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Cuaderno de trabajo matematicas financieras lopez larrea
 

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    Cuaderno de trabajo matematicas financieras lopez larrea Cuaderno de trabajo matematicas financieras lopez larrea Document Transcript

    • Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas Cuaderno de trabajo de la materia de MATEMÁTICAS FINANCIERAS M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA FEBRERO 2009
    • INDICEI. Interés Simple 1.1 Concepto 1.2 Monto, Capital, Tasa de interés y tiempo 1.3 Tipos de interés 1.4 Descuento bancario 1.5 Ecuaciones de valor equivalentesII. Interés Compuesto 2.1 Concepto 2.2 Monto 2.3 Tasa nominal y tasa efectiva 2.4 Ecuaciones de valor equivalenteIII. Anualidades 3.1 Concepto 3.2 Anualidades vencidas 3.3 Anualidades anticipadas 3.4 Anualidades diferidasIV. Amortización 4.1 Amortización de una deuda 4.2 Tablas de amortización 4.3 Fondos de amortización 4.4 Tablas de fondos de amortizaciónV. Depreciación 5.1 Concepto 5.2 Método de línea recta 5.3 Método de unidades de producción o de servicio 5.4 Método de suma de dígitos
    • JUSTIFICACIÓNLos presentes apuntes son el resultado de un esfuerzo que pretende integralmente apuntalar losobjetivos de aprendizaje de la materia logrando este fin con el apoyo de la bibliografía oficialcontemplada en el programa de esta materia por lo que se espera sea una herramienta útil para elalumno para poder resolver cualquier problema de carácter técnico que la materia presente.Se logra presentar la solución de problemas de esta materia con un enfoque contable administrativo delcual frecuentemente adolecen los textos que abordan estos temas con ello se facilita la comprensión decada uno de los temas que están integrados en el programa oficial de la materia, esperamos lacolaboración tanto de alumnos como profesores para enriquecer este texto y se asume la posibilidad decualquier equivocación que pudiera aparecer en el mismo.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPÍTULO I. INTERÉS SIMPLE1.1 IntroducciónEl interés tiene una importancia fundamental en la administración de los recursos financieros de unaempresa y de la sociedad. Toda la vasta maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este conceptobásico de pagar por el dinero tomado en préstamo, lo cual nos lleva al concepto central de lasfinanzas de que el capital aumenta su valor en el tiempo, producto del interés que tiene derecho apercibir: Interés Capital Tiempo1.2 Interés Interés: El dinero, como cualquier bien, tiene un precio, que es el interés y éste es el pago por el uso del dinero ajeno o el rendimiento que obtiene un capital y se expresa con “I”. U.M.S.N.H. 1 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.3 Interés simple Interés simple: es aquel que se calcula siempre sobre el capital original, es decir, siempre sobre el mismo capital. Ejemplo de comprensión inicial:Se solicita un préstamo por $10,000 que se acuerda en pagar en tres meses, y al término delperíodo se entregan. $ 10,900. Así los $900 son la ganancia para quien prestó el dinero, o el costo paraquien recibió el préstamo. $ 10,000 Capital C 3 meses tiempo n $ 900 interés I $ 10,900 monto M = capital + interés 0.09 tasa de int. i Trimestral 900 = 0.09 tasa trimestral 10,000 0.09 X 4= 0.36 tasa anual 0.36 / 12 = 0.03 tasa mensual La tasa de interés refleja la relación que existe entre el interés y el capital. La tasa y el tipo deinterés son dos expresiones distintas del mismo concepto. U.M.S.N.H. 2 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Tasa 0.36; tipo 36% Así tenemos que los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdocon el ejemplo anterior: Capital: es la suma prestada o invertida, también se le denomina principal y en otros contextos conocido como valor presente o valor actual Tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y que se mide de la fecha inicial de recepción del préstamo ( o inversión), y hasta la fecha de pago final y puede estar expresada en días o distintas unidades de tiempo Tasa: sea el número de unidades pagadas, por cada 100 unidades de la suma prestada, en la unidad de tiempo, cuando se expresa en decimales se le denomina tasa y cuando se expresa en porcentaje se le llama tipo. Monto: es la suma del capital más los intereses, también se le denomina valor futuro o valor acumulado. Relación tiempo- tasa: es aquella vinculación de correspondencia que existe entre la unidad de tiempo utilizada años, meses, días, etc., y la tasa expresada precisamente en la unidad de tiempo utilizada en el problema matemático, es decir, para una plazo en años, corresponde tasa en años, para plazo en meses corresponde tasa en meses y así sucesivamente.1.4 Diferencia entre interés simple y compuesto. En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el capital, sino sobre el capital más losintereses vencidos no pagados o sea el monto. A este procedimiento se le llama interés compuesto. El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable, enconsecuencia, el interés de cada período de tiempo simple es el mismo. U.M.S.N.H. 3 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Diferencia entre el Interés compuesto el interés simple: el interés en el interés compuesto se calcula sobre el monto y en el interés simple se calcula sobre el capital originalEs común expresar la tasa de interés en períodos que no son anuales. Cuando se trata de interés simple,sencillamente divida éste entre el número de períodos por año.Por Ejemplo:Para obtener la tasa de interés mensual, sólo divida entre 12. Se puede encontrar la tasa, quincenal,diaria, semanal, etc.1.3.1. Fórmula para calcular el interés simple I= CniDonde:I= interésC= capitalN= tiempoi= tasa de interésde la fórmula del interés se extraen las que ayudan a encontrar el capital (C), el tiempo (n) y la tasa deinterés (i). C= I n= I i= I ni Ci Cn1.3.1.1. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo anualEjemplo 1.3.1.1El señor López deposita en un banco que paga el 13% de interés simple anual sobre los depósitos aplazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $ 350,000?Datos: Formula: I = CniC = 350,000n= 1 I =(350,000)(1)(0.13)i = 0.13 I= ? I = $ 45,500 U.M.S.N.H. 4 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.3.1.2. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo mensualEjemplo 1.3.1.1 Caso a) Se adquiere un lote con valor de $ 23,500 que acuerda liquidar realizando un pago deinmediato por $ 3,500 y un pago final 7 meses después. Acepta pagar el 36% de interés simple anual.¿A cuánto ascenderá la cantidad a pagar por concepto de interés, resuélvalo expresando la relación tasay tiempo en forma anual?Datos: Fórmula: I = CniC= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7/12) (0.36)n= 7/12 I = $ 4, 199.99i = 0.36I = incógnitaCaso b) Para resolverlo en relación tasa y tiempo en forma mensualC= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7) (0.36/12)n= 7 I = $ 4, 199.99i = 0.36/12I = incógnita1.3.1.3. Aplicación fórmula de interés simple para determinar capital3.-Un banquero toma dinero prestado al 5% de interés simple anual y lo presta a unos panaderos al10%. Si su utilidad anual neta ascendió a $ 3,600 ¿cuánto dinero prestó?Datos: Fórmula: C= In=1 nii = 0.10 – 0.05 = 0.05 C= 3,600I = 3,600 (1) (0.05) C = $72,000 U.M.S.N.H. 5 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tiempo4.-Una Asociación Civil, invirtió $ 80,000 al 7 1/2% en un depósito a plazos y obtuvo por intereses$3,000 ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?Datos: Fórmula: I = CniC= 80,000 n= In= incógnita Cii = 0.075I = 3000 n= 3000 (80,000) (0.075) n= 0.501.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tasa de interés5.- El gobierno municipal tiene invertidos $ 200,000 durante 3 1/2 años a interés simple y obtiene entotal $ 25,000 de intereses, ¿cuál es el tipo y tasa de de interés ?Datos: Fórmula: I = Cnin = 3.5i = Incógnita i =IC= 200,000 Cn I= 25,000 i = 25,000 (200,000) (3.5) i = 0.0357Ejercicios de reforzamiento6.- Una persona deposita $ 15,000 en un banco y lo retira 8 meses después, recibiendo $6,000 deinterés. ¿Cuál es la tasa de rendimiento que le dieron? U.M.S.N.H. 6 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS7.- Por un crédito de $ 50,000 pactado al 15 % de interés simple anual y a plazo de 10 meses¿Cuál será la cantidad a pagar por concepto de interés?8.- Por un depósito a plazo por $ 36,000 pagan $ 750 de interés mensual. ¿Cuál será la tasa de interéssimple anual?9.- Al comprar en una tienda de departamentos varios artículos, se pagaron $ 1,125 por concepto deinterés por un mes, que corresponden al 1.5 % de interés mensual.¿ A cuánto asciende la deuda?10.- Se obtiene un crédito por $ 60,000 y se pagaron $ 7,200 de interés. Si la hipotecaria cobra el 24%de int. Simple anual.¿ dicha cantidad a cuántos meses corresponden? U.M.S.N.H. 7 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.3.2 Fórmula para calcular el monto a interés simpleMonto: El monto es la suma obtenida de interés más capital. Interés + Con tiempo y tasa se Capital convierte en: e Capital MONTO U.M.S.N.H. 8 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS M = C (1+ ni) Fórmula del monto a Interés simple Ejemplo de comprensión inicial:1.3.2.1 El contador Pérez deposita en un banco a plazos $10,000 y recibe 1 año después un total de$15,000 (incluyendo capital más interés), encuentre monto, capital, intereses y tipo de interés: a) Intereses si: M = C+ I entonces: 15,000 = 10,000 + I ; 15,000 - 10,000 = I , por lo tanto es 5000 = I b) Capital ya que la inversión inicial es de $10,000 por lo tanto este es el importe del capital c) Monto ya que es igual a la suma del capital más los intereses su importe es $15,000 d) Tipo de interés M = 15,000 M = C (1+ ni) sustituyendo: C = 10,000 M = (1+ ni) i = (15,000/10,000) - 1 n=1 C 1 M -1 = ni i = .5 es decir 50 % C M -1 = i C n11.- Una persona toma prestados $ 500 a interés simple, durante 3 años, al 10% ( se conviene en pagarel interés cada año) ¿ Cuánto recibirá en total el acreedor?Datos:C = 400 M = C(1+ ni)n =2 M = (500) [ 1+(3) (0.10) ]i = 0.05M=? M = $ 650 U.M.S.N.H. 9 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS12.- Se obtiene un crédito por $ 18,000 a 6 años con el 24% de int. Simple anual. ¿Qué cantidad debepagar al vencerse su deuda?13.- Si se desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, y suponemos que el enganche que habrá quepagar en esa fecha será de $ 35,000 ¿Qué cantidad debe invertir ahora en su depósito que rinde 2.9%de interés simple mensual?13 - a.- ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 0.34 anual?14.-¿Cuánto tiempo tardarán $ 5,000 en convertirse en $ 8,750 al 25% de interés simple anual? U.M.S.N.H. 10 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS15.-Se depositan en una cuenta de inversión $ 17,000 al cobro en 1 1/2 años nos entregan $21,590 alrealizar el retiro.¿Cuál fue el tipo de interés que otorgó el Banco?16.