DDTTIIDDiirreettoorriiaa ddee TTeeccnnoollooggiiaa ddaa IInnffoorrmmaaççããooGGIIPPGGeerrêênncciiaa ddee IInnffoorrmmááttii...
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Apostila numeros 28.03.05

  1. 1. DDTTIIDDiirreettoorriiaa ddee TTeeccnnoollooggiiaa ddaa IInnffoorrmmaaççããooGGIIPPGGeerrêênncciiaa ddee IInnffoorrmmááttiiccaa PPeeddaaggóóggiiccaa11ªª FFAASSEE –– 22000055Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDERua Rodolfo Miranda, 636 – Bom Retiro – 01121-900 – São Paulo – SPTel. (11) 3327-4000 – Fax (11) 3327-7314 – www.fde.sp.gov.br
  2. 2. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20052
  3. 3. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20053SUMÁRIOCarta aos professores .......................................................................................... 06Créditos ................................................................................................................ 07Agradecimento ..................................................................................................... 08Fundamentação teórica ........................................................................................ 09Competências e habilidades ..................................................................... 09Objetivos ................................................................................................... 09Conteúdos ................................................................................................. 11Recorte didático – trabalho com o cálculo ................................................. 13O contrato didático .................................................................................... 14Como é fazer matemática na SAI .............................................................. 15Orientações gerais ................................................................................................ 17Texto complementar IA aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 1ª parte ....... 19MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS ......................................................... 24Tema ......................................................................................................... 24Recursos utilizados ................................................................................... 24Objetivos ................................................................................................... 24Conteúdos ................................................................................................. 24Aula 1 ........................................................................................................ 25Aula 2 ........................................................................................................ 26Aula 3 ........................................................................................................ 27Aulas 4 e 5 ................................................................................................ 27Texto complementar IIA avaliação diagnóstica ........................................................................................ 28Aulas 6, 7, 8 e 9 ........................................................................................ 32MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS .................................... 33Tema ......................................................................................................... 33Recursos utilizados ................................................................................... 33Objetivos ................................................................................................... 34Conteúdos ................................................................................................. 35Texto complementar IIIA aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 2ª parte ....... 35Aula 10 ...................................................................................................... 40Aula 11 ...................................................................................................... 40Aula 12 ...................................................................................................... 41
  4. 4. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20054Aula 13 ...................................................................................................... 41Aulas 14 e 15 ............................................................................................ 42MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS .......................................................... 45Tema ......................................................................................................... 45Recursos utilizados ................................................................................... 46Objetivos ................................................................................................... 46Conteúdos ................................................................................................. 47Texto complementar IVSobre a calculadora .............................................................................................. 48Texto complementar VParâmetros Curriculares Nacionais – MatemáticaOperações com números naturais. Adição e subtração: significados.... 49Texto complementar VIA aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 3ª parte ....... 52Aula 16 ...................................................................................................... 59Texto complementar VIIPor que e para que utilizar jogos no ensino da Matemática ................................. 60Aulas 17 e 18 ............................................................................................ 61Aulas 19 e 20 ............................................................................................ 61Aula 21 ...................................................................................................... 62Aulas 22 e 23 ............................................................................................ 62Aula 24 ...................................................................................................... 63Aula 25 ...................................................................................................... 64Texto complementar VIIIDesarmando as contas ......................................................................................... 65Aulas, 26, 27 e 28 ..................................................................................... 71Aulas 29 e 30 ............................................................................................ 73Aula 31 ...................................................................................................... 74MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM ............................................................ 75Tema ......................................................................................................... 75Recursos utilizados ................................................................................... 75Objetivos ................................................................................................... 76Conteúdo ................................................................................................... 76Texto complementar IXO homem vitruviano .............................................................................................. 78Aula 32 ...................................................................................................... 79Aula 33 ...................................................................................................... 80
  5. 5. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20055Aula 34 ...................................................................................................... 80Aulas 35, 36 e 37 ...................................................................................... 81Referências bibliográficas .................................................................................... 83Anexo 1Peças do quebra-cabeças para a dinâmica dos quadrados ................ 85Anexo 2Questões da avaliação diagnóstica ...................................................................... 89
  6. 6. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20056CARTA AOS ATPs E PROFESSORES PARTICIPANTES DOPROJETO NÚMEROS EM AÇÃOEm continuidade ao Projeto Números em Ação, oferecemos este documento que foiaperfeiçoado com a colaboração dos ATPs que participaram da formação dosprofessores no piloto aplicado de julho a dezembro de 2004. Ele pretende ser, comona fase anterior, um norteador das próximas ações a serem desenvolvidas tanto pelosATPs, comprometidos com a formação e orientação dos professores, quanto pelospróprios professores que serão os responsáveis pelo trabalho, nas Salas Ambiente deInformática, com os alunos .Queremos lembrar que esse documento não se caracteriza como uma receita a serseguida e sim como uma referência de trabalho a todos os envolvidos no projeto,objetivando a continuidade do mesmo e o atendimento cada vez mais aperfeiçoadoaos alunos participantes.É um documento de apoio ao trabalho dos ATPs e professores, que traz textoscomplementares, sugestões de leituras e endereços de sites para pesquisas naInternet, importantes na sua formação e atuação e que devem ser enriquecidas, deacordo com os interesses e as necessidades de cada um.Da mesma forma, são apresentadas sugestões de questionamentos que podemencaminhar discussões com as turmas, durante ou ao final das atividades. Estastambém não devem ser seguidas de forma “engessada” e sim, como ponto de partidapara incrementar reflexões que podem ser enriquecidas com o surgimento de novosquestionamentos, outras discussões, de acordo com as necessidades e os interessesdo momento e de cada turma.Outro aspecto a ser lembrado refere-se à divisão das aulas. Por questão da gestão dotempo, sugerimos atividades que podem ocorrer em aulas de 50 minutos. Cadaprofessor deve validar esse tempo, adequando as atividades conforme o aprendizadodos alunos e organizando-as em aulas que, de acordo com a resolução que orienta oprojeto, terão duração de 50 ou 100 minutos.Agradecemos a todos o compromisso demonstrado na realização do piloto do Projetoem 2004 e desejamos sucesso neste novo ano letivo.FDE – Diretoria Técnica da InformaçãoGIP – Gerência de Informática Pedagógica
  7. 7. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20057CRÉDITOSNÚMEROS EM AÇÃOATPs que participaram da elaboração do ProjetoAparecida de Lourdes Bonanno – NRTE / DE Guarulhos SulBraz Dorival Ognibeni – NRTE / DE JalesCelso Roberto Stigliani – NRTE / DE SorocabaFátima Aparecida da Silva Dias – NRTE / DE TupãHelder Clementino Lima da Silva – NRTE / DE PindamonhangabaLaura Maria Correa – NRTE / DE Pres. PrudenteRoberta Oliveira da Silva – NRTE / DE Taboão da SerraRosa Maria Pires Bueno – NRTE / DE ItararéATPs colaboradoresCláudia Gatti – NRTE / DE São CarlosJames Ernesto Mazzanti – NRTE / DE CaieirasSolange Antônia de Azevedo – NRTE / DE DiademaTatiana Pacheco de Souza – NRTE / DE Sul 3CoordenaçãoNely Aparecida P. Silva – GIP/DTI/FDEWolgram Marialva – GIP/DTI/FDECoordenação Geral pela FDETirone Francisco Chahad Lanix – DE/FDELeila Rentroia Ianonne – DPE/FDEAlexandre Ortelã – DTI/FDESilvia Galletta – GIP/DTI/FDECoordenação Geral pela SEE/SPSonia Maria Silva – Coordenadora da CENPConsultoriaLuciana Maria Tenuta de Freitas – Info EducacionalMaria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa – Info Educacional
  8. 8. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20058Agradecemos a todos os ATPs responsáveis pela formação deprofessores do projeto Números em Ação, em 2004 e 2005,que muito colaboraram na revisão e testagem do software e noenriquecimento do manual do professor.
  9. 9. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 20059FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA1PROJETO NÚMEROS EM AÇÃOO projeto Números em Ação propõe a utilização das Tecnologias de Informaçãoe Comunicação pelos professores e pelos alunos de 5ae 6aséries do EnsinoFundamental como apoio ao desenvolvimento de ações voltadas às dificuldadesexistentes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, sobretudo notocante à capacidade de calcular.A Matemática é tomada como instrumento de leitura, interpretação ecompreensão do mundo, visto que é cultura humana, que tem uma dimensãohistórica; é um saber inacabado e mutável. É também uma linguagem e como talapresenta aspectos sintáticos e semânticos. Dessa forma, pretende-se trabalharcom os alunos, visando a desenvolver a competência de agir matematicamentena resolução de situações complexas, mobilizando e relacionando conteúdos,habilidades e recursos diversos.COMPETÊNCIAS E HABILIDADES• Cálculo, sendo capaz de estimar, fazer aproximações, determinar comexatidão os resultados, usar diferentes estratégias, recursos e tecnologias.• Resolução de problemas, sendo capaz de planejar, explicitar hipóteses,determinar estratégias, tomar decisões e comunicar os resultados obtidos.• Argumentação em torno de afirmativas e modelos matemáticos, sendo capazde justificar, contestar, conjecturar e demonstrar.• Atitude crítica em relação às informações matemáticas, em especial àquelasveiculadas pela mídia.• Utilização da linguagem matemática, sendo capaz de ler, interpretar erepresentar a realidade e comunicar idéias.OBJETIVOSO objetivo primeiro do projeto Números em Ação é ensinar Matemática. O usoda tecnologia é uma opção para o estabelecimento de um contrato didático quealavanque mudanças atitudinais, motivacionais e procedimentais em alunos eprofessores em suas tarefas de aprender e ensinar. O conhecimento matemáticorecebe tratamento prazeroso e interessante e pode ser acessado com rapidez.Entretanto, além de serem meio, pois abastecem alunos e professores de novosrecursos e novas formas de trabalho, as tecnologias são também um fim, porqueproporcionam a inclusão digital de todos os que não têm acesso à tecnologia forado ambiente escolar. Aprende-se a navegar na Internet, a utilizar editores detextos e softwares de autoria, enquanto se aprende Matemática.Os conteúdos e as atividades didáticas a serem desenvolvidos no projetoNúmeros em Ação levarão em conta os seguintes objetivos de ensino e objetivos1Texto escrito por Luciana Maria Tenuta de Freitas e Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa, consultoras da Info Educacional.
