Teacher hort siath maths exercises

បេ ងៀនេ យេ ក គ ហ៊ត សុី ត

បជុំលំ ត់គណិតវទ

. ខង ង ឆង នចននគ ជ នមយគ ខ 4 បខង ន ! គ "ប #ច$ង ង% នចនន
&

1
ន ញ ( ចននថ*+,នប ង- "ង ន .* នចនន /ម 0កចនន 2ចបផ$ នចនន /ម
4

4. ABCD 5ទ+7ច $ 9:;កង <យ AB = 30m នង BC = 40m
8 ប$ 0. =(កឈ0 ?ទ+@ង

ខ$.AB ?កC$ងទ+7 ;/
C 8 ច D យ0Eងប$0.ព+0(ក ?ជ B5G ប0
C 0កច D យ ន

k
H. 0កចននគ ធម*5 k ;/ ន ម8G ប0
1, 001k

=. មន$.J K(កប ង- 50ងងមយ C កLបយកចននមយ Mយ ,ប ខ ( #GCក;/

?;កN0B 4(កកC$ង0ងង ប(បមក C កAគ:( នង ប9.ព+ចននមធOមPគ នGCក;កN0

ងB Qង4 ទ2 0 ខ,នបRញT មធOមPគ;/
S ,ន ប9. <យមន$.J C កA (មន

;មន ចនន /ម;/ មន$.J C កA,ន 0.) 0កចនន;/ ,ន 0. <យមន$.J,ន ប9.

មធOមPគ 8

W. ចននន+មយA នចនន 1; 2; 3; ...; 25 ! ,ន គ.0 .0 ?កC$ង@Xង 5 × 5 ;/ ចនន ?កC$ង

ជ0 /កន+មយA ! .Y កC$ង <ប កន 0ក G ប0 នផ ប2កចនន ?កC$ងជ0ឈ0ទ+H

Z. នប[$(នចននព+ 1 /
* 2008 ;/ នផ ប2កខង0ប.E;ចក<ចនង 5

]. + 9: ABC 5 + 9:.ម^ងJនងចន$ច P មយ; ប ប_ ?កC$ងប8ង; មយ5មយ + 9:

ABC ;/ ∆PAB; ∆PBC នង ∆PAC 5 + 9:.ម, នចន$ច P .Y ?ទ+@ង

ខ$.ABប[$(ន?
C *

1 × 2! 2 × 3! 3 × 4! n × (n + 1)! (n + 2)!
a. b%យបcក.មPព + 2 + 3 + ... + = −2
2 2 2 2n 2n

d. b%យបcកT ប m, n, p 5ចនន.នQននង mn + np + mp = 1 (

www.keoserey.wordpress.com
Page 1


T = (1 + m 2 )(1 + n2 )(1 + p 2 ) 59 0 នមយចនន.នQន

ប2ក c + d ប c +d =1
6 6 2 2
K. ក) 0ក ម8 2ចបផ$ នផ

n +1
ខ) 0ក ម8ធបផ$ ន N=
n3 + 2 n 2 − 4 n − 5

. ចននគ ធម*5 A នខងច$ង 9យខ$.ព+ 0 នង 5

ចនន A × ( A + 5)
5 3
ន ខខងច$ង 9យប[$(ន?
*

4. 90 ABCD មយ ន ជeង 12 ! ;ចក5 144 9 0fក@ 0ងងមយ9 .* 6 ! ,នគ2.ប[

នង ជeងQងបន ន9 0 ABCD 0កចនន9 0fក@ ;/ .Y ?កC$ង0ងងQងb.eង

H. ក) 0ក a, b, c ;/ abc (5) = cba (8) កC$ង ន នម .c abc (5) 5ចនន.0. 0កC$ង បព^នh
& g

B 5 នង cba (8) កC$ង បព^នh B 8

ខ) កC$ង បព^នh B i;/ 12!− 11!− 10 ! = 10 4 + 10 2

=. 0កចននគ 2ចបផ$ ន ខច$ង 9យ 1986 Mយ;ចក<ចនង 1987

W. b%យបcកT ក នjម ង 9មមនG ជ នk

Q = 9(a + b + c )2 − 24(ab + bc + ca + cd + ad + bd )

Z. គlO 101 ចនន ជ ន a0 ; a1 ; ...; a100 ;/ a1 > a0 ,

a2 = 3a1 − 2a0 ; a3 = 3a2 − 2a1 ; ...; a100 = 3a99 − 2a98

b%យបcកT a100 > 2
99

]. ABCD 5ច $ 9:L0 កកC$ង0ងងនង M 5ចន$ចកi& [CD ] MយGង- ទ!ង9 BC ង

ចន$ច P 0ងង9 @ម P ប[ នង [CD ] ង M ជប AC នង BD ម&ង ទn ង R នង Q

ចន$ច S ? BD Mយ BS = DQ ប( 9 @ម S b.ប AB ជប AC ងT

បRញT
S AT = RC

Page 2


a. ក) b%យបcកTk
5
2 + 7 < 810 2

3
ខ) គlO a, b∈ ℕ b%យបcកTo[ ង ចចននមយកC$ងច (ម 2 ចនន b a ; a b មនធ5ង 3 .