- Un comerciante adquiere un lote de mcía. Con valor de $ 3,500 que acuerda en liquidar, haciendoun pago inmediato por $ 1,500 y un pago final 4 meses después, Acepta pagar 5% de interés simplemensual sobre su saldo ¿Cuánto deberá pagar ?17.- ¿Cuál es el tipo de interés mensual equivalente a una tasa del 0.165 semestral?18.- Una persona deposita $ 15,000 en un fondo de inversiones bursátiles, que garantiza un rendimientodel 2.8% de int. Simple mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. ¿Cuánto recibe?19) Un banquero desea saber el capital cuyo monto ascenderá a $ 84,000 en 4 años, al 5% de int.simple anual. U.M.S.N.H. 11 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS20.-¿ Cuánto tiempo tardarán $ 8,048 en convertirse en $ 10,462.40 al 5% de int. simple anual?21.- Un señor pasa 2 años en Europa, y deja en bonos $ 96,000. A su vuelta vende los bonos y recibepor ellos $ 104,160. Si la diferencia representa el valor de los cupones acumulados¿Cuál fue el tipo de interés?1.3 Interés simple por menos de un año: En la práctica, casi todos los problemas de interés, implicanalguna fracción de año. El interés es un pago que se hace por el uso de dinero tomado en préstamo; para que el deudorpueda usar el préstamo, es preciso que trascurra tiempo. Para determinar la duración del período de un préstamo, excluye el primer día y se incluye elúltimo Así para un préstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargaría interéspor 23 días.Fijación de la fecha del vencimiento La fecha en que vence un préstamo se fija basándose en la forma en que esté redactada laobligación U.M.S.N.H. 12 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Por ejemplo; si en una transacción de fecha 5 de septiembre, un deudor se compromete adevolver el préstamo a los 4 meses, había que entregar el dinero el 5 de enero. Por otro lado, si otro préstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo mutuo 120días, la devolución habla de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se cuenta el número exactode días, porque el tiempo se ha expresado en días.Tiempo real y tiempo aproximadoExisten situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar demencionar un número de días, meses o años. El tiempo se puede calcular de dos maneras:Tiempo real: contando los días transcurridos (días naturales) 365 o 366 días si es bisiesto, es tambiénllamado exacto.Días inicial y terminal: para llevar las cuentas de los días se recomienda excluir el primer día e incluirel último. Así para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempocomercial transcurrido es de 15 días.Ejemplo:Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de enero del siguiente año.30 – 3 = 27 días de septiembre + 31 “ “ octubre 30 “ “ noviembre 31 “ “ diciembre 15 “ “ eneroTotal: 134 díasTiempo aproximado: Se considera un año teórico de 360 días, con 12 meses de 30 días cada uno. Estetiempo es el utilizado generalmente por los bancos (año comercial).Ejemplo: U.M.S.N.H. 13 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASCalcule los días transcurridos entre el 20 de junio y el 24 de agosto del 2006.24 de agosto de 2006 24 08 200620 de junio de 2006 20 06 2006 4 2 0 días meses añosAsí el tiempo transcurrido aproximado es de 2 meses 4 días, es decir 64 días ya que hemos supuestocada mes de 30 días.Ejercicios de reforzamiento:Hallar el número real y aproximado de días: Real Aproximado1.- el 4 de enero al 4 de septiembre ........................2.- el 9 de marzo al 19 de agosto ............................3.- el 17 de febrero al 13 de mayo ...........................4.- el 11 de noviembre al 13 de marzo ....................5 .- el 5 de octubre al 29 de diciembre ....................* 13 de marzo 13 15 2006 11 de noviembre 11 11 2005 2 4 días meses Años* Esta es la solución del ejercicio No. 4 son 4 meses X 30 días = 120 + 2 días = 122 días En meses, al mes de marzo se le considera como 15 porque el mes de diciembre es el mes 12 más 3 porque el mes demarzo es el tercero del año, y es del año siguiente.22. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días, con 30% de interés anual. ¿Qué cantidad debe pagaral vencerse su deuda?23. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $ 4 000 al 33% anual? U.M.S.N.H. 14 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS24. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $220 000 si suponemos que elvehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual. ¿Cuál será su valor despuésde 2 meses?25. A una persona que es despedida por problemas financieros de la empresa, se le entrega unaindemnización que incluye 3 meses de sueldo, días de antigüedad y descuentos por impuestos, arrojaun saldo neto de $45 000 ¿Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar suliquidación en una inversión que paga el 18% de interés simple anual?26. Una joven tiene 2 deudas: 1. le debe $80 000 a un banco que cobra 3.5% mensual 2. compró a crédito un auto en $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto debe pagar 24% anual durante ese lapso. ¿Cuánto pagará en los próximos 6 meses por concepto de intereses?27. Una compañía de seguros compra $1’000 000 de obligaciones de teléfonos el día 15 de junio y lasvende el 3 de agosto del mismo año. Si cobra un interés simple del 6% anual. ¿Qué cantidad recibirápor concepto de interés al momento de la venta? (tiempo real). U.M.S.N.H. 15 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS28. El día 12 de septiembre se toman prestados $715 al 6% de interés anual y vencen el 12 de enerodel siguiente año. ¿Cuánto pagará al vencimiento? (tiempo aproximado).29.- Una sociedad compró el 17 de junio $1,000 en bonos con interés del 4 1/4 % y los vendió el 26 deSeptiembre del mismo año. ¿Qué interés obtuvo? (tiempo real)30. ¿Cuál será el monto al 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo delmismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual? (calcular el monto con el tiempo real y eltiempo aproximado).31. Una Cía. de maderas tiene en su poder, el pagaré de un cliente por $ 3,470 a 90 días. Si el pagohecho al vencimiento del mismo para su liquidación asciende a $ 3,522.05 ¿Cuál es la tasa del interés?(año comercial o aproximado) U.M.S.N.H. 16 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS32.- Un señor entrega al Bco. el día 27 de junio un cheque por $ 14,158.28 para liquidar un préstamo de$ 14,000.00 que obtuvo el 14 de mayo. ¿Cuál fue el tipo de interés anual? (tiempo real )33.- Una empresa tiene un pagaré de fecha 21 de agosto, que vence el 12 de marzo. Si el interés,calculado a razón del 6% de int. simple anual, asciende a $ 2,182.80 ¿ Cuál es el valor nominal delpagaré? (tiempo real).34.- Una Sociedad pagó $ 2,500.20 al liquidar totalmente su pagaré a la vista por $ 2,400 al 4 1/2%¿Cuánto tiempo habrá estado en circulación el pagaré?35.- El Bco. prestó $1,400 al 5% de interés simple anual, el día 14 de mayo. Si no se quiere pagar másde $ 50 de intereses ¿ Cuándo tendrá que liquidar el préstamo? ( tiempo real ). U.M.S.N.H. 17 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASValor actual o valor presente.El capital y el valor actual, representa lo mismo, sólo que en contextos diferentes; el capital es unacantidad que se invierte ahora, para obtener después un monto superior, y el valor actual es,precisamente el que tiene en este momento, una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fechafutura. Se puede usar indistintamente “C” o “A” para designar un valor presente o valor actual. C= M Fórmula para el valor 1 + ni actual a interés simpleEjemplo:Se desea adquirir un auto dentro de 8 meses. El enganche que se supone debe entregar es de $ 7,000qué cantidad se debe invertir ahora en un depósito de renta fija que rinde el 3.1 % de interés mensual?DATOS:i= 0.031M =7,000C=? C = ? ___________________________ M = $ 7,000n =8 8 Mesesi =0.031 C = M__ 1 + ni C= 7,000___ 1 + (8)(.031) C = $ 5,608.9736.- Encontrar el valor actual de $12 000 a pagar dentro de un año, si la tasa es del 14% de interéssimple anual.37.- Una persona participa en una "tanda" y le toca el décimo octavo mes para cobrar. Si dentro de 18meses recibirá $ 3,000. ¿Cual es el valor actual de la tanda, con un interés simple del 19 % anual? U.M.S.N.H. 18 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS38.- ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado?a) Recibir ahora $3 850b) Recibir $2 000 ahora y otros $2 000 en 2 mesesc) Recibir 3 pagos de $1 400 cada uno a 30, 60 y 90 días.Suponga que al invertir el dinero se gana un interés simple del 31.4% anual39. Una persona compró un automóvil el 1 de enero del 2004 en $90 000 Lo vende el 1 de junio delmismo año, por la cantidad de $96 500.Considerando exclusivamente los valores de compra y venta, y si la tasa de inflación promedio duranteel año pasado fue de 24.5% determine si fue conveniente para esta persona comprar o vender dichoautomóvil.40. El señor Díaz planea llevar a cabo la fiesta de XV años de su hija. Para lo cual requiere la cantidadde $150 000 dentro de 18 meses. ¿Cuánto deberá depositar en una cuenta de valores que rinde el 18%de interés para garantizar los gastos de la fiesta? U.M.S.N.H. 19 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASValor actual de una deuda que devenga interés Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso, el montototal a pagar, es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado.Ejemplo:Una Cía. Tiene un pagaré de $ 600 que vence a los 3 meses, que devenga un interés del 1% mensual.Hállese su valor actual a la tasa del 8.5 de int. Simple anual.DATOS:C =600 M = C ( 1 + ni )n =3i =0.01 M= 600 ( 1+3(.01))M =? M = $ 618.00DATOS:M =618 C= 618____n =3/12 (1+(3/12)(.085)i =0.085C =? C = $ 605.1441.-¿ Cuál será el valor el valor actual de $ 29,000 a pagar dentro de 6 meses, si devenga un interés del1% mensual, y el banco cobra el 18% de int. simple anual?42.- Una empresa tiene la suma de $ 10,000 en cupones de obligaciones que vencen dentro de 39 días.Ganan un interés del 13% anual simple. ¿Cuál es su valor actual al 14 1/2%? (tiempo real) U.M.S.N.H. 20 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.4 Descuento bancarioEl descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancariasy consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés de cuyo valor nominal descuentan unasuma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fechadel vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento.Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: a) el descuento comercial y b) el descuento real o justopara estas operaciones, se usan ciertas expresiones que es necesario conocer:Valor nominal de un pagaré: es el que está inscrito en el documento, para el comercio, se trata delcapital. Si el pagaré no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fechade vencimiento especificada.Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar un dinero, a cambio de una suma mayorcomprometida para la fecha a futuro, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a laoperación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista.Descuento: es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento dedescontar el pagaré.Valor efectivo o líquido de un pagaré: es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dineroque se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual o presentecon descuento bancario.Tipo o tasa de descuento: es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominalque deduce el prestamista, al descontar el pagaré.Plazo: es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Los pagarés sonobligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores a unaño. Fórmula para el descuento comercial D = Mnd Fórmula para calcular el valor líquido de un pagaré con descuento comercial C = M(1-nd) Fórmula para calcular la tasa de d = 1 - C/M descuento n Fórmula para calcular el tiempo o n = 1 – C/M plazo de descuento d U.M.S.N.H. 21 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEjemplo:Encontrar el descuento comercial de un documento con valor nominal de $6 500 tres meses antes de suvencimiento, con un tipo de descuento del 22.4% anual.Datos:C= ?M = 6 500 D = Mnd D = (6 500)(.25)(0.224) = $ 364.00n = 3/12 i = 0.22443. ¿Cuál es el valor comercial de un pagaré con valor nominal de $7 500 si se descuenta con el 33.5%anual, 3 meses antes del vencimiento? (encontrar el descuento comercial ).44. Una persona tiene a su favor un documento suscrito el 1 de enero de este año con un valor nominalde $185 000 con fecha de vencimiento a 10 meses después. Esta persona quiere descontar eldocumento en una institución bancaria que aplica una tasa de descuento del 23% de interés el cualquiere descontar 4 meses antes de su vencimiento. ¿Cuánto recibiría esta persona si se le aplica eldescuento bancario?45.- Una empresa descontó en una institución bancaria un pagaré con un valor nominal de $50 000aplicándole una tasa de descuento comercial 3 meses antes de su vencimiento, recibiendo la cantidad de$46 935 Determine el importe del descuento comercial.46.- En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $30 000 si su fecha de vencimientoera el día 29 de noviembre de este año, el tipo de descuento fue del 41% y el descuento comercial fuede $ 2 125 U.M.S.N.H. 22 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS47.- Una empresa descontó en un banco un documento por el cual recibió $167 000 Si el tipo dedescuento comercial fue del 30% anual y el vencimiento de este era 4 meses después de su descuento.¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?48.- ¿En cuánto se negocia el 15 de marzo un documento con valor nominal de $350 000 vencimientoal 15 de agosto y descuento del 37% anual?49- ¿Cuántos días antes de su vencimiento se comercializa un pagaré en $4 750 si su valor nominal esde $ 5 200 y el descuento es del 26.4% simple anual?50.- Obtenga la tasa de descuento simple anual de un documento cuyo valor nominal es de $2 240 tresmeses antes de vencer.51.- A qué tasa de descuento se aplicó un documento con valor nominal de $60,000, si se descontófaltando 5 meses para su vencimiento, y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500 U.M.S.N.H. 23 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASDescuento de una deuda que devenga interésCuando hay que descontar un pagaré que devenga interés, es preciso hallar primero el monto total apagar y aplicar después el descuento.Ejemplo: El banco descontó el 3 abril, un pagaré de $ 6,300 que tenía esta misma fecha, devengaba el 5% deinterés y vencía el día 3 de mayo: puesto que el tipo del descuento es del 15% anual. ¿Cuál fue eldescuento retenido por el Bco.? (año comercial)DATOS:C = 6,300 M = C ( 1 + ni )n = 30/360i = 0.05 M = 6,300 ( 1+(30/360) (.05))M =? M = $6 326.25S = 6,326.25 D=Sndn = 30/360d = 0.15 D = ( 6,300 )(30/360)(0.015)D=¿ D = $79.0751.- ¿Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6 500recibido el 25 de enero pasado con intereses del 2% mensual y cuyo vencimiento es el 30 de julio?Suponga que la tasa de descuento anual es del 25% (utilizar descuento comercial y tiempo aproximado)52.- Una compañía tiene un pagaré de $6 000 que vence a los 4 meses, que devenga un interés del 2.1%mensual. Hallar su valor líquido si se descuenta en el banco 3 meses antes de su vencimiento y el bancocobra el 25% de descuento anual. U.M.S.N.H. 24 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASDescuento por pronto pagoEl descuento por pronto pago es una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía como unincentivo para pagarla inmediatamente, o dentro de un plazo especificado. Entre los más frecuentes seexpresan en la forma de los siguientes ejem: al contado: 5%; neto 60 días, 3/10 significa 3% en 10 días.Ejemplo: Una Cía. Compra el 18 de mayo enseres de oficina por valor de $ 28,000 y la factura lleva el siguienteencabezado: Condiciones de pagar 3 meses neto, 2/60, 3/30, 4/10, 5 al contado. Si la Cía. Paga el 18 dejunio,¿ Cuál será la cantidad pagada? ( 360 ) 28,000 X 0.03 = 840 28,000 – 840 = $ 27,160.0053.- Se compran mercancías por $17 900 el día 1º de Julio, con las siguientes condiciones de pago:15% al contado, 12/15, 10/30 5/60 y neto en 90 días. Si la factura se liquida el día 8 de agosto,¿cuál será la cantidad a pagar?53(A).- Al comprar mercancías el día 2 de febrero, por $9 750 nos ofrecen las siguientes condicionesde pago: neto, 60 días, 5/30 8/10 10% al contado. Si se liquida la factura el día 25 de febrero, ¿quécantidad se pagará?Descuentos en serie o en cadenaA veces se dan varios descuentos sobre un mismo precio. En cada caso se realiza un descuento despuésde haber deducido el descuento anterior. El orden en que se deduzcan los descuentos no afecta elresultado. Así un precio de venta anunciado como precio de lista " menos el 10%, 20% y 5% esidéntico al precio presentado como precio de lista menos: 5%, 10% y 20%.Ejemplo: 10,000 x 0.10 = 1, 000 10,000 x 0.05 = 500 10, 000 – 1, 000 = 9, 000 10,000 – 500 = 9,500 9,000 x 0.20 = 1,800 9,500 x 0.10 = 950 9,000 – 1,800 = 7,200 9,500 – 950 = 8,550 7,200 x 0.05 = 360 8,550 x 0.20 = 1,710 7,200 – 360 = $ 6,840 8,550 – 1,710 = $ 6,840 U.M.S.N.H. 25 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASDescuento único equivalente a una serie de descuentos¿Cuál es el descuento único equivalente a la serie 5%, 10% y 20% 1.00 1.00 1.00 0.95 X 0.90 X 0.80= 0.684 -0.05 -0.10 -0.20 0.95 0.90 0.80 1.00 - 0.684= 0.31610,000 X 0.684= $ 6,840 Precio neto10,000 X 0.316= $ 3,160 Descuento únicoPorcentaje neto a pagar 0.684 X 100 = 68.4%Porcentaje único equivalente a los tres descuentos: 0.316 X 100 = 31.6%54.- ¿Cuál será el precio neto de una máquina cuyo precio de lista es $ 35,000 si se ofrecen losdescuentos comerciales 20%, 12 1/2, 5% y 2%? ¿ y cuál será el tipo de descuento único?55.- Encontrar el precio neto de una mercancía si su precio de lista es de $ 51,000, y se ofrecen losdescuentos del 8%, 3% ¿Cuál es el porcentaje de descuento que corresponde a los dos descuentos?56.- Encontrar el descuento que se obtendrá por una mercancía cuyo precio de lista el de $34,500 si seofrecen los descuentos del 20%, 10% y 5% y qué porcentaje neto de descuento corresponde? U.M.S.N.H. 26 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASUnos almacenes compran el 2 de enero mercancías por valor de $ 10,000 en las siguientes condiciones:3 meses neto, 3/60,5/30,8/10,10 al contado. Hállese cuál de las a ofertas de descuento pago es la másventajosa para el comprador. Fecha Precio Razón del periodo Tipo de int. de pago pagado Desc. descuento de Desc simp.anual equiv. 2 de abril 10,000 ---- ---- ---- ---- ---- 2 de marzo 9,700 300 300/9700=.030927 30 días (.03092)(360/30)= 0.371124=37.11%2 de febrero 9,500 500 500/9500=.052631 60 días (0.052631)(360/60)= 0.315786=31.57%12 de enero 9,200 800 800/9200=.086956 80 días (0.086956)(360/80)= 0.391302=39.13% 2 de enero 9,000 1,000 1,000/9000=.111111 90 días (0.111111)(360/90)= 0.4444=44.44%Conviene pagar al contado, porque corresponde al tipo de interés anual más alto57 .- Una empresa compro el 1° de septiembre una máquina con valor de $ 70,000 y le ofrecen lossiguientes descuentos: 2 meses neto, 5/45, 6/30, 7/15, si la empresa paga el 17 de septiembre ¿ Quécantidad paga la empresa y en cuál fecha le hubiera convenido pagar? U.M.S.N.H. 27 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1.5 Ecuaciones de valor equivalentesUn problema básico y muy frecuente en las operaciones financieras es que existan operacionesdiferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única.Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto.No se debe olvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha.La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina fecha focal. La fijación de la fecha focal debecorresponder a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en ladeterminación de las cantidades.Ejemplo:Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después se firma otro pagaré por $25000 a 60 días sin interés. Dos meses después de la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20000 en ese momento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 3 meses, conun rendimiento del 8% anual. Determinar el pago único convenido.Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo - valor.A $10 000 X 0 30 60 90 120 150 180 B $25 000 I $20 000Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación devalores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos.Solución:Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pagoContratación de deuda:Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de la deuda A. Datos: C= 10 000 M = C(1+ni) n = 90/360 = 3/12 i = 0.06 M = 10 000(1+ (0.25)(0.06) M=? M = $10 150 Valor al vencimiento Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevo interéspactado A. Datos: C = 10 150 n = 60/360 = 2/12 M = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) ) i = 0.08 M = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo U.M.S.N.H. 28 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Ahora, se calcula el monto para el segundo adeudo, de la fecha de vencimiento al final del nuevo plazopactado. B. Datos: C = 25 000 n = 60/360 = 2/12 M = 25 000 ( 1 + (0.1666)(0.08) ) i = 0.08 M = $25 333.33 Valor al final del nuevo plazoPago:Enseguida se toma el valor del pago de $20 000 que se realizará a cuenta, a los dos meses de pactada laprimera deuda y se encuentra su monto al final del nuevo plazo pactado.Datos: I. C = 20 000 M = 20 000 ( 1 + (3) (0.08/12) ) n=3 i = 0.08/12 M = $20 400Ecuaciones equivalentes: A+B=I+X 10 285.33 + 25 333.33 = 20 400 + X 35 618.66 = 20 400 + X 35 618 .66 - 20 400 = X 15 218.66 = XPor lo tanto el valor del pago al final del nuevo plazo será de $ 15 218.6658. Una persona contrajo una deuda hace 5 meses por $25 000 con 1% mensual de interés y que venceen 5 meses. Además, debe pagar otra deuda de $100 000 contraída hace 2 meses con un interés del18% anual y que vence dentro de 3 meses. Considerando un interés del 20% anual, ¿qué pago deberáhacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 8 meses? AI I I IB I I I I I I I I I I -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X I $100 000 U.M.S.N.H. 29 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS59. Se tiene una deuda contratada hace 4 meses, con vencimiento dentro de 8 meses, por un valor de$50 000 que devenga un interés del 1% mensual. Además se firma el día de hoy otro documento convencimiento a 10 meses, por un valor de $25 000Si dentro de 2 meses se pueden pagar $10 000 y se decide firmar un único documento que sustituya los2 anteriores, con vencimiento a 1 año a partir de hoy y que incluya un interés del 2% mensual. ¿Cuálserá el valor de dicho documento?Ejercicios de reforzamiento:60.