  10. 10. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200510de aprendizagem, que têm como base aqueles expressos nos ParâmetrosCurriculares Nacionais – Matemática.OBJETIVOS DE ENSINOCriar um ambiente de trabalho que possibilite:• o reconhecimento e a valorização da Matemática como uma linguagem quepermite a análise, compreensão, representação e transformação da realidade,ao identificar possibilidades de aplicação do conhecimento matemático naresolução de situações-problema do cotidiano, das atividades profissionais oude outras áreas de conhecimento;• o trabalho cooperativo permanente, na busca de consenso, no respeito àopinião do outro, na consideração do outro como fonte de conhecimento;• o desenvolvimento pessoal, mediante o prazer de “fazer matemática”, numaperspectiva do jogo e da disciplina intelectual, da atitude crítica, deperseverança, autonomia e cooperação na busca de soluções;• a utilização da tecnologia como recurso que favorece:a simulação de situações complexas e difíceis de serem realizadas numasituação real;o tratamento diferenciado do erro;• o desenvolvimento da capacidade de adequação dos recursos tecnológicosdisponíveis à natureza dos problemas a serem resolvidos.OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparaçãode números naturais.• Compreender os significados das quatro operações fundamentais ao resolversituações-problema.• Reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas dediferentes naturezas.• Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema.• Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e comcalculadora.• Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso decálculo mental.• Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos.• Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros.• Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de umresultado.
  11. 11. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200511• Representar as quatro operações fundamentais, por meio de algoritmos não-convencionais e convencionais, decidindo sobre a utilização da representaçãomais adequada à resolução da situação apresentada.• Reconhecer a medida como resultado da comparação entre grandezas demesma natureza.• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.• Estabelecer procedimentos e estratégias de coleta de dados e informações.• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informaçõescoletadas.• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou ànatureza da situação.CONTEÚDOSAs seqüências didáticas, desenhadas para o ambiente digital, trazem atividadesnas quais o aluno aprende a localizar, acessar e analisar dados e informações.Enfatizam o desenvolvimento de procedimentos e sobretudo de atitudesnecessárias àqueles que vivem em uma comunidade de informação. Oconhecimento matemático é tomado como complexo e provisório e o alunoprecisa ser munido de instrumental que favoreça continuar a aprender, aqualquer hora, dentro ou fora da escola e, para tal, não bastam aprendizagensconceituais. É preciso aprender a decidir sobre o uso de um tipo específico decálculo (mental, escrito, estimado, com calculadora), a revisar suas produções eas de seus colegas para detectar, analisar e corrigir erros (e assim aprender aprevê-los). Aprender a trabalhar em equipe, intercambiando pontos de vista,escutando os outros, esperando sua vez de falar, demonstrando segurança aoargumentar e flexibilidade para modificar seus argumentos passa a ser tãoimportante quanto saber o resultado de uma adição ou multiplicação.CONTEÚDOS CONCEITUAISNúmeros e operações• Os sistemas de notação numérica ao longo da História da Humanidade:características, usos e relações com o sistema notacional decimal.• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do Sistemade Numeração Decimal.• Os números racionais e sua representação decimal (a partir de seusdiferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade).• Significados das operações fundamentais.Medidas• Estimativas de tamanhos e comprimentos.• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.
  12. 12. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200512• Unidades não-padronizadas de comprimento.• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: ocentímetro e o milímetro.CONTEÚDOS PROCEDIMENTAISNúmeros e operações• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou derepresentação.• Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, comcalculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problemaapresentada.• Interpretação de informações apresentadas em tabelas e gráficos simples.• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros.• Elaboração de registros.Medidas• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função daprecisão da medição.• Elaboração de registros pessoais e/ou convencionais para comunicação demedições feitas.• Tratamento da informação• Coleta, organização e descrição de dados e informações.• Produção de texto escrito, a partir de interpretação de gráficos, tabelas equadros.Uso da tecnologia• Uso dos principais recursos do editor de texto, de software de apresentação,de software de autoria, de simulações e animações disponíveis no ambientevirtual.CONTEÚDOS ATITUDINAIS• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas.• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos queenvolvam a busca de resultados.• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca depontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.• Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas.
  13. 13. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200513• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até asmais complexas.• Cuidado com os materiais em geral, e em especial com os de uso coletivo,principalmente os tecnológicos, menos resistentes e de maior custo.• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade deparceria no uso dos recursos e materiais coletivos.• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes deinformação importantes para a aprendizagem.RECORTE DIDÁTICO – TRABALHO COM O CÁLCULOO cálculo será o foco do trabalho didático a ser desenvolvido nas aulas do projetoNúmeros em Ação, por ser considerado uma competência vinculada a todos osconceitos matemáticos da educação básica (Figura 12), não sendo possível “fazermatemática” na sala de aula sem ele. Assim, formas variadas de cálculo sãoexploradas pelos alunos de maneira analítica e crítica.Figura 1MedidasProbabilidade ÁlgebraFunções Números racionaisCÁLCULONúmeros naturais EstatísticaNúmeros inteiros Números reaisGeometriaEnsinar um aluno a armar uma conta no papel e resolvê-la, não garante odesenvolvimento da competência de cálculo. Por isso, situações diversificadasque exploram as várias formas de cálculo são apresentadas aos alunos. Cálculosmentais, estimados e com calculadoras devem ser feitos para que as soluçõessejam encontradas ao se jogar ou resolver um desafio.As técnicas operatórias convencionais das quatro operações são trabalhadas pormeio de aulas multimídia alteráveis de maneira analítica e não como ummecanismo a ser repetido exaustivamente.Por meio de um trabalho mais amplo com o cálculo, os alunos são levados adesenvolver princípios, conceitos, habilidades, estratégias e processos que ostornam mais abertos e flexíveis a interpretar o mundo que os rodeia.2Figura adaptada do livro de GIMÉNEZ e GIRONDO, 1993.
  14. 14. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200514O CONTRATO DIDÁTICOCom a implementação do projeto Números em Ação pretende-se que umnovo/velho contrato didático3vigore nas Salas Ambiente de Informática (SAI),com professores e alunos assumindo novos papéis e estabelecendo novasrelações ao saber matemático.O QUE FAZ O ALUNONo projeto Números em Ação, concebe-se que a aprendizagem ocorre a partirdos interesses, necessidades e particularidades do aluno, compartilhando suabagagem cultural e social. Ela não ocorre de uma só vez e definitivamente. SaberMatemática é ocupar-se de problemas em um sentido mais amplo que incluitanto saber fazer perguntas quanto encontrar soluções. Nesse sentido, o alunodeve intervir na atividade matemática, formulando consignas, provandoproposições, construindo linguagens, conceitos e teorias, pondo-os a prova. Aointercambiar com outros, reconhece os conhecimentos que formam parte dacultura matemática e toma aqueles que são úteis para continuar sua atividade.Determina formas diversas de representação, discutindo-as com os demais.Considera os seus erros e os de seus colegas fontes de informação e reformulaidéias a partir deles. Arrisca-se a resolver qualquer tipo de situação-problemacom espírito de investigação.A mediação aluno/saber matemático não passa somente pelo software. O espaçoda SAI passa a ser aquele em que o “fazer matemática” é que move toda a açãopedagógica. Os alunos exploram possibilidades, levantam hipóteses, testamessas hipóteses, discutem com o outro, criam desafios, argumentam. A atitudedo professor é fundamental para garantir esse ambiente de pesquisa, deaprendizagem e de atividade matemática.O QUE FAZ O PROFESSORPara que o espaço da SAI se transforme num campo de pesquisa, no qual osalunos possam ter legítimas experiências matemáticas, é necessário que oprofessor se coloque como aquele que dialoga com alguém que levanta questõespara as quais ele nem sempre tem as respostas prontas.O professor deixa de ser aquele que traz um conhecimento pronto e acabado ese torna parte integrante dos grupos de investigação, em que as questões quesurgem muitas vezes são novidade para ele próprio. Os erros são parte doprocesso de aprendizagem e devem ser explorados e utilizados para gerar novosconhecimentos, novas questões, apontar novos rumos ou um aperfeiçoamentodas idéias que estiverem em discussão. Nessa perspectiva, há uma certaimprevisibilidade em relação aos tempos e os conteúdos propostos podem serenriquecidos, dando origem a novas investigações. É preciso que o professor seaproprie da idéia de que seu papel é fomentar as discussões, valorizando asidéias que surgem, remetendo os alunos a um aprofundamento em busca desoluções para os problemas apresentados.3Segundo Guy Brousseau (1986) os procedimentos e as atitudes que o aluno espera de um professor e o professor espera de um alunodeterminam o contrato didático. O contrato didático é, pois, um conjunto de regras que determinam o que cada um, aluno e professor, deveráfazer, explícita e implicitamente, e que terá de prestar conta um perante o outro, de uma maneira ou outra.