d. ក) 0កp.គ ន.ម+90 t + mt + n = 0 ប
2
m + n = 198

1 1 1 4
ខ) 0ក +7 $5ចននគ ជ ន (a, b, c) ;/ + + =
a b c 5

+7 x − x − 5; y + 3 y + 3 នង
2 2
4K. ក) ចq ម8គ i ន x, y , z ;/ បi&

− z2 − 5z − 5 ន ម8 .*BC

ខ) 0កp.គ ជ ន ន.ម+90 u + v = 2010

4 . ប; ង ម/rនQងH AD, BE , CF ន ∆ABC មយ .* 9,12,15 0nងB 0ក ផ កs ∆ABC
C

x3 + 1 y3 + 1
44. tប x នង y 5ព+0ចននគ ខ$.ព+ −1 ;/ នង 5ចននគ មយ
y +1 x +1

b%យបcកT x
2010
− 1⋮ y + 1

n( n + 1)( n + 2)
4H. 0ក គបចននបuម នXង +1; n ∈ℕ
6

4=. tប x1 ; x2 5p.ព+0 ន.ម+90 x 2 − 4 x + 1 = 0 b%យបcកT ច q គបចននគ

ជ ន n ( x1 n + x2 n vចប ង- ,នផ ប2ក9 0 ន 3 ចននគ
2 2
BC

4W. គlO9 0 ABCD ជeង .* 3 ? [ AD] នង [CD ] wព+0ចន$ច M នង N ;/ ជeង

9ច MDN ន ប; ង .* ជeង ន9 0 យក E 5ចន$ច ប.ព ន AM នង BN

0ក ប; ង ន ME <យ/ងT NE = 4

4Z. ម$ខQងG. នគ2បមយ ! គ<កxក <យចននគ
8 ជ ន ផJងAB;/
C ចនន ?

ម$ខ5បBព+0ខ$.Bo[ ង ច 2
C C 0ក ម8GបNប0 នផ ប2ក ចនន ម$ខQងZ

4]. ទព^0 ន .n yមយ ! គបង ខព+ 1 / n ..J C កប2ក ខទព^0QងG. Mយ

Page 3


ទទ ,ន ទhផ 1922 គ/ងT E នកM$. <យ,នប2កចននខ8 ព+0/ង,

ច200កចនន (

4a. @ង P0 ( x ) = x + 9 x + 9 x + 4
3 2
ច q ចននគ n ≥ 1 គក:

Pn ( x ) = Pn −1 ( x − n) 2
0ក មគ$: ន x កC$ង P2008 ( x )

4d. A, B, C នង D 5កព2 Qងបន នច $ 9:L0 កកC$ង កC$ង0ងង <យGង- ទ!ង AC 9

BD ង E ប BC = CD = 4; AE = 6 Mយ BE នង DE 5ចននគ 0ក ប; ង BD

HK. 0កចននព x ;/ 1+ 1+ 1+ x = x

H . ចន$ច A(a, b) ? ប8ង ( xOy ) 5ចននគ Qង a នង b 5ចននគ ក: ចនន ន

ចន$ចគ ;/ ព^ទhជ$ ញ <យ9 0 (0មQង ព;/ 5 ជeង9 0) ប ង- <យចន$ច (100, 0) ,

(0,100), (−100, 0); (0; −100)

H4. 0កចននគ ជ ន 2ចបផ$ ;/ vចប; ង5ផ ប2ក ផJងB នចននគ
C ជ ន a, b នង c

;/ a + b, a + c នង b + c 59 0 ,ក/

HH. b%យបcកT Gង- Pប 0nងBបiផz
C & O1 ; O2 ; O3 ; O4 នបi9 0;/ ,ន.ង ?
&

ជeង ន ប "2 9ម ABCD # ង {ផ&$,ន59 0មយ

H=. tប T .+$ a1 ; a2 ; a3 ; ... ប ពញទ(កទនង an + 2 = an +1 − an នង an = 2

បផ ប2ក ន 2004 /ប2ង .* 2008 , 0កផ ប2ក ន 2009 /ប2ង

HW. ខ;/ ,ន ប.Xបបង ខ ទព^0 ន .n yមយ ! ,ន គXប Mយចនន.0$ប ន ខ

;/ ,ន បគ 2007 0កចននទព^0កC$ង .n y

HZ. =ចននគ គ2 BC ! ,ន គ/ក ចញព+.+$ ចននគ 1, 2,3, ..., n MយមធOមPគ នចនន

?. .* 51, 5625 0កចននគ ធបផ$ ;/ ,ន/ក ចញព+ .+$

ក) p. ន.ម+90 x + ax + 1 = b 5ចននគ
2
H]. ជ ន

Page 4


បRញTចននគ
S a 2 + b 2 5ចនន. .

