46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

5,231 views
5,045 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
5,231
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
164
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

46 ตรีโกณมิติ ตอนที่3_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1

  1. 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ (เนื้อหาตอนที่ 3) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 โดย รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
  2. 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ - สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส - อัตราส่วนตรีโกณมิติ - อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 603. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย - เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ - วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุมและหน่วยของมุม4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม - ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 605. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 - ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 - ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุม - สูตรผลคูณ ผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ - กฎของไซน์ - กฎของโคไซน์8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ - การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ - กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
  3. 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน - ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน - สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน 8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1) 9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่ อง ตรีโกณมิตินอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้วท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของคู่มือฉบับนี้ 2
  4. 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง ตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1)หมวด เนื้อหาตอนที่ 3 (3 / 8)หัวข้อย่อย 1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม 2. ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60จุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. เกิดความเข้าใจในมโนทัศน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม 2. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 0 90 180 270 และ 360 ได้ 3. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตของมุมบางมุมในจตุภาคที่ 1 (30 45 และ 60) ได้ ิผลการเรียนรู้ ผู้เรียนสามารถ 1. บอกบทนิยามของฟังกันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุมได้ 2. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 0 90 180 270 และ 360 ได้ 3. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60 ได้ 3
  5. 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนือหาในสื่อการสอน ้ เนื้อหาทั้งหมด 4
  6. 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม 5
  7. 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม เราเริ่มด้วยเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงก่อน โดยในตอนแรกจะกล่าวถึงสองฟังก์ชัน คือฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ 6
  8. 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยและเพื่อให้นักเรียนได้เข้าใจในมโนทัศน์ของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ จึงเขียนกราฟของฟังก์ชันทั้งสองประกอบกับบทนิยามไปด้วยกัน สาหรับค่าจริง  ต่าง ๆ ถ้าเราหาค่า x และ y ได้ จากวงกลมหนึ่งหน่วยทาให้เราสามารถเขียนกราฟได้ดังนี้ 7
  9. 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยถ้าเราอยากทราบเรนจ์ของฟังก์ชันทั้งสอง พิจารณาได้ดังนี้ 8