  15. 15. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200515No ambiente proposto, o papel do professor é encorajar os alunos a explorarpossibilidades, fazer previsões, levantar e testar suas hipóteses. Cabe a eleorganizar as situações de cooperação entre os alunos; considerar oconhecimento que eles explicitam; incentivar a análise de estratégias e respostasadequadas ou não, corretas ou não; permitir que a avaliação fique também acargo da turma; fazer com que o que se discute se aproxime sempre do sabersocialmente constituído. Assumir essa atitude significa acreditar que o processode aprendizagem da Matemática se baseia realmente na ação do aluno em buscada solução de problemas, em investigações e explorações de situações e desafiosque o provocam verdadeiramente.COMO É FAZER MATEMÁTICA NA SAIAs seqüências didáticas4foram planejadas baseadas na concepção de que umconceito matemático não é elaborado de uma vez e para sempre pelos alunos; oque ocorre são sucessivas aproximações, organizações e reorganizações deconceitos, em um processo de ação, formulação e validação do conhecimento5.Em todas as atividades os problemas são propostos de tal forma que a melhorsolução se obtém, usando o conhecimento que se quer ensinar. Isso implica oagir e o refletir permanentes por parte dos alunos.Situações diversificadas que exploram as várias formas de cálculo sãoapresentadas aos alunos, pois ensinar a armar uma conta no papel e resolvê-la,seguindo passos pré-determinados, não garantirá a eles o desenvolvimento dacompetência de cálculo. Cálculos mentais, estimados e com calculadoras sãopropostos para que as soluções sejam encontradas ao se jogar ou resolver umdesafio.O software permite a exploração de múltiplas situações nas quais os conceitosdos campos aditivo (que envolve adição e subtração) e multiplicativo (queenvolve multiplicação e divisão) aparecem, significando-os6. O aluno é desafiado,permanentemente, a colocar em ação o pensamento, utilizando conhecimentosjá construídos (de senso comum ou escolarizados), ou seja, mobilizando o antigopara resolver, em um primeiro momento, a situação.Ao perceber que não sabe o suficiente para resolver uma situação-problema, oaluno é incentivado a trocar idéias. O trabalho cooperativo é uma forma de lherestituir o seu papel de aprendiz, por permitir-lhe a organização de um plano detrabalho com seus colegas e professores na tentativa de formular, trocar,comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar suas experiências e idéias antigase novas e controlar a aprendizagem.Por meio de uma atitude investigativa, pesquisadora, possibilidades de resoluçãopróprias ou convencionais podem ser exploradas. Isso significa que tãoimportante quanto dar uma resposta é desenvolver estratégias para se fazer. A4De acordo com Antoni Zabala (1996), seqüência didática é um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para arealização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos quanto pelos professores.5Para conhecer um pouco mais sobre a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, indica-se o texto Situações Didáticas de José LuizMagalhães de Freitas, que integra o livro Educação Matemática – Uma Introdução, Série Trilhas, São Paulo: EDUC, 2002.6Os significados das operações a serem trabalhados para o campo aditivo e o multiplicativo são aqueles explicitados nos PCN deMatemática, Ensino Fundamental, 1ª a 4ª série, 1996.
  16. 16. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200516situação apresentada será interpretada pelo aluno, que deve questionar,formulando perguntas, buscando informações em diferentes fontes, elaborandoum plano para encontrar uma resposta, verificando sua correção ou não.Os elementos de uma situação-problema precisam ser representadossimbolicamente. A escrita tem papel relevante tanto no que diz respeito àdocumentação (evocação e comunicação) quanto à construção do conhecimento(planejamento da ação). É tomada, também, como um instrumento para pensar,uma vez que retém a informação para que seja analisada, discutida e validada,posteriormente, pela turma. Assim sendo, é proposto um trabalho constante comquestões discursivas – aquelas em que o aluno deve discorrer sobre algo: suahipótese, uma argumentação, explicação de um erro ou acerto, uma conclusão.Dar oportunidade para que o aluno analise algoritmos constitui fonte privilegiadade informação sobre o que se sabe, a concepção atual, o ponto em que seencontra no processo de entendimento de um saber. Ao analisar diferentesrepresentações, sobretudo aquelas que diferem das suas, o aluno assume opapel de quem investiga, reflete sobre sua própria maneira de representar,analisa uma mesma situação de diferentes pontos de vista e dá mais um passoem direção ao entendimento das representações convencionais.O trabalho proposto exige que o aluno descreva os raciocínios feitos, reflita sobresuas estratégias de resolução, para que tome consciência dos passos querealizou durante o processo de aprendizagem. Assim, ele tem maior chance deperceber ou até mesmo de prever erros, gerar boas perguntas, discutir suasdúvidas e, conseqüentemente, aprender mais.O aluno vai além da verificação de resultados. Ele faz a validação doconhecimento elaborado, ou seja, comprova o modelo matemático criado parasolucionar um dado problema, determinando, por exemplo, se esse modelo é útilpara resolver outros de igual natureza.Nesse processo, as ações são conduzidas tanto pelo professor quanto pelo aluno,por meio de um trabalho planejado por todos do grupo. As diferentes idéias,pensamentos e procedimentos são considerados como algo positivamentenecessário. São também valorizadas a tomada de decisão pelo grupo, a análisedos resultados (erros e acertos são igualmente importantes), a comunicação orale escrita desses resultados, o conhecimento como algo provisório e complexo,algo em permanente transformação. Acredita-se, assim, estar contribuindo paraque alunos e professores enfrentem situações novas, de maneira maisperseverante e eficaz, conservando vivos o desejo, o ânimo, o bom humor e avontade de aprender sempre e mais.
  17. 17. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200517ORIENTAÇÕES GERAIS1. ATIVIDADES QUE DEVEM SER DESENVOLVIDAS AO FINAL DE UMAAULA, DE UM GRUPO DE AULAS OU DE UM MÓDULOTERMÔMETROO termômetro representa uma atividade que será realizada aofinal das aulas 5, 15, 23, 31 e 37, de forma que os alunos avaliem um grupo deaulas, sua própria participação e a atuação do professor, escolhendo para issorepresentações gráficas – figuras de carinhas – que identificam sua opinião apartir dos itens:1. Ter aula na Sala Ambiente de Informática me fez gostar mais de estudarMatemática.2. Utilizar as atividades do software Números em Ação me fez aprender maisMatemática.3. Trocar idéias e discuti-las com meus colegas foi importante para fazer asatividades.4. Ter a ajuda do meu professor foi importante para o desenvolvimento dasatividades.Após os alunos emitirem suas opiniões, os dados serão consolidados, gerandoum gráfico da situação. O professor fará uso deste gráfico, analisando-ojuntamente com os alunos. Ele poderá ser visualizado por todos, no micro doprofessor.FICHAS DE AVALIAÇÃO E ACOMPANHAMENTO DO ALUNOEstarão disponíveis para o professor 5 fichas de avaliação, que serão utilizadasao longo do processo. Elas estão organizadas por grupos de aulas, para oregistro das observações quanto aos objetivos propostos, procedimentos eatitudes do aluno e intervenções do professor.APLICATIVOSOs aplicativos Word (DOC) e PowerPoint (PPT) estãodisponíveis a cada aula e serão utilizados para que os alunos façam anotações eregistros, que podem ser gravados. Os registros das aulas 4 e 5, 10, 14 e 15, 16,27 e 28, 29, 30, 33, 35, 36 e 37 devem ser gravados.Obs.: é necessário e importante que cada aluno tenha um caderno para fazeranotações.
  18. 18. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 2005182. CD DE RECURSOSO CD será, juntamente com a apostila, material de apoio ao professor.Nele estão disponíveis os seguintes recursos:• Software Introdução ao Micro• Vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador• Vídeo Inventando estratégias de cálculo• Peças do quebra-cabeça para a Dinâmica dos Quadrados• Tutoriais• Jogos das Atividades ComplementaresObs.: Os jogos, softwares e vídeos devem ser instalados com antecedência.3. ATIVIDADES COMPLEMENTARESSão atividades que o professor pode fazer uso em situações diversas.Por exemplo, quando o tempo ao final de uma aula for insuficiente para dar inícioa uma nova atividade ou quando grupos de alunos avançarem mais que outros.As atividades complementares são compostas de jogos que por si só justificamsua incorporação às aulas: o caráter lúdico, o desenvolvimento de estratégiasintelectuais e a formação de relações sociais.
