• Like
гдз по математике 5 кл. к учебнику зубаревой, мордкович 2012  176с
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

гдз по математике 5 кл. к учебнику зубаревой, мордкович 2012 176с

  • 6,533 views
Uploaded on

Книги для сайта http://bookgdz.ru/ гдз по математике 5 кл. к учебнику зубаревой, мордкович 2012 176с

Книги для сайта http://bookgdz.ru/ гдз по математике 5 кл. к учебнику зубаревой, мордкович 2012 176с

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
6,533
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
1
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 1. Десятичная система счисления 2. 954 003 057 000 000 (девятьсот пятьдесят четыре триллиона три миллиарда пятьдесят семь миллионов); 831 000 820 000 (восемьсот тридцать один миллиард восемьсот двадцать тысяч); 63 900 000 000 000 (шестьдесят три триллиона девятьсот миллиардов). 3. а) 545; б) 1786; в) 3004; г) 689. 4. а) 2822; б) 1143; в) 471; г) 379. 6. а) Единицы тысяч; единицы; б) десятки тысяч; единицы тысяч; в) сотни тысяч; первая 7 стоит в разряде сотни тысяч, а вторая 7 — в разряде сотен; н) сотни миллиардов; первая 7 стоит в разряде десятки миллионов, вторая 7 — в разряде единицы миллионов; третья 7 — в разряде единицы тысяч. 7. а) Единицы тысяч; б) десятки и единицы; в) нет отсутствующих разрядов; г) единицы миллионов; десятки тысяч; сотни; единицы. 8. Десятки триллионов. а) 0; б) 1; в) 2; г) 8. 9. М. 5 ˜ 8 40; К. 5 ˜ 5 25; Е. 8 ˜ 7 56; Ф. 5 ˜ 7 35; Т. 4 ˜ 9 36; Р. 8 ˜ 8 64; А. 9 ˜ 3 27; И. 3 ˜ 8 24. 27 А 10. а) б) в) г) 11. а) б) в) г) 12. а) 13. а) в) 14. а) б) в) 64 Р 24 И 35 Ф 40 М 56 Е 36 Т 24 И 25 К 27 А 100 000 (сто тысяч); 10 000 (десять тысяч); 1 000 000 000 (один миллиард); 100 000 000 000 (сто миллиардов). 99 999 (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 (девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 999 (девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять). 107; б) 333 000; в) 990; г) 4000. 102 230 071; б) 580 000 240 500; 48 044 876 000 000; г) 34 515 500. Сто девять миллионов сто тридцать пять тысяч пятьдесят четыре; восемьдесят пять миллиардов два миллиона пятьсот пятьдесят одна тысяча семьдесят семь; девятьсот десять триллионов сорок два миллиарда двадцать миллионов триста восемь тысяч сто пятьдесят;
  • 2. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 337 г) семьдесят девять миллионов четыреста две тысячи семьсот двадцать. а) 53 801 50 000 + 3000 + 800 + 1; 53 801 5 ˜ 10 000 + 3 ˜ 1000 + 8 ˜ 100 + 1; б) 6275 6000 + 200 + 70 + 5; 6275 6 ˜ 1000 + 2 ˜ 100 + 7 ˜ 10 + 5; в) 189 032 100 000 + 80 000 + 9000 + 30 + 2; 189 032 1 ˜ 100 000 + 8 ˜ 10 000 + 9 ˜ 1000 + 3 ˜ 10 + 2; г) 201 734 200 000 + 1000 + 700 + 30 + 4; 201 734 2 ˜ 100 000 + 1 ˜ 1000 + 7 ˜ 100 + 3 ˜ 10 + 4. 125 378 567 > 99 987 398; 125 378 567 < 125 378 568; 125 378 567 > 125 367 569. а) 356; 357; 258; 359; 360; 361; б) 10 998; 10 999; 11 000; в) 951 399; 951 400; г) нет таких натуральных чисел. а) 55 < 56 ; б) 32 > 9748; в) 95 > 4 г) 6 > 14 ; д) < ; е) 93 < 15 ; ж) 4 < 96 ; з) 35 и 3 . (В примере з) первое число больше второго, если первую звездочку второго числа заменить цифрами 1; 2; 3, а если заменить цифрами 4; 5; 6; 7; 8; 9, то второе число больше первого.) а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 9; д) 50 303; 50 313; е) 60 783 < 60 791; ж) 71 209 < 71 218; или 70 219; 70 229; 70 239; 70 249; 70 259; 70 269; 70 279; 70 289; 70 299; з) 49 310 > 49 305. 456 — четыреста пятьдесят шесть; 4560 — четыре тысячи пятьсот шестьдесят; 45 600 — сорок пять тысяч шестьсот. Если цифры числа сдвигаются на один разряд влево, то в записи числа справа дописывается нуль; значимость этой цифры увеличивается на разряд; величина числа увеличивается в 10 раз. 32 500 000 — тридцать два миллиона пятьсот тысяч; 3 250 000 — три миллиона двести пятьдесят тысяч; 325 000 — триста двадцать пять тысяч. Если две цифры числа сдвигаются на один разряд вправо, то в записи числа справа отбрасывается один нуль; значимость цифры при сдвиге ее на один разряд вправо уменьшается на один разряд, а величина числа при этом уменьшается в 10 раз. Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 100 и т.д., надо справа к этому числу приписать столько нулей, сколько их содержится в 10, 100 и т.д. Например, 25 ˜ 10 250; 36 ˜ 100 3600; 104 ˜ 1000 104 000. Чтобы разделить натуральное число, заканчивающиеся нулями, на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этом числе справа отбросить столько нулей, сколько их содержится в 10, 100, 1000 и т.д.
  • 3. 2002–2011 гг.* 338 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Например, 1900 : 100 19; 7 680 000 : 1000 7680; 37 000 000 : 1 000 000 37. а) 124 ˜ 100 12 400; б) 915 000 : 100 9150; в) 750 ˜ 1000 750 000; г) 3590 ˜ 10 35 900; д) 247 ˜ 1000 247 000; е) 4 753 000 : 100 47 530; ж) 900 ˜ 100 90 000; з) 84 600 : 10 8460. а) 67 ˜ 10 : 2 335; б) 5 ˜ 116 116 : 1 ˜ 10 58 ˜ 10 580; в) 444 ˜ 4 444 : 2 ˜ 10 2220; г) 2350 ˜ 5 2350 : 2 ˜ 10 11 750. а) 58 ˜ 5 58 : 2 ˜ 10 290; б) 5 ˜ 280 280 : 2 ˜ 10 1400; в) 588 ˜ 5 588 : 2 ˜ 10 294 ˜ 10 2940; г) 5 ˜ 3700  3700 : 2 ˜ 10 1850 ˜ 10 18 500. а) 35 ˜ 5 35 ˜ 10 : 2 350 : 2 175; б) 264 ˜ 5 264 : 2 ˜ 10 132 ˜ 10 1320; в) 331 ˜ 5 331 ˜ 10 : 2 3310 : 2 1655; г) 4300 ˜ 5 4300 : 2 ˜ 10 2150 ˜ 10 21 500. а) 59 ˜ 5  59 ˜ 10 : 2 590 : 2 295; б) 181 ˜ 5 181 ˜ 10 : 2 1810 : 2 905; в) 679 ˜ 5 679 ˜ 10 : 2 6790 : 2 3395; г) 2830 ˜ 5  2830 : 2 ˜ 10 1415 ˜ 10 14 150. а) 6800; б) 701 020; в) 530 000; г) 28 640. Г. 15 ˜ 2 + 14 30 + 14 44; К. 9 + 39 : 3 9 + 13 22; И. 51 + 12 ˜ 4 51 + 48 99; Ц. 8 + 8 ˜ 10 8 + 80 88; М. 17 ˜ 3 – 18 51 – 16 33; Й. 11 ˜ 9 – 44 99 – 44 55; Н. 3 + 9 ˜ 7 3 + 63 66; И. 36 : 4 + 2 9 + 2 11; А. 17 + 4 ˜ 5 17 + 20 37. 33 М 37 А 44 Г 66 Н 11 И 29. 15 325 000; 100 250. 30. а) 1 392 000; в) 40 426 000 000 000; 31. 3 + 380 + 320 + 40 + 120 88 Ц 22 К 99 И 55 Й б) 149 600 00; г) 5 894 240 000. 863 (га). § 2. Числовые и буквенные выражения 32. 1) 3) 5) 7) 8) 33. 1) 5) * 15 – 5 10; 2) 15 + 5 20; 4) 3 ˜ 5 15; 6) 2 ˜ 15 – 3 ˜ 5 30 – 15 15; (2 ˜ 15) : (3 ˜ 5) 30 : 15 2. x – y; 2) x : y; 3) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 15 : 5 3; 2 ˜ 15 30; 2 ˜ 15 + 3 ˜ 5 x + y; 2x – 3y; Решения и ответы приводятся к учебникам указанных годов. 30 + 15 45; 4) 2x; 8) (2x) : (3y).
  • 4. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 339 34. Заменим в № 32 стоимость плитки шоколада буквой х, а стоимость батона хлеба — буквой у. Тогда получим такие же выражения, что и в № 33. 1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y). 35. 1) Числовые выражения: 17 + 5 ˜ 48; 86 : 2 + 43 ˜ 15; буквенные выражения: 23 ˜ 5 – 3x; 2x – m. 2) Числовые выражения: 21 + 56 ˜ 7; 12 + 71 + 5 ˜ 28; буквенные выражения: 2d – 54; x + y + z; 5t. 36. а) 100 ˜ (8 + 7) 15 ˜ 100 1500; б) (57 – 42) ˜ 1000 15 ˜ 1000 15 000; в) (32 + 24) : 7 56 : 7 8; г) 81 : (77 – 68) – 81 : 9 9; 37. а) 15 ˜ 2 + 42 : 6 30 + 7 37; б) 270 : 3 – 25 ˜ 3 90 – 73 15; в) 17 ˜ 3 + 4 ˜ 13 51 + 52 103; г) 45 : 3 – 64 : 32 15 – 2 13. 38. а) 3 ˜ (a – b); б) 25 : (x + y); в) 3 ˜ a + b; г) 72 – 2 ˜ c. 39. 1) 2 + 6 8 (км); 2) (2 + 6) : 2 4 (км); 3) 2 ˜ (2 + 6) 16 (км); 4) 2 ˜ 2 4 (км); 5) 2 ˜ 6 12 (км); 6) 2 ˜ 6 – 2 ˜ 2 12 – 4 8 (км); 7) (2 ˜ 6) : (2 ˜ 2) 12 : 4 3 (раза). 40. 1) (x + y) км; 2) (x + y) : 2 км; 3) 2(x + y) км; 4) 2x км; 5) 2y км; 6) 2(x – y) км; 7) 2x : 2y (раз). 41. Л. (6 + 18) : 8 24 : 8 3; Г. 124 : (20 + 11) 124 : 31 4; Р. 9 ˜ (106 – 103) 9 ˜ 3 27; Е. 8 + (58 – 36) 8 + 22 30; Б. 50 : (430 – 405) 50 : 25 2; А. 33 : 3 11. 11 А 42. а) б) в) г) д) 43. а) б) в) 44. 1) 2) 45. 1) 46. а) 47. а) 3 Л 4 Г 30 Е 2 Б 27 Р 11 А 6 + 4 10; е) 86 – 54 32; 36 + 4 40; ж) 510 не делится нацело на 7; 32 : 8 4; з) 20 + 28 48; 6 ˜ 30 180; и) 56 – 40 16. 9 – 4 5; 15 + 5 20; г) 25 ˜ 3 75; ж) 30 – 17 13; 63 – 12 51; д) 27 : 9 3; з) 540 – 500 40; 35 : 5 7; е) 36 : 4 9; и) 640 + 360 1000. 720; 1440; 2880; 5760; 1286; 1504; 1784; 2896. 47; 2) 27; 3) 21. 103; б) 177; в) 11; г) 23. 41; б) 14; в) 27; г) 185.
  • 5. 2002–2011 гг. 340 48. а a+6 6а 1 7 6 4 10 24 7 23 42 12 18 72 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 20 26 120 49. а) b; б) а; в) b; г) а. 50. а) m; б) m; в) n; г) n. 51. а) m 8 + n; б) a 4b; г) e g : 6. в) c d – 3; 52. I — 500 кг ⎫ II — 2200 кг ⎬? ⎭ III — ? на 250 кг >, 1) 500 + 250 750 (кг); 2) 500 + 2200 + 750 3450 (кг). Ответ: трем магазинам продано 3450 кг кондитерских изделий. 53. − 1 450 000 500 000 950 000 (ð.) Ответ: чистый доход, полученный фабрикой за год равен 950 000 р. 54. 35 000 – 5000 30 000 (р.). Ответ: чистый доход предприятия увеличился на 30 000 р. Контрольные задания 1. Числовые выражения: 328 – 18 ˜ 3; 81 : 9 + 72. Буквенные выражения: 3a – 178; x – 5y. 2. 5 ˜ 4 + 17 20 + 17 37. 3. а) (3m) р.; б) (2t) р.; в) (3m + 2t) р. § 3. Язык геометрических рисунков 55. М. 20; Р. 12; 22 Г О. 29; Я. 16; 24 Е 29 О 20 М Т. 36; И. 7; 24 Е 36 Т Г. 22; Е. 24. 12 Р 7 И 16 Я 57. 1. а) АВ; б) пересекаются прямые CD и АВ; EF и АВ; прямые CD и EF не пересекаются. 2. Точки М и N принадлежат прямой а, а точки С и D ей не принадлежат. 3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая а пересекает отрезок MN в точке K.
  • 6. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 341 58. 59. Угол СВА (или АВС); треугольник ORT; четырехугольник DKEF (трапеция); прямоугольный треугольник NTV. 60. 1) 52 – 13 39 (км/ч); 2) 52 : 13 4 (раза); 3) 260 : 13 20 (ч); 4) 260 : 52 5 (ч); 5) 260 : 13 – 260 : 52 20 – 5 15 (ч); 6) (260 : 13) : (260 : 52) 20 : 5 4 (раза); 8) 260 : (13 + 52) 260 : 65 4 (ч). 61. 1) (y – x) км/ч; 2) (y : x) (раз); 3) (260 : х) (ч); 4) (260 : у) (ч); 5) (260 : х – 260 : у) (ч); 6) (260 : x) ˜ (260 : y) (раз); 7) (260 : (x + y)) (ч). 62. х 36 42 180 240 24 x–6 х:6 18 4 30 6 36 7 174 30 234 40 63. а) 89 367 288; 89 788; б) 89 367 288; 36 288. 64. 1) 17; 4) 21; 7) 37; 10) 44; 2) 19; 5) 13; 8) 54; 11) 51; 3) 19; 6) 24; 9) 20; 12) 34. 65. 1) 850; 5) 700; 9) 5200; 13) 2400; 2) 2150; 6) 900; 10) 9100; 14) 14 000; 3) 2650; 7) 1300; 11) 11 200; 15) 37 000; 4) 6100; 8) 2100; 12) 14 000; 16) 43 000. 66. Если первое слагаемое увеличится на 16, а второе — на 4, то сумма увеличится на 20; — если первое слагаемое увеличится на 30, а второе уменьшится на 5, то сумма увеличится на 25; — если первое слагаемое увеличится на 18, а второе уменьшится на 4, то сумма увеличится на 14; — если первое слагаемое увеличится на 3, а второе уменьшится на 8, то сумма уменьшится на 5; — если первое слагаемое уменьшится на 5, а второе увеличится на 15, то сумма увеличится на 10; — если первое слагаемое уменьшится на 12, а второе — на 5, то сумма уменьшится на 17.
  • 7. 342 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 67. Клубничное варенье — 850 г ⎫ Вишневое варенье — ? в 2 раза >, ⎬? ⎭ Сливовое варенье — ? на 300 г >, Решение. 1) 850 ˜ 2 1700 (г); 2) 850 + 300 1150 (г); 3) 850 + 1700 + 1150 3700 (г). Ответ: Наташа привезла в подарок 3700 г варенья. 68. 1) 14 – 12 2 (июля); 2) 19 ч 30 мин – 10 ч 20 мин 9 ч 10 мин. Ответ: теплоход отплыл из Уфы 2 июля в 9 ч 10 мин. 69. 6 ч 20 мин 15 с + 10 мин 40 с 6 ч 30 мин 55 с. Ответ: правильное время 6 ч 30 мин 55 с. Контрольные задания 1. Прямая АВ, отрезок MN, треугольник CDE. 2. § 4. Прямая. Отрезок. Луч 70. 1) 2) один отрезок соединяет точки А и В. 3) через точки С и D проходит только одна прямая. 4) Прямые MN и CK не могут иметь других точек пересечения, кроме точки А. Любые две пересекающиеся прямые могут иметь только одну точку пересечения. 71. Лучи KL и АВ пересекаются. Лучи KL и MN, лучи АВ и MN не пересекаются. 72.
  • 8. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 343 73. 2) Отрезок — все точки прямой, расположенные между какими-либо двумя точками этой прямой, и сами эти две точки. Луч — все точки прямой, расположенные по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и сама эта точка. 74. 1) Каждое число нижней строки на 10 больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под числом 100 — число 110; б) п + 10. 2) Каждое число нижней строки в 2 раза больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под число 100 — число 200; б) 2п. 3) Каждое число нижней строки получается умножением на само себя соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 100; а под числом 100 — число 10 000; б) п ˜ п. 4) Каждое число нижней строки в 3 раза больше соответствующего числа нижней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 30; а под числом 100 — число 300; б) 3 ˜ п. 5) Каждое число нижней строки на 1 меньше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 9; а под числом 100 — число 99; б) п – 1. 6) Каждое число нижней строки получается умножением на себя 3 раза соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 10 ˜ 10 ˜ 10 1000; а под числом 100 — число 100 ˜ 100 ˜ 100 1 000 000; б) п ˜ п ˜ п. 75. 1) 12 ˜ 50 м; 2) 200 м; 3) (5 ˜ 12) : (200 – 50) мин. 76. а) (y – x) м/мин; б) 10: (y – x) мин. 77. 1) Скорость волка — 3х м/мин; 2) скорость сближения волка и зайца — (30 – х) м/мин; 3) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца — 10 : (3х – х) мин. 78. 5 6 10 5 2˜5+ 2˜6+ 2a + 3b + 3 ˜ 10 40 + 3 ˜ 5 27 4˜5– 4˜6– 4a – 2b – 2 ˜ 10 20 – 2 ˜ 5 14 а b 7 2 2˜7+ + 3 ˜ 2 20 4˜7– – 2 ˜ 2 24 8 1 2˜8+ + 3 ˜ 1 19 4˜8– – 2 ˜ 1 30 9 0 2˜9+ + 3 ˜ 0 18 4˜9– – 2 ˜ 0 36
  • 9. 344 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 79. а) б) 80. а) б) 81. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 82. 2) 100 – 28 72; в) 100 – 63 37; д) 25 – 15 10; 100 – 31 69; г) 100 – 79  21; е) 75 – 45 30. 50 – 25 25; в) 50 – 18 32; д) 25 – 8 17; 50 – 32 18; г) 50 – 29 21; е) 75 – 34 41. 15 + 2 17 (км/ч); 15 – 2 13 (км/ч); 3 ˜ (15 + 2) 51 (км); 3 ˜ (15 – 2) 3 ˜ 13 39 (км); 68 : (15 + 2) 68 : 17 4 (ч); 78 : (15 – 2) 78 : 13 6 (ч); (15 + 2) – (15 – 2) 17 – 13 4 (ч). (х + 2) км/ч; (х – 2) км/ч; (х + 2) – (х – 2) км/ч; t — определенное время, тогда: t ˜ (x + 2) км; t ˜ (x – 2) км; А — путь при движении по течению реки, тогда: А : (х + 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути; В — путь при движении против течения реки, тогда В : (х – 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути. 3) 8 ˜ (х + 2) — расстояние, которое пройдет катер за 8 ч по течению реки; 10 ˜ (х – 2) — расстояние, которое пройдет катер за 10 ч против течения реки. 83. Задача. Лера нашла 49 грибов; Юля — ? в 2 раза меньше, чем Саша — ? на 20 грибов меньше, чем Решение. 1) 48 : 2 24 (гриба); 2) 48 + 24 72 (гриба); 3) 72 – 20 52 (гриба); 4) 52 – 48 4 (гриба); 5) 52 – 24 28 (грибов). Ответ: больше всех грибов набрал Саша, что на 4 гриба больше, чем Лера и на 28 грибов больше, чем Юля. Саша набрал 52 гриба. +19 +17 :5 :3 85. а) 100 ⎯⎯⎯ 20 ⎯⎯⎯ 39 ⎯⎯⎯ 13 ⎯⎯⎯ 30; → → → → ⋅7 −26 ⋅3 −45 б) 8 ⎯⎯⎯ 56 ⎯⎯⎯ 30 ⎯⎯⎯ 90 ⎯⎯⎯ 45; → → → → ⋅3 +10 +29 :5 → в) 15 ⎯⎯⎯ 45 ⎯⎯⎯ 55 ⎯⎯⎯ 11 ⎯⎯⎯ 40; → → → :6 :2 +42 −13 → г) 48 ⎯⎯⎯ 8 ⎯⎯⎯ 50 ⎯⎯⎯ 25 ⎯⎯⎯ 12. → → → } Контрольные вопросы 1. Один. 2. Только одну. 3. Изображение отрезка ограничено 2 точками: началом и концом отрезка.
  • 10. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ § 5. Сравнение отрезков. Длина отрезка 88. AB AD; BC DC. 89. CM AM; BM DM; BC С В CD AD AB. NK; MN LK. D M А 90. MO OK LO ON; ML 91. а) 1) 15 + 19 34 (см); 2) 50 – 34 16 (см). Ответ: 16 см. б) 1) 38 + 26 64 (см); 2) 64 – 50 14 (см). Ответ: 14 см. в) Рисунок аналогичный рисунку в задании а). 1) 23 + 21 44 (см); 2) 50 – 44 6 (см). Ответ: MN 6 см. г) Рисунок аналогичный рисунку в задании б). 1) 42 + 34 76 (см); 2) 76 – 50 26 (см). Ответ: MN 26 см. 92. а) MN 3 ˜ AB 3 ˜ a (см); б) KL AB + 25 a + 25 (см); в) CD AB : 4 a : 4 (см); г) EF AB – 8 a – 8 (см). 93. а) BC AC – AB 10 – 7; б) BC AC – AB 10 – x; в) BC AB + AC x + 2; г) BC AD – (AB + CD) a – (x + c). 94. а) AB 2x 2 ˜ 5 10 (см); б) ED 3x 3˜5 15 (см); в) FK x:2 5 см : 2 2 см 5 мм; г) РО х:4 5 см : 4 1 см 15 мм. 345
  • 11. 2002–2011 гг. 346 95. Уменьшаемое +6 +2 +18 +45 –17 –9 Вычитаемое +4 –5 –6 –10 +7 +5 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Разность 6 – 4 2, т.е. +2 +7 +24 +55 –24 –14 96. а) m 4n; n m : 4; m : n 4; б) a b : 4; b a – 4; a – b 4; в) c d : 4; d 4c; d : c 4; г) e g – 4; g e + 4; g – e 4. 101. 1 способ 1) 115 – 90 25 (км/ч); 2) 3 ˜ 25 75 (км). 2 способ 1) 3 ˜ 115 345 (км) — путь легкового автомобиля; 2) 3 ˜ 90 270 (км) — путь грузовика; 3) 345 – 270 75 (км). Ответ: грузовик отстанет от легкового автомобиля на 75 км. Для того, чтобы эта задача решалась в одно действие, можно изменить вопрос задачи. Например, какое расстояние будет между грузовиком и легковым автомобилем через 1 час после начала движения? Тогда решение имеет вид: 115 – 90 25 (км). Контрольные задания 1. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину. 2. AB CD; BC AD; AO OC; BO OD. 3. MN NK LK ML; KO ON MO OK. § 6. Ломаная 102. 1) Замкнутые ломаные: CDEFGHIJAB, MNKLP; незамкнутые ломаные: ABCDE; MNKL. 2) MNKLP; NKLPM; KLPMN; LPMNK; PMNKL; MPLKN; NMPLK; KNMPL; LKNMP; PLKNM. Таким образом, замкнутую ломаную MNKLP можно назвать 10 способами. 103. ABCD.
  • 12. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 347 104. 12 незамкнутых ломаных: 105. 3 замкнутые ломаные: 106. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, из которых она состоит. 1) MNKEP — незамкнутая ломаная. Ее длина: MN + NK + KE + EP 2 см + + 3 см + 1 см + 4 см 10 см. 2) AB + BC + CD 1 см 8 мм + 2 см 5 мм + + 1 см 9 мм 6 см 2 мм. 107. a + b + c.
  • 13. 2002–2011 гг. 348 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 108. а) AB x см ⎫ ВС — в 2 раза >, чем ⎬? ⎭ CD — на 6 см <, чем Решение. (x + 2x + (x – 6)) см. б) AB y см; ⎫ ВС — в 3 раза <, чем ⎬? ⎭ CD — на 8 см >, чем Решение. (y + y : 3 + (y : 3 + 8)) см. 109. Длина ломаной MNKL (незамкнутой): MN + NK + KL. а) MN a ⎫ NK — в 3 раза >, чем ⎬? ⎭ KL — на 12 см >, чем Решение. (a + 3a + (a + 12)) см. б) MN b ⎫ NK — на 7 см >, чем ⎬? ⎭ KL — в 4 раза >, чем Решение. (b + (b + 7) + 4(b + 7)) см. Результат 110. Множитель Множитель ˜2 ˜2 :2 : 10 : 10 : 100 111. а) б) 112. а) б) 113. а) б) в) г) 114. а) ˜2 ˜ 10 : 10 ˜ 10 : 10 : 10 ˜4 ˜ 20 : 20 не изменится : 100 : 100 100 – 17 83; в) 50 – 24 26; д) 100 – 6 94; 100 – 64 36; г) 50 – 36 14; е) 100 – 73 27. 100 – 82 18; в) 50 – 39 11; д) 75 – 50 25; 100 – 8 92; г) 50 – 14 36; е) 50 – 22 28. Стоимость трех книг — 3х; 2у — стоимость двух альбомов; (у – х) — на сколько альбом дороже книги; (5х + 4у) — стоимость 5 книг и 4 альбомов. (a + b) км/ч — скорость, с которой пассажирский и товарный поезда удаляются друг от друга; б) (1750 : а) ч — время, необходимое пассажирскому поезду для преодоления 1750 км; в) (1750 : b) ч — время, необходимое товарному поезду для преодоления 1750 км; г) 1750 : (a + b) ч — время сближения поездов, если они выйдут одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1750 км.
  • 14. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 349 115. Задача. I окунь — 400 г ⎫ II окунь — ? на 60 г >, чем ⎬? ⎭ III окунь — ? в 2 раза <, чем Решение. 1) 400 + 60 460 (г); 2) 400 + 460 860 (г); 3) 860 : 2 430 (г); 4) 860 + 430 1290 (г). Ответ: масса всех трех окуней равна 1290 г или 1 кг 290 г. 116. Возможные варианты кодового номера магнитной карты Антона: 9697; 9688; 9679; 6997; 6988; 6979; 7897; 7888; 7879; 8788; 8779. Нельзя утверждать, что Антон сможет воспользоваться картой, если ошибется 4 раза, так как всего 12 вариантов кодового номера его карты. } Контрольные задания 1. Ломаная ABCDE — незамкнутая, состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE. 2. Ломаная MNKLT — замкнутая, состоит из 5 звеньев: MN, NK, KL, LT, ТM. § 7. Координатный луч 118. 7; 9; 13; 17; 20; 21. 119. C, F, I, N, U. 120. а) б) 121. 122. а) A(6); B(12); C(15); D(21); F(30); G(42); H(63); б) A(10); B(20); C(25); K(30); D(35); F(50); G(70); H(105);
  • 15. 2002–2011 гг. 350 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ в) A(15); B(45); C(60); D(90); F(135); G(195); H(300); г) A(4); B(20); C(24); D(44); F(52); G(64); H(80). 123. а) 4; б) 10; в) 30; г) 25; 124. 31 + 7 38; 48 – 25 23. 125. 1) а) 40 + 8 + 15 63; б) 32 – 16 – 14 2; 2) а) 40 + 23 63; б) 32 – 30 2. 126. 1) 6 ˜ (4 + 3) 6 ˜ 7 42 (м2); 2) 28 : (4 + 3) 28 : 7 4 (ч). 127. 1) 360 : 6 60 (деталей) — изготавливает мастер за 1 день; 2) 360 : 12 30 (деталей) — изготавливает ученик за 1 день; 3) 60 + 30 90 (деталей) — изготавливают ученик и мастер за 1 день, работая одновременно; 4) 360 : 90 4 (дня). Ответ: за 4 дня, работая одновременно, мастер и ученик изготовят 360 деталей. 128. 1) 1800 : 90 20 (м) — за 1 день ремонтирует I бригада; 2) 1800 : 45 40 (м) — за 1 день ремонтирует II бригада; 3) 20 + 40 60 (м) — за 1 день ремонтируют I и II бригады вместе; 4) 1800 : 60 30 (дней). Ответ: за 30 дней будет закончен ремонт дороги, если обе бригады будут работать совместно. Контрольные вопросы 2. 3. M(3); N(9); K(17). § 8. Округление натуральных чисел 132. а) б) в) г) 133. а) в) 2578 | 2600; 86 039 | 86 000; 448 731 | 449 000; 2 180 960 | 2 181 000; 7 734 106 | 8 000 000; 6 381 710 | 6 000 000; 12 803 326 | 12 800 000; 257 902 581 | 257 900 000. 8 999 996 | 9 000 000; б) 8 999 996 | 9 000 000; 8 999 996 | 9 000 000; г) 8 999 996 | 9 000 000.
  • 16. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 351 134. а) до тысяч; б) до десятков тысяч; в) до сотен; г) до сотен тысяч. 135. 99 999 995. 136. 15 : 5 3 (ч). Ответ: Аладдин потратит на возвращение примерно 3 часа. 137. 1) 17 ˜ 6 102 (км), 102 | 100; 2) 16 – 6 10 (ч). Ответ: машине понадобится примерно 6 ч для очистки пути; начать работу ей нужно примерно в 10 ч, чтобы закончить очистку в 16 ч. 139. 1) 24 : 4 6 (га) — орошает I машина за 1 час; 2) 24 : 3 8 (га) — орошает II машина за 1 час; 3) 6 + 8 14 (га) — поливают обе машины за 1 день, работая одновременно; 4) 14 ˜ 8 112 (га). Ответ: машины за 8 ч совместной работы оросят 112 га. 140. а) 100 – 15 85; б) 80 + 15 95; в) 50 + 13 63; г) 70 – 10 60. 141. а) +61; б) –20; в) +20; г) –8; д) –20; е) +6. 142. 40 рублей. 143. Иа-Иа записал число 181 (1 + 8 + 1 10; 1 + 0 1). Пятачок записал число 929 (9 + 2 + 9 20; 2 + 0 2). 144. 1) 48 : 3 16 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 16 – 2 14 (км/ч). Ответ: собственная скорость катера равна 14 км/ч. 145. 1) 60 : 4 15 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 16 – 15 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. 146. 1) 88 : 8 11 (км/ч) — скорость лодки против речения реки; 2) 88 : 22 4 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 11 + 4 15 (км/ч). Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч. 147. 1) 48 : 3 16 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 48 : 24 2 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 16 – 2 14 (км/ч). Ответ: при движении по озеру скорость теплохода равна 14 км/ч. 148. 1) 12 ˜ 19 228 (м) — преодолел автобус за 12 с; 2) 228 – 180 48 (м) — преодолел прохожий за 12 с; 3) 48 : 12 4 (м/с). Ответ: прохожему пришлось бежать со скоростью 4 м/с. 149. а) ˜ 6; б) : 5; в) : 5; г) : 6; д) ˜ 3; е) ˜ 3. Контрольные задания 1. 68 823 | 69 000; 238 480 | 238 000; 2 560 511 | 2 561 000. 2. а) До десятков тысяч; б) до сотен.
  • 17. 352 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ § 9. Прикидка результата действия 152. а) Десятки тысяч; цифра 1; б) если второе число уменьшить в два раза, то старший разряд суммы не изменится; если второе число увеличить в 2 раза, то не изменится; если увеличить в 10 раз, то не изменится; если увеличить в 100 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд суммы изменится, а если его увеличить в 2 раза, то тоже изменится; в) десятки тысяч; цифра 1; г) если второе число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности не изменится; а если увеличить в 2 раза, то не изменится, но если увеличить в 10 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности изменится, а если увеличить в 2 раза, то изменится цифра старшего разряда разности. 153. Пусть х г — масса одного огурца. На рисунке видно 10 огурцов. Составим уравнение, учитывая, что 1 кг 1000 г: 10x + 500 + 100 1000 + 1000; 10x + 600 2000; 10x 2000 – 600; 10x 1400; x 1400 : 10; x 140. Значит, 140 г весит один огурец. Ответ: масса одного огурца равна 140 г. 154. 1) 31 691 | 30 000; 490 | 500; 31 691 490 | 30 000 ˜ 500 15 000 000. Поэтому, Пончик стал миллионером. б) 30 000 ˜ 250 7 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 2 раза ниже. 3000 ˜ 50 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 10 раз ниже. в) 30 000 : 2 15 000; 15 000 ˜ 500 7 5000 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 2 раза меньше. 30 000 : 10 3000; 3000 ˜ 500 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 10 раз меньше. г) 150 000 000 : 500 300 000 (г). Пончику нужно продать больше 300 000 г соли, чтобы купить виллу. 155. а) 20 км 2 000 000 см; 24 см | 20 см; 2 000 000 : 20 100 000. 165. а) (24 + 12) ˜ 2 72; б) (150 – 60) : 3 30; в) 72 : (36 – 24) ˜ 10 60; г) 150 – (2 ˜ 24 + 12) : 6 140.
