1. IDENTIDADES
NOTABLES
3º ESO

2. IDENTIDADES NOTABLES
• IDENTIDAD
Una identidad es una igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la
variable o variables.
• IDENTIDADES NOTABLES
También llamados productos notables o potencias notables, son productos de
uso muy frecuente que es imprescindible memorizar.
En todo caso siempre se pueden deducir cuando no se recuerden bien.
• ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
• ( x - y )2 = x2 - 2xy + y2
• ( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y 2

3. COMPROBACIÓN
Deducimos las tres expresiones:
• DEDUCCIÓN
( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
( x + y )2 = (x + y)(x + y) = x2 + xy + yx + y2 =
= x2 +2xy + y2
• DEDUCCIÓN
( x - y )2 = x2 - 2xy + y2
( x – y )2 = ( x – y )( x – y ) = x2 – xy – yx + y2 =
= x2 – 2xy + y2
• DEDUCCIÓN
( x + y ) . ( x – y ) = x2 – y 2
( x + y )( x – y ) = x2 – xy + yx + y2 =
= x2 – y 2

4. COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA
CUADRADO DE UNA SUMA
( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
y
●
El cuadrado rojo, de lado x, tiene un
área de x2 .
x y
●
El cuadrado negro, de lado y, tiene
un área de y2 .
●
Cada rectángulo verde, de lados x e x
y , tiene un área de x⋅y.
●
Si unimos las cuatro áreas
señaladas, tendremos el cuadrado de
lado (x + y). x y
Ejemplo
( 3 + 1 )2 = 32 + 2⋅(3⋅1) + 12
16 = 9 + 2⋅3 + 1  16 = 16

5. COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA
CUADRADO DE UNA RESTA
( x – y )2 = x2 – 2xy + y2
y
●
El cuadrado rojo, de lado (x – y), tiene x-y y
un área de (x – y)2 .
●
El cuadrado negro, de lado y, tiene un
área de y2 . x
x–y
●
Cada rectángulo verde, de lados (x – y)
e y , tiene un área de (x – y).y
●
Si restamos al cuadrado grande el negro
y los dos rectángulos verdes, tendremos x-y y
el área del rojo.
x
x2 – y2 – 2(x – y)y =
= x2 – y2 – 2xy + 2y2 =
= x2 – 2xy + y2

6. COMPROBACIÓN GEOMÉTRICA
SUMA POR DIFERENCIA
(x + y)(x – y) = x2 – y2
y
●
El rectángulo rojo, de lado x y (x – y),
más el rectángulo verde, de lado y y (x – y)
debe ser la diferencia de cuadrados.
x-y
x-y
(x + y)(x – y) = x y
x(x – y) + y(x – y) = x+y
x2 – xy + xy – y2 =
x2 – y2

7. Ejercicios (I)
●
( x + 5 )2 =
●
( 2x - y )2 =
●
( 3 + y ). ( 3 – y ) =
●
( x + 4 )2 =
●
( 5 - 2y )2 =
●
( 3x + √5 )2 =
●
( x/2 – 2/x )2 =
●
( √3 + y ) . ( y – √3 ) =

8. Ejercicios ( II)
●
( - x + 5 )2 =
●
( - 2a - b )2 =
●
( - 3 + a/2 ) . ( - 3 – a/2 ) =
●
( 1/x – 5)2 =
●
( 5 – x + y )2 =
●
( 3 + x – √5 )2 =
●
( – a/4 – 2/a )2 =
●
( √3 + √5 ) . (√5 – √3 ) =

9. Ejercicios (Inversos)
●
x2 - 8⋅x + 16 =
●
25 + 10⋅a + a2 =
●
9 - 4⋅x2 =
●
x4 – 14⋅x2 + 49 =
●
5 – a 2b 4 =
●
32⋅x + x2 + 16 =
●
– 25 – y2 + 10⋅x =
●
– 3 – 2⋅√3⋅x – x2 =