  19. 19. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200519TEXTO COMPLEMENTAR IA APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS1ª PARTEConferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional deIntercâmbio e Atualização Educacional, organizado por"Novedades Educativas" - Argentina.Tradução livre: Daisy MoraesQuando pensava no título desta conferência, eu me perguntava: abordagensatuais, de que ponto de vista? De que perspectiva da pesquisa didática? A partirde nossas ilusões didáticas? A partir da perspectiva da realidade escolar doensino e da aprendizagem da Matemática?Considerando a Didática da Matemática sem dúvida alguma como o modelo atualdominante, o fator comum aos modelos que hoje são propostos é o de tomarcomo eixo essencial a produção do conhecimento por parte dos alunos.Do ponto de vista da realidade escolar a situação é outra: nela, coexistem todosos modelos didáticos possíveis, claro que em proporções diferentes. E essemodelo que na teoria didática é o predominante, certamente está muito longe desê-lo na prática da sala de aula.Então, gostaria de me deter nos modelos didáticos que coexistem em sala deaula. Para defini-los, deve-se considerar o essencial da situação didática, otriângulo que configura o conjunto de relações entre três pólos: os alunos, oobjeto de conhecimento (o saber, o conteúdo), o professor e as ações que elerealiza para gerar interações entre o sujeito e o objeto de conhecimento.Roland Charnay propõe três modelos didáticos essenciais levando em conta comocada um desses três pólos do triângulo didático é concebido. Um primeiromodelo, que todos conhecemos (já que é certamente o modelo que já seguimoscomo alunos), é o que ele chama modelo normativo centrado no conteúdo noqual a função do professor é mostrar as noções , apresentá-las, dar exemplossobre o que se está ensinando, enquanto a função do aluno é, basicamente,escutar as explicações do professor, estar atento e, em seguida, repetir osprocedimentos que o professor ensinou como válidos para resolver os problemas,exercitar, aplicar aquilo que aprendeu. A concepção do saber vigente nessemodelo é a de um que está pronto, construído, no qual o professor atuasimplesmente como um intermediário, que passa para as crianças esse saber jáelaborado e acabado (por outros).Régine Douady (outra especialista em Didática da Matemática) caracteriza essemesmo modelo como uma seqüência de "exposição/exercícios". O professorexpõe, explica e depois os alunos exercitam, utilizando esse saber que foiexposto.O segundo modelo (que é necessário distinguir do terceiro, já que comumentesão confundidos, e um dos meus objetivos é que sejam claramentediferenciados), caracterizado por Charnay, é o que ele chama incitativo. Esse
  20. 20. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200520modelo está centrado no aluno e poderíamos relacioná-lo com o que caracterizoua Escola Nova, a escola ativa. Para começar, o professor pergunta ao aluno sobreseus interesses, suas motivações, suas necessidades; analisa o contexto doaluno para poder detectar os aspectos que despertam seu interesse: o professorescuta o aluno e o ajuda a utilizar fontes de informação. O aluno procura,organiza a informação que vai encontrando, estuda, aprende. O saber está ligadoàs necessidades do contexto, da vida cotidiana e a estrutura própria do saberpassa para segundo plano. As características e interesses do aluno, em função deseu contexto, levam-no a tomar decisões sobre o quê e como se ensina. Então,nesse modelo, as preocupações não estão centradas para que o aluno reconstruao saber social e cientificamente constituído. O ponto central é que a situação deensino-aprendizagem se torne interessante para o aluno, responda às suasnecessidades e interesses.O terceiro modelo, que é o nosso, é caracterizado por Charnay comoapropriativo/aproximativo. É aproximativo no sentido de que se entende que, nasituação didática, vai ser possível que o aluno chegue a reconstruir o sabersocialmente constituído mediante aproximações sucessivas, não de uma só vez eimediatamente, mas interagindo com o conteúdo de diferentes maneiras, e issolhe permitirá construir esquemas de conhecimento cada vez mais ajustados ànatureza do conteúdo.Nesse modelo, propõe-se partir de concepções pré-existentes no aluno,concepções específicas sobre esse conteúdo particular que está tentandocomunicar. Não se trata simplesmente de saber quais são os interesses e asnecessidades do aluno – como no segundo modelo – mas de saber e de fazerintervir na situação didática aquilo que o aluno pensa a respeito dessesconteúdos que precisa comunicar, as conceitualizações, as hipóteses e a maneirade abordar que os alunos, como sujeitos cognitivos, têm em sua relação comcada um dos conteúdos. Em função disso, o professor proporá e organizaráséries de situações didáticas que apresentarão obstáculos, que questionarão asconcepções prévias dos alunos, de tal maneira que se torne possível que essasconcepções se aproximem progressivamente da natureza do saber científico oudo saber socialmente constituído.Também nesse modelo, a lógica, a natureza e a organização do saber em si têmuma importância fundamental. Aqui, o aluno também pode testar, mas vai fazê-lo no âmbito de situações didáticas especificamente elaboradas para que sejamcolocadas em jogo suas concepções e para que essas concepções se defrontemcom obstáculos que os obriguem a avançar. Vai debater com seus colegas,defender seus pontos de vista com argumentos, questionar os pontos de vista deoutros, ou até mesmo os próprios, aqueles que ele havia defendido antes, comargumentos que irá elaborando diante dos problemas que a situação didática lheapresenta. Esse terceiro modelo supõe a inversão do modelo exposição-exercícios.É preciso considerar qual é o lugar da situação-problemática no primeiro e noterceiro modelo, um lugar absolutamente diferente e oposto.No modelo normativo, que é o modelo do qual certamente fizemos parte comoalunos, os problemas – que geralmente são problemas com enunciado – servembasicamente para aplicar o que o aluno aprendeu porque o professor ensinou,entendendo "ensino" como a transmissão do conhecimento pronto. Por exemplo,
  21. 21. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200521o professor explicou o que é multiplicação e como se faz para multiplicar e,depois, propôs "problemas" de multiplicação, nos quais os alunos vão aplicar osconhecimentos previamente ensinados.No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o lugar do problema é olugar daquela situação que possibilita que os alunos construam umconhecimento. Não é o lugar da aplicação de algo previamente ensinado, mas daapresentação da questão que requer a elaboração de um conhecimento do qualnão dispunha previamente.Essa mudança do lugar do problema e, geralmente, todas as característicasdesse terceiro modelo didático, obriga o docente a levar em conta oficialmente aconstrução do saber por parte dos alunos, encarregando-se dos esquemas deassimilação originais dos alunos e do estabelecimento de conflitos, de contra-exemplos e de problemas que obriguem o aluno a construir conhecimentos que oaproximem do saber.No modelo normativo, e de certa maneira também no segundo modelo, noincitativo, que podemos aproximar ao da Escola Nova, não se levam em conta aorganização do saber, nem as concepções específicas dos alunos sobre cada umdos saberes a ser comunicado. O aluno fica sozinho com o problema de comofazer para incorporar os conhecimentos que queremos que ele aprenda, a partirdos esquemas de assimilação prévios que já possui.No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o aluno não está sozinho. Odocente se encarrega "oficialmente" da assimilação do conhecimento e decontribuir com ela. A primeira contribuição é pegar como ponto de partida asconcepções prévias dos alunos em vez de ignorá-la.Retomando os três pólos do triângulo didático que utilizei até agora para definiresses três modelos didáticos, gostaria de assinalar que, durante muito tempo,desde os postulados didáticos, a ênfase tem sido dada em um desses pólos: oaluno, sobretudo, em relação a seus interesses e necessidades e, maisrecentemente, em relação às suas conceitualizações.O que está evidenciado, atualmente, são os conteúdos, os saberes. Isso meparece bom, já que é imprescindível levar em conta a natureza e a organizaçãodo saber que se está querendo comunicar.Mas isso é bom sempre que não se reduz a problemática educativa àproblemática dos conteúdos, sempre que não nos esquece de que, comodemonstraram alguns estudos etnográficos, a forma também é conteúdo.Verónica Edwards, uma pesquisadora chilena que trabalhou em pesquisaetnográfica na escola, ao propor que a forma é conteúdo explicitou: Em suaexistência material, o conhecimento que se transmite no ensino possui umaforma determinada, que vai sendo modelada na apresentação do conteúdo. Oconteúdo não é independente da forma sob a qual é apresentado. A forma possuisignificados que são acrescentados ao conteúdo, produzindo uma síntese, umnovo conteúdo. A lógica da interação, a maneira como o docente interage com osaber e gera situações para que o aluno interaja com o saber, reflete-se demaneira decisiva em qual vai ser a conceitualização do conteúdo que a escolarealmente está comunicando.Isso foi muito trabalhado na Didática da Matemática, particularmente por
  22. 22. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200522Chevallard, mediante a noção de transposição didática na qual ele mostra comoos conteúdos vão se transformando. Ao se transformarem em objeto de ensino,primeiro em nível curricular e depois no da sala de aula propriamente dita, vãomudando de natureza. É importante, então, controlar a mudança, para que nãoseja muito grande, para que continue se parecendo com o que se quercomunicar, de modo que aquilo que os alunos estão aprendendo não se tornetotalmente diferente do saber socialmente produzido.Ainda que seja crucial definir os conteúdos, não é menos crucial definir comoesses conteúdos vão ser trabalhados, para que, na escola, continuem sendoaqueles que a sociedade espera que se comuniquem às futuras gerações.Até bem pouco tempo atrás, dizia-se que o pólo que ocupava o primeiro planoera o aluno. Hoje, é o conteúdo. E eu gostaria de me colocar, agora, no outropólo do triângulo, aquele que, de alguma maneira, todos nós aqui presentesocupamos: o lugar do professor.É um lugar muito difícil, não só pelas condições de trabalho, mas pelas condiçõesdidáticas que precisa cumprir quando quer trabalhar com o terceiro modelo.O primeiro problema que o professor enfrenta no terceiro modelo, chamadoaproximativo/apropriativo, é o da devolução de problemas para o aluno. Aqui, oproblema é o ponto de partida para a construção de um novo conhecimento.Antes, acreditávamos que era suficiente elaborar um bom problema, que fossesignificativo para os alunos, no qual pudessem aplicar conhecimentos prévios e,ao mesmo tempo, que representasse um desafio para obrigá-los a construir umnovo conhecimento. Isso continua sendo assim, mas o que hoje está muito claroé que tomar como ponto de partida a proposição de um problema está longe deser fácil em situação de sala de aula, porque em nossas salas de aula, de algumamaneira, continua funcionando o contrato didático que funciona nas escolas emgeral, segundo o qual é o professor que deve transmitir o conhecimento e oaluno deve escutar e aprender – modelo normativo; ou segundo o qual aprodução do conhecimento não é responsabilidade do aluno, mas algo quesurgirá graças à comunicação que o professor fará.Então, o trabalho concreto em sala de aula vai mostrando que, na realidade, émuito mais fácil revelar logo a verdade, dizer-lhes como é o conhecimento jásocialmente constituído do que tentar que os alunos o construam a partir daresolução de problemas. Por isso, eu disse que o primeiro problema é comodevolver o problema para os alunos.Como fazer para devolvê-lo e para manter a responsabilidade dos alunos naresolução dos problemas? Isso foi estudado na Didática da Matemática. A próprianoção de "devolução" implica um reconhecimento da luta com a representaçãosocial dos direitos e deveres dos professores e dos alunos em sala de aula.Quando Brousseau propõe essa questão, diz que escolheu a palavra "devolução"para se referir a uma das funções básicas do professor, tomando-a daterminologia legal. Na França, a devolução era um ato que o rei exercia emdeterminadas circunstâncias, pelo qual devolvia às Câmaras uma atribuição quecorrespondia a ele por direito divino, mas que ele decidia não assumir e, sim,delegar.Que relação podemos estabelecer entre isso e o que acontece com o professor nasala de aula? Para o professor, segundo o contrato didático vigente na maioria
  23. 23. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200523das instituições escolares, corresponderia transmitir diretamente oconhecimento, mas ele fará um ato de devolução e vai autorizar os alunos a usaresse direito e construir o conhecimento. É imprescindível que o professor cedaesse direito, porque os alunos não podem tomá-lo por si mesmos, pois isso nãofaz parte do contrato didático vigente. Nessas condições é difícil que os alunosmantenham a responsabilidade durante muito tempo. É comum que elesperguntem: "Como se faz isso? Diga-me qual é a resposta".Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual os alunosaceitem que, durante um certo tempo, serão eles os responsáveis pelaconstrução, claro que com a ajuda e o apoio permanente do professor. E chegaráoutro momento (isso também é função essencial do docente) no qual o professorratificará essa construção, completará, ajudará a estabelecer aquilo que osalunos não tenham podido estabelecer por si mesmos.