  • 18. 353 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 166. а) б) в) г) Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. Десятки тысяч. Сотни. Тысячи. Сотни. § 10. Вычисления с многозначными числами 167. 1) + 2) 2 741 439 45 361 + 6 478 497 5 954 502 3) − 922 564 723 154 4) − 564 589 57 175 168. а) 2 786 800 48 489 + 72 655 б) 12 432 999 4 728 088 + 252 245 в) 199 410 5 388 226 − 2 881 622 г) 507 414 1 925 908 − 71 414 169. а) 121 144 485 992 + 68 622 б) 4 980 333 329 527 − 177 028 в) 2 506 604 442 774 + 652 887 г) 1 854 494 131 357 − 81 592 170. а) Река Длина, км 1) 5) + 2850 3821 6671 2700 − 130 1 094 887 152 499 554 614 49 765 Амазонка Висла Ганг Дунай Муррей Нил Ориноко Сена 6400 2) 6) − 1047 6671 271 6400 2570 + 160 2700 3) 7) − 2850 6400 5353 1047 2730 − 1954 2570 4) + 6671 2730 776 1047 1653 2700 776 2730 2570 б) Из перечисленных рек самая длинная — Нил (6671 км), а сама короткая — Сена (776 км). ⎛ 6400⎞ − Ориноко короче Амазонки на 3670 км ⎜ 2730⎟ ; ⎟ ⎜ ⎜ 3670 ⎟ ⎠ ⎝
  • 19. 2002–2011 гг. 354 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ ⎛ 6671⎞ − Нил длиннее Ганга на 3971 км ⎜ 2700⎟ . ⎟ ⎜ ⎜ 3971 ⎟ ⎠ ⎝ 171. Пельсианы — ? Рангаты — ? Кабриосы — ? } 1250 юке Решение. 1) 1780 − 1084 2) 696 (юке) — рангаты; 3) − ⎫ ⎪ ⎬ 1780 юке. ⎪ ⎭ 1084 юке − 1250 696 554 (юке) — пельсианы; 1084 554 530 (юке) — кабриосы. Ответ: рангаты стоят 696 юке, пельсианы — 554 юке, кабриосы — 530 юке. 172 Первый и третий примеры вычислены неправильно. 173. а) 5000 ˜ 100 500 000; б) 4000 ˜ 700 2 800 000; 5243 4359 × × 128 700 41944 10486 5243 3051300 671104 в) 7000 ˜ 500 × 3 500 000; 7051 503 г) 5000 ˜ 4000 × 21153 35255 20 000 000; 4506 4110 4506 4506 18024 3546653 18519660 д) 5000 ˜ 400 4503 × 356 20 000 000; е) 500 ˜ 500 5006 × 474 27018 22515 13509 20024 35042 20024 1603068 2372844 2 500 000;
  • 20. 355 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 174. а) 20 000 ˜ 3000 20134 × 3005 60 000 000; б) 70 000 ˜ 200 70342 × 201 100670 70342 60402 140684 60502670 в) 13 000 ˜ 800 13150 × 752 10 400 000; 2630 6575 9205 41045472 56 000 000; е) 6000 ˜ 700 5604 × 705 д) 7000 ˜ 8000 6520 × 8000 4 200 000; 28020 39228 52160000 175. а) 50 000 ˜ 2000 2307 × 46200 3950820 100 000 000; б) 3000 ˜ 8000 3465 × 8012 4614 13842 9228 24 000 000; 6930 3465 27720 106593400 27761580 3 200 000; г) 7000 ˜ 3000 3249 × 7006 21 000 000; 19494 22743 3292000 д) 1000 ˜ 100 1035 × 96 14138742 г) 400 ˜ 90 000 36 000 000; 90012 × 456 540072 450060 360048 9888800 в) 8000 ˜ 400 8230 × 400 14 000 000; 100 000; 22762494 е) 50 ˜ 9000 450 000; 9008 × 54 6210 9315 36032 45040 99360 486432
  • 21. 2002–2011 гг. 356 176. 1) × 2105 125 2) × ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3) 4731 50 + 2105 4731 6836 (чел.) 236550 (p.) 10525 4210 2105 263125 (p.) 4) − 15936 6836 9100 5) × 6) 9100 35 455 273 236550 + 263125 318500 818175 (p.) 318500 (p.) Ответ: выручка от продажи билетов на футбольный матч составила 818 175 р. 177. 1) × 35 12 2) × 420 46000 70 35 252 168 420 (вагонов); 19320000 (кг); 19 320 000 кг 19 320 т. Ответ: на комбинат перевезут 19 320 т зерна. 178. 1) × 4537 5 22685 (л) — выкачали большие насосы за 1 час; 2) × 2120 3 6360 (л) — выкачали малые насосы за 1 час; 3) + 22685 6360 29045 (л) — выкачали насосы вместе за 1 час; 4) × 29045 6 174270 (л). Ответ: в подвале скопилось во время наводнения 174 270 л воды.
  • 22. 357 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 179. 1 способ 1) × 2) 257 17 + 3) 257 17 − 4095 274 1799 257 4369 274 4369 2 способ 1) 17 – 1 16; 2) × 3) 257 16 − 1542 257 4112 17 4095 4112 Ответ: разница между требуемым и полученным числом составляет 4095. 180. Правильно выполнены вычисления 1) и 3). В вычислении 2) правильный ответ 501. 181. а) 3000 : 20 − 150; 2898 23 23 126 − − 59 46 − б) 12 000 : 300 40; 11040 345 1035 32 138 138 − 690 690 0 0 в) 70 000: 100 − 69000 138 690 500 0 700; г) 40 000 : 70 | 600; − 37872 72 360 526 − 187 144 − 432 432 0
  • 23. 2002–2011 гг. 358 д) 550 000: 90 | 6000; − 546455 91 546 6005 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ е) 12 000 : 60 − 200; 11774 58 116 203 17 − 174 174 4 45 − 455 455 0 0 182. а) 200 000 : 50 − 4000; 162648 54 162 3012 б) 60 000 : 100 600; 60625 125 500 485 − 6 − 64 54 − 1062 1000 − 108 − 108 625 625 0 0 в) 170 000 : 30 | 6000; 166496 32 − 160 5203 − 64 64 г) 20 000 : 500 40; 17898 471 − 1413 38 − 9 − 96 96 3768 3768 0 0 д) 400 000 : 100 − 4000; 380665 95 380 4007 6 66 665 − 665 0 е) 30 000 : 50 − 600; 34349 49 343 701 4 49 − 49 0
  • 24. 359 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 1 4 2 5 3 183. а) 308 ˜ 37 – 29 ˜ 101 + 253 ˜ 9 1) × + 308 2) 37 2156 924 × + 5) 8467 2277 10744 8467 2277 + 2929 1 2 б) (3107 + 287) ˜ 43 + 4) − 11396 2929 3) × 253 9 909 202 11396 1) 101 29 10 744; 145 942; 2) 3107 287 × 3394 43 10182 13576 3394 145942 1 4 3 2 в) 38 027 ˜ 24 + 24 508 – 2408 ˜ 356 1) × 38027 24 2) × 2408 356 79 908; 3) + 912648 24508 912648 − 937156 14448 12040 7224 152108 76054 4) 937156 857248 79908 857248 1 4 2 3 г) (10 000 – 7875) ˜ (10 ˜ 201 – 1785) 1) − 10000 7875 2) 201 ˜ 10 2010; 2125 478 125; 3) − 2010 1785 225 4) × 2125 225 10625 4250 4250 478125 184. 1) 78 т 625 кг 78 625 000 г; 2) 18 кг 500 г 18 500 г; 3) 78 625 000 : 18 500 4250 (мон.);
  • 25. 2002–2011 гг. 360 − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 786250 185 740 4150 − 462 370 − 925 925 0 185. Ответ: в трейлер погрузили 4250 мониторов. 1025550 11925 − 95400 86 − 71550 71550 0 Ответ: на одного человека приходится в среднем 86 л воды в день. 2) 21600 30 186. 1) 93600 − − 21 72000 720 (ð.) 21600 (ð.) − 6 6 0 Ответ: оптовая цена куртки меньше розничной на 720 р. 187. 78 + 43 35 156 (ð.) Ответ: цена 1 кг получившейся смеси — 156 р. 1) Если взятьпо 2 кг печенья каждого сорта, то стоимость смеси увеличится в 2 раза. Но цена смеси не изменится. А если взять по пол килограмма, то стоимость смеси уменьшится в 2 раза, но цена смеси при этом не изменится. 2) Если к смеси добавить 1 кг печенья третьего сорта, то ее цена увеличится на 35 р., а если первого сорта, то увеличится на 78 р. 188. 1) 2 р. 20 к. 220 к.; 2) 20 ˜ 220 4400 (к.) 44 (р.) — стоимость 20 л воды; 3) 44 + 88 132 (р.) — стоимость напитка; 4) 20 + 2 22 (р.) — количество напитка; 5) 132 : 22 6 (р.) — цена напитка. Ответ: стоимость напитка — 132 р., а его цена — 6 р. 1 2 3 7 4 5 6 а) (320 : 8 – 30) : 2 + (578 : 17 + 87) : 11 1) 320 : 8 40; 2) 40 – 30 10; 16; 3) 10 : 2 5;
  • 26. 361 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 4) − 578 17 51 34 − 5) + 6) 34 87 121 68 68 121 11 11 11 − − 0 1 × 2 3 5 4 2) 395 52 − 11 11 498 385; 20540 603 3) 19937 790 1975 − 5) − 498425 40 498385 0 4 2 5 3 в) 395 ˜ 52 – 603 ˜ 25 – 960 : 24 5425; 2) 3) 960 24 1) 603 395 × × − 25 52 96 40 3015 790 0 1206 1975 3 104192 − 20540 15075 5465 5) − 5465 40 5425 2 г) 256 ˜ 407 – 33 078 : 298 104 081; 2) 33078 298 1) 256 − × 298 111 407 1792 1024 4) 15075 20540 1 19937 25 498425 960 24 96 40 1 × 99685 39874 20540 4) 16; 0 б) (395 ˜ 52 – 603) ˜ 25 – 960 : 24 1) 7) 5 + 11 − − 104192 111 104081 327 298 − 3) 298 298 0 190. Между 30 липами, по условию, есть 29 мест для высадки камелий. 1) 29 ˜ 2 58 (к.) — камелий по одну сторону аллеи; 2) 58 ˜ 2 116 (к.). Ответ: посадили 116 кустов камелий. 191. а) (s – 4) — длина грунтовой дороги; 3v — скорость автомобиля по шоссе;
  • 27. 2002–2011 гг. 362 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ (s : 3v) — время, за которое автомобиль по шоссе доедет из поселка Левино до поселка Новопокровское; (s – 4) : v — время, за которое автомобиль по грунтовой дороге преодолеет пусть от поселка Левино до поселка Новопокровское. б) Равенство s : 3v (s – 4) : v означает, что автомобиль преодолевает путь по грунтовой дороге и по шоссе за одинаковое время. 192. а) б) 193. а) б) Контрольные задания а) + 4 570 852 64 208 б) − 4 635 060 в) × 24042 307 168294 72126 7380894 г) − 6 353 054 738 536 5 614 518 2835 27 27 105 13 135 − 135 0 § 11. Прямоугольник 194. а) Р 10 + 6 + 5 + 3 + 5 + 3 20 + 12 32; S S1 + S2 3 ˜ 5 + 3 ˜ 10 15 + 30 45;
  • 28. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 363 P 6 + 10 + 2 ˜ 5 + 2 ˜ 3 16 + 16 32; S S1 + S2 6 ˜ 5 + 3 ˜ 5 30 + 15 45; P 2 ˜ (6 + 10) 2 ˜ 16 32; S S2 – S1 6 ˜ 10 – 3 ˜ 5 60 – 15 45. Далее будем рассматривать один из указанных способов решения: б) в) г) Р 2(a + b); S P 2 ˜ (a + b); S ab – (a – d) ˜ (b – c); ab – cd; P 2 ˜ (a + b); S ab – d ˜ (a – c). 195. Площадь каждой из закрашенных фигур равна 1 см2, так как составляет 4 полных клетки. 196. 1) — равные прямоугольники: 1) и 7); 2) и 6); 4) и 5); — прямоугольники, имеющие одинаковую площадь: 2), 4), 5), 6); 3), 1) и 7); — прямоугольники, имеющие одинаковый периметр: 1), 4), 7), 5); 2) и 6); 2) — нет; — нет; — нет; — нет; — нет. 197. 1) Площади всех фигур, изображенных на рисунке 27 равны. Равных фигур среди изображений нет.
  • 29. 2002–2011 гг. 364 198. 199. 200. 201. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 2) — истинно; — ложно; — ложно; — истинно. а) 5 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 12 см (так как S 12 ˜ 12 144 (см2)). 100 10 ˜ 10 2 ˜ 50 5 ˜ 20 4 ˜ 25 Поэтому периметр прямоугольника может быть равным: 2 ˜ (10 + 10) 40 (см); 2 ˜ (2 + 50) 104 (см); 2 ˜ (5 + 20) 50 (см); 2 ˜ (4 ˜ 25) 58 (см). Наименьший периметр у прямоугольника со сторонами 10 см и 10 см, т.е. у квадрата со стороной 10 см. а) 24 + 15 39; 24 – 15 9. Значит, от числа 24 на 15 единичных отрезков удалены точки с координатами 9 и 39; б) 78 + 159 237. От числа 78 на 159 единичных отрезков удалена точка 237. а) б) в) г) 202. а) б) в) 2 1 3 203. а) (6568 – (8007 – 6999)) ˜ 1001 5 565 560; 3) 2) 6568 1) 8007 5560 × − − 1001 6999 1008 1008 556 5560 556 5565560
  • 30. 365 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 3 4 1 2 5 б) (801 ˜ 601 + (10 000 – 9876) ˜ 99) ˜ 40 19 747 080; 124 4) 481401 3) 1) 10000 2) 801 × − + × 99 9876 12276 601 5) 1116 1116 801 4806 12276 124 481401 493677 × 40 493677 19747080 2 1 в) 157 464 : (14 904 : 23) 243; 2) 157464 648 1) 14904 23 − − 138 1296 648 243 − 110 92 − − 184 184 2786 2592 − 1944 1944 0 1 0 3 2 г) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388) 1) 97548 + 69432 166980 2) 16400 − 15388 165; 3) 1012 − 166980 1012 1012 165 − 6578 6072 − 204. а) 1) 1000 : 10 100 (л); 2) 8500 : 100 85 (р.) — стоит 10 л бензина; 3) 210 : 10 21 (л); 85 × 21 5060 5060 0 85 170 1785 (р.). Ответ: 210 л бензина стоят 1785 р. б) 1) 52 ч 30 мин 52 ˜ 60 мин + 30 мин 3150 мин; 3120 мин + 30 мин
  • 31. 2002–2011 гг. 366 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 2) 3150 : 10 315 (мин) — затрачивает рабочий на изготовление 1 детали; 3) 43 ч 45 мин 43 ˜ 60 мин + 45 мин 2580 мин + 45 мин 2625 мин; 4) 2625 25 − 25 105 (мин) — затрачивает станок-автомат на изготовление 1 детали; 12 − 125 125 0 5) 315 : 105 3 (раза). Ответ: автомат работал быстрее рабочего в 3 раза. Контрольные задания 1. АВ 18 мм; ВС 44 мм. Р 2 ˜ (АВ + ВС) 2 ˜ (18 + 44) 2 ˜ 62 124 (мм); SABCD AB ˜ BC 18 ˜ 44 792 (мм2). 18 × 44 72 72 792 2. Фигуры являются равными, если при наложении их друга на друга они совпадают. § 12. Формулы 206. а) S a˜b 25 × 24 25 ˜ 24 600 (см2); б) S + 57 342 3477 48 ˜ 125 6000 (см2); 1000 500 100 50 + + 600 в) S a ˜ b 57 × 61 a˜b 125 × 48 61 ˜ 57 3477 (м ); 2 г) S + 6000 a ˜ b 218 ˜ 105 218 × 105 1090 218 22890 22 890 (м2);
  • 32. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 207. а) б) в) г) 208. s а) в) 209. а) Р 2 ˜ (a + b) 2 ˜ (12 + 15) 2 ˜ 27 54 (м); P 2 ˜ (a + b) 2 ˜ (34 + 25) 2 ˜ 59 118 (м); P 2 ˜ (a + b) 2 ˜ (78 + 22) 2 ˜ 100 200 (см); P 2 ˜ (a + b) 2 ˜ (154 + 146) 2 ˜ 300 600 (см). v˜t s 15 ˜ 4 60 (км); б) s 70 ˜ 2 140 (км); s 90 ˜ 3 270 (км); г) s 26 ˜ 7 182 (км). б) 13 ì 90 ñì 5 ìì 2 ò 540 êã + 14 ì 00 ñì 15 ìì 380 êã + 5 ì 30 ñì 00 ìì 2 ò 702 êã 33 ì 20 ñì 20 ìì 5 ò 622 êã в) 7 ãà 17 à 65 à + 12 ãà 53 à 12 ãà 35 à 210. 1) 367 + г) 94 à 25 ì2 + 75 à 47 ì2 60 ì2 170 à 32 ì2 2) 5460 5450 10910 — второе слагаемое; 3) 15510 + 10910 5460 + 10910 4600 15510 — третье слагаемое; 4) 31880 × 2 63760 31880 — четвертое слагаемое; Ответ: сумма всех четырех слагаемых равна 63 760. 211. I — 99; II — (999 – 99); III — 100; IV — ? 1) 999 – 99 900; 2) 900 + 100 + 99 1099; 3) 2645 – 1099 1546. 2654 − 1099 1546 Ответ: четвертое слагаемое равно 1546. Контрольные задания 1. Формула — это равенство, которое представляет собой запись правила вычисления значения какой-либо величины. 2. а) S a ˜ b; P 2 ˜ (a + b); б) s v ˜ t. 3. P a + b + c, где a, b, c — длины сторон треугольника.
  • 33. 2002–2011 гг. 368 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ § 13. Законы арифметических действий 211. а) 48 + 56 + 52 48 + 52 + 56 100 + 56 156; б) 34 + 17 + 83 34 + (17 + 83) 34 + 100 134; в) 56 + 24 + 38 + 62 (56 + 24) + (38 + 62) 80 + 100 180; г) 88 + 19 + 21 + 12 (88 + 12) + (19 + 21) 100 + 40 140; д) 25 + 65 + 75 25 + 75 + 65 100 + 75 165; е) 35 + 17 + 65 + 33 (35 + 65) + (17 + 33) 100 + 50 150; ж) 27 + 123 + 16 + 234 (27 + 123) + (16 + 234) 150 + 250 400; е) 156 + 79 + 21 + 44 (156 + 44) + (79 + 21) 200 + 100 300. 215. 1) S 6 ˜ 8 + 3 ˜ 6 48 + 16 66; 2) S 6 ˜ (8 + 3) 6 ˜ 11 66. 221. S ab – ac или S a ˜ (b – c). c S—? a b 224. а) 560 ˜ 188 – 880 ˜ 56 560 ˜ 188 – 88 ˜ 560 560 ˜ (188 – 88) 560 ˜ 100 56 000; б) 84 ˜ 670 – 640 ˜ 67 84 ˜ 670 – 64 ˜ 670 670 ˜ (84 – 64) 670 ˜ 20 13 400; в) 490 ˜ 730 – 73 ˜ 900 490 ˜ 730 – 730 ˜ 90 730 ˜ (490 – 90) 730 ˜ 400 292 000; г) 36 ˜ 3400 – 360 ˜ 140 360 ˜ 340 – 360 ˜ 140 360 ˜ (340 – 149) 360 ˜ 200 72 000. 226. а) 258 ˜ (764 + 548) > 258 ˜ (764 + 545); б) 751 ˜ (339 + 564) < 751 ˜ (340 + 564); в) 532 ˜ (618 – 436) 532 ˜ (618 – 436); г) 496 ˜ (862 – 715) > 496 ˜ (860 – 715). 30 38 43 59 72 227. c d 3(c – d) 3c – 3d 15 45 45 22 48 48 26 51 51 41 54 54 53 57 57 3 ˜ (30 – 15) 3 ˜ 15 45; 3 ˜ (38 – 22) 3 ˜ 16 48; 3 ˜ (43 – 26) 3 ˜ 17 51; 3 ˜ (59 – 41) 3 ˜ 18 54; 3 ˜ (72 – 53) 3 ˜ 19 57; 3(c – d) 3c – 3d. 228. (16 + 2) ˜ 32 16 ˜ 32 + 2 ˜ 32 16 ˜ 32 + 64; значит, произведение 16 ˜ 32 увеличится на 64; 16 ˜ (32 – 3) 16 ˜ 32 – 16 ˜ 3 16 ˜ 32 – 48; значит, произведение 16 ˜ 32 уменьшится на 48; (81 + 2) ˜ 42 81 ˜ 42 + 2 ˜ 42 81 ˜ 42 + 84; значит, произведение 81 ˜ 42 увеличится на 84;
  • 34. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 229. 230. 231. 232. 369 81 ˜ (42 – 1) 81 ˜ 42 – 81 ˜ 1 81 ˜ 42 – 81; значит, произведение 81 ˜ 42 уменьшится на 81. а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) 2896; 2897; 2899; 2899; 2900; в) 129; 130; 131; г) 488; 489; 490; 491; 492. а) 40 + 15 + 17 72; в) 40 – 15 – 17 8; б) 40 – 15 + 17 42; г) 120 – 60 – 60 0. Белые носки — ? 84 пары Голубые носки — ? на 20 пар >, чем Решение. 1) 84 – 20 64 (пары); 2) 64 : 2 32 (пары) — белых носков; 3) 32 + 20 52 (пары) — голубых носков. Ответ: 32 пары белых носков, 52 пары голубых. 1) 44 + 18 + 29 91 (кг); 2) 580 – 91 489 (кг); 3) 489 : 3 163 (кг); 4) 163 + 44 207 (кг) — гречка; 5) 163 + 18 181 (кг) — перловка; 6) 163 + 29 192 (кг) — рис. Ответ: в магазине имеется 207 кг гречки, 181 кг перловки, 192 кг риса. } § 14. Уравнение б) у 0; в) х 4; г) а 0. 233. а) х 0; 234. а) у 1; б) п 1; в) m 43; г) х 1. 236. а) S a ˜ b 7 ˜ 12 84 (см2); б) b S : a 48 : 12 4 (см); в) a S : b 144 : 12 12 (см); г) b S : a 120 : 8 15 (см); Р 2 ˜ (a + b) 2 ˜ (8 + 15) 2 ˜ 23 46 (см). 237. а) 56 7 ˜ t; t 56 : 7; t 8; 204 12 б) 204 v ˜ 12; v 204 : 12; v 17; − 12 17 − 84 84 0 в) S : 34 306; S 306 ˜ 34; S 10 404; × + 306 34 1224 918 10404 г) 125 : t 25; t 125 : 25; t 5.
  • 35. 2002–2011 гг. 370 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 238. а) 4 ˜ 12 : 2 24; в) 60 : 5 – 4 ˜ 3 0; б) 25 ˜ 4 – 18 ˜ 2 64; г) 45 : 15 + 17 ˜ 3 54. 239. а) 60 – 675 : 45 45; в) 320 + 48 – 48 320; б) 98 – 65 – 33 0; г) 0 ˜ 97 ˜ 5 0. 240. 1) 3 ˜ 30 90 (б.); 2) 90 : 2 45 (б.) — одного сорта батоны; 3) 45 ˜ 3 135 (б.). Ответ: в булочную было завезено 135 батонов. 241. Картофель — ? в 5 раз >, чем 204 à Капуста — ? Решение. Все поле разделено на 6 равных частей, 5 из них занимает картофель, 1 — капуста. 1) 204 6 − 18 34 (а) — занято под капусту; } − 24 24 0 2) 34 ˜ 5 170 (а) — занято картофелем. Ответ: 34 а занято капустой, 170 а — картофелем. § 15. Упрощение выражений 23 ˜ 15 + 15 ˜ 77 15 ˜ (23 + 77) 15 ˜ 100 1500; 67 ˜ 58 + 33 ˜ 58 58 ˜ (67 + 33) 58 ˜ 100 5800; 340 ˜ 7 + 16 ˜ 70 34 ˜ 70 + 16 ˜ 70 70 ˜ (34 + 16) 70 ˜ 50 3500; 250 ˜ 61 – 25 ˜ 390 260 ˜ 61 – 250 ˜ 39 250 ˜ (61 – 39) 250 ˜ 22 5500; д) 79 ˜ 21 – 69 ˜ 21 21 ˜ (79 – 69) 21 ˜ 10 210; е) 55 ˜ 682 – 45 ˜ 682 682 ˜ (55 – 45) 682 ˜ 10 6820; ж) 7300 ˜ 3 + 730 ˜ 70 730 ˜ 30 + 730 ˜ 70 730 ˜ (30 + 70) 730 ˜ 100 73 000; з) 500 ˜ 38 – 50 ˜ 80 50 ˜ 380 – 50 ˜ 80 50 ˜ (380 – 80) 50 ˜ 300 15 000. 244. а) 17m + 5m m ˜ (17 + 5) 22m; б) 24b + 7a – 5a 24b – (7 – 5) ˜ a 24b – 2a; в) 6a – a 6 ˜ a – 1 ˜ a (6 – 1) ˜ a 5a; г) y – 8 невозможно упростить; д) 9с + 4с – 6с (9 + 4 – 6) ˜ с 7с; е) 5 + 12n – 2n 5 + (12 – 2) ˜ n 5 + 10n. 245. 1) Сочетательный закон умножения; 2) переместительный и сочетательный законы умножения. 246. а) 15a ˜ 4 15 ˜ 4 ˜ a 60a; б) 3b ˜ 12 3 ˜ 12 ˜ b 36b; в) 17a ˜ 5b 17 ˜ 5 ˜ a ˜ b 85ab; г) 11a ˜ 7b 11 ˜ 7 ˜ a ˜ b 77ab; 242. а) б) в) г)
  • 36. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ д) е) 247. а) б) в) г) 248. а) 249. 251. 252. 253. 371 c ˜ 18 ˜ d ˜ 3 18 ˜ 3 ˜ c ˜ d 54cd; x ˜ 9 ˜ 4 ˜ y 9 ˜ 4 ˜ c ˜ y 36xy. 5x + 8x (5 + 8) ˜ x 13x; при x 13 13x 13 ˜ 13 169; 12y – 6y (12 – 6) ˜ y 6y; при y 6 6y 6 ˜ 6 36; 9a + 7a (9 + 7) ˜ a 16a; при a 16 16a 16 ˜ 16 256; 18b – 7b (18 – 7) ˜ b 11b; при b 11 11b 11 ˜ 11 121. 39x – 5x – 4x + 28 (39 – 5 – 4) ˜ x + 28 30x + 28; при x 3 30x + 28 30 ˜ 3 + 28 90 + 28 118; при x 5 30x + 28 30 ˜ 5 + 28 150 + 28 178; б) 28y – 18y + 6y (28 – 18 + 6) ˜ y 16y; при y 1 16y 16 ˜ 1 16; при y 2 16y 16 ˜ 2 32; в) 12 + 15a + 24a + 5a 12 + (15 + 24 + 5) ˜ a 12 + 44a; при a 0 12 + 44a 12 + 44 ˜ 0 12 + 0 12; при a 3 12 + 44a 12 + 44 ˜ 3 12 + 132 144; г) 26 + 14b – 4b 26 + (14 – 4) ˜ b 26 + 10b; при b 4 26 + 10b 26 + 10 ˜ 4 26 + 40 66; при b 10 26 + 10b 26 + 10 ˜ 10 26 + 100 126. а) 15x – 8x 21; б) 2x + 4x 30; (15 – 8)x 21; (2 + 4)x 30; 7x 21; 6x 30; x 21 : 7; x 30 : 6; x 3; x 5; в) 4y + 2y – y 20; г) 7y + y – 2y 24; (4 + 2 – 1)y 20; (7 + 1 – 2)y 24; 5y 20; 6y 24; y 20 : 5; y 24 : 6; y 4; y 4; д) 3x – x 12; е) x + 8x 72; (3 – 1)x 12; (1 + 8)x 72; 2x 12; 9x 72; x 12 : 2; x 72 : 9; x 6; x 8. ж) 9x + x – 9x 5; з) 4x + 3x – 7x 6; (9 + 1 – 9)x 5; (4 + 3 – 7)x 6; x 5; 0 ˜ 6 6 — ложное; х 5; не имеет решения. а) 5a + 10b 5 ˜ a + 5 ˜ 2 ˜ b 5 ˜ (a + 2b); б) 8x – 16y 8 ˜ x + 8 ˜ 2 ˜ y 8 ˜ (x + 2y); в) 27p + 9q 9 ˜ 3 ˜ p + 9 ˜ q 9 ˜ (3p + q); г) 26m – 15n; здесь нельзя вынести общий множитель за скобки. а) 22l – 33f + 44 11 ˜ 2 ˜ l – 11 ˜ 3 ˜ f 11 ˜ 4 11 ˜ (2l – 3f + 4); б) 7c + 21d + 7 7 ˜ c + 7 ˜ 3 ˜ d + 7 ˜ 1 7 ˜ (c + 3d + 1); в) 12m + 24n + 18 6 ˜ 2 ˜ m + 6 ˜ 4 ˜ n + 6 ˜ 3 6 ˜ (2m + 4n + 3); г) 45m + 15n – 30 15 ˜ 3 ˜ m + 15 ˜ n – 15 ˜ 2 15 ˜ (3m + n – 2). 1) 24 : 2 12 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 24 : 3 8 (км/ч) — скорость катера; 3) 12 – 8 4 (км/ч) — скорость течения реки. Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.
  • 37. 2002–2011 гг. 372 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 254. vпо течению vтеплохода + vреки; vпротив течения vтеплохода – vреки; тогда vтеплохода vпротив течения + vреки; vпо течению vпротив течения + vреки + vреки vпротив течения + 2 ˜ vреки. 1) 119 : 7 17 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 17 + 2 ˜ 1 19 (км/ч) — скорость теплохода по течению реки; 3) 19 ˜ 7 133 (км) — путь по течению реки. Ответ: по течению реки теплоход пройдет 133 км. 255. 1) 5 ˜ 2 10 (кг); 2) 1 + 1 + 1 3 (кг); 3) 10 – 3 7 (кг). Ответ: масса тыквы равна 7 кг. 256. а) 1) 16 – 14 2 (км/ч); 2) 2 : 2 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. б) Скорость моторной лодки по течению реки 15 км/ч, а против течения — скорость 14 км/ч; тогда скорость течения реки будет равна 500 м/ч. 257. 1) 720 : 36 20 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 720 : 45 16 (км/ч) — скорость теплохода против течения; 3) (20 – 16) : 2 2 (км/ч) — скорость течения; 4) 16 + 2 18 (км/ч) — скорость теплохода. Ответ: собственная скорость теплохода равна 18 км/ч. 258. а) 36 + 15 ˜ 3 – 1 80; в) 10 ˜ 6 + 10 ˜ 9 150; в) 36 : 0 ˜ 20 80; г) 8 ˜ 0 ˜ 25 0. 259. а) 523 ˜ (747 + 956) 523 ˜ (762 + 958); б) 359 ˜ (764 – 547) 359 ˜ (766 – 549); в) 756 ˜ (459 – 327) 756 ˜ (449 – 317); г) 312 ˜ (245 + 768) 312 ˜ (235 + 778). Контрольные задания 1. а) 4m + 5m + 8 (4 + 5) ˜ m + 8 9m + 8; б) 3 ˜ 7x 21x. 2. 13y – 7y + 2 (13 – 7) ˜ y + 2 6y + 2; при y 4 6y + 2 6 ˜ 4 + 2 24 + 2 26. 3. 6x + 3x 27; (6 + 3) ˜ x 27; 9x 27; x 27 : 9; x 3. § 16. Математический язык б) 5а; 264. а) а + 30; 265. а) х – 7; б) 2х; 266. а) 5a + 3(a + 30) 250; б) 3(a + 30) – 5a 50; в) 7a > 300; г) 7(a + 30) > 300. в) 3 ˜ (а + 30); в) 6(х – 7); г) 5а + 3 ˜ (а + 30). г) 2х + 6(х – 7).
  • 38. 373 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 267. а) в) 268. а) б) в) г) 269. а) б) в) г) 270. а) 2x + 6(x – 7) 54; б) 6(x – 7) – 2x 6; 2x > 20; г) 6(x – 7) < 40. 3(n + 5n) 360; 3 ˜ 6n 360; 18n 360; 6 ˜ 5n – 3n 540; 30n – 3n 540; (30 – 3)n 540; 27n 540; 3 ˜ 5n < 350; 15n < 350; 3n > 50. 2v + 4(v : 3) 260; 2v 60 + 4(v : 3) или 2v – 4(v : 3) 60 или 2v – 60 4(v : 3); 2v > 120; 4(v : 3) < 150. 240 : 8 – 30 : 2 + 561 : 17 + 66 : 11 54; 1) 240 : 8 30; 2) 30 : 2 15; 4) 66 : 11 6; 3) 561 17 − 55 33 − 51 51 0 5) 30 – 15 15; 6) 15 + 33 48; 7) 48 + 6 54; б) 47 027 ˜ 24 + 31 352 – 2408 ˜ 356 47027 2) 1) 1128648 × + 24 31352 188108 + 94054 1160000 1128648 302 752; 2408 3) × 356 4) − 1160000 857248 302752 14448 + 12040 7224 857248 в) (240 : 8 – 30) : 2 + (561 : 17 + 66) : 11 9; 1) 240 : 8 30; 2) 30 – 30 0; 3) 0 : 2 0; 4) 561 : 17 33; 5) 33 + 66 99; 6) 99 : 11 9; 7) 0 + 9 9; г) 140 013 – 25 ˜ 3571 – 119 ˜ 309 13 967; 3571 2) 119 3) 140013 1) × × − 25 309 89275 17855 + 7142 89275 + 1071 357 36771 50738 4) − 50738 36771 13967
  • 39. 2002–2011 гг. 374 271. 1) 2) ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 48 êã 300 ã − 5 êã 700 ã 42 êã 600 ã — масса масла в одном бочонке; 42 êã 600 ã 4 170 êã 400 ã Ответ: в четырех бочонках содержится 170 кг 400 г масла. × 272. Наибольший общий делитель чисел 48 и 36: 48 = 6 ˜ 8 = 3 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 2, 36 = 4 ˜ 9 = 2 ˜ 2 ˜ 3 ˜ 3 НОД (48,36) = 12. 48 относится к 36 как 4 к 3. 60 : 4 = 15, 15 ˜ 3 = 45. Ответ: 45 а Контрольные задания б) х + х – 3 2х – 3; в) 2х – 3 1. а) х – 3; 2. а) Произведение числа 3 и суммы чисел х и у; б) произведение разности чисел х и у и числа 10; в) частное чисел 30 и х; г) частное чисел у и 12; д) сумма произведений чисел 2 и х и чисел 3 и у. 28. § 17. Математическая модель 275. В стаде а овец и b коров, тогда: 1) a + b 30 — всего в стаде 30 голов скота; 2) a 3b — овец в 3 раза больше, чем коров; 3) a b + 15 — овец на 15 больше, чем коров; 4) a – b 17 — овец на 17 больше, чем коров; 5) a : 5 b — коров в 5 раз меньше, чем овец. Турист а км прошел пешком и b км проплыл на плоту, тогда: 1) a + b 30 — турист всего преодолел 30 км; 2) a 3b — турист прошел пешком в 3 раза больше, чем проплыл на плоту; 3) a b + 15 — турист прошел пешком на 15 км больше, чем проплыл на плоту; 4) a – b 17 — турист прошел пешком на 17 км больше, чем проплыл на плоту; 5) a : 5 b — турист проплыл на плоту путь в 5 раз меньший, чем прошел пешком. За конфеты заплатили а рублей, а за печенье — b рублей, тогда: 1) a + b 30 — всего за покупку заплатили 30 рублей; 2) a 3b — конфеты стоят в 3 раза больше, чем печенье; 3) a b + 15 — конфеты дороже печенья на 15 рублей; 4) a – b 17 — печенье дешевле конфет на 17 рублей; 5) a : 5 b — печенье в 5 раз дешевле конфет. В классе а девочек и b мальчиков, тогда 1) a + b 30 — всего в классе 30 учеников; 2) a 3b — девочек в 3 раза больше, чем мальчиков в классе;
  • 40. 375 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 3) 4) 5) 276. а) a b + 15 — девочек в классе на 15 больше, чем мальчиков; a – b 17 — мальчиков в классе на 17 меньше, чем девочек; a : 5 b — мальчиков в классе в 5 раз меньше, чем девочек. Ручка стоит 94 рубля, а карандаш — 17 рублей. Тогда стоимость 2 ручек и 1 карандаша равна 2 ˜ 9 + 17; б) Расстояние 18 км велосипедист преодолевает за 6 часов, а пешеход за 9 часов. Через какое время они смогут встретиться, если выйдут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которым 25 км? 277. а) (42 ˜ 124 + 2430) : 38 ˜ 202 – (3008 : 94 + 527 ˜ 8) : 72 40 543; 1) 3) 7638 38 2) 5208 124 + − × 2430 76 201 42 + 7638 248 496 3 38 − 38 5208 0 4) × + 201 202 5) 3008 94 − 282 32 402 402 40602 7) 4216 + 32 − − 648 648 × 527 8 4216 188 188 0 8) 4248 72 − 360 59 4248 6) 9) − 40602 59 40543 0 б) (64 ˜ 125 + 128 ˜ 75) : 800 ˜ 5000 – (300 ˜ 400 + 5107 ˜ 800) : 70 49 920; 1) 3) 9600 2) 128 125 + × × 8000 75 64 + 500 750 + − 17600 800 16 22 − 16 16 0 17600 9600 8000 4) 640 896 5) 22 × 5000 110000 6) 300 ˜ 400 120 000;
  • 41. 2002–2011 гг. 376 7) × 5107 800 4085600 8) + 4085600 120000 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 9) 4205600 − 4205600 70 42 60080 5 56 − 56 0 10) 110000 − 60080 49920 278. а) 1) 8 ˜ 4 32 (раза) — во столько раз увеличится запас корма; 2) 32 ˜ 14 448 (дней). Ответ: на 448 дней хватит корма другому заводчику. б) 1) 22 ˜ 8 176 (лука) — на столько больше посадили бы лука; 2) 1024 – 176 848 (лука) — высажено на 8 грядках; 3) 848 : 8 106 (лук.). Ответ: на каждую грядку посадили 106 луковок. Контрольные задания 1) В столовой стульев в 4 раза больше, чем столов; 2) в столовой стульев на 30 больше, чем столов. ГЛАВА II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 18. Деление с остатком 282. 29 : 6 4 (5 ост.). Проверка: 6 ˜ 4 + 5 29. Ответ: Аня живет на 5 этаже. 283. а) a : b 5 (3 ост.); а — делимое, b — делитель; 5 — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a b ˜ 5 + 3. б) a : b n (3 ост.); а — делимое; b — делитель; п — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a b ˜ n + 3. в) a : b n (r ост.); a — делимое; b — делитель; n — неполное частное; r — остаток. Проверка: a – b ˜ n + r.