- Un niño de 5 años recibirá $120,000 al cumplir 21 años. ¿Cuál es el valor actual de este fondo, siel precio del dinero es del 5%? anual61.- Una persona debía recibir el 15 de Dic. $ 100,000. Necesitando fondos 10 meses antes de dichafecha, tomó prestado una suma de dinero tal, que la cantidad que recibiría el 15 de diciembre bastaríapara pagar la deuda; con el interés del 5% ¿Cuánto dinero tomó prestado? U.M.S.N.H. 30 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS62.- Se obtiene un crédito por $ 1,800 a 160 días con 50% de int. Simple.¿Qué cantidad debe pagar alvencerse su deuda? (360)63.- Que cantidad por concepto de interés mensual produce un capital de $ 4,000 al 33% anual simple?64.- El día que una compañía se declaró en quiebra, tenía una hipoteca que vencía poco después. Elmonto total, a pagar al vencimiento, ascendía a $ 15,450. Si el precio del dinero es el 6 % y el valor dela hipoteca en el momento de la quiebra es $ 15,380.79 ¿Cuántos días han transcurrido desde la quiebrahasta el vencimiento de la quiebra? ( considerar año de 360 días)65.- Se tiene un pagaré de $ 24,000, sin interés, que vence el 19 de junio. El 14 de abril vende dichopagaré y recibe a cambio $ 23,760.42 ¿ A qué tasa de interés se calculó este valor actual?( 360 ) U.M.S.N.H. 31 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS66.- ¿Cuál es el valor actual al 4% de un pagaré de $ 321 que vence dentro de seis meses con interéssimple del 6% anual?67.- Dos meses antes de su vencimiento, se pagó $ 10,115.70 por un pagaré a 120 días, de $ 10,000valor nominal, que devengaba el 6% de interés.¿Cuál fue la tasa de descuento usada para llegar a estevalor actual?68.- Hállese el descuento al 5% del un pagaré que no devenga interés, de $ 1,725, pagadero a los 4meses.69.- Qué cantidad se debe invertir hoy al 2.8% de int. Simple mensual para tener $ 2,000 dentro de dosmeses? U.M.S.N.H. 32 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS70.- Si la tasa de descuento es el 0.05 y $ 432.00 es el importe del descuento sobre una deuda de$35,000. ¿Cuál es el número de días hasta el vencimiento de la deuda? (Considerar año comercial.)71.- ¿Qué cantidad de dinero colocado en una inversión de renta fija que paga 40% de interés simpleanual produce interés mensual por $ 450?72.- Un señor recibió dos ofertas de $ 8,000 por una propiedad. El primero le ofrece $ 3,000 al contadoy $ 5,000 a los seis meses, y el segundo le ofrece $ 5,000 al contado y $ 3,000 al cabo de un año.¿Cuálde las dos ofertas es mas ventajosa desde el punto de vista del valor actual? Considere un interés del8% anual.73.-¿ Qué cantidad se recibió por un documento con valor de $ 1,150, que no devengaba interés, vencíaa los 30 días, si el tipo de descuento era del 5% simple anual? U.M.S.N.H. 33 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS74.- Una persona desea descontar en el Bco. un pagaré a 4 meses. El tipo de descuento del Bco. es el6%. ¿Por qué importe deberá extender el pagaré si desea recibir $ 5,000 como valor líquido?75.- ¿Cuál es la fecha más temprana en que se puede descontar un pagaré de $ 450, que vence el 1° dejunio, si desea recibir $ 441 como valor líquido? El tipo de Desc. Es el 6 %.76.- A qué tasa de interés simple anual, $ 2,500 acumulan intereses por $ 500 en seis meses?77.- Se tiene un pagaré de $ 320 pagadero a los 6 meses, y con un interés del 1.5% mensuales, líquido,si el tipo de descuento fue del 6% anual simple?78.-Un señor recibió $ 1,235.42 como valor liquido de un pagaré a 60 días que descontó en el Bco. Elvalor nominal de dicha pagaré ascendía a $ 1,250.¿Cuál fue el tipo de descuento del Bco.? U.M.S.N.H. 34 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS79.- Cierta compañía vende mercancías por valor de $ 5,882.40 siendo los condiciones de pago 3/10n/60. Hállese el descuento si la factura es pagada dentro del período de descuento.80.- Una mueblería envía mercancía por valor de $ 6,270. Las condiciones de pago indicadas en lafactura son: contado 15%, 10/30, 5/60, n/90 ¿Cuáles son los tipos de interés anual equivalentes a esosdescuentos? ¿Qué es lo que más le conviene hacer al comprador?81.- Para cambiar piso a un almacén, se ofrece un piso en un precio de catálogo de $ 985, con losdescuentos en cadena de 10%, 8% y 15%. Si se aprovechan todos estos descuentos, ¿Cuál es el preciopagado y cuál es el descuento único equivalente?82.- ¿Cuánto debe por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $ 1,200 si la liquida6 meses después y le cobran interés a razón del 60% anual simple? U.M.S.N.H. 35 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS83.- Una persona compro un radio que cuesta $ 1,500. Pago un enganche de $ 800 acuerda en pagarotros $ 800 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simple pagó?84. Una persona contrajo una deuda el día de hoy por $20 000 para pagarse dentro de 10 meses, con latasa de interés del 9.5% anual. Esta persona acuerda con su acreedor pagar 4 meses antes de la fecha devencimiento para lo cual estipulan una nueva tasa de interés del 6.5% anual.Determine el pago equivalente a la deuda originalmente pactada a 10 meses que deberá cubrir 4 mesesantes del vencimiento.Datos: U.M.S.N.H. 36 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPÍTULO II INTERÉS COMPUESTO2.1 Concepto En el interés simple, el capital original sobre el cual se calculan los intereses permanecesin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio,los intereses que se van generando, se van incrementando al capital original en períodos establecidos, ya su vez, van a generar un nuevo interés adicional.En el ámbito de los deudores de la banca esto se ha calificado como: “anatocismo”, que se caracterizapor el cobro de intereses sobre intereses, de manera que los abonos que se hacen a la deuda, en algunoscasos, son insuficientes para cubrir dichos intereses y parte del capital que se debe, lo que da comoresultado que la deuda se incremente en lugar de disminuir a lo largo del tiempo.2.2 Monto Se llama monto de un capital a interés compuesto, a la suma del capital inicial más susintereses.Ejemplo:Encontrar el monto de un capital de $350 colocado a interés compuesto del 4% al cabo de 3 años.Capital inicial 350Tasa de interés X 0.04 14 + 350.00 = 364.00Capital al inicio 2º año 364Tasa de interés X 0.04 14.56 + 364.00 = 378.56Capital al inicio 3er año 378.56Tasa de interés X 0.04 15.14 + 378.56 = $ 393.70Utilizando la fórmula del monto donde:C = 350 i = 0.04n= 3 M= C(1+i)n M = 350 ( 1.04 ) 3 M = $393.70Para el interés compuesto utilizaremos las siguientes fórmulas: Fórmula para calcular el Interés compuesto I = C (1 + i)n -1 I = C (1 + j/m)mn -1 Fórmula para calcular el Monto a Interés compuesto M= C(1+i)n ó M = C ( 1 + j/m )m n U.M.S.N.H. 37 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Fórmula para el valor Valor actual ó capital C = M ó C = M( 1 + i )- n (1+i)n C = M ó C = M( 1 + j/m )-m n ( 1 + j/m) mn Fórmula para encontrar n la tasa de interés i= M -1 C Fórmula para encontrar el tiempo n = log M/C ó n = Log M – Log C log 1 + i Log (1 + j/m)m85.- Un señor deposita $25 000 a interés compuesto del 14% anual, al cabo de 6 años lo retira y quierecomprar un terreno que le cuesta $80 000 ¿Cuánto le falta para completar dicha cantidad?86.- Si se depositan $1 200 en un banco que paga el 4% anual, ¿Cuántos años deben transcurrir parapoder obtener un monto de $1 459.98?87.- ¿Qué capital se debe invertir ahora, para obtener $5 000 dentro de 3 años, invertidos a interéscompuesto del 6% anual?88.- ¿A qué tipo de interés debo invertir $300 para que al final del 5º año me entreguen $1,113.88? U.M.S.N.H. 38 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS2.3 Tasa nominal, tasa efectiva Cuando el interés se capitaliza más de una vez por año, el tipo deinterés anual declarado recibe el nombre de tasa o tipo nominal. Por ejemplo, si el banco dice que pagael 4% sobre los depósitos, capitalizable trimestralmente, en realidad, recibe un poco más del 4% ya quecada tres meses, el capital aumenta con los intereses.Tasa efectiva: se puede definir como aquella que efectivamente se recibe y es mayor a la tasa nominal.Símbolos: i = tasa efectiva j = tasa nominal m = número de capitalizaciones al año Fórmula para calcular la tasa efectiva de i = ( 1 + i ) n– 1 interés i = ( 1 + j/m ) mn – 1 Fórmula para encontrar la tasa nominal jm = m (1 + i)1/m – 1 mn jm = M/C - 1 m El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama“período de capitalización” y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, sellama: frecuencia de conversión y se denota con m. Si el período de capitalización es mensual entonces las siguientes expresiones son equivalentes:“el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente” o “interésnominal mensual”.Los valores más usuales de m son: m = 2 para períodos semestrales m = 3 para períodos cuatrimestrales m = 4 para períodos trimestrales m = 6 para períodos bimestrales m = 12 para períodos mensuales m = 13 para períodos de 28 días m = 24 para períodos quincenales m = 52 para períodos semanales m = 360 ó 365 para períodos diarios U.M.S.N.H. 39 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS89.- El banco paga a sus depositantes, interés a la tasa del 4 ½ % con capitalización semestral. Si sedeja en depósito por un año $500 ¿Qué cantidad se le deberá al depositante al final del plazo?90.- Una empresa obtiene un préstamo de habilitación por $150 000, el cual documenta con un pagarécon vencimiento a 3 años y que estipula intereses trimestrales del 6% liquidables al momento de lafirma del documento ¿cuál será la cantidad líquida que reciba la empresa?91.- ¿Qué capital total se habrá reunido después de tres y medio años, si se depositan $1,000 a interéscompuesto del 16% convertible trimestralmente?92.- Una persona depositó $6 000 en un banco que paga a sus depositantes el 3% anual, capitalizablemensualmente. ¿Cuántos años tardará dicho depósito en llegar a $7 500?93.- ¿Cuál será el interés compuesto de $3 000 al 7% de interés anual durante 6 años; y cuál el de $3000 también al 7% en 6 años, pero con capitalización quincenal? U.M.S.N.H. 40 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS94.- Se desea formar un fondo de $25 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositarse hoy si elbanco paga un interés del 11% capitalizable bimestralmente?95.- ¿Qué tasa de interés nominal capitalizable trimestralmente, tendría que recibirse para que undepósito inicial de $1 650 llegue a la suma de $2 340 al final del 10º año?96.- ¿Cuánto tiempo tardarán $12 000 en llegar a $15 220 si se depositan en una cuenta que rinde el13% anual con capitalización bimestral?97.