  24. 24. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200524MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOSTEMATodo processo de interação flui mais facilmente se as pessoas envolvidasreconhecem o seu papel, o de seus interlocutores, o espaço, o tempo ecompreendem a situação na qual se encontram. Este módulo busca proporcionarcondições para que esses movimentos aconteçam.RECURSOS UTILIZADOSEquipamentosComputadorSoftwares e aplicativos:Números em AçãoIntrodução ao microAvaliação eletrônicaPowerPointWordOBJETIVOS DE ENSINO• Favorecer um ambiente agradável para apresentação dos alunos e doprofessor, que proporcione uma atuação com base no respeito e navalorização de cada membro da turma.• Promover atividades nas quais os alunos interajam de forma cooperativa,trabalhando coletivamente na busca e na apresentação de informações.• Apresentar aos alunos a proposta educativa do projeto Números em Ação,para que possam conhecê-la e envolver-se gradativa e ativamente nesseprocesso de construção de conhecimento matemático.• Favorecer a utilização da tecnologia como recurso que possibilita o trabalhocolaborativo e diferenciado das formas usuais de ensino-aprendizagem.OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações.• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou ànatureza da situação.CONTEÚDOSAtitudinais• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos.• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca depontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.
  25. 25. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200525• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até asmais complexas.• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade deparceria no uso dos recursos e materiais coletivos.• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes deinformação importantes para a aprendizagem.ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASAULA 11º passoRecepção dos alunos com uma música.A sala estará preparada com os micros ligados, ainterface do projeto Números em Ação aberta e ascadeiras dispostas em círculo.2º passoO professor se apresenta e fala um pouco de si.3º passoOs alunos se apresentam, usando a seguinteestratégia:• a turma é dividida em duplas;• cada elemento da dupla tem dois minutos parafalar de si para o colega;• o professor marca os dois minutos e bate umapalma;• o outro aluno fala de si, durante dois minutos;• cada aluno se apresenta para a turma, como sefosse o colega:- Eu sou... (nome do colega)- Gosto muito de...- Tenho muita vontade de...- As companhias que me deixam feliz são...- Uma coisa muito engraçada que meaconteceu foi...- Outras coisas que queiram falar de sinesses dois minutosProfessor, escolha amúsica de acordo comas preferências dosalunos e a faixa etáriadeles.3º passoProfessor, sendonecessário, os alunospodem fazer anotaçõespara não esquecerem oque foi contado pelocolega. Porém, o maisimportante é garantirum clima dedescontração durante adinâmica deapresentação.
  26. 26. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200526ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASnesses dois minutos.4º passoOs alunos são convidados a conhecer rapidamente ainterface. Abrem, então, as aulas 1 e 2.4º passoProfessor, aproveite omomento para envolverseus alunos e aguçar acuriosidade,despertando a vontadede voltar na próximaaula.AULA 21º passoDesenvolver com os alunos a dinâmica “Jogo dosQuadrados”7.A turma será dividida em quatro grupos. Cada gruporecebe um envelope contendo as peças de um quebra-cabeça que formará um quadrado.Os quatro quadrados juntos formam uma só figura.Entretanto, ao preparar os envelopes, que serãodistribuídos para cada grupo, é preciso colocar em cadaum deles uma peça trocada.Os alunos recebem as seguintes instruções:1. Não abram os envelopes até que seja dadoum sinal.2. Agora abram os envelopes e montem umquadrado.2º passoAo final da socialização da dinâmica, aproveitar o climainstalado para fazer uma apresentação mais detalhadado Projeto e do funcionamento da SAI nodesenvolvimento das atividades propostas no Númerosem Ação. Dar ênfase à necessidade de colaboraçãoentre os alunos e o professor, para que essa propostade trabalho tenha êxito.Professor, a Dinâmicados Quadrados deve serrealizada com toda aturma. Caso muitosalunos faltem, antecipea aula 3 ou utilize asatividadescomplementares.Reorganize oplanejamento para fazera dinâmica em outromomento.Professor, no Anexo 1você encontra as peçasque compõe o quebra-cabeça do quadrado.Professor, os alunosterão dificuldades demontar um quadrado emcada grupo porqueexistem peças que estãotrocadas entre os quatrogrupos. O objetivo é queeles percebam que sórealizarão a tarefa setrocarem peças com osdemais grupos. Observese os grupos se ajudammutuamente, para osucesso da empreitada.A tarefa só estarácumprida quandoperceberem que épossível montar umúnico quadrado a partirda produção dos quatro7Fonte: Adaptado de ANTUNES, Celso, Manual de técnicas de dinâmica de grupo de sensibilização de ludopedagogia, Petrópolis, Vozes,6ª ed., 1993, p. 97.
  27. 27. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200527ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASgrupos. Se necessário,faça intervenções atéque os alunosreconheçam aorientação inicial: abriros envelopes e montarum quadrado.AULA 3Nesta aula, os alunos têm um primeiro contato com omicro, seu funcionamento, uso e cuidados.1º passoOs alunos iniciam a exploração do softwareIntrodução ao Micro.Professor, o tempoprevisto para estaatividade é de apenasuma aula. É provávelque não seja possívelesgotar todas asatividades nesse tempo.Dessa forma, o softwareficará disponível comoatividade complementar,para aqueles alunos quetiverem interesse emexplorá-lo mais.AULA 4 e 51º passoOs alunos se organizam em grupos de 3, para discutirsobre o projeto Números em Ação a respeito de:1.expectativas comuns;2.como gostariam de trabalhar no Projeto;3.papéis de alunos e professores.Para desenvolver essa atividade, inicialmente, os alunosdiscutem e fazem um planejamento de apresentação nocaderno. Depois de pensada e organizada a propostaserá feita no PowerPoint.2º passoOs alunos mostram suas produções (apresentações).Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer aatividade do Termômetro para avaliar o grupo deatividades desenvolvidas nas aulas de 1 a 5.Professor, não havendorecurso disponível comoo PCTV, utilize o rodíziocomo estratégia para aapresentação.
  28. 28. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200528TEXTO COMPLEMENTAR IIA avaliação diagnósticaPropósitoO propósito da avaliação diagnóstica é determinar as competências jáconstruídas pelos alunos das 5ªs e 6ªs séries, ao longo de sua escolarização,sobre Sistema de Numeração Decimal e Cálculos. Propõe-se que esta avaliaçãoseja feita por meio do uso individual do software Avaliação Eletrônica cujascaracterísticas e funcionamento estão descritos a seguir.Características das questões que comporão a avaliação diagnósticaAs questões que comporão a avaliação foram construídas com base naadaptação dos descritores do SAEB e do SARESP. Foram concebidos eformulados como uma associação entre os conteúdos curriculares e asoperações mentais desenvolvidas pelos alunos. São eles:D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos etrocas na base 10 e princípio do valor posicional.D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentesoperações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textosque incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ounão, por meio de estratégias pessoais.Os descritores selecionados são aqueles que dizem respeito a alguns conteúdosconceituais e procedimentais que serão trabalhados no Projeto Números emAção, a saber:• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND;• os números naturais e seu uso social;• os números racionais e sua representação decimal (a partir de seusdiferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade);• significado das operações fundamentais;• leitura e interpretação de informações apresentadas em gráficos e tabelas;• decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, comcalculadora), exato ou aproximado, em função da situação problemaapresentadaAs avaliações A e B contêm, cada uma, 15 questões “espelhadas” ou“equivalentes”. Isso significa que, para cada questão da avaliação A, existe umaequivalente na avaliação B, que trabalha o mesmo conteúdo, por meio de umasituação-problema que é praticamente a mesma e que pode ser resolvidausando-se raciocínio semelhante ao da questão-espelho.