  • 42. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 284. 1) 2) − 75 9 72 8 3 48 17 − 34 2 14 3) 412 : 400 4) − 370 185 370 2 75 : 9 48 : 17 8 (3 ост.), 75 9 ˜ 8 + 3; 2 (14 ост.), 48 1 (12 ост.), 412 370 : 185 377 17 ˜ 2 + 14; 400 ˜ 1 + 12; 2 (0 ост.), 370 185 ˜ 2 + 0. 0 285. а) 9 — делитель, 4 — неполное частное; б) 3 — делитель; 7 — неполное частное; в) 8 — делитель; 5 — неполное частное; г) 9 — делитель; 3 — неполное частное. 286. а) 8 ˜ 7 + 3 59; б) 12 ˜ 7 + 2 86. 287. 1) 51 : 4 12 (3 ост.); 2) 12 : 5 2 (2 ост.). Ответ: Инна живет в 3 подъезде на 3 этаже. 288. 1) 229 : 3 76 (1 ост.); 2) 76 : 12 6 (4 ост.). Ответ: Женя живет в 7 подъезде на 5 этаже. 289. 1) 272 – 205 + 1 68 (кв.) — в этом подъезде; 2) 68 : 17 4 (кв.) — на одном этаже; 3) 219 – 205 + 1 15 (кв.) — находится между квартирами № 205 и № 219; 4) 15 : 4 3 (3 ост.). Ответ: Надя живет на 4 этаже. 290. а) 26; 16; 36; 46; 56; 66; 76; 86; 96. Всего 9 таких чисел. б) 106; 116; 126; и т.д. Всего 30 таких чисел. 291. При делении на 7 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. При делении на 9 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. При делении на 19 — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18. Не существует числа, которое при делении на 10 дает в остатке 12, так как 12 больше 10. 292. 1) 1; 2) а 2п — четные, так как при делении на 2 остаток 0; b 2n + 1 — нечетное, так как при делении на 2 остаток 1. 293. 1) (13 + 25) : 10 38 : 10 3 (8 ост.); 2) 233; 105; (33 + 105) : 10 138 : 10 13 (8 ост.); 3) 43; 21 235; (21 235 + 43) : 10 21 278 : 10 2127 (8 ост.); 4) остаток всегда равен 8 — сумме остатков от деления на 10 указанных чисел;
  • 43. 2002–2011 гг. 378 294. 195. 296. 297. 298. 299. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 5) 123; 2459; остаток от деления на 10 суммы этих чисел равен: 3 + 9 12, то есть 2, действительно: (123 + 2459) : 10 2582 : 10 258 (2 ост.); 6) а) (11 + 16) : 10 27 : 10 2 (7 ост.); б) 5 + 7 12, то есть остаток 2, действительно: (25 + 117) : 10 142 : 10 14 (2 ост.); 6 + 4 10, значит, остаток 0, действительно: (216 + 5414) : 10 5630 : 10 563 (0 ост.). 9 – 3 6 — остаток, действительно: (359 – 243) : 10 116 : 10 11 (6 ост.). 99; 111; 3п, где п — натуральное число. 73; 97; 163; 253; 3п + 1, где п — натуральное число. 1) 35 : 14 2 (7 ост.); 2) 7 — половина 14, значит 7 км велосипедист проедет за 30 мин. Ответ: велосипедист преодолеет 35 км за 2 ч 30 мин. 1) 56 : 16 3 (8 ост.); 2) 8 — половина 16, значит, за 8 р. можно купить 500 г сахара. Ответ: можно купить 3 кг 500 г. 10 10 : 3 3 (1 ост.), третья часть 60 мин — 20 мин; 20 11 : 3 3 (2 ост.), две третьи части 60 мин — 40 мин. Ответ: 10 м улитка преодолеет за 3 ч 20 мин, а 11 м — за 3 ч 40 мин. Контрольные задания 1. Делимое, делитель, неполное частное, остаток. 2. 287 24 287 : 24 11 (23 ост.); − 24 11 − 47 24 23 11 — неполное частное, 23 — остаток. 3. 29 — делимое, 8 — делитель, 3 — неполное частное, 5 — остаток. § 19. Обыкновенные дроби 303. а) 3 : 4 = 3 — числитель (три четверти); 4 — знаменатель б) 1 : 7 = 1 — числитель (одна седьмая); 7 — знаменатель в) 15 : 31 = 15 — числитель (пятнадцать тридцать первых); 31 — знаменатель
  • 44. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 379 17 — числитель (семнадцать восемьдесят третьих). 83 — знаменатель 1 85 а) = 1 : 369; = 85 : 369; 369 369 1 158 б) = 1 : 453; = 158 : 453; 453 453 1 1067 в) = 1 : 1478; = 1067 : 1478; 1478 1478 1 45 г) = 1 : 781; = 45 : 781. 781 781 3 1 1 1 7 2 5 5 а) б) г) > . > ; > ; в) < ; 14 14 5 7 10 10 8 6 8 2 10 6 2 б) а) ì; в) ÷; г) ì; êì. 14 11 5 3 1 2 1) ì; ì. 2 4 — длина отрезка АВ в 2 раза меньше длины отрезка CD; — каждый отрезок разделен на 6 равных частей; г) 17 : 83 = 305. 306. 307. 308. 309. — для отрезка АВ — — смотри пункт 4; 2 2 ì; для отрезка CD — ì; 6 6 — для отрезка АВ: длину отрезка АВ 1 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 2 из них, получили ì; 6 для отрезка CD: длину отрезка CD 2 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 1 из них, получили ì. 6 4 310. 1) кг; 4000 : 5 800 (г); 5 4 кг; 1000 : 5 200 (г); 200 ˜ 4 800 (г); 2) 5 4 4 кг кг; 800 г 800 г; в первом случае 4 кг разделили на 5 % 3) 5 5 во втором — 1 кг раздели на 5 равных частей и взяли 4 таких части; 4) 1 способ: число 5 разделить на число 6; 2 способ: единицу разделить на 6 равных частей и взять 5 таких частей. Аналогичным образом можно получить двумя способами дроби 3 17 7 , , . 14 24 6
  • 45. 2002–2011 гг. 380 1 3 часть торта; а мальчикам — торта; 6 6 2 3 б) площадь под луком равна a; под свеклой — a; 10 10 4 1 под морковью — a; под чесноком — a. 10 10 1 2 3 3 б) ; в) ; г) . а) ; 6 6 6 6 1 2 1 4 2 3 6 или ; б) или ; в) или ; г) или 1. а) 2 6 3 6 3 6 6 5 3 а) Закрашена части фигуры, не закрашена части; 8 8 4 1 2 4 2 2 в) ; ; г) ; . б) ; ; 5 5 6 6 4 4 Предложим два способа из всех возможных. а) б) 311. а) Девочке досталась 312. 313. 314. 315. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ в) г) 316. 317. Удобно выбрать единичный отрезок равный 12 клеткам. 318. 420 : 70 6 (ч). 1 Ответ: в первый день была продана часть капусты. 6
  • 46. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 381 Контрольные задания 1. 7 : 8 = 7 ; 7 — делимое, числитель; 8 — делитель, знаменатель. 8 5 = 5 : 12; 5 — делимое, числитель; 12 — делитель, знаменатель. 12 2 5 7 7 б) 4. а) < ; < . 9 9 18 11 2. § 20. Отыскание части от целого и целого по его части 320. 1) 36 : 9 4 (уч.). Ответ: в олимпиаде по математике приняли участие 4 ученика. 4 ˜ 9 36 (уч.). Ответ: в пятом классе всего 36 учащихся. 2) — количество учащихся в классе; — в первой задаче эта величина известна, а во второй — нет; — в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй — целое по его части; — да, в этих задачах то, что известно и что требуется найти поменяли местами. 321. 21 : 3 7; 30 : 6 5; 42 : 7 6; 50 : 10 5. 322. а) 7 ˜ 2 14; б) 5 ˜ 4 20; в) 2 ˜ 5 10; г) 15 ˜ 9 135. 323. а) Нужно найти часть от целого; 900 : 15 60 (м2). б) Нужно найти целое по его части; 60 ˜ 15 900 (м2). Ответ: площадь участка 900 м2. 325. а) 1) 35 : 5 7; б) 1) 24 : 4 6; 2) 7 ˜ 2 14; 2) 3 ˜ 6 18; в) 1) 72 : 9 8; г) 1) 51 : 3 17; 2) 5 ˜ 8 40; 2) 2 ˜ 17 34. 326. а) 1) 16 : 2 8; б) 1) 45 : 3 15; 2) 3 ˜ 8 24; 2) 15 ˜ 5 75; в) 1) 36 : 3 12; г) 1) 60 : 5 12; 2) 7 ˜ 12 84; 2) 12 ˜ 8 96. 327. 1) 720 : 8 90 (кг); 2) 90 ˜ 5 450 (кг). Ответ: за день было продано 450 кг картофеля. 328. 1) 34 : 2 17 (км); 2) 17 ˜ 5 85 (км). Ответ: длина маршрута равна 85 км. 329. 1) 30 : 5 6 (чел.); 2) 3 ˜ 6 18 (дев.). Ответ: в классе 18 девочек.
  • 47. 2002–2011 гг. 382 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 330. 1) 15 : 3 5 (га); 2) 5 ˜ 10 50 (га). Ответ: общая площадь пахотной земли хозяйства равна 50 га. 331. 1) 30 : 6 5 (авт.); 2) 5 ˜ 5 25 (авт.); 3) 30 – 25 5 (авт.). Ответ: в автосалоне было 25 легковых автомобилей и 5 грузовых. 332. 1) 25 : 5 5 (м); 2) 5 ˜ 2 10 (м); 3) 10 : 2 5 (м). Ответ: ширина зала равна 10 м, а его высота — 5 м. 333. 1) 270 : 2 135 (кн.); 2) 135 ˜ 9 1215 (кн.). Ответ: всего в библиотеке 1215 книг. 334. 1) 16 : 8 2 (кл.); 2) 2 ˜ 45 90 (кл.); 3) 2 ˜ 37 74 (кл.); 4) 90 + 74 164 (кл.). Ответ: в коллекции Антона 164 клипа. 335. 1) 8 – 5 3 (части) — осталось пройти; 1 часть всего маршрута; 2) 120 : 3 40 (км) — приходится на 8 3) 40 ˜ 8 320 (км) — весь маршрут. Ответ: длина туристического маршрута равна 320 км. 336. 1) 15 – 7 8 (част.) — занято картофелем; 1 часть площади огорода; 15 3) 12 ˜ 15 180 (а) — площадь огорода. Ответ: площадь огорода равна 180 а. 337. а) 2) 96 : 8 12 (а) — приходится на 3 8 1 часть фигуры составляют 2 клетки; 8 б) 3 4 1 часть фигуры составляют 4 клетки; 4 в) 3 5
  • 48. 383 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 1 часть фигуры составляют 4 клетки. 5 4) 3 4 338. а) 1 часть фигуры составляют 4 клетки и 1 половинка клетки. 4 б) (48 + 34) ˜ (25 + 31) + (39 – 25) : (18 – 11) 4594; 82 1) 48 + 34 82; 2) 25 + 31 56; 3) × 56 + 492 410 4592 4) 39 – 25 14; 6) 14 : 7 2; 5) 18 – 11 7; 7) 4592 + 2 4594. 339. I ⎯ 9999 ⎫ ⎪ II ⎯ (100 − 99) ⎬ 12 645 ⎪ III ⎯ ? ⎭ Решение. 1) 100 – 99 1; 2) 9999 + 1 10 000; Ответ: третье слагаемое равно 2645. 340. 1) 540 – 80 460 (пар); 2) 12650 + 460 3) − 12645 10000 2645 13110 (пар). Ответ: за следующую неделю фабрика выпустит 13 110 пар обуви.
  • 49. 2002–2011 гг. 384 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Контрольные задания 1. а) 60 : 5 12; б) 1) 48 : 8 6; 2) 6 ˜ 7 42. 2. а) 16 ˜ 4 64; б) 1) 60 : 3 20; 2) 20 ˜ 8 160. 3. 1) 54 : 2 27 (км); 2) 27 ˜ 3 81 (км). Ответ: автомобиль должен был проехать 81 км. 4. 1) 155 : 5 31 (мин); 2) 31 ˜ 2 62 (мин). Ответ: чтобы выполнить домашнее задание по математике Лене понадобилось 62 мин. § 21. Основное свойство дроби 3⎞ 1 ⎛ часть фигуры ⎜ èëè ⎟ , а оранжевым — ⎝ 6⎠ 2 3⎞ 1 ⎛ часть фигуры ⎜ èëè ⎟ ; ⎝ 6⎠ 2 341. а) Желтым закрашена 2 части фигуры 6 1⎞ 1⎞ 2 ⎛ ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ , зеленым — ⎜ èëè 3 ⎟ ; ⎝ ⎠ ⎠ 6 ⎝ б) желтым закрашено в) оранжевым закрашено 2⎞ 4 ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ ; ⎝ ⎠ 6 1⎞ 2 ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ , оранжевым — 6 ⎝ ⎠ 2 части фигуры 6 1⎞ ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ , а зеленым — ⎝ ⎠ 6⎞ ⎛ г) оранжевым цветом закрашена вся фигура — 1 ⎜ èëè ⎟ . ⎝ 6⎠ 342. а) Закрашено 2⎞ ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ ; ⎝ ⎠ б) закрашено 2⎞ ⎛ ⎜ èëè 3 ⎟ ; ⎝ ⎠ 1⎞ 3 6 ⎛ части фигуры ⎜ èëè ⎟ , не закрашено — ⎝ 3⎠ 9 9 1⎞ 6 12 ⎛ части фигуры ⎜ èëè ⎟ , не закрашено — ⎝ ⎠ 3 18 18 в) закрашено — 2⎞ 1⎞ 6 ⎛ 3 ⎛ èëè ⎟ , не закрашено — èëè ⎟ ; ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ 9 ⎜ 9 ⎜ г) закрашено — 1⎞ 1⎞ 9 ⎛ 9 ⎛ ⎜ èëè 2 ⎟ , не закрашено — 18 ⎜ èëè 2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎠ 18 ⎝
  • 50. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 385 343. Если числитель и знаменатель дроби равны, то эта дробь равна 1. 344. 1 от 12 см; 3 2 от 12 см; 3 1 от 12 см; 6 4 от 12 см; 6 1 от 12 см; 12 8 от 12 см; 12 16 от 12 см. 24 2 4 8 16 2 4 8 16 = . = ; = ; также = = 3 6 12 24 3 6 12 24 3 345. от 8 см; 4 6 от 8 см; 8 12 от 8 см; 16 24 от 8 см. 32 24 3 24 6 24 12 3 6 12 24 = ; = ; = ; также = = = . 32 4 32 8 32 16 4 8 16 32 1 15 15 : 5 3 8 1 9 3 3 3:3 8:8 9:3 346. = = ; = = ; = = ; = = . 12 12 : 3 4 25 25 : 5 5 16 16 : 8 2 15 15 : 3 5 4 4:2 2 2:2 1 2 347. а) б) = = ; = = ; 10 10 : 2 5 6 6:2 3 3 9 9:3 12 12 : 4 3 г) в) = = ; = = . 15 15 : 3 5 16 16 : 4 4
  • 51. 2002–2011 гг. 386 8 8:4 15 15 : 15 1 2 б) = = ; = = ; 12 12 : 4 3 30 30 : 15 2 14 14 : 7 2 30 30 : 5 6 в) г) = = ; = = . 21 21 : 7 3 35 35 : 5 7 3 3 12 12 : 4 3 6 6:2 9 9:3 = = ; = = ; = = . 14 14 : 2 7 21 21 : 3 7 28 28 : 4 7 2 2 10 10 : 5 2 18 18 : 9 2 6 6:3 4 4:2 = = ; = = ; = = ; = = . 15 15 : 3 5 10 10 : 2 5 25 25 : 5 5 45 45 : 9 5 1 12 12 : 6 2 8 8:8 б) а) = = ; = = ; 18 18 : 6 3 24 24 : 8 3 1 30 30 : 15 2 5 5:5 в) г) = = ; = = . 45 45 : 15 3 15 15 : 5 3 6 6:2 16 16 : 4 6 3 а) б) = = ; = = ; 14 14 : 2 7 28 28 : 4 7 25 25 : 5 5 42 42 : 7 6 в) г) = = ; = = . 35 35 : 5 7 49 49 : 7 7 1 21 21 : 7 3 15 15 : 5 3 2 2:2 = = ; = = ; = = . 25 25 : 5 5 10 10 : 2 5 35 35 : 7 5 1 24 24 : 8 3 33 33 : 11 3 4 4:4 = = ; = = . = = ; 16 16 : 4 4 32 32 : 8 4 44 44 : 11 4 1 1⋅ 4 4 2 2⋅4 8 3 3⋅3 9 1 1⋅ 2 2 = = ; = = ; = = ; = = . 3 3 ⋅ 4 12 3 3 ⋅ 4 12 4 4 ⋅ 3 12 6 6 ⋅ 2 12 1 1⋅ 8 8 7 7 ⋅ 4 28 б) а) = = ; = = ; 3 3 ⋅ 8 24 6 6 ⋅ 4 24 15 15 ⋅ 2 30 3 3⋅3 9 в) г) = = . = = ; 12 12 ⋅ 2 24 8 8 ⋅ 3 24 2 2 ⋅ 6 12 1 1⋅5 5 б) а) = = ; = = ; 5 5 ⋅ 6 30 6 6 ⋅ 5 30 9 14 3 3⋅3 7 7⋅2 г) в) = = = ; = . 10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2 2⋅2 4 4 5 2 5 а) = = ; < , значит, < ; 3 3⋅2 6 6 6 3 6 2 2⋅4 8 8 4 2 4 б) = = ; > , значит, > ; 3 4 ⋅ 2 12 12 12 3 12 3 3⋅2 6 6 5 3 5 в) = = ; > , значит, > ; 4 4⋅2 8 8 8 4 8 3 3 ⋅ 8 24 24 24 3 24 г) = = ; = , значит, = . 4 4 ⋅ 8 32 32 32 4 32 348. а) 349. 350. 351. 352. 353. 354. 355. 356. 357. 358. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 52. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 359. а) 4 4⋅2 8 8 7 4 7 = = ; > , значит, > ; 5 5 ⋅ 2 10 10 10 5 10 б) 5 5 ⋅ 4 20 20 27 5 27 = = ; < , значит, < ; 8 8 ⋅ 4 32 32 32 8 32 в) 9 3 3⋅3 7 9 7 3 = = ; < , значит, < ; 10 10 ⋅ 3 30 30 30 30 10 г) 387 2 2⋅4 8 5 8 5 2 = = ; < , значит, < . 7 7 ⋅ 4 28 28 28 28 7 9 3 6 3 6 2 8 4 б) в) г) = ; = ; = ; = . 12 4 14 7 21 7 10 5 361. 1 способ: 1) 10 : 5 ˜ 3 6 (ш.) — забила команда России; 2) 10 : 10 ˜ 4 4 (ш.) — забила команда Канады. Ответ: победителем матча стала команда России со счетом 6 : 4. 2 способ: 360. а) 1) 3 3⋅2 6 — забила команда России; = = 5 5 ⋅ 2 10 6 4 > . 10 10 Ответ: тот же. 2) 362. 1) 3 3⋅2 6 (часть) — составляет мощность «Явы» от мощности = = 7 7 ⋅ 2 14 «Харлей Дэвидсона»; 6 11 < . 14 14 Ответ: бîльшую мощность имеет мотоцикл «Хонда». 2) 2 2⋅2 4 4 7 2) = = ; < . 5 5 ⋅ 2 10 10 10 Ответ: ближе к Солнцу расположен Меркурий, значит, ближе к Земле расположена Венера, так как она дальше, чем Меркурий от Солнца. 363. 1) 364. 1) 2) 3 3 ⋅ 10 30 = = ; 50 50 ⋅ 10 500 11 11 ⋅ 5 55 = = ; 100 100 ⋅ 5 500 6 3 3⋅2 = = . 250 250 ⋅ 2 500 Ответ: бîльшую массу имеет Марс. 3)
  • 53. 2002–2011 гг. 388 365 а) ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ б) 3 5 5 9 г) в) 2 5 6 8 366. а) 367. а) 368. а) б) в) г) 369. а) б) в) 12 3 8 2 12 3 17 б) в) г) = ; = ; = ; . 16 4 12 3 20 5 20 1 1 1 1 2 2 15 15 б) в) г) > ; < ; < ; > . 2 4 100 10 170 70 28 78 3 1 3 4 4 1 1 1 до 1 не хватает , а < , так как — ; но < ; 4 4 4 5 5 5 5 4 5 4 1 1 > , так как < ; 6 5 6 5 7 8 1 1 < , так как < ; 8 9 9 8 9 8 1 1 > , так как < . 10 9 10 9 2 15 2 2 ⋅ 15 30 30 15 15 ⋅ 2 30 30 < , так как < ; = = , = = , 13 16 13 13 ⋅ 15 195 16 16 ⋅ 2 32 195 32 357 7 51 7 7 ⋅ 51 51 51 ⋅ 7 357 = = , = = ; < , так как 22 64 22 22 ⋅ 51 1122 64 64 ⋅ 7 448 357 357 < ; 1122 448 51 54 51 51 ⋅ 18 918 > , так как = , = 100 100 100 100 ⋅ 18 1800 910 54 54 ⋅ 17 918 918 = = ; > ; 100 110 ⋅ 17 1870 1800 1870
  • 54. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 389 3 62 3 3 ⋅ 62 186 62 62 ⋅ 3 186 185 186 > , так как = > . = , = = ; 4 125 4 4 ⋅ 62 248 125 125 ⋅ 3 375 248 375 1 1 1 370. а) 1 äì = ì; 1 ñì = ì; 1 ìì = ì; 100 10 1000 10 1 50 1 б) 10 ñì = ì= ì; 50 ñì = ì = ì; 100 10 100 2 10 1 100 1 10 ìì = ì= ì; 100 ìì = ì= ì; 1000 10 1000 10 1 25 1 3 5 75 в) 5 äì = ì = ì; 25 ñì = ì = ì; 75 ñì = ì = ì; 2 100 4 4 10 100 г) 80 8 2 ì= ì= ì; 1000 100 25 30 3 30 3 г) 30 ñì = ì= ì; 30 ìì = ì= ì; 100 10 1000 100 55 11 55 11 ì= ì; 55 ìì = ì= ì. 55 ñì = 100 20 1000 200 1 1 100 ñì 1 100 ñì = 25 ñì; ì = 1 ñì; ì= = 10 ñì; ì= 4 4 100 10 10 1 100 ñì 1 100 ì ì= = 20 ñì; ì= = 50 ñì. 5 5 2 2 1 1 > , значит, Наташины родители отдают меньшую часть своих 10 20 доходов за оплату жилья. Поэтому в семье Наташи доход больше. 1 1 > , значит, родители Юли отдают бîльшую часть своего 14 18 дохода в качестве оплаты за жилье, поэтому у семьи Юли жилищные условия лучше. 1) 126 : 7 18 (км); 2) 18 ˜ 3 54 (км). Ответ: в первый день туристы прошли 54 км. 2) 10379 1) 41516 4 × − 9 4 10379 (ð.) 80 ìì = 371. 372. 373. 374. 375. 93411 (ð.) 1 15 − 12 31 − 28 36 − 36 0 Ответ: на ремонт квартиры было истрачено 93 411 р.
  • 55. 2002–2011 гг. 390 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Контрольные задания 3 12 12 : 12 1 9 9:3 б) = = ; = = . 36 36 : 12 3 15 15 : 3 5 3 3⋅3 9 5 5 ⋅ 4 20 3. а) б) = = ; = = . 8 8 ⋅ 3 24 6 6 ⋅ 4 24 1 1⋅ 3 1 1⋅ 2 3 2 4. = = ; = = . 10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2. а) § 22. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа 376. 2 5 6 — правильная дробь; и — неправильные дроби. 5 5 5 2 5 6 < 1; = 1; > 1. 5 5 5 Вывод: любая правильная дробь меньше 1; любая неправильная дробь больше 1; если в неправильной дроби числитель и знаменатель одинаковые, то дробь равна 1. 377. а) б) 378. а) б) 379. а) б) 380. а) 381. а) 3 13 19 1 3 ; ; ; ; ; эти дроби правильные так как их 7 14 20 4 16 числитель меньше знаменателя; 8 15 17 32 28 ; ; ; ; ; эти дроби неправильные, так как 3 6 3 32 28 числитель каждой из них больше или равен знаменателю. 7 — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; n 17 − n — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6. 11 m — правильная при m 1, 2, 3, 4, 5; 6 16 — правильная при m больше 12. 4+m 3 9 24 30 б) 3 = ; в) 3 = в) 3 = 3= ; ; . 1 3 8 10 5 25 35 55 б) 5 = в) 5 = г) 5 = 5= ; ; ; . 1 5 7 11
  • 56. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 385. 2 3 7 7 8 3 ; 7 ; 8 ; 8 . ; 2 ; 6 5 10 8 15 16 4 386. а) 15 3 =2 ; 6 6 б) 8 2 =1 ; 6 6 в) 16 4 =2 ; 6 6 г) 23 5 =3 . 6 6 387. а) 22 4 =2 ; 9 9 б) 19 3 =4 ; 4 4 в) 14 2 =3 ; 4 4 г) 18 2 =4 . 4 4 3 1⋅ 4 + 3 7 = = ; 3 4 4 б) 2 3 2 ⋅ 5 + 3 13 = = ; 5 5 5 в) 3 1 3 ⋅ 3 + 1 10 = = ; 3 3 3 г) 4 1 4⋅2 +1 9 = = ; 2 2 2 д) 1 7 1 ⋅ 8 + 7 15 = = ; 8 8 8 е) 3 4 3 ⋅ 11 + 4 37 = = . 11 11 11 389. а) 1 3 1 ⋅ 7 + 3 10 = = ; 7 7 7 б) 2 4 2 ⋅ 9 + 4 22 = = ; 9 9 9 в) 5 2 5 ⋅ 3 + 2 17 = = ; 3 3 3 г) 6 3 6 ⋅ 5 + 3 33 = = ; 5 5 5 д) 2 11 2 ⋅ 15 + 11 41 = = ; 15 15 15 е) 7 3 7 ⋅ 8 + 3 59 = = . 8 8 8 388. а) 1 390. 1) 13 1 7 1 1 5 =1 ; =1 ; =1 ; 12 12 6 4 6 4 2) 392. 6 1 7 2 12 2 18 3 24 4 =1 ; =1 ; =2 ; =3 ; =4 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 37 7 =1 ; 30 30 − 37 30 30 1 37 7 =3 ; 10 10 − 7 393. а) 37 10 30 3 37 2 =7 ; 5 5 − 7 583 43 = 12 ; 45 45 37 5 35 7 2 б) 424 21 = 13 ; 31 31 − 583 45 45 12 − 424 31 31 13 − 133 90 − 114 93 43 21 391
  • 57. 2002–2011 гг. 392 в) 321 21 =4 ; 75 75 321 75 − 300 4 г) 719 55 =8 ; 83 83 719 83 − 664 8 21 394. а) 435 51 =6 ; 64 64 − 55 б) 435 64 384 6 793 33 = 20 ; 38 38 − 793 38 76 20 51 в) 389 11 = 14 ; 27 27 − г) 389 27 27 14 − 33 119 108 543 48 =9 ; 55 55 − 543 55 495 9 48 11 395. а) 499 13 = 18 ; 27 27 499 28 − 27 18 − 172 46 =2 ; 63 63 172 63 − 126 2 229 216 46 13 345 = 15; 23 − 345 23 23 15 − 115 115 1537 133 =6 ; 234 234 − 1537 234 1404 6 133 0 46 133 13 2 ; 6 ; 15; 18 . 63 234 27 172 1537 345 499 Поэтому: ; ; ; . 63 234 23 27 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 58. 393 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ б) 345 = 15; 23 − 345 23 23 15 − 75 9 =6 ; 11 11 75 11 − 66 6 115 115 267 1 = 19 ; 14 14 267 14 14 19 − 9 − 127 126 0 1 952 240 =2 ; 356 356 51 3 = 12 ; 4 4 952 356 712 2 − 51 4 4 12 240 − − 11 8 3 19 1 3 9 240 ; 15; 12 ; 6 ; 2 . 14 4 11 356 Поэтому: 267 345 51 75 952 ; ; ; ; . 14 4 11 356 23 3 3 ⋅ 6 18 = = ; 4 4 ⋅ 6 24 3 3 ⋅ 10 30 = = ; 4 4 ⋅ 10 40 3 3 ⋅ 4 12 = = ; 4 4 ⋅ 4 16 б) 3 3⋅2 6 = = ; 4 4⋅2 8 3 3⋅3 9 = = ; 4 4 ⋅ 3 12 396. а) 3 3 ⋅ 50 150 = = ; 4 4 ⋅ 50 200 5 15 15 : 3 = = ; да, эту дробь можно еще упростить: 17 75 : 3 25 5 5:5 1 = = . 25 25 : 5 5 397. а) 21 21 22 7 7⋅3 7 22 = = ; < ; значит, < ; 15 15 ⋅ 3 45 45 45 15 45 б) 17 17 ⋅ 2 34 31 34 31 17 = = ; < ; значит, < ; 27 27 ⋅ 2 54 54 54 54 27 в) 5 5⋅2 5 11 10 10 11 < ; значит, < ; = = ; 18 18 ⋅ 2 36 36 36 18 36 г) 3 3 ⋅ 4 12 12 9 3 9 = = ; > ; значит, > . 4 4 ⋅ 4 16 16 16 4 16
  • 59. 2002–2011 гг. 394 x 2 2 2 ⋅ 6 12 = ; = = ; значит, х 12; 18 3 3 3 ⋅ 6 18 15 3 б) = ; 15 : 3 5; 4 ˜ 5 20; значит, х 20; x 4 x в) 1 = ; х 337; 337 33 г) = 3; х 33 : 3; х 11. x 1 100 ñì 1 100 ñì б) а) ì= = 4 ñì; ì= = 2 ñì; 25 25 50 50 1 100 ñì 1 100 ñì г) в) ì= = 25 ñì; ì= = 20 ñì. 4 4 5 5 7 15 1 а) 7 ìèí = ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; 60 60 4 45 9 1 51 17 б) 45 ñ = ÷= ÷= ÷= ÷; 51 ñ = ÷; 3600 720 80 3600 1200 80 8 4 1 120 в) 80 ìèí = ÷ = ÷ = ÷ = 1 ÷; 120 ìèí = ÷ = 2 ÷; 60 6 3 3 60 5000 25 7 6600 11 5 г) 5000 ñ = ÷= ÷= ÷=1 ÷; 6600 ñ = ÷ =1 ÷. 3600 18 18 3600 6 6 1) 72 : 4 18 (эксп.); 18 2) × 11 18 + 18 198 (ýêñï.) Ответ: в коллекции энтомолога 198 экспонатов. 1) 120 : 15 8 (задач); 2) 8 ˜ 2 16 (задач). Ответ: за первые 10 дней Света решила 16 задач. 1) 5 – 2 3 (части); 2) 36 : 3 12 (км); 3) 12 ˜ 5 60 (км). Ответ: длина маршрута равна 60 км. 398. а) 399. 400. 402. 403. 404. Контрольные задания 25 4 =3 . 7 7 2 3 ⋅ 5 + 2 17 3. 3 = = . 5 5 5 2. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 60. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 4. 395 15 4 — правильная дробь; — неправильная дробь; 28 3 15 4 15 4 < 1; > 1; значит, < . 28 3 28 3 § 23. Окружность и круг 405. Окружность изображена на рисунке слева, а круг — на рисунке справа. Для построения окружностей используется циркуль. — Окружности принадлежат точки A, B, C; кругу — A, B, C, O, M; — окружности не принадлежат точки O, M, N; кругу — N; — дуги между точками А и В; А и С; В и С; — центры окружности и круга обозначены точкой О; — радиусами окружности и круга являются отрезки OA, OB, OC (r — радиус); — OM; ON; OM < r; ON > r; — бесконечно много; — d — диаметр окружности, круга; у окружности и круга бесконечно много диаметров; — все диаметры одной окружности (круга) равны между собой и равны двум радиусам; — все радиусы одной окружности (круга) равны между собой и равны половине диаметра; — d 2 ˜ r; — r d : 2. 406. а) r 2 см; d 2 ˜ r 2 ˜ 2 4 (см). Рисунки в дальнейших заданиях выполняются аналогично заданию а). б) r 4 см; d 2 ˜ r 2 ˜ 4 8 (см); в) r 3 см; d 2 ˜ r 2 ˜ 3 6 (см); г) r 3 см 5 мм; d 2 ˜ r 2 ˜ 3 см 5 мм 7 (см). 407. а) d 4 см; r d : 2 4 : 2 2 (см) (смотри рисунок к заданию № 406(а)); б) d 6 см; r d : 2 6 :2 3 (см); в) d 9 см; r d : 2 9 см : 2 4 см 5 мм; г) d 10 см; r d : 2 4 : 2 5 (см).
