1. UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
CÁLCULO DIFERENCIAL
GUÍA 11. GRÁFICAS DE FUNCIONES
INTRODUCCIÓN
En la siguiente guía encontrará una lista de ejercicios que le permiten usar las herramientas de la
diferenciación para el trazado de gráficas de funciones, así como capturar la mayor información
posible de una función a partir de su primera y segunda derivada.
OBJETIVOS
• Utilizar los criterios de primera y segunda derivada para obtener la gráfica de las funciones
propuestas.
• Desarrollar habilidades en la aplicación de la derivación para el trazado de gráficas.
METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
• Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.
• Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
• Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
• Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS
El estudiante estará en capacidad de:
1. Dada una función, encontrar su dominio, puntos críticos, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y esbozar su gráfica.
2. Determinar el comportamiento de una función conociendo sólo su derivada.
3. Dibujar gráficas de funciones que cumplan una lista de propiedades que involucren valores
de la función en puntos, información sobre su primera y segunda derivada en puntos o
subintervalos.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Trazar la gráfica de f (x) x 3 − 27 x + 4

2. Dominio: R
Interceptos con el eje y. Son los puntos en donde x = 0, para nuestro ejemplo:
f (0) = (0)3 − 27(0) + 4 = 4
Asíntotas.
Asíntotas verticales: Corresponden a los valores de x = a para los cuales lim f ( x) = ±∞ , pero en este
x →a
caso, al tratarse de un polinomio ocurre que: lim f ( x) = f (a) por lo tanto no hay asíntotas verticales.
x →a
Asíntotas horizontales: Estas se presentan para los valores de y = b para los cuales
lim f ( x) = b
x →±∞
Puntos críticos. Son aquellos puntos ( x , y ) para los cuales la derivada es cero ó no existe, veamos:
f '(x) = 3 x − 27 = 0 = 0
2
x = 3, x = −3.
Nota: Un polinomio es derivable en cualquier x
Intervalos de crecimiento. Una función f(x) es creciente en un intervalo I (donde es continua) si f ´(x) >
0 para cualquier x del intervalo I.
Analizamos el signo de f '(x).
La gráfica de f crece en (− ∞,−3]∪ [3,+∞).
Una función f(x) es decreciente en un intervalo I (donde es continua) si f ´(x) < 0 para cualquier x del
intervalo I.
La gráfica de f decrece en [− 3,3].
Máximos y mínimos. Un máximo, o , un mínimo local o relativo de una función f(x) continua se
presenta donde f ´ (x) = 0 , o , donde f ´ (x) no existe. Estos puntos se denominan puntos críticos.
No todo punto crítico se convierte en máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada.
Si x0 es un punto crítico tal que f ´ (x0) = 0. Entonces en x0 existe un máximo local si f´´(x0) < 0.
Si x0 es un punto crítico tal que f ´ (x0) = 0. Entonces en x0 existe un mínimo local si f´´(x0) > 0.
En x = −3 hay máximo local y el valor de y es 58. (Verifíquelo)

3. En x = 3 hay mínimo local y el valor de y es -50. (Verifíquelo)
Concavidad.
Sea f(x) una función continua en un intervalo I, f(x) es cóncava hacia abajo en dicho intervalo
si: f´´(x) < 0 para cualquier x del intervalo I.
Sea f(x) una función continua en un intervalo I, f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo
si: f´´(x) > 0 para cualquier x del intervalo I.
Intervalos de concavidad. Analizamos el signo de f ''(x)
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en (− ∞,0).
La gráfica de f es cóncava hacia arriba en (0,∞)
Puntos de inflexión.
Los puntos de inflexión son aquellos donde cambia la concavidad.
Los puntos de inflexión se presentan donde la segunda derivada es cero o no existe.
f ''(x) = 6x = 0
x = 0 (Punto de inflexión)
Rango. R.
Gráfica

4. x 4 3x 2
2. f ( x) = −
4 2
Dominio. R.
Intercepto con el eje y. x = 0, y = 0.
Raíces. x = 6 , x = − 6
Asíntotas. No tiene.
Puntos críticos. f '(x) = x 3 − 3 x = 0
x = 0, x = 3 , x=- 3
Intervalos de crecimiento. Analizamos el signo de f '(x)
(
La gráfica de f crece en − ∞,−
3
]∪ [0, 3 ].
La gráfica decrece en − [ 3
] [
,0 ∪
3
,+∞ )
Máximos y mínimos.
9
En x = − 3 hay mínimo local y el valor de y es −
4
En x = 0 hay máximo local y el valor de y es 0.
9
En x = 3 hay mínimo local y el valor de y es −
4
Puntos de Inflexión. f ''(x) = 3x2 − 3 = 0