ខ) ចននគ ជ ន n 5ចននមយ;/ ធ5ង9 0 ,ក/មយ

b%យបcកT 2n 5ផ ប2ក ន 2 9 0 ,ក/

+ 9: ABC , C = 90 , A = 30 នង AB = 1
ˆ 0 ˆ 0
Ha. កC$ង @ង + 9: ABD , ACE នង BCF

5 + 9:.ម^ងJ <យ D, E , F ? { + 9: ABC

@ង DE ប.ព AB ង G 0ក ផ កs + 9: DGF

Hd. គlOច $ 9: ,[ ង ABCD 0ក.:ច:ច នច:ចកi
$ $ $ & P នបiGង- ;/
& 2

ច:ច M នង
$ N @ម <ប ? ជeងព+0 AB នង CD

 x 2 + xy + y 2 = 3

=K. គlOចនន x, y , z ផ|ងx  2
 y + yz + z = 16
2


b%យបcកT xy + yz + zx ≤ 8

= . 0ក គបចននគ n /មN+lO P = 1999n 2 + 1997 n + 30 ;ចក<ចនង 6n

=4. ក) 0កបiចននគ
& x, y ផ|ងx x3 + y 3 = 1995

ខ) 0កព+0ចនន (
a នង b <យ/ងTផ គ$: ( a + b ) a a + bb = 21903 )
=H. ABCD 5ច $ 9: ,[ ង <យ AD b.ប BC , AC ;កងនង BD នង AC = 5

CF 5ប( ព+ C # AD Mយ CF = 4 0ក ផ កsច $ 9: ABCD

==. យក a1 ; a2 ; ...; a8 5ចននគ ជ ន ;/ k

a1 + (2 a2 ) 2 + (3a3 ) 2 + ... + (8a8 ) 2 = 204
2
0ក A = a1 + a2 a + ... + a8

1 1 192
=W. A នង B 5ព+0ចននបuម ជ ន;/ − = 0ក B
A B 20052 − 20042

1
គlO x = ន A = x − 2 3x − x + x − 4 x + 2 x − 3
6 5 4 3 2
=Z. 0ក
2− 3
Page 5


=]. យក a, b នង c 50R. ជeងQងប+ ន + 9:មយ tប T a នង b 5p..ម+90k

x 2 + 4(c + 2) = (c + 4) x នងម$ធ5ង គ ន + 9:គ x 0 0ក ន x

an
=a. គពន O ម .+$ ចននព {an } ក: <យ an +1 = នង a1 = 1 ច q n ≥ 1
1 + nan

1
0ក ន A= − 2007004
a2005

=d. ច q ចននគ ជ ន k គ.0 .0k

(1 + x )(1 + 2 x)(1 + 3 x) ... (1 + kx) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + ak x k ;/ a0 ; a1 ; ... ; ak 5

មគ$: នពM$7 0ក 2ចបផ$ ន k ប a0 + a1 + ... + ak −1 ⋮ 2007

WK. 0កគ2 ន <ប នចនន ( x, y ) ;/ ប ពញ.ម+90k x 2 + y 2 = 2( x + y ) + xy

W . កC$ងច $ 9:;កង ABCD; P នង Q 5ចន$ច ? [ AB ] នង [ BC ] 0nងB;/
C + 9:

AP
APD, PBD នង QCD ន ផ កs .*BC គ:(
PB

W4. f 5Gន$គមន}ក: .:ចននគ
$ Mយ ផ|ងx ក~ខ:• ង 9មk

- f (0) ≠ 0

4- f (1) = 3

H- f ( x). f ( y) = f ( x + y) + f ( x − y) ច q គប x, y ∈ ℤ គ:( f (7) + 1164

ក~ខ: a + b = 25; c + d = 16 ,
2 2 2 2
WH. ក) គlOបiចនន a, b, c, d ផ|ងx
& •

ac + bd ≥ 20 0ក ធបផ$ ន T =a+d

ខ) គlO a + b = 1 ន P = 20a − 15a + 36b − 48b
2 2 3 3
0ក ធបផ$

W=. កC$ងប8ង ន + 9: ABC Mយ ? ង { + 9: ន គ.ង + 9: BCP; CQA; ABR

;/ PBC = CAQ = 450 ; BCP = QCA = 300 នង ABR = BAR = 150

Page 6


b%យបcកT QRP = 90 នង QR = PR
0
(IMO 1975)

