Modulo de elasticidad

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El módulo de elasticidad aplicado a la resistencia de materiales

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Modulo de elasticidad

  1. 1. MÓDULO DE ELASTICIDAD PABLO EDÉN LÁZARO GUZMÁN 2AV8 RESISTENCIA DE MATERIALES
  2. 2. • El módulo de elasticidad de un material es la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria , se representa con la letra 𝐸 y es una indicación de la rigidez del material. 𝐸 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 • Por ejemplo, en una prueba a tensión de una probeta de acero se determinó una deformación unitaria de 0.0001765𝑐𝑚/𝑐𝑚 para un esfuerzo unitario de 350 𝑘𝑔/𝑐𝑚2, entonces el módulo de elasticidad del material es: 𝐸 = 350 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 0.000173𝑐𝑚/𝑐𝑚 = 2,023,121.387 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 • Ya que el esfuerzo está en 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y la deformación unitaria es un número abstracto [𝑐𝑚/𝑐𝑚] • En los cálculos relacionados con el acero estructural, el módulo estructural se redondeará a 2,100,000𝑘𝑔/𝑐𝑚2. • Para el acero de refuerzo en el concreto será de 2,200,000𝑘𝑔/𝑐𝑚2. • Y para la madera utilizada en la construcción variará según las especies desde 77,300𝑘𝑔/𝑐𝑚2 a 1,237,500𝑘𝑔/𝑐𝑚2
  3. 3. FORMULAS DEL MÓDULO DE ELASTICIDAD 𝐸 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝑆 Є = 𝑃/𝐴 𝛿/𝑙 = 𝑃𝑙 𝐴𝛿 Donde: • 𝑬= Módulo de elasticidad en un material [𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ] • 𝑷= Fuerza aplicada [𝑘𝑔] • 𝑺= Esfuerzo del miembro [𝑘𝑔/𝑐𝑚2] • 𝑨= Área de la sección transversal del miembro [𝑐𝑚2] • 𝒍= Longitud del miembro [𝑐𝑚] • 𝜹= Deformación total [𝑐𝑚] • Є= Deformación unitaria [𝑐𝑚/𝑐𝑚] También podemos usar: 𝛿 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸 Por medio de ésta fórmula podemos determinar la deformación de un miembro sujeto a esfuerzos directos, si conocemos el módulo de elasticidad del material y si el esfuerzo no excede el límite elástico
  4. 4. Ejemplo: Una varilla de acero de 1pulg. (2.54cm) de diámetro y 25cm de longitud, se alarga 0.0175cm cuando se somete a una carga de 7250kg. Calcular el módulo de elasticidad. Solución: El área de la sección transversal para una varilla de 1pulg. de diámetro, es de 5.07 𝑐𝑚2. Entonces: 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 7250𝑘𝑔 5.067𝑐𝑚2 = 1,430𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐸 = 𝑃𝑙 𝐴𝛿 = (7250𝑘𝑔)(25𝑐𝑚) (5.067𝑐𝑚2)(0.0175𝑐𝑚) = 𝟐, 𝟎𝟒𝟑, 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎 𝟐 es el módulo de elasticidad Como el esfuerzo unitario real es menor que el límite elástico (2320.046𝑘𝑔/𝑐𝑚2 ), se puede aplicar la fórmula…
  5. 5. Ejemplo: Una barra de acero estructural de sección transversal con 1.5cm de lado y 3.0m de longitud está sometida a una fuerza de tensión de 2000𝑘𝑔. Calcular la elongación total. Solución: Prime ro veamos si la fórmula anterior es válida. El área de para una barra cuadrada de 1.5𝑐𝑚 de lado es de 1.5x1.5, así que son 2.25𝑐𝑚2 de área. Entonces: 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 2000𝑘𝑔 2.25𝑐𝑚2 = 889𝑘𝑔/𝑐𝑚2 que es el esfuerzo unitario real. Éste esfuerzo está por debajo del límite elástico del material (2,530𝑘𝑔/𝑐𝑚2), se puede utilizar la fórmula. La longitud de la barra es de 3.0𝑚, o sea 300𝑐𝑚 y el módulo de elasticidad (𝐸) para el acero estructural des de 2,100,000𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Entonces: 𝛿 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸 = (2,000𝑘𝑔)(300𝑐𝑚) (2.25𝑐𝑚2)(2,100,000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2) = 600,000𝑘𝑔/𝑐𝑚 4,725,000𝑘𝑔 = 0.127𝑐𝑚, que es la elongación total.
