1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
โดย
รองศาสตราจารย์ ยุวรีย์ พันธ์กล้า
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่างๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
12.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
13.แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
ตรีโกณมิติ นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิ ตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 2 (2/3)
หัวข้อย่อย 1. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
3. เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
4. ผลบวกของไซน์และโคไซน์
5. แบบฝึกหัด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษา เรื่อง ตรีโกณมิติ เกี่ยวกับ
1. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
3. เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
4. ผลบวกของไซน์และโคไซน์ รวมทั้งกราฟของผลบวกของไซน์และโคไซน์
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อ
1. พิจารณากราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ที่เกิดจากจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ขณะที่วงกลมกลิ้งไปตามแนวเส้นตรง
2. พิจารณาลักษณะกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ พร้อมทั้งศึกษาเรื่อง คาบและแอมพลิจูดของ
ฟังก์ชัน
3. พิจารณาลักษณะกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เปรียบเทียบกับกราฟของฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติในแต่ละคู่ พร้อมทั้งศึกษาบริเวณของโดเมนและเรนจ์
4. ศึกษากราฟของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปผลบวกของไซน์และโคไซน์ รวมทั้งนามาหาค่าสูงสุดและ
ค่าต่าสุดของผลบวกของไซน์และโคไซน์
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
 เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
 ผลบวกของไซน์และโคไซน์
 แบบฝึกหัด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม หรือ ดับเบิ้ลคลิก บนเดสก์ทอป
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
รูปที่ 1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s
ให้คลิกที่ปุ่ม เพืSketchpad งานโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
่อเข้าสู่การใช้
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และ
กล่องเครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ใน
ที่นี้จะใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์
ในโปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอด
ทั้งโปรแกรม
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ
รูปที่ 2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้
เลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad
จะมีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูล
รูปที่ 3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ที่ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 5
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง จะ
ปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้
รูปที่ 4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสมพันธ์เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน
ั
รูปที่ 5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรก
ระดับที่สอง
รูปที่ 6. ด้านล่างหน้าต่างแรกของโปรแกรม
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางหน้าต่าง
ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยัง
หน้าต่างนั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา
หรือถ้าอยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ผู้ใช้ต้องคลิกที่
เพื่อเปลี่ยนการทางานไปที่หน้าสารบัญ หน้าต่างสารบัญจะแสดงดังนี้
ผู้ใช้สามารถเลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากหน้าต่างสารบัญ
ที่แสดงรายการบทเรียน ซึ่งแบ่งออกเป็น 5 หัวข้อ คือ
1. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
3. เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
4. ผลบวกของไซน์และโคไซน์
5. แบบฝึกหัด
ข้อสังเกต ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยม เพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้นได้
ในกรณีที่ผู้ใช้ต้องการเปลี่ยนหัวข้อใหม่ ผู้ใช้ต้องออกจากหัวข้อเดิมก่อน แล้วเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ใหม่ จากนั้นให้เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลที่เลือกใหม่
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติในหลายลักษณะตามหัวข้อย่อยต่อไปนี้
1.1 กราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์จากวงกลมหนึ่งหน่วย
1.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1.3 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการเลื่อนแกนทางขนาน และการย่อ/ขยาย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แล้วจึงเข้าสู่
หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงดังนี้
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏบนหน้าจอจานวน 3 หน้าต่างต่อเนื่องกัน
ซึ่งจะใช้พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อ 1.1-1.3 ตามลาดับดังนี้
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.1 กราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์จากวงกลมหนึ่งหน่วย
ในหัวข้อนี้จะพิจารณาการเขียนกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วย
 x  , y 

0 1
ให้  x y  เป็ น จุ ด ปลายส่ ว นโค้ ง บนวงกลมหนึ่ ง หน่ ว ย โดยส่ ว นโค้ ง ยาว
'   หน่ ว ย ดั ง รู ป
เรานิยามฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ดังนี้
ฟังก์ชันไซน์  sine  คือ เซตของคู่อันดับ  , y  
ฟังก์ชันโคไซน์  cosine  คือ เซตของคู่อันดับ  , x  
หรือเขียนสั้นๆว่า y  sin  และ x  cos 
 
ในที่นี้เราจะพิจารณากราฟของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์บนระนาบ XY กล่าวคือ
สาหรับ  x, y  ใด ๆ ในระนาบ XY
ถ้า  x, y   sine จะได้ y  sin x
ถ้า  x, y   cosine จะได้ y  cos x
การเขียนกราฟของ y  sin x โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วยทาได้โดยการแทนค่าของ x ด้วยค่า
ของความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน จะได้ค่าของ y หรือ ค่าของ sin x
คือ ค่าพิกัดหลังของจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยที่ส่วนโค้งยาว x หน่วย
ในทานองเดียวกัน การเขียนกราฟของ y  cos x โดยอาศัยวงกลมหนึ่งหน่วยทาได้โดยการแทน
ค่าของ x ด้วยค่าของความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่อยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน จะได้ค่าของ y
หรือ ค่าของ cos x คือ ค่าพิกัดหน้าของจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยที่ส่วนโค้งยาว x หน่วย
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในหน้าต่างที่ 1 (1) ผู้เรียนจะได้เห็นการเคลื่อนที่ของวงกลมหนึ่งหน่วยไปตามแนวแกน X ใน
ระนาบ XY โดยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมทาบไปบนแกน X เพื่อแสดงกราฟของฟังก์ชันไซน์และ
โคไซน์ ซึ่งปรากฏดังนี้
หน้าต่างที่ 1 (1)
โดยด้านล่างของหน้าต่างมีปุ่มให้ผู้เรียนเลือกคลิกใช้งาน ได้แก่
1. หรือ ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้ซ่อน
หรื อ แสดงตั ว สร้ า งกราฟของฟั ง ก์ ชั น ไซน์ โดยถ้ า หน้ า ต่ า งปรากฏเป็ น
หมายความว่า ขณะนั้นกราฟแสดงตัวสร้างกราฟไซน์อยู่ ถ้าต้องการให้ซ่อนตัวสร้างกราฟไซน์ก็ให้คลิกที่
ซึ่ ง หน้ า จอจะปรากฏเป็น ขึ้ น มาแทน และถ้ า
ต้องการให้แสดงตัวสร้างกราฟไซน์ก็ให้คลิกที่ อีกครั้งหนึ่ง
2. หรือ ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้ซ่อน หรือแสดงกราฟ
ของฟังก์ชันไซน์ คลิกในทานองเดียวกับข้อที่ 1
3. หรือ ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้ซ่อน หรือแสดงเส้นที่แบ่งแกน X
ออกเป็นช่วงย่อยโดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยมีขนาดเท่ากัน คลิกในทานองเดียวกับข้อที่ 1
4. หรือ ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้
ซ่อน หรือแสดงตัวสร้างกราฟของฟังก์ชันโคไซน์ คลิกในทานองเดียวกับข้อที่ 1
5. หรือ ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้ซ่อน หรือแสดง
กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ คลิกในทานองเดียวกับข้อที่ 1
6. ปุ่ม นี้มีไ ว้เพื่ อให้เลือกว่าต้องการให้วงกลมเคลื่อนที่หรือไม่ โดยการคลิกที่ปุ่มนี้ถ้า
ต้องการให้วงกลมเคลื่อนที่ และคลิกซ้าถ้าต้องการให้หยุดเคลื่อนที่
หมายเหตุ หน้าต่างที่ i (j) หมายถึง หน้าต่างที่ i ของหัวข้อที่ j
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิจารณากราฟของฟังก์ชันไซน์จากหน้าต่างที่ 1 (1)
ให้ผู้เรียนคลิกที่ และ
จะได้กราฟของฟังก์ชันไซน์ ดังนี้
กราฟของฟังก์ชันไซน์
ผู้เรียนจะพบว่า ขณะที่วงกลมเคลื่อนที่ กราฟของฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) จะปรากฏขึ้นโดยที่จุด  x,y  ใด ๆ
บนกราฟของฟังก์ชัน y  sin x จะเกี่ยวข้องกับวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนี้
x คือ ความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยจากตาแหน่งมาตรฐาน
y คือ ค่าพิกัดหลังของจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยที่ส่วนโค้งยาว x หน่วย
พิจารณากราฟของฟังก์ชันโคไซน์จากหน้าต่างที่ 1 (1)
ให้ ผู้ เ รี ย นคลิ ก ที่ แล ะ
ถ้าไม่ต้องการให้กราฟของฟังก์ชันไซน์ปรากฏด้วยให้คลิกที่
และ จะได้กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ ดังนี้
กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้เรียนจะพบว่า ขณะที่วงกลมเคลื่อนที่ กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ (สีน้าเงิน) จะปรากฏขึ้นโดยที่จุด  x,y 
ใด ๆ บนกราฟของฟังก์ชัน y  cos x จะเกี่ยวข้องกับวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนี้
x คือ ความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยจากตาแหน่งมาตรฐาน
y คือ ค่าพิกัดหน้าของจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยที่ส่วนโค้งยาว x หน่วย
ทั้งนี้การพิจารณาค่าพิกัดหน้า ของจุดปลายส่วนโค้ง บนวงกลม ดูยากกว่าค่าพิกัดหลัง ของจุดปลายส่วนโค้ง
บนวงกลม กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ในหน้าต่างที่ 1 (1) จึงอาศัยเอกลักษณ์บนวงกลมหนึ่งหน่วย คือ