WW. យក n 5ចននគ ជ ន;/ 0 .មយ ន.ម+90/ កទ+ព+0

( )
4 x 2 − 4 3 + 4 x + 3n − 24 = 0 5ចននគ 0ក ន n

 xy + xz = 255
WZ. គlO បព^ន.ម+90 
h 0កចនន +7 $ ន <ប នចននគ ជ ន
 xz − yz = 224

( x, y, z ) ;/ ប ពញlO បព^នh.ម+90 ង

2
W]. គlO.+$ ចននព (U n ) ;/ U 0 = −2 នង U n = U n −1 − 1 , គប n ∈ ℕ*
3

ក) ក: ទ2 # U n 5Gន$គមន} ន n

ខ) គ:( S n = U 0 + U1 + ... + U n

1
Wa. បRញT ប
S m 5ចនន.នQន ជ ន ( m + 5ចននគ ; មយគ ប m = 1
m

Wd. ក) បRញT មន
S នចននគ a; b; c ;/ a 2 + b 2 − 8c = 6

ខ) @ង a ចននគ a = 11...1 ( m ខ 1)

b = 100 ... 05 ( m − 1 ខ 0 ?ច (8 ខ 1 នង ខ 5)

បRញT ab + 1 59 0ចននគ
S 0ក0 .9 0 ន ab + 1 <យយកទ0ង/2ច a នង b

ZK. @ង n 5ចនន ន ខ 5 ខង (;/ ខងទ+មយមន 0 ) នង m 5ចនន ន ខ 4 ខងប ង-

n
ចញព+ n <យ បខងកi& ក: គប n ;/ 5ចននគ
m

Z . គlO f ( x) = x + x + x + x + 1
4 3 2
0ក.: ព ( )
;ចក f x5 នង f ( x)

Z4. ក) បRញT ច q គបចននព
S ជ ន p; q; r; s ;/

( p 2 + p + 1)(q 2 + q + 1)(r 2 + r + 1)( s 2 + s + 1) ≥ 81 pqrs

ខ) b%យបcកT ច q n = 1, 2, 3, ...
Page 7


a). (n + 1) n ≥ 2n.n !
b). (n + 1)n (2n + 1)n ≥ 6n ( n !)2

1 1 1
ZH. ច q គបចននគ ជ ន n @ង h(n) = 1 + + + ... +
2 3 n
1 1 1
5tQM0: h(1) = 1; h(2) = 1 +
} ; h(3) = 1 + +
2 2 3

b%យបcកT n + h(1) + h( 2) + h(3) + ... + h( n − 1) = n.h( n); n = 2,3, ...

Z=. គ. ង- ឃញTk 62 − 52 = 11; 56 − 452 = 1111

556 − 4452 = 111111; 55562 − 44452 = 11111111 .

0ក ទ2 #@មtQM0:} ង 0ចb%យបcកE

S MAB
ZW. គlO + 9: ABC 0ក.:ចន$ច M ;/
$ =2
S MAC

ZZ. ចq B b 5ចននគ ជ នi;/ 1367631 ? ព ន ! ,ន គ.0 .05គ2ប

នB b

Z]. ប x 5ចននព ជ នមន .* 1 នង n 5ចននគ ជ ន b%យបcកT

1 − x 2 n +1
= (2n + 1).x n
1− x

Za. គlO.+$ Fibonacci {U n } ក: /2ច ង 9មk

U 0 = 0

U1 = 1
U
 n +1 = U n + U n −1 ; n ≥ 1

ក) គ:( U n 5Gន$គមន} ន n

ខ) b%យបcកT U1 + U 2 + ... + U n = U n + 2 − 1 គប n∈ℕ

Zd. គlO.+$ {U n } ; n = 1, 2, 3, ... ក: /2ច ង 9មk

Page 8


 3
U1 =
 4
(2n + 1)U = 2n + 2nU ; n = 2,3, ...
 n n −1

n k
Cn
b%យបcកT U n = ∑
k = 0 2k + 1

ខព+0ខងច$ង 9យ ន 2005 + 2005 + 2005 + ... + 2005
2 3 2007
]K. ក) 0ក

 y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0

 3
ខ) < b%យ បព^នh.ម+90k  z − 6 y + 12 y − 8 = 0
2

 3
 x − 6 z + 12 z − 8 = 0
2


22
22
ប|ប ធnបព+ 0ចនន A = នង B = 1 + 2 + 3 + ... + 2006
2 3 2006
គ) 2

ឃ) យក f 5Gន$គមន} ន ព ;/ k

f ( x, y) = f ( x, z ) − 2 f ( y, z ) − 2 z ច q គបចននព x, y នង z

គ:( f (2006,1000)

17
 1 4

] . ក) 0ក Bន x កC$ង ទ7ញ2 $នk 
* + x3  x≠0
3 2 
 x 

ន.ម+90 2 = x
x 2
ខ) 0កp.គ

]4. គlO9 0 ABCD ន AB = a នង M 5ចន$ចមយច ^ ? Gង- ទ!ង AC គ2. ME

;កងនង AB នង MF ;កងនង BC ក: ទ+@ងចន$ច M AC ;/
A កs ផ + 9:

DEF 2ចបផ$ 0ក 2ចបផ$ (

ង% AD = AB , DAB = DCB = AEC = 90
0
]H. កC$ង02ប & B
នង AE = 2006

0ក កs ផច $ 9: ABCD D E C

Page 9


]=. ក) 0ក គបចននគ ធម*5 ( x, y ) ;/ ប ពញ.ម+90 x 2 + y 2 = 2( x + y ) + xy

ខ) 0កចនន n ន ខ Hខង 2ចបផ$ ;/ បខងQងប+គ a, b, c (

n = a + b + c + ab + bc + ca + abc

]W. Q ប+5 ផ ប2ក គlO ង 9មvច ច ចញយក590,នក• <យ បRញT @ម90ព
S

ទhផ ទទ ,នមន ម ! ទ ប គជន. ខ នខងន+មយA ផJងB .XបGកJ0ន+មយA
C

<យ ធ90G: Giងo[ ង ម !