  • 61. 2002–2011 гг. 396 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 408. а) Участок ограничивает круг радиуса 4 м. б) Пострадает от козы заштрихованная красным цветом часть огорода. По сравнению с предыдущей задачей площадь участка увеличится более, чем еще на одну такую же площадь. О1 6м О2 409. Точки С и F принадлежат окружности, так как OC OF OA r; остальные точки — B, D, E окружности не принадлежат, так как OB < r, OD > r, OE > r. 410. Радиус большей окружности равен 3 ˜ 2 6 (см), а ее диаметр: 6 ˜ 2 12 (см). 413. а) 14x – 9x 125; б) 15y + 25y 120; (14 – 9) ˜ x 125; (15 + 25) ˜ y 120; 5x 125; 40y 120; x 125 : 5; y 120 : 40; x 25; y 3; в) 13x + 5x 108 : 2; г) 29y – 17y 12 ˜ 4; (13 + 5) ˜ x 54; (29 – 17) ˜ y 48; 18x 54; 12y 48; x 54 : 18; y 48 : 12; x 3; y 4.
  • 62. 397 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 414. а) 9 ˜ (142 – 35) + (42 ˜ 6 + 748) : 25 1003; 3) 42 1) 142 – 35 107; 2) 107 × × 6 9 4) 252 + 748 5) 1000 : 25 963 40; 253 6) 963 + 40 1003. 1000 б) 1872 : (105 : 3 – 11) + 493 571; 1) 105 3 2) 35 – 11 24; − 9 35 − 3) 15 15 0 1872 24 − 168 78 − 4) + 192 192 493 78 571 0 415. а) Координату точки М-18 увеличили на 12, а затем уменьшили на 6, получили точку N. Найдите координату точки N. б) Координату точки N-73 увеличили на 12, потом уменьшили на 21, получили точку М. Найдите координату точки М. 416. (15 + 25) ˜ 20 – 19 096 : 62 1) 15 + 25 40; 3) 19096 62 − 186 308 49 496 − 496 0 492; 2) 40 ˜ 20 4) 800 − 308 492 800;
  • 63. 2002–2011 гг. 398 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 417. (s + 7) : (y + 3) > s : y. 418. a) 1) 1728 − 1242 2) 486 (р.) — разница стоимости фляг; 486 9 − − 3) 54 (р.) — цена меда; 45 36 36 0 1728 54 − 162 32 (кг) — во второй фляге; − 108 108 0 4) 1242 54 − 108 23 (кг) — в первой фляге. − 162 162 0 Ответ: в первой фляге 23 кг меда, а во второй — 32 кг. б) 1) 2436 − 2184 252 (р.) — разница стоимости меда; 2) − 252 6 24 42 (кг) — масса меда в первой и во второй фляге; − 3) 12 12 0 2436 42 − 210 58 (р.) — цена меда во второй фляге; − 336 336 0 4) 58 – 6 52 (р.) — цена меда в первой фляге. Ответ: в каждой фляге масса меда равна 42 кг, цена меда в первой фляге — 52 р., а во второй — 58 р.
  • 64. 399 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 419. 9 1 5 2 1 2 5 = ; ; ; < < ; 18 2 6 3 2 3 6 3 4 5 Значит, < < . 6 6 6 10 4 4 ⋅ 2 8 3 б) ; = = ; = 16 8 8 ⋅ 2 16 4 8 10 3 Значит, < < . 4 16 4 1 1⋅ 3 3 2 2 ⋅2 4 = = ; = = . 2 2⋅3 6 3 3⋅2 6 3 ⋅ 4 12 8 10 12 = ; < < . 4 ⋅ 4 16 16 16 16 Контрольные задания 1. Круг содержит и часть плоскости, ограниченную окружностью. 2. а) r OA 4 см; d AB; В О r б) d 2r 2˜4 8 (см). А § 24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей 1 ; 6 2 2) а) = 6 3 3) а) = 6 3 4) а) = 6 или 420. 1) а) 3) а) 1 ; 6 1 3 ; б) = 3 6 1 4 ; б) = 2 6 1 2 ; б) = 2 6 б) 1 2 3 + = ; 6 6 6 2 6 2 в) 6 4 в) 6 2 в) 6 в) 1 ; 2 2 ; 3 1 ; 3 б) 1 ; 3 1 = ; 3 2 = ; 3 1 = ; 3 = 1 3 4 + = ; 6 6 6 3 = 6 2 г) = 6 5 г) ; 6 1 г) . 6 г) 1 ; 2 1 ; 3
  • 65. 2002–2011 гг. 400 в) 4) а) в) 421. 1) а) 2) а) 3) а) 4) а) или 422. а) б) 423. а) б) 424. а) б) 425. а) б) г) б) г) в) в) в) в) 7 5 12 б) + = ; 16 16 16 7 7 14 г) в) + = ; 20 20 20 16 12 4 б) − = ; а) 16 16 16 20 14 6 г) в) − = ; 20 20 20 3 5 3+5 8 + = = = 1; 8 8 8 8 7 2 7−2 5 1 − = = = ; 15 15 15 15 3 2 7 2+7 9 + = = ; 17 17 17 17 7 5 7 −5 2 1 − = = = ; 16 16 16 16 8 24 13 24 − 13 11 1 − = = = ; 33 33 3 33 33 5 2 5+2 7 1 + = = = ; 21 21 21 21 3 72 34 72 + 34 106 + = = = 156 156 156 156 23 75 52 75 − 52 − = = ; 341 341 341 341 3) а) 4) 2 2 4 + = ; 6 6 6 6 3 3 − = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 7 3 б) ; ; 16 12 5 5 б) ; ; 12 16 8 12 б) ; ; 12 16 4 4 б) ; ; 16 12 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3 2 5 + = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 6 5 1 − = . 6 6 6 7 5 г) ; ; 20 18 7 11 г) ; ; 20 18 14 16 г) ; ; 20 18 6 2 г) ; . 20 18 3 12 5 18 12 12 18 18 5 8 = ; 12 12 11 16 + = ; 18 18 8 4 − = ; 12 12 16 2 − = . 18 18 1 3 2 1+3 +2 6 в) + + = = ; 7 7 7 7 7 3 8 4 3+8−4 7 г) + − = = . 11 11 11 11 11 2 9 2 + 9 11 в) + = = ; 25 25 25 25 9 12 3 12 − 3 г) − = = . 13 13 13 13 14 4 14 + 4 18 2 в) + = = = ; 27 27 3 27 27 16 12 16 + 12 28 4 г) + = = = . 35 35 35 35 5 + 53 ; 78
  • 66. 401 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 34 62 34 + 62 96 32 + = = = ; 105 105 105 105 35 231 128 231 − 128 103 г) − = = . 520 520 520 520 2 5 2 3 4 7 4 3 в) 1 − = − = ; 426. а) 1 − = − = ; 5 5 5 5 7 7 7 7 3 4 3 1 10 11 10 1 г) 1 − б) 1 − = − = ; − = . = 4 4 4 4 11 11 11 11 1 3 16 − 1 − 3 12 3 427. а) 1 − − = = = ; 16 16 16 16 4 2 8 25 − 2 − 8 15 3 − = = = ; б) 1 − 25 25 5 25 25 7 5 24 − 7 − 5 12 1 в) 1 − − = = = ; 24 24 24 24 2 17 11 30 − 17 − 11 2 1 г) 1 − − = = = . 30 30 30 30 15 428. Примем весь путь за 1. в) 1− 4 9 4 9−4 5 = . = − = 9 9 9 9 9 Ответ: во второй день турист прошел 5 пути. 9 429. Примем количество страниц в книге за 1. 1− 3 7 3 7−3 4 = . = − = 7 7 7 7 7 Ответ: Денис прочитал во второй день 4 1 3 − = 15 15 15 4 3 7 2) + = 15 15 15 7 15 3) 1 − = − 15 15 430. 1) 4 книги. 7 — израсходовал Робинзон Крузо на втором году; — израсходовал Робинзон Крузо за два года вместе; 7 8 — осталось муки. = 15 15 Ответ: Робинзон Крузо за два года израсходовал а осталось у него — 431. 1 полка — на 2 полка — 8 муки. 15 1 книг больше, чем 7 7 запаса муки, 15 ? часть всех книг ? часть всех книг
  • 67. 2002–2011 гг. 402 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Решение. 1 равен 7, то количество всех книг 7 разделили на 7 равных частей. Если на 1-ой полке на 1 такую часть Так как знаменатель дроби 4 3 всех книг, а на 2-ой полке — всех книг 7 7 7⎞ ⎛ ⎜ îáùåå ÷èñëî êíèã ⎯ 1 = 7 ⎟ . ⎝ ⎠ 432. Примем объем книги за 1. больше, то на ней 1 9 1 8 — сумма двух равных частей; = − = 9 9 9 9 8 4 2) : 2 = — объем книги, прочитанный за 2-ой день; 9 9 4 1 5 3) + = . 9 9 9 5 Ответ: Денис в первый день прочитал книги, а во 2-ой — 9 4 книги. 9 433. а) (506 ˜ 123 + 29 376 : 72 – 61 830) : 4 204; 1) 1 − 1) × + 123 506 2) 738 615 − 29376 72 288 408 − 576 576 62238 4) − 62646 61830 816 3) + 62238 408 62646 0 5) − 816 4 8 204 − 16 16 0 б) (47 020 + 9687) : (4066 – 38 ˜ 107) 107 2) 1) 47020 × + 38 9687 56707 + 856 321 4066 3) 4066 – 4066 0; 4) 56 707 : 0. На 0 делить нельзя. Значит, нельзя вычислить значение данного числового выражения.
  • 68. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 434. Решение. 1) × 4725 15 23625 4725 + 70875 (р.) — вырученные деньги за I неделю; 2) − 4725 300 4425 (р.) — новая цена пары лыж; 3) 15 + 12 4) × + 27 (пар) — продали за II неделю; 4425 27 30975 8850 119475 (р.) — вырученные деньги за II неделю; 5) × 3700 15 185 + 37 55500 (р.) — закупка 15 пар; 6) − 70875 55500 15375 (р.) — прибыль за I неделю; 7) × + 3700 27 259 74 99900 (р.) — закупка 27 пар; 8) − 119475 99900 19575 (р.) — прибыль за II неделю. Ответ: да, магазину удалось увеличить прибыль. 403
  • 69. 2002–2011 гг. 404 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 435. Незакрашенной осталась: 1− 7 16 7 9 части квадрата. = − = 16 16 16 16 1 1 2 1 3 + = + = 4 8 8 8 8 2 1 4 1 незакрашено: + = + = 4 8 8 8 3 8 3 5⎞ ⎛ ⎜ èëè 1 − 8 = 8 − 8 = 8 ⎟ . ⎝ ⎠ 1 1 4 1 5 2) Закрашено: + = + = 2 8 8 8 8 3 незакрашено: части круга 8 5 8 5 3⎞ ⎛ ⎜ èëè 1 − 8 = 8 − 8 = 8 ⎟ . ⎝ ⎠ 436. 1) Закрашено: 437. Незакрашенной осталось а закрашено части круга; 1 8 частей круга; 1 часть квадрата, 16 1 1 часть круга, незакрашена часть 2 2 круга. 4 2 круга или круга, незакрашено 6 3 2 1 круга или часть круга. 6 3 3 5 6 5 6 + 5 11 440. а) + = + = = ; 8 16 16 16 16 16 5 2 5 4 5+4 9 1 б) + = = = ; + = 18 9 18 18 18 18 2 б) Закрашено 1 8 5 частей круга 8 15 квадрата. 16 438. а) Закрашена 1 4 1 2
  • 70. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ в) 4 3 8 3 8 + 3 11 + = = = = ; 7 14 14 14 14 14 г) 37 7 3 7 30 7 + 30 + = = = = . 100 100 100 10 100 100 441. а) 3 4 9 4 9 + 4 13 + = + = = ; 5 15 15 15 15 15 б) 2 5 8 5 8 + 5 13 + = + = = ; 7 28 28 28 28 28 в) 3 6 3 12 3 + 12 15 + = + = = ; 22 11 22 22 22 22 г) 9 3 3 15 3 15 + 3 19 + = + = = = . 20 20 10 4 20 20 20 442. а) 5 2 5 6 5 + 6 11 2 + = + = = =1 ; 9 3 9 9 9 9 9 б) 1 3 1 9 1 + 9 10 5 + = = = ; + = 12 4 12 12 12 12 6 в) 1 3 4 3 4+3 7 + = + = = ; 2 8 8 8 8 8 г) 827 17 81 17 810 17 + 810 + = + = = . 1000 1000 1000 100 1000 1000 443. а) 5 1 5 4 5+4 9 3 + = + = = = ; 12 3 12 12 12 12 4 б) 11 3 11 9 11 + 9 20 5 + = + = = = ; 24 24 6 24 8 24 24 в) 5 1 20 1 20 + 1 21 7 + = + = = = ; 6 24 24 24 24 24 8 г) 957 57 9 57 900 57 + 900 + = + = = . 1000 1000 1000 10 1000 1000 444. а) 11 3 11 6 11 − 6 5 − = − = = ; 16 8 16 16 16 16 б) 5 5 10 5 10 − 5 5 − = − = = ; 6 12 12 12 12 12 в) 4 4 8 12 8 12 − 8 − = − = = ; 21 21 7 21 21 21 г) 17 4 17 8 17 − 8 9 3 − = − = = = . 30 15 30 30 30 30 10 405
  • 71. 2002–2011 гг. 406 445. а) б) в) г) 446. а) б) в) г) 447. а) б) в) г) 449. а) б) в) г) 450. а) б) в) г) 7 5 14 5 14 − 5 9 1 − = − = = = ; 9 18 18 18 18 18 2 9 14 1 14 5 14 − 5 − = − = = ; 25 25 25 5 25 25 7 9 70 9 70 − 9 61 − = − = = ; 10 100 100 100 100 100 7 21 28 21 28 − 21 7 − = − = = . 11 44 44 44 44 44 7 1 7 3 7−3 4 1 − = = = ; − = 12 4 12 12 12 12 3 22 5 22 15 22 − 15 7 − = − = = ; 27 9 27 27 27 27 3000 43 3000 − 43 2957 3 43 − = − = = ; 10 000 10 000 10 10 000 10 000 10 000 289 31 21 310 21 310 − 21 − = − = = . 1000 1000 100 1000 1000 1000 5 1 5 4 5−4 1 − = − = = ; 8 2 8 8 8 8 5 7 11 21 11 21 − 11 10 − = − = = = ; 24 24 12 8 24 24 24 17 5 17 15 17 − 15 2 1 − = − = = = ; 18 6 18 18 18 18 9 677 777 1 777 100 777 − 100 − = − = = . 1000 1000 1000 10 1000 1000 2 1 8 3 8 + 3 11 + = + = = ; 3 4 12 12 12 12 4 3 16 15 16 − 15 1 − = − = = ; 5 4 20 20 20 20 1 1 3 2 3−2 1 = ; − = − = 2 3 6 6 6 6 5 3 20 9 20 + 9 29 5 + = + = = =1 . 6 8 24 24 24 24 24 1 2 5 4 5+4 9 + = = ; + = 2 5 10 10 10 10 1 2 5 4 5−4 1 − = − = = ; 2 5 10 10 10 10 1 1 3 2 3+2 5 + = = ; + = 4 6 12 12 12 12 9 5 27 25 27 − 25 2 1 − = − = = = . 10 6 30 30 30 30 15 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 72. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 451. а) б) в) г) 452. а) б) в) г) 453. 1) 407 3 2 9 8 9 + 8 17 5 + = + = = =1 ; 4 3 12 12 12 12 12 3 1 9 5 9−5 4 − = − = = ; 5 3 15 15 15 15 3 2 9 8 9−8 1 − = = ; − = 4 3 12 12 12 12 3 3 21 6 21 + 6 27 + = + = = . 4 14 28 28 28 28 1 1 3 2 3−2 1 − = − = = ; 4 6 12 12 12 12 3 1 9 5 9 + 5 14 + = = ; + = 5 3 15 15 15 15 11 4 3 16 15 16 + 15 31 + = + = = =1 ; 20 20 20 5 4 20 20 7 1 14 5 14 − 5 9 − = − = = . 10 4 20 20 20 20 2 4 4 5 = ; < . 9 18 18 18 Значит, за обедом съели больше хлеба. 2 5 4 5 4+5 9 1 + = + = = = . 9 18 18 18 18 18 2 1 За обедом и завтраком съели часть батона. 2 1 2 1 1 3) 1 − = = = . 2 2 2 2 1 На ужин осталась часть батона. 2 3 9 10 9 = ; > . 454. 1) 7 21 21 21 Значит, для приготовления какао потребовалось молока меньше, чем для приготовления каши. 2) 10 3 10 9 10 + 9 19 + = + = = . 21 7 21 21 21 21 19 Было использовано молока. 21 19 21 19 2 = − = . 3) 1 − 21 21 21 21 2 Осталось молока. 21 2)
  • 73. 2002–2011 гг. 408 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1 9 1 9−1 8 ; x= − ; x= ; x= ; 9 9 9 9 9 9 5 5 9−5 4 б) x = 1 − ; x = − ; x = ; x= ; 9 9 9 9 9 455. а) x = 1 − в) x = 1 − 2 7 2 7−2 5 ; x= − ; x= ; x= ; 7 7 7 7 7 г) x = 1 − 4 7 4 7−4 3 ; x= − ; x= ; x= . 7 7 7 7 7 456. а) y = 1 − 5 8 5 8−5 3 ; y= − ; y= ; y= ; 8 8 8 8 8 б) y = 1 − 7 12 7 12 − 7 5 ; y= ; y= − ; y= ; 12 12 12 12 12 в) y = 1 − 5 16 5 16 − 5 11 ; y= − ; y= ; ; y= 16 16 16 16 16 15 24 15 24 − 15 9 3 ; y= ; y= − ; y= ; y= . 24 24 24 24 24 8 457. Примем объем бассейна за 1. г) y = 1 − 1 1 часть бассейна, а другая — часть. 30 15 Тогда за 1 час совместной работы заполнится: За 1 час одна труба заполнит 1 1 1 2 1+2 3 1 (часть). + = + = = = 30 15 30 30 30 30 10 Если за 1 час совместной работы обеих труб заполняется 1 часть 10 10 ⎞ ⎛ заполнится обеими трубами, бассейна, то весь бассейн ⎜ 1 = ⎝ ⎠ 10 ⎟ работающими одновременно за 10 часов. 458. 1) 1 − 2 5 2 5−2 3 (часть) — прошел турист за второй день; = − = = 5 5 5 5 5 2) 45 : 5 ˜ 3 27 (км). Ответ: за второй день турист прошел 27 км. 459. 1) 2 5 2+5 7 (часть) — убрали за первые два дня вместе; + = = 9 9 9 9 7 9 7 9−7 2 (часть) — убрали в третий день; = = − = 9 9 9 9 9 3) 171 : 9 ˜ 2 19 ˜ 2 38 (га). Ответ: в третий день было убрано 38 га земли. 2) 1 −
  • 74. 409 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 460. 1) 2) 2 3 4 3 4+3 7 (часть) — прочитал Максим за два дня; + = + = = 5 10 10 10 10 10 5 1 5 7 = — половина книги; < ; 10 2 10 10 7 10 7 10 − 7 3 (часть) — осталось прочитать; = − = = 10 10 10 10 10 4) 170 : 10 ˜ 3 51 (стр.). Ответ: за два дня Максим прочитал больше половины книги; осталось ему прочитать 51 страницу. 3) 1 − 463. Удобно разделить отрезок MN на 12 равных частей, KN = ML = 9 3 = . 12 4 8 2 = ; 12 3 5 5 5 отрезка MN; отрезка KN; отрезка 12 8 9 5 1 5 2 ML; = 1 отрезка MK; = 1 отрезка NL. 4 4 3 3 Отрезок KL составляет Контрольные задания 1. а) 2 3 2+3 5 + = = ; 7 7 7 7 б) 11 7 11 − 7 4 − = = . 15 15 15 15 2. а) 1 1 2 1 2+1 3 + = + = = ; 2 4 4 4 4 4 б) 2 4 6 4 6−4 2 − = − = = . 3 9 9 9 9 9 § 25. Сложение и вычитание смешанных чисел 464. 1) 2 + 2 2 =2 ; 7 7 2) 2 3 2 3+2 5 5 + =2+ =2+ =2 ; 7 7 7 7 7 3) 2 5 5 3 2 ⎛ 3 2⎞ + 1 = (2 + 1) + ⎜ + ⎟ = 3 + = 3 ; ⎝ 7 7⎠ 7 7 7 7 4) 2 3 6 3+6 9 2 2 + =2+ = 2+ = 2+1 = 3 ; 7 7 7 7 7 7 5) 2 3 6 9 2 2 ⎛ 3 6⎞ + 1 = (2 + 1) + ⎜ + ⎟ = 3 + = 3 + 1 = 4 . ⎝7 7⎠ 7 7 7 7 7
  • 75. 2002–2011 гг. 410 5 5 5 5 − 1 = (1 − 1) + = 0 + = ; 9 9 9 9 1 1 5 2 5−2 3 = 1+ = 1+ = 1 ; 1 − = 1+ 9 9 9 9 3 3 5 5 5−5 = 1 + 0 = 1; 1 − = 1+ 9 9 9 5 7 14 7 14 − 7 7 − = = . 1 − = 9 9 9 9 9 9 3 5 3+5 8 2 3 + =3+ =3 =3 ; 12 12 12 12 3 3 5 5⎞ 3+5 8 2 3 ⎛ 3 3 +1 = (3 + 1) + ⎜ + =4+ =4+ =4+ =4 ; ⎝ 13 12 ⎟ ⎠ 4 12 12 12 12 3 3 11 3 + 11 14 7 1 1 ⎛ 3 11⎞ 3 + =3+⎜ + ⎟ =3+ =3+ = 3+ = 3+1 = 4 ; ⎝ 12 12⎠ 12 12 12 12 6 6 6 14 7 1 1 3 11 3 + 11 ⎛ 3 11⎞ = 4+ = 4+ = 4+1 = 5 . 3 + 1 = (3 + 1) + ⎜ + ⎟ = 4 + ⎝ 12 12⎠ 12 12 6 6 6 12 12 2 7 7⎞ 3 3 3 ⎛ 2 + +4 =4+⎜ =4+ =4+ =4 ; ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 5 5 5 15 15 2 7 7⎞ 9 3 3 ⎛ 2 + 1 +4 = (1 + 4) + ⎜ =5+ =5+ =5 ; ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 15 15 15 5 5 14 7 21 7 2 2 ⎛ 14 7 ⎞ + +4 =4+⎜ =4+ = 4+ = 4+1 =5 ; ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 15 5 5 5 15 15 14 7 21 7 2 2 ⎛ 14 7 ⎞ 1 +4 = (1 + 4) + ⎜ + =5+ =5+ =5+1 = 6 . ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 15 15 15 5 5 5 4 4 4 4 − 1 = (1 − 1) + =0+ = ; 1 11 11 11 11 4 2 2⎞ 2 2 ⎛ 4 = 1+ =1 ; − 1 − = 1+ ⎜ ⎝ 11 11⎟ ⎠ 11 11 11 11 4 4 4⎞ ⎛ 4 = 1 + 0 = 1; − = 1+ ⎜ − 1 ⎝ 11 11⎟ ⎠ 11 11 465. 1) 1 2) 3) 4) 466. а) б) в) г) 467. а) б) в) г) 468. а) б) в) ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 4 7 15 7 15 − 7 8 − = − = = . 11 11 11 11 11 11 5 5 5 5 469. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1 + = 1 ; 9 9 9 9 5 2 3 1 1 ⎛ 5 2⎞ б) 2 − 1 = (1 − 2) + ⎜ − ⎟ = 1 + = 1 + = 1 ; ⎝ 9 9⎠ 9 9 9 3 3 5 5 ⎛ 5 5⎞ в) 2 − 1 = (2 − 1) + ⎜ − ⎟ = 1 + 0 = 1; ⎝ 9 9⎠ 9 9 г) 1
  • 76. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 411 7 7 7 5 7 14 ⎛ 14 7 ⎞ −1 =1 − 1 = (1 − 1) + ⎜ − ⎟ =0+ = . ⎝ 9 9 9 9 9 9⎠ 9 9 4 4 4 4 470. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1+ =1 ; 11 11 11 11 4 2 2⎞ 2 2 ⎛ 4 б) 2 − −1 = (2 − 1) + ⎜ = 1+ =1 ; ⎝ 11 11⎟ ⎠ 11 11 11 11 г) 2 4 4 4⎞ ⎛ 4 −1 = (2 − 1) + ⎜ − = 1 + 0 = 1; ⎝ 11 11⎟ ⎠ 11 11 4 7 15 7 8 8 ⎛ 15 7 ⎞ −1 =1 −1 = (1 − 1) + ⎜ − г) 2 =0+ = . ⎝ 11 11⎟ ⎠ 11 11 11 11 11 11 57 81 157 81 81 ⎞ 76 ⎛ 157 16 −1 = 15 −1 = (15 − 1) + ⎜ − = = 14 + ⎝ 100 100 ⎟ ⎠ 100 100 100 100 100 76 19 = 14 = 14 (ñ). 100 25 19 Ответ: Ваня пробежал дистанцию за 14 ñ. 25 68 21 ⎞ 31 68 21 ⎛ 31 + 13 + 10 = (15 + 13 + 10) + ⎜ + + 15 = ⎝ 100 100 100 ⎟ ⎠ 100 100 100 120 6 1 1 = 38 + = 38 + = 38 + 1 = 39 (ñ). 100 5 5 5 1 Ответ: в эстафете команда имела результат 39 ñ. 5 1 1 3+4 1 1 4+5 б) а) + = ; + = ; 4 3 12 5 4 20 1 1 5+6 1 1 4+7 г) в) + = ; + = . 6 5 30 7 4 28 1 1 5+8 1 1 2+9 б) а) + = ; + = ; 8 5 40 9 2 18 1 1 3 + 11 1 1 2 + 15 г) в) + = ; + = . 33 30 11 3 15 2 1 1 1+2 1 1 4 +3 а) + = ; + = ; 12 6 12 3 4 12 1 1 1+ 6 1 1 3+1 1 1 3+6 1 1 2+9 б) + = ; + = ; + = ; + = ; 18 6 18 6 18 18 6 3 18 9 2 18 1 1 10 + 3 1 1 6 + 5 1 1 2 + 15 1 1 1+ 6 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 3 10 5 6 30 15 2 30 5 30 30 30 1 1 1+ 8 1 1 8 + 4 1 1 1+2 1 1 2 + 16 г) + = . + = ; + = ; + = ; 32 32 4 32 4 8 32 32 16 32 16 2 в) 2 471. 472. 473. 474. 475.
  • 77. 412 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1 1 5+9 1 1 3 + 15 1 1 1+ 9 1 1 1 + 15 + = ; + = ; + = ; + = ; 9 5 45 15 3 45 5 45 45 3 45 45 1 1 1+ 8 1 1 2 + 20 1 1 1+ 4 1 1 8 +5 б) + = ; + = ; + = ; + = ; 40 40 5 40 20 2 40 10 40 5 8 40 1 1 1+2 1 1 8 +3 1 1 4 + 6 1 1 1+ 8 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 24 12 24 3 8 24 6 4 24 24 3 24 1 1 3 + 12 1 1 1+3 1 1 1+ 4 1 1 9+1 г) + = ; + = ; + = . + = ; 12 3 36 12 36 36 9 36 4 36 36 36 1 2 1 477. а) 1 ìèí = ÷; 2 ìèí = ÷= ÷; 60 60 30 10 1 20 1 10 ìèí = ÷ = ÷; 20 ìèí = ÷ = ÷; 60 6 60 3 5 30 1 15 1 1 ÷= ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; 30 ìèí = ÷ = ÷; б) 5 ìèí = 60 60 12 60 4 2 45 3 45 ìèí = ÷ = ÷; 60 4 12 1 24 2 48 4 в) 12 ìèí = ÷ = ÷; 24 ìèí = ÷ = ÷; 48 ìèí = ÷ = ÷; 60 5 60 5 60 5 1 10 1 300 1 г) 1 ñ = ÷; 10 ñ = ÷= ÷= ÷; 300 ñ = ÷; 3600 3600 360 3600 12 600 1 600 ñ = ÷ = ÷. 3600 6 1 60 ìèí 1 60 ìèí 478. ÷= = 1 ìèí; ÷= = 3 ìèí; 60 60 20 20 1 60 ìèí 1 60 ìèí ÷= = 30 ìèí. ÷= = 20 ìèí; 2 2 3 3 476. а) Контрольные задания 1 1⎞ 6 2 2 5 ⎛ 5 =3+ =3+ =3 ; +2 = (1 + 2) + ⎜ + ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 15 15 5 5 15 7 3 3⎞ 4 1 1 ⎛ 7 =2+ =2 ; б) 3 − −1 = (3 − 1) + ⎜ ⎟ =2+ ⎝ 12 12 ⎠ 12 12 12 3 3 11 8 19 4 4 ⎛ 11 8 ⎞ в) 1 =3+ = 3+1 =4 ; +2 = (1 + 2) + ⎜ + ⎝ 15 15 ⎟ ⎠ 15 15 15 15 15 7 11 19 11 8 8 2 ⎛ 19 11⎞ г) 3 = = . −2 = (2 − 2) + ⎜ − −2 =2 ⎟ =0+ ⎝ 12 12 ⎠ 12 12 12 12 12 12 3 1. а) 1
  • 78. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 413 § 26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число 481. а) в) 5 5 ⋅ 3 15 1 ⋅3 = = =2 ; 7 7 7 7 б) 2 2 ⋅ 5 10 ⋅5 = = = 2; 5 5 5 3 3⋅2 6 ⋅2 = = ; 7 7 7 г) 4 4 ⋅ 4 16 1 ⋅4 = = =1 . 15 15 15 15 482. а) 6 ⋅ в) 7 ⋅ 483. 10 ⋅ 8 6 ⋅ 8 48 9 = = =3 ; 13 13 13 13 б) 8 ⋅ 1 12 8 ⋅ 12 96 = = =5 ; 19 19 19 19 3 7 ⋅ 3 21 5 = = =2 ; 8 8 8 8 г) 9 ⋅ 4 9⋅4 6 2 = =2 =2 . 5 15 15 5 1 10 ⋅ 1 1 (часть). = = 100 100 10 Ответ: за 10 ч Валера успеет изучить 1 часть пособия. 10 1 10 ⋅ 1 10 = = = 1. 10 10 10 Ответ: за 10 мин Сережа очистит всю дорожку. 484. 10 ⋅ 1 ÷; 3 2 3⋅2 6 2 = = = 2) 3 ⋅ (запасов) — съели за 1 час. 15 15 15 5 485. 1) 20 ìèí = 2 всех запасов Кролика, 5 2 5 2 3 — это меньшая часть его запасов, так как осталось: 1 − = − = 5 5 5 5 2 бîльшая часть, чем . 5 Ответ: за час Вини-Пух с Пяточком съели 486. 1) 10 ⋅ 1 10 ⋅ 1 1 (часть) — пролетит самолет за 10 с; = = 1000 1000 100 2) 187 ˜ 1000 187 000 (м) 187 (км). Ответ: за 10 с самолет пролетит 1 часть расстояния между 100 городами А и В, расстояние между городами А и В равняется 187 км. 487. а) 5 ⋅ 1 5 ⋅1 5 1 (часть); = = = 20 20 20 4 б) 10 ⋅ 1 10 ⋅ 2 1 (часть) — за 10 мин; = = 20 20 2
  • 79. 2002–2011 гг. 414 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1 часть составляет 30 г, тогда в горшочке было: 30 ˜ 20 600 (г) 20 меда; 1 20 ⋅ 1 20 г) 20 ⋅ = = = 1. 20 20 20 Значит, за 20 мин Винни-Пух съел все содержимое горшочка с медом. 30 мин – 20 мин 10 мин. Поэтому, 10 мин Винни-Пух шел с пустым горшочком. в) 1 часть 30 мин, тогда Винни-Пух с пустым 3 1 часть пути. горшочком шел 3 488. Примем объем танка для хранения нефти за 1, тогда за 1 час один 10 мин — это 1 1 часть танка, а другой — часть. 4 16 1 1 4 1 5 (часть) — за 1 час заполнят оба насоса; + = + = 1) 4 16 16 16 16 5 3 ⋅ 5 15 (часть). 2) 3 ⋅ = = 16 16 16 15 Ответ: за 2 ч будет заполнено части танка, если оба насоса 16 будут включены одновременно. 489. Примем партию деталей за 1, тогда фрезеровщик за 1 час обработает насос заполнит 1 1 часть партии, а его ученик — часть. 3 6 1 1 1 2 3 1 1) + = + = = (часть); 6 3 6 6 6 2 1 2⋅1 2 2) 2 ⋅ = = = 1. 2 2 2 Ответ: да, за 2 часа фрезеровщик и его ученик успеют обработать партию деталей, если будут работать одновременно. 6 6:2 3 :2 = = ; 7 7 7 15 15 : 3 5 3) :3 = = ; 34 34 34 5 5 5 492. а) :6 = = ; 11 11 ⋅ 6 66 3 3 3 в) :4 = = . 7 7 ⋅ 4 28 491. 1) 8 8:4 2 :4 = = ; 25 25 25 5 5:5 1 4) : 5 = = . 8 8 8 4 4 4 б) :7 = = ; 5 5 ⋅ 7 35 2)
  • 80. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 493. 1) 1 − 2) 1 2 1 1 = − = (часть) — осталось пиццы; 2 2 2 2 1 1 1 :4 = = (часть). 2 2⋅4 8 Ответ: каждому из гостей досталась 494. 1) 2) 1 часть пиццы. 8 3 3:3 1 (часть) — колбасы; :3 = = 8 8 8 1 1 1 (часть) — хлеба. :3 = = 4 4 ⋅ 3 12 Ответ: каждому из друзей досталась и 415 1 часть батона колбасы 8 1 часть батона хлеба. 12 6 6:2 3 :2 = = ; 7 7 7 б) 1 1 1 :2 = = ; 7 7 ⋅ 2 14 в) 3 15 15 : 5 :5 = = ; 11 11 11 г) 17 17 17 :5 = = . 11 11 ⋅ 5 55 496. а) 4 24 24 : 6 :6 = = ; 25 25 25 б) 17 17 17 :3 = = ; 31 31 ⋅ 3 93 в) 16 16 16 :5 = = ; 19 19 ⋅ 5 95 г) 18 18 : 9 2 :9 = = . 23 23 23 495. а) 497. 1) 5 5 5 (м/мин); :6 = = 9 9 ⋅ 6 54 2) 9 ⋅ 5 9 ⋅ 5 45 5 (м). = = = 54 54 54 6 Ответ: скорость гусеницы равняется преодолеет 498. 1) 5 м/мин, за 9 мин гусеница 54 5 м. 6 2 1 2 2 (часть) — за 1 день; : 10 = = = 3 3 ⋅ 10 30 15 2) 15 ⋅ 1 15 ⋅ 1 15 = = = 1. 15 15 15 1 часть дров: 15 за 15 дней он успеет заготовить все необходимое на зиму количество дров. Ответ: за 1 день Кот Матроскин успевал заготовить
  • 81. 2002–2011 гг. 416 3 3 3 1 (часть) — за 1 с; : 21 = = = 10 10 ⋅ 21 210 70 1 1 ⋅ 60 60 6 (часть). 2) ⋅ 60 = = = 70 70 7 70 6 Ответ: за 1 мин заполнится бензобака. 7 1 2 2 (часть) — за 1 день; = 1) : 3 = 7 7 ⋅ 3 21 2 2 ⋅ 5 10 (часть). 2) ⋅5 = = 21 21 21 10 Ответ: за 5 дней смогут прополоть поля. 21 1 1 ⋅ 10 10 ⋅ 10 = = = 1; 1 ˜ 10 10; 10 10 10 1 1 ⋅ 10 1 1 ⋅ 10 10 1 10 1 ⋅ 10 = = = ; ⋅ 10 = = = ; 100 100 100 10 1000 1000 1000 100 1 ⋅ 10 10 1 1 ⋅ 10 = = = . 10 000 10 000 1000 10 000 1 1 1 1 1 1 1 1 : 10 = ; : 10 = = ; : 10 = = ; 10 ⋅ 10 100 100 100 ⋅ 10 1000 10 10 1 1 1 1 1 1 : 10 = = ; : 10 = = . 1000 1000 ⋅ 10 10 000 10 000 10 000 ⋅ 10 100 000 5 5 ⋅ 3 15 5 1 ⎛ 1 4⎞ ⎛ 1 2⎞ = = =2 ; а) ⎜ + ⎟ ⋅ 3 = ⎜ + ⎟ ⋅ 3 = ⋅ 3 = ⎝ 6 6⎠ ⎝ 6 3⎠ 6 6 6 2 2 2⎞ 4⎞ 13 13 1 13 ⎛ 17 ⎛ 17 б) ⎜ : 13 = ⎜ : 13 = : 13 = = = − − ; ⎝ 30 30 ⎟ ⎠ ⎝ 30 15 ⎟ ⎠ 30 30 ⋅ 13 390 30 7 7 7 ⎛ 1 6⎞ ⎛ 1 3⎞ ; = в) ⎜ + ⎟ : 5 = ⎜ + ⎟ : 5 = : 5 = ⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 4⎠ 8 8 ⋅ 5 40 13 13 ⋅ 4 52 7 ⎛ 12 1 ⎞ ⎛ 4 1⎞ г) ⎜ + ⎟ ⋅ 4 = ⎜ ⋅4 = = =5 . + ⎟ ⋅4 = ⎝ 9 ⎝ 3 9⎠ 9⎠ 9 9 9 9 1 1⋅5 5 1 ⎛ 3 2⎞ ⎛ 3 1⎞ а) ⎜ − ⎟ ⋅ 5 = ⎜ − ⎟ ⋅ 5 = ⋅ 5 = = =1 ; ⎝ 4 4⎠ ⎝ 4 2⎠ 4 4 4 4 8 1⎞ 1⎞ 16 16 : 2 ⎛ 15 ⎛5 :2 = ⎜ :2 = :2 = = ; б) ⎜ + + ⎝ 21 21⎟ ⎠ ⎝ 7 21⎟ ⎠ 21 21 21 1⎞ 2⎞ 5 5 5 1 ⎛ 7 ⎛ 7 в) ⎜ :3 = ⎜ :3 = :3 = = = ; − − ⎝ 10 10 ⎟ ⎠ ⎝ 10 5 ⎟ ⎠ 10 10 ⋅ 3 30 6 1⎞ 1⎞ 2 1 1⋅5 5 ⎛ 3 ⎛1 г) ⎜ − ⋅5 = ⋅5 = ⋅5 = = . − ⋅5 = ⎜ ⎝ 12 12 ⎟ ⎠ ⎝ 4 12 ⎟ ⎠ 12 6 6 6 499. 1) 500. 501. 502. 503. 504. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 82. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 417 Контрольные задания 1) 2 2 ⋅ 6 12 ⋅6 = = = 4; 3 3 3 2) 8 2 8 8 :4 = = = ; 11 11 ⋅ 4 44 11 3) 3 3 3 :5 = = . 7 7 ⋅ 5 35 ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ § 27. Определение угла. Развернутый угол 506. 507. ‘DOA, ‘COB. 508. а) б) СО — общая сторона ‘AOC и ‘BOC, ‘AOB — развернутый; МО — общая сторона ‘KOM и ‘NOM. 510. I способ Если урожай третьего участка уменьшить на 12 ц, то с каждого из трех участков земли картофеля собрали поровну, всего 156 – 12 144 (ц). Тогда с каждого участка собрали 144 : 3 48 (ц) картофеля. Но это количество картофеля, собранное с первого и второго участков. Тогда с третьего участка собрали 48 + 12 60 (ц) картофеля. Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.