  29. 29. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200529Essa estratégia permite que a avaliação seja aplicada em dois momentosdistintos, sendo um para cada metade da turma, com duração de 100 minutos,garantindo assim seu caráter individual.No ANEXO 2, estão descritas as 30 questões elaboradas para a avaliaçãodiagnóstica acompanhadas dos descritores correspondentes e das mensagens deacerto e de erro. A resposta correta de cada questão está destacada em negritoe em itálico.Descrição do SoftwareNúmero de participantes: 1PropósitoDeterminar as competências já construídas pelos alunos das 5ª e 6ª séries sobreSistema de Numeração Decimal e Cálculos.Componentes do softwareO programa é composto por quatro módulos, a saber:Cadastro de questões: aplicativo no qual as questões que comporão asavaliações são cadastradas e editadas.Avaliações e Relatórios: programa que permite criar avaliações,definindo suas propriedades – quantidade e seleção de questões. Étambém nesse módulo que são gerados os relatórios de desempenhodo aluno.Importante!O campo Tempo, existente nesse módulo, determina a duração daavaliação. Se não for necessário delimitar o tempo para a realização daavaliação, basta deixar esse campo em branco ou digitar 00:00.Cadastro de alunos: este aplicativo possibilita cadastrar a escola e osalunos que farão as avaliações.Programa Avaliação Eletrônica: é o software propriamente dito, noqual os alunos realizarão as avaliações. Antes de ser executado, énecessário que todos os cadastros (avaliação, aluno, questões) tenhamsido feitos.Quando o software é instalado na opção Servidor, cria-se, no Menu Iniciar –Programas, a pasta Avaliação Eletrônica, com atalhos para os 4 módulos. Naopção Estação, é criado apenas o atalho para a Avaliação Eletrônica.Os módulos de cadastro são protegidos por senha (a mesma para todos), a fimde que somente o professor e/ou o administrador do sistema tenha acesso aeles. A senha inicial é escola e precisa ser digitada com todas as letrasminúsculas. Para alterá-la, basta acessar o módulo Avaliações e Relatórios eselecionar o menu Senha do Administrador. Será, então, aberta uma tela paraconfirmação da senha atual e cadastro da nova senha.
  30. 30. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200530Para o uso no projeto Números em Ação, não será necessário fazer cadastro deescola e alunos, pois esses dados serão obtidos do Cadastro Único. Além disso,as avaliações A e B, propostas nas aulas 6, 7, 8 e 9, bem como suas questões, jáestão cadastradas. Dessa forma, não será preciso utilizar nenhum dos módulosde cadastro antes de usar o software Avaliação Eletrônica.Início da avaliaçãoNas aulas 5 e 6, propõe-se que metade dos alunos realize a Avaliação A e, nasaulas 7 e 8, que a outra metade realize a Avaliação B. Sendo assim, de acordocom a aula em questão, o professor deverá orientar os alunos a resolverem aavaliação A ou a B.Ao iniciar o programa, os dados do aluno (escola, nome e RA) serão exibidos natela. Bastará que o aluno selecione uma das duas avaliações disponíveis (A ouB), seguindo a orientação do professor.O professor/administrador do sistema deverá, então, conferir os dados do aluno(prova selecionada, escola, nome e RA). Se estiverem corretos, digitará suasenha (a mesma utilizada nos módulos de cadastro da avaliação eletrônica), paraque o aluno possa iniciar a avaliação.QuestõesApesar de todas as avaliações de mesmo tipo (A ou B) serem compostas pelasmesmas questões, a ordem em que elas são propostas para o aluno é definidade forma aleatória. Assim, as questões da avaliação A de um aluno não estarãoorganizadas necessariamente na mesma ordem da avaliação A de outro.Resolução da avaliaçãoDurante a resolução da avaliação, o aluno poderá navegar livremente pelasquestões, respondendo-as na ordem que desejar. Poderá, inclusive, repensarsuas respostas e alterá-las, caso seja necessário.O programa só armazenará as respostas do aluno quando ele finalizar aavaliação.Gráfico de desempenhoAo final da avaliação, exibe-se uma tela de desempenho, contendo o nome doaluno, a quantidade de questões respondidas (correta/incorretamente) e nãorespondidas e um gráfico da porcentagem de acertos e erros, em formato pizza.Esse é o único retorno que o programa fornece para o aluno.Término da avaliaçãoA avaliação eletrônica poderá ser finalizada de duas maneiras:• Quando o botão Terminar for selecionado: nesse caso, o gabarito do aluno égravado na base de dados do programa e considerado nos relatórios gerados.O aluno só poderá resolver novamente a mesma avaliação se for autorizadopelo professor/administrador do sistema. Nesse caso, os dados da novaavaliação substituirão os da antiga na geração dos relatórios, apesar deambos ficarem armazenados na base de dados do programa.
  31. 31. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200531Quando o aluno clica no botão Terminar, o programa solicita que o professordigite sua senha, validando o término da avaliação. Ou seja, uma avaliação sópode ser encerrada com a aprovação do professor.• Quando o botão Desistir for selecionado: nesse caso, as questões que oaluno já tiver resolvido não serão armazenadas no banco de dados e seudesempenho não constará nos relatórios fornecidos pelo programa. O alunopoderá resolver novamente uma avaliação da qual desistiu, mas, para isso,precisará da autorização do professor/administrador do sistema.Relatórios de desempenhoOs relatórios gerados pelo programa Avaliação Eletrônica só podem seracessados pelo professor/administrador do sistema, no módulo Avaliações eRelatórios (protegido por senha).Atualmente, os dados das avaliações realizadas pelos alunos geram relatóriosorganizados da seguinte maneira:• Por prova:Por alunos: selecionando-se a avaliação, é possível saber quais alunos arealizaram, em que data, quanto tempo demoraram para finalizá-laquantos acertos e erros tiveram e visualizar um gráfico comparativo dosacertos e erros dos alunos que concluíram a avaliação selecionada.• Por aluno: avaliação completa e reduzida para impressãoAvaliação completa: selecionando-se a avaliação e o aluno, este relatórioapresenta todas as informações da avaliação realizada: data, horário,tempo gasto, descrição detalhada de todas as questões – enunciado ealternativas, alternativa correta, resposta do aluno, situação da resposta(certa, errada, questão não respondida), mensagem de erro/acerto,descritor. Ao final do relatório, é gerado um gráfico de acertos e erros doaluno na avaliação.Reduzida para impressão: este relatório apresenta, de forma resumida, asmesmas informações da avaliação completa. A diferença é que asquestões são identificadas apenas por seus números (o enunciado e asalternativas de respostas não são detalhados no relatório).• Geral da escola:Por alunos: considerando-se todas as avaliações propostas e todos osalunos que as fizeram, é possível saber quantas avaliações cada alunorealizou, o número e a porcentagem de questões certas e erradas evisualizar um gráfico comparativo dos acertos e erros dos alunos (emtodas as avaliações).Posteriormente, será enviado às escolas um aplicativo que possibilitará a criaçãode outros dois tipos de relatório, mais sofisticados, a saber:1. Por aluno• Número e Percentual total de acertos (em 15 questões acertou)• Número e percentual de acertos e de erros, por descritor
  32. 32. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200532• Indicação de mensagem de acerto e de erro por questão.2. Por turma• Percentual de acertos:N = percentual de acertos0 ≤ N ≤ 2020 < N ≤ 4040 < N ≤ 6060 < N ≤ 8080 < N ≤ 100• Número e percentual de alunos com acertos em cada descritorATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASAULAS 6, 7, 8 e 9Aplicação da avaliação nos alunos do grupo do dia:Avaliação A: aulas 6 e 7Avaliação B: aulas 8 e 9Ao final de cada grupo de aulas, copiar, de cadamáquina, o arquivo vestsim.mdb, que se encontra em“C:Arquivos de programasInfo EducacionalAvaliaçãoEletrônica”.Se as máquinas do laboratório estiverem conectadasem rede, basta copiar o arquivo de mesmo nome, quese encontra no servidor, no mesmo local. Essesarquivos serão necessários posteriormente, quando forenviado à escola o aplicativo que possibilitará gerar osdois relatórios de consolidação dos dados.Professor, a turmaprecisa ser dividida emdois grupos. Garanta umdia de aula geminadapara que cada grupofaça a avaliação do diacorrespondente.
  33. 33. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200533MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOSTEMAContar e escrever quantidades faz parte da rotina das pessoas. Será que semprefoi assim? As atividades propostas neste módulo permitirão refletir sobre osprocessos de desenvolvimento dos sistemas de numeração ao longo da históriada humanidade.Mas por que trabalhar com os sistemas de numeração antigos? Asrepresentações matemáticas, das mais simples às mais elaboradas, sãoresultado de um processo histórico complexo. Analisá-las, compará-las erelacioná-las ajudarão os alunos a explicitar e entender as regras de formação eas características do sistema decimal de notação numérica que utilizamos hoje,e a compreender por que é ele o sistema mais eficiente já criado pelo homempara representar grandes quantidades e fazer operações por escrito.Outra razão diz respeito ao vínculo existente entre a aprendizagem dasoperações e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (SND). O valorposicional é um recurso muito utilizado para fazer cálculos mentais. Porexemplo: para calcular 37 + 48 é possível fazer 30 + 40 e depois 7 + 8. Poroutro lado, para se avançar no entendimento das regras de formação do sistemade numeração, é preciso fazer operações como, por exemplo, entender que 25 éum número que pode ser representado pela operação 15 + 10. Assim, ao setrabalhar o SND, o aluno avançará no entendimento das operações, da mesmamaneira que avançará no entendimento do SND ao trabalhar com as operações.RECURSOS UTILIZADOSEquipamentosComputadorSoftware e AplicativosNúmeros em AçãoWordPaint BrushPowerPointOutros materiaisLivrosPara pesquisa do professor sobre sistemas de numeração e numeraçãoindo-arábicaOs números: A história de uma grande invenção. Georges Ifrah. São Paulo:Globo, 1985Sistemas de numeração ao longo da história, Edwaldo Bianchini e Herval Paccola.São Paulo: Moderna, 1997A numeração indo-arábica. Luís Márcio Imenes. São Paulo: Scipione, 1993.Atividades e jogos com números Marion Smoothey. Série InvestigaçãoMatemática. São Paulo: Scipione, 1998.
