Your SlideShare is downloading. ×
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Saving this for later?

Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime - even offline.

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2

23,235
views

Published on


3 Comments
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
23,235
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
496
Comments
3
Likes
8
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. 1...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 บทที่ 2 พหุนาม 2.1 เอกนาม นิพจน์ (expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิตจะมีการใช้ ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจานวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง เช่น 3, 6x, x+y , 11 , x2 -y2 -xy ,… โดยเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร (variable) และตัวเลขเรียกว่า ค่าคงตัว (constant) ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร 1. ในกรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูปการคูณระหว่าง ค่าคงตัวกับตัวแปรโดยเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร เช่น 2x5xaxb เขียนเป็น 10ab 2. ให้เขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 เขียนเฉพาะ เครื่องหมายลบหน้าตัวแปรทั้งหมด ส่วนตัวแปรให้เขียนลาดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกัน เช่น (-1)xnxm เขียนเป็น -mn 3. กรณีมีตัวแปรหลายตัว ให้เขียนเรียงตามลาดับอักษร โดยเขียนเรียงชิดกัน ใช้สัญลักษณ์เลขยกกาลัง ในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 3x4xaxbxbxaxa เขียนเป็น 12a3 b2 ตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรต่อไปนี้ให้ถูกต้อง 5x(-2)xaxdxc เขียนเป็น ......................................................... (-4)x(-2)xbxbxaxa เขียนเป็น ......................................................... 3x5xpxpxrxs เขียนเป็น ......................................................... (-1)xqxqxqxp เขียนเป็น .........................................................
  • 2. 2...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัว ขึ้นไป โดยที่ เลขชี้กาลัง(exponent) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจานวนเต็มบวก ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม 7x , 2 3 ab, 8ab3 c ,0 ,5 , 3x – x เหตุผล 7x เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 7กับตัวแปร x เลขชี้กาลังของตัวแปรเป็น 1 2 3 ab เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 2 3 กับตัวแปร a, b เลขชี้กาลังของตัวแปร เป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก 8ab3 c เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 8 กับตัวแปร a, b และ c เลขชี้กาลังของ ตัวแปรเป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก 0 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 0 คูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0a3 ซึ่งเลขชี้กาลังของตัวแปรนั้น เป็นจานวนเต็มบวก 5 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 5a0 ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัว 5 กับตัวแปรใด (a) ซึ่งเลขชี้ กาลังของตัวแปรนั้นศูนย์ 3x – x เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนเป็น 2x ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรที่มีเลขชี้กาลัง เป็นจานวนเต็มบวกได้ ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม 4x-1 y , 𝑥 𝑦 , 2 – 3x, a+b+c เหตุผล 4x-1 y ไม่เป็นเอกนาม เพราะเลขชี้กาลังของตัวแปร x เป็น -1 𝑥 𝑦 ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณจะได้ xy-1 เลขชี้กาลังของ y เป็น -1 2 – 3x ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้ a+b+c ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้