  10. 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยต่อไปจะแนะนาให้รู้จัก เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งก็คือความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์กับฟังก์ชันโคไซน์นักเรียนจะเห็นว่า เอกลักษณ์นี้ก็คือความสัมพันธ์ของ sin () และ cos () สาหรับทุกค่าจริง ซึ่งต่อไปนักเรียนสามารถนาไปใช้ได้ และก่อนที่จะนาเอกลักษณ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ไปใช้ 9
  11. 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเราจะพิจารณาเครื่องหมายของ sin () และ cos () เมื่อ  อยู่ในช่วงต่าง ๆ ดังนี้       3   3 0, 2  ,  2 ,   ,  , 2  และ  2 , 2        ต่อไปเป็นตัวอย่างที่ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ และสมบัติที่เกี่ยวกับเครื่องหมายของค่า sin และ cos 10
  12. 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่างเพิ่มเติม 3 3ตัวอย่าง กาหนดให้ sin () =  และ << จงหาค่าของ cos () 4 2วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sin2 + cos2 = 1  3  2 7แล้ว cos() =  1  sin    1    2    4 4 3 7แต่  ดังนั้น cos () < 0 ฉะนั้น cos () =  2 4เมื่อเรานิยามฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์จากจุด (x, y) บนวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็น (x, y) จะวนกลับมาที่เดิม ถ้าค่าจริง  เปลี่ยนไปเป็นค่าจริง  + 2 หรือค่าจริง  – 2 11
  13. 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยสรุปได้ว่า 12
  14. 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยต่อไปเราจะหาค่าฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของค่าจริงบางค่า จากรูปเมื่อเราได้ เซตของค่าจริงที่ทาให้ค่าไซน์เป็น 0 และเซตของค่าจริงที่ทาให้ค่าโคไซน์เป็น 0ต่อไปเราจะนาไปประกอบการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอีก 4 ฟังก์ชัน 13
  15. 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยแต่ก่อนอื่นเรามาหาค่าฟังก์ชันจากตัวอย่างต่อไปนี้กันฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลืออีก 4 ฟังก์ชัน จะนิยามดังนี้และหาเอกลักษณ์ตรีโกณมิติได้อีก 2 เอกลักษณ์ คือ 14
  16. 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเมือเรามีฟังก์ชันตรีโกณมิติครบทั้ง 4 ฟังก์ชันแล้ว เราจะแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงบางค่าโดย ่ตารางต่อไปนี้และสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เกี่ยวกับมุม  และมุม  + 2n , n  15
  17. 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเมื่อเรานิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงไปแล้ว คราวนี้จะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมกันบ้าง 16
  18. 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยนักเรียนจะได้เห็นว่า ค่าฟังก์ชันไซน์ของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันไซน์ของค่าจริง  และ ค่าฟังก์ชันโคไซน์ของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันโคไซน์ของค่าจริง ซึ่งต่อไปจะใช้แทนกันได้ ต่อไปจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุมกันและในทานองเดียวกับฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ เราจะได้ด้วยว่าค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม  เรเดียน จะเท่ากับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริง เมื่อได้ความสัมพันธ์ของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียนกับค่าจริงใด ๆ แล้ว เราสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ 17
  19. 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยของมุมบางมุม (0, 90, 180, 270 และ 360) ได้ดังนี้ตัวอย่างเพิ่มเติมตัวอย่าง จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้  3   3  1. sin (–270) = sin    = sin  2   = sin   = 1  2   2  2  5    2. cos (450) = cos   = cos  2   = cos   = 0  2   2 23. tan (540) = tan (3) = tan(2 + ) = tan() = 0      3 4. cosec (–90) = cosec    = cosec  2   = cosec   = –1  2  2  2 5. sec (–180) = sec (–) = sec(2 – ) = sec() = –1  7   3   3 6. cot (630) = cot   = cot  2   = cot   = 0  2   2   2  5 ตัวอย่าง กาหนดให้ sec () =  และ << จงหาค่าของ tan () 3 2 18