5. x = −1, x = 1.
Intervalos de concavidad. Analizamos el signo de f ''(x) .
La gráfica de f es cóncava hacia arriba en (− ∞,−1)∪ (1,+∞).
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en (−1,1).
Gráfica.
9
Rango. [− , ∞)
4
2x
3. f ( x) = 2
x +1
Dominio. R.
Intercepto con el eje y, y = 0.
Raíces. x = 0 .
Asíntotas.
lim f ( x ) = 0 , lim f ( x) = 0 entonces f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0.
x →∞ x →−∞
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.
Puntos críticos
2(1 + x)(1 − x )
f ´( x) = =0
( x 2 + 1) 2
Intervalos de crecimiento.

6. La gráfica de f crece en [−1,1].
La gráfica de f decrece en (− ∞,−1]∪ [1,+∞).
Máximos y mínimos.
En x = −1 hay mínimo local y el valor de y es -1.
En x =1 hay máximo local y el valor de y es 1.
Puntos de Inflexión.
4 x( x 2 − 3)
f ´´( x ) = =0
( x 2 + 1)3
x = 0, x = − 3 , x = 3
Intervalos de concavidad.
La gráfica de f es cóncava hacia arriba en − ( 3
) (
,0 ∪
3
)
,+∞
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en − ∞,−( 3
)∪ (0, 3 )
Gráfica.
Rango. [−1,1].
EJERCICIOS PROPUESTOS
A continuación encontrará cada función con su respectiva gráfica, su primera y segunda
derivada. Usted debe seguir el procedimiento realizado anteriormente para encontrar
todos los puntos claves y determinar la gráfica de la función.
x2 x ( x − 2) 2
1. f ( x ) = , f ´( x ) = , f ´´( x ) =
x −1 ( x − 1) 2
( x − 1)3

7. x2 − 2x + 4 x ( x − 4) 8
2. f ( x ) = , f ´( x ) = , f ´´( x ) =
x−2 ( x − 2) 2
( x − 2)3
3. f (x) = x − 5 x , f '(x) = 5 x ( x − 3) , f ''(x) =10x(2 x − 3) .
5 3 2 2 2

8. 1 − x2 6x −6(3 x 2 + 4)
4. f ( x ) = , f ´( x ) = , f ´´( x ) =
x2 − 4 ( x 2 − 4) 2 ( x 2 − 4)3
NOTA IMPORTANTE
Recuerde que para graficar la curva y = f (x) , debe tener en cuenta la siguiente
secuencia de pasos:
1. Hallar los puntos de corte de la curva con el eje X y con el eje Y .
2. Hallar f | (x) y f quot;(x)
3. Encontrar los puntos críticos de la función e identificar el comportamiento de la
función en cada uno.
4. Encontrar en donde crece y donde decrece la curva.
5. Encontrar (si existen) los puntos de inflexión y determinar la concavidad de la
curva.
6. Identificar las asíntotas.
7. Graficar la curva teniendo en cuenta los pasos anteriores.
Use los pasos anteriores para elaborar la gráfica de cada uno de las siguientes funciones:
EJERCICIOS
1.- Realice los pasos descritos anteriormente para dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
(a) y = 5 x 2 / 5 − 2 x
x +1
(b) y =
x−5
x2 − 3
(c) y =
x−2
(d) y = x − 1
2
2.- Grafique una función dos veces diferenciable y = f (x) con las siguientes propiedades. Señale
las coordenadas cuando sea posible.
x y Derivadas
x<2 y’< 0, y’’> 0

9. 2 1 y’= 0, y’’> 0
2<x<4 y’> 0, y’’> 0
4 4 y’> 0, y’’= 0
4<x<6 y’> 0, y’’< 0
6 7 y’= 0, y’’< 0
x>6 y’< 0, y’’< 0
3.- Suponga que la derivada de la función y = f (x) es
y ' = ( x − 1) 2 ( x − 2)
¿En qué puntos, si hay alguno, tiene la gráfica de f un mínimo local, un máximo local o un punto de
inflexión?.
Trace una curva suave y = f (x) que cumpla las siguientes condiciones:
f (−2) =8, f (0) = 4 , f (2) = 0 , f ´(2) = f ´(−2) , f ´( x) < 0 para x < 2
f ´( x) < 0 para x < 0 , f ´( x) > 0 para x > 0