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Ejemplos de distribuciones
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Ejemplos de distribuciones

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  • 1. Ejemplos de las distribucionesChristian Michel Álvarez Ramírez
  • 2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI1-Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia laparte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiroes de 0.55 a) Sea x=1, si anota el tiro sino lo hace x=0 determine la media y la varianza de x formulas b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo fallo su equipo no recibie puntos sea el número de puntos anotados ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es asi, encuentre la probabilidad de éxito sino c) Determine la media y la varianza de “y” a) X=1 tiro X=0 sino anota P(x=1) es igual a 0.55 por tanto Bernoulli 0.55 µx (0) (1-0.55)+ (1-0.55)2 (0.55)=.2475 σ2x (0.55)2 (1-0.55)+(1.55)(.55)= .2475 b.) No porque una variable aleatoria de Bernoulli tiene valores posibles 0 y1 los valores de y son 0 y 2 c)(0)(1-.0.55)+c
  • 3. 2-Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, almomento de sacar alguno de ellos ¿Qué probabilidad haypara que pueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342.P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero342.P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707
  • 4. 3-Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál esla probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
  • 5. 4-Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salenen un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz.P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.55-Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para asípoder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con
  • 6. los ojos cerrados, ¿Cual es la probabilidad de que salga elalumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375 DISTRIBUCIÓN POISSON1- El 8% de los registros contables de una empresapresentan algún problema, si un auditor toma una muestra de
  • 7. 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registroscon problemas? n=40 P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=52-Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienedefecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personasal azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros conproblemas?
  • 8. n=40 P=0.08 =103-Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos decontabilidad son muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad deque si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muyinteligentes
  • 9. n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=54-Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcularla probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de elloshablan ruso
  • 10. n=20 P=0.15 P (x=3)= (e^-8) (3^3)/3!=0.2240418 X=3 =35-La producción de televisores en Samsung trae asociadauna probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote omuestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan4 televisores con defectos.
  • 11. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4 =1.7 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL1-En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las
  • 12. cuales se responde declarando “verdadero” o “falso”, elalumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos larespuesta correcta es “verdadero” y decide responder alexamen tirando dos monedas, pone “falso” si ambasmonedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hayuna cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tengaal menos 14 aciertos. Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 losparámetros de la distribución y el punto k a partir del cual secalculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y elpunto k=14. Resultados con Epidat 3.1Cálculo deprobabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n, p)N: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr [X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr [X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertosse sitúa en 0,61.
  • 13. DISTRIBUCIÓN GAMMA1-El número de pacientes que llegan a la consulta de unmédico sigue una distribución de Poisson de media 3pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurramenos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo quetranscurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue unadistribución Gamma (6, 2).Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a, p)a : Escala 6,0000p : Forma 2,0000Punto X 1,0000Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hastaque llegue el segundo paciente es 0,98.
  • 14. 2-El tiempo de reparación, en horas, de una pieza esuna g (0.5, 2). El precio de venta de la misma es de 5 mileuros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuánto debemoscobrar la hora de reparación para obtener un beneficio mediode 3 mil euros?Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio,E (B), sea 3.El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4- K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce queK=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3 mileuros.
  • 15. 3-Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, depacientes que son sometidos a una cierta intervenciónquirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma conparámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad desupervivencia es menor que 0,1.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente,10 años.
  • 16. DISTRIBUCIÓN T STUDENT1-La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen mediaμ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que enuna muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo seainferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillossea inferior a 20.5 mm es del 99.02%
  • 17. 2- El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los quepone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar suprimera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvidaponer el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Idéntica y da nombre a los sucesos que aparecen en elenunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue atiempo a dar su primera clase?SOLUCIÓN:En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio queestamos realizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vidadel profesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completode sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidadde los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en elenunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso “llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T, por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un
  • 18. sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de laprobabilidad total, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemosdirectamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresiónanterior se puede escribir como: P(T¯) = + =0.69
  • 19. 3-Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar estepromedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valory calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentrasatisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá élsacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
  • 20. 4-Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de lossiguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, eneste caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, ennuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posicionesanteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 gradosde libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemoshorizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al valor3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la
  • 21. primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidadacumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Studentpara colas probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999,para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar lasiguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modosimilar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de latabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
  • 22. 5-Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7;0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentilbuscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840
  • 23. DISTRIBUCIÓN NORMAL 1-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) Probabilidad acumulada. 0.7611 z = 0.3594 z = p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. 0.3594 z p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μc) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. 0.2389 0.0367
  • 24. z =z =p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
  • 25. 2-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes depréstamos en Down River Federal Savings tiene unadistribución normal, una media de $70,000 y unadesviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibióuna solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. z =0.6915 0.4013 z = p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
  • 26. c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013 z = p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
  • 27. 3-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μb) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 z = 0.1335 z = 30 35 38.3 μ
  • 28. p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. 0.5910 z = 0.1335 z = p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
  • 29. 4-Las ventas mensuales de silenciadores en el área deRichmond, Virginia, tiene una distribución normal, con unamedia de $1,200 y una desviación estándar de $225. Alfabricante le gustaría establecer niveles de inventario demanera que solo haya 5% de probabilidad de que se agotenlas existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles deinventario? 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500 1.65 z X= 1,571.25 x = 1,571.25
  • 30. 5-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a unauniversidad privada en Estados Unidos era de $20,082.Suponga que la distribución de los costos anuales se rigenpor una distribución de probabilidad normal y que ladesviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantesde universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? 95% ó 0.9500 1.64 z x = 27,462. X= 27,462 75 µ = 20,082 σ = 4,500 z Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =

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