- Un banco paga a sus depositantes el 15% capitalizable cada 28 días, en tanto que otro banco pagael mismo interés pero capitalizable por semestres. Hallar el tipo anual efectivo en cada caso.98.- Si la inflación mensual promedio durante 6 meses ha sido del 1.2% ¿De cuánto será la acumuladaen el semestre? U.M.S.N.H. 41 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS99.- ¿Cuál será el porcentaje de la inflación en el primer cuatrimestre del año, si en los meses de enero,febrero, marzo y abril fue del 1.2, 0.9, 1.3 y 1.5% respectivamente?100.- ¿Cuál será la tasa nominal anual con capitalización mensual a la que se capitalizaron $50 000durante tres meses para que nos entregaran $50 753.75 al final del plazo?101.- ¿Cuántos puntos porcentuales varió el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la BolsaMexicana de Valores, en 5 días de la semana, si el lunes aumentó 2.17%, el martes cerró a la baja en1.92%, el miércoles creció 1.78 puntos, el jueves creció 1.51 y el viernes bajó 0.23%?2.4 Ecuaciones de valor equivalentePara plantear y resolver problemas financieros, ya estudiamos apoyándonos con diagramas de tiempo,que nos facilitan para ubicar los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estosdesplazamientos nos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema,hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia; teniendo todas lascantidades en esa fecha, separamos los que correspondan a las deudas y los que correspondan a lospagos.Así agrupamos por una parte las deudas en el “debe” y por otro lado los pagos en el “haber”,estableciendo una igualdad que conocemos como ecuaciones de valor equivalente o simplementeecuaciones de valor.Después esta ecuación se resuelve despejando la incógnita que en ella aparezca para lograr la solucióndel problema. U.M.S.N.H. 42 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEsta solución varía un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratándose de interéssimple, pero cuando el interés es compuesto, la solución es la misma para cualquier ubicación de lafecha focal.Ejemplo:Se deben $10 000 a un plazo de dos años y otros $20 000 a cinco años. Con el acreedor se acuerda enefectuar un pago único al final del plazo, conviniendo en un interés del 8% anual capitalizablesemestralmente. Calcular el pago único.Elaboramos el diagrama de tiempo: $10 000 $20 000 I I I I I I 0 1 2 3 4 5 Pago XLa deuda de $10 000 se llevaría a un valor futuro al 5º año, por lo tanto encontraremos el monto. Los$20 000 únicamente se suman puesto que en esa fecha sería el pago.Datos:C = 10 000 n = 3 x 2 = 6 semestres i = 0.08/ 2 = 0.04M=¿ Deudas Pago 610,000(1.04) + 20 000 = X 12 653.19 + 20 000 = X 32 653.19 = XPor lo tanto el pago único sería de $32 653.19Como mencionamos que puede tomarse cualquier otra fecha focal y que el resultado sería el mismo,tomemos ahora como fecha focal el 0 es decir la fecha de contratación de la deuda: $10 000 $20 000 I I I I I I 0 1 2 3 4 5 Pago XAhora llevaremos a un valor actual las cantidades, es decir le restaremos los intereses y las igualaremosal pago a realizar:Datos:M = 10 000i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)n = 2 x 2 = 4 semestresC=? U.M.S.N.H. 43 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASM = 20 000i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral)n = 5 x 2 = 10 semestresC=¿10 000(1.04)-4 + 20 000 (1.04)-10 = X ( 1.04)-10 8 548.04 + 13 511.28 = X (0.675564) 22 059.32 = X 0.675564 $32 653.18 = XEncontramos que es la misma cantidad, $32 653.18102.- Se tiene una deuda contratada de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno, a 3 y6 meses. Si se desea liquidar en 3 pagos bimestrales; si el primero es de $100 000 el segundo de $200000 ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente?b) Y suponiendo que el pago se realice en el mes 0 ? $250 000 $250 000 I I I I I I I 0 1 2 3 4 5 6 $100 000 $200 000 X U.M.S.N.H. 44 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS103.- Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otrode $50 000 en un año y medio. ¿Qué cantidad debería pagar para liquidar la deuda en un solo pago?a) en este momentob) en un añoLa tasa de interés es de 20% convertible mensualmente. U.M.S.N.H. 45 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS104.- Una persona debe $25 000 a pagar en un año. Abona $5 000 a los a los 4 meses y $7,000 a los 6meses. ¿qué cantidad debe entregar a los 10 meses para liquidar la deuda si se considera un interés del18% anual? U.M.S.N.H. 46 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEjercicios de reforzamiento:105.- ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al añocapital e interés a una tasa aplicada de 0.24 anual convertible trimestralmente?106.- ¿Qué cantidad debería liquidarse en el préstamo del problema anterior, si se pagara al cabo de 10meses?107.- Se adquirió un sitio de construcción para una nueva gasolinera hace 10 años en $50,000. El sitiofue vendido hace poco en $120,000. Haciendo a un lado cualquier impuesto, determine la lasa deinterés obtenida sobre la inversión, con capitalización mensual.108.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a un interés del 0.15convertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15 meses.¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si se depositó $12,000?109.- ¿Por qué cantidad es un pago a los 5 meses de la compra de un televisor, si se dio un enganche dede $5,800 que corresponden al 40% del precio y se tienen cargos del 24% anual capitalizablemensualmente? U.M.S.N.H. 47 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS110.- El 6 de enero, cierta compañía compra materiales para la construcción de un edificio dedepartamentos, suscribiendo dos documentos con valor nominal de $135,000 y $82,000 y cuyovencimiento respectivamente es el 19 de marzo y el 12 de mayo siguientes, cuyos intereses son del23% anual capitalizable mensualmente. Determine:a) el precio de contado de los materialesb) el cargo por concepto de interesesc) el valor líquido de los dos documentos el 15 de febrero con un descuento del 24% simple anual.111.- Para disponer de $7,250 el 2 de ju1io, el 15 de enero anterior cuánto debe invertirse al 25% deinterés efectivo. (Considerar año comercial).112.- El 10 de agosto se consigue un crédito suscribiendo dos pagarés uno de $7,200 y otro de $6,500que vencen el 25 de septiembre y el 15 de octubre respectivamente. Poco antes de hacer el primerabono se conviene en reemplazarlos por dos iguales al 1º de octubre y al 10 de noviembre.a) ¿por cuánto fue el crédito?b) ¿por qué cantidad es cada uno de los nuevos pagos?Suponga intereses del 27.72% compuesto por días. U.M.S.N.H. 48 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS114.- ¿Cuánto tiempo tardarán $18,000 en ascender a $22,000 con una tasa nominal del 8%capitalizable trimestralmente?115.- Una persona tiene 4 adeudos de $7,000 $15,000 $12,000 y $13,500 que vencen respectivamenteel 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre; todos devengan intereses del 34.20%,capitalizable por días. En una reunión acuerda con sus acreedores hacerles 3 pagos iguales elquinceavo día de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros. ¿De cuánto es cadauno? U.M.S.N.H. 49 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPITULO III ANUALIDADES3.1 Concepto Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos fijos de tiempo,aún para períodos inferiores a un año. Son ejemplo de anualidades: Los pagos mensuales por renta El cobro quincenal o semanal de sueldos o salarios Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y sedenomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer período de pago y elfinal del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. También hay ocasiones enlas que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos enintervalos iguales.Tipos de anualidadesLa variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos deellas. La clasificación que se hace corresponde a los siguientes criterios: Criterio Tipos de anualidadesa) Tiempo Ciertas (sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejem. Las letras de pago de la compra de un auto.) Contingentes (la fecha del primer pago o del último no se fijan de antemano. Porque dependen de un hecho que no se sabe cuándo ocurrirá. Ejem. Renta vitalicia a un cónyuge al morir el otro)b) Intereses Simples (cuando el período de pago coincide con el de capitalización de intereses.Ejem. pago de renta mensual y capitalización mensual de intereses. Generales (el período de pago no coincide con el período de capitalizac. Ejem. Pago de renta semestral y capitalización mensual.)c) Pagos Vencidos (se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento. Ejem. Pago de Luz, tel, sueldos.) Anticipados (los pagos se realizan al principio de cada período. Ejem. El pago de la renta.)d) Iniciación Inmediatos (la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el período que sigue inmediatamente a la formalización del trato. ) Diferidos (se acuerda que al adquirir algún artículo a crédito, la primera de las mensualidades se hará por ejemplo, 3 meses después.) U.M.S.N.H. 50 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASDe acuerdo con la anterior clasificación se puede distinguir diversos tipos de anualidades: inmediatas vencidas diferidas ciertas anticipadas inmediatas diferidas simples inmediatas vencidas diferidas contingentes inmediatas anticipadas diferidasAnualidades inmediatas vencidas diferidas ciertas anticipadas inmediatas generales diferidas inmediatas vencidas diferidas contingentes anticipadas inmediatas diferidas2.2 Anualidades vencidas De estos 16 tipos de anualidades, analizaremos algunas de ellas, de las máscomunes, y comenzaremos con las simples, ciertas, vencidas e inmediatas.Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:R la renta o pago por períodoA el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presenteM el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al final de la operaciónn tiempoi tasa de interés U.M.S.N.H. 51 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEjemplo:Se tiene derecho a percibir $500 mensuales durante 5 meses, en anualidad vencida. Determinar quécantidad se acumularía en una cuenta de inversiones que rinde el 24% anual convertible mensualmente. I 0 1 2 3 4 5 $500 $500 $500 $500 $500Datos:R = 500n=5i = 0.24/12= 0.02Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: M = C ( 1 + i ) n para cada unode los depósitos, que gana interés por el tiempo que dura la anualidad.Primer mes 500(1.02)4 = 541.21 está depositado durante 4 mesessegundo mes 500(1.02)3 = 530.60 está depositado durante 3 mesestercer mes 500(1.02)2 = 520.20 está depositado durante 2 mesescuarto mes 500(1.02)1 = 510.00 está depositado durante 1 mesquinto mes 500 = 500.00 únicamente se suma, en ese momento se deposita total = $2 602.01Fórmula para obtener el montode una anualidad simple, cierta M = R (1 + i) n – 1vencida e inmediata iSi aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:Datos:R = 500n=5i = 0.24/12= 0.02 M = 500 (1.02)5 – 1 0.02 M = $ 2 602.02Encontramos el mismo resultado. U.M.S.N.H. 52 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASSi queremos encontrar el valor de la anualidad al principio, aplicamos el valor presente. 