Strength Of Materials 2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,668
On Slideshare
1,601
From Embeds
67
Number of Embeds
5

Actions

Shares
Downloads
28
Comments
0
Likes
1

Embeds 67

http://ratanakh.wordpress.com 58
url_unknown 4
http://cshau.blogspot.com 3
http://www.slideshare.net 1
https://ratanakh.wordpress.com 1

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng CHƢƠNG 5 : XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG §1 : Khái niệm  Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại MZ  Quy ƣớc : MZ >0 nếu nhìn vào mặt cắt Mz quay thuận chiều kim đồng hồ. Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ.  Bước 1 : Xác định phản lực liên kết, phân đoạn thanh  Bước 2 : Lập biểu thức nội lực  Đoạn 1 : Lập mặt cắt 1-1 AB, xét cân bằng phần trái : 0z1a. mz  0  M(1)  mz1 z  Đoạn 2 : Lập mặt cắt 2-2BC, xét cân bằng phần trái : 0 z2 a. mz  0  M(2)  ma M 2ma z  Bước 3: Vẽ biểu đồ.  Trong thực tế, các chi tiết, bộ phận chịu xoắn nhƣ: mũi khoan, trục các tuốc bin,...Ta xét hai trƣờng hợp chịu xoắn thuần tuý: - Thanh mặt cắt ngang tròn. - Thanh mặt cắt ngang không tròn. §2. Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt ngang tròn I. Ứng suất trên mặt cắt ngang  Thí nghiệm: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ (xoắn thuần tuý)  Trƣớc khi thanh chịu lực: Vạch những đƣờng thẳng song song trục thanh (đƣờng sinh) và các đƣờng tròn vuông góc trục thanh.  Sau khi chịu lực, ta thấy:  Mặt cắt ngàm đứng yên  Các đƣờng song song trục thanh bị xoắn ốc  Các đƣờng tròn vẫn vuông góc trục thanh và khoảng cách giữa các đƣờng tròn không đổi  Đƣa ra hai giả thuyết:  Giả thuyết về mặt cắt ngang: Mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt là không đổi. (a)  Giả thuyết về bán kính của mặt cắt ngang: bán kính của mặt cắt ngang luôn phẳng và độ dài không đổi. (b) 43
  • 2. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Ngoài ra, còn tuân theo 3 giả thuyết đầu tiện của SBVL  Xét điểm A bất kì thuộc thanh: Việc tính ứng suất tại A rất phức tạp (không tính đƣợc)  Tách tại A một phân tố bằng các mặt  Hai mặt cắt ngang 1-1, 2-2 cách nhau khoảng dz.  Hai mặt phẳng đi qua trục z, làm với nhau một góc d.  Hai mặt trụ trục z có bán kính  và (+d).  Phân tố ABCDEFGH Theo giả thuyết (a) , ta có: AE=BF=CG=DH=dz Phân tố không có biến dạng dọc trục z  Trên mặt cắt ABCD (hay EFGH) không có ứng suất pháp.  Trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất tiếp .  Gọi : d - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2.  - góc trƣợt giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 do  gây ra.  Sau khi chịu Mz  điểm A A’: Theo giả thuyết (b)  OA=OA’=  d= A'OA AA' OAtgd d d tg           (1) EA dz dz dz    Ta có:   P  R  P: Vuông góc với bán kính   R: hƣớng theo bán kính  giả thuyết (b)  R=0   Vậy   P ® luË Huc inh t Gd    G   dz  (2) ® nghÜ inh a d d d d M  Mz   dF  G dz  dF G dz   dF G dz J  dz  GJz  2 2 (3) (F) (F) (F)  d  Gọi   là góc xoắn tỷ đối (góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau dz một khoảng bằng 1 đơn vị) Mz  (2) (3)     (4) J  Gọi GJ - Độ cứng của thanh khi xoắn D4  J= JP: Mômen quán tính độc cực  JP  Jx  Jy  (1 4 )  0,1 4 (1 4 ) D 32 44
  • 3. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Nhận xét:  phân bố bậc nhất đối với    0    0 D M D M     max  z .  z 2 JP 2 W P 2JP W  P : Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang D II. Biến dạng  Gọi  là góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt cắt đầu thanh (góc xoắn toàn phần)  Xét đoạn thanh có chiều dài dz: l l Mz dz M dz (3)  d      d   z (5) GJP 0 0 GJP Nếu : Mz Ml  const    z GJP GJP (6) M(i) n M(i)l  Đặc biệt: khi thanh chia ra n đoạn: chiều dài li, z  const     z i (7) GiJPi i1 Gi JPi III. Kiểm tra bền và kiểm tra cứng a. Điều kiện bền: Mz Mz o max  max  max  [ ]  (8) WP 0,2D (1   ) 3 4 n  0: ứng suất nguy hiểm (xác định từ thực nghiệm)  n : Hệ số an toàn (n>1)   Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền. Mz max - Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: Db  3 . 0,2   (1  4 ) - Xác định [Mz]b (giá trị tải trọng cho phép). b. Điều kiện cứng: Mz Mz max  max  max  [](rad/m) (9) GJP G.0,1 4 (1 4 ) D  Có 3 bài toán cơ bản: - Kiểm tra cứng. Mz max - Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: Dc  4 . 0,1  (1 4 ) G  - Xác định [Mz]c (giá trị tải trọng cho phép).  Chú ý: Muốn thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền và cứng thì D=max{Db,Dc} ; [Mz]=min{[Mz]b ,[Mz]c } 45
  • 4. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Ví dụ 1: Cho thanh tròn chịu lực nhƣ hình vẽ. Xác định mặt cắt ngang thanh nếu biết: []=5kN/cm ; []=0,25rad/m ; G=8.103 kN/cm2 . Sau đó đi tính AC. 2 Giải:  Vẽ biểu đồ mômen MZ : Mz  4kNm 400kNcm max  Xác định đƣờng kính D:  Theo điều kiện bền: Mz max 400 Db  3 3  7,37cm. 0,2   0,2.5  Theo điều kiện cứng: Mz max 400 Dc  4 4  3,76cm. 0,1  G  0,1.8.103.0,25.102  D=max{Db,Dc}=7,37cm.  Tính AC: AC = AB + BC 100 M(1) dz 100 M(2) dz  AC     , (M(1)  2z,M(2)  4kNm) z z z z 0 GJP 0 GJP 1  100 100  1    2z.dz  400 0   8.1030,1.7,374 .5.10 4 GJP  0   0,021 rad Ví dụ 2: Cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ. Hãy xác định mặt cắt thanh, biết: []=5kN/cm2 . []=0,25rad/m . G=8.103 kN/cm2 . Tính góc xoắn toàn phần AC=?  Tính phản lực và chia đoạn  Vẽ biểu đồ Mz  Đoạn 1 (AB): M1 max  2kNm  200kNcm M1 max 200  Theo điều kiện bền: d(1)  3 3  5,85cm . 0,2   b 0,2.5 M1 max 200  Theo điều kiện cứng: d(1)  4 4  3,16cm . 0,1G   0,1.0,25.8.103.102 c  d1=max{db(1),d c(1)}=5,85 cm. 46