  • 3. 3...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่อยู่ในรูปการคูณกันของตัวแปร โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และ ผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามจะ เรียกว่า ดีกรีของเอกนาม ตัวอย่างที่ 4 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม 2xy เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 2 ดีกรี = 1 + 1 = 2 -xy2 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 + 2 = 3 23 a3 b4 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 23 ดีกรี = 3 + 4 = 7 -8 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -8 ดีกรี = 0 x เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 1 ดีกรี = 1 -a เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 𝑥𝑦 𝑧2 3 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 1 3 ดีกรี = 1+1+2 = 4 ข้อสังเกต สาหรับเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้เพราะ 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของ ค่าคงตัว 0 กับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0x3 หรือ 0y4 ดังนั้นดีกรีของเอกนาม 0 จึงกาหนดไม่ได้ และเอกนามที่เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีดีกรีเป็น 0 ทั้งหมด เพราะจัดให้อยู่ในรูปการคูณกับตัวแปร ใดๆ ก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังเป็น 0 หรือตัวแปรกี่ตัวก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวเป็น 0 เช่น 3x0 , 3a0 b0 ,3y0 มีค่าเท่ากับ 3 ทั้งหมด ก่อนนอนนักเรียนอย่าลืมทบทวนเอกนาม อีกรอบนะค่ะ ... หรือไม่เรามาเริ่มทา แบบฝึกหัดที่ 1 กันดีกว่านะค่ะ
  • 4. 4...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 1 เรื่อง เอกนาม 1. จงใส่เครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนามและเครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม .............. 1.1 5-2 a ……………… 1.2 15xy-2 ……………… 1.3 4(x+y) .............. 1.4 -5.5 a3 b0 ……………… 1.5 32 xy2 z3 ……………… 1.6 13m-3 n .............. 1.7 11p2 qr ……………… 1.8 𝑥2 3 ……………… 1.9 0.5 (𝑎𝑏𝑐 )−4 .............. 1.10 5 𝑎𝑏 ∙ 𝑎3 𝑏3 ……………… 1.11 2.7 ……………… 1.12 1 4 pq .............. 1.13 3x + 2y ……………… 1.14 15x0 y-1 z2 ……………… 1.15 7xy 2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้ ข้อ เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรีเอกนาม 1 -2p2 q 2 7 13 x2 y5 3 -9ab2 c3 4 -16x0 yz4 5 1 2−3 m2 n5 6 −𝑎3 𝑏 8 7 3.6p5 q7 8 3 𝑥2 𝑦0 𝑧3 9 9𝑎3 𝑏2 3𝑎𝑏 10 𝑚3 𝑛 𝑚−1
  • 5. 5...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.2 การบวกและการลบเอกนาม เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กาลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละ เอกนามเท่ากัน ตัวอย่าง 1 เอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่าง 2 เอกนามที่ไม่คล้ายกัน 3x คล้ายกันกับ - 7x - 6x ไม่คล้ายกันกับ - 5y - 5xy2 คล้ายกันกับ 𝑥𝑦2 3 3x2 y ไม่คล้ายกันกับ 2xy2 5 คล้ายกันกับ 2 4x ไม่คล้ายกันกับ 3x2 3m2 n ไม่คล้ายกันกับ 5m2 nt การบวกเอกนาม การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน สามารถหาผลบวกได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ ดังนี้ ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)x(ส่วนที่อยู่ในรูปตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) ข้อสังเกต สาหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น -7x กับ -7y สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ คือ (-7)x + (-7)y ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1. 11a + 7a = (11+7)a = 18a 2. -6x2 y + 9x2 y = [(-6) + 9] x2 y = 3x2 y 3. 10a2 bc + 3a2 bc = (10+3)a2 bc = 13a2 bc 4. 7xy2 z + (-5xy2 z) = [7+(-5)]xy2 z = 2xy2 z 5. -2pqr + (-4pqr) = [(-2)+(-4)]pqr = -6pqr
  • 6. 6...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 เนื่องจากว่าเอกนามแทนจานวน ดังนั้น จึงใช้สมบัติการสลับที่สาหรับการบวก สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับ การบวก สมบัติการบวกด้วยศูนย์ และสมบัติการคูณด้วยศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวกของเอกนามได้ การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจานวนสองจานวนที่กล่าวว่า “การลบ คือ การบวกด้วย จานวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังนี้ a – b = a + (-b) เมื่อ a , b เป็นจานวนใด ๆ และ -b เป็นจานวนตรงข้ามของ b การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน เราจึงเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนาม เช่น 4a5 – 3a5 = 4a5 + (–3a5 ) แล้วจึงใช้หลักเกณฑ์ที่ได้จากการบวกเอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่าง 4 จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1. 