  20. 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยวิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sec2 – tan2 = 1 2  5 4 แล้ว tan () =  sec2   1       1    3 3  แต่ <  <  ดังนั้น sin () > 0 และ cos () < 0 แล้ว tan () < 0 2 4 ฉะนั้น tan () =  3 1 3ตัวอย่าง กาหนดให้ cot () = และ < < จงหาค่าของ cosec () 3 2วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ cosec2 – cot2 = 1 2 1 10 แล้ว cosec () =  1  cot    2 1      3 3 3 แต่ << ดังนั้น sin () < 0 แล้ว cosec () < 0 2 10 ฉะนั้น cosec () =  3 3ตัวอย่าง กาหนดให้ tan () = –2 และ <  < 2 จงหาค่าของ cos () 2วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ sec2 – tan2 = 1 แล้ว sec () =  1  tan 2    1  (2) 2   5 3 1 แต่ <  < 2 ดังนั้น cos () > 0 แล้ว cos () = 2 5 แบบฝึกหัดเพิ่มเติม 19
  21. 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม 21. กาหนดให้ sin () = จงหาค่าของ cos () 32. กาหนดให้ cos () = 1 และ 3 <  < 2 จงหาค่าของ sin () 5 2  6 3. กาหนดให้ sin   = – 0.5878 จงหาค่าของ cos  6     5   5   3 4. กาหนดให้ cos   = – 0.707 จงหาค่าของ sin  3     4   4 5. จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้ 7 5.1  เรเดียน 5.2 900 2 5.3 8 เรเดียน 5.4 – 4506. จงบอกค่าจริง  มา 3 จานวนที่ทาให้ 6.1 sin () = 0 6.2 cos () = 1 6.3 sin () = –1 6.4 cos () = 0 6.5 tan () = 0 6.6 cosec () = 1 6.7 sec () = –1 6.8 cot () = 0 37. กาหนดให้ tan () = 3 และ << จงหาค่าของ sec () 2 38. กาหนดให้ cosec () = –2 และ<  < 2 จงหาค่าของ cot () 29. กาหนดให้ cosec2 + cot2 = 7 และ 0 <  <  จงหาค่าของ sin () 2 210. กาหนดให้ sin () = 3 และ 90 <  < 180 จงหาค่าของ cos()  cot() 5 cos ec()  tan() 20
  22. 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60 2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60 21
  23. 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับวงกลมหนึ่งหน่วยในการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุม(30 45 และ 60) ซึ่งมุมเหล่านี้อยู่ในจตุภาคที่ 1เริ่มจากการหาค่า sin (45) และ cos (45)สรุปเป็น  sin (45) = sin    2   4 2  cos (45) = cos      2 22 4 2
  24. 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยการหาค่า sin (30) และ cos (30)  sin (30) = sin    1  สรุปเป็น 6 2  cos (30) = cos    3   6 2การหาค่า sin (60) และ cos (60)  sin (60) = sin    3  สรุปเป็น 3 2  cos (60) = cos    1   3 2สรุปเป็นตารางเพื่อการจดจาของนักเรียน 23
  25. 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1 2 3นักเรียนจะได้เห็นว่า ค่าฟังก์ชันไซน์จะเพิ่มขึ้นจาก , , เมื่อมุมเพิ่มขึ้นในจตุภาคที่ 1 2 2 2 3 2 1 และค่าฟังก์ชันโคไซน์จะลดลงจาก , , เมื่อมุมเพิ่มขึ้นในจตุภาคที่ 1 2 2 2และจะได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุม 30 45 และ 60 ดังนี้ 30 45 60 มุม     เรเดียน เรเดียน เรเดียน 6 4 3 1 tan () 1 3 3 2 cosec () 2 2 3 2 sec () 2 2 3 1 cot () 3 1 3ตัวอย่าง จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้ 24
  26. 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย  9     21. sin   = sin  2   = sin     4   4 4 2 32. sin(– 300) = sin(– 360 + 60) = sin (60) = 2  11   11   33. cos    = cos  2   = cos     6   6  6 2 24. cos(765) = cos(720 + 45) = cos (45) = 2  7    5. tan   = tan  2   = tan    3  3   3 3 16. tan(– 330) = tan(– 360 + 30) = tan (30) = 3  5   5   27. cosec    = cosec  2   = cosec     3   3  3 38. cosec (405) = cosec (360 + 45) = cosec (45) = 2  13     29. sec   = sec  2   = sec     6   6 6 310. sec (– 660) = sec (– 720 + 60) = sec (60) =2  17     11. cot   = cot  4   = cot   =1  4   4 4 112. cot (– 300) = cot (– 360 + 60) = cot (60) = 3 25
