนื่องจากสินคาทีผลิตโดยเครื่องจักร A มีทั้งหมด 40 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 3 ชิ้น ดังนัน ่ ้ 3 ความนาจะเปนทีจะหยิบไดสินคาชํารุดเมื่อสุมหยิบสินคาจากเครื่องจักร A = ่ 40 21
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดเพิ่มเติม เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน1. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีแดง 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหา 1.1 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือสีของลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล ั สีแดง 1 ลูก 1.2 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก ั 1.3 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนลูกบอลสีแดงที่ได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล สีขาว 1 ลูก2. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอง ใบนี้พรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได จงหา 2.1 ปริภูมิตัวอยาง 2.2 A ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีเดียวกัน 2.3 B ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก 2.4 เหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก 2.5 A′ 2.6 A ∪ B 2.7 A ∩ B3. นักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือ 5 เลมที่แตกตางกันทั้งหมด โดยเปนหนังสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลม วิชา ชีววิทยา 2 เลม และวิชาฟสิกส 1 เลม ถานักเรียนคนนี้สุมหยิบหนังสือ 3 เลม จงหาความนาจะเปนที่ หยิบได 3.1 วิชาคณิตศาสตรอยางนอย 1 เลม 3.2 วิชาคณิตศาสตรและวิชาชีววิทยาอยางละ 2 เลม 3.3 ไดครบทุกวิชา4. ทอดลูกเตา 1 ลูกจํานวน 3 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่ 4.1 ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ทุกลูก 4.2 ลูกเตาขึ้นแตมเทากันทุกลูก 4.3 ผลรวมของแตมที่ขึ้นของลูกเตาทั้ง 3 ลูกมีคาไมเกิน 16 22
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย5. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ 5.1 เหรียญขึ้นกอยและลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ 5.2 เหรียญขึ้นหัวหรือลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 5.3 ลูกเตาขึ้นแตมไมเกิน 36. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้น ทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ 6.1 หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาเทากัน 6.2 หมายเลขสลากที่หยิบไดเปนจํานวนคูแตแตมของลูกเตาที่ข้นเปนจํานวนคี่ ึ 6.3 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 ลงตัว 6.4 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว 6.5 ผลรวมของหมายเลขสลากที่หยิบไดกับแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาไมเกิน 5 7. นักเรียนหองหนึ่งมีทั้งหมด 40 คน ปรากฏขอมูลดังตาราง จํานวนนักเรียน(คน) ดานที่ถนัด ถนัดขวา ถนัดซาย เพศ ชาย 16 5 หญิง 15 4 7.1 สุมนักเรียนหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนทีนักเรียนที่สมไดจะถนัดซาย ่ ุ 7.2 สุมนักเรียนชายหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดจะถนัดขวา ั ุ 23
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สรุปสาระสําคัญประจําตอน 24
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย สรุปสาระสําคัญประจําตอน 25
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เอกสารอางอิง1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ. 26
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 27
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย แบบฝกหัดระคน1. ในการขนสงโทรทัศนจํานวน 50 เครื่อง จากโรงงานไปยังรานคาแหงหนึ่ง ทําใหโทรทัศนชํารุด 3 เครื่อง เจาของรานคาสุมโทรทัศน 10 เครื่องเพื่อตรวจสอบคุณภาพ ปริภมิตัวอยางคือขอใดตอไปนี้ เมื่อผลลัพธที่ ู สนใจคือจํานวนโทรทัศนที่ชํารุด 1. {0,1, 2,3} 2. {3, 4,… ,10} 3. {1, 2,… ,10} 4. {1, 2,… ,50}2. สําหรับการทดลองสุมใด ๆ ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง 1. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0 2. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 1 3. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0.5 4. มีเหตุการณ A ที่ P( A) > 0.33. กลองใบหนึ่งมีสลาก n ใบ (n ≥ 3) ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง n ถาสุมหยิบสลาก จากกลองใบนี้ 2 ใบ แลวความนาจะเปนที่ไดใบหนึงเปนสลากหมายเลข 3 และอีกใบหนึ่งเปนสลาก ่ หมายเลขต่ํากวา 3 เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1 1. 2. n2 n(n − 1) 2 4 3. 4. n(n − 1) n(n − 1)4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 9 ใบ มีหมายเลข 1 – 9 กํากับไว ถาสุมหยิบสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบทีละ 1 ใบและไมใสกลับคืนกอนหยิบใบถัดไป ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขบนสลากทั้งสองใบนั้นหาร ดวย 5 ลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 1. 2. 12 6 1 2 3. 4. 9 9 28
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา 3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีเดียวกันตรงกับ ขอใดตอไปนี้ 3 5 1. 2. 28 28 3 1 3. 4. 14 46. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมของลูกเตาที่ขึ้นจะหารดวย 5 ไมลงตัวตรงกับ ขอใดตอไปนี้ 2 7 1. 2. 11 36 29 9 3. 4. 36 117. ไพสารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 13 ใบ ํ สุมหยิบไพ 3 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไพทั้งสามที่หยิบไดมีแตมมากกวา 2 แตนอยกวา 8 เปนเทาใด 5 7     1.  3 2.  3  52   52      3 3  20   28      3. 3 4. 3  52   52      3 38. กลองใบหนึ่งบรรจุปากกา 10 ดามที่แตกตางกัน โดยเปนปากกาสีแดง 3 ดาม สีนาเงิน 3 ดามและสีดํา 4 ดาม ้ํ สุมหยิบปากกา 3 ดามจากกลองใบนี้ ความนาจะเปนที่หยิบไดปากกาครบทุกสีเปนเทาใด 2 3 1. 2. 10 10 1 7 3. 4. 3 9 29
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย9. หนังสือสารานุกรมชุดหนึ่งมีทั้งหมด 8 เลม มีหมายเลข 1 – 8 กํากับ สุมหยิบหนังสือทีละ 1 เลมเรียงบนชั้น หนังสือจนครบ 8 เลม ความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกันเปนเทาใด 1 2 1. 2. 8! 8! 1 2 3. 4. 72 7210. ตารางแสดงความสัมพันธของสุขภาพผูสูบบุหรี่ทั้งหมด 300 คน เปนดังนี้ จํานวนผูสูบบุหรี่(คน) จํานวนบุหรี่ที่สูบตอวัน (มวน) 0-4 5-20 มากกวา 20 สุขภาพ เปนมะเร็ง 8 7 25 ไมเปนมะเร็ง 150 70 40 สําหรับผูสูบบุหรี่มากกวา 20 มวนใน 1 วัน มีความนาจะเปนที่จะไมเปนมะเร็งเทากับขอใดตอไปนี้ 8 2 1. 2. 13 13 2 13 3. 4. 15 15 30
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด 31
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝกหัด เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6 } 1.2 ปริภูมตัวอยาง S = { NN , ND, DN } เมื่อ N แทน หลอดไฟดี และ D แทน หลอดไฟเสีย ิ 1.3 ปริภูมตัวอยาง S = {0, 2, 4, 6,8,10} ิ 1.4 ปริภูมตัวอยาง S = {YYY , YYN , YNY , YNN , NYY , NYN , NNY , NNN } ิ เมื่อ Y แทน ใชยาสีฟนยีหอนี้ และ N แทน ไมใชยาสีฟนยี่หอนี้  ่  1.5 ปริภูมิตัวอยาง S = {t ∈ | t ≥ 0 } = [0, ∞) 1.6 ปริภูมตัวอยาง S = {2,3, 4,5,…} ิ2. 2.1 225 2.2 16 2.3 135 2.4 120 เฉลยแบบฝกหัด เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว}, {สีขาว, สีขาว}} เหตุการณ E={{สีแดง, สีขาว}} 1.2 ปริภูมิตวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว1}, {สีแดง, สีขาว2}, {สีขาว1, สีขาว2}} ั เหตุการณ E = {{สีขาว1, สีขาว2}} 1.3 ปริภมิตัวอยาง S = {0,1} ู เหตุการณ E = {1}2. ให Ri แทน ลูกบอลสีแดงลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2,3 Wi แทน ลูกบอลสีขาวลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2 B แทน ลูกบอลสีน้ําเงิน 2.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1,W1},{R1,W2 }, {R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 , W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , W2 }, {W1 , B}, {W2 , B}} 2.2 A = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{W1 , W2 }} 32
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย 2.3 B = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{R1 , W1},{R1 , W2 }, {R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 , W1}, {R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B}} 2.4 เหตุการณ E = ∅ 2.5 A′ = {{R1,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 ,W2 },{R1, B}, {R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , B}, {W2 , B}} 2.6 A ∪ B = {{R1 , R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1 ,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1}, {R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B},{W1 , W2 }} 2.7 A ∩ B = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3}} 9 23. 3.1 3.2 0 3.3 10 5 1 1 534. 4.1 4.2 4.3 27 36 54 1 2 15. 5.1 5.2 5.3 4 3 2 1 1 36. 6.1 6.2 6.3 10 4 10 1 1 6.4 6.5 2 6 9 167. 7.1 7.2 40 21 เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 1 2. 4 3. 4 4. 4 5. 4 6. 3 7. 3 8. 29. 2 10. 1 33
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวางสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน 34
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนํา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอรการใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล ประพจนและการสมมูล สัจนิรันดรและการอางเหตุผล ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริงจํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอยความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั ความสัมพันธ 35
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน ฟงกชันเบื้องตน พีชคณิตของฟงกชน ั อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส ฟงกชันประกอบฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม ั ึ เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม ลอการิทึม อสมการเลขชี้กําลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1 ฟงกชันตรีโกณมิติ 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซนกําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร การหาคาสุดขีดลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม ลําดับ การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลําดับ ผลบวกยอย อนุกรม ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม 36
    • คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน . การนับเบื้องตน การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3 การกระจายของขอมูล การกระจายสัมบูรณ 1 การกระจายสัมบูรณ 2 การกระจายสัมบูรณ 3 การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธระหวางขอมูล 1 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง กระเบื้องที่ยืดหดได 37