5xy – 2xy = 5xy + (-2xy) = [5+(-2)]xy = 3xy 2. 6a2 b – (-3a2 b) = 6a2 b + 3a2 b = (6+3)a2 b = 9a2 b 3. (-2x2 ) – 4x2 = (-2x2 ) + (-4x2 ) = [(-2)+(-4)]x2 = -6x2 4. 7m2 n – 10m2 n = 7m2 n + (–10m2 n) = [7 +(-10)]m2 n = -3m2 n 5. (-7st2 ) – (-2st2 ) = (-7st2 ) + 2st2 = [(-7)+2]st2 = - 5st2 เอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น 3x2 y4 กับ x3 y3 ไม่สามารถหาผลลบในรูปเอกนามโดยใช้สมบัติการแจก แจงได้ จึงเขียนผลในรูปการลบ ดังนี้ 3x2 y4 - x3 y3 เป็นต้น
  • 7. 7...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม 1. จงพิจารณาเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ว่าคูใดคล้ายกันหรือไม่คล้ายกันโดยเติมเครื่องหมาย ในช่อง  1.1 5w2 กับ 2w2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.2 -19y5 กับ -5y5  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.3 x3 กับ y3  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.4 -a2 กับ -4a2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.5 xy2 z3 กับ x3 y2 z  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.6 xyz กับ xzy  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.7 x2 y กับ xy2  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.8 -4u กับ 3u  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.9 -5x3 y2 กับ -5x2 y3  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 1.10 x กับ –x  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน 2. จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 2.1 -12x+13x 2.2 3ab+5ab ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.3 17m2 +(-3m2 ) 2.4 (-3ab4 )+(-17ab4 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.5 25p2 q4 +6p2 q4 2.6 (-5x2 y)+3yx2 ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
  • 8. 8...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.7 10a2 b2 c2 + 21a2 b2 c2 2.8 ( 1 8 x2 yz)+ (- 1 8 x2 yz) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 2.9 (-2m2 n5 )+( -18m2 n5 ) 2.10 15yxz + 13xyz ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3. จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 3.1 15mn – 13mn 3.2 27x2 – (-11x2 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.3 (-8p2 q) -6p2 q 3.4 (9a4 bc) – (- 6a4 bc) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.5 (-16m2 n3 ) – (-11m2 n3 ) 3.6 -12st2 – 5st2 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.7 20c2 d2 – 15c2 d2 3.8 8pq – (-10pq) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 3.9 (-10x2 y2 z2 ) - (-9x2 y2 z2 ) 3.10 13xy2 - (-7y2 x) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4. จงหาผลลัพธ์ของเอกนามต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ 4.1 7m + (-3m) + (-4m) 4.2 (4c2 -3c2 ) + 6c2 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
  • 9. 9...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 4.3 9xy3 z - 4xy3 z - xy3 z 4.4 12x2 y + (-8x2 y) - 4x2 y ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.5 18abc – 13abc + 2abc 4.6 (-10p2 q3 ) + 2p2 q3 - 6p2 q3 ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.7 5a3 b + 4 3 a3 b+ 5 3 a3 b 4.8 1.5xy3 z + 3.3xy3 z – 2.2xy3 z ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 4.9 5x + 3xz + (-7x) – (-3xz) 4.10 (4y2 +7y2 ) – (6y2 – 20y2 ) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………  ข้อสรุปที่ได้ ในการบวกและการลบเอกนามคือ ....................................................................................... ....................................................................................... ....................................................................................... .......................................................................................