  • 5. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Đoạn 2 (BC): M2 max  4kNm  400kNcm . M2 max 200  Theo điều kiện bền: 2d(2)  3 34  7,36cm  d(2)  3,68cm . b 0,2   0,2.5 b M2 max 400  Theo điều kiện cứng: 2d(2)  4 4  3,76cm  d(2)  1,88cm . 0,1.0,25.8.103.102 c 0,1  G  c  d2=max{db(2),d c(2)}=3,68 cm. d=max{d1,d2}=5,85 cm. Vậy JP1 =0,1.d4=0,1.5,854=117,1cm4 ; JP2 =0,1.(2d)4=0,1.(2.5,85)4=1861,1cm4  Tính góc xoắn toàn phần: Tính :  = AB + BC a M(1) dz z a M(2) dz z a mz dz a M(2) dz z ma2 M(2) .a 2.102.104 4.102.102       z   0 GJP1 0 GJP2 0 GJP1 0 GJP2 2GJP1 GJP2 2.8.103.117,1 8.103.1861,1   1,07(rad). §3: Xoắn thuần tuý thanh có mặt cắt ngang không tròn  Thí nghiệm: Xét thanh chịu xoắn mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trƣớc khi thanh chịu xoắn, ta vạch lên mặt ngoài thanh những đƣờng thẳng song song trục thanh, vuông góc trục thanh ( Tạo nên lƣới ô vuông) Sau khi thanh chịu xoắn, trục thanh vẫn thẳng nhƣng các đƣờng kể đều bị cong đi  ô vuông bị méo  mặt cắt ngang của thanh bị vênh đi.  Lý thuyết đàn hồi đã nghiên cứu đƣợc thanh xoắn có mặt cắt ngang bất kỳ. I. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật  Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu xoắn thuần tuý  Luật phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt:  Tại các điểm góc:  = 0  Các trục đứng:  phân bố theo quy luật đƣờng cong có tâm uốn tại tâm O  Dọc theo các cạnh:  phân bố theo đƣờng cong, max tại A và A’ Mz max  ; W xoắn=b2h Wxoan 1  max Mz max  ; Jxoắn=b3h GJxoan Trong đó: ,, phụ thuộc b/h, đƣợc tra theo bảng Các công thức đƣợc rút ra từ thực nghiệm. 47
  • 6. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng h/b 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 8.0 10   0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.291 0.307 0.313 0.333  0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.291 0.307 0.313 0.333  1 0.859 0.795 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 II. Thanh có thành mỏng  Định nghĩa: Thanh có mặt cắt ngang với bề dày  << các kích thƣớc khác của mặt cắt  thanh có thành mỏng.  Ví dụ: ống tròn mỏng, thép dát I,C,L  Đƣờng trung bình: là đƣờng chia đôi chiều dày  của mặt cắt. a. Thanh có thành mỏng kín:  Đƣờng trung bình là đƣờng khép kín  thành mỏng kín.  Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng kín, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ:  Vì  bé  xem ứng suất tiếp  phân bố đều theo .  Xét điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang. Mz Mz A   max  2F  A o 2F min o Mz ds  2  4F G (s) 0 Với S - độ dài đƣờng trung bình. b. Thanh có thành mỏng hở:  Đƣờng trung bình là đƣờng không khép kín  Thanh có thành mỏng hở  Xét thanh chịu xoắn với thành mỏng hở, mặt cắt ngang nhƣ hình vẽ: Chia mặt cắt ra m hình chữ nhật : hình thứ i có chiều rộng i, chiều dài hi Mz M i  i  max  z max Jxo¾n Jxo¾n 1 n 3 Trong đó: Jxo¾  n  i hi 3 i1 (*) Mz  GJxo¾n nm 3 Thực tế : Jxo¾  n  i hi 3 i1 Với n- phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang, xác định bằng thực nghiệm (tra bảng) Loại mặt cắt L C T I n 1,10 1,12 1,15 1,20 §4. Bài toán siêu tĩnh 48
  • 7. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Bài toán 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực nhƣ hình vẽ. Giải:  Xét cân bằng AB:  Mz  0  MA  MB  M (1)  Bài toán siêu tĩnh: bậc siêu tĩnh n = 1.  Lập phƣơng trình biến dạng bổ sung.  Phƣơng trình biến dạng : do A, B là ngàm nên AB  AC  CB  0 (*) Trong đó:  M(1) . AC M(1) .2a  AC  z  z  G.JP G.JP  (2) (2)    Mz .CB  Mz .a  CB  G.JP G.JP  Lập mặt cắt 1-1 và 2-2 M(1)   MA  Z  mz  0   (2) MZ  MB  Thay vào (*): MA .2a M B .a  0 (2) GJP GJP  2M MB  3  (1),( 2)   M  M  A  3 49
  • 8. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Bài toán 2: Trụ tròn AB liên kết ngàm tại A, chịu mômen xoắn M0, gắn với 2 thanh CD, EF bằng 1 thanh CE tuyệt đối cứng. Biết AB có : G,d CD, EF có cùng l, E, F Xác định biến dạng dài của CD, EF. Giải:  Xét cân bằng ABCE:  Y  0  N1  N2  N Điều kiện biến dạng: l  b.tg  b.   : góc xoắn tƣơng đối của AB ( góc xoắn toàn phần) MiZ .li   GJp  Xét thanh AB: Vẽ biểu đồ Mz Vậy: M0  2Nb ( 2Nb) M  4Nb   a a 0 a GJp GJp GJp Nl M  4Nb l  b  b 0 a EF GJp M0aEF  N1  N2  N  lGJp  abEF Na M0a2 l1  l2   EF lG Jp  ab.EF 50
  • 9. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Bài toán 3: Xét thanh chịu lực nhƣ hình vẽ. Biết : G, d, l , u (biến dạng dài tỷ đối theo phƣơng u tại điểm M). Tìm M0, góc xoay của tiết diện tại B. Giải: - Vẽ biểu đồ Mz - Xác định M0 Ta có: W P = 0,2 d3, JP = 0,1d4 Theo đ ịnh lu ật Hooke: 1   (   ) (1) u E u v mặt khác :        0     (2) u v x y u v   .E (1),(2)    u (1  )    u (3) u E u 1  - Theo công thức xoay trục:     x y x y    cos 2   xy sin2    xy sin2 u 2 2  xy   u sin2 - Xét phân tố tại M: Mz M0  E. xy   max   3  u  Wp 0,2d sin2 (1  ).sin2 u E.0,2d3  M0  (1 ) sin2 - Góc xoay của tiết diện tại B. A là ngàm → A=0 M0 l u .E.l.0,2d3 2 u .E.l. B  AB   4  GJp G.0,1d (1 ).sin2 G.d.(1 ).sin2 51
  • 10. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng BÀI TẬP CHƢƠNG 5 52