  27. 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 601. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้ 25 1.1 เรเดียน 1.2 – 690 4 23 1.3  เรเดียน 1.4 420 62. จงหาของ  13    9   2.1 sin   cos   + sin   cos    6  3  4  4 2.2 3 tan    – tan   11      6  6  2.3 2 cosec    + sec  9      3  4  2.4 tan2  7  + sec2   11       3   6 3. กาหนดให้ sin () = 2 และ –2 <  <  3 จงหาค่าของ tan () 2 2 3 54. กาหนดให้ cos () = และ 2 <  < จงหาค่าของ cosec () 2 2 3  4 cos(2)  sin(3)5. กาหนดให้  = 30 จงหาค่าของ 3  4sin(2)  cos(3)  2sin()  3cos(3)6. กาหนดให้  = จงหาค่าของ 3  3  sin    2cos(6)  2  7. จงหาผลเฉลยในช่วง  0, 2  ของสมการต่อไปนี้   7.1 sin (x) = cos (x) 7.2 4 cos2(x) + 2( 3 – 1) cos (x) – 3 = 0 26
  28. 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 27
  29. 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 28
  30. 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 29
  31. 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เอกสารอ้างอิง1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ, โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550. 30
  32. 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม 31
  33. 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน 3 5sin()  3cos()1. ถ้า 4 tan () = 3 และ << แล้วค่าของ คือข้อใด 2 3cos()  sin() 9 ก 9 ข ค 3 ง 1 7 52. ถ้า cosec () = และ cos () < 0 แล้วค่าของ 3 tan () + cot () – 2cos () คือข้อใด 4 89 71 89 71 ก ข ค  ง  20 20 20 20  4 3. จงหาค่าของ 5 cos2   + sin2   3 3 6 11 9 19 49 ก ข ค ง 12 4 12 124. ถ้า x1 และ x2 เป็นผลเฉลยของสมการ x2 – (sec 60) x – 3 tan 45 = 0 จงหาค่าของ x1 + x2 ก 2 ข –2 ค 3 ง –1 7 35. กาหนดให้ sec2  + tan2  = และ <  < จงหาค่าของ cos () 2 2 2 2 2 2 ก ข  ค ง  5 5 3 3 1  2sin 2 ()6. จงหาค่าของ 3(cot()  tan())sin() cos() 1 1 ก ข  ค 3 ง –3 3 37. ถ้า 1 และ 2 เป็นผลเฉลยของสมการ 3 cos2  + sin2  = 1 และ 1  [0, ] และ 2  [2, 3] จงหาค่า 3 1 + 2 ก  ข 2 ค 3 ง 4 32
  34. 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย8. ถ้า 1 และ 2 เป็นค่าจริงในช่วง 0,   ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ  2   cosec () + 2 sin () = 3 แล้ว | 1 – 2 | มีค่าเท่าใด    3 ก ข ค ง 4 3 2 49. ถ้า 1 และ 2 เป็นค่าจริงในช่วง 0,   ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ  2   tan2 () – ( 3 1 ) tan () + 3 =0 แล้ว 1 + 2 มีค่าเท่าใด  7 5  ก ข ค ง 12 12 12 2 cos(2)  2sin(3)10. ถ้า = 30 จงหาค่าของ sin()  3cos(3) 5 ก –1 ข 1 ค 5 ง 3 33
  35. 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 34
  36. 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม 5 2 61.  2.  3 53. 0.809 4. 0.707215. ข้อ มุม sin cos tan cosec sec cot 5.1 7 1 0 – 1 – 0  2 5.2 900 0 –1 0 – –1 – 5.3 8 0 1 0 – 1 – 5.4 – 450 –1 0 – –1 – 06. 6.1 0, , – 6.2 0, 2, –2 3  7   3 6.3 , , 6.4 , , 2 2 2 2 2 2  5 9 6.5 0, , – 6.6 , , 2 2 2   3 6.7 , –, 3 6.8 , , 2 2 27.  10 8.  3 2 969. 10. 5 165 35
  37. 37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่องค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 601. ข้อ มุม sin cos tan cosec sec cot 1.1 25 2 2 1 2 2 1 4 2 2 1.2 – 690 1 3 1 2 3 2 2 2 3 3 1.3 23 1 3 1 2  2 3 6 2 2 3 3 1.4 420 3 1 3 2 1 2 2 2 3 3 3 2 32. 2.1 2.2 4 3 4 3 2 13 2.3  2.4 3 2 33. 1 4. 2 4 3 3 35. 2 6. 3 3  7. 7.1 7.2 4 3 เฉลยแบบฝึกหัดระคน1. ค 2. ง 3. ค 4. ก 5. ง6. ก 7. ง 8. ข 9. ข 10. ค 36
  38. 38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 37
  39. 39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อยความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 38
  40. 40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 39
  41. 41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 40

×