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Factorizacion
 

Factorizacion

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Guia rápida para aprender los 10 casos de factorización

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    Factorizacion Factorizacion Presentation Transcript

    • 5) Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1GUIA DE ESTUDIO PARA ESTUDIANTES LINDAS COMO VOS PEQUES N1 Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:Checalos y despues trata de hacer ejercicios, para que practiques y te El Cuadrado del 1er Termino + 2 Veces el 1ro por el 2do + el Cuadrado del 2dofamiliarices, para que sepas cuando tienes que aplicar un caso u otro, cuandotengas que usar factorización, recorda la ecuación mas importante es que si a² + 2ab + b² = (a + b)² TCP 2N+S+S+K = para siempre Factorar: m² +2m +1 Checa la regla anterior si cumple será un TCP1) Factorar un Monomio: m² +2m +1 = (m + 1)² TCP si cumpleEn este busca los factores en los que se puede descomponer el término 6) Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b²15ab = 3 * 5 a b De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados2) Factor Común Monomio: a² - b² = (a - b) (a + b)En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos 4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu ¿factor común 7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:a² + 2a = a (a + 2) Factorar (a + b)² - c²3) Factor Común Polinomio: (a + b)² - c² =En este caso en ambos términos tu factor que se repite es [(a + b) + c] [(a + b) - c] =(a + b), entonces lo puedes escribir de como el factor del otro binomio (a + b + c) (a + b – c)x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b) 8) Trinomio de la Forma; x² + bx + c4) Factor Común por Agrupación de Términos: Factorar x² + 7x + 12ax + bx + ay + by = Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) = 4+3=7(x + y)(a + b) 4 x 3 = 12
    • a) Suma de Cubos:Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x: Se resuelve de la siguiente manerax=-4x=-3 El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)9) Trinomio de la Forma; ax² + bx + c El cuadrado del 1er termino, - el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino (a² - 2ab + b²)Factorar 6x² - x - 2 B) Diferencia de Cubos:Mira: a³ - b³ = (a - b) (a² + 2ab + b²)1ro) multiplica los términos de los extremos de tu trinomio (6x²) (-2) = -12x² Se resuelve de la siguiente manera2do) Basándote en el coeficiente del segundo termino (-x) = -1 y en el resultadodel 1er paso, vamos a buscar 2 numero que sumados me den (-1) y multiplicados El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)me den (-12) El cuadrado del 1er termino, + el doble del producto de los 2 términos + el3ro) esos numero son (-4x) y (3x), sumados, me dan (-1) y multiplicados me dan (- cuadrado del 2do termino (a² + 2ab + b²)12x²)4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er termino de tu trinomio con el1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x)5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el 3er termino de tu trinomio (-2);(3x-2)6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) + (3x-2), encuentra algún terminocomún en cada uno2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos en otro paréntesis y elimina untermino de los 2 que tienes (3x-2),Este será tu Factorización (2x+1)(3x-2),10) Suma o Diferencia de Cubos: a³ + b³
    • GUIA DE ESTUDIO PARA ESTUDIANTES LINDAS COMO VOS PEQUES N2 x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)➀ Factorar un Monomio: ➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:15ab = 3 * 5 a b ☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino➁ Factor Común Monomio:En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos Factorar: m² + 6m + 9Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu m² + 6m + 9factor común ↓…………..↓ m..............3a² + 2a = a ( a + 2 ) ➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término➂ Factor Común Polinomio: [m]y[3]x[a+b]+m[a+b] ➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio,puedes escribir como el factor del otro binomio que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadradox[a+b]+m[a+b]=(x+m)(a+b) (m + 3)²➃ Factor Común por Agrupación de Términos:En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término Nota:para agruparlo Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by] ➌ Ahora aplica la Regla del TCPDespués de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio (m + 3)²[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) El Cuadrado del 1er Termino = m²Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio [ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
    • [ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 4+3=7➍ Junta los Términos 4 x 3 = 12m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla ➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b) (x + 4)(x + 3)De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)términos diferente signo) ➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + ca² - b² = (a - b) (a + b) Factorar 6x² - x – 2 = 04a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3) Pasos:➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos: ➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada laFactorar (a + b)² - c² multiplicación(a + b)² - c² 6x² - x – 2Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b) 36x² - [ 6 ] x – 12[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis ➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del(a + b + c) (a + b – c) trinomio equivalente➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c (6x.......) (6x.......)Factorar x² + 7x + 12 ➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio ➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ](x.......) (x.......) -4+3=-1➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12 [ - 4] [ 3 ] = - 12
    • ---GUIA DE ESTUDIOS SOBRE LA➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis FACTORIZACION------- N3(6x - 4) (6x - 3)➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por Objetivos: Al terminar de estudiar este tema, tu mi peques:lo que hay que reducirlos  Conoceras las reglas básicas de factorización.(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)  Identificaras los principales casos de factorización y seras capaz de factorizar y serasEsta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2) capaz de aplicarlas para factorizar monomios, binomios, trinomios y polinomios.  Seras capaz de hacer pruebas de factorización➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³Suma de Cubos:============ Factores y Factorizacióna³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) Factores en aritmética En aritmética aprendimos que si multiplicamos por el resultado es , porSe resuelve de la siguiente maneraEl binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) tanto, es igual a por . Los números y son factores de porque alEl cuadrado del 1er termino, [ a² ] multiplicarlos obtenemos el mismo número ( ). Esto se expresa aritméticamente así:[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ][ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]Diferencia de Cubos: Ahora bien, y pueden a su vez descomponerse así:==============a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)Se resuelve de la siguiente manera Por tanto:El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)El cuadrado del 1er termino, [ a² ][ + ] el producto de los 2 términos [ ab ][ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]