  • 11. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng CHƢƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG §1. Khái niệm  Định nghĩa: Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dƣới tác dụng của ngoại lực. Trục là đƣờng cong phẳng  thanh chịu uốn phẳng (dầm) Ngoại lực: lực tập trung hay phân bổ vuông góc trục dầm, hoặc mômen nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm.  Ở đây, ta chỉ xét thanh có mặt cắt ngang tồn tại trục đối xứng (trục y) và tải trọng tác dụng thuộc mặt phẳng đối xứng, (chính là mặt phẳng chứa trục quán tính trung tâm  mặt phẳng quán tính chính trung tâm). Xét 2 trƣờng hợp: + Dầm uốn thuần túy phẳng. + Dầm uốn ngang phẳng. §2. Uốn thuần túy phẳng I. Định nghĩa: là dầm mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 thành phần nội lực Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm (y0z) II. Ứng suất trên mặt cắt ngang Dầm có mặt cắt chữ nhận b  h, chịu uốn thuần túy nhƣ hình vẽ.  Thí nghiệm:  Trƣớc khi chịu lực, vạch lên mặt ngoài dầm những đƣờng thẳng song song và vuông góc trục dầm, tạo nên những ô vuông.  Sau khi chịu lực, dầm biến dạng, ta thấy đƣờng thẳng song song với trục dầm trở thành đƣờng cong, đƣờng vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm. Suy ra 2 giả thuyết : a. giả thuyết về mặt cắt ngang : mặt cắt ngang dầm luôn phẳng và vuông góc với trục dầm (cả trƣớc và sau biến dạng) b. Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc của dầm không ép lên nhau và không đẩy xa nhau. 53
  • 12. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Vật liệu dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi (,  tuân theo định luật Huc)  Nhận xét : dầm bị uốn, các thớ trên co lại, các thớ dƣới giãn ra từ thớ vo sang thớ giãn sẽ có thớ không co, không giãn . Gọi là thớ trung hòa.  Tổng thớ trung hòa là lớp trung hòa.  Lớp trung hòa x mặt cắt ngang ta có mặt trung hòa. Bỏ qua các biến dạng của mặt cắt ngang (biến dạng nhỏ), coi nhƣ mặt cắt ngang không thay đổi, suy ra đƣờng trung hòa là đƣờng thẳng  Xét đoạn thanh dz cắt ra khỏi thanh bởi 1-1 và 2-2 Sau khi biến dạng ta có :  Theo tính chất thớ trung hòa : dz =d  Thớ ab ( cách thớ trung hòa 1 đoạn y): abt = dz ; abs = (  y)d ®inh nghÜa abs  abt y  z  abt   (1)  Xét điểm C bất kỳ trên mặt cắt ngang nào đó của dầm: việc tính ứng suất tại điểm C không thực hiện đƣợc. Suy ra tách tại C một phân tố hình hộp (Các mặt song song với mặt phẳng tọa độ)  tính ứng suat trên 6 mặt phân tố  Theo giả thiết (b)  trên các mặt song song z, không có ứng suất pháp hay: x  y  0  Theo giả thiết (a)  góc của phân tố biến dạng không đổi.  trên các mặt phân tố không có ứng suất tiếp.  chỉ tồn tại  z y  Theo định luật Huc: z   z.E  E. (2)  ®inh nghÜa E E  Nz   zdF  0    y.dF  0   .Sx  0 (F) (F) ® nghÜ inh a Sx = 0  x là trục trung tâm. Vì y là trục đối xứng nên x0y là hệ quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. (2) E E Mx   z ydF    y .dF  2 .Jx (F) (F)  1 Mx   (3): Độ cong của trục quán tính chính trung tâm (EJx: độ cứng của dầm khi uốn)  EJx Mx (2),(3)   z  y Jx 54
  • 13. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Nhận xét: Luật phân bố của  z trên mặt cắt ngang dầm:  Phân bố bậc nhất đối với y.  Những điểm nằm trên đƣờng thẳng song song với x (có cùng tung độ y) sẽ có  z bằng nhau và tỉ lệ với d (khoảng cách đến đƣờng trung hòa).  Điểm nằm trên đƣờng trung hòa (y=0) có  z =0.  Những điểm nằm xa đƣờng trung hòa nhất có max , min .  Nếu trục x cũng là trục thẳng đối xứng: Đƣờng trung hòa chia đôi chiều cao Mx h M max , min    x (4) Jx 2 Wx 2Jx với W x= : mômen chống uốn của mặt cắt ngang. h  Nếu trục x không phải là trục đối xứng: Mx max  .yKmax Jx (5) Mx min   .y n max Jx III. Điều kiện bền: a. Với vật liệu dẻo:   k    n           Điều kiện bền: max       (6) b. Với vật liệu đòn :       k n max   k     Điều kiện bền:  (7)  min    n    IV. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang: Mặt cắt ngang hợp lý nếu đảm bảo bền (khả năng chịu lực là lớn nhất) tiết kiệm vật liệu. a. Yêu cầu về bền: Ứng suất lớn nhất trong dầm đạt tới ƢS cho phép Mx  max  .yKmax   k    Jx  yk     max    k (8) M  ymax    n n   min  x .ynmin   n    Jx  (8)  Kết luận:  Vật liệu dẻo:  k  n  yk  ymax  trục x đối xứng max n  Vật liệu dòn: Trục x chia chiều cao mặt cắt theo tỷ số ở (8) 55
  • 14. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng b. Yêu cầu tiết kiệm vật liệu: Từ biểu đồ z ta thấy:  Vật liệu ở vùng có max, min làm việc gần hết khả năng.  Vật liệu càng ở gần đƣờng trung hòa làm việc ít hơn.  Bố trí vật ở xa đƣờng trung hòa. (a), (b)  + Vật liệu dẻo : Trục x đối xứng, vật liệu bố trí xa đƣờng trung hòa  mặt cắt hợp lý thƣờng là: + Vật liệu dòn:  Chú ý: Khi xét điều kiện bền cho thanh:  Nếu Mx có dấu không đổi  chỉ quan tâm M max  Nếu Mx có hai dấu: đƣờng trung hòa không chia đôi chiều cao, vật liệu dòn  quan tâm đến cả Mmax, Mmin (Kiểm tra tại cả 2 mặt cắt) §3. Uốn ngang phẳng 1. Định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm mà trên mặt cắt ngang có các thành phần nội lực Mx, Qy nằm trong mặt phẳng nằm quán tính chính trung tâm (y0z)  Mặt phẳng tải trọng: (các tải trọng thuộc cùng 1 mặt phẳng)  Mặt phẳng biến dạng  Hai mặt phẳng này trùng nhau  có trƣờng hợp uốn phẳng:  Uốn phẳng thuần túy : chỉ tồn tại Mx  Uốn phẳng ngang: có Mx, Qy (h >> b, h << l) 56