  • 10. 10...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.3 พหุนาม พหุนาม (polynomial) หมายถึง นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวก ของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป พหุนาม คือ เอกนาม หรือผลบวกของเอกนาม ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างของพหุนาม 7 เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม -3x เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม 4x3 +7 เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ 4x3 และ 7 5x3 +3xy+(-2x) เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ 5x3 , 3xyและ -2x หรือเขียนใหม่ได้ 5x3 +3xy -2x เพื่อความสะดวกสาหรับพหุนามใด ๆ ที่จะกล่าวต่อไปนี้ จะเรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามนั้นว่า พจน์ ของพหุนาม ในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น พหุนาม 7 มี 1 พจน์ คือ 7 พหุนาม 2x + 7 มี 2 พจน์ คือ 2x กับ 7 พหุนาม x2 – 2x +7 มี 3 พจน์ คือ x2 , 2x กับ 7 พหุนาม x2 – 2x + 4x +7 มี 4 พจน์ คือ x2 ,2x,4x กับ7และ -2x กับ 4x เป็นพจน์คล้ายกัน ในกรณีพหุนามบางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทาให้เป็นพหุนาม ในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสาเร็จ (polynomial in the simplest form)
  • 11. 11...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 2 การทาพหุนามให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ 1. 7x2 +5x+2x2 -3x = (7x2 +2x2 )+(5x-3x) = (7+2)x2 +(5-3)x = 9x2 +2x 2. 4z2 +18 – z2 = (4z2 -z2 ) + 18 = (4-1)z2 + 18 = 3z2 + 18 3. 2x2 y + y2 – 3 + x2 y + 9 = (2x2 y + x2 y) + [(-3) + 9] + y2 = (2+1) x2 y + 6 + y2 = 3x2 y + y2 +6 ดีกรีของพหุนาม เมื่อพหุนามอยู่ในรูปผลสาเร็จ โดยถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสาเร็จเป็น ดีกรีของพหุนาม (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์ คือ นาเลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวมารวมกัน) ตัวอย่าง 3 การหาดีกรีของพหุนาม 1. 7x5 – 5x4 + 2xy – 3y2 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ดีกรีของพจน์ 7x5 เท่ากับ 5 ดีกรีของพจน์ – 5x4 เท่ากับ 4 ดีกรีของพจน์ 2xy เท่ากับ 2 ดีกรีของพจน์ 3y2 เท่ากับ 2 2. 0 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จที่เป็นเอกนาม และไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0 ดังนั้น จึงไม่กล่าวถึงดีกรีของพหุนาม 0 พหุนามในรูปผลสาเร็จ พหุนามในรูปผลสาเร็จ พหุนามในรูปผลสาเร็จ
  • 12. 12...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3. 3a3 b2 c – 22 a2 b2 + 7abc3 – 33 a3 b3 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ดีกรีของแต่ละพจน์ 6 4 5 6 (ดีกรีสูงสุดของพหุนามซ้ากันให้ตอบเพียงตัวเดียว) ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 3a3 b2 c – 22 a2 b2 + 7abc3 – 33 a3 b3 เท่ากับ 6 ตัวอย่าง 4 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม 1. 3a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 + 4a3 b2 = (3a3 b2 + 4a3 b2 ) – 4a2 b2 + 5ab5 = 7a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7a3 b2 – 4a2 b2 + 5ab5 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 6 2. 3n2 + 5 + mn2 + 2mn2 - 8mn2 – 7 - 3n2 = (3n2 - 3n2 )+ (5 - 7) + (mn2 + 2mn2 - 8mn2 ) = -2 – (1 + 2 – 8) mn2 = - 2 – 5mn2 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ - 2 – 5mn2 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 3 3. 4x3 – 5x2 y – 6y4 + 2x2 y +3x3 +y4 = (4x3 +3x3 )+( – 5x2 y+ 2x2 y)+( – 6y4 +y4 ) = 7x3 – 3x2 y – 5y4 ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7x3 – 3x2 y – 5y4 ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 4 ตัวอย่าง 5 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากดีกรีมากไปน้อย 1. 2x2 + 5 – 3x = 2x2 – 3x + 5 2. 5 – 2x = - 2x + 5 3. 6x2 + 4 – x + 8x3 = 8x3 + 6x2 – x + 4
  • 13. 13...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 3 เรื่อง พหุนามและดีกรีของพหุนาม 1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปผลสาเร็จ พร้อมทั้งบอกดีกรีของพหุนาม 1.1 17x + 2 – 8x – 11 1.2 5y + ( -3x2 ) + 6x2 + 2y ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… 1.3 10st + (-2x2 )+ 6x2 – 8st 1.4 6xy – 5x3 + 7xy + 18x3 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… 1.5 9x2 + 3x2 y – 7x2 y – 4x2 + 5 ……………………………………………………………………………………. ดีกรี เท่ากับ ..………………………………………………………… 2. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ 2.1 a2 – 2ab + b2 – a2 + b2 2.2 4x5 – 4x2 + 5x2 – 3x5 –x5 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.3 4a6 – 3a3 + 1 + 5a3 + 2 2.4 x2 y – 4xy2 – x3 + x2 y ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