cos x  sin .  x .
2
ช่วยในการสร้างกราฟของฟังก์ชันโคไซน์ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชัน y  cos x ที่ปรากฏจึงเกิดจากการ

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y  sin .  x . แทน
2
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สิ่งสาคั ญอีกสิ่งหนึ่ง ในการศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติ โดยเฉพาะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นกราฟที่มีความสาคัญมากทั้งในวิชาคณิตศาสตร์
และในวิช าอื่น ๆ ดัง นั้ นในหัวข้ อนี้ผู้เรีย นจะได้ ศึก ษาลัก ษณะของกราฟของฟั งก์ ชันตรีโกณมิติทั้งหก
ฟังก์ชันในหน้าต่างที่ 2 (1) ซึ่งแสดงบนหน้าจอดังนี้
หน้าต่างที่ 2 (1)
ในหน้า ต่า งที่ 2 (1) จะแสดงกราฟของฟั งก์ ชัน y  sin x ทั้งนี้ ผู้เรีย นสามารถเลือกฟั งก์ ชันที่
ต้องการได้โดยการคลิกค้า งที่ฟังก์ชันที่แสดงอยู่ซึ่งในที่นี้คือ แล้วลากไปยังฟังก์ชันที่ต้องการ
นอกจากนี้ด้า นล่า งของหน้าต่างยั งมีปุ่ มให้ผู้เรียนเลือกคลิกใช้งานเพื่อให้เกิดประโยชน์ต่อการพิจารณา
ลักษณะของกราฟมากยิ่งขึ้น ซึ่งได้แก่
1. เมื่อคลิกที่ปุ่มนี้จะปรากฏกรอบสี่เหลี่ยมเส้นประตรงกลางหน้าต่าง ดังรูป
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้เรียนสามารถย่อหรือขยายกราฟได้โดยลากที่ สัญลักษณ์ดอกจันสีเขียว   ซึ่งอยู่มุมบนด้านขวาของ
กรอบสี่เหลี่ยม ถ้าต้องการให้กรอบสี่เหลี่ยมหายไปก็คลิกซ้าที่
2. ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้แสดงตารางบนพื้นระนาบที่เขียนกราฟหรือไม่ โดยถ้าระนาบมี
ตารางปรากฏอยู่และผู้เรียนไม่ต้องการให้ตารางปรากฏก็ให้คลิกที่ แต่ถ้าบนระนาบไม่มีตาราง
ปรากฏอยู่และผู้เรียนต้องการให้ตารางปรากฏก็ให้คลิกที่ อีกเช่นกัน
3. เมื่อคลิกที่ปุ่มนี้กราฟจะอยู่ในตาแหน่งมาตรฐาน
4. ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้แสดงบริเวณของโดเมนหรือไม่ โดยบริเวณของโดเมนจะ
ปรากฏเป็นแถบสีเขียวอยู่ด้านล่างของระนาบ ถ้าผู้เรียนต้องการให้แสดงบริเวณของโดเมนก็ให้คลิกที่
แต่ ถ้ า ไม่ ต้ อ งการให้ แ ถบสี เ ขี ย วที่ แ สดงบริ เ วณของโดเมนปรากฏอยู่ ก็ ใ ห้ ค ลิ ก ที่
อีกเช่นกัน
5. ปุ่มนี้มีไว้เพื่อให้เลือกว่าต้องการให้แสดงบริเวณของเรนจ์หรือไม่โดยการคลิกเช่นเดียวกับโดเมน
ทั้งนี้บริเวณของเรนจ์จะปรากฏเป็นแถบสีเขียวอยู่ขอบด้านขวาของระนาบ
เมื่อผู้เรียนคลิกที่ และ หน้าต่างที่ 2 (1) จะแสดงดังนี้
ถ้า ไม่ ต้อ งการให้บ ริเ วณโดเมนและเรนจ์ป รากฏก็ ใ ห้ คลิ ก ซ้ าที่ และ ตามล าดับ และถ้ า
ต้องการขยายกราฟให้ใหญ่ขึ้นก็ให้คลิกที่
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ก่ อนจะพิ จ ารณากราฟของฟั ง ก์ ชั น ตรี โกณมิ ติทั้ งหกฟั ง ก์ ชั น มีข้ อควรสัง เกตเกี่ ย วกั บฟั งก์ ชัน -