  • 15. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng II. Ứng suất trên mặt cắt ngang  Xét dầm chịu uốn ngang phẳng nhƣ hình vẽ.  Trƣớc khi dầm chịu lực: vạch lên ngoài mặt dầm những đƣờng thẳng song song và vuông góc với trục dầm (tƣợng trƣng cho thớ dọc và mặt cắt ngang)  Sau khi dầm biến dạng, ta thấy: - Những đƣờng thẳng song song với trục dầm (thớ dọc) bị cong nhƣng vẫn song song với trục dầm, các thớ không ép lên nhau, cũng không tách nhau  trên mặt cắt dọc: y =0 (Thực tế thì có nhƣng vì sự thay đổi ấy nhỏ  bỏ qua, đúng khi h << l) - Những đƣờng thẳng vuông góc với trục dầm không còn thẳng và vuông góc trục dầm nữa  mặt cắt ngang không còn phẳng mà bị vênh.  + Thớ dọc: 1 số thớ co lại, 1 số thớ giãn ra  z + Mặt cắt ngang: mặt cắt ngang không còn phẳng bị biến dạng góc   ứng suất tiếp zy LTDH  tại điểm D(x,y) bất kỳ thuộc mặt cắt ngang, tách ra 1 phân tố hình hộp thì trên các   mặt phân tố y, z, zy Thực tế: y << z,zy  z,zy a. Ứng suất pháp z: MX - Trong uốn thuần túy phẳng, mặt cắt ngang phẳng: Z  .y (*) JX - Trong uốn ngang phẳng, mặt cắt ngang không còn phẳng  không thể sử dụng công thức (*) Tuy nhiên trong "Lý thuyết đàn hồi", công thức tính z rất phức tạp và chứng minh đƣợc rằng đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, vẫn dùng đƣợc công thức (*) để tính z mà sai số không lớn lắm. Mx Vậy: z  y (1) (h nhỏ nên xem nhƣ mặt cắt ngang là phẳng) Jx b. Ứng suất tiếp zy - Công thức Jurapski Ta đi xác định phƣơng, chiều và độ lớn của ứng suất tiếp zy  Xét dầm mặt cắt ngang chữ nhật hẹp bxh (b<< h  mặt cắt hẹp) chịu uốn ngang phẳng.  Phƣơng : Xét điểm A(x,y) thuộc mặt cắt ngang 1-1. Qua D kẻ đƣờng thẳng song song với Ox, cắt các biên của mặt cắt tại B, C; cắt Oy tại D. Ứng suất tiếp C có chiều bất kỳ trong (1-1)     C C C  zy  zx 57
  • 16. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Theo luật đối ứng: nếu có C  phải có C , mặt khác: do mặt bên dầm không có lực tác zx xz dụng ( Nz = 0, Mz = 0...) nên C  C  0 xz zx Vậy C  zy ; TT B  zy C B Do tính chất đối xứng và giả thiết mặt cắt chữ nhật hẹp nên: A  B  C  D  zy Vậy ứng suất tiếp của các điểm trên BC đi qua A chỉ có phƣơng y và có trị số bằng nhau. (Phân bố đều)  Độ lớn :  Cắt đoạn dầm dz bằng mặt phẳng 1-1, 2-2  Mặt phẳng song song với Oz đi qua điểm D chia đoạn dz thành 2 phần:  tính zy yz  ? Đặt BC = bC dt(BCEF) = FC  Xét cân bằng đoạn dz:  Z 0   (1)dF  (2)dF yz.bc.dz 0 z z (*) FC FC Mặt khác : Mx Mx  dMx (1)  z y ; (2)  z y Jx Jx (biểu đồ Mx liên tục : chiều dài thay đổi dz  mômen thay đổi vi phân dMx) Mx M  dM (*)   ydF x J x  ydF yzbcdz  0 Jx F c x F c Mx (  const đối với mặt cắt đang xét) Jx dMx  yzbcdz  ydF Jx F C dMx 1  yz   ydF dz bcJx F C dMx  Qy  ydF Sx : mômen tĩnh của phần diện tích Fc đối với trục x C Ta có: ; dz FC QySC Vậy: yz  zy  x (2) - Công thức Jurapski Jxbc 58
  • 17. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng c. Luật phân bố ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt  Mặt cắt chữ nhật. Tính ứng suất tiếp tại điểm D(x,y) h 1h Ta có : Sc  bC.(  y). (  y) x 2 2 2 b.h3 bC = b ; Jx  12 Thay vào công thức Jurapski ta đƣợc h2 2 h2 2 QySC Qy.b.(  y ) 6Qy.(  y ) zy   x 4  4 (3) 3 Jxbc b.h b.h3 2b. 12 Ứng suất tiếp lớn nhất tại y=0 (thuộc đƣờng trung hòa) 3Qy 3Qy max  zy (0)  (4) 2b.h 2F  Mặt cắt chữ I. Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt cắt ngang chữ I. Để đơn giản hóa ta coi mặt cắt gồm 3 hình chữ nhật ghép lại.  Phần lòng: hình chữ nhật rộng d, cao (h-2t) Qy dy2 (l)  zy (Sx  ) (5) Jxd 2 (với Sx : tra bảng)  Phần đế: 2 hình chữ nhật rộng b, cao t Qy h t Qy.x h t (d)  zy .t.x.(  ) .(  ) Jxt 2 2 Jx 2 2 { ứng suất của phần giao giữa lòng và đến không xét đến vì phức tạp và có trị số nhỏ } Thực tế: thấy  zy >> zy ta chỉ xét sụ phân số ƢS tiếp  zy ở phần lòng của mặt cắt. (l) (d)  Tại y=0 (các điểm thuộc đƣờng trung hòa): QySx (l)  max  zy (6) Jxd  Tại điểm K (giao giữa phần lòng và đế): Xét điểm K thuộc phần lòng (blßng  b® (l) lớn) c c ª zy h Qy  d h   2 yK   t  k  S  t  Jxd  x 2  2   (7) 2     59
  • 18. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  Mặt cắt hình tròn Qy zy  (R2  y2) (8) 3Jx QyR2 4Qy Tại y=0 : zy  max   3Jx 3F III. Kiểm tra bền cho dầm – chịu uốn ngang phẳng Xét đoạn dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang chữ nhật (bxh). Nếu tách ra tại các điểm trên dầm những phân tố thì tƣơng ứng có 3 loại trạng thái ứng suất (TTƢS) dựa vào biểu đồ z và zy của mặt cắt ngang.  Phân tố A, A' có  z  max ; zy  0 là phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. min  Phân tố B có z  0; zy  max là phân tố ở trạng thái trƣợt thuần túy.  Phân tố C có z  0; zy  0 là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. Vì tại các điểm trong dầm chịu 3 loại TTƢS khác nhau nên việc kiểm tra bền cho dầm phải tiến hành kiểm tra đồng thời cho 3 loại TTƢS trên. a) Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn: - Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có Mx  Mmax . min - Điểm kiểm tra : điểm có  z  max . min Điều kiện bền: + Vật liệu dẻo : max      (9a) max   k  + Vật liệu dòn :  (9b)  min  n  b) Kiểm tra phân trượt thuần túy: - Mặt cắt kiểm tra : mặt cắt có Qy . max - Điểm kiểm tra : điểm có zy  max . Điều kiện bền: max    (10) Ta có thể tính [] thông qua [] theo thuyết bền nhƣ sau : - Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :       / 2 . - Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất :     / 3 . 60