    • Al descomponer el número obtenemos el número multiplicado Observa que en álgebra el símbolo dedos veces y el número multiplicado tres veces. Los números y multiplicación puede ser omitido.son primos. Se dice entonces que y sonfactores primos de ,es decir: Definiciones Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Observa la diferencia existente entre los conceptos"factores" y "factores primos" Factorizar una expresión algebraica es:Factores en álgebraSi multiplicamos la expresión por la expresión el resultado  convertirla en el producto indicado de sus factoreses la expresión .  el proceso reverso de una multiplicación  descomponerla en el producto de otras expresiones algebraicasPor tanto es el resultado de multiplicar por . más simples (factores), tal que al multiplicarlas todas resulta la expresión original.Las expresiones y son factores de porque almultiplicarlos obtenemos la misma expresión ( ). Esto se factorizaciónexpresa algebraicamente así: ----------------------------------------> <---------------------------------------- multiplicaciónDe igual modo si:
    • Casos de FactorizaciónFactorizar monomios El proceso reverso de esta operación corresponde a la factorización deLa factorización de monomios es muy similar a la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos.números. Básicamente consiste en obtener por simple inspección los Ejemplo 1:factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores delas literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada Factorizarliteral. Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos tienen raízEjemplo 1: cuadrada. Calculamos las raíces:Factorizar el monomio :  Ejemplo 2:Factorizar el monomio : El resultado de la factorización es:Factorizar binomios Binomios conjugadosLos binomios son expresiones algebraicas que contienen dos Ejemplo 2:términos. La factorización de binomios es un proceso muyimportante en álgebra. Factorizar .Ejemplos de binomios Analizamos: El binomio es una diferencia y ambos términos (compuestos) tienen raíz cuadrada. Calculamos las raíces:a) Diferencia de cuadrados perfectos En el tema "Productos Notables" se estudió que la suma de doscantidades multiplicadas por su diferencia es igual a una diferencia de cuadrados perfectos, por ejemplo:
    • Ejemplo 2:El resultado de la factorización es: Factorizar Aplicando la Regla 2 (diferencia de cubos perfectos): Obtenemos la raíz cúbica de : Obtenemos la raíz cúbica de : Binomios conjugadosb) Suma o diferencia de cubos perfectosLas reglas de factorización para la suma de cubos y la diferencia Obtenemos el cuadrado de : Obtenemos el cuadrado de :de cubos son: Regla 1: El resultado de la factorización es: Regla 2:Ejemplo 1: Factorizar trinomiosFactorizar Los trinomios son expresiones algebraicas que contienen tres términos. La factorización de trinomios es, al igual que en los binomios, unAplicando la Regla 1 (suma de cubos perfectos): proceso muy importante en álgebra. Ejemplos de trinomiosObtenemos la raíz cúbica de : Obtenemos la raíz cúbica de :Obtenemos el cuadrado de : Obtenemos el cuadrado de : a)Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, es el cuadrado perfecto de , puesto que .El resultado de la factorización es:
    •  Todos los cuadrados perfectos tienen dos raíces: una con signo positivo y la otra con signo negativo, es decir, que en el ejemplo Ejemplo 1. anterior también es válida la igualdad: Factorizar . 1.  Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un 2. binomio, es decir, el producto de dos binomios iguales. Por ejemplo, es el trinomio cuadrado perfecto 3.Se verifica de ya que Cuando el doble producto de las raíces cuadradas es negativo, su solución (binomio al cuadrado) es una diferencia: Reglas para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. El resultado de la factorización es: Sea el trinomio ,  El primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos  El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas Factorizar polinomios del primer y tercer término No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distindos de la unidad, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números Así, es un trinomio cuadrado perfecto porque: primos que sólo son divisibles entre ellos mismos y por la "unidad", hay ............... el primer término es un cuadrado perfecto y expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por lapositivo. "unidad", y que, por tanto, no son el productos de otras expresiones algebraicas. Así no puede descomponers en dos factores distinos ............... el tercer término es un cuadrado perfecto y de porque sólo es divisible por y por .positivo. ....................... es el doble producto de las raíces cuadradas de elprimer y tercer término (puede ser positivo o negativo
    • a) Monomio como factor común Analizamos el binomio. Ambos términos contienen el factor Factorizar la expresión común , por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo factor se calcula dividiento el binomio entre el factor común: Analizamos el binomio. Obtenemos el factor común:  Primer factor:  Calculamos el máximo común divisor de los coeficientes, es decir m.c.d. ( )  Segundo factor: El resultado de la factorizaciónEl único factor común elevado al mínimo exponente es: es:  Seleccionamos las variables comunes a Prueba general de factorización ambos términos y elegimos el mínimo Para cualquiera de los casos que hemos estudiado, la prueba consiste en exponente: multiplicar los factores obtenidos, su producto tiene que ser igual a la y expresión que se ha factorizado. Si realizas esta prueba te habrás El factor común es , por lo que éste es nuestro primer factor, el asegurado que la factorización es correcta. segundo factor se calcula dividiendo el binomio entre el factor común: Ejemplo:  Primer factor: Al factorizar la expresión se obtiene:  Segundo factor: El resultado de la factorización La prueba consiste en multiplicar los factores obtenidos. El resultado es: deberá ser la expresión original: b) Polinomio como factor común Factorizar la expresión http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/factorizar.php