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Lugar de las raices
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Lugar de las raices

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  • 1. Lugar de las raíces
  • 2. Lugar de las raíces Los polos de lazo abierto de un sistema representan características propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.
  • 3. Lugar de las raíces Sistema de primer orden ante una entrada escalón: Step Response Respuesta From: U(1) 1.2 1 To: Y(1) Amplitude 7 s+5 1.4 1.4 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (sec.) No cambia el tiempo de respuesta, solo la amplitud. Step Response 5.6 5 To: Y(1) 4 Amplitude 4 7 s+5 From: U(1) 6 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Time (sec.) Step Response 1.4 From: U(1) 1.4 1.2 To: Y(1) 0.7 Amplitude 1 s+2 7 s+5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Time (sec.) 2 2.5 3 El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinámica.
  • 4. Lugar de las raíces Por otra parte Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema. ¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado Entonces: • Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de salida sin alterar su naturaleza. • Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple ganancia. veamos un ejemplo…
  • 5. Lugar de las raíces Sea el sistema de lazo cerrado R (s ) + - K s ( s + 7) B (s ) C (s ) En lazo cerrado C ( s) K = R ( s ) s ( s + 7) + K La ecuación característica es En lazo abierto B( s) K = E ( s ) s ( s + 7) Polos de lazo abierto: s = 0, s = −7 s 2 + 7s + K = 0 Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado (p.l.c) s12 = −3.5 ± 12.25 − K y dependen del valor de K
  • 6. Lugar de las raíces Para diferentes valores de K: polos de lazo cerrado K s = −6.98568 s = −0.014314 1 s = −6.8541 s = −0.1459 10 s = −5 s = −2 s = −3.5 s = −3.5 + j1.5 s = −3.5 s = −3.5 − j1.5 0.1 12.25 14.5 25 112.25 s = −3.5 + j 3.5707 s = −3.5 − j 3.5707 s = −3.5 + j10 s = −3.5 − j10 Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
  • 7. Lugar de las raíces La ubicación de estas raíces en el plano s K = 112.25 K = 0.1 Saltar grá
  • 8. Lugar de las raíces C ( s) 0.1 = 2 R ( s ) s + 7 s + 0.1 p.l.c s1 = −6.98568 s2 = −0.014314
  • 9. Lugar de las raíces C ( s) 1 = 2 R( s) s + 7 s + 1 p.l.c s1 = −6.8541 s2 = −0.01459
  • 10. Lugar de las raíces C ( s) 10 = 2 R ( s ) s + 7 s + 10 p.l.c s1 = −5 s2 = −2
  • 11. Lugar de las raíces C ( s) 12.25 = 2 R ( s ) s + 7 s + 12.25 p.l.c s1 = −3.5 s2 = −3.5
  • 12. Lugar de las raíces C ( s) 25 = 2 R ( s ) s + 7 s + 25 p.l.c s1 = −3.5 + j 3.5707 s2 = −3.5 − j 3.5707
  • 13. Lugar de las raíces C ( s) 112.25 = 2 R ( s ) s + 7 s + 112.25 p.l.c s1 = −3.5 + j10 s2 = −3.5 − j10
  • 14. Lugar de las raíces Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo: Variando el valor de la ganancia K, se tiene acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (región verdeazul). Otro valor fuera de esa región, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K
  • 15. Lugar de las raíces Definición: El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s): Condición de ángulo y magnitud La ecuación característica 1 + G ( s) H ( s) = 0 G ( s ) H ( s ) = −1 por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo: Condición de magnitud G(s) H (s) = 1 Condición de ángulo ∠G ( s ) H ( s) = 180° ± 360°k , k = 0,1,2,... Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.