THREE
+
FIVE
EIGHT

]Z. ក) គlOចនន 11...11 ;/ ?ព ន ! គប; ង5 បព^ នh B 4

0ក9 00ប.E ;/ ! .Y ?កC$ង បព^នh B 4 ;/0

1 1 1 1 1 1 1 1
ខ) ផ|ងx T 1 = + + + + + + +
2 5 8 11 20 41 110 1640

]]. 0ក គបGន$គមន} f : ℝ → ℝ ផ|ងx k

f ( x3 − y ) + 2 y 3 f 2 ( x) + y 2  = f [ y + f ( x)] គប x, y ∈ ℝ
 

]a. < b%យ.ម+90 ង 9មកC$ង.:ចននព k
$

ក) x + 2006 x + 1006009 x + x − 2 x + 2007 + 1004 = 0
4 3 2

ខ) ( x + 1) x − 2 x + 3 = x + 1
2 2

]d. គlO + 9: ABC ន ជeង BC = a, CA = b, AB = c នងម$ B = 2 A , C = 4 A ,90ងង

 1 1 1 
គ:( S = R .  + 2+ 2
2
L0 ក {គ R
2
a b c 

Page 10


aK. គlO a, b, c > 0 b%យបcកTk

a4 b4 c4
+ + ≤1
4
(
a +3 a +b 6 6
)( a 3
+c )
3 2
b +3 b +c
4
( 6 6
)(b 3
+a 3 2
) (
c +3 c +a
4 6 6
)( c 3
+b )
3 2

1 1 1
a . lOប+ចនន ជ ន a; b; c ផ|ងx + + =3
a b c
4 4 4 3 3 3
b%យបcកT a 3 + b3 + c 3 ≥ a 2 + b 2 + c 2

a4. គlO + 9: ABC .ម, ង A <យ/ងTG0 2.ង H ន + 9: ? 0ងង

L0 កកC$ង ន + 9: គ:( cos A

គlOពM$7/ កទ+បនk P ( x ) = 2006 x + 2004 x + 2007 x + 2003 x + 2005
4 3 2
aH.

b%យបcកT P( x) > 0 គប x∈ℝ

a=. គlO a, b, c 5បiចននព មនG ជ
& ន ផ|ងx k a + b + c = 3

0ក ធបផ$ ន A = 9ab + 10ac + 22bc

 x1 + x2 − x3 − x4 < 0

( x1 + x2 )( x3 + x4 ) − x1 x2 − x3 x4 < 0
=W. < b%យ បព^នh .ម+90k 
( x1 + x2 ) x3 x4 − ( x3 + x4 ) x1 x2 < 0
 x1 > 0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0

+ +
aZ. 0ក គបបiGន$គមន} f : ℝ → ℝ
& ផ|ងx ក~ខ:ព+0
• ង 9មk

a) គប x, y ∈ ℝ + ប x ≤ y ( f ( x) ≤ f ( y)

 f ( y)  +
b). f ( x. y ). f   = 2007 , គប x, y ∈ ℝ
 x 

a]. < b%យ.ម+90k

4
( x − x 2 )( x 2 + 3 x + 2007) − 2005 x 4 − 4 x = 30. x 2 + x − 1 + 2006

aa. ក) គlO x, y > 0 ; x + y ≥ 1 0ក 2ចបផ$ នក នjមk

Page 11


9 48
P = 51x + 23 y + +
x 7y

ខ) គlO a, b, c > 0 b%យបcក .មPពk

(a 2 + ab + b 2 )(b 2 + bc + c 2 )(c 2 + ca + a 2 ) ≥ (ab + bc + ca)2

.ម+90 x − mx − 3 = 0
5
ad. 0ក ន m, a, b ;/ នp.ព+0 x1 ; x2 <យ x1 ; x2 5p.ព+0

ន.ម+90 x + ax + b = 0 , កC$ង (
2
a នង b 5ចននគ

dK. គlO + 9: ABC នង O 5ច:ចមយ ?កC$ង + 9: ABC
$ @ម O គ2.ប( ប+

ផJងB ( d1 ); ( d 2 ); ( d3 ) 9
C ជeងព+0 0nងB AB , BC
C ង M,N , 9 ជeងព+0 BC , CA ង

P , Q , នង9 ជeងព+0 CA; AB ង R, T យក S1 ; S2 ; S3 ; S 0nងB5 ផ កs ន
C + 9:

1 1 1 18
OPN ; ORQ; OMT នង ABC b%យបcកT + + ≥
S1 S 2 S3 S

( ) ( )
2
ន.ម+90k x + 4 y + 28 = 17 x 4 + y 4 + 14 y 2 + 49
2 2
d . ក) 0កp.5ចននគ ធម*5

1 1 1
ខ) 0ក គ ជ ន ផJងB x1 ; x2 ; ...; xn ;/
C
2
+ 2
+ ... + 2
=1
x1 x2 xn

.ម+90 x + bx + cx + bx + 1 = 0 ន0 . b%យបcកT b + (c − 2) > 3
4 3 2 2 2
d4. ក) tប

ខ) < b%យ.ម+90 x + 3 x − 3 = 0
3

U1 = 5

គlO.$+ (U n ) ;/ ក: <យ 
( )
dH. 1 2
U n +1 = 5 U n − U n + 9 ; n ∈ ℕ; n ≥ 1

n
1
@ង Vn = ∑U ; n ∈ ℕ; n ≥ 1 គ:( lim Vn
k =1 k +2 n →+∞

d=. 0ក គបGន$គមន} f : ℝ → ℝ ផ|ងx k f  x + f ( y ) + x. f ( y )  = x + xy + y គប x, y ∈ ℝ
 

dW. យក K 5ផz 0ងងL0 កកC$ង + 9: ABC B1 ; C1 @ម <បគ5ចន$ចកi& ន ជeង

Page 12


[ AC ] នង [ AB ] ប( (C1 K ) 9 ប( ( AC ) ង B2 , ប( ( B1 K ) 9 ប( ( AB)

ង C2 ;/ ផ កs + 9: ABC នង AB2C2 .*B គ:(ម$ CAB
C

ក) 0ក n ∈ ℕ /មN+lOចនន A = 11...1 − 77 ... 7 59 0 ,ក/
*
dZ.
2n n

ខ) 0ក គបបiខង b 5
& ខ;/ B = 11...1 − bb ... b 59 0 ,ក/
2n n

1 1 1
d]. យក S n = 1 + + + ... + ច q n 5ចននគ ធម*5 មន.2នO
2 3 n
1 1 1 1
b%យបcកT
2
+ 2
+ 2
+ ... + 2
<2
S1 2.S 2 3.S3 n.Sn

5555555553 6666666664
da. ក) ប|ប ធnប 4ចនន A = នង B = មន ប [ .$+នគ ខ
5555555557 6666666669
2007
ខ) ប|ប ធnប 4ចនន C = 2006 2006! នង D =
2

ប|ប ធnប 4ចនន E = 2006 + 2004 នង 2. 2005
3 3 3
គ)

1
dd. < b%យ.ម+90 − x 1 − x2 = 1 − 2 x2
2

A B 1
KK. គlO + 9: ABC ផ|ងx tan . tan = b%យបcកT ក~ខ:L,ចនង
•
2 2 2
A B C 1
គប Bន /មN+lO + 9: ABC 5 + 9:;កងគ sin .sin .sin =
2 2 2 10

K . ក) គlOប+ចនន ជ ន នផ ប2ក .* 4 b%យបcកT ផ ប2កព+0ចននiក•,នកC$ង

ច (មប+ចនន ( មន 2ច5ងផ គ$: នប+ចនន (

ខ) គ:( S = sin 39 + sin 69 + sin183 + sin 213
0 0 0 0

1+ 3 x
K4. ក) < b%យ.ម+90 −1 = 0
4x + 2 + x

Page 13


ខ) យក x, y 0nងB50R.ម$កC$ងព+0 នពM$ 9:នយ^ ព+0 D1 នង D2
C <យ/ងT

5x − 7 y = 0 0កចនន ជeង ន D1 នង D2

KH. b%យបcកT ច q គបចននគ ជ ន n យង,នk

1 1 1 1
+ 3 + 3 + ... + <3
2 3 2 4 3 (1 + n) 3 n


0 < a ≤ b ≤ c ≤ d

1 2 d
K=. បiចននព
& a, b, c, d ផ|ងx  + + ≥3
a b c
2 d
b + c ≥ 2


b%យបcកT a + b + c − d ≤ 17
4 4 4 4

KW. គlOប+ចននព ជ ន a, b, c ផ|ងx ក~ខ: a + b + c = 1
•

1 1
0ក 2ចបផ$ នក នjម M = +
1 − 2( ab + bc + ca ) abc

KZ. គlO + 9:.ម, ABC 0ងងL0 កកC$ង + 9:ប[ នង ជeង AB ងT (CT ) 9

0ងង ង K tប T K 5ចន$ចកi& [CT ] នង CT = 6 2

គ:(0R. ជeង + 9: ABC

K]. ផ ប2ក ន m ចននគ2 ជ ន ផJងBនង n ចនន .. ជ ន ផJងBគ 2001 0ក
C C ធប

ផ$ នក នjម A = 5m + 2n

Ka. ក) 0ក គបចននគ ធម*5 n ;/ A = n 2005 + n 2006 + n 2 + n + 2 5ចននបuម

ខ) b%យបcកT ចននគ n > 1 យង,ន n n + 5n 2 − 11n + 5 ;ចក<ចនង ( x − 1)2

Kd. ក) ន p ក•BនពM$7 f ( x) មយ
* ន/ ក 2008 ;/ f ( x 2 − 2007) ⋮ f ( x ) ?