  • 19. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng c) Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt: - Mặt cắt kiểm tra: mặt cắt có Qy & Mx cùng lớn - Điểm kiểm tra: điểm có z và  zy cùng lớn (điểm K) Điều kiện bền:  Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất : 1  K  4K   2 2 (11)  Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất t  K  3K   2 2 (11’) MC QC .ScK x Trong đó : K  yK ; K  Jx Jx .bc Từ các điều kiện bền (9a,b), (10), (11)  Có 3 dạng bài toán : 1. Kiểm tra bền: theo điều kiện bền (9a) hoặc (9b). Chú ý: Mặt cắt ngang có đƣờng trung hoà không chia đôi chiều cao; Vật liệu dòn  phải quan tâm cả hai mặt cắt có Mx  Mmax min 2. Chọn kích thước mặt cắt ngang : (9,9')  F1   (10)  F2   F  max Fi  (11)  F3  3. Xác định giá trị tải trọng cho phép [P] tác dụng lên dầm: Để giải bài toán không phức tạp, ta xác định [F]S hoặc [P]S sơ bộ theo (a), sau đó kiểm tra cho (b), (c) với các giá trị sơ bộ vừa tìm đƣợc: + Nếu các điều kiện bền thỏa mãn (hoặc vƣợt quá <  5%  chấp nhận đƣợc) thì ta chọn [F] = [F]S hay [P] = [P]S. + Nếu điều kiện nào không thỏa mãn thì ta chọn [F] hay [P] theo điều kiện đó là đủ. ---------------------------------------------------- 61
  • 20. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Ví dụ 1: Kiểm tra bền cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ nếu    16kN/cm2 .    Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực: Qmax  56kN; Mmax  50kNm;  Bước 2: Xác định đặc trƣng hình học: Chia mặt cắt thành 2 hình : Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1) là hệ trục quán tính chính trung tâm. Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2) là hệ trục quán tính chính trung tâm.  Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x1O1y1): 0  4.( 8.6)  O1  (0, 1) x1,O  0 , y1,O   1cm . Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :  20.12  8.6 O2  (0, 5)  1   1  Jx  J(1)  J(2)  (Jx1  y1 F1 )  (Jx2  y 2F2 )   203.12  ( 1)2 .20.12    83.6  ( 5) 2 .8.6   6784cm4 x x 2 2  12   12  S x  4,5.9.12  486(cm3 )  Bước 3: Kiểm tra bền:  Kiểm tra phân tố trạng thái ứng suất đơn: M max 50.102 max   min  n y max  11  8,1kN / cm2     16kN / cm2 (1) Jx 6784  Kiểm tra phân trƣợt thuần túy: (Điểm kiểm tra: điểm ở đƣờng trung hòa) Q max .Sc 56.486   8 kN/ cm2 max  x Jx b C  6784.12  0,33kN/ cm2     2   (2)  Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt: - Chọn mặt cắt kiểm tra: mặt cắt tại bên phải C có QC  40kN, MC  48kNm - Điểm kiểm tra: Điểm B (thuộc phần dƣới): 2 Sc  2.12.(  9)  240(cm3 ) ; yB  8  1 9(cm) ; bC  3  3  6(cm) x 2 MC 48.102 QC .Sc 40.240 B  yB  .9  6,37(kN/cm2) ; B  x   0,24(kN/cm2) Jx 6784 Jx.bc 6784.6 Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:  t  B  4B  6,372  4.0,242  6,38kN/cm2     16kN/cm2 2 2   (3) 62
  • 21. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng (1,2,3)  dầm đảm bảo yêu cầu về bền. Ví dụ 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ biết [  ]=16 kN/cm2  Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực: Mx max  60kNm; Qy  61kN; max  Bước 2: Tính đặc trƣng hình học: 1 1 Jx  J(1)  2J(2)  x x (8b)3 .3b  2. (6b)3 .b 12 12  92b 4 (cm4 ) Jx 92b 4 Wx    23b3 h/ 2 4b S x  S(1)  2S(2)  (4b.3b).2b  2.(b.3b).1,5b  15b 3 x x  Bước 3: Xác định sơ bộ mặt cắt ngang: M max 60.102 max     [ ]  16  b  2,54cm → Chọn b=2,54cm Wx 23b3  Bước 4: Kiểm tra cho hai phân tố còn lại  Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy max  Q max .S x  61.1,5.2,543  0,15kN/ cm2       8kN/ cm2 Jx b c 4 92.2,54 .2,54 2  Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt: - Chọn mặt cắt tại bên trái B: QB  61kN, MB  60kNm - Chọn điểm kiểm tra: điểm D (thuộc phần trên): bc=b=2,54cm b Sc  b.3b.(  3b)  10,5.b3  172,1cm3 x 2 MB 60.102 60.102 D  yD  .3b  .3  11,94(kN / cm2 ) Jx 92.b 4 92.2,54 3 QB .S c x 61.10,5b 3 60.10,5 D   4  2  1,08(kN / cm2 ) Jx .bc 92.b .b 92.2,54 Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: t  D  4D  11,942  4.1,082  12,13kN/ cm2   2 2 Vậy, với kích thƣớc đã chọn, dầm đảm bảo yêu cầu về bền. 63
  • 22. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Ví dụ 3 : Hãy xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên dầm nhƣ hình vẽ : biết [  ]=16 kN/cm2.  Bước 1: Vẽ biểu đồ nội lực: M max  2,5qa2 ; Q max  3qa;  Bước 2: Tính đặc trƣng hình học: Chia mặt cắt thành 2 hình : Hình 1 : b1xh1 = 12x20(cm), (x1O1y1 )là hệ trục quán tính chính trung tâm. Hình 2 : b2xh2 = 6x8(cm) khuyết, (x2O2y2 )là hệ trục quán tính chính trung tâm.  Xác định trọng tâm O của mặt cắt trong hệ tọa độ (x 1O1y1): 0  4.( 8.6)  O  (0, 1) x1,O  0 , y1,O   1cm . Tọa độ trọng tâm 01; 02 trong (xOy) :  1 20.12  8.6 O2  (0, 5)  1   1  Jx  J(1)  J(2)  (Jx1  y1 F1 )  (Jx2  y 2F2 )   203.12  ( 1)2 .20.12    83.6  ( 5) 2 .8.6   6784cm4 x x 2 2  12   12  S x  4,5.9.12  486(cm3 ) .  Bước 3: Xác định sơ bộ tải trọng cho phép [q] M max 2,5qa2 .102 max   min  n y max  11     16kN / cm2  qS  10kN / m . Jx 6784  Bước 4: Với q chọn sơ bộ, kiểm tra bền cho hai phân tố còn lại:  Kiểm tra cho phân tố trƣợt thuần túy: max  Q max .S x  3qa.S x 3.10.2.486   0,36kN/ cm2       8kN/ cm2 Jx bC Jx bC 6784.12 2  Kiểm tra cho phân tố phẳng đặc biệt: - Chọn mặt cắt kiểm tra tại C: QC  2qa , MC  2,5qa2 - Chọn điểm kiểm tra: điểm B (thuộc phần dƣới): 2 Sc  2.12.(  9)  240(cm3 ) ; yB  8  1  9(cm) ; bC  3  3  6(cm) x 2 MC 2,5.10.22.102 QC .Sc x 2.10.2.240 B  yB  .11  13,3(kN / cm2 ) ; B    0,24(kN / cm2 ) Jx 6784 Jx .bc 6784.6 t  B  4B  13,32  4.0,242  13,31kN/ cm2     16kN/ cm2 . 2 2 64