0 1 2 3 4 5 $500 $500 $500 $500 $500Datos:R = 500n=5i = 0.24/12= 0.02Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: C = M ( 1 + i )-n para cada unode los depósitos, restando el interés por el tiempo que dura la anualidad.Primer mes 500(1.02)-1 = 490.19 se resta el interés de 1 messegundo mes 500(1.02)-2 = 480.58 se resta el interés de 2 mesestercer mes 500(1.02)-3 = 471.16 se resta el interés de 3 mesescuarto mes 500(1.02)-4 = 461.92 se resta el interés de 4 mesesquinto mes 500(1.02)-5 = 452.86 se resta el interés de 5 meses total = $2 356.71Fórmula para encontrar 1 1el valor actual de una anualidad A = R 1 - ( 1 + i )n A = R 1 - ( 1 + j/m )m n vencida i ( j/m)Si aplicamos la fórmula al ejercicio anterior:Datos:R = 500n=5i = 0.24/12= 0.02 1 1 - (1.02 ) 5 A = 500 0.02 A = $ 2 356.72Así encontramos la misma respuesta.Ejercicios: U.M.S.N.H. 53 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS1. Se obtiene un contrato de arrendamiento de un solar por 9 años, comprometiéndose a pagar $42 000 al final de cada año. ¿Cuál será la cantidad reunida al final del contrato, si la cuenta rinde un interés del 11.5 % anual?2. Una persona depositó $1 000 al final de cada semestre, durante 12 años. Si no retiró ninguna cantidad durante este tiempo y el banco le abonó el 14% anual capitalizable semestralmente ¿Con qué cantidad contó al final?3. Se depositaron $400 al final de cada mes durante 2 años. El banco otorga un interés del 14% anual con capitalización mensual. ¿Cuál será el monto y el valor actual de dichos depósitos?4. Un señor desea asegurar una renta de $20 000 semestrales durante 5 años a su hija que estudiará en otra ciudad. Encontrar a la tasa del 6% capitalizable semestralmente la cantidad que deberá depositar ahora en el banco. U.M.S.N.H. 54 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASAhora obtendremos el valor de la renta, cuando conocemos el monto y el valor actualFórmula para obtener la renta i ( j/mde una anualidad vencida cuando R=M (1+i)n -1 R=M ( 1+ j/m ) m n - 1se conoce el monto de laanualidad.Fórmula para obtener la renta i (j/m)de una anualidad vencida, cuando R = A 1 - ( 1 + i )- n R = A 1 - ( 1 + j/m )-mnse conoce el valor actual de laanualidad.5. Una compañía desea establecer un fondo de amortización para pagar unas obligaciones, con valor de $300 000 que vencen dentro de 8 años. ¿Cuál será el valor de los pagos que tienen que ponerse aparte cada año, e invertirse al 10% capitalizable anualmente?6. Para comenzar un negocio al final de su carrera, una joven debe contar con $100 000 ¿Cuánto tendrá que ahorrar cada bimestre en una cuenta que le reditúa el 7.9% anual capitalizable bimestralmente, ahora que apenas ingresa? (5 años)7. Una compañía inmobiliaria compra terrenos que le cuestan $1 200 000. Paga $200,000 al contado y se compromete a pagar el resto, con el interés del 14% anual con capitalización mensual, en 12 pagos mensuales. ¿Cuál será el importe de cada pago?8. Una empresa contrata una deuda de $100 000 con un banco. Si éste carga a esta tipo de préstamos el 40% anual convertible bimestralmente cuánto tendrá que pagar la empresa bimestralmente para saldar su deuda en un año y medio? U.M.S.N.H. 55 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASFórmula que da el tiempo Log (M i + R) – Log R Log (M j/m + R) – Log Ren una anualidad vencida n= Log ( 1 + i ) n= Log ( 1 + j/m )cuando se conoce el montoFórmula que da el tiempo 1 1en una anualidad vencida n = Log 1 – A i n = Log 1– A(j/m)cuando se conoce el R Rvalor actual Log ( 1 + i ) Log (1 + j/m )9. El presidente de una compañía persuade a los consejeros que debe crearse un fondo de pensiones de $ 1 000 000. Autorizan el pago de $15 000 al fondo a final de cada año. Si el fondo gana el 5% de interés anual ¿Cuánto tiempo se necesitará para reunir el total? R= 30.05 años10. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de $1 615 si se invierten a una tasa del 15% anual convertible bimestralmente?11. ¿Cuántos pagos de $94.76 al final de cada mes, tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $850 si da un enganche de $350 y acuerda pagar 45.6% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?12. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $145 se tendrían que hacer para saldar una deuda, pagadera hoy de $800 si el primer pago se realiza dentro de dos meses y el interés es de 11% bimestral? U.M.S.N.H. 56 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEn las anualidades vencidas estudiadas, los pagos o rentas de la anualidad coincidían con lascapitalizaciones de intereses es decir eran simples ahora tendremos ejemplos de anualidades generalescuando no coinciden el período de pago de la renta con el pago de intereses. Así que serán anualidadesgenerales, ciertas, vencidas e inmediatas.Es conveniente que hagamos una lista de los símbolos que utilizaremos:R la renta o pago por períodoA el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presenteM el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al final de la operaciónn tiempoi tasa de interés efectivaj tasa nominal anual de interésm número de capitalizaciones del interés al añop número de veces que se realiza el pago de una anualidad por añoPara la solución de estos problemas debemos considerar la tasa, el tiempo, las capitalizaciones deintereses y los pagos que se realizarán, todos anuales.Fórmula para el monto de unaanualidad, pagadera p veces ( 1 + j/m ) mn – 1por año y con un interés M= R m/pcapitalizable m veces por año p (1 + j/m ) –1Fórmula para encontrar el valor 1 – (1 + j/m )-mnactual de una anualidad pagadera A=Rp veces por año y con un interés p (1 + j/m ) m/p – 1capitalizable m veces por añoEjemplo:Se depositan al final de cada semestre, $400 en un banco que abona el 4% de interés capitalizablemensualmente. ¿Cuál será el monto de esta cuenta al final del 10º año?Datos:R = 400 X 2 = 800 ( 1 + j/m ) mn – 1 1 + (0.04/12)12x10- 1j = 0.04 M = 800 m/pm = 12 M = R p (1 + j/m ) –1 2 (1+ 0.04/12) 12/2 – 1n = 10p=2M=¿ M = $ 9 735.16 U.M.S.N.H. 57 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS13. Una persona decide acumular un fondo para su retiro. Si invierte $250 quincenales durante 8 años y el fondo le produce el 16% de interés anual capitalizable cada 28 días ¿Cuál será la cantidad que logre reunir?14. ¿Cuánto acumularía una renta de $332 pagaderos durante 10 bimestres vencidos, si el interés es del 5.4% trimestral?15. Un banco abona a sus depositantes el 10% de interés, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad deberá depositarse en ese banco ahora, para que se asegure una renta de $125 mensuales durante 3 años?16. Para crear un fondo para contingencias futuras, se ha calculado depositar $1 250 al final de cada trimestre durante 10 años. Se toma la decisión de realizar un depósito de una cantidad tal, que depositada en una cuenta que otorga el 14% anual capitalizable por cuatrimestres, en el mismo tiempo se llegará a la cantidad fijada. U.M.S.N.H. 58 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS3.3 Anualidades anticipadasAnalizando sus características podríamos decir que son: Simples, porque el período de pago corresponde al de capitalización Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen Anticipadas, porque el inicio de pagos y la capitalización de intereses se hacen al principio del período Inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo período en el que se formaliza la operación R R R R I I I I . . . . . . 1 2 3 4Fórmula para obtener el ( 1 + i ) n+1– 1Monto en una anualidad M=R i -1anticipadaEjemplo:Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $50 al principio de cada mes. Si la cuenta paga el 2.3% mensual deinterés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año?Datos:R = 50 i = 0.023n = 12 ( 1.023 ) 12 + 1 – 1M= M = 50 0.023 - 1 M = $697.7217. Una compañía deposita al principio de cada año $20 000 en una cuenta de ahorros que abona el 7% ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años?18. Se hace una inversión de $200 al principio de cada mes durante 10 meses. Si el interés es del 6% mensual ¿Cuál será el valor acumulativo de esta cuenta al final del período? U.M.S.N.H. 59 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASFórmula para obtener el 1 - ( 1 + i ) – ( n – 1)Valor actual en una anualidad A=R i +1anticipadaEjemplo:Una empresa alquila un edificio por un año, conviniendo en pagar $4 000 mensuales, pagando pormensualidad anticipada, con una tasa del 12% con capitalización mensual. Hallar el valor actual delalquiler.Datos:R = 4 000 1 - ( 1.01 ) – ( 12 – 1) i = 0.12/12 = 0.01 A = 4 000 0.01 +1n = 12 A = $ 45 470.5119. La prima de una póliza de seguro de vida, es de $60 por trimestre, pagadera por anticipado. Encontrar el equivalente de contado de primas anuales si la compañía de seguros cobra el 6% anual, capitalizable trimestralmente, por el privilegio de pagar de esta forma en lugar de pagar de inmediato todo el año.20. Calcúlese el valor actual de 9 pagos bimestrales anticipados de $500 con interés anual del 63.36% con capitalización bimestral. También si se hacen vencidos, determínese y explique la diferencia. U.M.S.N.H. 60 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS3.3 Anualidades diferidasEstas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecuta en el primer período o la últimano se hace en el último.El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatasutilizando las fórmulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizandola fórmula del interés compuesto, tal como se aprecia en los siguientes ejemplos.Ejemplo 1:Aeromexicana ofrece la promoción “Viaje ahora y pague después”, que consiste en liquidar el preciodel pasaje en 10 quincenas vencidas, empezando 3 meses después de haber viajado, ¿cuánto pagará ellicenciado José Luis si el precio de sus boletos fue de $8,320 y le cargan el 28.32% de interés anualcompuesto anticipado por quincenas? $ 8,320 .... 1 ... 5 6 7 .... 15Se calcula el monto de los $8,320 transcurridas 5 quincenas y es: M= C(1+i)n M = 8,320 ( 1 + 0.2832/24)5 = $ 8,822.60Ahora se encuentra el valor de las 10 rentas quincenales: i R = A 1 - ( 1 + i )- n 0. 0118 R = 8,822.60 = $ 940.53 1 – ( 1.0118) - 1021. El testamento del Sr. Reyes estipula, que el Asilo de Ancianos recibirá, después de transcurridos10 años, una renta trimestral de $2,200 durante 20 años, a pagar al final de cada trimestre. Si el interéses del 4% capitalizable semestralmente, hállese el valor actual de este legado. U.M.S.N.H. 61 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS22. Una escuela adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $30 000 y 7 mensualidades de$15 000 cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra, ¿Cuál es el precio del equipo, sise están cobrando intereses del 29.04% anual compuesto por meses?23. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago serealiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.24. ¿Cuál es el valor actual de la anualidad anterior?25. En agosto un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con este planuna persona compra una computadora que recibe el 1º de septiembre y debe pagar en 12 mensualidadesde $250 a partir del 1º de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual convertiblemensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora? U.M.S.N.H. 62 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEjercicios de reforzamiento:26. Una persona deposita $1 500 cada fin de mes en una cuenta de ahorros que abona el 18% de interésanual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el 8º depósito?27. Un señor queda incapacitado a consecuencia de un accidente, la empresa lo indemniza con $200000 Si el banco otorga el 14.5% de interés capitalizable mensualmente, ¿Qué renta mensual podríaobtener para los próximos 40 años?28.¿Qué cantidad deberá invertir una persona que desea obtener una mensualidad de $2,500 durante 15meses si el banco paga el 11/2 % mensual?29. Una persona debe pagar $3 000 al final de cada año, durante varios años. ¿Cuánto deberá pagar alfinal de cada mes para sustituir el pago anual, si se consideran intereses a razón del 25% convertiblemensualmente? R= $222.63 mensual30. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil: a) pagar $26 000 de contado ó b) $13 000 de enganche y $1 300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes si el interés se calcula a razón del42% convertible mensualmente? U.M.S.N.H. 63 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS31. Una compañía ha venido colocando durante los últimos 7 años al principio de cada semestre $40000 en un fondo, por la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo, si ha estadoproduciendo el 5% capitalizando semestralmente?32. ¿Cuántos pagos mensuales de $600 deberán hacerse para cancelar una deuda cuyo monto será de$4,500 si se considera incluido el 7% de interés capitalizable mensualmente?33. ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $250 si el interés esdel 42% capitalizable semestralmente?34. ¿Cuántos pagos de $112 615.21 serían necesarios para liquidar una deuda de $1’000,000 contraídahoy con intereses de 45% anual convertible mensualmente?35. Calcular el valor actual de un terreno, utilizando un interés del 40% con capitalización mensual, sise vendió con las siguientes condiciones: $4 000 de enganche Mensualidades vencidas por $350 durante 4.25 años Un pago final de $2 500 un mes después de la última mensualidad U.M.S.N.H. 64 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS36. ¿De cuánto es cada una de las rentas semanales vencidas que se hacen en las primeras 15 semanasdel año para disponer de $30 000 al final de ese año, considerando intereses del 26% anualcapitalizable por semanas? (52 semanas al año).37. ¿Cuál es el precio de contado, de un refrigerador que se paga con 10 abonos mensuales de $450 siel primero se hace 2 meses después de la compra y la tasa de interés es del 25% nominal mensual?38. Supongamos que una persona desea invertir $50 000 el 1º de enero de 2001, para que pueda retirar10 flujos de efectivo anuales de cantidades iguales, comenzando el 1º de enero del 2007. Si el fondogenera el 12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros?39. Si se depositan hoy $8,000 en una cuenta de inversiones que paga el 26% capitalizablemensualmente ¿Cuántos retiros mensuales de $500 se podrán hacer comenzando dentro de 6 meses? U.M.S.N.H. 65 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS40.- Encontrar la cantidad pagada por una recámara por la cual se dan 60 abonos semanales de $125 eintereses del 36% nominal mensual.41.- Obtenga el precio de contado de un automóvil que se paga con 15 abonos mensuales anticipadosde $12,500 cada uno e interés del 28.5% anual capitalizable por meses.42.- Un crédito automotriz de $150,000 se amortiza con 48 rentas mensuales e interés del 34.8%compuesto por meses. Se conviene que a partir del décimotercero, estos pagos serán trimestrales, aligual que el interés. ¿De cuánto será cada uno, suponiendo que todos son vencidos?43.- ¿Cuál es el precio de contado de un comedor que se paga con un enganche de $1,500 el día de lacompra, 24 abonos semanales de $325 e intereses del 26% nominal mensual? U.M.S.N.H. 66 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS44.- En agosto, un almacén ofrece al público un plan de “compre ahora y pague después”. Con esteplan una persona compra una computadora que recibe en septiembre y debe pagar en 12 mensualidadesde $250 a partir de enero del año siguiente. Si se considera un interés del 36% anual capitalizablemensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la computadora?45.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?46.- Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años, si el primer pago serealiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.47.- ¿Cuál es el monto de la anualidad anterior?48.- Supongamos que una persona desea invertir $50,000 en enero de un año, para que pueda retirar 10flujos de efectivo anuales de cantidades iguales comenzando 6 años más tarde. Si el fondo genera el12% de interés anual durante su vigencia. ¿Cuál será el valor de cada uno de estos 10 retiros? U.M.S.N.H. 67 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPÍTULO IV AMORTIZACIÓN4.1 Amortización de una deuda En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar unproceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagosperiódicos, que pueden ser iguales o diferentes.En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses yreducir el importe de la deuda. Amortizar es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses pormedio de pagos periódicos. 4.2 Tablas de amortizaciónSaldo insoluto: Cada vez que se hace un abono, por ejemplo, al pagar un terreno, una partecorresponde al pago de la deuda y otra corresponde al interés que se hubiera pactado al realizar elcontrato.Al ir pagando en cada abono una parte del capital de la deuda, a la parte que aún se adeuda se le conocecomo saldo insoluto, y el interés se calcula sobre el mismo.Conocer el saldo insoluto en cualquier operación crediticia es útil, por ejemplo para liquidar o pararefinanciar el total que se debe en cualquier instante.Renta constante: éste consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos.En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalos iguales. Esta forma deamortización fue creada en Europa y es la más generalizada y de mayor aplicación en el campofinanciero; es una aplicación de las anualidades estudiadas en el capítulo anterior.Renta decreciente: a diferencia de la renta constante, mantiene un valor igual para la amortización encada periodo y, como consecuencia, la cuota de pago periódico es variable decreciente, puesto que losintereses sobre saldos son decrecientes. Para préstamos a largo plazo y en particular para préstamos devivienda, se han creado diversos sistemas de amortización basados en las anualidades variables.Ejemplo renta constante:Para vacacionar un señor consigue un crédito por $10 000 a pagar en 8 mensualidades a una tasa deinterés del 24% capitalizable por meses. Calcule el valor del pago y elabore la tabla de amortizacióndel crédito.Datos:A = 10 000n=8 i 0.02i = 0.24/12 R = A 1 - ( 1 + i )- n R = 10 0000 1 – (1.02)-8R=? R = $ 1 365.09 U.M.S.N.H. 68 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASTabla de amortización Período Renta Intereses Amortización Saldo insoluto 0 - - - 10 000.00 1 1 365.09 200.00 1 165.09 8 834.91 2 1 365.09 176.69 1 188.39 7646.51 3 1 365.09 152.93 1 212.16 6434.35 4 1 365.09 128.68 1 236.40 5197.94 5 1 365.09 103.95 1 261.13 3936.80 6 1 365.09 78.73 1 286.35 2650.44 7 1 365.09 53.00 1 312.08 1338.35 8 1 365.09 26.76 1 338.32 0.03Utilizando los datos del ejemplo anterior calculamos la renta decreciente:Datos:A = 10 000 10 000/ 8 = 1 250n = 8i = 0.24/12 0.24/12 = 0.02Tabla de amortización Período Renta Intereses Amortización Saldo insoluto 0 - - - 10 000.00 1 1 450.00 200.00 1 250 8 750.00 2 1 425.00 175.00 1 250 7 500.00 3 1 400.00 150.00 1 250 6 250.00 4 1 375.00 125.00 1 250 5 000.00 5 1 350.00 100.00 1 250 3 750.00 6 1 325.00 75.00 1 250 2 500.00 7 1 300.00 50.00 1 250 1 250.00 8 1 275.00 25.00 1 250 0.00 1. Una persona obtiene hoy una deuda de $68 000 al 48% convertible semestralmente, que amortizará mediante 6 pagos semestrales. ¿Cuál es el valor de dichos pagarés? Encontrar el valor de los pagos y elabore la tabla de amortización de dicha deuda. Utilizando los métodos de renta constante y renta decreciente. Sem. Renta Intereses Amortización Saldo_Insoluto U.M.S.N.H. 69 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2. Se compra un inmueble valuado en $195 000 dando un enganche del 15% el resto se financia con un préstamo bancario a 5 años, con un interés del 18% convertible mensualmente. Hallar a) el valor de los pagos mensuales y b) el saldo insoluto al final del primer año. Utilice renta constante. 3. ¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $25 000 contratada al 20% efectivo anual a pagar mediante 3 pagos anuales de $10 000 y un pago final que debe realizarse al término del 4º año? Elabora una tabla de amortización de la deuda. Utilice renta constante. U.M.S.N.H. 70 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4. Una persona obtiene un préstamo de $10 000 con intereses del 31/2% La deuda será liquidada mediante un pago de $2 500 al término de 4 años, seguidos de 6 pagos anuales. A) hallar el pago periódico necesario B) hallar el capital insoluto justamente después del 3er. pago periódico y C) ¿qué parte del último pago se aplica al pago de intereses? R1= $ 1 684.36 R2= $4 718.96 R3= $56.965. Obtenga los primeros 6 abonos bimestrales que amortizan constantemente, una deuda de $45,000 en2 años a una tasa del 22% de interés capitalizable bimestralmente. (Renta decreciente). U.M.S.N.H. 71 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS4.3 Fondo de amortizaciónEl fondo de amortización se distingue porque aquí la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro, ylo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmenteiguales y periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto quepermita pagar la deuda a su vencimiento.Ejemplo:Una empresa debe pagar dentro de 7 meses la cantidad de $500 000 Para asegurar el pago, se sugiereacumular un fondo, mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 10% capitalizablemensualmente. a) ¿De cuánto deben ser los depósitos? B) Muestre la forma en que se acumularía elfondo.M = 500 000 i 0.008333n=7 R=M (1+i)n -1 R= 500,000 (1.00833)7 -1i = 0.10/12R=¿ R = $ 69 662.61 Fecha Renta Intereses Total del depósito Saldo Fin del mes 1 69 662.61 - 69 662.61 69 662.61 Fin del mes 2 69 662.61 580.52 70 243.13 139 905.74 Fin del mes 3 69 662.61 1 165.88 70 828.49 210 734.23 Fin del mes 4 69 662.61 1 756.11 71 418.72 282 152.95 Fin del mes 5 69 662.61 2 351.26 72 013.87 354 166.82 Fin del mes 6 69 662.61 2 951.37 72 613.98 426 780.80 Fin del mes 7 69 662.61 3 556.50 73 219.11 499 999.91 Sumas: 487 638.27 12 361.64 499 999.91 6. Para pagar una deuda de $160 000 que vence dentro de 6 meses se va a constituir un fondo mediante depósitos mensuales. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde 12% anual convertible mensualmente, hallar su importe. Elabore la tabla del fondo de amortización que corresponde. Mes Depósito Intereses Total del Dep. S a l d o Sumas U.M.S.N.H. 72 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 7. Haga una tabla que muestre la forma en que se amortizaría una deuda de $150 000 que debe pagarse en 4 meses, si se decide constituir un fondo mediante depósitos mensuales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 1.7% mensual efectivo. 8. Para reponer la maquinaria de una fábrica, se desea contar con un fondo de $700 000 dentro de 3 años, se considera formar un fondo para la reposición, para lo cual se acuerda en depositar mensualmente a una cuenta que otorga el 24% capitalizable mensualmente. Encontrar la cantidad que se debe depositar mensualmente así como la cantidad que se habrá reunido al final del primer año, para lo cual deberá elaborarse la tabla que lo muestre. 9. Una señora ha estado ahorrando $200 cada mes desde hace medio año, en una cuenta de inversión que paga el 10% convertible mensualmente. Pretende pagar una deuda de $2 000 a la fecha, ¿Cuánto le sobra o le falta? Elabora la tabla que muestre el fondo. U.M.S.N.H. 73 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASEjercicios de reforzamiento:10.- ¿Con cuántos pagos quincenales de $4,000 se amortiza un crédito de $40,000 a una tasa de interésdel 42% compuesto por quincenas? Realice un ajuste con un pago menor al final y el cuadro deamortización.11.- ¿De cuánto es el capital que se amortiza con 16 abonos quincenales de $750 y una tasa de interésdel 18% anual compuesto por quincenas? Elabore el cuadro y encuentre el saldo después del 10º pago.12.- Se contrae una deuda de $148,000 al 35% convertible bimestralmente, que amortizará mediante 8pagos bimestrales iguales. ¿Cuál será el valor del pago bimestral? Elabore el cuadro. U.M.S.N.H. 74 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS13.- Se deben pagar dentro de un año la cantidad de $360,500 Se decide acumular un fondo mediantedepósitos quincenales a una cuenta que paga el 8% convertible quincenalmente. ¿De cuánto deben serlos depósitos? Elabore el cuadro.14.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $3,000 se necesitan para acumular $150,000 en un fondo quepaga el 17.5% capitalizable mensualmente? Elabora el cuadro y encuentra el saldo después del 8ºdepósito. U.M.S.N.H. 75 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPÍTULO V DEPRECIACIÓN5.1 Concepto Con excepción de los terrenos y algunos otros bienes, el valor de casi todos los activosse reduce con el tiempo desde el momento en que son adquiridos o que se ponen en servicio. Estapérdida del valor se conoce como depreciación y es causada principalmente por el uso, la insuficienciao la obsolescencia del propio bien.Desde el punto de vista fiscal o impositivo, los cargos por depreciación son determinados por elgobierno, pero esto no obsta para que las empresas destinen partidas de dinero de forma periódica, parano descapitalizarse en el momento de reponer sus activos, es decir cuando dejan de ser útiles o sumantenimiento y reparaciones resultan muy costosas, al final de su vida útil. De aquí que esconveniente y de gran utilidad, disponer de los diferentes métodos para depreciar los activos o conocersu valor real en cualquier momento.Los siguientes son definiciones y conceptos importantes concernientes a la depreciación de activos:La pérdida de valor de un activo fijo y tangible, a consecuencia de su insuficiencia, uso uobsolescencia, se denomina depreciación.La vida útil de un activo es el tiempo que hay entre su compra y su retiro.El valor de rescate, valor de desecho o valor de salvamento de un activo, es el que supuestamente tieneo tendrá al final de su vida útil.Los métodos más usuales para calcular la depreciación son los siguientes:5.2 Método de la línea rectaEn éste método el cargo anual es el mismo para todos los años de la vida útil del activo, es decir ofreceel mismo servicio durante cada uno de los periodos de operación. El cargo por año, se obtienedividiendo la base de depreciación entre el total de años de servicio, es decir: Renta o valor total - valor de rescate Depreciación anual = vida útilEjemplo:Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15000 como valor de desecho. Encontrar su depreciación anual.Solución: Renta o valor total - valor de rescate = 210 000 – 15 000 = $39 000 Depreciación anual = vida útil 5 U.M.S.N.H. 76 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERASCuadro de depreciación: Fin de año Deprec. Anual Deprec. Acumulada Valor en libros 0 - - 210 000 1 39 000 39 000 171 000 2 39 000 78 000 132 000 3 39 000 117 000 93 000 4 39 000 156 000 54 000 5 39 000 195 000 $15 000 1. ¿De cuánto es la depreciación anual de una máquina que costó $150 000 será utilizada durante 6 años, y al final se gastarán $18 600 en su remoción y cambio por otra más moderna? 2. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida útil y al final un valor de $360 U.M.S.N.H. 77 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS5.3 Método de unidades de producción o de servicioEste método es en realidad una variante del anterior, y por eso se puede utilizar la misma fórmula, peroen lugar de los años de vida útil serían el número de unidades que se producen o las unidades que daservicio el activo que se deprecia.Puede suceder que con este método, la depreciación sea diferente para cada uno de los años de su vidaútil. Generalmente la capacidad de producción o de horas de servicio, es determinada por el fabricantede la maquinaria o el equipo que se deprecia, o con los datos históricos que se tengan de bienessemejantes.Ejemplo:Obtenga la depreciación de una máquina de envases de cristal, que costó $210 000 al final de sus 5años de vida útil se rescatarán $15 000 y se producen 10 000 000 de piezas distribuidas de la formasiguiente: año Producción 1 1 800 000 2 2 150 000 3 2 500 000 4 1 950 000 5 1 600 000 total 10 000 000 Valor total – valor de rescate = 210 000 – 15 000 = 0.0195 para cada unidad Unidades producidas 10’000,000 Fin del año Producción Depreciación Depreciación Valor en libros anual anual acumulada 0 210 000 1 1 800 000 X 0.0195 35 100 35 100 174 900 2 2 150 000 X 0.0195 41 925 77025 132975 3 2 500 000 X 0.0195 48 750 125 775 84 225 4 1 950 000 X 0.0195 38 025 163 800 46200 5 1 600 000 X 0.0195 31 200 195 000 $ 15 000 Sumas: 10 000 000 X 0.0195 195 000 U.M.S.N.H. 78 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3. Obtenga la depreciación anual de un activo que costó $140 000 tiene un valor de desecho de $23 000 y la producción en sus 5 años de vida útil en miles de piezas es: 13 500 en el primer año, 15 850 en el segundo, 13 750 en el tercero, 13 200 en el cuarto y 8 700 en el último. 4. Una máquina de coser zapatos costó $88 000 tiene una vida útil de 6 años, un valor de rescate de $20 000 y la producción anual en miles de piezas es: 35 en el primero, 32 en el segundo, 29 en el tercero, 27 en el cuarto, 26 en el quinto y 21 en el último. Obtenga la depreciación anual. U.M.S.N.H. 79 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS5.4 Método de la suma de dígitosEl método de suma de dígitos, al igual que el del porcentaje fijo, es un método acelerado dedepreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con eltranscurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activopor una fracción que se obtiene de la siguiente manera: Se suman los dígitos de 1 a n de los años de vida esperada del activo. Ejemplo: si un activo tiene una vida esperada de 4 años, se suman los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio esperados: 1+ 2 + 3 + 4 = 10 esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula: s = n (n + 1) 2 En el caso anterior: s = 4 ( 4 + 1) = 4 ( 5 ) = 10 2 2 Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan inversamente al tiempo y así inversamente, se asignan a cada uno de los años de vida útil.Ejemplo:Una compañía compró una máquina en $210 000 se estima que tendrá una vida útil de 5 años y $15000 como valor de desecho. Encontrar la depreciación anual. S = n (n + 1) = 5 ( 5 + 1 ) = 15 2 2 Renta o valor total - valor de rescate = 210 000 – 15 000 = $ 13 000 Depreciación anual = suma de dígitos 15 Fin del año Depreciación anual Depreciación acumulada Valor en libros 0 - - 210 000 1 13 000 X 5 = 65 000 65 000 145 000 2 13 000 X 4 = 52 000 117 000 93 000 3 13 000 X 3 = 39 000 156 000 54 000 4 13 000 X 2 = 26 000 182 000 28 000 5 13 000 X 1 = 13 000 195 000 $15 000 U.M.S.N.H. 80 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 5. Una pieza de refacción de una procesadora de carnes frías cuesta $2 550 tiene 4 años de vida útil y al final un valor de $360 Encuentre la depreciación anual. Con el método de suma de dígitos. 6. Una avioneta de 13.5 millones de pesos se vende en 6.465 millones de pesos, al final de sus 6 años de vida útil ¿Cuál es la depreciación anual? (Método de suma de dígitos).Ejercicios de reforzamiento: 7. Calcule la depreciación de un refrigerador que cuesta $7 500 su valor de rescate se calcula en $2 400 y una vida útil de 5 años. Encuentre la depreciación anual utilizando el método de la línea recta primero y después el método de la suma de dígitos. U.M.S.N.H. 81 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 8. ¿De cuánto es la depreciación anual de una computadora que costó $18 500 se estima que dará servicio 2 750 horas cada año, durante cuatro años, y al final se esperan recuperar $2 000? (resuélvase por el método de unidades de producción). 9. Una máquina inyectora de plásticos costó $84 000 y su valor de rescate al final de 8 años es de $10 000 ¿De cuánto es la depreciación anual si el primer año se producen 4 millones de piezas y se reduce 6% cada 2 años? Haga el cuadro de depreciación y utilice el método de unidades de producción). 10. La refacción de una trilladora cuesta $45 300 tiene vida útil de 4 años y al final se gastan $3 500 para removerla. Calcule la depreciación anual utilizando los métodos de línea recta y de suma de dígitos. U.M.S.N.H. 82 F.C.C.A.
    • M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS BIBLIOGRAFÍA1. AYRES F. Matemáticas Financieras Serie Schuman, México, McGraw-Hill, 1981, 230 pp.2. DE LA CUEVA B. Matemáticas Financieras (6ª Ed.), México Porrúa 1986, 135 pp.3. DÍAZ Mata A. y V.M., Gómez Aguilera, Matemáticas Financieras, México, McGraw-Hill, 2002, 467 pp.4. PORTUS L., Matemáticas Financieras, (4ª. Edición), México, McGraw-Hill. 2001, 430 pp.5. VIDAURRI A., Matemáticas financieras, México, ECASA, 1997, 526 pp. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA1. VILLALOBOS José L., Matemáticas Financieras, México, 2ª. Edición México Prentice Hall,2001, 482 pp.2. TOLEDANO Castillo M. A. y Hummelstine L. E. Matemáticas Financieras, México, CECSA,1981, 245, pp.3. DE LA CUEVA B. Tablas financieras, México: Porrúa, 1981, 115 pp. U.M.S.N.H. 83 F.C.C.A.