  34. 34. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200534Números - problemas, jogos e enigmas. David L. Stienecker. São Paulo:Moderna, 1998.No ambiente virtualVídeoHistória dos números: das pedrinhas ao computadorAula Multimídia AlterávelSistema de numeração romanoSistema de numeração egípcioSistema de numeração maiaSites na InternetPara uso do professor sobre sistemas de numeraçãohttp://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htmhttp://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.htmlhttp://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.htmlhttp://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htmhttp://www.mathema.com.brSobre jogos, para as atividades complementareshttp://www.monica.com.br/diversao/games/senha/welcome.htmhttp://sagres.mct.pucrs.br/museuvirtual/Jogos/jogos.htmlhttp://www.jogos.antigos.nom.br/apres.asphttp://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/index_ca.htmOBJETIVOS DE ENSINO• Propiciar um ambiente rico em atividades significativas, desafios erecursos tecnológicos que estimulem e favoreçam a aprendizagem dosistema de numeração decimal.• Criar oportunidades do conhecimento de outras culturas, por meio doestudo dos sistemas de numeração criados pelo homem ao longo de suahistória.• Orientar o aluno a buscar soluções de problemas de forma crítica, criativae cooperativa.• Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com aplicativose softwares educacionais.OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM• Estabelecer relações de semelhanças e diferenças entre as regras queorganizam os diferentes sistemas de numeração criados pelo homem e osistema de numeração decimal.• Reconhecer a posicionalidade como característica fundamental do sistemade numeração decimal ao transformar notações numéricas convencionais.
  35. 35. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200535CONTEÚDOSConceituais• Os sistemas de notação numérica ao longo da história da humanidade:características, usos e relações com o sistema notacional decimal.• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND.• Notações numéricas convencionais.Procedimentais• Uso da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação.• Elaboração de registros relativos às produções e às gravação dos mesmoscom uso do Word e do PowerPoint.Atitudinais• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e datroca de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos eanimações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.• Disposição em seguir as orientações dadas, objetivando o uso adequadodo software.TEXTO COMPLEMENTAR IIIA APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS2ª PARTEConferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional deIntercâmbio e Atualização Educacional, organizado por"Novedades Educativas" - Argentina.Tradução livre: Daisy MoraesDevemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual as criançasaceitem que, durante um certo tempo, serão elas as responsáveis pelaconstrução de conhecimento, claro que com a ajuda e com o apoio permanentedo professor. E chegará outro momento (isso também é função essencial dodocente) no qual o professor ratificará essa construção, completará, ajudará aestabelecer aquilo que as crianças não tenham podido estabelecer por simesmas.Gostaria de exemplificar com uma situação na qual esse clima já está bastantesolidificado e que, de alguma maneira, demonstra algumas intervenções dodocente para continuar devolvendo o problema no decorrer da situação didática enão somente na proposta inicial da situação.No trabalho que Patricia Sadovsky e eu estamos realizando, com a colaboraçãode Susana Wolman, procuramos fazer com que as crianças cheguem a
  36. 36. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200536compreender o sistema de numeração – em particular o valor posicional dosistema – no âmbito de uma proposta que não toma como ponto de partida arevelação da verdade, isto é, que não toma como ponto de partida o docenteensinar dezenas e centenas e que façam agrupamentos explicitando que o valorrelativo dos números tem a ver com o lugar que ocupam, porque isso representadiferentes agrupamentos, mas que toma como ponto de partida as concepçõesdas crianças e gera situações didáticas que tornam possível a interação com osistema, a produção e a interpretação de números, o vínculo entre o sistema denumeração e as operações matemáticas.Em uma atividade de segunda série, propusemos uma situação na qualditávamos um número e pedíamos às crianças que fizessem transformações nacalculadora. Por exemplo, para que 6.275 se transformasse em 6.075; para que7.403 se transformasse em 7.003. Essa atividade foi bem interessante, porqueas crianças trabalharam bastante por tentativa e erro. Por exemplo, diante de9.354 para que fosse produzido 9.054, primeiro sobraram três, depois sobraram30 e depois, 300. A vantagem dessa situação é que ela é auto-verificadora, poiscomo eles sabem que têm de obter um resultado na calculadora, sabem tambémse a operação que fizeram está correta ou não, na medida em que lhes permiteou não obter o resultado. O fato de gerar situações nas quais as própriascrianças possam ver se o que estão fazendo está certo ou não, é crucial paraconseguir devolver o problema. Se toda atividade das crianças depende semprede que seja o professor que avalie o que está certo ou errado, perde-secompletamente a possibilidade de que sejam as crianças as responsáveis peloproblema.Em alguns casos, como neste, consegue-se que a própria situação permita queas crianças verifiquem a correção ou não daquilo que estão fazendo. Em outroscasos é o professor que deve expor sua opinião depois, e ser aquele que tem decontinuar devolvendo o problema sem avaliar, para ir buscando outras maneirasde validação, como, por exemplo, social por consenso entre as crianças.Na situação que contava a vocês, eles discutiram algumas coisas: por quehaviam sobrado primeiro três e, depois, trinta? Como poderiam saber, antes, oque deveria sobrar, sem fazer tantas tentativas? Algumas crianças encontraramrespostas que passaram pela denominação oral dos números. Patrício disse:"Porque é 268; se quero que me apareça um zero no lugar do dois, tem desobrar duzentos, porque não estou dizendo 9.200? Não estou dizendo nem 20nem 2. Então, o que deve ser tirado é duzentos."As explicações eram basicamente essas.Em seguida, realizamos outra situação com calculadora e propusemos a mesmacoisa, mas com números como 4.444, isto é, com números que fizessem comque os alunos percebessem a diferença entre o que deveria sobrar conforme ozero estivesse colocado no quatro de quarenta, no quatro de quatrocentos ou node quatro mil.Estávamos procurando que eles conseguissem conceituar como faziam paraantecipar o que deveria sobrar. Essa antecipação estava vinculada ao valorposicional do número que deveria sobrar, e procurava-se fazer com que ascrianças tivessem consciência disso.Em seguida, propusemos outra situação em que pedíamos a eles que somassem
  37. 37. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200537números redondos, encontrando a maneira mais rápida de fazê-lo.Alguns exemplos das somas:4.000+20+600+290+500+7.000100+2+5.000Uma vez que, individualmente, todas as crianças haviam resolvido as somas erefletido sobre a maneira mais rápida de encontrar o resultado, começamos adiscutir. Todas as crianças estavam de acordo: para fazê-lo rapidamente, eledeveria ser ordenado. Deveriam pôr primeiro os números maiores de cada soma,ordenando do maior para o menor.Observamos como procuramos devolver-lhes o problema, para que pudessemcontinuar pensando sobre essa questão, em lugar de fechar rapidamente adiscussão.Estabelecido o acordo, Santiago diz: "Eu não somei, eu tirei os zeros”. Como fezisso?, pergunta a professora. Então ele vai até a lousa e escreve1.000+500+80+6, risca os três zeros do mil, os dois do quinhentos e o zero dooitenta e coloca 1.586, mostrando que o que fez foi pegar o primeiro número decada caso.A professora diz:É a mesma coisa se eu fizer isso: 500+1.000+80+6?Então, tiro os zeros e fica assim: 5.186. A professora vai outra vez à lousa e diz:Se eu escrevo 8+6+3+4, também sobra 8.634?"Santiago: "Não, tem de haver zeros, se não, não serve."Digo: "Então esta deve servir". Escrevo na lousa: 10+50+80+60=1.586.As crianças gritam: "Não!""Mas tem zeros", digo.Santiago diz que tem de haver mais zeros.As crianças ficam muito desconcertadas, olhando e pensando. Então nós lhesdizemos: "Santiago disse que não somou, mas tirou os zeros".(As outras, sim, somaram, porque a maioria delas diante dessa situação haviapensado o seguinte):1.000+500 é: 1.000+ 100= 1.1001.100+100=1.200 1.200+ 100= 1.3001.300+100=1.400 1. 400+ 100= 1.500e, depois1.500+80 é:1.500+10=1.5101.510+10=1.520 "
  38. 38. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200538até chegar a:1.570+ 10= 1.580A maioria havia realmente somado todas as vezes, fazendo isso de 100 em 100ou de 10 em 10, salvo quando somaram as unidades, logicamente).Isso somente aconteceu nesse caso ou poderia acontecer em outros? As criançasdizem que sim, que acontece em outros casos e dão os mesmos exemplos queeles haviam resolvido antes.A professora diz que devem, então, procurar descobrir quando os dois métodos –somar e tirar os zeros – dão o mesmo resultado e quando não dão. Esseproblema fica para a próxima aula. Mas as crianças não querem sair para orecreio e continuam olhando seus cálculos até que uma criança grita: "Não é amesma coisa quando tem um zero e o resultado”.Então, ela coloca na lousa 5.000+80+4 e diz: "Se eu somo, isso dá 5.084, masse uso o método de Santiago, isto é, tirar zeros, dá 584".Outras crianças mostram outros casos em que acontece a mesma coisa: existemzeros no resultado, então, não funciona a equivalência dos dois métodos; não sepode tirar os zeros para obter o resultado. Digo a eles: "Ótimo, acho que essaregra funciona. Mas não entendo muito bem para que me serve saber que possousar o método de tirar os zeros quando existe zero no resultado e não quandonão existe zero, porque se quero usar esse método que é mais rápido, ointeressante é usá-lo quando ainda não sei o resultado. Se tenho de somar damesma maneira, primeiro para saber se tem ou não zero, para que isso meserve? Esse problema fica proposto para a próxima aula". Mas as crianças nãoquerem esperar.Santiago continua olhando as contas e depois de alguns minutos diz: "Já sei.Para que funcione tem de haver nos dados um de três zeros, outro de dois zeros,outro de um zero e outro de nenhum zero, se não, não funciona".A professora diz que ele está no caminho certo. Bruno diz: "Ah! Mas se for assim,esse método não serve para nada. Quantas vezes você vai ter um que tenha trêszeros, dois zeros, um zero e nenhum zero”?A professora acrescenta: "Bruno diz que somente funciona para esse caso, entãonão vale a pena, porque nem sempre encontraremos contas iguais a esta.Contudo, se descobrirmos porque funciona nesse caso e não nos outros, entãovamos encontrar uma maneira que funcione em muitos casos. Pensem umpouco. E agora, sim: isso fica para a próxima aula”.Na aula seguinte, as crianças trazem algumas conclusões.Estão discutindo sobre o 1.000+500+80+3 e Francisco diz: "Isso somentefunciona se antes de fazer isso a gente põe em ordem".Pablo diz: "Se você começa pelo três, que é o menor, fica mais difícil de fazer,mas você pode fazer assim mesmo".Pablo coloca um exemplo 8.000+80 e diz: "Aqui tenho de colocar um oito aqui eaqui" e mostra o lugar dos 1.000 e dos 10: "somente assim tenho o resultado
  39. 39. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 2005398.080. Se tiro os zeros, dá 8+8=16. Não pode ser assim".Aqui começa a aparecer a idéia a que devem prestar atenção: são 1.000 ou100. Santiago diz: "Estes números não. Tenho de ter 1.000, posso ter cem, ouoitenta e o três". (Continua insistindo na sua posição)Então pergunto por que está escolhendo esses números e ele diz:"Escolho qualquer tipo de números.""Ah, sim? Quais requisitos eles devem cumprir, Santiago?”."Sempre têm de ter um zero a menos e no final um número que não tenhazero”."Espera um pouco" - diz a professora e escreve na lousa: 1.000+100+80+0,"porque seu colega estava dizendo que poderia ter um zero no final"."Ah, sim, pode ter um zero no final", diz Santiago."Claro, isso dá 1.180 e está certo", diz Patrício."Alguém entendeu"? , pergunta Santiago."Estou percebendo algo (diz a professora), mas não vou dizer”.- "Os zeros vãodiminuindo", diz Patrício.“Não - diz uma criança - preste atenção que 80 e o 0 têm somente um zero.""Estes têm três zeros; o 100 tem um zero a menos."Diz Sol: "Por que será que Delia colocou um zero em vez de colocar um três?"A discussão prossegue. Continuam planejando outras atividades até que seconsiga que as crianças elaborem uma conclusão: o que podemos fazer quandotemos números redondos é considerar diretamente, para elaborar o resultado,qual é o número que irá ao lugar dos dez, dos cem ou dos mil, conforme o valorrepresentado na soma original.Sem dúvida alguma, teria sido mais fácil revelar a verdade logo no início. Esseprocesso durou quatro aulas, mas possibilitou às crianças chegarem à conclusãoque fez com que avançássemos muito na compreensão do valor posicional e seuvínculo com as operações de soma e resto.