1 3 5 2005
ខ) 0ក ;ចក0មធបផ$ ន C2006 ; C2006 ; C2006 ; ... ; C2006

Page 14


K. ធប : ធ+ ង 9ម ;/ GកJ0ន+មយA@ង <យ ខព+ 0/ 9 ខ$.ABC

bo y s
+
bo y s
sill y

s =? o=? i =? b=? y =?

. 0ក គបGន$គមន} f : ]0, +∞[→ ℝ ផ|ងx k

 1
 f ( x) + x > 0

, x > 0 (1)
f ( x) 5Gន$គមន} កន នង 
 f ( x). f  f ( x) + 1  = 1 (2)
  x
  

4. គlOច $ម$ខ OABC ន OA, OB, OC មយគ2;កងB OA = x; OB = y; OC = z នង
C

x+ y+z=3 0ក ធបផ$ ន 9;.‚L0 កកC$ងច $ម$ខ OABC

H. tប T a 5ចននគ ជ ន;/ 2a − 2 ;ចក<ចនង a .+$ {un } ក: /2ច ង 9ម

u1 = a

 , ច q គប n = 1, 2, ...
un +1 = 2 n − 1
u


b%យបcកT ច q គប n = 1, 2, ... គ,ន5នចz 2 − 2 ;ចក<ចនង un
un

=. គlOចនន A = 1 00 ... 0100 ... 0 x5 0ក x /មN+lO A ;ចក<ចនង 37
2006 2005

2008
W. <យចនន 2006 ប ង- ,ន5ផ ប2កចននគ ជ ន ច20យកផ ប2កគ2ប ន គបបi&

Qង ( ;ចកនង 3 គ,ន.: .*ប[$(ន?
*

Z. @ង 1.3.5 ... (2n − 1) = (2n − 1) !! នង 2.4.6 ... (2n) = (2n)!!

b%យបcកT (2005)!!+ (2006)!! ;ចក<ចនង 2007

]. គlO0ងង (O) <យ នGង- ធC2ព+0 AB នង CD 9 B ង M
C @មចន$ចកi& S ន

Page 15


AM 2 AK
[ BD ] គ2. ( SM ) 9 [ AC ] ង K b%យបcកT =
CM 2 CK

a. ច20 ធ ប : ធ+ ង 9ម;/ GកJ0ន+មយA@ងlO ខខ$.ABព+
C 0/ 9

arcs
+
c=? r =? a =? s =?
bras
crass
f ( y ) −1
d. 0ក គបGន$គមន} f : ℝ → ℝ ផ|ងx ក~ខ:k f ( x + y ) = f ( x ).e
• គប x, y ∈ ℝ

4K. គlO n 5ចននគ ជ ន ផ|ងx ក~ខ: C (n, n − 1) + C (n, n − 2) = 55
•

(7 8 + 3 5)
n
ច200ក 5ចននគ កC$ង ទ7ញ2 $ន

 x1 = 1

4 . គlO.$+ { xn } ក: <យ  xn
xn +1 = ; n ≥1

 2 + 3 + xn
2

ក) ច20ក: ទ2 # ន { xn }

2
xn
ខ) b%យបcកTចនន − 2 vចប ង- ,ន5ផ ប2ក9 0 នHចននគ B (n ≥ 1)
C
2
x2 n

44. គlO 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a2006 ≤ 1 ច20 ប|ប ធnបk

A = log 1 ( a1 + a2 + ... + a2005 ) នង B = log 1 ( a1 + a2 + ... + a2006 )
2005 2006

4H. គlO + 9: ABC ;កង ង C ន BC < AC យក O 5ផz 0ងងL0 ក { នង I 5ផz

0ងងL0 កកC$ង <យ/ងT + 9: BIO ;កង b%យបcកTk

ក) BIO = 90
0

ខ) r = p − c ( r 590ងងL0 កកC$ង p កន8 ប0 + 9: ABC )

Page 16


គ) 2a + 2b + c = ac + 3bc
2 2 2

4=. ក) គlO + 9: ABC ន tan A, tan B, tan C ប ង- ,ន5.+$ នពន&មយ

0ក 2ចបផ$ នម$ B

ខ) គlO a, b, c > 0 0ក 2ចបផ$ នក នjមk

a b c b+c c+a a+b
P= + + + + +
b+c c+a a+b a b c

4W. គlO90 0 ABCD ជeង .* 3 wចន$ច M ? ជeង BC ប( AM 9 ជeង DC

ប(យ
8 ង P ប( DM 9 ជeង AB ប(យ
8 ង Q BP 9 CQ ង I

ក) គlO CM = 1 គ:( BI , CI

ខ) ព Mច ^ BC , 0ក.ន$ចន$ច I

a − b + c − d + e > 0
a + b − c + d − e > 0


4Z. ក) គlO a, b, c, d 5ចននគ ជ ន ផ|ងx k −a + b + c − d + e > 0
a − b + c + d − e > 0