  • 14. 14...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.5 m2 – 7m + 6 + 2m2 – 12 2.6 y3 + 3y – 5y2 – 4y – y2 + 1 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.7 3x2 + 4y5 – 2x + 5 – 5x2 + y2 – 1 2.8 2m2 n – 3mn2 + m2 n – 4m2 n – 2mn2 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 2.9 5c3 d – 4cd3 – 2c3 d – 2cd2 2.10 9x2 -3xy-y2 -3x2 -5xy-x2 -4xy+y2 -7y2 ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………… 3. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และเรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีน้อยไปพจน์ที่มี ดีกรีมาก 3.1 4x5 – 3x2 +5x2 – 3x4 – x5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.2 m2 – 7m + 6 + 3m2 – 12m …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.3 2y3 + 8y – 5y2 – 4y – y2 + 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
  • 15. 15...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3.4 - 6a2 – 3a3 + a + 4a3 + 8a2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3.5 - 8x + 5x3 + x2 – 5x3 + 4x – 7 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….  2.4 การบวกและการลบพหุนาม การหาผลบวกพหุนาม การหาผลบวกของพหุนามทาได้โดยนาพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ซึ่งมีหลักการบวกพหุนาม 2 วิธี คือ 1. การบวกตามแนวราบ ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกตามแนวราบ 1. 5x + 3 และ - 12x + 15 2. 3s + 5st และ - 9s – 3st 3. 2x2 – 3x + 7 และ – x2 + x – 8 วิธีทา 1. (5x + 3) + (- 12x + 15) = 5x + 3 - 12x + 15 = (5x – 12x)+ (3+15) = - 7x + 18 .............................
  • 16. 16...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. (3s + 5st) + (- 9s – 3st) = 3s + 5st - 9s – 3st = (3s - 9s)+ (5st – 3st) = - 6s + 2st ............................. 3. (2x2 – 3x + 7)+(– x2 + x– 8) = 2x2 – 3x + 7 – x2 + x– 8 = (2x2 – x2 )+(– 3x+x)+ (7– 8) = x2 – 2x – 1 ............................. ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2 +5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2 วิธีทา (2ab – 3b2 +5a2 ) + (2a2 +2ab + 3b2 ) = 2ab – 3b2 +5a2 + 2a2 +2ab + 3b2 = (2ab+2ab)+(–3b2 + 3b2 )+(5a2 + 2a2 ) = 4ab +0 + 7a2 = 4ab + 7a2 ............................. ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 +2c2 +7 วิธีทา (3c3 – 8c2 + 2c– 1)+( 5c3 +2c2 +7) = 3c3 – 8c2 + 2c– 1 + 5c3 + 2c2 + 7 = (3c3 + 5c3 )+(– 8c2 + 2c2 ) + 2c+(–1 + 7) = 8c3 - 6c2 + 2c + 6 ............................. 2. การบวกในแนวตั้ง ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
  • 17. 17...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 4 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกในแนวตั้ง 1. 7xy - st และ – 10st + 3xy 2. 3x + 9y - 15 และ 2 + 8y - z 3. 7y , -16y+ 2 และ y2 + 6y วิธีทา 1. 7xy – st 2. 3x + 9y - 15 3xy – 10st 8y – z + 2 10xy – 11st 3x +17y – z – 13 3. 7y -16y + 2 y2 + 6y y2 – 3y + 2 หมายเหตุ ในการบวกในแนวตั้งกรณีไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ให้เว้นที่ว่างไว้ ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2 +5a2 กับ 2a2 +2ab + 3b2 วิธีทา 5a2 +2ab – 3b2 2a2 +2ab +3b2 7a2 +4ab + 0 = 7a2 +4ab ............................ ตัวอย่าง 6 จงหาผลบวกของ 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 +2c2 +7 วิธีทา 3c3 – 8c2 + 2c – 1 5c3 + 2c2 +7 8c3 – 6c2 +2c +6 ............................ + + + + + ง่ายจังเลยค่ะ
  • 18. 18...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 การหาผลลบพหุนาม การลบของพหุนามด้วยพหุนาม ทาได้โดยการบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ตัวอย่างการหาพหุนามตรงข้าม (inverse polynomial for addition) เช่น x – 5 พหุนามตรงข้ามคือ - (x – 5) = -x –(- 5) = -x + 5 - x3 + 5y พหุนามตรงข้ามคือ -(- x3 + 5y) = -(-x3 ) -5y = x3 - 5y ข้อสรุปของการลบพหุนาม พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ โดยหลักการลบพหุนามมี 2 วิธี ดังนี้ 1. การลบตามแนวราบ ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการลบกันในบรรทัดเดียวกัน แต่ยึดหลักการลบ คือ การบวกด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ ตัวอย่าง 7 จงหาผลลบของพหุนามต่อไปนี้ 1. (3 + 5x + x2 ) – (8x2 – 9x) 2. (4z2 +7z - 5) – (9z +1) 3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) วิธีทา 1. (3 + 5x + x2 ) – (8x2 – 9x) = (3 + 5x + x2 ) + [-(8x2 – 9x)] = (3 + 5x + x2 ) + (-8x2 + 9x) = 3 + 5x + x2 -8x2 + 9x = 3 + ( 5x + 9x) + (x2 -8x2 ) = 3 + 14x – 7x2 ………………………………..