  • 23. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Vậy chọn q=10 kN/m. §4. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm khi uốn Xét dầm chịu uốn ngang phẳng. Xác định phƣơng các ứng suất chính của những phân tố tại các điểm khác nhau trong dầm:  Phân tố tại A, A’ (trạng thái ứng suất đơn): phƣơng chính vuông góc với trục dầm.  Phân tố tại B (trạng thái trƣợt thuần túy): phƣơng chính làm với trục dầm góc 45o.  Phân tố tại C, C’ (trạng thái ứng suất phẳng): Xác định phƣơng chính nhờ vòng tròn MO.  Quỹ đạo của ứng suất chính: là tập hợp các đƣờng cong mà tiếp tuyến tại điểm bất kì trùng với phƣơng chính tại điểm ấy.  lập thành 2 họ đƣờng cong:  Quỹ đạo ứng suất chính nén  Quỹ đạo ứng suất chính kéo (xác định bằng phương pháp thực nghiệm) Ứng dụng: Biết đƣợc quỹ đạo ứng suất chính thì cho phép bố trí vật liệu hợp lý để tăng khả năng chịu lực của dầm VD: Bê tông cốt thép: + Bê tông: chịu nén tốt +Cốt thép: chịu kéo tốt  đặt theo phƣơng quỹ đạo ứng suất chính kéo (VD: Cốt thép vai bò...) 65
  • 24. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng §5. Thế năng biến dạng đàn hồi  Năng lƣợng làm vật thể biến dạng đàn hồi  gọi là năng lƣợng biến dạng đàn hồi  Dầm chịu uốn ngang phẳng: Nói chung các phân tố tại một điểm nào đó của dầm là trạng thái ứng suất phẳng ( 1  3  0,2  0 )  Thế năng riêng biến dạng đàn hồi: 11 3 3 1  U  U1  U2     1  3   3 3  1  2 2 2E 2E (1) 1 2  U  1  3  213  2 2E   Mặt khác:  1 2 1  max    1  42 (2) 2 2  1 2 3  min    1  4 2 (3) 2 2 (1),(2),(3) 2 2 2(1  )  2 2 M2 2 Q2 (Qc )2  x y x U  .    2 y  2 2 2E 2 E 2E 2G 2EJx 2GJx bc y  z 1 (max,min   (  z   y ) 2  4 2 ) zy 2 2  Thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dz: dU   UdV   Udz.a'.F  dz  UdF (V) (F) (F)  M2 x Q2 (Sc )2 y x    2  dU  dz  2 y dF  2 2  (F) 2EJx  (F) 2GJx b c    M2x Q2 (Sc )2   y dF  2GJ2  2 y  dU  dz  2 x 2 dF  (4)  2EJx  (F) x (F) b c   F (Sc )2  b2 dF  y dF 2 Đặt   x Ta có: Jx  J2 x (F) c (F) (4) M2 x Q2 y  dU  dz   dz (5) 2EJ2 x 2GF  Giả sử dầm có chiều dài l và F = const l M2 x l Q2 U   dU   dz    y dz (l) 0 2EJ2 x 0 2GF  Mỗi dạng mặt cắt dầm có  khác nhau   - hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp  Mặt cắt chữ nhật:  = 1,20  Mặt cắt tròn:  = 1,11  Mặt cắt chữ I:  = F/F1 Trong đó: F: Diện tích chữ I 66
  • 25. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng F1: Diện tích phần lòng chữ I (F1 = (h-2t).d) BÀI TẬP CHƢƠNG 6 67
  • 26. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng CHƢƠNG 7. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN §1: Khái niệm Định nghĩa: "Đường đàn hồi là đường cong trục dầm sau khi uốn". Phƣơng trình đƣờng đàn hồi trong hệ (yOz) : y = y(z) Xét điểm K trên trục dầm trƣớc khi uốn, sau khi dầm biến dạng K có vị trí la K' KK’: Chuyển vị thẳng của điểm K  u: Chuyển vị thẳng theo phƣơng ngang v: Chuyển vị thẳng theo phƣơng đứng Thực tế: u << v  bỏ qua chuyển vị ngang u  KK’= v, Vị trí điểm K sau khi dầm biến dạng nằm trên đƣờng thẳng đi qua K. v : độ võng của dầm tại K. v = v(z) = y = y(z) (7.1) : góc xoay của mặt cắt ngang dầm tại K . ’: Góc giữa tiếp tuyến của đƣờng đàn hồi tại điểm K’ với phƣơng ngang.   = ’  tg’=y’(z) (7.2) Trong thực tế tính toán dầm chị uốn, ngoài điều kiện bền cho dầm, ngƣời ta còn phải kiểm tra điều kiện cứng cho dầm. y max  f  Điều kiện cứng:   (7.3) l l  l: Chiều dài nhịp dầm  f: mũi tên độ võng §2: Phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi (Phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi) Trong chƣơng uốn ngang phẳng ta đã thiết lập đƣợc công thức biểu thị mối quan hệ giữa bán kinh cong trục dầm  và mô men uốn Mx, ta có: 1 Mx  (1)  EJx Mặt khác, vì đƣờng đàn hồi là đƣờng cong hình học nên theo hình học vi phân ta có: 1 y ''  (2)  (1  y '2 )3 / 2 y '' M  (1)    x (3) (2) (1  y ' ) 2 3/2 EJx 68
  • 27. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Vì chỉ có duy nhất một đƣờng đàn hồi nên ta phải chọn dấu cho (3) sao cho phù hợp. Xét đoạn dầm chịu uốn trong 2 trƣờng hợp: Ta thấy: y’’ và Mx luôn trái dấu nên ta chọn dấu (-) cho hệ thức (3). Mx  3  (1 y ''' ) y 2 3/2  EJx (7.4) Theo giả thuyết 3 : Biến dạng  bé  nên y’ bé  bỏ qua đại lƣợng y’2.  Ta có phƣơng trình vi phân gần đúng của đƣờng đàn hồi: Mx y ''   (7.5) EJx §3: Các phƣơng pháp xác định đƣờng đàn hồi I. Phƣơng pháp tích phân không xác định Mx Ta thấy rằng Mx = Mx(z)  là hàm của z → (7.5) là phƣơng trình với biến số phân li. EJx Ta có: dy '(z) M (z) M (z) y ''(z)   x  dy '(z)   x dz dz EJx EJx M x dz  y '(z)    C  EJx  tích phân  (7.6)  M x dz  y(z)       C dz  D  EJx     Trong đó: C,D: hằng số tích phân, xác định bằng điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm. M(i) Nếu dầm chia n đoạn  có n biểu thức x (i=1n) Ei J(i) x Từ (7.6)  2n hằng số tích phân Ci, Di , từ điều kiện biên và điều kiện liên tục của dầm ta lập đƣợc hệ 2n phƣơng trình đại số, giải ra ta đƣợc 2n ẩn số Ci, Di. 69