−a + b − c + d + e > 0

b+d
0ក ធបផ$ ន M = (a + c) <យ/ ងT a + b + c + d = 2006

ខ) 0ក ធបផ$ កC$ង ទ7ញ2 $ន (1 + 0, 2)
100

4]. កC$ងGន$គមន}5ប f : ℝ → ℝ ផ|ងx ក~ខ:k
•

f (1) = −1 នង f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy គប x, y ∈ ℝ

4a. 0ក គបGន$គមន} f : ℕ → ℕ ផ|ងx ក~ខ:k
•

f (mn + 1) = mf (n) + 2 ច q គប m, n ∈ ℕ

1 1 1 1
4d. ក) b%យបcកT 1 + + + + ... + < 3
1! 2! 3! n!

ខ) គlO.+$ ( Sm ) ; m ∈ ℕ នង m > 4 ក: /2ច ង 9មk

Page 17


S 4 = 1; S m +1 = S m + 1(m − 2) + 2(m − 3) + 3(m − 4) + ... + (m − 2).1

b%យបcកT S m = Cm
4

HK. គlOGន$គមន} f ក: ℝ នង ផ|ងx ក~ខ:k
•

a ). f ( x + 3) ≥ f ( x ) + 3 .

b). f ( x + 2) ≥ f ( x) + 3 ច q គប x ∈ ℝ

b%យបcកT Gន$គមន} g ( x) = f ( x) − x 5Gន$គមន}ខប

H . Gន$គមន} f ក: ℝ ផ|ងx f ( x + 4) + f ( x − 4) = f ( x) ច q គប x ∈ ℝ

b%យបcកT f 5Gន$គមន}ខប

H4. + 9: XYZ នម$;កង ង Y នង XY = 228, YZ = 2006 បម$ Y ! ;ចក5 Hច;:ក

.*B /
C ជប XZ ង P នង Q <យ X ; P; Q; Z .Y ?@ម <ប XZ

គ:( ( PY + YZ )( QY + XY )
HH. នពM$7 P ន/ កទ+W ;/ ន ក~:k/2ច ង 9មk ប Z 5ចននក$ផ8ច;/

Z 5 + 2006 Z = 1 ( P Z 2 = 0 ( ) គ:(ផ ធnបk
P(1)
P ( −1)

2y2 
x2  x y
H=. ប x, y , z 5ចននព ជ ន;/ 3 = k  2 + 2  + k  +  0ក G ប0 ន k.
y  y x
 x 

HW. គlO + 9: ABC នម$b._ចQងប+ b%យបcកTk

ក) ha + hb + hc ≥ 9r , ;/ ha , hb , hc កព. + 9: នង r 590ងងL0 កកC$ង

1 1 1 2
ខ) + + ≤ , ;/ ma , mb , mc ម/rន + 9:នង R 90ងងL0 ក {
ma mb mc R

HZ. ក) យក x1 , x2 , x3 5p..ម+90k x − (2m + 3) x + (2m − m + 9) x − 2m + 3m − 7 = 0
3 2 2 3

ន P = x1 + x2 + x3 + x1 x2 x3
2 2 2
0ក ធបផ$ នង 2ចបផ$

Page 18


ខ) គlO a, b, c > 0 ផ|ងx ក~ខ: abc = 1
•

bc ca ab
0ក 2ចបផ$ ន P= + +
a b+a c
2 2
b c+b a
2 2
c a + c 2b
2

H]. គlOច $ 9: ABCD @មចន$ចកi& K នGង- ទ!ង BD .ងប( b.ប5មយ AC

ប( ន 9 AD ង E

b%យបcកT (CE ) ;ចកច $ 9: ABCD 5ព+0;ផCក ន ផ កs .*BC

Ha. គlO.+$ u1 ; u2 ; ...; u2 n ផ|ងx k



ui ≠ 0 ∀i = 1, n

 un .un +1 1 2n 1
un + 2 =
2un − un +1
& f ( x) = 2 x −1
+1
គ:( A = ∑ f u 
 2006 i =1  i
 2n 1
Sn = ∑ i = 1 =n

 ui

U 0 = 2

Hd. គlO.+$ {U n } ក: <យk  0ក ទ2 # ន U n
U n +1 = 3U n + 8U n + 1 ; n ∈ ℕ
2


=K. 0ក គបបiចននគ
& n ;/ n 2 + 2006 59 0 ,ក/

ម គជយកង ក !!

Page 19

Teacher hort siath maths exercises

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Teacher hort siath maths exercises