  • 19. 19...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. (4z2 +7z - 5) – (9z +1) = (4z2 +7z - 5) + [– (9z +1)] = (4z2 +7z - 5) + [– 9z -1 ] = 4z2 +7z - 5 – 9z -1 = 4z2 +(7z – 9z) - 5 -1 = 4z2 – 2z – 6 ……………………………… 3. (5x2 + 6x - 4) – (3x2 – 12x – 1) = (5x2 + 6x - 4) + [– (3x2 – 12x – 1)] = (5x2 + 6x - 4) + [– 3x2 + 12x + 1 ] = 5x2 + 6x - 4 – 3x2 + 12x + 1 = (5x2 – 3x2 ) + (6x + 12x) + (- 4 + 1) = 2x2 + 18x – 3 ……………………………… ตัวอย่าง 8 จงหาผลลบของ 5y3 + 2y2 – y กับ 2y3 + 3y วิธีทา (5y3 + 2y2 – y) - (2y3 + 3y) = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… ตัวอย่าง 9 จงหาผลลบของ 4x2 - 3xy -2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2 วิธีทา (4x2 - 3xy -2y2 ) - (2x2 +3xy – 5y2 ) = ………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………… = ………………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………………
  • 20. 20...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. การลบในแนวตั้ง เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดโดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน โดยทาได้ 2 แบบ คือ ตัวอย่าง 10 จงหาผลลบของ 4x2 – 2x – 1 กับ x2 – x + 4 วิธีทา แบบที่ 1 ทาการลบเหมือนกับตัวเลขทั่วไป ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1 ตัวลบ x2 – x + 4 3x2 – x - 5 แบบที่ 2 เปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกพจน์ตรงข้าม แล้วหาผลบวก (4x2 – 2x – 1) - (x2 – x + 4) = (4x2 – 2x – 1) + (- x2 + x - 4) ตัวตั้ง 4x2 – 2x – 1 ตัวลบ - x2 + x - 4 3x2 – x - 5 ข้อสังเกต หลักการของการลบพหุนาม จะบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้าม ของแต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ ข้อสังเกตคือ 1. การลบพหุนามสองพหุนาม ทาได้โดยถอดวงเล็บของตัวลบ เปลี่ยน เครื่องหมายของแต่ละพจน์ของตัวลบเป็นเครื่องหมายตรงข้ามแล้วนาผล ที่ได้ไปบวกกับตัวตั้ง 2. การบวกกัน จานวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันนามาบวกกัน เครื่องหมายต่างกันนามาลบกัน จากเรื่องการลบพหุนาม นักเรียนพบข้อสังเกตอะไรบ้างค่ะ _ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็น ตรงข้ามแต่ไม่แสดงให้เห็น (ทดไว้ในใจ) แล้วนาตัวตั้งและ ตัวลบมาบวกกัน + เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบ เป็นตรงข้าม แล้วนาตัวตั้ง และตัวลบมาบวกกัน
  • 21. 21...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 ตัวอย่าง 11 จงหาผลลบของ 4x2 – 3xy – 2y2 กับ 2x2 + 3xy – 5y2 วิธีทา แบบที่ 1 4x2 – 3xy – 2y2 2x2 + 3xy – 5y2 แบบที่ 2 (4x2 –3xy –2y2 ) - (2x2 +3xy–5y2 ) = (4x2 –3xy –2y2 ) + (- 2x2 -3xy + 5y2 ) 4x2 – 3xy – 2y2 2x2 + 3xy – 5y2 ตัวอย่าง 12 จงหาผลสาเร็จของ [(2x2 - 5xy + 6y2 )+( 3y2 + 7- 8xy)] - (3x2 + 2xy - 5) วิธีทา แบบแนวราบ [(2x2 - 5xy + 6y2 )+(3y2 + 7- 8xy)]- (3x2 + 2xy - 5) = (2x2 - 5xy + 6y2 + 3y2 + 7 - 8xy) - (3x2 + 2xy - 5) =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. แบบแนวตั้ง 2x2 - 5xy + 6y2 - 8xy + 3y2 + 7 _ + + _
  • 22. 22...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 แบบฝึกหัดที่ 4 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม 1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยวิธีแนวราบและแนวตั้ง 1.1 5a3 +a กับ 2a3 + 3a ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.2 x2 + x + 3 กับ 4x2 – 4 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.3 3xy2 – x2 y กับ 2xy2 – 1 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.4 5y2 – 3y – 9 กับ 16y2 +5y – 8 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… 1.5 3m2 + 4 กับ 5m2 – 2m – 7 ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… ………………………………………………………………………………..…………………………………… + + + + +
  • 23. 23...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 1.6 3c3 – 8c2 + 2c – 1 กับ 5c3 + 2c2 + 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.7 4x2 – 3xy + 5x2 y – 4x กับ 3x2 – 5xy + 3x2 y ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.8 2a2 b + b3 กับ a3 + 2a2 b +3ab2 + b3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.9 x2 – 4xy + 4y2 กับ 3x2 + 2xy – y2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.10 3yz – 7xy – 5x2 yz กับ 4x2 yz – 3yz + 5xy ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… + + + + +
  • 24. 24...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2. จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวตั้ง ทาทั้งวิธีแนวราบและแนวตั้ง 2.1 5m2 – 3m + 2 กับ 4m2 – 7m ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.2 3a2 – 4b2 + ab กับ a2 – 10b2 – 5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.3 4y2 – 5y กับ 2y2 + 3y – 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.4 3x2 + 2xy - 5 กับ 2x2 – 5xy + 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.5 4a4 + 3a2 b2 – 2b4 กับ - 5a4 – a2 b2 + b4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………
  • 25. 25...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.6 2x3 – 7x2 – 5x + 2 กับ 3x2 + 2x – x3 – 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.7 5y3 + 2y2 + 7 กับ 3y3 - 8y2 + 2y – 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.8 3c4 – 2c3 d + 5c2 d2 – cd3 กับ 6c3 d – 4c2 d2 + 3d4 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… 2.9 5x2 – x3 + 2x – 7 กับ - 2x3 – 4x2 + 8x – 9 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… 2.10 3y3 – 2y2 + 4y + 1 กับ - 4y3 + y2 – 2y + 6 …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
  • 26. 26...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ 3.1 (a3 – b3 ) + (ab2 – a2 b) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.2 (3x4 – 2x3 + x2 – 3) – (x3 – 3x – x + 5) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.3 (3m - 2n) + (2m – 3n) – (m + n – 3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.4 (5t4 – 2t3 + 3t – 4) – (- 2t3 + 3t2 + 4) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.5 (5a2 + 2a + 5) + (- 2a2 + 3a - 5) - (4a2 + 5a) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
  • 27. 27...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 3.6 (4x2 – 3xy – 2y2 ) + (2x3 + 3xy – 5y2 ) – (2x3 – 10y2 ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.7 (3y2 – 4y + 5) – (y3 + 2y2 + 3) + (2y3 + 5y – 1) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.8 (3x4 + 4x3 – 2x2 – 8x + 5) – (4x4 – 9x3 + 3x2 – 6x + 3 ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เอ!.......... ชักจะงงแล้วซิ เย็นนี้คงต้องทบทวนแล้ว
  • 28. 28...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2 2.5 การคูณและการหารพหุนาม การคูณและการหารพหุนาม