  • 28. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Ví dụ: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ: EJ x=const. Hãy xác định độ võng và góc xoay tại mặt cắt A của dầm Giải: 1. Xác định phản lực và phân đoạn dầm 2. Lập phƣơng trình vi phân Đoạn 1: Dùng mặt cắt 1-1  AB, xét cân bằng phần bên trái: 2 qz1 M(1) qz 2 M(1)   x  y ''1(z1 )   x  1 2 EJ 2EJ  3 qz1 y'1(z1)   C1  6EJ  (0z1a)  qz4  y1(z1)  1  C1z1  D1  24EJ Đoạn 2: Dùng mặt cắt 2-2  BC, xét cân bằng phần bên trái: qa2 qa a M(2)  x  (  z2 )  qaz2 2 1 2 M(2) qaz2 y''2(z2 )   x  EJx EJx  qaz2 y'2(z2 )   C2 2  2EJx  (0z2a)  qaz3  y2(z2 )  2  C2z2  D2  6EJ 3. Xác định Ci, Di :  Điều kiện biên: Tại C: z2 =a, ta có: y'2(a)  0;y2(a)  0  qa3  qa3   C2  0 C2    2EJ  2EJ     qa4  qa4  6EJ  C2a  D2  0 D2    3EJ  Điều kiện liên tục: Tại B: (z1 =a, z2 =0) y'1(a)  y'2 (0); y1(a)  y2 (0)  qa3 qa3  2qa3   C1  0  C2   C1    6EJ 2EJ  3EJ     qa 4 qa4  23qa4  24EJ  C1a  D1  0  D2  D1   3EJ  24EJ 4. Xác định chuyển vị và góc xoay tai A: z1=0 70
  • 29. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng qz1 (2)qa3 4 23qa4 23qa4 y1(z1)   z1   yA  y1(0)  24EJ 3EJ 24EJ 24EJ 3 qz1 2qa3 2qa3 y'1(z1)    y'A  y'1(0)   6EJ 3EJ 3EJ II. Phƣơng pháp đồ toán (phƣơng pháp dầm giả tạo)  Quan hệ giữa Qy, Mx,q(z): dQy dMx d2Mx  q(z);  Qy;  q(z); dz dz dz2 d2 y M  Mặt khác: y ''(z)  2  x ; dz EJx  Giả sử  một dầm giả tạo chịu tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo: Mx qgt   (7.7) EJx  Gọi lực cắt và mômen uốn trên dầm giả tạo là Q gt, Mgt d2Mgt M x d2 y(z)   qgt    dz 2 EJx dz 2 dMgt (z)  y(z)  Mgt (z); y '(z)   Q gt (z) (7.8) dz Trong đó, liên kết của dầm giả tạo phải tƣơng ứng với sự làm việc của dầm thực: y = 0, y’= 0  liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt = 0; Qgt= 0 y ≠ 0, y’ ≠ 0  liên kết ở dầm giả tạo có : Mgt ≠ 0; Qgt ≠ 0  Mét sè tr-êng hîp DÇm thùc DÇm gi¶ t¹o 71
  • 30. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng Mx  Từ (7.7) ta có: qgt  nếu EJx = const, dạng qgt giống dạng biểu đồ Mx. EJx Mx > 0  qqt < 0  qqt   Ta thấy qqt và Mx ngƣợc dấu nhau:  Mx < 0  qqt > 0  qqt    Chú ý: Phần diện tích giới hạn bởi đƣờng cong: Hình  ZC Hình  ZC HL L HL HL 3 4 n 1 n2 2 3 n n 1 HL L HL L 3 8 n 1 2(n  2) Ví dụ: Cho hình vẽ nhƣ bên: dầm có EJx = const chịu lực. Xác định độ võng của dầm: Giải:  Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx  Chọn dầm giả tạo và đặt tải trọng giải tạo. Mx qgt   EJx  Xác định yA và y'A . Dùng mặt cắt qua A và xét cân bằng phần dầm giả tạo bên phải ta có : 1  1 2 1 1  2qa3  y  0 QgtA   F1  F2  EJX  2  qa .a  qa2 .a   3 2  3EJx 72
  • 31. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng 5 3 1 1 35 1 3  23qa4  mA  0 MgtA  F . a  F. a  2 3 1 4 EJx  2  qa a  qa3 a  3 6 4  24EJx 23qa4 2qa3 Vậy: yA  MgtA  ; y'A  QgtA   24EJx 3EJx III. Phƣơng pháp thông số ban đầu  Giả sử dầm chia ra n đoạn.  Xét hai đoạn kề nhau (i) và (i+1). Gọi độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố và đạo hàm tải trong phân bố tƣơng ứng ở 2 đoạn này là : Đoạn i: yi(z),y’i(z), Mi(z), Qi(z), qi(z), q’i(z). Đoạn i+1: yi+1(z), y’i+1(z), Mi+1(z), Qi+1(z), qi+1(z), q’i+1(z).  Giả thiết tại mặt cắt z=a, 6 đại lƣợng trên có bƣớc nhảy là: ya, y’a, Ma, Qa, qa, q’a. (Ví dụ: đoạn nối 2, đoạn ray đƣờng tàu...)  Giả sử đƣờng đàn hồi ở đoạn i đƣợc kéo dài sang đoạn (i+1)  Xét mặt cắt z  a, yi+1(z) = yi(z)+  y(z) (1) _____________________________ Nhắc lại:  Hàm y= f(x). Khai triển Taylor tại x=xo x=xo f '(xo ) f ''(xo ) fi (xo ) fn(xo ) y= f(x) = f(xo ) + (x  xo )  (x  xo )2  ...  (x  xo )i  ...  (x  xo )n 1! 2! i! n! Tại xo = 0  đƣợc chuỗi Macloranh _____________________________  Khai triển Taylor của hàm y(z) tại z = a: y'(a) y''(a) y'''(a) yIV(a) yV(a) y(z)  y(a)  (z  a)  (z  a)2  (z  a)3  (z  a)4  (z  a)5  ... (2) 1! 2! 3! 4! 5! Xác định: y(a), y'(a), y''(a), y'''(a), y(IV) (a), , y(V) (a). y(a)  ya  Theo giả thiết:  (a) y'(a)  y'a  Mi1(z) M(z) Ta có: y''(z)  y''i1 y''i    i (EJ)i1 (EJ)i 1 ki 1 ki1 1  y"(z)  [ki1.Mi1(z)  ki.M(z)] i Với  ;  . EJ EJ (EJ)i EJ (EJ)i1 73
  • 32. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng  1  1 y"(z)  EJ[ki1.Mi1(z)  ki .M(z)] i y''(a)  - EJ[ki1.Mi1(a)  ki.M(a)]i   y'''(z)  - 1 [k .Q (z)  k .Q(z)] y'''(a)  - 1 [k .Q (a)  k .Q(a)]   EJ i1 i1 i i thay za  EJ i1 i1 i i      (b) y(IV) (z)   1 [k .q (z)  k .q(z)] y(IV) (a)   1 [k .q (a)  k .q(a)] i1 i1 i1 i1  EJ i i  EJ i i   y(V) (z)  - 1 [ki1.q'i1(z)  ki.q'i (z)] y(V) (a)  - 1 [ki1.q'i1(a)  ki.q'i (a)]   EJ   EJ ki1.Mi1(a)  ki.M(a) k .Q (a)  ki.Q(a)  yi+1(z) = yi (z) + ya + y 'a(z-a) - thay(a),(b) vµo (2)  i (z  a)2- i1 i1 i (z  a)3+ 2!EJ 3!EJ ki1.qi1(a)  ki.q(a) 4 ki1.q'i1(a)  ki.q'i (a) (7.9) - i (z  a) - (z  a)  ... 5 4!EJ 5!EJ (7.9) Là công thức truy hồi. Nếu biết đƣợc y1(z) ta tìm đƣợc y2(z), y3(z)...→ Xác định y1(z).  Để xác định y1(z) ta xét đoạn i =1, (Giả sử đoạn 0 bên trái đoạn1 có q0(z)  0, y0(z)  0)  Tại mặt cắt z = a = 0, yo = yo ,y’o = y’o , q’o= q’o  Các đại lƣợng tại mặt cắt đầu nút trái dầm (z = 0): yo, y’o, Mo, Qo, qo, q’o  Các thông số ban đầu. Thay i = 0 vào (7.9) với yo(0) = 0, y’o(0) = 0, Mo(0) = 0, Qo(0) = 0, qo(0) = 0, q’o (0) = 0. (7.9) k1.M0z2 k1.Q0z3 k1q0z4 k1.q'0 z5  y1(z) = y0 + y'0z - - - -  ... (7.10) 2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ  Đặc biệt: Ei.Ji = Ei+1.Ji+1 = const  ki = 1 (i = 1,n ) (7.10) M0z2 Q0z3 q0z4 q'0 z5  y1(z) = y0 + y'0 z - - - -  ... (7.11) 2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ (7.9) Ma Q q q'  yi+1(z) = yi (z) +  ya +  y'a (z-a) - (z a)2 - a (z a)3 - a (z  a)4 - a (z  a)5  ... (7.12) 2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ  Ma  Mi1(a)  M(a) = Mf  Mt i   Qa  Qi1(a)  Qi (a) = Qf  Qt Trong đó:   qa  qi1(a)  qi (a) = qf  qt  q'  q' (a) q' (a) = q'  q'  a i1 i f t Lƣu ý dấu: >0 → M > 0 P → Q > 0 q' = tg > 0 <0 → M < 0 P→Q < 0 q' = tg< 0 Chú ý : - Nếu đoạn i và i+1 nối cứng thì : ya = 0, y’a = 0. - Nếu đoạn i và i+1 nối khớp thì : ya = 0, y’a  0. 74