  • 83. 418 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ II способ Увеличим урожай первого и второго участка на 12 ц, тогда с каждого из трех участков соберут картофеля поровну, а вместе 156 + 12 ˜ 2 180 (ц). С каждого участка соберут 180 : 3 60 (ц). Но это количество картофеля, собранное с третьего участка. Тогда с первого и второго соберут по 60 – 12 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. III способ Обозначим количество картофеля, собранного с первого и второго участков, х кг; тогда с третьего участка собрали (х + 12) кг, а вместе с трех участков (x + x + x + 12) кг. Но по условию задачи с трех участков вместе собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x + x + x + 12 156; 3x + 12 156; 3x 156 – 12; 3x 144; x 144 : 3; x 48. Итак, получили, что с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 60 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. IV способ Обозначим количество собранного картофеля с третьего участка земли х кг. Тогда с первого и второго участков собрали по (х – 12) ц, а с трех участков вместе — (x – 12 + x – 12 + x) ц. По условию задачи, с трех участков собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x – 12 + x – 12 + x 156; 3x – 12 – 12 156; 3x 180; x 60. Итак, получили, что с третьего участка собрали 60 ц картофеля, а с первого и второго — по 60 – 12 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. 511. 1) х ц; (х + 12) ц; (x + x + x + 12) ц; 2) x + x + x + 12 156; 3) мы найдем массу картофеля, собранного со второго (и первого) участка: x + x + x + 12 156; 3x + 12 156; 3x 156 – 12; 3x 144; x 144 : 3; x 48; 4) со второго участка собрали 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 60 (ц). 512. 1) (х + 27) книг стоит на второй полке; 2) (x + x + 27) книг стоит на двух полках; 3) x + x + 17 185; 2x + 27 185; 2x 185 – 27; 2x 158; x 158 : 2; x 79. Значит, на первой полке стояло 79 книг, а на второй — 79 + 27 106 (книг).
  • 84. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 419 513. Обозначим третье слагаемое буквой х, тогда сумма трех слагаемых — (6485 + (6485 – 4163) + х). По условию задачи, сумма трех слагаемых равна 15 731. Составим уравнение: 6485 + (6485 – 4163) + х 15 731. 6485 + 2322 + х 15 731; 8807 + х 15 731; х 15 731 – 8807; х 6924. 6485 6485 15731 − − + 4163 2322 8807 2322 8807 6924 Итак, третье слагаемое равно 6924. Ответ: 6924 — третье слагаемое. Можно было решить эту задачу по действиям: 1) 6485 − 4163 2322 — второе слагаемое; 2) 6485 + 2322 8807 — сумма первого и второго слагаемых; 3) − 15731 8807 6924 Ответ: 6924 — третье слагаемое. 514. Пусть исходное выражение имело вид: a – b c. Если вычитаемое уменьшить на 262, выражение примет вид: a – (b – 262) c. а) Уменьшаемое уменьшить на 262; б) уменьшаемое уменьшить на 262 + 74 336; в) уменьшаемое уменьшить на 262 – 35 227. Контрольные задания 1. 2. Дополнительные лучи. ‘KAN, ‘KAL, ‘KAM, ‘MAL, ‘LAM, ‘MAN; ‘MAN и ‘KAL — развернутые.
  • 85. 420 3. 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1) ‘СОА — острый, ‘AOD — тупой, ‘COD — развернутый; 2) ‘COA и ‘DOA — прямые, ‘COD — развернутый. § 28. Сравнение углов наложением 516. а) Угол СВА меньше угла MNK, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; б) угол KNM меньше угла CBA, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; в) ‘CBA и ‘KNM равны, так как они совпадают, если их совместить. 517. а) ‘ABC больше ‘A1B1C1; б) ‘B1A1C1, ‘B1C1A1; ‘B1A1C1 меньше ‘A1B1C1; ‘B1C1A1 меньше ‘A1B1C1. 518. 1 способ 1) 135 : 5 27 (км/ч) — общая скорость велосипедистов; 2) 27 – 13 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 2 способ 1) 13 ˜ 5 65 (км) — проехал первый велосипедист за 5 ч; 2) 135 – 65 70 (км) — проехал второй велосипедист за 5 ч; 3) 70 : 5 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 519. Первый — ? на 32 кг тяжелее, чем ⎫ ⎪ Второй — ? на 14 кг легче, чем ⎬ 280 êã ⎪ Третий — ? ⎭ Решение. а) Отколем от первого куска 32 кг, а от третьего — 14 кг, тогда каждый кусок мрамора будет одинаковой массы, а всего останется 280 – (14 + 32) 280 – 46 234 (кг). Масса каждого куска мрамора равна 234 : 3 78 (кг). Но это масса второго куска мрамора. Масса первого — 78 + 32 110 (кг), а третьего — 78 + 14 92 (кг). Ответ: масса первого куска мрамора равна 110 кг, второго — 78 кг, третьего — 92 кг. б) (х + 32) кг — масса первого куска; (х + 14) кг — масса третьего куска; ((x + 32) + x + (x + 14)) кг — масса трех кусков; в) (x + 32) + x + (x + 14) 280; x + 32 + x + x + 14 280; 3x + 46 280; 3x 280 – 46; 3x 234; x 234 : 3; x 78.
  • 86. 421 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ Контрольные задания ‘АОВ меньше ‘ВОС. § 29. Измерение углов 522. ‘MNK 35q; ‘ABC 35q; ‘DEF 140q; ‘FGH 130q. б) ‘MNK 120q — тупой; 523. а) ‘ABC 75q — острый; в) ‘DEF 30q — острый; г) ‘LNP 145q — тупой; д) ‘PST 45q — острый; е) ‘QEH 130q — тупой. 524. ‘ABC 21q; ‘DEF 145q; ‘MNK 40q; ‘FGH 100q. 1 3 1 10 1 50 5 ; 3° ⎯ = ; 10° ⎯ = ; 50° ⎯ = ; 180 180 60 180 18 180 18 30 1 60 1 90 1 б) 30° ⎯ = ; 60° ⎯ = ; 90° ⎯ = ; 180 6 180 3 180 2 120 2 150 5 120° ⎯ = ; 150° ⎯ = ; 180 3 180 6 45 1 135 3 80 4 в) 45° ⎯ = ; 135° ⎯ = ; 80° ⎯ = ; 180 4 180 4 180 9 12 1 12° ⎯ = ; 180 15 526. а) 1° ⎯
  • 87. 2002–2011 гг. 422 15 1 18 1 36 1 = ; 18° ⎯ = ; 36° ⎯ = ; 180 12 180 10 180 5 20 1 20° ⎯ = . 180 9 г) 15° ⎯ 527. а) 1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 45°; 2 2 б) 1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 30°; 3 3 в) 2 2 2 ⋅ 90° прямого угла: ⋅ 90° = = 60°; 3 3 3 г) 1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 45°; 4 4 д) 1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 60°; 3 3 3 развернутого угла: 4 3 3 ⋅ 180° ⋅ 180° = = 135°. 4 4 528. а) 15q ˜ 10 150q; в) 12q : 6 ˜ 7 14q; б) 8q : 2 ˜ 5 20q; г) 18q : 9 ˜ 11 22q. 529. 1) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин 3 ч; 2) 60 ˜ 6 360 (км); 3) 537 – 360 177 (км); 4) 177 : 3 59 (км/ч). Ответ: скорость второго поезда равна 59 км/ч. е) ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 88. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 423 530. 1) 165 – 105 60 (р.) — разница стоимости куска ситца и бязи; 2) 60 : 4 15 (м) — длина куска ситца и бязи; 3) 105 : 15 7 (р.) — цена 1 м ситца; 4) 7 + 4 11 (р.) — цена 1 м бязи. Ответ: в каждом куске ситца и бязи по 15 м ткани; 1 м бязи стоит 11 р., а 1 м ситца — 7 р. Контрольные задания 1. ‘MNL ‘MNK – ‘KNL 180q – 65q 115q. 2. ‘ABC 70q — острый; ‘MNK 90q — прямой; ‘CDE 130q — тупой. § 30. Биссектриса угла 531. 533. а) 8 углов; из них 4 развернутых угла; б) пусть при пересечении двух прямых образовались углы 1; 2; 3; 4. ‘1 ‘2; ‘3 ‘4; а также еще четыре развернутых угла: 5; 6; 7; 8; ‘5 ‘6 ‘7 ‘8 180q. Пусть ‘1 80q. ‘1 + ‘3 180q, ‘3 180q – ‘1 180q – 80q 100q. Значит, ‘1 ‘2 80q, ‘3 ‘4 100q. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 80q, 100q, 80q, 100q и четыре развернутых угла. 534. 1) 180q – 25q 155q. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 25q, 155q, 25q, 155q. 535. Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, а диагональ прямоугольника не является биссектрисой его угла. Биссектриса делит развернутый угол на два равных прямых угла: 180q : 2 90q. 536. 1) Можно провести диагональ клетки в тетради.
  • 89. 2002–2011 гг. 424 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 537. ‘AOC, ‘AOB, ‘BOC — тупые. Четыре угла с таким условием построить нельзя, так как сумма четырех тупых углов будет больше 360q. 538. Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых (не считая развернутых) равна 360q. 360q : 4 90q. Поэтому, если провести 4 луча, то все образовавшиеся углы не будут острыми. Значит, нужно провести 5 лучей. ‘BOC — прямой, целиком расположен внутри развернутого угла AOD, при этом ‘AOB и ‘DOC — острые, ‘AOB 43q, ‘DOC 45q. 540. ‘MON + ‘NOA 75q + 105q 180q, значит, лучи OM и OA могут быть дополнительными. ‘NOA + ‘AOB 105q + 75q 180q, значит, лучи ON и ОВ могут быть дополнительными. 541. OK — биссектриса угла MOC, OP — биссектриса угла CON. ‘KOP 45q, так как: ‘KOP ‘KOC + ‘POC 1 1 ∠MOC + ∠CON = 2 2 1 = (∠MOC + ∠CON ) = 2 1 1 = ∠MON = ⋅ 90° = 45°. 2 2 542. а) 425 ˜ 17 + 3008 1) × + 435 17 10 403; 2) 3045 435 + 7395 3008 10403 7395 б) 435 ˜ (17 + 3008) 3008 1) + 17 3025 1 315 875; 2) × 3025 425 15125 + 9075 12100 1315875
  • 90. 425 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ в) 27 ˜ 64 + 89 ˜ 502 27 1) × 64 108 + 162 1728 46 406; 2) 502 × 89 + + 44678 1728 46406 4518 4016 44678 г) 27 ˜ (64 + 89) ˜ 502 2 973 762; 153 2) 1) 67 × + 27 89 153 3) 1071 + 306 4131 3) × + 4131 502 8262 20655 2073762 543. Примем всю работу за 1, тогда первая мастерская выполнит за 1 день 1 1 1 часть; третья — часть всей работы; вторая — часть. 24 16 48 1 1 1 6 4 2 6 + 4 + 2 12 1 (часть) — + + = + + = = = 1) 16 24 48 96 96 96 96 96 8 выполнят за 1 день три мастерские, работая одновременно. 2) Значит, всю работу три мастерские, работая одновременно, выполнят за 8 дней. 1 1⋅ 8 8 1 3) ⋅8 = = = (часть) — выполнит первая мастерская; 16 16 16 2 1 1 ⋅ 960 4) ⋅ 960 = = 480 (книг) — переплетет первая мастерская; 2 24 1 1⋅ 8 1 5) ⋅8 = = (часть) — выполнит вторая мастерская; 24 24 3 1 1 ⋅ 960 6) ⋅ 960 = = 320 (книг) — переплетет вторая мастерская; 3 3 1 1⋅ 8 1 (часть) — выполнит третья мастерская; 7) ⋅8 = = 48 48 6 1 1 ⋅ 960 6) ⋅ 960 = = 160 (книг) — переплетет третья мастерская. 6 6 Ответ: за 8 дней три мастерские, работая одновременно, выполнят всю работу, причем первая успеет переплести 480 книг, вторая — 320 книг, третья — 160 книг; распределить книги между мастерскими, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок, нельзя. 544. 2) Обозначим буквой х количество зерна на втором элеваторе, тогда на первом элеваторе было 3х т зерна. Если с первого элеватора вывезти 850 т, то на нем останется: (3х – 850) т, если со второго
  • 91. 2002–2011 гг. 426 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ элеватора вывезти 150 т, то на нем останется: (х – 150) т. Так как после этого на обоих элеваторах зерна осталось поровну, составим уравнение: 3x – 850 x – 150. 1) 850 – 150 700 (т); 2) 700 : 2 350 (т) — на втором элеваторе; 3) 350 ˜ 3 1050 (т) — на первом элеваторе. Ответ: на первом элеваторе было 1050 т зерна. Контрольные задания 1 Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий данный угол на два равных угла. 2. Луч BK — биссектриса ‘ABC; ∠ABK = ∠CBK = 1 1 ∠ABC = ⋅ 70° = 35°. 2 2 § 31. Треугольник 546. 1) ‘ABC 45q + 30q 75q; 2) 120q 90q + 30q; 105q 60q + 45q; 15q 45q – 30q; 3) 135q 90q + 45q; 150q 90q + 60q; также можно построить углы по 30q; 60q; 45q; 90q. 547. 1) 8 + 12 20 (чел.) — размещаются в 1-ой 8-местной и в 1-ой 12-местной шлюпках одновременно; 2) 340 : 20 17 (шлюп.) — количество шлюпок; 3) 17 ˜ 8 136 (чел.) — всего в 8-местных шлюпках; 4) 17 ˜ 12 204 (чел.) — всего в 12-местных шлюпках. Ответ: в 8-местных шлюпках могут разместиться 136 человек, а в 12-местных — 204 человека. 548. 1) 240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 30 – 15 + 18 15 + 18 33; − 566 32 52 18 − 256 256 0
  • 92. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 427 б) ((160 240 : 8 + 7 997 000 : 100) : 1000 ˜ 7 + 947) ˜ 100 164 7000; 2) 7 997 000 : 100 79 970; 1) 160240 8 − 16 20030 − 024 24 0 3) + 4) 100 000 : 1000 79970 20030 100; 100000 5) 100 ˜ 7 700; 6) + 947 700 7) 1647 ˜ 100 164 700. 1647 550. Обозначим массу одного апельсина х г. 7 ˜ х + 2 ˜ 200 2 ˜ 1000 + 500; 7х + 400 2500. 551. 3) (х + 45) м — количество ткани, которое было в куске сатина зеленого цвета; 2х м — количество ткани, оставшейся в куске сатина синего цвета; (28 + 2х) м — количество ткани, которое было в куски сатина синего цвета. б) х + 45 2х + 28. 552. а) AB = x ñì; ⎫ ⎪ B C = 2x ñì; ⎬ PΔAB C ⎯ ? A C = (2x − 7) ñì;⎪ ⎭ P'ABC AB + BC + AC; P'ABC x + 2x + (2x – 7) x + 2x + 2x – 7 б) AB = y ñì; ⎫ ⎪ B C = 4y ñì; ⎬ PΔAB C ⎯ ? A C = (4y − 10) ñì;⎪ ⎭ 553. а) б) 554. а) б) 5x – 7 (см); P'ABC AB + BC + AC; P'ABC y + 4y + (4y – 10) y + 4y + 4y – 10 9y – 10 (см). 5x – 7 68; 5x 68 + 7; 5x 75; x 75 : 5; x 25. Значит, АВ 15 м; ВС 2 ˜ 15 30 (м); АС 30 – 7 23 (м). 9y – 10 197; 9y 197 + 10; 9y 207; y 207 : 9; y 23. Значит, АВ 23 см; ВС 4 ˜ 23 92 (см); АС 92 – 10 82 (см). MN a см; NK (a – 30) см; KM 4(a – 30) см. P'MNK MN + NK + KM; P'MNK a + (a – 30) + 4(a – 30); MN b см; NK (b + 12) см; KM 2b см. P'MNK MN + NK + KM; P'MNK b + (b + 12) + 2b b + b + 12 + 2b 4b + 12.
  • 93. 2002–2011 гг. 428 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 555. а) a + (a – 30) + 4(a – 30) 108; a + a – 30 + 4a – 120 108; a + a + 4a – (30 + 120) 108; 6a – 150 108; 6a 108 + 150; 6a 258; a 258 : 6; a 43. Значит, MN 43 см; NK 43 – 30 13 (см); KM 4 ˜ 13 52 (см). Ответ: MN 43 см; NK 13 см; KM 52 см. б) b + b + 12 + 2b 164; 4b + 12 164; 4b 164 – 12; 4b 152; b 152 : 4; b 38. Значит, MN 38 см; NK 38 + 12 50 (см); KM 2 ˜ 38 76 (см). Ответ: MN 38 см; NK 50 см; KM 76 см. 559. а) ((24 ˜ 250 + 18 ˜ 350) : 60 ˜ 40 + (44 ˜ 4500 + 108 ˜ 1500) : 20) : 40 655; 1) 3) 6000 2) 18 44 + × × 6300 350 4500 + 6300 198000 4) − 12300 60 12 205 5) × 6) 205 40 8200 030 30 − 12300 90 + 54 220 176 × 108 1500 198000 8) + 198000 162000 360000 540 + 108 162000 10) + 18000 8200 26200 44 4500 220 + 176 0 7) × 9) − 360000 20 2 18000 − 16 16 0 11) − 26200 40 24 655 − 22 20 − 20 20 0
  • 94. 429 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ б) (64 ˜ 125 + 128 ˜ 75) : 800 ˜ 5000 – (300 ˜ 400 + 5107 ˜ 800) : 70 49 920; 1) × 125 64 2) 500 + 750 8000 17600 800 4) − 16 22 − × + 128 75 3) + 9600 8000 17600 640 896 9600 5) 22 × 5000 6) 300 ˜ 400 120 000; 110000 16 16 0 7) × 5107 800 4085600 8) + 4085600 120000 4205600 9) − 4205600 70 42 60080 − 056 56 0 10) 110000 − 60080 49920 560. а) 1 способ — алгебраический. Обозначим меньшее число х, тогда бîльшее число — (х + 200). Так как сумма этих чисел равна 790, составим уравнение: x + x + 200 790; 2x + 200 790; 2x 790 – 200; 2x 590; x 590 : 2; x 295. Значит, меньшее число — 295, а большее — 295 + 200 495. Ответ: искомые числа 295 и 495. 2 способ — арифметический. 1) 790 – 200 590 — сумма двух равных чисел; 2) 590 : 2 295 — меньшее число; 3) 295 + 200 495 — бîльшее число. Ответ: искомые числа 295 и 495. б) 1 способ — алгебраический. Обозначим количество гирь по 5 кг х штук, тогда гирь по 3 кг было (24 – х) штук. Так как на одну чашу весов поставлены гири массой по 5 кг, а на другую — по 3 кг, а весы находятся в равновесии, составим уравнение: 5x 3(24 – x); 5x 72 – 3x; 5x + 3x 72; 8x 72; x 72 : 8; x 9.
  • 95. 2002–2011 гг. 430 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Значит, гирь массой по 5 кг было 9 штук, а по 3 кг — 24 – 9 15 (штук). Ответ: на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг. 2 способ — арифметический. 1) 3 ˜ 24 72 (кг) — масса 24 гирь по 3 кг; 2) 3 + 5 8 (кг) — масса 1 гири по 3 кг и 1 гири по 5 кг вместе; 3) 72 : 8 9 (шт.) — количество гирь по 5 кг; 4) 24 – 9 15 (шт.) — количество гирь по 3 кг. на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг. 561. а) 1 563. 564. 565. б) 5 1 1 5 +2 =7 ; 2 8 8 8 20 7 6 1 г) 2 + 3 = 6. +2 =5 ; 32 32 8 8 4 2) Не существует треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 5 см, потому что 2 см + 3 см 5 см, то есть вместо треугольника мы получим отрезок длиной 5 см, разделенный на две части длиной 2 см и 3 см. От 4 см до 14 см, не включая 4 см и 14 см, например, 4 см 2 мм, или 10 см, или 13 см 9 см и т. д. — Если a 8, b 7, c 12, то 12 < 8 + 7; 7 < 12 + 8. Значит, треугольник со сторонами a 8, b 7, c 12 существует; — если a 3, b 14, c 10, то 3 < 14 + 10; 14 > 3 + 10; 10 < 3 + 14; 14 < 3 + 10; значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 5, b 11, c 9, то 5 < 11 + 9; 9 < 5 + 11; 11 < 5 + 9, значит, треугольник с данными сторонами существует; — если a 21, b 6, c 13, то 21 > 6 + 13; 6 < 21 + 13; 13 < 21 + 6; 21 > 6 + 13, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 11, b 21, c 10, то 11 < 21 + 10; 21 11 + 10; 10 < 21 + 11; 21 11 + 10, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 10, b 22, c 11, то 22 > 10 + 11; 10 < 22 + 11; 11 < 10 + 22; 22 > 10 + 11, значит, треугольник с данными сторонами не существует. а) нельзя, так как 10 см + 10 см < 30 см; б) можно, так как 30 см + 40 см > 50 см, 40 см + 50 см > 30 см, 50 см + 30 см > 40 см; в) можно, так как 8 см 8 мм + 29 см 12 мм > 21 см 5 мм, 8 см 8 мм + 21 см 5 мм > 29 см 12 мм, 29 см 12 мм + 21 см 5 мм > > 8 см 8 мм; г) нельзя, так как 238 см 7 мм + 432 см 6 мм 691 см 3 мм, 671 см 3 мм < 781 см 4 мм. в) 3 562. 1 2 3 + =1 ; 4 4 4
  • 96. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 431 Контрольные задания 1. Угольник с углами 90q, 60q, 30q и угольник с углами 90q, 45q, 45q. 2. 75q 45q + 30q; 135q 90q + 45q; угол 25q при помощи угольника построить нельзя. 3. Прямоугольным называют треугольник, в котором есть прямой угол. Тупоугольным называют треугольник, в котором есть тупой угол. Остроугольным называют треугольник, в котором все углы острые. прямоугольный тупоугольный остроугольный 4. P'ABC AB + BC + AC; P'ABC 1 см 6 мм + 2 см 1 мм + 2 см 7 мм 6 см 4 мм. § 32. Площадь треугольника 566. Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти половину площади прямоугольника ABCD. 567. а) SABCD AB ˜ AD; SABCD 10 мм ˜ 26 мм 260 мм2; S'ABD 260 : 2 130 (мм2); б) S'ADC SABCD : 2 (AD ˜ DC) : 2 (26 ˜ 15) : 2 390 : 2 195 (мм2); в) S'ABD SABCD : 2 (AB ˜ AD) : 2 (13 ˜ 34) : 2 442 : 2 221 (мм2); г) S'ABC SABCD : 2 (AB ˜ BC) : 2 (27 ˜ 26) : 2 702 : 2 351 (мм2). 568. S'ABC S'ABD + S'BDC (AD ˜ BD) : 2 + (DC ˜ BD) : 2 (AD ˜ BD ˜ DC ˜ BD) : 2 (BD ˜ (AD + BC)) : 2 (BD ˜ AC) : 2. Значит, S'ABC (BD ˜ AC) : 2. 569. а) (15 ˜ 20) : 2 150 (мм2); б) (22 ˜ 19) : 2 418 : 2 209 (мм2); в) (18 ˜ 23) : 2 414 : 2 207 (мм2); г) (21 ˜ 22 ) : 2 462 : 2 231 (мм2). 571. а) S'ADC (16 ˜ 27) : 2 216 (мм2); б) S'MNK )19 « 20) : 2 190 (мм2); в) S'ABC (16 ˜ 25) : 2 200 (мм2); г) S'MNK (18 ˜ 21) : 2 189 (мм2). 572. а) Третья сторона треугольника может быть меньше 23 см, но больше 9 см; б) третья сторона треугольника может быть меньше 69 см 3 мм, но больше 25 см 9 мм; в) третья сторона треугольника может быть меньше 17 см, но больше 7 см; г) третья сторона треугольника может быть меньше 10 см 1 мм, но больше 5 см 5 мм. 573. а) 8 см (4 см нельзя взять, потому что тогда 4 + 4 8 (см), то есть треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 8 см не существует). б) 13 см (так как 6 + 6 < 13); в) 37 см (так как 18 см 4 мм + 18 см 4 мм < 37 см); г) 23 см 4 мм (так как 11 см 7 мм + 11 см 7 мм 23 см 4 мм).
  • 97. 2002–2011 гг. 432 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 574. Расстояние между точками А и С может быть больше 18 см, но меньше 30 см. Тогда расстояние между точками А и D может быть больше 12 см, но меньше 36 см. 24 см C B 6 см 7 см А D 575. а) Точка K не лежит на отрезке MN, то есть точки K, M, N — вершины 'MNK, так как: KM < MN + KN (23 см < 75 см + 57 см); MN < KM + KM (75 см < 23 см + 57 см); KN < KM + MN (57 см < 23 см + 75 см). б) Точка М лежит на отрезке KN, так как KM + MN KN (49 см + 37 см 86 см). 576. а) Конфеты I сорта Конфеты II сорта 23 см N 37 см M 86 см Цена 1 кг Количество Стоимость 96 р. 40 кг (40 ˜ 96) р. 78 р. ? кг ? р. } 6570 ð. Решение. 96 1) × 40 3840 (р.) — стоят 40 кг конфет I сорта; 2) 3) − 6570 3840 2730 (р.) — стоят конфеты II сорта; 2730 78 234 35 (кг) — купили конфет II сорта. 390 − 390 0 Ответ: было куплено 35 кг более дешевых конфет. − б) vа 105 км/ч, tа 2 мин + 10 мин a Sa vм 210 км/ч tм 10 мин Sм 57 см 75 см 49 см K K M vм 15 км/ч m N
  • 98. 433 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ vа скорость автомобиля; tа время автомобиля; vм скорость мотоциклиста; tм время мотоциклиста. Решение. 2 10 ÷; 10 ìèí = ÷; 60 60 12 1 2 ìèí + 10 ìèí = 12 ìèí = ÷ = ÷; 60 5 1 105 ⋅ 1 = 21 (км) — путь автомобиля до разворота 2) 105 ⋅ = 5 5 мотоциклиста; 1) 2 ìèí = 10 210 ⋅ 1 70 = = = 35 (км) — пусть мотоциклиста до его 60 6 2 разворота; 4) 105 + 15 120 (км/ч) — общая скорость мотоциклиста и автомобиля при движении их навстречу друг друга; 5) 35 – 21 14 (км) — разница пути, пройденного мотоциклистом за 10 мин, а автомобилем за 12 мин; 3) 210 ⋅ 14 7 = ÷ = 7 ìèí. 120 60 Ответ: через 7 мин после разворота инспектор повстречает «Оку». 577. а) 395 ˜ 52 – 603 ˜ 25 – 960 : 24 5425; 603 395 1) 3) 960 24 2) − × × 96 40 25 52 6) 14 : 120 = + 790 1975 + 20540 − 15075 5) 5465 − 40 5465 5425 б) 256 ˜ 407 – 33 087 : 298 1) × 256 407 1792 + 1024 104192 0 15075 20540 4) 3015 1206 2) − 104 081; 33078 298 298 − 111 − 104192 111 104081 327 289 − 3) 298 298 0
  • 99. 2002–2011 гг. 434 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3 1 11 8 11 − 8 − = = = ; 15 15 5 15 15 15 9 15 + 9 24 6 г) + = = = . 28 28 28 28 7 3 5 3+5 8 1 + = = = ; 16 16 16 16 2 23 18 23 − 18 5 1 в) − = = = ; 25 25 25 25 5 б) 578. а) Контрольные задания 1. а) S б) S (15 ˜ 32) : 2 (15 ˜ 38) : 2 240 (мм2); 285 (мм2). § 33. Свойства углов треугольника 580. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен аq, то второй — (90q – аq). Тогда острые углы прямоугольного треугольника будут равны: 42q и 90q – 42q 48q; 87q и 90q – 87q 3q; 62q и 90q – 62q 28q; 21q и 90q – 21q 69q; 51q и 90q – 51q 39q; 30q и 90q – 30q 60q; 45q и 90q – 45q 45q. Поэтому бîльший острый угол прямоугольного треугольника равен: 48q, 87q, 62q, 69q, 51q, 60q, 45q. 582. ‘А 28q 180q – (40q + + 78q) 62q 65q 136q ‘В 39q 40q 180q – (65q + + 25q) 90q 44q ‘С Вид 180q – (28q + 78q + 39q) 113q тупоугольный остроугольный 25q прямоугольный 180q – (136q + + 44q) 0q не существует ‘А 180q – (128q + + 54q) 2q 109q 38q 180q – (43q + + 59q) 78q ‘В 128q 180q – (109q + + 90q) 62q 76q 43q ‘С 54q 90q Вид тупоугольный остроугольный 583. ‘А 70q, ‘С 30q, ‘В 80q ‘А + ‘В + ‘С 180q, действительно 70q + 30q + 80q 180q – (38q + + 76q) 66q прямоугольный 59q не существует B 180q. A C M 584. ‘Р 140q, ‘K 23q, ‘M 17q ‘M + ‘P + ‘K 180q, действительно, 140q + 23q + 17q 180q. P K
  • 100. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 435 585. 180q – 2 ˜ 25q 180q – 50q 130q. Ответ: величина третьего угла треугольника равна 130q. 586. 1) 180q – 68q 112q — сумма двух равных углов; 2) 112q : 2 56q. Ответ: искомые углы равны по 56q. 587. ‘N — ? в 2 раза <, чем 3 раза <, чем ⎫ ⎪ ‘N — ? ⎬ 180° ‘K — ? ⎪ ⎭ Решение. Обозначим ‘M xq. тогда ‘N 2xq, ‘K 3xq. Известно, что ‘M + ‘N + ‘K 180q. Составим уравнение: x + 2x + 3x 180; 6x 180; x 30. Значит, ‘M 30q, ‘N 2 ˜ 30q 60q, ‘K 3 ˜ 30q 90q. Ответ: ‘M 30q. ‘N 60q, ‘K 90q. ⎫ на 28q <, чем 588. Первый угол — ? в 2 раза <, чем ⎪ ⎬ 180° Второй угол — ? ⎪ Третий угол — ? ⎭ Решение. 1 способ — арифметический 1) 180q – 28q 152q — сумма четырех равных углов; 2) 152q : 4 38q — величина первого угла — меньшего; 3) 38q ˜ 2 76q — величина второго угла; 4) 38q + 28q 66q — величина третьего угла. Ответ: первый угол равен 38q, второй — 86q, третий — 66q. 2 способ — алгебраический Обозначим первый угол хq, тогда второй — 2хq, третий — (х + 28)q. Сумма всех углов треугольника 180q, составим уравнение: x + 2x + x + 28 180; 4x + 28 180; 4x 180 – 28; 4x 152; x 38. При х 38 2х 2 ˜ 38 76q; при х 38 х + 28 38 + 28 66q. Ответ: первый угол равен 38q, второй — 76q, третий — 66q. 589. ‘С 180q – (‘А + ‘В); ‘С 180q – (45q + 70q) N M 180q – 115q 65q. C Ответ: 65q. 45 ° 70 ° A 590. B ‘Р 180q – (80q + 30q) 180q – 110q 70q. С данными углами можно начертить бесконечно много треугольников (их стороны будут различны). P M 80 ° 30 ° N
  • 101. 2002–2011 гг. 436 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 591. а) Если ‘A ‘C 60q, то ‘B 180q – 2 ˜ 60q 180q – 120q Значит, в 'АВС все углы по 60q, и все стороны равны. 60q. B 60 ° A 60 ° C б) ‘D 180q – (55q + 70q) 55q. Значит, в 'CDE углы С и D равны по 55q, и CE DE. D 70 ° 55 ° A E 592. C D 5 см E 594. ‘АВС 100q; ВА 6 см, ВС 4 см; АС; АС 7 см 8 мм, ‘А 30q, ‘С ‘A + ‘B + ‘C 180q. 50q; B A 593. 1) 2) 3) 4) 5) 70 ° 7 см K B C A D DE 5 см, EK 7 см, ‘DEK 70q. Вывод: чтобы построить треугольник по двум его сторонам и углу между ними, нужно: 1) построить данный угол; 2) на его сторонах отложить отрезки, равные данным сторонам треугольника; 3) соединить полученные на сторонах угла точки отрезком. ‘BAC + ‘B + ‘BCA 180q; ‘CAD + ‘D + ‘ACD 180q; ‘BAC + ‘DAC ‘A; ‘BCA + ‘DCA ‘C. Поэтому ‘A + ‘B + ‘C + ‘D 360q.