  • 16. Lugar de las raíces Retomando el ejemplo anterior con G(s) = 112.25 s ( s + 7) p.l.c K = 112.25 s1 = −3.5 + j10 s2 = −3.5 − j10 Condición de magnitud p.l.c. A2 jω j10 A1 p.l.a p.l.a −7 p.l.c. σ − j10 K G(s) = =1 A1 A2 112.25 =1 s ( s + 7) s =−3.5+ j10 Cumple con la condición de magnitud
  • 17. Lugar de las raíces Condición de ángulo p.l.c. p.l.a θ 2 jω j10 ∠G ( s ) = θ1 + θ 2 θ1 σ p.l.a −7 p.l.c. ∠G (s ) = 180° ± 360° − j10 lugar de las raíces 3.5 θ1 = 90° + tg −1   θ 2 = tg −1  10       10   3 .5  ∠G (s ) = 180° Cumple con la condición de ángulo Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud y de ángulo. Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
  • 18. Lugar de las raíces Reglas de construcción para el lugar de las raíces Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de K G ( s) H ( s) = s ( s + 4)( s + 5) 1.- Puntos de origen (k = 0) Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito. polos finitos s = 0, s = −4, s = −5. 2.- Puntos terminales (k = ∞) Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito. ceros finitos no hay Gráfica
  • 19. Lugar de las raíces 3.- Número de ramas separadas N = P−Z P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas. Ramas separadas N = 3−0 = 3 4.- Asíntotas del lugar de las raíces 180o (2 j + 1) θj = N j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1 N = 3, j = 0,1, 2. 180o θ1 = = 60° 3 180o (3) 180o (5) θ2 = = 180° θ 2 = = 300° 3 3
  • 20. Lugar de las raíces 5.- Intersección de las asíntotas con el eje real. ∑ raíces de polos de GH(s) − ∑ raíces de ceros de GH(s) σ1 = N (0 − 4 − 5) − (0) σ1 = = −3 3 6.- Lugar de las raíces sobre el eje real Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar. Gráfica
  • 21. Lugar de las raíces 7.- Ángulos de salida y llegada El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación: o ∠GH ( s ) = ∑ φ p − ∑ φ z = 180 (2 j + 1) En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada. φ5 punto de prueba φ0 − φ0 − φ4 − φ5 = 180° − 180 − φ4 − 0 = 180° φ4 = 0°
  • 22. Lugar de las raíces 8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario jω , por eso se cambia en la Sobre el eje imaginario el valor de s es ecuación característica s → jω . Se obtiene el valor de ω y el de K . 1 + G ( s ) H ( s ) = s 3 + 9 s 2 + 20s + K = 0 ( jω )3 + 9( jω ) 2 + 20( jω ) + K = 0 j = −1 − jω 3 − 9ω 2 + j 20ω + K = 0 se separan las parte real e imaginaria − 9ω 2 + K = 0 − jω 3 + j 20ω = 0 − jω 3 + j 20ω = 0 K = 180 ω = 20
  • 23. Lugar de las raíces 9.- Puntos de separación Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando: dK =0 ds K se despeja de la ecuación característica K = − s 3 − 9s 2 − 20 s dK = −3s 2 − 18s − 20 = 0 ds 3s 2 + 18s + 20 = 0 s = −4.5275 s = −1.4724
  • 24. Lugar de las raíces 10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud. G(s) H (s) = 1
  • 25. Lugar de las raíces Inicio Paso 1 Paso 2 no hay Paso 3 N =3 Paso 4 θ1 = 60° θ 2 = 180° θ 2 = −60° Paso 5 σ 1 = −3 Paso 6 −3
  • 26. Lugar de las raíces Paso 7 j 20 ° φ0 = 180 φ4 = 0 ° φ5 = 180° Paso 8 K = 180 ω = 20 Paso 9 −3 s = −1.4724 Este es el lugar de las raíces del sistema. − j 20
  • 27. Lugar de las raíces Configuraciones típicas del lugar de las raíces K G ( s) H ( s) = s ( s + a )( s + b) K G ( s) H ( s) = 2 ( s + 2s + 5)( s 2 + 4 s + 5)
  • 28. Lugar de las raíces G ( s) H ( s) = K ( s + 1) ( s 2 + 4s + 13) K G ( s) H ( s) = ( s + 1)( s 2 + 4 s + 13)

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