  • 33. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng - Nếu đoạn i và i+1 nối bằng liên kết trƣợt thì : ya  0, y’a = 0. Ví dụ 1: Cho dầm chịu lực nhƣ hình vẽ, dầm có độ cứng EJ = const. Hãy xác định độ võng và góc xoay mặt cắt ngang dầm tại C. Giải: 1. Xác định phản lực liên kết và phân đoạn dầm. - Từ điều kiện cân bằng  VA= 3qa, VB= 4qa. - Chia dầm thành 2 đoạn. 2. Lập bảng thông số. Bảng thông số ban đầu z=0 z = 2a y0 = 0 y = 0 y'0  0 y' = 0 M0 = 0 M = 2qa2 Q0 = 3qa Q = -P= -2qa q0 = -q q = q 2q q’0= 0 q'  3a 3. Viết phƣơng trình độ võng và góc xoáy ở các đoạn dầm M0.z2 Q0.z3 q0.z4 q'0 .z5  Đoạn 1: 0  z  2a : y1(z)  y0  y'0 .z     2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ  3qa.z3 q.z4  y1(z)  y'0 .z    3!EJ 4!EJ  (1)  3qa.z2 qz3  y'1(z)  y'0    2EJ 6EJ  Đoạn 2: 2a  z  5a : M(z  2a)2 Q(z  2a)3 q(z  2a)4 q'(z  2a)5 y2(z)  y1(z)  y  y'(z  2a)     2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ  2qa2.(z  2a)2 2qa.(z  2a)3 q.(z  2a)4 q.(z  2a)5  y2(z)  y1(z)      2!EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a  (2)  y' (z)  y' (z)  2qa .(z  2a)  P.(z  2a)  q.(z  2a)  q.(z  2a) 2 2 3 4   2 1 EJ 2EJ 6EJ 36EJ.a 4. Xác định thông số chƣa biết y'0 = ? Để xác định y’0 ta dùng điều kiện biên: Tại z = 5a ta có y2(5a) = 0 75
  • 34. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng 3qa.(5a)3 q.(5a)4 2qa2.(3a)3 2qa.(3a)3 q.(3a)4 q.(3a)5 y2(5a)  y'0 .5a       0 3!EJ 4!EJ 6EJ 6EJ 24EJ 180EJ.a qa3  125 625 27 27  2309 qa3  y'0  .   9 9    . (3) 3EJ  2 24 8 20  300 EJ 5. Xác định yC, y’C. Thay y’0 vào (1) ta đƣợc:  2309 qa3 qa.z3 q.z4  2309 qa3 qa.(2a)3 q.(2a)4 qa4 y1(z)  . .z   yC  y1(2a)  . .2a    12,06  300 EJ 2EJ 24EJ t¹ i C  300 EJ 2EJ 24EJ EJ    z2a  3 2 3 3 3 2 3  2309.qa 3qa.z q.z  y'  y' (2a)  2309.qa  3qa.(2a)  q.(2a)  3,03. qa  y'1(z)     C 1  300EJ 2EJ 6EJ  300EJ 2EJ 6EJ EJ Ví dụ 2: Cho dầm có EJ = const, chịu lực nhƣ hình vẽ. Tính độ võng và góc xoay tại C (yc, y’c). Giải: 1. Xác định phản lực và phân đoạn. Xét cân bằng dầm AB :  mA = 0  VB = 5,25 qa.  mB = 0  VA = 4,75 qa. Chia dầm thành 3 đoạn. 2. Lập bảng thông số. Bảng thông số ban đầu z=0 z = 3a z = 5a y0 = 0 y = 0 y = 0 y'0  0 y' = 0 y' = 0 M0 = 0 M = - qa2 M = 3qa2 Q0 = 4,75qa Q = -2qa Q = -2qa q0 = 0 q = -q - (-2q) = q q = -2q - (-q) = -q 2q 2q 2q qo '  tg   q'  q'f  qt '  q'  q'f  qt '  3a 3a 3a 3. Viết phƣơng trình đƣờng đàn hồi: Ei.Ji = const  ki = 1 (i = 1,n )  Công thức: (7.11) và (7.12) 4,75qa 3 2q  Đoạn 1: 0  z  3a : y1  z  0  y'0 .z  0  .z  0  .z5 . 3!EJ 3a.5!EJ  4,75qa 3 q y1  z  y'0 .z  3!EJ .z  180EJ.z 5   y'  z  y'  4,75qa .z2  q .z4  1  0 2EJ 36aEJ  Đoạn 2: 3a  z  5a : qa2 2 2qa q 2q y2  z  y1  z  0  0  . z  3a   z  3a3   z  3a4  . z  3a 5 2!EJ 3!EJ 4!EJ 3a.5!EJ  qa2 qa q q y2  z  y1  z  . z  3a   z  3a3   z  3a4  . z  3a 2 5  2EJ 3EJ 24EJ 180aEJ  2  qa qa q q y'2  z  y'1  z  EJ . z  3a  EJ. z  3a  6EJ  z  3a  36aEJ. z  3a 2 3 4   Đoạn 3: 5a  z  8a 76
  • 35. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng 3qa2 2qa q 2q y3  z  y2  z  0   z  5a2   z  5a3   z  5a4   z  5a5 2!E.J 3!E.J 4!E.J 3a.5!E.J  3qa2 1qa q q y3  z  y2  z  . z  5a   z  5a3   z  5a4  . z  5a 2 5  2E.J 3E.J 24E.J 180a.E.J  2  3qa qa q q y'3  z  y'2  z  E.J . z  5a  E.J. z  5a  6E.J  z  5a  36E.J  z  5a 2 3 4  4. Xác định các thông số chƣa biết y'0 = ? Điều kiện biên: Tại B: z = 8a ; y3(8a) = 0 y'0 5. Xác định chuyển vị và góc xoay tại C: yC  y1 3a ; y'C  y'1  3a §4. Bài toán siêu tĩnh Số ẩn số > số phƣơng trình cân bằng  bài toán siêu tĩnh. n = số ẩn số – số phƣơng trình cân bằng. (n – bậc siêu tĩnh)  lập n phƣơng trình bổ sung Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm chịu uốn nhƣ hình vẽ: Giải: 1. Xác định phản lực: Phá bỏ liên kết tại B thay bằng phản lực V B + điều kiện chuyển vị tại B bằng 0 hay : Phƣơng trình bổ sung: yB =0 2. Xác định yB theo phƣơng pháp dầm giả tạo (phƣơng pháp đồ toán): 1 V .l 2 1 ql2 3 yB  MB  gt . B .l. l  . .l. l 2 E.J 3 3 2E.J 4 V .l3 ql4  yB  B  0 3E.J 8E.J 3ql V  B . 8 3. Vẽ biểu đồ Qy, Mx . Độ võng và góc xoay của một số trƣờng hợp đơn giản Độ võng Độ võng Sơ đồ kết cấu Sơ đồ kết cấu Góc xoay Góc xoay 77
  • 36. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng ql4 5ql4 ymax  yB  ymax  yC  8EJ 384EJ ql3 ql3 y'max  y'B  y'max  y'A  6EJ 24EJ Pl3 Pl3 ymax  yB  ymax  yC  3EJ 48EJ Pl2 Pl2 y'max  y'B  y'max  y'A  2EJ 16EJ Ml2 Ml2 ymax  yB  ymax  yC  2EJ 8EJ Ml Ml y'max  y'B  y'max  y'A  EJ 4EJ BÀI TẬP CHƢƠNG 7 78
  • 37. Bµi gi¶ng søc bÒn vËt liÖu Ph¹m thanh hïng 79