  • 102. 437 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 595. а) 32 ˜ 15 32 ˜ (10 + 5) 32 ˜ 10 + 32 ˜ 5 320 + 160 480; 48 ˜ 15 48 ˜ (10 + 5) 48 ˜ 10 + 48 ˜ 5 480 + 240 720; 86 ˜ 15 (80 + 6) ˜ 15 80 ˜ 15 + 6 ˜ 15 1200 + 90 1290; б) 24 ˜ 250 (20 + 4) ˜ 250 20 ˜ 250 + 4 ˜ 250 5000 + 1000 6000; 48 ˜ 250 (40 + 8) ˜ 250 40 ˜ 250 + 8 ˜ 250 10 000 + 2000 12 000; 36 ˜ 250 (30 + 6) ˜ 250 30 ˜ 250 + 6 ˜ 250 7500 + 1500 9000; в) 1200 : 50 24; 1600 : 50 32; 4500 : 50 90; г) 1600 : 25 16 ˜ (100 : 24) 16 ˜ 4 64; 2400 : 25 24 ˜ (100 : 25) 24 ˜ 4 96; 1700 : 25 17 ˜ (100 : 25) 17 ˜ 4 68. 596. а) б) 4 4⋅2 8 4 4 4 2 ⋅2 = = ; :2 = = = ; 15 15 15 15 15 ⋅ 2 30 15 4 4 4 ⋅ 3 12 4 4 4 :3 = = ; ⋅3 = = = ; 15 15 15 5 15 15 ⋅ 3 45 1 10 10 10 10 ⋅ 7 70 10 10 ⋅7 = = = =3 ; :7 = = . 21 21 3 3 21 21 21 ⋅ 7 147 597. а) 128 ˜ 430 + 675 – 34 125 : 375 + 6795 62 419; в) 1) × 2) 128 430 384 + 512 − − 55040 4) − − 0 55715 5) 55624 + 6795 91 712398 3209 2) 15631 203 − 6418 1421 77 222 − 7059 6418 − − 6418 6418 0 0 3) − 222 189 33 4) 1421 1421 + 77 33 110 + 55040 675 55715 375 375 62419 55624 б) 712 398 : 3209 – 189 + 15 631 : 203 1) 3) 34125 375 3375 91 110;
  • 103. 2002–2011 гг. 438 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 598. а) б) в) г) 599. а) б) 600. Площадь фигуры на рисунке 1) меньше площадей фигур на рисунках 2) и 3); а площади фигур на рисунках 2) и 3) равны. Равные периметры имеют фигуры на рисунках 1) и 2); периметр фигуры на рисунке 3) меньше периметров фигура на рисунках 1) и 2). 601. 1) (60 ˜ 2) : (90 – 60) 120 : 30 4 (ч). Ответ: токарь догонит ученика через 4 ч по количеству изготовленных деталей. 2) (60 ˜ 2) : (90 – 60) 120 : 30 4 (ч). Ответ: автобусу потребуется 4 ч, чтобы догнать грузовик. При решении задач получены одинаковые выражения, значит, ситуации, данные в этих двух задачах, описываются одинаковыми математическими моделями.
  • 104. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 439 602. а) 3 ˜ (17 – 13) 3 ˜ 4 12 (пл.). Ответ: за три часа работы первая швея обработает на 12 платьев больше, чем вторая. б) Скорость одного мотоциклиста 17 км/ч, а второй за 1 час проезжает 13 км. На сколько километров больше преодолеет первый мотоциклист, чем второй за 3 ч? Контрольные задания 1. 'АВС — прямоугольный, 'DEF — остроугольный, 'MNK — тупоугольный. 2. Сумма углов треугольника равна 180q. 3. ‘A 180q – (‘B + ‘C) 180q – (45q + 34q) 180q – 79q 101q. § 34. Расстояние между двумя точками. Масштаб 604. 1) Описание маршрута От подъезда Кости до входа в школу От подъезда Насти до входа в школу От подъезда Кости до подъезда Насти Длина маршрута 9 см 9 мм ˜ 2000 19 800 см 198 м 8 см 2 мм ˜ 2000 16 400 см 164 м 7 см 5 мм ˜ 2000 15 000 см 150 м Расстояние 6 см ˜ 2000 12 000 см 120 м 5 см 5 мм ˜ 2000 11 000 см 110 м 4 см 7 мм ˜ 2000 9400 см 94 м 2) В каждом случае длина маршрута больше, чем расстояние. 605. 1 способ — арифметический 1) 8 ˜ 15 120 (мест) — дополнительные места в 8 автобусах; 2) 360 – 120 240 (мест) — в поданых 8 автобусах; 3) 240 : 8 30 (мест) — в одном автобусе. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 2 способ — алгебраический Пусть в каждом из поданых автобусов было по х мест. Тогда в каждом автобусе могло быть по (х + 15) мест, а в 8 автобусах вместе — 8 ˜ (х + 15) мест. По условию в таких автобусах могло бы разместиться 360 человек. Составим уравнение: 8(x + 15) 360; x + 15 360 : 8; x + 15 45; x 45 – 15; x 30. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 606. 1) 1872 − 1440 432 (р.) — разница стоимости сельди в бочонках; 2) 432 12 − 36 36 (р.) — цена 1 кг сельди; − 72 72 0
  • 105. 2002–2011 гг. 440 3) − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1440 36 144 40 (кг) — масса сельди в одном бочонке; 0 4) 40 + 12 52 (кг) — масса сельди в другом бочонке. Ответ: в первом бочонке — 40 кг сельди, а во втором — 52 кг. 607. а) 1) 12 + 6 18 (м) — можно было бы купить ткани; 2) 18 ˜ 2 36 (р.) — стоят 6 м ткани; 3) 36 : 6 6 (р.) — стоит 1 м ткани. Ответ: цена 1 м ткани равняется 6 р. б) (x – 2) р. — новая цена ткани; (12х) р. или 18 ˜ (х – 2) р. Получим уравнение: 12x 18(x – 2). При x 6 12x 12 ˜ 6 72 (р.); 18(x – 2) 18 ˜ (6 – 2) 18 ˜ 4 72 (р.); 72 72. Контрольные задания Чтобы найти расстояние между двумя точками, нужно провести отрезок прямой с концами в этих точках. § 35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые 609. Н. 16 ˜ 2 – 32 0; К. 18 – 51 : 3 18 – 17 1; Л. 36 : 2 – 48 : 2 18 – 16 2; И. 17 ˜ 3 – 24 ˜ 2 51 – 48 3; Р. 35 ˜ 2 – 7 ˜ 9 70 – 63 7; Е. (28 + 26) : 6 54 : 6 9; Д. 14 ˜ 3 – 111 : 3 42 – 37 5; Я. 103 ˜ 2 – 99 ˜ 2 206 – 198 8; П. 72 – 17 ˜ 4 72 – 68 4; У. 16 ˜ 4 – 116 : 2 64 – 58 6. 4 П 9 Е 7 Р 4 П 9 Е 610. AD A a; BE A a. 612. N K 5 Д 3 И 1 К 6 У 2 Л 8 Я 7 Р AN A AB, AN 1 см 2 мм; NK A BC, NK 1 см 4 мм. AN и NK — расстояние от точки N до сторон угла АВ и ВС соответственно. A B 0 Н C
  • 106. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 613. A а) KN A AB, KN 2 см; KM A BC, KM 2 см. KN — расстояние от точки K до стороны угла АВ. KM — расстояние от точки K до стороны ВС. K N B M 441 C б) Нужно опустить перпендикуляр из этой точки на продолжение луча. D 614. 1) AK A a; 2) BD A c. A K a с B 616. а) 1) 11 ˜ 21 231 (р.); 2) 9 ˜ 21 189 (р.); 3) 231 – 189 42 (р.); 4) 16 – 9 7 (р.); 5) 42 : 7 6 (кг); 6) 21 – 6 15 (кг). Ответ: по цене 16 р. за 1 кг нужно взять 6 кг карамели, а по цене 9 р. за 1 кг — 15 кг. б) 1) 19 ˜ 32 288 (р.); 2) 11 р. 40 коп. ˜ 32 364 р. 80 коп.; 3) 364 р. 80 коп. – 288 р. 76 р. 80 коп.; 4) 11 р. 40 коп. – 5 р. 6 р. 40 коп.; 5) 76 р. 80 коп. : 6 р. 40 коп. 12 (мотков); 6) 32 – 12 20 (мотков). Ответ: было приобретено 12 мотков по цене 5 р. и 20 мотков по цене 11 р. 40 коп. 617. а) б) в) г) 618. 1) 2) 3) 4) 7 1 7 4 7 + 4 11 + = + = = ; 16 4 16 16 16 16 25 2 25 8 25 − 8 17 − = − = = ; 36 36 36 9 36 36 5 11 15 11 15 − 11 4 − = − = = ; 7 21 21 21 21 21 1 5 3 5 3+5 8 4 + = + = = = . 6 18 18 18 18 18 9 17 ˜ 3000 51 000 (л); 51 000 + 20 000 71 000 (д); 400 + 800 1200 (л); 1200 ˜ 17 20 400 (л);
  • 107. 2002–2011 гг. 442 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 5) 71 000 – 20 000 50 600 (л). Ответ: насосы успеют откачать воду из трюма, потому что через 17 мин в нем будет 50 600 л воды, а судно может затонуть, если объем воды в трюме превысит 80 000 л. Контрольные задания 1. OB A b. 2. K 3. CK A a. C a AM A m. m M § 36. Серединный перпендикуляр 619. а) AB > BC; б) AB BC; в) AB BC; г) AB BC. 623. 1) 2 ˜ 11 22 (ноги); 2) 30 – 22 8 (ног); 3) 8 : 2 4 (порос.); 4) 11 – 4 7 (петух.). Ответ: по тропинке шло 7 петухов и 4 поросенка. 624. 10 р. + 10 р. : 2 10 р. + 5 р. 15 р. Ответ: 15 р. стоит книга. 625. а) 1 способ — арифметический 1) 115 – 25 90 (кг); 2) 90 : 2 45 (кг); 3) 45 + 25 70 (кг). Ответ: в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. 2 способ — алгебраический Пусть в одном мешке было х кг моркови, тогда в другом мешке — (х + 25) кг. Так как в двух мешках было 115 кг моркови, составим уравнение: x + x + 25 115; 2x + 25 115; 2x 115 – 25; 2x 90; x 90 : 2; x 45. Пусть х 45, х + 25 45 + 25 70 (кг). Ответ: : в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. б) 1 способ — арифметический 1) 98 – 18 80 (м); 2) 80 : 2 40 (м);
  • 108. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 443 3) 40 + 18 58 (м). 2 способ — алгебраический Пусть длина части сетки — х м, тогда длина второй части — (х + + 18) м. Так как длина всей сетки 98 м, составим уравнение: x + x + 18 98; 2x 98 – 18; 2x 80; x 80 : 2; x 40. При х 40, 40 + 18 58 (м). Ответ: сетку-рабицу разрезали на две части длиной 40 м и 58 м. 1 3 5 6 5 + 6 11 + = + = = ; 4 10 20 20 20 20 3 1 18 5 13 б) − = − = ; 5 6 30 30 30 7 2 21 4 17 в) − = − = ; 10 15 30 30 30 5 3 10 9 19 г) + = + = . 12 8 24 24 24 Пусть задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 3x + 15 177; 3x 177 – 15; 3x 162; x 165 : 3; x 54. Ответ: было задумано число 54. Обозначим задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 2x – 48 244; 2x 244 + 48; 2x 292; x 292 : 2; x 146. Ответ: задумали число 146. Обозначим искомое число х, тогда по условию задачи составим уравнение: x : 10 + 99 126; x : 10 126 – 99; x : 10 27; x 27 ˜ 10; x 270. Ответ: искомое число — 270. Пусть во второй фляге было х л молока, тогда в первой — 3х л. По условию задачи составим уравнение: 3x – 15 – (x + 15) 0; 3x – 15 – x – 15 0; 3x – x – 30 0; 2x 30; x 15. При х 15, 3х 3 ˜ 15 45 (л). Ответ: в первой фляге было 45 л молока, а во второй — 15 л. 15 коробок по 14 конфет и 14 коробок по 15 конфет. 626. а) 627. 628. 629. 630. 631. § 37. Свойство биссектрисы угла 633. O O а) Точка О на рис. а) равноудалена от сторон квадрата и расположена на биссектрисе его углов (в точке их пересечения). б) Точка О на рис. б) равноудалена от сторон треугольника и расположена на биссектрисе его угла (т. О — точка пересечения биссектрис углов треугольника).
  • 109. 444 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 634. Нет. 635. Маша и Саша должны стоять внутри этого треугольника в точке пересечения биссектрис его углов. 636. 1 способ — алгебраический Пусть гараж стоит х р., тогда стоимость автомобиля — (2х + 97 300) р. Так как автомобиль и гараж вместе стоят 355 600 р., составим уравнение: x + 2x + 97 300 355 600; 3x 355 600 – 97 300; 3x 258 300; x 258 300 : 3; x 86 100. При х 86 100, 355 600 – х 355 600 – 86 100 269 500 (р.). Ответ: автомобиль стоит 269 500 р. 2 способ — арифметический 1) 355 600 – 97 300 258 300 (р.); 2) 258 300 : 3 86 100 (р.); 3) 355 600 – 86 100 269 500 (р.). 637. 1 способ — арифметический 1) 22 – 14 8 (м) — разница отрезанных кусов ткани; 2) 8 : 2 4 (м) — длина одной из оставшихся частей ткани; 3) 4 + 22 26 (м) — первоначальная длина ткани в куске. 2 способ — алгебраический Подставим полученное в 1 способе решение в это уравнение: 26 – 14 3 ˜ (26 – 22); 12 3 ˜ 4; 12 12. Получим верное равенство. Значит, х 26 является решением данного уравнения. Ответ: в каждом куске первоначально было 26 м ткани. 638. 1 способ — арифметический 1) 112 – 10 102 (р.); 2) 102 : 2 51 (р.); 3) 51 – 14 37 (р.); 4) 112 – 37 75 (р.). 2 способ — алгебраический Пусть у старшего брата было х р., тогда у младшего — (112 – х) р. По условию задачи составим уравнение: x – 14 – 10 112 – x + 14; x – 24 126 – x. Подставим полученное в 1 способе решение х 75 в это уравнение: 75 – 24 126 – 75; 51 51 — верное равенство. Значит, х 75 — решение данного уравнения. При х 75, 112 – 75 37 (р.). Ответ: у младшего брата было первоначально 37 р., а у старшего — 75 р. 639. 1 способ — арифметический 1) 3560 – 920 2640 (т); 2) 2640 : 2 1320 (т); 3) 1320 – 60 1260 (т);
  • 110. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 445 4) 3560 – 1260 2300 (т). 2 способ — алгебраический Пусть у второго предприятия было х т удобрений, тогда у первого — (3560 – х) т. По условию задачи составим уравнение: (3560 – x) – 60 x + 60 + 920; 3500 – x x + 980. Подставим в это уравнение х 1260. 3500 – 1260 1260 + 980; 2240 2240 — верное равенство. Значит, х 1260 является решением данного уравнения. При х 1260, 3560 – 1260 2300 (т). Ответ: на первом предприятии было 2300 т удобрений первоначально, а на втором — 1260 т. 24 3 32 1 б) = ; = . 64 8 64 2 641. Длина встречного поезда 300 м. 640. а) Контрольные задания 1. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла. 2. BD 4 см, ‘ABC 60q, BD — биссектриса A ‘АВС. M DM A AB, DK A BC. DM, DK — расстояние от точки D до D сторон угла. DM DK 2 см. B K C ГЛАВА IV. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 38. Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей 643. 34,6 (тридцать четыре целых шесть десятых); 30,46 (тридцать целых шесть сотых); 33, 046 (тридцать три целых сорок шесть тысячных); 0,346 (ноль целых триста сорок шесть тысячных); 0,0346 (ноль целых триста сорок шесть десятитысячных); 30,406 (тридцать целых четыреста шесть тысячных); 0,0046 (ноль целых сорок шесть десятитысячных).
  • 111. 2002–2011 гг. 446 644. 20,0002 30,7090 82,4 82,40 82,400 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные 2 0 0 0 0 2 3 0 7 0 9 0 8 2 4 8 2 4 0 8 2 4 0 0 0 двадцать целых две десятитысячных; тридцать целых семьсот девять тысячных (или тридцать целых семь тысяч девяносто десятитысячных); восемьдесят две целые четыре десятых; восемьдесят две целые сорок сотых; восемьдесят две целые четыреста тысячных. Последние три числа равны. Нули, которыми оканчиваются десятичные дроби, можно отбросить. 87 67 4 38 1 4 ; ; ; ; ; 5 ; 100 3 53 100 10 1000 десятичные дроби: 5,87; 0,5; 0,025; 0,07; 547. а) обыкновенные дроби: 65 3 7 79 6 8 ; ; ; ; ; 78 ; 1000 10 000 4 25 100 10 десятичные дроби: 78,056; 0,24; 0,3; 0,005. б) обыкновенные дроби: 648. а) 0, 68 = б) 7, 5 = 7 68 3 206 ; 0, 03 = ; 0, 206 = ; 100 100 1000 5 5 64 ; 4, 05 = 4 ; 3, 64 = 3 ; 10 100 100 в) 0, 007 = 7 21 5 1 ; 0, 0021 = ; 0, 0005 = = ; 1000 10 000 10 000 2000 г) 45, 0471 = 45 649. а) б) 471 54 27 ; 302, 0054 = 302 = 302 . 10 000 10 000 5000 4 78 8 253 = 0, 78; = 0, 08; = 0, 253; = 0, 4; 10 100 100 1000 52 9 798 = 0, 052; = 0, 009; = 0, 0798; 1000 1000 10 000 45 = 0, 0045. 10 000 650. а) 6 8 49 3 74 = 6, 8; 7 = 7, 49; 8 = 8, 03; 52 = 52, 074; 10 100 100 1000 б) 245 245 5 8752 = 245, 245; 55 = 55, 005; 65 = 65, 8752; 1000 1000 10 000
  • 112. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 26 6 798 98 1547 547 =2 = 2, 6; =7 = 7, 98; =1 = 1, 547; 10 10 100 100 1000 1000 9605 605 =9 = 9, 605; 1000 1000 156 5 12 408 8 г) = 15 = 15, 6; = 124 = 124, 08; 10 10 100 100 1 15 001 28 000 = 15 = 15, 001; = 28. 1000 1000 1000 25 1 1 ⋅ 25 а) = = = 0, 25; 4 4 ⋅ 25 100 3 3 ⋅ 25 75 б) = = = 0, 75; 4 4 ⋅ 25 100 1 1⋅5 5 в) = = = 0, 05; 20 20 ⋅ 5 100 1 нельзя представить в виде десятичной дроби. г) 17 Пусть ватное одеяло стоит х р., тогда шерстяное — 2х р. По условию задачи составим уравнение: 36 ˜ x + 2x ˜ 32 32 000; 36x + 64x 32 000; 100x 32 000; x 32 000 : 100; x 320. При х 320, 2х 2 ˜ 320 640 (р.). Ответ: ватное одеяло стоит 320 р., а шерстяное — 640 р. Пусть было приобретено х столов, тогда приобрели 4х стульев. За х столов заплатили (2850 ˜ х) р., а за 4х стульев — (1350 ˜ 4х) р. Так как за всю покупку заплатили 123 750 р., составим уравнение: 1350 ˜ 4x + 2850x 123 750; 5400x + 2850x 123 750; 8250x 123 750; x 123 750 : 8250; x 15. При х 15, 4х 4 ˜ 15 60 (столов). Ответ: было приобретено 15 столов и 60 стульев. а) (246 535 + 367 129) : 1208 508; 2) 613664 1208 1) 246535 − + 6040 367129 508 в) 652. 653. 654. 655. 447 613664 б) 917 180 : (4321 – 2805) 1) 4321 − 2805 1516 − 9664 9664 0 605; 2) 917180 1516 − 9096 605 − 7580 7580 0
  • 113. 2002–2011 гг. 448 в) 805 009 – 608 040 : 563 1) 608040 563 − 563 1080 − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 803 929; 2) 805009 − 1080 803929 4504 4504 0 г) 503 440 : 248 + 48 752 50 782; 1) 503440 248 2) 48752 + − 2030 496 2030 − 744 744 50782 0 Контрольные задания 1. 6,43 — шесть целых сорок три сотых; сотые — младший разряд дроби; 0,0076 — ноль целых семьдесят шесть десятитысячных; десятитысячные; 35,07 — тридцать пять целых семь сотых; сотые; 0,035 — ноль целых тридцать пять тысячных; тысячные. 6 9 = 0, 009. = 0, 6; 10 1000 4 2 6 3 3. 0, 4 = = ; 0, 06 = = . 10 5 100 50 2. § 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. 656. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 35,82 — тридцать пять целых восемьдесят две сотые; 3,582 ˜ 10 35,82. 657. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 358,2 — триста пятьдесят восемь целых две десятых; 5,7364 — пять целых семь тысяч триста шестьдесят четыре десятитысячных; 5736,4 — пять тысяч семьсот тридцать шесть целых четыре десятых; 0,1954 — ноль целых тысяча девятьсот пятьдесят четыре десятитысячных;
  • 114. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 658. 659. 660. 661. 662. 663. 664. 665. 666. 667. 668. 669. 670. 449 1954 — тысяча девятьсот пятьдесят четыре. 3,582 ˜ 100 358,2; 5,7364 ˜ 1000 5736,4; 0,1954 ˜ 10 000 1954. 176,2 — сто семьдесят шесть целых две десятых; 17,62 — семнадцать целых шестьдесят две сотых; 176,2 : 10 17,62. 275,2 — двести семьдесят пять целых две десятых; 2,752 — две целых семьсот пятьдесят две тысячных; 205,93 — двести пять целых девяносто три сотых; 2,0593 — две целых пятьсот девяносто три десятитысячных; 6817,3 — шесть тысяч восемьсот семнадцать целых три десятых; 6,8173 — шесть целых восемь тысяч сто семьдесят три десятитысячные. 275,2 : 100 2,752; 205,93 : 100 2,0593; 6817,3 : 1000 6,8173. 65,7 ˜ 10 657 (р.) — стоимость 10 м ситца; 65,7 ˜ 100 6570 (р.) — стоимость 100 м ситца. 388 : 10 38,8 (р.) — цена 1 кг печенья. а) 27,67 ˜ 10 267,7; б) 38,6 : 100 0,386; в) 0,678 ˜ 1000 678; г) 6,32 : 10 000 0,000632; д) 23,7 ˜ 100 2370; е) 4,72 : 1000 0,00472. а) 43,26 : 10 4,326; б) 36,32 ˜ 100 3632; в) 5,009 : 1000 0,005009; г) 0,008 ˜ 10 000 80; д) 864 : 100 8,64; е) 0,02 ˜ 1000 20. а) 7,42 ˜ 100 742; б) 0,35 ˜ 10 3,5; в) 941,3 : 1000 0,9423; г) 265 039,32 : 10 000 26,503932. а) 245,3 ˜ 100 24530; б) 0,26 : 10 0,026; в) 0,427 : 1000 0,000427; г) 0,0068 ˜ 10 000 68. а) x 48,5 : 10; x 4,85; б) x 0,372 : 10; x 0,0372; в) x 0,62 : 100; x 0,0062; г) x 3267,39 : 1000; x 3,26739; д) x 33 : 10; x 3,3; 5 е) x 5 : 100; x = = 0, 05. 100 а) x 26,5 : 100; x 0,265; б) x 8,67 : 1000; x 0,00867; в) x 0,0045 : 100; x 0,000045; г) x 0,34 : 1000; x 0,00034; д) x 72 : 1000; x 0,072; е) x 0,38 : 10; x 0,039. а) x 68,23 ˜ 10; x 682,3; б) x 0,02 ˜ 10; x 0,2; в) x 34,2 ˜ 100; x 3420; г) x 0,0047 ˜ 1000; x 4,7. а) x 5,43 ˜ 100; x 543; б) x 0,765 ˜ 100; x 76,5; в) x 3,749 ˜ 1000; x 3749; г) x 3,6 ˜ 1000; x 3600. 0,059 ˜ 10 0,59 (км); — пройдет Ирина за 10 мин; 0,059 ˜ 100 5,9 (км) — пройдет Ирина за 100 мин.
  • 115. 2002–2011 гг. 450 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 671. 0,53 : 10 0,053 (м/мин) — скорость движения улитки; 0,53 м 53 см; 53 : 10 5,3 (м/мин). 12 2 672. = . 18 3 673. 1) 1170 : 15 78 (км) — проезжает велосипедист ежедневно; 2) 78 : 6 13 (км/ч) — скорость велосипедиста; 3) 416 : 4 104 (км) — должен проезжать турист за 1 день; 4) 104 : 13 8 (ч). Ответ: турист должен проводить в движении по 8 ч в день. 674. 1) 45 : 5 9 (раз); 2) 337 ˜ 9 3033 (дернин). Ответ: для газона необходимо 3033 дернин. Контрольные задания 1. а) б) в) г) 3,65 ˜ 10 36.5; 23,2 : 100 0,0232; 7,89 ˜ 10 000 78 900; 648,25 : 100 6,4825. § 40. Перевод величин в другие единицы измерения 675. 1) 45 см 45 ˜ 10 мм 450 мм; 2,78 см 2,78 ˜ 10 мм 27,8 мм; 0,24 дм 0,24 ˜ 100 мм 24 мм; 0,046 м 0,046 ˜ 1000 мм 46 мм; 2) 0,52 см 0,52 ˜ 10 мм 5,2 мм; 85,2 дм 85,2 ˜ 100 мм 8520 мм; 77,098 дм 77,098 ˜ 100 мм 7709,8 мм; 32,6 м 32,6 ˜ 1000 мм 32 600 мм. 1 1 1 676. 1) 1 км 1000 м; 1 äì = ì; 1 ñì = ì; 1 ìì = ì; 10 100 1000 2) 3 км 3 ˜ 1000 м 3000 м; 7 см 7 : 100 м 0,07 м; 6 дм 6 : 10 м 0,6 м; 8 мм 8 : 1000 м 0,008 м; 3) 4 км 4 ˜ 1000 м 4000 м; 8 см 8 : 100 м 0,08 м; 6 дм 6 : 10 0,6 м; 5 мм 5 : 1000 м 0,005 м; 4) 56 км 56 ˜ 1000 м 56 000 м; 56 см 56 : 100 м 0,56 м; 12 дм 12 : 10 м 1,2 м; 89 мм 89 : 1000 м 0,089 м. 677. а) 480 км 480 ˜ 1000 м 480 000 м; 480 дм 480 : 10 м 48 м; 480 м 480 : 100 м 4,8 м; 480 мм 480 : 1000 м 0,48 м; б) 525 км 525 ˜ 1000 м 525 000 м; 525 см 525 : 100 м 5,25 м; 525 дм 525 : 10 м 52,5 м; 525 мм 525 : 1000 м 0,525 м;
  • 116. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 451 в) 3 км 3000 м; 3 см 0,04 м; 3 дм 0,3 м; 3 мм 0,003 м; г) 67 км 67 000 м; 67 см 0,67 м; 67 дм 6,7 м; 67 мм 0,067 м. 678. а) 4,2 мм 0,0042 м; 9,45 м 0,0054 м; 45,21 дм 4,521 м; 7,2 км 7200 м; б) 0,85 см 0,0085 м; 88,3 дм 8,83 м; 0,054 км 54 м; 0,05 мм 0,00005 м; в) 21,3 дм 2,13 м; 0,48 мм 0,00048 м; 8399,5 см 83,005 м; 8,08 км 8080 м; г) 0,087 км 87 м; 78,32 дм 7,832 м; 0,2 мм 0,0002 м; 6,6 см 0,066 м. 679. а) 1 дм 5 см 15 см 0,15 м; 7 дм 5 см 75 см 0,75 м; 8 см 4 мм 85 мм 0,084 м; 7 см 3 мм 73 мм 0,073 м; б) 32 см 4 мм 324 мм 0,324 м; 2 дм 5 мм 205 мм 0,205 м; 67 см 12 мм 682 мм 0,682 м; 42 дм 7 мм 4207 мм 4,207 м; в) 117 см 5 мм 1175 мм 1,175 м; 80 дм 87 мм 8087 мм 8,087 м; 95 см 2 мм 952 мм 0,952 м; 55 дм 5 мм 5505 мм 5,505 м; г) 230 см 7 мм 2307 мм 2,307 м; 39 дм 15 мм 3915 мм 3,915 м; 2 см 4 мм 24 мм 0,024 м; 41 дм 9 мм 4109 мм 4,109 м. 680. а) 1 га 10 000 м2; 1 ñì2 = 1 ì2 ; 1 км2 1 000 000 м2; 1 000 000 3 дм2 3 : 100 м2 0,03 м2; 9 см2 9 : 10 000 м2 0,0009 м2; 0,00468 км2 0,00468 ˜ 1 000 000 м2 4680 м2; 4 мм2 4 : 1 000 000 м2 0,000004 м2; 2,1 а 2,1 ˜ 100 м2 210 м2; 8670 мм2 8670 : 1 000 000 м2 0,00867 м2; 0,69 дм2 0,69 : 100 м2 0,0069 м2; 4,8 см2 4,8 : 10 000 м2 0,00048 м2; 0,59 см2 0,59 : 10 000 м2 0,000059 м2; 0,88 дм2 0,88 : 100 м2 0,0088 м2; 4,008 га 4,008 ˜ 10 000 м2 40 080 м2; 0,034 мм2 0,034 : 1 000 000 м2 0,000000034 м2. 42 дм2 42 : 100 м2 0,42 м2; 6578 мм2 6578 : 1 000 000 м2 0,006578 м2; 0,095 км2 0,095 ˜ 1 000 000 м2 95 000 м2; 63 см2 63 : 10 000 м2 0,0063 м2; 423 мм2 423 : 1 000 000 м2 0,000423 м2; 2,3 дм2 2,3 : 100 м2 0,023 м2; 1 ìì2 = б) в) г) 681. а) б) 1 1 ì2 ; ì2 ; 1 äì2 = 10 000 100
  • 117. 2002–2011 гг. 452 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 0,045 см2 0,045 : 10 000 м2 0,0000045 м2; 5,8 км2 5,8 ˜ 1 000 000 м2 5 800 000 м2; в) 1,008 см2 1,008 : 10 000 м2 0,0001008 м2; 5,07 дм2 5,07 : 100 м2 0,0507 м2; 2,5 а 2,5 ˜ 100 м2 250 м2; 8,07 мм2 8,07 : 1 000 000 м2 0,00000807 м2; г) 0,005 а 0,005 ˜ 100 м2 0,5 м2; 44 га 44 ˜ 10 000 м2 440 000 м2; 0,28 мм2 0,28 : 1 000 000 м2 0,00000028 м2; 4320 см2 4320 : 10 000 м2 0,432 м2. 682. Пусть карамели с черной смородиной было х кг, тогда карамели с клубникой — 3х кг, а с малиной — 6х кг. Так как масса карамели всех сортов — 56 кг, составим уравнение: x + 3x + 6x 56; 10x 56; x 56 : 10; x 5,6. Ответ: масса карамели с черной смородиной равна 5,6 кг. 683. Пусть под овес отведено х га поля, тогда под посевы пшеницы — 4х га, а под просо — 5х га. Так как площадь поля — 365 га, составим уравнение: x + 5x + 4x 365; 10x 365; x 365 : 10; x 36,5. Ответ: под посевы овса отведено 36,5 га поля. 3 1 3 2 + = + 8 4 8 8 2 1 4 1 б) − = − 3 6 6 6 7 1 7 − = − в) 12 2 12 2 2 2 6 г) + = + 9 3 9 9 684. а) 5 ; 8 3 1 = = ; 6 2 6 1 = ; 12 12 8 = . 9 = Контрольные задания 1. 2,3 мм 2,3 : 1000 м 0,0023 м; 5,04 км 5,04 ˜ 1000 м 5040 м. 2. 3,6 дм2 3,6 : 100 м2 0,036 м2; 0,45 га 0,45 ˜ 10 000 м2 4500 м2. § 41. Сравнение десятичных дробей 2) 651,0786 < 651,098; 685. 1) 48,326 < 48,5; 3) 52,6 > 52,59. 686. а) 35,87 > 35,8695; б) 23,53 23,530; в) 60,35 < 60,5; г) 0,1200 0,12. 687. а) 2,386 < 2,39; б) 43,7 > 43,696; в) 5,09 < 5,1; г) 0,486 < 0,5. 688. 0,82; 0,8056; 0,7208; 0,7; 0,387; 0,362; 0,25998; 0,25; 0,216958; 0,00489.