  40. 40. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200540ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASAULA 10Nesta aula, os alunos usarão o vídeo História dosnúmeros: das pedrinhas ao computador8queestá no CD de recursos. O trabalho com o vídeo tempor objetivo iniciar os alunos no estudo dos antigossistemas de numeração, estudo necessário àconstrução do empreendimento final que é aelaboração de um novo sistema de numeração.1º passoOs alunos assistem ao vídeo História dos números:das pedrinhas ao computador.2º passoDe acordo com a estratégia utilizada, os alunosapresentam e discutem as informações obtidas.Professor, é importantereforçar para os alunos que oobjetivo de cada aula quetrata de sistemas denumeração, é que entendamas regras de formação de cadaum desses sistemas. A partirdelas, poderão construir umnovo sistema de numeração,que tenha novos símbolos enovas regras de associação.Professor, leve seus alunos aexplorar as informaçõesrelativas a sistemas denumeração contidas no vídeo.Para isso, você pode criarestratégias que considereinteressantes ou utilizar umadas duas sugestões seguintes:• Orientar os alunos quefaçam anotações, nocaderno, sobre asinformações que acharammais relevantes e asorganizem no DOC parasalvá-las.• Pedir aos alunos que sedividam em grupos. Cadagrupo se encarrega de fazeranotações, no caderno,específicas dos diferentessistemas apresentados:base 2, base 10, base 60,numeração romana. Emseguida, organizam asinformações no DOC parasalvá-las.AULA 11As aulas 11, 12 e 13 têm por objetivo relacionar asregras e as características de três sistemas denumeração antigos, determinando os princípios desua formação como referência para a elaboração deum novo sistema de numeração (ativ. da aula 14)GeralProfessor, incentive os alunosa realizar as atividadespropostas, para que concluamque nos sistemas denumeração não bastaconhecer apenas os símbolos.É necessário saber também asregras de associação.8TV-Escola: Série Invenções e descobertas; Direção: Marie Annick Lê Guern; Duração:5’15”
  41. 41. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200541ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS1º passoOs alunos resolvem as atividades propostas na aulamultimídia Sistema de Numeração Romano econhecem um pouco mais sobre as suascaracterísticas.Professor, os alunos podemnavegar livremente pela aulamultimídia, para consultar osvalores dos símbolos e asregras de associação, aoresolver a atividade. A soluçãodo problema pode serapresentada aos alunosclicando na tecla PgUp (PageUp).AULA 121º passoOs alunos resolvem as atividades propostas na aulamultimídia Sistema de Numeração Egípcio econhecem um pouco mais sobre as característicasdesse sistema.2º passoOs alunos fazem um ditado de números que devemser escritos no sistema de numeração egípcio,alternando a função de desafiador.1º passoProfessor, oriente os alunospara que encontremsemelhanças e diferençasentre o sistema de numeraçãoegípcio e o nosso, a fim de quepossam determinar os valoresde cada um dos símbolosusados do sistema egípcio.2º passoProfessor, lembre aos alunosque eles podem consultar atabela dos símbolos egípciosdurante toda a atividade doditado. É importante chamar aatenção de que quem propõe odesafio deve saber resolvê-lo.AULA 131º passoOs alunos resolvem as atividades propostas na aulamultimídia Sistema de Numeração Maia econhecem um pouco mais sobre as característicasdesse sistema.GeralProfessor, é importanteorientar os alunos para queexplicitem as semelhanças eas diferenças entre ossistemas de notação numérica,principalmente em relação aosistema decimal, o que éessencial para quedeterminem os princípios dosistema que criarão.1º passoProfessor, incentive os alunosa analisar a escrita dosnúmeros que sãoapresentados. A discussãocom o colega é fundamental
  42. 42. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200542ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS2º passoPromover uma discussão sobre as informações queobtiveram ao fazer a aula multimídia.para que possam entender asformas de representação nosistema maia.Professor, a base só évigesimal até o número 360. Apartir daí, os maias contavampor ciclos de 360. O interesseda contagem estava voltadopara o calendário que dividia oano em 18 meses de 20 dias,num total de 360 dias. Paramaiores informações, leia asinformações das p. 654 a 667do livro História universal dosalgarismos ,de Georges Ifrah,tomo 1, Editora NovaFronteira.2º passoProfessor, esse é um sistemade numeração que envolveregras bem diferentes das queforam trabalhadas até aqui.Sua ajuda será de grandeimportância para que osalunos se interessem emconhecê-las e entendê-las.Professor, a solução doproblema pode serapresentada aos alunos,clicando em qualquer lugar datela e depois na teclaIns.(Insert).AULAS 14 e 15GeralProfessor, você pode encontrarinformações complementaressobre sistemas de numeraçãoe numeração indo-arábica nossites:http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.htmlhttp://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.htmlhttp://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htm
  43. 43. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200543ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS1º passoA partir das informações coletadas no vídeo e nasaulas multimídia sobre os sistemas de numeração,elaborar, com os alunos, um quadro comparativo queexplicite as semelhanças e diferenças dessessistemas. Uma sugestão de quadro é:SistemaqueusamosSistemaRomanoSistemaEgípcioSistemaMaiaQuantos e quaissímbolospossuemBase: de quantoem quantoconta-sePrincípios:regras deassociação dossímboloshttp://www.matematicasociety.hpg.ig.com.br/sistema_de_numeracao.htmhttp://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htmhttp://www.unifebe.edu.br/teresabotelho/digital/Sistnumera.htmlLivros:"Os números: a história deuma grande invenção",Georges Ifrah. São Paulo:Globo, 1985.“Sistemas de numeração aolongo da história”, EdwaldoBianchini e Herval Paccola.São Paulo: Moderna, 1997.“A numeração indo-arábica”Luis Márcio Imenes. SãoPaulo: Scipione, 1993.“Atividades e jogos comnúmeros” Marion Smoothey.Série InvestigaçãoMatemática. São Paulo:Scipione, 1998.“Números, problemas, jogos eenigmas”, David L.Stienecker. São Paulo:Moderna, 1998.1º passoProfessor, suas interferênciasno momento da discussão sãoimportantes para que os alunoscriem um sistema denumeração realmente novo.Lembre-se de que a merasubstituição de símbolos nãoconstitui um novo sistema. Énecessário que os alunoselaborem novas regras deassociação dos símbolos.Os alunos podem fazer atabela utilizando o caderno,em cartazes ou usando o DOC(Word) ou PPT (PowerPoint).
  44. 44. Secretaria de Estado da Educação – SEE/SPFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIPProjeto Números em Ação – 1ª Fase 200544ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICASA discussão pode ser encaminhada a partir daquestão:- Para criar um novo sistema é suficiente criarsímbolos?2º passoOs alunos iniciam o trabalho de criação de um novosistema de numeração, utilizando Paint Brush ouPowerPoint.3º passoCada dupla apresenta seu trabalho, para análise evalidação dos sistemas de numeração criados.Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer aatividade do Termômetro para avaliar o grupo deatividades desenvolvidas nas aulas de 10 a 15.3º passoProfessor, faça com que osalunos analisem a eficiênciados sistemas de numeraçãocriados.

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