Teknik Digital                                    Pertemuan 91   Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM                 12/13/2011
Aljabar Boolean Ch.12   Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM   12/13/2011
 Aturan-aturan untuk menentukan logika digital, atau       `switching algebra‟        Terkait dengan nilai-nilai Boolean...
Definisi: Ekspresi Boolean     Literal: sebuah variabel atau komplemennya       X′, X, DIN′, TK_L     Ekpresi: literals...
Aksioma     Aksioma       kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1‟-A5‟) minimal yang        diasumsikan benar dan secara meny...
Teorema-teorema variabel tunggal (T1-    T5)    (T1)         X+0=X              (T1′)   X·1=X        (Identities)    (T2) ...
Cont’     Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect       induction)        Karena sebuah variabel switching hanya da...
Teorema-teorema dua dan tiga variabel (T6-       T11)    (T6)     X+Y=Y+X                            (T6′)    X·Y=Y·X     ...
Cont‟     Dualitas:       Tes: 0 & 1, AND & OR   teorema-teorema tetap        benar?       Ya!! …kenapa? … setiap aksio...
Teorema T6, T7        (Commutatif)                        (T6) X + Y = Y + X                        (T6’) X · Y = Y · X   ...
Cont‟      Mirip dengan hukum-hukum komutatif dan        asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari        bilangan-b...
Teorema T8                  (Distributif)                          (T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z)                       ...
Teorema T9, T10                      (Covering)                             (T9) X + X · Y = X                            ...
Teorema T11       (konsensus)                (T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z                (T11’) (X + Y) ·...
Teorema-teorema N-variabel (T12 –         T15)(T12)    X + X + ··· + X = X                                                ...
Thank you !!!16   Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM   12/13/2011
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

09.teknik digital aljabar boolean_01

837 views
729 views

Published on

Published in: Technology, Business
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
837
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
40
Actions
Shares
0
Downloads
49
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

09.teknik digital aljabar boolean_01

  1. 1. Teknik Digital Pertemuan 91 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  2. 2. Aljabar Boolean Ch.12 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  3. 3.  Aturan-aturan untuk menentukan logika digital, atau `switching algebra‟  Terkait dengan nilai-nilai Boolean yaitu 0, 1  Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-variabel – {X, Y, DIN, …}  Perjanjian logika positif  Tegangan (LOW, HIGH) (0, 1)  logika negatif – jarang digunakan  Operator-operator: { · , + , „ , }  Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema …  Membantu untuk mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana dan meningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital3 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  4. 4. Definisi: Ekspresi Boolean  Literal: sebuah variabel atau komplemennya  X′, X, DIN′, TK_L  Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi  X+Y  P·Q · R  A+B · C  ((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′  Persamaan: variabel = ekspresi  P = ((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′4 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  5. 5. Aksioma  Aksioma  kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1‟-A5‟) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching  Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15).5 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  6. 6. Teorema-teorema variabel tunggal (T1- T5) (T1) X+0=X (T1′) X·1=X (Identities) (T2) X+1=1 (T2′) X· 0=0 (Null elements) (T3) X+X=X (T3′) X· X=X (Idempotency) (T4) (X′)′ = X (Involution) (T5) X + X′ = 1 (T5′) X · X′ = 1 (Complements)6 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  7. 7. Cont’  Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect induction)  Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1  Contoh: (T1) X + 0 = X  X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4‟  X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5‟7 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  8. 8. Teorema-teorema dua dan tiga variabel (T6- T11) (T6) X+Y=Y+X (T6′) X·Y=Y·X (Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7′) (X · Y) · Z = X · (Y · Z) (Associativity) (T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8′) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z (Distributivity) (T9) X+X·Y=X (T9′) X · (X + Y) = X (Convering) (T10) X · Y + X · Y′ = X (T10′) (X + Y) · (X + Y′) = X (Combining) (T11) X · Y + X′ · Z + Y · Z = X · Y + X′ · Z (Consensus) (T11′) (X + Y) · (X′ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X′ + Z)8 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  9. 9. Cont‟  Dualitas:  Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-teorema tetap benar?  Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah dual …   Hati-hati dengan` urutan operator (operator precedence ’ dan penggunaan tanda kurung)9 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  10. 10. Teorema T6, T7 (Commutatif) (T6) X + Y = Y + X (T6’) X · Y = Y · X (Assosiatif) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z)10 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  11. 11. Cont‟  Mirip dengan hukum-hukum komutatif dan asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-bilangan bulat dan riil11 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  12. 12. Teorema T8 (Distributif) (T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product- of-sums (POS)) V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z) (bentuk SOP) (bentuk POS) (V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z) Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana  Yang mana lebih logis menurut anda?12 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  13. 13. Teorema T9, T10 (Covering) (T9) X + X · Y = X (T9’) X · (X + Y) = X (Kombinasi) (T10) X · Y + X · Y’ = X (T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X Berguna dalam penyederhanaan fungsi-fungsi logika13 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  14. 14. Teorema T11 (konsensus) (T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z (T11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z) Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X‟·Z:  Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar  Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X‟ · Z harus 1  Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang14 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  15. 15. Teorema-teorema N-variabel (T12 – T15)(T12) X + X + ··· + X = X Generalized(T12’) X · X · ··· · X = X idempotency(T13) (X1 · X2 · ··· · Xn)’ = X1’ + X2’ + ··· + Xn’ DeMorgan‟s theorems(T13’) (X1 + X2 + ··· + Xn)’ = X1’ · X2’ · ··· · Xn’ Generalized(T14) [F(X1, X2, ··· ,Xn, + , · ]’ = F(X1’, X2’, ··· ,Xn’, · , +) DeMorgan‟s theorem(T15) F(X1, X2, ··· ,Xn) = X1 · F(1, X2, ··· ,Xn) + X1’ · F(0, X2, ··· ,Xn) Shannon‟s expansion(T15’) F(X1, X2, ··· ,Xn) = [X1+ F(0, X2, ··· ,Xn) ] · [X1’ + F(1, X2, ··· ,Xn) ] theorems  Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction)  Paling penting: teorema-teorema DeMorgan (T13 & T13‟)15 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
  16. 16. Thank you !!!16 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

×