  • 118. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 453 689. 0,0057; 0,0964; 0,2; 0,205; 0,21; 0,5125; 0,801; 0,81. 690. а) 0; 1; 2; б) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; в) 0; г) 0; 1; 2; 3; 4. 691. в) 9; б) 0; 1; в) 0; г) от 0 до 9 включительно. 692. а) 0,017 < 0,1 б) 0,003 < 0,01; в) 0,01 < 0,08 < 0,1; г) 0,001 < 0,007 < 0,01. 693. а) 8,01 < 8,015 < 8,2; б) 10,5 < 10,503 < 10,51; в) 7,2 < 7,24 < 7,3; г) 4,87 < 4,8705 < 4,871. 694. АВ 367 см 367 : 100 м 3,67 м; CD 5698 мм 5698 : 1000 м 5,698 м; EF 79 дм 79 : 10 м 7,9 м; GH 2,8 м. Наибольшую длину имеет отрезок EF. 695. а) AK 3,37 м; BD 57,2 дм 57,2 : 10 м 5,72 м; MK 167,24 см 167,24 : 100 м 1,67245 м; LG 6318 м 6318 : 1000 м 6,318 м. Наименьшую длину имеет отрезок MK. б) MN 0,0834 м; KL 83,4 см 83,4 : 100 м 0,834 м; ST 0,834 дм 0,834 : 10 м 0,0834 м; PQ 834 мм 834 : 1000 м 0,834 м; MN ST 0,0834 м; KL PQ 0,834 м. 696. а) 2 мг 2 : 1 000 000 кг 0,000002 кг; 2 г 2 : 1000 кг 0,002 кг; 2 ц 2 : 100 кг 200 кг; 2 т 2 ˜ 1000 кг 2000 кг; б) 6 г 6 : 1000 кг 0,006 кг; 79 г 79 : 1000 кг 0,079 кг; 285 г 285 : 1000 кг 0,285 кг; в) 8 мг 8 : 1 000 000 кг 0,000008 кг; 85 мг 85 : 1 000 000 кг 0,000085 кг; 659 мг 659 : 1 000 000 кг 0,000659 кг; г) 7,8 т 7,8 ˜ 1000 кг 7800 кг; 54 ц 54 ˜ 100 кг 5400 кг; 12,03 т 12,03 ˜ 1000 кг 12 030 кг. 697. а) 2 кг 235 г 2,235 кг; б) 3 кг 600 г 3,600 кг 3,6 кг; в) 20 кг 860 г 20,860 кг г) 86 кг 44 г 61 мг 86,044061 кг. 698. а) 2,1 г 2,1 : 1000 кг 0,0021 кг; б) 0,3604 г 0,3604 : 1000 кг 0,0003604 кг; в) 8,9 мг 8,9 : 1 000 000 кг 0,0000089 кг; г) 0,035 мг 0,035 : 1 000 000 кг 0,000000035 кг. 699. 0,776 ˜ 10 7,76; 78,34 : 10 7,834; 0,00742 ˜ 1000 7,42; 759,2 : 100 7,592; 0,0736 ˜ 100 7,36; 77 : 10 7,7. 700. а) 26,397 | 26,4; 3,039 | 3,000 3; 35,262 | 35,3; 8,132 | 8,1; 299,9999 | 300; б) 76,343 | 76,34; 22,038 | 22,04; 0,685 | 0,69; 0,00098 | 0; 7,008 | 7,01.
  • 119. 2002–2011 гг. 454 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 701. а) До десятых; б) до сотых; в) до единиц; г) до тысячных; д) до сотых; е) до десятитысячних; ж) до сотых; з) до сотых. ⎫ 702. а) Гребешки — ? в 5 больше, чем ⎪ Мидии — ? ⎬ 444 моллюска Жемучижницы — ? столько же, сколько ⎪ ⎭ Решение. Пусть в аквариуме было х мидий, тогда гребешков в нем было 5х, а жемчужниц — (5х + х). Так как всего в аквариуме было 444 моллюска, составим уравнение: 5x + x + 5x + x 444; 12x 444; x 444 : 12; x 37. Значит, мидий было 17, гребешков: 5 ˜ 37 185; жемчужниц: 37 + 185 222. Ответ: в аквариуме было 185 гребешков, 37 мидий, 222 жемчужницы. б) Обозначим количество купюр х, тогда десятрублевых денежных знаков было на сумуу 10х р., а пятирублевых — 5х р. Так как всего денежных знаков было на сумму 525 р., составим уравнение: 10 x + 5x 525; 15x 525; x 525 : 15; x 35. Итак, десятирублевых денежных знаков было на сумму: 35 ˜ 10 350 (р.), а пятирублевых: 35 ˜ 5 175 (р.). Ответ: десятирублевых денежных знаков дали на сумму 350 р., а пятирублевых — на сумму 175 р. } Контрольные задания 1. а) 8,9 > 8,53; 2. а) 3,48 | 3,5; б) 15,38 < 15,4; б) 4,319 | 4,3; в) 3,250 3,25. в) 4,98 | 5. § 42. Сложение и вычитание десятичных дробей 703. 1) + 2, 4 24 + 3, 2 32 56 705. а) 2) + 4, 52 452 + 231 2, 31 5, 6 272, 30 + 34, 15 683 б) 306, 45 г) + 42, 00 3, 08 д) + 708, 51 62, 00 770, 51 6, 83 15, 000 + 8, 009 23, 009 5, 934 + 12, 800 + б) + 621, 7 54, 3 676, 0 0, 204 204 + 0, 378 378 в) 0, 582 582 0, 0078 + 78, 78 е) 78, 7878 13, 10 + 0, 09 13, 19 18, 734 45, 08 706. а) 3) в) + 99, 3300 0, 0777 99, 4077
  • 120. 455 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ г) + д) 48, 548 259, 452 + е) 47, 35 2, 65 + 12, 70 1, 38 50, 00 308, 000 14, 08 707. 8000,7 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 0,0078 — наименьшее число, составленное из этих же цифр. 8000, 7000 − 0, 0078 8000, 6922 708. 1) 1, 16 2) − 0, 43 − 0, 38 0, 14 0, 05 1, 02 709. I). − 15, 31 − 46, 37 6, 15 7, 75 9, 16 III) − 710. а) − 43, 57 18, 40 б) − − 0, 210 0, 184 − з) − 68, 44 711. а) − 52, 12 15, 30 − 0, 590 0, 032 б) − 21, 916 в) − 29, 435 29, 039 0, 0200 0, 0061 135, 00 134, 93 д) − 2, 000 1, 827 е) − − 0, 700 0, 695 0, 005 5, 00 2, 49 2, 51 и) − 15, 003 8, 740 6, 263 в) − 74, 38 56, 80 17, 58 е) − 0, 173 з) 37, 182 5, 900 31, 282 0, 07 0, 558 ж) 34, 000 − 12, 084 56, 00 12, 25 0, 170 0, 092 0, 078 и) − 3, 262 72, 0 125, 00 − 15, 6 54, 09 56, 4 0, 0139 36, 82 г) − 0, 396 0, 026 ж) 72, 00 − 3, 56 IV) 43, 75 д) 65, 70 3, 270 − 52, 25 0, 008 13, 45 25, 973 25, 17 г) − 38, 62 82, 784 64, 123 − 33, 600 38, 150 49, 184 II) 1, 400 1, 076 0, 324 70, 91
  • 121. 2002–2011 гг. 456 712. а) + O 52, 960 52, 960 − 5, 079 12, 387 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ C A B 0 65, 347 47, 881 Ответ: С(47,881); В(65,347). б) АС больше СВ на 2,85; значит, АС АВ 21,7 – 12,85 8,85; O 21, 70 − 0 12, 85 СВ + 2,85. A C B 8, 85 АС + СВ АВ. Дальше задачу можно решать двумя способами. I способ — арифметический. 1) 8,85 – 2,85 6 — сумма двух равных отрезков; 2) 6 : 2 3 — длина СВ; 3) 3 + 2,85 5,85 — длина АС. II способ — алгебраический. Пусть ВС х, тогда АС х + 2,85. Так как AC + CB AB, AB 8,85, составим уравнение: x + 2,85 + x 8,85; 2x + 2,85 8,85; 2x 8,85 – 2,85; 2x 6; x 6 : 2; x 3. Итак, CB 3; AC 3 + 2,85 5,85. Ответ: AB 8,85; AC 5,85; CB 3. 713. Рассмотрим два случая. 1) Пусть точка С лежит правее точки В на координатном луче. A O B 0 C 18 Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC AB + BC 8,6 + 18 26,6. Ответ: AB 8,6; AC 26,6; BC 18. 2) Пусть точка С лежит левее точки В на координатном луче. O 0 C A B 18 Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC BC – AB 18 – 8,6 9,4. Ответ: AB 8,6; AC 9,4; BC 18. 714. а) 0,37 2 – 1,63; б) 0,64 1 – 0,36; в) 2,05 5 – 2,95; г) 4,368 7 – 2,632. 715. 8322,2 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 2,2238 — наименьшее число, составленное из данных цифр. 8322, 2000 8322, 2000 + − 2, 2238 2, 2238 8324, 4238 8319, 9762 Если каждое из записанных чисел увеличить в 10 раз, то результаты сложения и вычитания увеличатся в 10 раз, а если каждое из записанных чисел уменьшить в 10 раз, то эти результаты уменьшаться в 10 раз.
  • 122. 457 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 716. а) 3,8 ˜ 10 + 3,8 ˜ 100 + 3,8 ˜ 1000 38 + 380 + 3800 4218; 3800 + 380 38 4218 б) 4,7 : 10 + 4,7 : 100 – 4,7 : 1000 0, 470 0, 5170 + − 0, 047 0, 0047 0,47 + 0,047 – 0,0047 0,5123; 0, 517 0, 5123 в) 25,22 ˜ 10 + 186,354 ˜ 100 – 16,7 ˜ 10 252,2 + 18635,4 – 167 18720,6; 18653, 4 18887, 6 + + 167, 0 252, 2 18887, 6 18720, 6 г) 79,504 : 10 + 0,2534 ˜ 100 0,92038 ˜ 10 7,9504 + 25,34 – 9,2038 24,0866; 25, 3400 33, 2904 + − 7, 2904 9, 2038 33, 2904 24, 0866 719. 45 дм 45 : 10 м 4,5 м; 2 ˜ (5,5 + 4,5) 2 ˜ 10 20 (м). Ответ: периметр изгороди равен 20 м. 720. 350 мм 350 : 1000 м 0,35 м; 2 ˜ (1,25 + 0,35) 2 ˜ 1,6 3,2 (м). Ответ: периметр полки равен 3,2 м. 721. 54 см 54 : 100 м 0,54 м; 2) 2, 30 3) 4, 06 1) 2, 30 + + + 0, 54 4, 06 1, 76 1, 76 (ì) 8, 12 (ì) 4, 06 (ì) Ответ: периметр ковра равен 8,12 м. 722. а) 4,45 ˜ 10 + 844 : 100 – 35,7 : 1000 + 509,432 : 10 – 0,0357 + 50,9432 103,8475; 44, 50 52, 9400 52, 9043 + − + 8, 44 0, 0357 50, 9432 52, 94 52, 9043 103, 8475 б) 59,9997 ˜ 100 + 685826,1 : 1000 + 3,7672 ˜ 100 + 685,8261 + 376,72 7062,5161; 5999, 9700 6685, 7961 + + 685, 8261 376, 7200 6685, 7961 7062, 5161 44,5 + 8,44 – 5999,97 +
  • 123. 2002–2011 гг. 458 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 723. а) 2,2 м 2,2 ˜ 100 м 220 см; 3 см + 15 см < 220 см; значит, треугольник с данными сторонами не существует; б) 65,5 см 65,5 : 100 м 0,655 м; 21,5 м + 0,655 м < 45,15 м; значит, треугольник с данными сторонами не существует; в) 7,01 м 7,01 ˜ 10 дм 70,1 дм; 34,2 дм + 35,9 дм 70,1 дм; 34, 2 + 35, 9 70, 1 Значит, треугольник с данными сторонами не существует; г) 0,2 м 0,2 ˜ 1000 мм 200 мм; 85 мм + 253,7 мм > 200 мм; 200 мм + 253,7 мм > 85 мм; 85 мм + 200 мм > 253,7 мм. Так как все три вышеописанные условия выполняются, то треугольник с данными сторонами существует. Р 85 мм + 200 мм + 253,7 мм 538,7 мм. 253, 7 + 200, 0 85, 0 538, 7 724. 800 г 800 : 1000 кг 1, 5 + 1, 2 0, 8 0,8 кг. 3, 5 (êã) Ответ: вес покупки Саши равен 3,5 кг; значит, в пластиковом пакете, рассчитанном на 3 кг, он покупку унести не сможет. 725. 1) 50 ˜ 2 100 (кг); 2) 81, 0 74, 7 + 37, 2 46, 0 238, 9 (êã) 3) 100 + 238,9 338,9 (кг); 4) 0,4 т 0,4 ˜ 1000 кг 400 кг; 338,9 кг < 400 кг. Ответ: в багажник автомобиля можно положить 2 мешка моркови. 726. 14, 10 + 2, 25 1, 40 17, 75 (ì) Ответ: длина сваи 17,75 м.
  • 124. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 459 727. Пусть меньшее из двух чисел — х, тогда большее — 9х. Так как сумма двух чисел равна 43,862; составим уравнение: x + 9x 43,862; 10x 43,862; x 43,862 : 10; x 4,3862. Значит, меньшее число — 4,3862; а бîльшее: 43,862 – 4,3862 39,4758; 43, 8620 − 4, 3862 39, 4758 Ответ: искомые числа равны 4,3862 и 39,4758. 728. Пусть меньшее из двух данных чисел равно х, тогда бîльшее — 99х. Так как их сумма равна 91,964, составим уравнение: x + 99x 91,964; 100x 91,964; x 91,964 : 100; x 0,91964. Значит, меньшее число — 0,91964; а большее: 91, 96400 − 0, 91964 91, 04436 Ответ: искомые числа равны 0,91964 и 91,04436. 729. а) 9x; 99x; б) x + 9x; x + 99x; x + 9x 43,862 (решение уравнения смотри в № 727); x + 99x 91,964 (решение уравнения смотри в № 728). 730. 1) 11 – 1 10; 2) 9,045 : 10 0,9045 — меньшее число; 3) 9, 0450 — большее число. + 0, 9045 9, 9495 Ответ: искомые числа равны 0,9045 и 9,9495. 731. 1) 101 – 1 100; 2) 634,28 : 100 6,3428 — меньшее число; 3) 634, 2800 — большее число. + 6, 3428 640, 6228 Ответ: искомые числа равны 6,3428 и 640,6228. 732. а) 11x; 101x; б) 11x – x; 101x – x; к № 730: 11x – x 9,045; 10x 9,045; x 9,045 : 10; x 0,9045; к № 731: 101x – x 634,28; 100x 634,28; x 634,28 : 100; x 6,3428. 733. а) В этой группе уравнений находится неизвестное слагаемое. x + 5,032 27,2; x 27,2 – 5,032; 27, 200 − 5, 032 22, 168 x 22,168;
  • 125. 2002–2011 гг. 460 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ x + 29,17 13,4; x 13,4 – 29,17; нельзя решить (ошибка в условии) 52 + x 78,035; x 78,035 – 52; x 26,035. б) в этой группе уравнений х — неизвестное уменьшаемое. x – 93,1 79,01; x 79,01 + 93,1; x 172,11; 79, 01 + 93, 10 172, 11 x – 42,12 90; x 90 + 43,12; x 133,12; x – 42,16 69,2; x 69,2 + 42,16; x 111,36. 69, 20 + 42, 16 111, 36 в) в этой группе уравнений х — неизвестное вычитаемое. 48,5 – x 37,1; x 48,5 – 37,1; x 11,4; 55,05 – x 33,9; x 55,05 – 33,9; x 21,15; 55, 05 − 33, 90 21, 15 22,99 – x 17,3; x 22,99 – 17,3; x 5,69. 22, 99 − 17, 30 5, 69 725. 1) 50, 12 + 10, 08 35, 90 96, 10 (кг) — продали за три дня; 2) + 160, 3 96, 1 3) − 267, 4 256, 4 11, 0 (êã) 256, 4 (êã) Ответ: масса пустого контейнера равна 11 кг.
  • 126. 461 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 736. 1) − 61, 50 10, 06 51, 44 (м) — длина крайнего пролета; 2) 3) + 51, 44 52, 44 102, 88 (м) — сумма длин крайних пролетов; 61, 5 + 61, 5 61, 5 184, 5 (м) — сумма длин средних пролетов; 4) + 184, 50 102, 88 287, 38 (ì) Ответ: длина моста равна 287,38 м. 737. 0, 25 4, 56 7, 30 15, 20 − + + + 3, 86 4, 13 0, 80 3, 28 4, 38 3, 76 4, 02 19, 06 19,06 4,38 4,02 3,76 Р О М Б Синие четырехугольники называются ромбами. У ромба все стороны равны. 738. (17,03 – 12,5) + 6,3 10,83. 17, 03 4, 53 + − 12, 50 6, 30 4, 53 10, 83 Ответ: искомое число равно 10,83. 739. 18,6 – (33,5 – 22,68) 7,78. 33, 50 18, 60 − − 22, 68 10, 82 7, 78 10, 82 Ответ: искомое число равно 7,78. 740. (15 – 14) ˜ (12,4 – 4,92) 1 ˜ 7,489 7,48 (км). − 12, 40 4, 92 7, 48 Ответ: искомое расстояние равно 7,48 км. 741. (15 261,4 – 5781,35) – 5781,35 3698,7 (р.). 15261, 40 9480, 05 − − 5881, 35 5781, 35 9480, 05 3698, 70 Ответ: во второй день было выручено на 3698,7 р. больше, чем в первый.
  • 127. 2002–2011 гг. 462 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 742. 2215 г 2215 : 1000 кг 2,215 кг; (64,85 + 32,75 + 2,1) – 2,215 97,485 (кг). 64, 85 99, 700 − + 32, 75 2, 215 2, 10 97, 485 99, 70 Ответ: масса полученной латуни равна 97,485 кг. 743. 1750 кг 1750 : 1000 т 1,75 т; 4,25 + (4,25 – 1,75) + (4,25 + (4,25 – 1,75) – 2,39) 11,11 (т). 4, 25 4, 25 6, 75 6, 75 − + + − 1, 75 2, 50 2, 39 4, 36 2, 50 6, 75 4, 36 11, 11 Ответ: за три дня было израсходовано 11,11 т муки. 744. 74,8 – (31,45 + 31,45 : 10 + (31,45 – 6,78)) 15,535 (м). 1) 31,45 : 10 3,145; 3) 31, 450 4) 74, 800 2) 31, 45 − − + 3, 145 59, 265 6, 78 24, 670 15, 535 24, 67 59, 265 Ответ: в мотке осталось 15,535 м шпагата. C D 745. ‘ACB ‘ADB 90q, то есть углы, опирающиеся на диаметр окружности — прямые (если вершины этих углов лежат на окружности). A B O 746. D C E ‘ABC — острый; ‘ABD — прямой (AD — диаметр); ‘ABE — тупой. B A 747. O 748. а) б) в) г) Нужно сложить полученный круг дважды пополам (смотри пунктирные линии). Тогда точка пересечения диаметров — центр круга. Площадь уменьшится в 2 раза; площадь уменьшится в 4 раза; площадь уменьшится в 10 раз; площадь уменьшится в 100 раз.
  • 128. 463 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 749. + 79, 261 15, 324 1, 0500 1, 0500 210, 600 43, 521 − − + − − 5, 700 0, 0024 68, 150 28, 700 0, 0024 8, 926 1, 0524 44, 024 1, 0476 37, 821 201, 674 50, 003 21, 895 11,111 1,0476 11,111 44,024 44,024 201,674 44,024 1,0524 37,821 1,0476 11,111 50,003 50,003 28, 163 17, 305 + 4, 590 21, 840 21,895 + 11, 111 П А Р А Л Л Е Л О Г Р А М М Контрольное задание ‘A + ‘B + ‘C 180q; ‘C + 72,87q) 46,88q. + 180q – (‘A + ‘B); ‘C 180q – (60,25q + 60, 25 180, 00 − 72, 87 133, 12 133, 12 46, 88 § 43. Умножение десятичных дробей 750. 1) 1,2 ˜ 47 56,4; 4) 0,12 ˜ 47 5,64; 751. 13 ˜ 4 52; 1,3 ˜ 4 5,2; 0,13 ˜ 4 0,52; 13 ˜ 0,4 5,2; 13 ˜ 0,04 0,52; 1,3 ˜ 0,04 0,52; 1,3 ˜ 0,04 0,052; 0,13 ˜ 0,4 0,052; 0,13 ˜ 0,04 0,0052; 2) 1,2 ˜ 4 5,64; 3) 1,2 ˜ 0,47 5,64; 5) 0,12 ˜ 4,7 0,564; 6) 0,012 ˜ 47 0,564. 16 ˜ 3 48; 16 ˜ 0,3 4,8; 1,6 ˜ 3 4,8; 16 ˜ 0,03 0,48; 1,6 ˜ 0,2 0,48; 1,6 ˜ 0,03 0,048; 0,16 ˜ 3 0,48; 0,16 ˜ 0,3 0,048; 0,16 ˜ 0,03 0,0048; 15 ˜ 6 90; 0,15 ˜ 6 0,9; 1,5 ˜ 0,006 0,0090 0,009; 0,015 ˜ 0,06 0,0090 0,009; 0,015 ˜ 6 0,090 0,9; 0,015 ˜ 0,06 0,00090 0,0009; 0,15 ˜ 0,006 0,00090 0,0009; 0,00015 ˜ 6 0,00090 0,0009; 15 ˜ 0,0006 0,0090 0,0009.
  • 129. 2002–2011 гг. 464 752. 1) × 2) 356 34 1424 + 1068 + 12104 3,56 ˜ 3,4 753. а) × + б) 31, 54 32 × + 1009, 28 133,54200 754. а) 71, 7 × 9, 01 3) 1073 81 × 1073 8584 + 86913 1,073 ˜ 8,1 12,104; 6308 9462 + × ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3245 19470 46250 0,074 ˜ 6,25 0,46250 0,4625. 44, 44 60, 5 г) × × 3, 005 4, 8 22220 13332 + 0, 70370367 + 1 × + 2 3 4 4) 45, 34 20, 01 4534 9068 907, 2534 136, 5260 40, 0370367 40, 0370367 + 299, 2622963 1106; 299, 2962963 339, 333333 + 766, 666667 1106, 000000 339, 3333330 5 г) 105020 126024 755. а) 13,3456789 ˜ 3 + 99,7654321 ˜ 3 + 766,666667 2) 1) 13, 3456789 99, 654321 × × 3 3 4840 2420 290, 40 133,5422; 290,40 290,4. б) 2, 3456789 в) 21, 004 × × 0, 3 6, 5 717 6453 1 + 133, 54220 197, 945 646, 017 136,5260 136,526. 3) 2500 4375 8,6913; в) 3, 245 61 625 74 2 6 3 7 4 б) 7,6 ˜ 0,25 + 290 : 100 + 25,8 ˜ 0,5 – 420 ˜ 0,03 15,1; 1) 2) 290 : 100 2,9; 3) 25, 8 7, 6 × × 0, 25 0, 5 + 4) 380 152 1, 900 420 × 0, 03 12, 90 5) + 1, 9 12, 9 6) + 14, 8 12, 9 7) − 27, 7 12, 6 12, 60 15, 1 14, 8 27, 7 В условии этого задания опечатка: если в 5) действии будет стоять знак минус, то пример решить нельзя).
  • 130. 465 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 1 5 2 6 3 7 4 в) 5700 ˜ 0,105 – 87 ˜ 1,7 + 8009 : 1000 – 8009 ˜ 0,001 1) × 2) 0, 105 5700 + 735 525 × + 598, 500 4) × − 5 8,009; 609 87 6) 598, 5 147, 8 450, 600 8, 009 + 450, 6 8, 009 1 3) 8009 : 1000 87 1, 7 147, 9 5) 8009 0, 001 450,6; 2 7) − 450, 600 458, 609 6 3 7 458, 609 8, 009 4 г) 5867 : 100 + 78,55 ˜ 2,08 + 51,09 ˜ 3,4 – 586,7 ˜ 0,1 1) 5867 : 100 58,67; 2) 78, 55 × 2, 08 + 62840 15710 337,09; 51, 09 3) × 3, 4 + 173, 706 163, 3840 4) × 586, 7 5) 163, 384 6) 222, 054 7) 395, 76 + + − 58, 670 173, 706 58, 67 0, 1 58, 67 756. а) б) в) г) 757. а) б) в) г) 758. а) б) в) 20436 15327 222, 054 395, 760 337, 09 27,3 ˜ 0,5 ˜ 2 27,3 ˜ 1 27,3; 0,25 ˜ 53,34 ˜ 4 (0,25 ˜ 4) ˜ 53,34 1 ˜ 53,34 53,34; (2,5 ˜ 0,4) ˜ (50 ˜ 0,02) 1 ˜ 1 1; 44,81 ˜ (125 ˜ 0,08) 44,81 ˜ 10 448,1. 5 ˜ 79,23 ˜ 0,2 79,23 ˜ (5 ˜ 0,2) 79,23 ˜ 1 79,23; 72,3 ˜ (0,25 ˜ 0,4) 72,3 ˜ 0,1 7,23; 1,25 ˜ 500 ˜ 0,2 ˜ 0,08 (1,25 ˜ 0,08) ˜ (500 ˜ 0,2) 0,1 ˜ 100 10; 579 ˜ (5 ˜ 0,002) 579 ˜ 0,01 5,79. 0,125 ˜ 6,53 ˜ 8 (0,125 ˜ 8) ˜ 6,53 1 ˜ 6,53 6,53; 28,25 ˜ (0,8 ˜ 12,5) 28,25 ˜ 10 282,5; 125 ˜ 0,2 ˜ 16,79 ˜ 0,4 125 ˜ (0,2 ˜ 0,4) ˜ 16,79 125 ˜ 0,08 ˜ 16,79 10 ˜ 16,79 167,9; г) 28,81 ˜ (0,25 ˜ 0,4) 28,81 ˜ 0,1 2,881. 759. а) 72,58 ˜ 0,1 7,258; б) 72,58 ˜ 0,01 0,7258; 72,58 : 10 7,258; 72,58 : 100 0,7258; в) 72,58 ˜ 0,001 0,07258; г) 72,58 ˜ 0,0001 0,007258; 72,58 : 1000 0,07258; 72,58 : 10 000 0,007258.
  • 131. 2002–2011 гг. 466 1 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3 2 760. а) 0,07 ˜ 100 ˜ 0,23 + 0,25 ˜ 16,5 7 ˜ 0,23 + 0,25 ˜ 16,5 5,735; 3) 4, 125 1) 0, 23 2) 16, 5 × + × 0, 25 1, 610 7 1, 61 + 825 330 5, 735 4, 125 1 3 2 б) 3,75 ˜ 2,05 + 0,05 ˜ 30,48 9,2115; 3, 75 1) 2) 30, 48 × × 2, 05 0, 05 + 1875 750 3) + 7, 6875 1, 5240 9, 2115 1, 5240 7, 6875 1 3 2 в) 135,2 ˜ 2,02 – 46,002 ˜ 2,9 139,6982; 135, 2 46, 002 2) 1) × × 2, 02 2, 9 + 2704 2704 + 273, 104 1 2 139, 6982 1,0452; 2, 01 × 6, 6 + 3) − 14, 3112 13, 2660 1, 0452 1206 1206 13, 266 14, 3112 3 273, 1040 133, 4058 133, 4058 3 712 1424 1 − 414018 92004 г) 71,2 ˜ 0,201 – 6,6 ˜ 2,01 71, 2 1) 2) × 0, 201 + 3) 2 д) 7,5 ˜ 0,4 + 3,2 ˜ 0,17 3,544; 3, 2 2) 1) 7, 5 × × 0, 17 0, 4 3, 00 + 3) 224 32 + 3, 000 0, 544 3, 544 0, 544 1 3 2 е) 4,28 ˜ 0,2 – 1,7 ˜ 0,3 0,346; 2) 1, 7 1) 4, 28 × × 0, 2 0, 3 0, 856 0, 51 3) − 0, 856 0, 510 0, 346
  • 132. 467 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 1 3 2 ж) 0,8 ˜ 3,15 + 0,18 ˜ 3,6 3,168; 1) 3, 15 2) 0, 18 × × 3, 6 0, 8 108 2, 520 + 54 3) + 2, 520 0, 648 3, 168 0, 648 1 3 2 з) 7,1 ˜ 1,3 – 0,19 ˜ 5,02 1) × 7, 1 1, 3 8,2762; 5, 02 2) × 0, 19 − 4518 502 213 71 + 9, 23 + 3) 9, 2300 0, 9538 8, 2762 0, 9538 1 3 2 4 761. а) (62 – 14,8) ˜ (34 – 0,175) – 961,9196 634,6204; 33, 825 3) 2) 34, 000 1) 62, 0 × − − 47, 2 14, 8 0, 175 47, 2 4) − 1596, 5400 961, 9196 634, 6204 67650 + 236775 135300 33, 825 1596, 5400 2 1 3 б) 32,05 ˜ (28,03 + 11,5) – 1266,9365 2) 1) 28, 03 39, 53 × + 32, 05 11, 50 39, 53 + 0; 3) 1266,9365 – 1266,9365 19765 7906 11859 1266, 9365 в) 3,324 ˜ 052 ˜ 100 – 8,9 ˜ 0,32 1) 3, 324 × 52 + 6648 16620 172, 848 2) × + 1 3 2 3,324 ˜ 52 – 8,9 ˜ 0,32 8, 9 0, 32 178 267 2, 848 170; 3) 172, 848 − 2, 848 170, 000 0;
  • 133. 2002–2011 гг. 468 1 3 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 2 г) (4,99 – 0,88) ˜ (5,131 + 4,369) 39,045; 2) 5, 131 1) 4, 99 − + 0, 88 4, 369 4, 11 3) × + 9, 500 4, 11 9, 5 2055 3699 39, 045 764. 1) 0,8 ˜ 1,25 3) × + 1,000 1; 2) 2,5 ˜ 0,4 4) 6, 25 0, 16 3750 625 + 1, 0000 1,0000 5) × 1,00 3, 125 0, 32 6250 9375 1, 00000 1; × 0, 15625 6, 4 + 1,00000 1; 0, 78125 6) × 1, 28 62500 93750 625000 + 156250 78125 1, 000000 1, 0000000 1,000000 1; 1,0000000 765. 1) 42, 80 − 4, 78 1. 38, 02 (р.) — цена одного метра шелка; 2) × 42, 8 9, 75 2140 + 2996 3852 417, 300 (р.) — стоит атлас; 3) × + 38, 02 10, 5 19010 3802 399, 210 (р.) — стоит шелк; 1;
  • 134. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 4) + 469 417, 30 399, 21 816, 51 (р.) — стоит вся покупка. 816,51 < 900. Ответ: хватит 900 р. на покупку тканей. 766. 1) 27, 4 + 25, 8 13, 7 66, 9 (м) — длина всех коридоров; 2) × 14, 6 2 29, 2 (ì) 4) + 3) × 12, 6 2 25, 2 (ì) 5) 29, 2 25, 2 − 66, 9 54, 4 12, 5 (ì) 54, 4 (м) — длина дорожки; Ответ: не хватит 12,5 м дорожки для коридоров. 767. 1) − 65, 4 10, 8 54, 6 (км/ч) — скорость второго грузовика; 2) + 65, 4 54, 6 120, 0 (км/ч) — общая скорость грузовиков; 3) × 120 0, 9 108, 0 (км). Ответ: расстояние между городами равно 108 км. 768. 1) 0, 0350 − 0, 0285 0, 0065 (км/ч) — разность скоростей ракет; 2) × 0, 0065 2 0,013 км 0,013 ˜ 1000 м 13 м. 0, 0130 (êì) Ответ: через 2 с после старта вторая ракета отстанет от первой на 13 м.