  6. 6. Problema 5-10-A Una barra de acero de ½pulg. De diámetro y 20cm de longitud se alarga 0.1065cm bajo una fuerza de tensión de 1360kg. Calcular el módulo de elasticidad. 𝑙 = 20𝑐𝑚 𝐴 = π ∙ 𝑟2 = 𝜋 ∙ ( 0.5𝑥2.54 2 ) 2 = 1.267cm 𝑃= 1360𝑘𝑔 𝛿= 0.1065cm 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 1360𝑘𝑔 1.267𝑐𝑚2 = 1076.402𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐸 = 𝑃𝑙 𝐴𝛿 = (1360𝑘𝑔)(20𝑐𝑚) (1.267𝑐𝑚2)(0.1065𝑐𝑚) = 2,000,000𝑘𝑔/𝑐𝑚 7,875,000𝑘𝑔 = 0.254 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 que es el módulo de elasticidad
  7. 7. Problema 5-10-B Una barra de acero tiene una longitud de 5.0m y una sección transversal de 1.5x2.5cm. ¿Cuál será su longitud total bajo una carga de tensión de 4000kg? En éste problema se nos pide la longitud del cuerpo al aplicarle la carga a tensión, debemos calcular primero el esfuerzo: 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 4000𝑘𝑔 3.750𝑐𝑚2 = 1066.667𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝛿 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸 = (4,000𝑘𝑔)(500𝑐𝑚) (3.750𝑐𝑚2)(2,100,000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2) = 2,000,000𝑘𝑔/𝑐𝑚 7,875,000𝑘𝑔 = 0.254𝑐𝑚 la elongación total se sumará a la longitud original: 500cm + 0.254 cm = 500.254 cm que es la longitud después de aplicar la carga 𝑙=5.0m=500cm 𝐴 =1.5X2.5=3.750𝑐𝑚2 𝑃= 4000 𝑘𝑔 𝐸=2,100,000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 por aplicación
  8. 8. Problema 5-10-C Un bloque de madera con una sección transversal de 2pulg. de lado y 6pulg. de largo, está sometido a una fuerza de compresión de 5000lb. El bloque se acorta 0.005pulg. Calcule el módulo de elasticidad del material. 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 2268𝑘𝑔 25.806𝑐𝑚2 = 87.887𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐸 = 𝑃𝑙 𝐴𝛿 = (2268𝑘𝑔)(15.24𝑐𝑚) (25.806𝑐𝑚2)(0.005𝑐𝑚) = 34564.320𝑘𝑔/𝑐𝑚 0.129𝑐𝑚3 = 267,878.168𝑘𝑔/𝑐𝑚2 que es el módulo de elasticidad. 𝐴 = 2plg x 2plg = 5.08cm x 5.08cm = 25.806 𝑐𝑚2 𝑃 = 5000 𝑙𝑏= 2268 𝑘𝑔 𝑙 = 6plg = 15.24 𝑐𝑚 𝛿 = 0.005 𝑐𝑚
  9. 9. Problema 5-10-D Si el bloque dado en el problema anterior es de fierro vaciado y la carga de 40,000lb, ¿Cuánto se acortará? Ésa cantidad se acortaría con la carga indicada 𝐴 = 5.08cm x 5.08cm = 25.806 𝑐𝑚2 𝑃 = 40,000 𝑙𝑏= 18,144 𝑘𝑔 𝑙 = 15.24 𝑐𝑚 Para el fierro vaciado, utilizamos 𝐸 = 2,100,000𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 18,144𝑘𝑔 25.806𝑐𝑚2 = 703.092𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝛿 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸 = (18,144𝑘𝑔)(15.24𝑐𝑚) (25.806𝑐𝑚2)(2,100,000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2) = 276,514.560𝑘𝑔/𝑐𝑚 54,192,600𝑘𝑔 = 0.005𝑐𝑚
  10. 10. Problema 5-10-E Una varilla de acero forjado de 1pulg. De diámetro y 3.5m de largo está sometida a una fuerza de tensión de 4000kg. Calcular su deformación unitaria. 1plg = 2.54cm ∴ 𝑟 = 2.54𝑐𝑚 2 = 𝑟 = 1.270𝑐𝑚2 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 𝜋 ∙ 1.270 2 = 5.067𝑐𝑚2 𝑃 = 4000𝑘𝑔 𝑙 = 3.5m = 350𝑐𝑚 𝐸=2,200,000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 por aplicación 𝑆 = 𝑃 𝐴 = 4000𝑘𝑔 5.067𝑐𝑚2 = 789.422𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝛿 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸 = (4,000𝑘𝑔)(350𝑐𝑚) (5.067𝑐𝑚2)(2,200,000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2) = 1,400,000𝑘𝑔/𝑐𝑚 11,147,400𝑘𝑔 = 0.126𝑐𝑚 La deformación unitaria: 0 Є = 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝛿 𝑙 = 0.126𝑐𝑚 350𝑐𝑚 = 0.000360𝑐𝑚/𝑐𝑚

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