ตรีโกณมิติ คื อ ฟั งก์ ชันตรี โกณมิติทุก ฟัง ก์ชันเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ กล่าวคือ เราสามารถแบ่งแกน X
ออกเป็นช่วงย่อยโดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากันและกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน
ความยาวของช่วงย่อยที่มีสมบัติดังกล่าวมานี้เรียกว่า คาบ ของฟังก์ชัน ซึ่งนิยามได้ว่า
“จานวนจริง p  0 เป็นคาบของฟังก์ชัน f :  ก็ต่อเมื่อ f  x  p   f x สาหรับทุก x  ”
แต่ทั้งนี้คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้จะขอหมายถึงคาบที่เล็กที่สุดของฟังก์ชัน
สาหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมี ทั้งค่าต่าสุดและค่าสูงสุด เราจะเรียกครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่าง
ค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด ของฟังก์ชัน กล่าวคือ ถ้า max และ min เป็นค่าสูงสุด
และค่าต่าสุดของฟังก์ชันที่เป็นคาบตามลาดับ จะได้ว่า
แอมพลิจูดของฟังก์ชัน  1  max  min 
2
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเราจะอาศัยหน้าต่างที่ 2 (1) พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามลาดับดังนี้
1. กราฟของฟังก์ชัน y  sin x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  sin x จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ช่วง  1, 1 นั่นคือ 1  sin x  1
3. คาบของฟังก์ชัน  2  6.2832
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน  1
2. กราฟของฟังก์ชัน y  cos x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  cos x จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ช่วง  1, 1 นั่นคือ 1  cos x  1
3. คาบของฟังก์ชัน  2  6.2832
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน  1
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กราฟของฟังก์ชัน y  tan x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  tanx จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้

1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ . x x , x  n  , n  .
2
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
3. คาบของฟังก์ชัน    3.1416
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
4. กราฟของฟังก์ชัน y  cot x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  cot x จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ . x x  , x  n , n  .
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
3. คาบของฟังก์ชัน    3.1416
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กราฟของฟังก์ชัน y  sec x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  sec x จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้

1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ . x x , x  n  , n  .
2
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ   ,  1  1,  
3. คาบของฟังก์ชัน  2  6.2832
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
6. กราฟของฟังก์ชัน y  cos ec x
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  cosec x จะมีสมบัติสาคัญ ดังนี้
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ . x x  , x  n , n  .
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ช่วง   ,  1  1,  
3. คาบของฟังก์ชัน  2  6.2832
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
หมายเหตุ การคลิกที่ เพื่อย่อหรือขยายกราฟไม่มีผลต่อโดเมน, เรนจ์, คาบ และแอมพลิจูดของฟังก์ชัน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.3 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการเลื่อนแกนทางขนานและการย่อ/ขยาย
ในหัวข้อ 1.2 ผู้เรียนได้ศึกษาลักษณะของกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งกาหนดโดย
y  sin x , y  tan x , y  sec x
y  cos x , y  cot x , y  cosec x
สาหรับในหัวข้อ 1.3 ผู้เรียนจะได้ศึกษาลักษณะของกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งกาหนดโดย
y  a sin  bx  c   d
y  a cos  bx  c   d
y  a tan  bx  c   d
y  a cot  bx  c   d
y  a sec  bx  c   d
และ y  a cosec  bx  c   d
เมื่อ a, b, c, d 10, 10 และ a  0, b  0 โดยอาศัยสื่อปฏิสัมพันธ์ในหน้าต่างที่ 3 (1) ซึ่งแสดงบน
หน้าจอดังนี้
หน้าต่างที่ 3 (1)
ในหน้าต่างที่ 3 (1) ผู้เรียนสามารถเลือกฟังก์ชัน และเลือกปุ่มใช้งานด้านล่ างได้ในทานองเดียวกับหน้าต่าง
ที่ 2 (1) นอกจากนี้ผู้เรียนสามารถปรับค่าของ a, b, c, และ d ได้ตามต้องการ
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การกาหนดค่าของ a, b, c, และ d ในสูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติในหน้ าต่างที่ 3 (1) นั้น จะมีผล
ต่อลัก ษณะของกราฟของฟั ง ก์ ชั น รวมทั้ งตาแหน่งของกราฟบนระนาบ กล่าวคือ ค่า ของ a และ b ที่
เปลี่ยนแปลงไปจะมีผลทาให้ลักษณะของกราฟเปลี่ยนแปลงตามไปด้วย ซึ่งในที่นี้จะแสดงการเปลี่ยนแปลง
ค่าของ a และ b ในทุกฟังก์ชันเพื่อให้ผู้เรียนได้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a กับลักษณะของกราฟ
ของฟังก์ชัน และความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ b กับลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน
สาหรับค่าของ c และ d ที่อยู่ในสูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อนี้ จะไม่มีผลต่อรูปลักษณะ
ของกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่จะมีผลต่อตาแหน่งของกราฟบนระนาบซึ่งก็คือ จะทาให้มีการเลื่อน
แกนทางขนานโดยมีจุด .  c , d . เป็นจุดกาเนิดใหม่ ดังตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันไซน์ในหน้าต่างที่ 3 (1)
b
เมื่อมีการเปลี่ยนค่าของ c และ d ดังนี้
a  2.02, b  2.02, c  0 และ d  0 a  2.02, b  2.02, c  3 และ d  4
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่าของ c และค่าของ d จะพบว่า
ถ้า c มีค่าเพิ่มขึ้น โดยที่ b  0 กราฟจะเคลื่อนไปทางซ้าย
ถ้า c มีค่าเพิ่มขึ้น โดยที่ b  0 กราฟจะเคลื่อนไปทางขวา
ถ้า c มีค่าลดลง โดยที่ b  0 กราฟจะเคลื่อนไปทางขวา
ถ้า c มีค่าลดลง โดยที่ b  0 กราฟจะเคลื่อนไปทางซ้าย
ถ้า d มีค่าเพิ่มขึ้น กราฟจะเคลื่อนขึ้นข้างบน
ถ้า d มีค่าลดลง กราฟจะเคลื่อนลงข้างล่าง
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพื่อให้ผู้เรียนได้ข้อสรุปของความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a กับลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน และ
ค่าของ b กับ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน เราจะพิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากหน้าต่างที่ 3 (1)
ตามลาดับ ดังนี้
1. กราฟของฟังก์ชัน y  a sin  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  2.02 a  4.80
a   2.02 a   4.80
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่า ของ a จะพบว่า มีผลต่อค่าของแอมพลิจูดของฟังก์ชัน และทาให้เรนจ์ของ
ฟังก์ชันเปลี่ยนตามไปด้วย ทั้งนี้เรนจ์ของฟังก์ชันจะเปลี่ยนแปลงไปตามค่าของ a และ d โดยที่ขนาดของ
ช่วงของเรนจ์จะถูกกาหนดโดยค่าของ a ส่วนค่าของ d จะเป็นตัวกาหนดตาแหน่งของช่วงของเรนจ์
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิจารณาการเปลี่ยนค่า b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
b  1.03 b  2.30
b   1.03 b   2.30
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่าของ b จะพบว่า มีผลต่อคาบของฟังก์ชัน นอกจากนี้เครื่องหมายของ a และ
b ที่เป็นบวกและลบก็มีผลต่อลักษณะของกราฟด้วยเช่นกัน
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a sin bx  c   d
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ช่วง  a  d, a  d 
 
2
3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน  a
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชัน y  a cos  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  2.02 a  4.80
a   2.02 a   4.80
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่ าของ a จะพบว่า มีผลต่อค่าของแอมพลิจูดของฟังก์ชัน และทาให้เรนจ์ของ
ฟัง ก์ชั นเปลี่ยนตามไปด้วย ทั้ งนี้เรนจ์ของฟังก์ ชันจะเปลี่ย นแปลงไปตามค่าของ a และ d เช่นเดียวกั บ
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิจารณาการเปลี่ยนค่า b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
b  1.03 b  2.30
b   1.03 b   2.30
เมือผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่าของ b จะพบว่า มีผลต่อคาบของฟังก์ชัน นอกจากนี้ค่าของ a และ b ที่เป็น
่
บวกและลบก็มีผลต่อลักษณะของกราฟด้วยเช่นกัน
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a cos bx  c   d
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ช่วง  a  d, a  d 
 
2
3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน  a
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กราฟของฟังก์ชัน y  a tan  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  0.25 a  8.19
a   2.15 a   6.27
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่า ของ a จะพบว่า มีผลต่อความเว้าของเส้นกราฟและการโค้งเข้าหาเส้นกากับ
ในแนวดิ่งของเส้นกราฟ โดยที่
ถ้า a มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เส้นโค้งในแต่ละคาบจะมีความเว้าเพิ่มมากขึ้นและปลายทั้งสองข้างจะวิ่งเข้า
หาเส้นกากับในแนวดิ่งเร็วขึ้น
ถ้า a มีค่าเพิ่มมากขึ้น เส้นโค้งในแต่ละคาบจะมีความเว้าลดลงและปลายทางทั้งสองข้างจะวิ่งเข้า
หาเส้นกากับในแนวดิ่งช้าลง
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
พิจารณาการเปลี่ยนค่า b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
b  0.79 b  2.30
b   0.79 b   3.44
เมื่อผู้เรียนได้ทดลองเปลี่ยนค่าของ b จะพบว่า มีผลต่อคาบของฟังก์ชัน นอกจากนี้ค่าของ a และ b ที่เป็น
บวกและลบก็มีผลต่อลักษณะของกราฟด้วยเช่นกัน
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a tan bx  c   d
  
 n  c 
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ x x 
.
, x  2 , n  
 . b 
 
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง

3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. กราฟของฟังก์ชัน y  a cot  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a และ b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  0.25 a  6.27
b  0.69 b  2.30
เมื่ อผู้ เรี ย นได้ท ดลองเปลี่ ย นค่ า ของ a และ b จะพบว่ า ผลที่ ไ ด้ จ ะเป็น ไปในท านองเดี ย วกั บฟั งก์ ชั น
ที่ได้กล่าวมาก่อนหน้านี้
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a cot bx  c   d
n  c
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ x
 x ,x 

, n  
 b 
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ เซตของจานวนจริง

3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กราฟของฟังก์ชัน y  a sec  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a และ b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  0.50 a  3.01
b  0.69 b  2.30
ผู้เรียนจะพบว่า ค่าของ a จะมีผลต่อเรนจ์ของฟังก์ชัน ในขณะที่ค่าของ b จะมีผลต่อคาบของฟังก์ชัน
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a sec bx  c   d
  
 n  c 
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ x x 
.
, x  2 , n  
 . b 
 
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ   ,  a  d    a  d,  
 
2
3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6. กราฟของฟังก์ชัน y  a cosec  bx  c   d
พิจารณาการเปลี่ยนค่า a และ b ของ ในหน้าต่างที่ 3 (1)
a  0.50 a  3.01
b  0.69 b  2.30
ผู้เรียนจะพบว่า ค่าของ a จะมีผลต่อเรนจ์ของฟังก์ชัน ในขณะที่ค่าของ b จะมีผลต่อคาบของฟังก์ชัน
ลักษณะของกราฟของฟังก์ชัน y  a cosec  bx  c   d
n  c
1. โดเมนของฟังก์ชัน คือ x
 x ,x 

, n  
 b 
2. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ   ,  a  d    a  d,  
 
2
3. คาบของฟังก์ชัน 
b
4. แอมพลิจูดของฟังก์ชัน ไม่มี
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันตามหัวข้อย่อยต่อไปนี้
2.1 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
2.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการเลื่อนแกนทางขนาน และการย่อ/ขยาย
การเข้าศึกษาในหัวข้อนี้ ผู้เรียนต้องเลือกแฟ้มข้อมูลเรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน แล้วจึง
เข้าสู่หน้าต่างสารบัญของแฟ้มข้อมูลนี้ ซึ่งหน้าจอจะแสดงดังนี้
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏบนหน้าจอจานวน 4 หน้าต่าง
ต่อเนื่องกัน ซึ่งจะใช้พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน อันได้แก่ ฟังก์ชัน arcsine arccosine และ
arctangent ในหัวข้อ 2.1 และ 2.2 ตามลาดับดังนี้
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.1 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
จากที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1  1 ทาให้ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน
แต่ถ้ากาหนดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เหมาะสม จะสามารถทาให้ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เป็นฟัง ก์ชัน และเรีย กว่ า ฟั งก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ในหัวข้อนี้ จะพิจารณากราฟของฟั งก์ชันตรีโกณมิติ
ผกผัน 3 ฟังก์ชัน ต่อไปนี้
1. กราฟของฟังก์ชัน arcsine
บทนิยาม ฟังก์ชัน arcsine คือ  x, y  x
  sin y, 
 
 y   หรือกล่าวว่า ฟังก์ชัน arcsine คือ
 2 2
ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน sine เมื่อกาหนดโดเมนของฟังก์ชัน sine อยู่ในช่วง    ,


 2 2

ดังนั้น เมื่อ  x, y   arcsine จะได้ y = arcsine x หรือเขียนสั้น ๆ เป็น y  arcsin x ซึ่งมีความหมาย
เช่นเดียวกับ x  sin y และ    y  
2 2
  
นั่นคือ y  arcsin x ก็ต่อเมื่อ x  sin y เมื่อ y   , 
 2 2
ผู้เรี ย นสามารถพิ จ ารณากราฟของฟั ง ก์ ชั น y  arcsin x (เส้ นทึ บ ) เปรีย บเที ย บกั บกราฟของ
ฟังก์ชัน y  sin x (เส้นประ) ได้จากหน้าต่างที่ 1 (2) ซึ่งจะปรากฏดังนี้
หน้าต่างที่ 1 (2)
ผู้เรียนจะพบว่า โดเมนของฟังก์ชัน arcsine คือ  1, 1  เรนจ์ของฟังก์ชัน sine
และ เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine คือ    ,


 2 2

36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. กราฟของฟังก์ชัน arccosine
บทนิยาม ฟังก์ชัน arccosine คือ  x, y  x  cos y, 0  y   หรือกล่าวว่า ฟังก์ชัน arccosine คือ
ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน cosine เมื่อกาหนดโดเมนของฟังก์ชัน cosine อยู่ในช่วง 0, 
ดั ง นั้ น เมื่ อ  x, y   arccosine จะได้ y  arccosine x หรื อ เขี ย นสั้ น ๆ เป็ น y  arccos x ซึ่ ง มี
ความหมายเช่นเดียวกับ x  cos y และ 0  y  
นั่นคือ y  arccos x ก็ต่อเมื่อ x  cos y เมื่อ y  0, 
ผู้เรีย นสามารถพิ จารณากราฟของฟั งก์ ชั น y  arccos x (เส้นทึบ ) เปรีย บเทีย บกั บกราฟของ
ฟังก์ชัน y  cos x (เส้นประ) ได้จากหน้าต่างที่ 2 (2) ซึ่งจะปรากฏดังนี้
หน้าต่างที่ 2 (2)
ผู้เรียนจะพบว่า โดเมนของฟังก์ชัน arccosine คือ  1, 1  เรนจ์ของฟังก์ชัน cosine
และ เรนจ์ของฟังก์ชัน arccosine คือ 0, 
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. กราฟของฟังก์ชัน arctangent
บทนิยาม ฟังก์ชัน arctangent คือ  x, y  x
  tan y, 
 
 y   หรือกล่าวว่า ฟังก์ชัน arctangent
 2 2
คือ ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน tangent เมื่อกาหนดโดเมนของฟังก์ชัน tangent อยู่ในช่วง .   , 
.
2 2
ดังนั้น เมื่อ  x, y   arctangent จะได้ y  arctangent x หรือเขียนสั้น ๆ เป็น y  arctanx
ซึ่งมีความหมายเดียวกับ x = tan y และ    y 

2 2
 
นั่นคือ y = arctan x ก็ต่อเมื่อ x = tan y เมื่อ y  .  , .
2 2
ผู้เรีย นสามารถพิ จารณากราฟของฟั งก์ ชั น y  arctan x (เส้นทึ บ ) เปรีย บเทีย บกั บกราฟของ
ฟังก์ชัน y = tan x (เส้นประ) ได้จากหน้าต่างที่ 3 (2) ซึ่งจะปรากฏดังนี้
หน้าต่างที่ 3 (2)
ผู้เรียนจะพบว่า โดเมนของฟังก์ชัน arctangent คือ เซตของจานวนจริง  เรนจ์ของฟังก์ชัน tangent
และ เรนจ์ของฟังก์ชัน arctangent คือ .   , 
.
2 2
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการเลื่อนแกนทางขนานและการย่อ/ขยาย
ในหัวข้อ 2.1 ผู้เรียนได้พิจารณากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งกาหนดโดย
y = arcsin x , y = arccos x และ y = arctan x
สาหรับในหัวข้อ 2.2 ผู้เรียนจะได้ศึกษาลักษณะของกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันซึ่งกาหนดโดย
y = a arcsin  bx  c  + d
y = a arccos  bx  c  + d
และ y = a arctan  bx  c  + d
เมื่อ a, b, c, d   10, 10 และ a  0, b  0 โดยอาศัยสื่อปฏิสัมพันธ์ในหน้าต่างที่ 4 (2) ซึ่งแสดงบน
หน้าจอดังนี้
หน้าต่างที่ 4 (2)
ในหน้าต่างที่ 4 (2) ผู้เรียนสามารถเลือกฟังก์ชัน เลือกปุ่มใช้งานด้ านล่าง และสามารถปรับค่าของ a, b, c,
และ d ได้ในทานองเดียวกับหน้าต่างที่ 3 (1)
สาหรับค่าของ c และ d ที่อยู่ในสูตรของฟังก์ชันจะไม่มีผลต่อรูปลักษณะของกราฟของฟัง ก์ชัน
แต่จะมีผลทาให้มีการเลื่อนแกนทางขนานโดยมีจุด .  c , d . เป็นจุดกาเนิดใหม่ เช่นเดียวกับการเปลี่ยน
b
ค่าของ c และ d ในหัวข้อ 1.3 ที่ได้กล่าวมาแล้ว และเพื่อให้ผู้เรียนได้เห็นการเลื่อนแกนทางขนาน เมื่อมี
การเปลี่ยนค่าของ c และ d ในหน้าต่างที่ 4 (2) จึงขอยกตัวอย่างประกอบ ดังนี้
39