  • 135. 2002–2011 гг. 470 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Контрольные задания а) × + 8, 41 16 б) × 2, 34 0, 7 1, 638 5046 841 134, 56 в) 15,3 ˜ 0,01 0,153; г) 0,048 ˜ 0,001 0,000048. § 44. Степень числа 769. 2) а) 53 > 5 ˜ 3; б) 82 > 8 ˜ 2; в) 45 > 4 ˜ 5; г) 17 < 1 ˜ 7. 2 2 771. а) 14 14 ˜ 14 196; б) 27 27 ˜ 27 729; 14 27 × × 14 27 + 56 14 + 196 в) 25 25 ˜ 25 25 × 25 2 + 729 625; 125 50 625 772. а) 2,53 2,5 ˜ 2,5 ˜ 2,5 × + 189 54 г) 362 36 ˜ 36 36 × 36 + 1296; 216 108 1296 6,25 ˜ 2,5 15,625; 6, 25 2, 5 3125 1250 15, 625 б) 0,84 0,8 ˜ 0,8 ˜ 0,8 ˜ 0,8 (0,8 ˜ 0,8) ˜ (0,8 ˜ 0,8) 0,64 ˜ 0,64 0,4096; 0, 64 × 0, 64 + 256 384 0, 4096
  • 136. 471 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ в) 3,12 3,1 ˜ 3,1 9,61; × г) 0,25 0,2 ˜ 0,2 ˜ 0,2 ˜ 0,2 ˜ 0,2 0,00032; 3, 1 3, 1 31 93 + 9, 61 773. а) 0,14 0,1 ˜ 0,1 ˜ 0,1 ˜ 0,1 0,0001; б) 0,033 0,03 ˜ 0,03 ˜ 0,03 0,000027; в) 0,5042 0,504 ˜ 0,504 0,254016; × + 0, 504 0, 504 2016 2520 0, 254016 г) 0,045 × 0,04 ˜ 0,04 ˜ 0,04 ˜ 0,04 ˜ 0,04 0,0000001024; 0, 000064 0, 0016 + 384 64 0, 0000001024 774. а) 1,152 – 0,122 1) × 3 1 2 1,15 ˜ 1,15 – 0,12 ˜ 0,12 2) 1, 15 1, 15 3) 0, 12 0, 12 + 575 + 115 115 × 1,3081; 24 12 − 1, 3225 0, 0144 1, 3081 0, 0144 1, 3225 (1,15 – 0,12)2 1) − 1, 15 0, 12 1,0609; 2) 1,032 1,03 ˜ 1,03 1, 03 1,0609; × + 1, 03 1, 03 309 103 1, 0609 (1,15 – 0,12) ˜ (1,5 + 0,12) 1,3081;
  • 137. 2002–2011 гг. 472 1) − 1, 15 0, 12 2) + ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3) 1, 15 0, 12 1, 27 1, 03 × + 1, 27 1, 03 381 127 1, 3081 Значение первого и третьего выражений равны. б) (7,6 – 0,54)2 49,8436; 7, 06 2) 7,062 7,06 ˜ 7,06 49,8436; 1) 7, 60 × − 7, 06 0, 54 7, 06 4236 4942 + 49, 8436 7,6 – 2 ˜ 7,6 ˜ 0,54 + 0,54 49,8436; 7, 6 2) 1) 0, 54 × × 7, 6 0, 54 2 2 + 456 532 + 57, 76 4) 15, 2 × 0, 54 + 3) 2 ˜ 7,6 15,2; 216 216 0, 2916 5) 608 760 − 6) 57, 760 8, 208 + 49, 5520 0, 2916 49, 8436 49, 552 8, 208 Значения первого и второго выражений равны. (7,6 – 0,54) ˜ (7,6 + 0,54) 57,4684; 8, 14 2) 7, 60 3) 1) 7, 60 + × − 0, 54 7, 06 0, 54 8, 14 7, 06 + 4884 5698 57, 4684 775. а) При а 1,4; b 1) 14 × 14 + 56 14 1, 96 0,7 a + b 1,4 + 0,7 2,45; 2) 0,72 0,7 ˜ 0,7 0,49; 3) 2 2 2 2 + 1, 96 0, 49 2, 45
  • 138. 473 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ б) При а 1,4; b 0,7 (a + b)2 (1,4 + 0,7)2 2,12 4,41; 2, 1 × 2, 1 21 + 42 4, 41 в) При а 1,4; b 0,7 a2 + 2ab + b2 1,42 + 2 ˜ 1,4 ˜ 0,7 + 0,72 1,96 + + 1,4 ˜ 1,4 + 0,49 1,96 + 1,96 + 0,49 4,41; 1, 96 + 1, 96 0, 49 4, 41 г) При а 1,4; b 0,7 a2 – 2ab + b2 1,42 – 2 ˜ 1,4 ˜ 0,7 + 0,72 1,96 – – 1,96 + 0,49 0,49. Равны значения выражений б) и в). 776. а) При а 23,2: b 4,2 a2 – b2 23,22 – 4,22 520,6; 4, 2 3) 538, 24 23, 2 1) 2) × − × 4, 2 17, 64 23, 2 84 520, 60 464 + 168 + 696 17, 64 464 538, 24 б) При а 23,2: b 4,2 (a – b)2 (23,2 – 4,2)2 192 361; 19 19 171 + 19 361 × в) При а 23,2: b 4,2 a2 – 2ab + b2 23,22 – 2 ˜ 23,2 ˜ 4,2 + 4,22 528,24 – 46,4 ˜ 4,2 + 17,64 361; 3) 343, 36 1) 2) 538, 24 46, 4 + × − 17, 64 4, 2 194, 88 + 928 1856 343, 36 361, 00 194, 88 г) При а 23,2: b 4,2 a2 + 2ab + b2 23,22 + 2 ˜ 23,2 ˜ 4,2 + 4,22 538,24 + 194,88 + 17,64 750,76; 538, 24 + 194, 88 17, 64 750, 76 Равны значения выражений б) и в).
  • 139. 2002–2011 гг. 474 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 777. а) При а 9,6; b 2,4 a2 – b2 9,62 – 2,42 86,4; 1) 2) 3) 92, 16 2, 4 9, 6 × − × 2, 4 5, 76 9, 6 576 96 86, 40 + + 864 48 92, 16 5, 76 б) При а 9,6; b 2,4 (a – b)2 (9,6 – 2,4)2 7,22 51,84; 7, 2 × 7, 2 144 + 504 51, 84 в) При а 9,6; b 2,4 (a – b) ˜ (a + b) (9,6 – 2,4) ˜ (9,6 + 2,4) 7,2 ˜ 12 86,4; 7, 2 × 12 144 + 72 86, 4 г) При а 9,6; b 2,4 (a + b)2 (9,6 + 2,4)2 122 144. Равны значения выражений а) и в). 778. а) При а 3,5; b 0,42 a2 – b2 3,52 – 0,422 12,0736; 0, 42 3, 5 3) 12, 2500 1) 2) × × − 0, 42 3, 5 0, 1764 84 175 + 12, 0736 + 168 105 0, 1764 12, 25 б) При а 3,5; b 0,42 (a – b)(a + b) (3,5 – 0,42) ˜ (3,5 + 0,42) 12,0736; 3, 92 2) 3, 50 3) 1) 3, 50 + × − 0, 42 3, 08 0, 42 3, 08 3, 92 + 3136 1176 12, 0736 в) При а 3,5; b 3, 92 × 3, 92 784 + 3528 1176 15, 3664 0,42 (a + b)2 (3,5 + 0,42)2 3,922 15,3664;
  • 140. 475 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ г) При а 3,5; b 0,42 a2 + 2ab + b2 3,52 + 2 ˜ 3,5 ˜ 0,42 + 0,422 12,25 + 7 ˜ 0,42 + 0,1764 15,3664; 1) 0, 42 2) 12, 2500 × + 2, 9400 7 0, 1764 2, 94 15, 3664 Равны значения выражений а) и б); в) и г). 782. Р 4 ˜ 24,16 96,64 (м); S 24,162 24,16 ˜ 24,16 583,7056 (м2). 24, 16 24, 16 × × 24, 16 4 96, 64 14496 2416 + 9664 4832 583, 7056 Ответ: периметр данного квадрата равен 96,64 м; а его площадь — 583,7056 м2. 783. Р 2 ˜ (2,51 + 0,602) 6,224 (м); S 2,51 ˜ 0,602 1,51102 (м2). + 0, 602 3, 112 × 2 2, 510 3, 112 6, 224 + × 2, 51 0, 602 502 1506 1, 51102 Ответ: периметр прямоугольника равен 6,224 м; а его площадь — 1,51102 м2. 784. 4,6 ˜ 42,8 + 5,75 ˜ (42,8 + 25,32) 588,57 (р.); 196, 88 2) 3) 1) 4) 68, 12 42, 80 42, 8 + × + × 391, 69 5, 75 25, 32 4, 6 + 2568 1712 196, 88 68, 12 34060 + 47684 34060 391, 6900 Ответ: необходимо заплатить 588,57 р. за всю ткань. 785. а) 0,1 м (так как 0,12 0,1 ˜ 0,1 0,01); б) 0,2 м (так как 0,22 0,2 ˜ 0,2 0,04); в) 0,5 м (так как 0,52 0,5 ˜ 0,5 0,25); г) 0,3 м (так как 0,32 0,3 ˜ 0,3 0,09). 588, 57
  • 141. 2002–2011 гг. 476 786. Sпрямоугольника 13, 2 × 9, 3 + 13,2 ˜ 9,3 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 122,76 (см2). 396 1188 122, 76 а) Sквадрата 13,22 13, 2 × 13, 2 13,2 ˜ 13,2 174,24 (см2). 264 + 396 132 174, 24 174,24 см2 > 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника. б) Sквадрата 9,32 86,49 (см2). 9, 3 × 9, 3 + 279 837 86, 49 86,49 см2 < 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата меньше площади прямоугольника. 787. 1) 1, 25 2) 3) 0, 8 0, 75 × × × 0, 4 4 0, 6 0, 750 (ì2 ) 4) 0, 32 × 2 0, 64 (ì2 ) 7) 3 + 0,64 + 0,3 3, 00 (ì2 ) 5) 0, 2 × 0, 3 0, 06 (ì2 ) 1, 75 3,94 (м2); 8) × 3, 5 + 875 525 0, 32 (ì2 ) 6) 0, 06 × 5 0, 30 (ì2 ) 9) − 6, 125 3, 940 2, 185 (ì2 ) 6, 125 (ì2 ) Ответ: площадь оставшегося пластика равна 2,185 м2. 788. 1) 10 + 15,5 + 10 35,5 (м) — длина; 2) 10 + 4,8 + 10 24,8 (м) — ширина; 3) 2 ˜ (35,5 + 24,8) 120,5 (м);
  • 142. 10 10 10 10 4,8 10 10 15,5 10 10 + 4,8 + 10 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 10 10 + 15,5 + 10 + 35, 5 60, 3 × 24, 8 2 60, 3 120, 6 Ответ: длина забора равна 120,6 м. 789. а) 3,2 ˜ 2,5 + 6,04 14,04; 3, 2 8, 00 × + 2, 5 6, 04 + 160 64 14, 04 8, 00 б) 16,7 – 3,5 ˜ 1,08 12,92; 1, 08 16, 70 × − 3, 5 3, 78 + 540 324 12, 92 3, 780 в) 12,108 + 6,2 ˜ 5,05 × + 43,418; 5, 05 12, 108 + 6, 2 31, 310 1010 3030 43, 418 31, 310 г) 3 ˜ (12,85 + 10,9) 12, 85 23, 75 + × 10, 90 3 71,25; 23, 75 71, 25 790. 3,1 ˜ (x + y) 3,1 y + 3,1x 3,1x + 3,1y. 791. 0,9 ˜ (m – n) 0,9m – 0,9n. 792. 0,55 ˜ (x + y) 0,55x + 0,55y y ˜ 0,55 + x ˜ 0,55. 477
  • 143. 2002–2011 гг. 478 794. 1) 2) 13, 233 5, 680 + 5) 15, 708 3, 520 − + 12, 188; Π; 7) 8) 2 Р 3 А 4, 541 2, 800 7, 341; Α; 6) 15, 680 4, 321 − 16, 110 8, 223 − 7, 887; Ö; 3, 1800 0, 0018 3, 1782; ß. 1, 2404; È; 1 Т + 20, 001; Ε; 1, 2370 0, 0034 + 3) 17, 80 2, 51 15, 29; Ρ; 18, 913; Τ; 4) − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 4 П 5 Е 6 Ц 7 И 8 Я В трапеции две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет. Контрольные задания 1. а) 252 — двадцать пять в квадрате; 25 — основание степени; 2 — показатель степени; б) 35 — три в пятой степени; 3 — основание степени; 5 — показатель степени. 2. 252 25 ˜ 25 625; 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 ⋅ 3 = 243. N N 9 9 § 45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число 797. а) − 12, 4 5 10 2, 48 − 24 20 − б) − 13, 08 4 12 3, 27 − 40 40 0 28 28 0 − 526, 4 4 4 131, 6 − 10 8 − в) 12 12 − 6 4 − 24 24 0
  • 144. 479 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ г) − 12, 48 6 12 2, 08 − д) 36, 47 7 35 5, 21 14 − 14 7 − 7 0 е) 1, 271 31 124 0, 041 31 − 31 0 в) 930, 62 62 62 15, 01 310 − 310 62 − 62 0 е) − 48 48 0 798. а) г) 799. а) г) 15, 9 15 15 1, 06 90 − 90 0 б) 74, 88 36 72 2, 08 288 − 288 0 д) 303, 66 14 28 21, 69 23 − 14 96 − 84 126 − 126 0 б) 495, 12 12 48 41, 26 15 − 12 31 − 24 72 − 72 0 д) − − − − − − − − 240, 72 34 238 7, 08 е) 0 56 56 0 в) 272 272 32, 56 8 32 4, 07 − 1265, 04 36 108 35, 14 185 − 180 50 − 36 144 − 144 0 − − 7, 35 49 49 0, 15 245 − 245 0 − − − − 59, 348 74 592 0, 802 148 − 148 0 59, 74 29 58 2, 06 174 − 174 0 16, 04 8 16 2, 005 − 040 40 0
  • 145. 2002–2011 гг. 480 800. а) − 0, 0578 34 34 0, 0017 − б) − 238 238 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 0, 03948 42 378 0, 00094 − 168 168 0 0 в) − 0, 0837 27 81 0, 0031 − г) − 27 27 0, 03478 94 282 0, 00037 − 658 658 0 0 д) − 0, 52974 81 486 0, 00654 − е) − 0, 095 19 95 0, 005 437 405 − 0 324 324 0 801. а) − 0, 087 15 75 0, 0058 − б) − 0, 000135 5 10 0, 000027 120 120 − 0 в) − 0, 1062 18 90 0, 0059 − 0 г) − 162 162 0, 001824 32 160 0, 000057 − − 0, 152 16 144 0, 0095 − 80 80 0 224 224 0 0 д) 35 35 е) − 0, 72 24 72 0, 03 0
  • 146. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 802. a+b 0 803. 481 a b 2a Ответ: 2a; a + b; 2b. 0 a 2b a+b Ответ: b > a. 804. 1) (4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4) : 8 25 : 8 3,125 | 3; 25, 8 − 24 3, 125 10 − 8 20 − 16 40 − 40 0 2) (4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4) : 8 28 : 8 3,5 | 4; 28, 8 − 24 3, 5 40 − 40 0 Ответ: Незнайка за первую четверть может получить тройку по математике, но если исправит все двойки на тройки, то получит четыре. 805. Пончику нужно получить пять пятерок, тогда окончательная его отметка будет: (2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) : 9 36 : 9 4. 806. 1) 3,5 мин 3,5 ˜ 60 с 210 с. 1000, 210 − 840 4, 7619... (ì/ñ); 4,7619… | 4,762 (м/с). 1600 − 1470 1300 − 1260 400 − 210 1900 − 1890 10... Ответ: искомая скорость равна 4,762 м/с.
  • 147. 2002–2011 гг. 482 2) 14,5 мин 14, 5 × 60 870, 0 (ñ) 14,5 ˜ 60 с − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 870 с; 5000, 870 4350 5, 7471... (ì/ñ) − 6500 6090 − 4100 3480 − 6200 6090 − 1100 870 230... Ответ: искомая скорость равна 5,747 м/с. 3) 34,5 – (3,5 + 14,5) 34,5 – 18 16,5 (мин); 16,5 мин 16,5 ˜ 60 с 990 с; 10 000 – (1000 + 5000) × 16, 5 60 4000, 990 − 3960 4, 0404... (ì/ñ) 990, 0 (ñ) − 4000 (м); 4,0404… | 4,040 (м,с). 4000 3960 − 4000 3960 40... Ответ: искомая скорость равна 4,040 м/с. 4) (4,762 + 5,747 + 0,040( : 3 | 4,850 (м,с); 4,8496… | 4,850. 4, 762 14, 549 3 − + 5, 747 12 4, 8496... 4, 040 25 − 14, 549 24 − 14 12 − 29 27 − 20 18 20... Ответ: 4,850 м/с.
  • 148. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 5) 34,5 мин × 34,5 ˜ 60 с 34, 5 60 2070 с; − 2070, 0 (ñ) 10000, 2070 8280 4, 8309... ≈ 4, 831 (ì/ñ) − 17200 16560 6400 6210 − − 19000 18630 370... Ответ: искомая скорость равна 4,831 м/с. 807. 1) − 22, 57 12, 36 − 10, 21 10, 21 2 10 5, 105 − 12, 360 5, 105 17, 465 2 2 − + 10 10 0 Итак, С(17,465). 2) (12,36 + 22,57) : 2 17,465; 12, 36 34, 93 2 + − 22, 57 2 17, 465 34, 93 − 14 14 − 9 8 − 13 12 − 10 10 0 Результаты, полученные в 1) и 2) случае одинаковые. 808. O 0 M 77,36 K N 122,64 Точка K — середина отрезка MN. Найдем координату точки K. 483
  • 149. 2002–2011 гг. 484 − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 122, 64 45, 28 2 77, 36 + − 77, 36 4 22, 64 22, 64 45, 28 100, 00 5 − 4 − 12 12 − 8 8 0 Итак, K(100). Найдем среднее арифметическое координат всех точек, то есть точек M и N. (77,36 + 122,64) : 2 200 : 2 100. Вывод: среднее арифметическое координат концов отрезка есть координата середины отрезка. 809. Пусть A(a), B(b), C(c), тогда: c (a + b) : 2. 810. а) 1,53x + 0,47x 15; (1,53 + 0,47)x 15; 2x 15; x 15 : 2; x 7,5; б) 3,28x + 4,72x 17; (3,28 + 4,72)x 17; 8x 17; x 17 : 8; x 2,125; 17, 8 − 16 2, 125 − 10 8 − 20 16 − 40 40 0 в) 84,6x – 44,6x 35; (84,6 – 44,6)x 35; 40x 35; x 35 : 40;
  • 150. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 0,875; 35, 0 40 − 320 0, 875 x 300 280 200 − 200 0 г) 39,49x + 10,51x 18; (39,49 + 10,51)x 18; 50x 18; x 18 : 50; x 0,36; 18, 0 50 − 150 0, 36 300 − 300 0 − 811. а) 6,5x – 2,5x 19; (6,5 – 2,5)x 19; 4x 19; x 19 : 4; x 4,75; 19, 4 − 16 4, 75 30 − 28 20 − 20 0 б) 4,58x + 2,42x 7,14; (4,58 + 2,42)x 7,14; 7x 7,14; x 7,14 : 7; x 1,02; 7, 14 7 − 7 1, 02 − 14 14 0 485
  • 151. 2002–2011 гг. 486 в) 7,14x + 17,86x 38; (7,14 + 17,86)x 38; 25x 38; x 38 : 25; x 1,52; 38, 25 − 25 1, 52 − 130 125 − 50 50 0 г) 199,29x – 119,29x 72; (199,29 – 119,29)x 72; 80x 72; x 72 : 80; x 0,9; 72, 0 80 − 720 0, 9 0 812. а) 1,9x + 3,34x – 2,24x 30,66; (1,9 + 3,34 + 2,24)x 30,66; 3x 30,66; x 30,66 : 3; x 10,22; 30, 66 3 − 3 10, 22 − 6 6 − 6 6 0 б) 96,41x – 88,24x + 1,83x 0,0202; (96,41 – 88,24 + 1,83)x 0,0202; 10x 0,0202; x 0,0202 : 10; x 0,00202; 96, 41 8, 17 − + 88, 24 1, 83 8, 17 10, 00 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 152. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ в) 4,25x + 56,402x – 4,652x 58,912; (4,25 + 56,402 – 4,652)x 58,912; 56x 58,912; x 58,912 : 56; x 1,052; + 54, 402 60, 652 58, 912 56 − − 4, 652 4, 250 56 1, 052 60, 652 56, 000 − 291 280 − 112 112 0 г) 5,45x – 4,568x – 0,882x 0; (5,45 – 4,568 – 0,882)x 0; 1x 0; x 0; 5, 450 1, 882 − − 4, 568 0, 882 1, 882 1, 000 813. а) 34,98x – 33,98x + 24x 87,29; (34,98 – 33,98 + 24)x 87,29; 25x 87,29; x 87,29 : 25; x 3,4916; − 87, 29 25 75 3, 4916 − 122 100 − 229 225 − 40 25 − 150 150 0 б) 56,289x + 45,07x – 100,359x 52,15; (56,289 + 45,07 – 100,359)x 52,15; 1x 52,15; x 52,15; 487
  • 153. 2002–2011 гг. 488 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 56, 298 101, 359 − 45, 070 100, 359 + 101, 359 1, 000 в) 25,5x – 13,08x – 12,42x 52,907; (25,5 – 13,08 – 12,42)x 52,907; 0 ˜ x 52,907; 25, 50 − 13, 08 12,42 – 12,42 12, 42 0. Уравнение не имеет решения, так как если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0. г) 186,37x – 95,327x – 52,043x 12,48; (186,37 – 95,327 – 52,043)x 12,48; 39x 12,48; x 12,48 : 39; x 0,32; − 186, 370 91, 043 12, 48 39 − − 95, 327 52, 043 117 0, 32 91, 043 39, 000 − 78 78 0 814. (10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 13 + 13 + 13 + + 14 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 10 + 10 + 9) : 24 (70 + 36 +33 + 24 + + 16 + 52 + 28) : 24 (103 + 60 + 80 + 16) : 24 259 : 24 10,791666… | | 10,8q. Ответ: среднесуточная температура |10,8q. 815. а) 270,48 : 14 – (15,45 : 15 + 54,252 : 9) 12,262; 1) − 15, 45 15 15 1, 03 − 45 45 0 2) − 54, 252 9 54 6, 028 − + 6, 028 1, 030 7, 058 25 18 − 3) 72 72 0
  • 154. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 4) − − 270, 48 14 5) 19, 320 − 7, 058 14 19, 32 12, 262 130 126 44 42 − − 28 28 0 б) 270,14 : 14 – 15,45 : 15 + 54,252 : 9 24,318; 19, 32 18, 290 + − 6, 028 1, 03 24, 318 18, 29 в) 270,48 : 14 – 15,45 : 15 – 54,252 : 9 12,262; 19, 32 18, 290 − − 6, 028 1, 03 12, 262 18, 29 г) 54,252 : 9 + 270,48 : 14 – 15,45 : 15 24,318; 6, 028 25, 348 − + 1, 030 19, 340 19,32 – 1,03 + 6,028 19,32 – 1,03 – 6,028 6,028 + 19,32 – 1,03 25, 348 24, 318 816. а) 0,3 ˜ (23,316 : 5,8 + 0,5175 : 0,75) – 1,413 1) 23,316 : 5,8 233,16 : 58 4,02; − 233, 16 58 232 4, 02 − 116 116 0 2) 0,5175 : 0,75 − 51, 75 75 450 0, 69 − 675 675 0 51,75 : 75 0,69; 0; 489
  • 155. 2002–2011 гг. 490 3) + 4, 02 0, 69 4, 71 4) × 4, 71 0, 3 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 5) 1,413 – 1,413 1, 413 б) 0,3 ˜ 23,316 : 5,8 – 0,5175 : 0,75 0 1,413 0,482; 4, 02 1, 206 1, 896 × + − 0, 3 0, 690 1, 413 0,3 ˜ 4,02 + 0,69 – 1,412 1, 206 1, 896 0, 483 в) 0,3 ˜ 23,316 : 5,8 + 0,3 ˜ 0,5175 : 0,75 – 1,413 – 1,413 0; 0, 69 1, 206 × + 0, 3 0, 207 0, 207 1, 413 1,413 – 1,413 0; г) 23,316 : 5,8 + 0,3 ˜ 0,5175 : 0,75 – 1,413 2,814; 4, 020 4, 227 + − 0, 207 1, 413 4, 227 0; 1,206 + 0,3 ˜ 0,69 – 4,02 + 0,207 – 1,413 2, 814 817. 1) − 442, 0 109 436 4, 0550... ≈ 4, 1 (ì) — высота 1 этажа Чикагского небоскреба; 600 − 545 550 − 545 50... 2) 412, 0 110 330 3, 7454... ≈ 3, 7 (ì) — высота 1 этажа Нью-Йоркского небоскреба. 820 − 770 500 − 440 600 − 550 500 − 440 60... Ответ: высота одного этажа Чикагского небоскреба больше, чем у Нью-Йоркского. −
  • 156. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 818. 491 269, 1 117 234 2, 3 (ì) − − 351 351 0 Ответ: длина окружности колеса автомобиля равна 2,3 м. 819. а) (28,7 – 23,4) : 2 2,65 (км/ч). 28, 7 5, 3 2 − − 23, 4 4 2, 65 5, 3 − 13 12 − 10 10 0 Ответ: скорость течения реки равна 2,65 км/ч. б) 1) (23,1 – 18,8) : 2 2,15 (км/ч) — скорость течения реки. 23, 1 4, 3 2 − − 18, 8 4 2, 15 4, 3 − 3 2 − 10 10 0 2) + 18, 80 2, 15 20, 95 (êì/÷) Ответ: собственная скорость теплохода равна 20,95 км/ч. 820. Нужно рассмотреть случаи движения по течению реки и против течения реки. 821. 1) 112, 0 + 96, 5 208, 5 (км) — общий путь; 2) + 3 ÷ 20 ìèí 2 ÷ 60 ìèí 5 ÷ 60 ìèí = 6 ÷ — общее время;
  • 157. 2002–2011 гг. 492 3) − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 208, 5 6 18 34, 75 (êì/÷) − 28 24 − 45 42 − 30 30 0 Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути равна 34,75 км/ч. 822. 1) s : v (ч); 2) (s – 20) (км); 3) (v – 12) км/ч; 4) (s – 20) : (v – 12) (ч); 5) s : v – (s – 20) : (v – 12) (ч); 6) s : v + (s – 20) : (v – 12) (ч); 7) s + (s – 20) 2s – 20 (км); 8) (2s – 20) : (s : v – (s – 20) : (v – 12)) (км/ч). Контрольные задания 1. а) − б) − 20, 7 6 18 3, 45 18, 96 12 12 1, 58 − 69 60 − − 96 96 − 2. (54,8 + 152,07 + 80,53) : 3 287, 40 30 30 0 0 152, 07 + 54, 80 80, 53 27 24 − 287, 4 3 27 95, 8 − 17 15 − 24 24 0 95,8;
  • 158. 493 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ § 46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь 823. 1) 2) 3) 824. а) 1,5 : 0,3 15 : 3 5; 4,2 : 0,06 420 : 6 70; 0,35 : 0,5 35 : 50 0,7; 6 : 0,8 60 : 8 7,5; − 4) 5) 6) б) 9 : 4,5 90 : 45 2; 0,072 : 0,1 0,72 : 1 0,72; 1,634 : 0,0001 16 340 : 1 16 340. 160 : 0,016 160 000 : 16 10 000; 60, 0 8 56 7, 5 − 40 40 0 в) 32 : 1,28 − 3200 : 128 г) 24 : 6,25 25; 3200 128 256 25 − − 640 640 2400, 625 1874 3, 84 − 0 5250 5000 − 2500 2500 0 825. а) 1 : 0,5 10 : 5 2; б) 19 : 0,0608 190 000 : 608 190000 608 − 1824 312, 5 − 760 608 − 1520 1216 − 3040 3040 0 в) 4 : 0,025 4000 : 25 4000 25 − 25 160 − 150 150 0 160; 312,5; 2400 : 625 3,84;
  • 159. 2002–2011 гг. 494 г) 8,932 : 2,9 − 89,32 : 29 3,08; 89, 32 29 87 3, 08 − 232 232 0 826. а) 9 : 0,36 900 : 36 − 900, 36 72 25 − 25; 180 180 0 б) 89 : 0,02848 8 900 000 : 2848 3125; 8900000 2848 − 8544 3125 − 3560 2848 − 7120 5696 − 14240 14240 0 в) 34 : 0,085 3400 : 85 3400 85 − 340 40 40; 0 г) 225 : 0,625 225 000 : 625 360; 225000 625 − 1875 360 − 3750 3750 0 827. а) 0,75 : 0,15 75 : 15 5; б) 1,836 : 0,204 1836 : 204 9; ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 160. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ − 1836 204 1836 9 0 в) 7,05 : 1,5 − 70,5 : 15 4,7; 70, 5 15 60 4, 7 − 105 105 0 г) 12,4 : 0,031 − 12 400 : 31 400; 2,091 : 41 0,051; 12400 31 124 400 0 828. а) 0,2091 : 4,1 − 2, 091 41 205 0, 051 − 41 41 0 б) 519,536 : 15,2 − 5195,36 : 152 5196, 36 152 456 34, 18 − 635 608 − 273 152 − 1216 1216 0 34,18; 495
  • 161. 2002–2011 гг. 496 в) 3,5 : 0,4 − 35 : 4 8,75; 35, 0 4 32 8, 75 − 30 28 − 20 20 0 г) 3,76 : 0,4 − 37,6 : 4 9,4; 37, 6 4 36 9, 4 − 16 16 0 829. а) − б) 1680 400 1600 0, 42 − 0 7230, 0 5000 5000 1, 446 − 800 800 − 22300 20000 − 23000 20000 − 30000 30000 0 в) 16,92 : 4,23 − 1692 : 423 1692 423 1692 4 0 г) − 6448, 0 8000 64000 0, 806 − 48000 48000 0 4; ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ
  • 162. 497 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 830. а) 836. а) − − 17, 5 14 14 1, 25 35 − 28 70 − 70 0 42, 25 13 − − г) 8610 246 728 35 1130 1130 65 65 − − 1840, 0 736 1472 2, 5 − 3680 3680 0 825, 6 32 25, 8 ≈ 26 64 − 0 69,02 : 3,4 − в) 259 37 259 7 0 32 26 − − 0 3, 25 ≈ 3 39 − б) 185 160 − 256 256 0 690,2 : 34 20,3; 690, 2 34 20, 3 ≈ 20 68 − 102 102 0 б) − 21, 45 3 900, 0 93 60, 48 12 − − 7, 15 ≈ 7, 2 21 9, 76... ≈ 9, 7 60 5, 04 ≈ 5 837 − 630 558 − 720 651 − 48 48 − 4 3 0 − 15 15 0 69... в) − 1, 05 12 96 0, 0875 ≈ 0, 09 − 90 84 − 60 60 0 − 34, 53 15 2, 302 ≈ 2, 30 30 − 45 45 − 30 30 0
  • 163. 2002–2011 гг. 498 − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 106500 2145 8580 49, 650... ≈ 49, 65 20700 19305 13950 − 12870 10800 − 10800 750... − г) − 1066, 56 275 48, 156 15 − 3, 8784 ≈ 3, 878 825 3, 2104 ≈ 3, 210 45 − 31 30 − − − 15 15 − 2415 2200 60 60 0 2156 1925 − 2310 2200 − 1100 1100 0 − 61, 25075 25 2, 45003 ≈ 2, 450 50 112 100 125 − 125 075 − 75 0 837. а) Да; б) нет; в) да; 838. 2,5 км 2,5 ˜ 1000 м 2500 м; 25000, 0 3333 − 23331 7, 50... ≈ 7, 5 (ñ) − − 16690 16665 250... Ответ: взрыв будет услышан через 7,5 с. г) да.
  • 164. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 829. 100 : 0,29 10 000 : 29 | 344,8 (м). 10000 29 − 87 344, 82... ≈ 344, 8 − 130 116 − 140 116 − 240 232 − 80 58 22... Ответ: в мотке |344,8 м нити. 840. 44,46 кг 44,46 ˜ 1000 г 44 460 г. − 444600 2925 2925 152 (ì) − 15210 14625 − 5850 5850 0 841. Ответ: в мотке 152 м проволоки. 1200 24 − 120 50 (ñò.) 50 + 1 51 (ст.) (1 крайний столб). 0 Ответ: был установлен 51 столб. 842. 1) (30 + 37,5) ˜ 2 67,5 ˜ 2 135,0 (м) — длина изгороди; 2) 1350 25 − 125 54 (ñò.) − 100 100 0 3) 54 + 1 55 (ст.). Ответ: для изгороди понадобится 55 столбов. 2) x ˜ 7,08 84,96; 843. 1) 2,6x 1307,8; x 1307,8 : 2,6; x 84,96 : 7,08; x 503; x 12; 499
  • 165. 2002–2011 гг. 500 − 13078 26 130 503 − ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ − − 78 78 8496 708 708 12 1416 1416 0 0 3) 512x 5,12; x 5,12 : 512; x 512 : 51 200; x Действительно, 512 ˜ 0,01 5,12. 4) x ˜ 23,5 143,35; 5) 5,3x 4,24; x 143,35 : 23,5; x 4,24 : 5,3; x 6,1; x 0,8; 1433, 5 235 42, 4 53 − − 1410 6, 1 424 0, 8 − 235 235 0,01. 0 0 6) 0,342x 0,342; x 0,342 : 0,342; x 1. Действительно, 0,342 ˜ 1 0,342. 7) 2,31x 0,1617; 8) x ˜ 3 3,0468; x 0,1617 : 2,31; x 3,0468 : 3,4; x 0,07; x 1,002; − 16, 17 231 1617 0, 07 − 0 34, 068 34 34 1, 002 − 068 68 0 8) 28x 0,028; x 0,028 : 28; x 0,001. Действительно, 28 ˜ 0,001 0,028. 844. б) 0,3 ˜ (28,56 + 1,5) – 0,512 8,506; 3) 9, 018 1) 28, 56 2) 30, 06 + × − 1, 50 0, 3 0, 512 30, 06 9, 018 8, 506 в) 0,3 ˜ 28,56 + 0,3 ˜ 1,5 – 0,512 8,506; 3) 8, 568 1) 28, 56 2) 1, 5 × + × 0, 3 0, 450 0, 3 8, 568 0, 45 9, 018 4) − 9, 018 0, 512 8, 506
  • 166. 501 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 845. а) 0,51 + 0,8 ˜ (5 : 4 + 38 : 1,9 + 91,2 : 15,2) 1) − 2) 380 : 19 5, 0 4 4 1, 25 − 20; 22,31; 3) − 912 152 912 6 0 10 8 − 20 20 0 4) 5) 1, 25 + 20, 00 6, 00 × 6) 27, 25 0, 8 21, 800 + 21, 80 0, 51 22, 31 27, 25 в) 0,51 + 0,8 ˜ 5 : 4 + 0,8 ˜ 38 : 1,9 + 0,8 ˜ 91,2 : 15,2 1) × 1, 25 0, 8 2) 0, 8 20 16, 0 1, 000 3) 0,8 ˜ 6 × 22,31; 4,8; 4) 0, 51 1, 00 + 16, 00 4, 80 22, 31 846. а) (x + 25.32) р.; 4,6х р.; 5,75 ˜ (х + 25,32) (р.); 4,6x + 5,75 ˜ (x + 25,32) (р.); 5,75(x + 25,32) – 4,6x (р.); б) 4,6x + 5,75(x + 25,32) 588,57; 4,6x + 5,75x + 145,59 588,57; 10,35x 588,57 – 145,59; 10,35x 442,98; x 442,98 : 10,35; x 42,8; 5,75(x + 25,32) – 4,6x 104,81; 5,75x + 145,59 – 4,6x 194,81; 1,15x 194,81 – 145,59; 1,15x 49,22; x 49,22 : 1,15; x 42,8. