Sistemas de primer orden

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  • 1. Sistemas de primer orden
  • 2. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial de primer orden dc(t ) + a0c(t ) = b0 r (t ) dt La función de transferencia es: b0 C ( s) = R ( s ) s + a0 reacomodando términos también se puede escribir como: donde C ( s) K = R ( s ) τs + 1 b0 , es la ganancia en estado estable, a0 1 τ= , es la constante de tiempo del sistema. a0 1 el valor s = − a0 = − se denomina polo. τ K=
  • 3. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso La salida en Laplace es C ( s) = b0 R( s) s + a0 R( s) = 1 Utilizando transformada inversa de Laplace c(t ) = b0L −1  1    s + a0   Se obtiene la salida en función del tiempo c(t ) = b0e −a0t se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ
  • 4. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 c(t ) b0 t 0 τ 0.367879 b0 2τ 3τ 0.135335 b0 0.049787 b0 4τ 0.018315 b0 respuesta al impulso b0 0.367879 b0 τ t
  • 5. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón de magnitud A La salida en Laplace es b0 C ( s) = R( s) s + a0 A R( s) = s Utilizando transformada inversa de Laplace c(t ) = Ab0L −1   1   s ( s + a0 )   Se obtiene la salida en función del tiempo c(t ) = AK (1 − e −a0t ) Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ
  • 6. Sistemas de primer orden c(t ) t 0 0 τ 0.632120 AK 2τ 0.864664 AK 3τ 0.950212 AK 4τ 0.981684 AK 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 respuesta al escalón AK 0.981684 AK 0.632120 AK τ 4τ t Comentarios: •La constante de tiempo ( τ ) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63.212% del valor final. •Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4τ ) y el del 99,3% (5τ )
  • 7. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa de magnitud A La salida en Laplace es b0 C ( s) = R( s) s + a0 A R( s) = 2 s Utilizando transformada inversa de Laplace c(t ) = Ab0L −1   1  2   s ( s + a0 )  Se obtiene la salida en función del tiempo c(t ) = AK (t − τ ) + AKτ e −a0t r (t ) = At
  • 8. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Nota: Es importante aclarar que la entrada es de pendiente A, mientras que la salida presenta pendiente AK desfasada τ seg. respuesta a la rampa AKτ AKt En otras palabras siempre que la ganancia en estado estable (K) del sistema no sea igual a uno, existirá un error en estado estable infinito. τ error en estado estable c ( t ) = AK ( t − τ ) + AKτ e τ t − a0 t
  • 9. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente: 1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida. 2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función de transferencia. Ejercicio: Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia. 1 I ( s) L = V (s) s + R L Determinar la corriente i (t ) cuando se aplica una entrada escalón de 1volt Desarrollo: No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:
  • 10. Sistemas de primer orden 1 I ( s) R = V (s) L s + 1 R 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1 =K R L R Ganancia en estado estable =τ Constante de tiempo entonces directamente se obtiene la ecuación: R − t 1 i (t ) = (1 − e L ) R 1 R L R L 2 R L 3 R L 4 R t
  • 11. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Ejercicio: Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts. Debe alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarda 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta. Desarrollo: Se define la ganancia en estado estable: Temperatura en estado estable 325 K= = = 2.559 Voltaje de entrada 127 Se determina la constante de tiempo: Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo. τ= 130 = 32.5 4
  • 12. Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 por último se sustituye en la forma: G(s) = K τs + 1 La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es T ( s) 2.559 = V ( s ) 32.5 s + 1 T ( s) 0.078738 = V ( s ) s + 0.30769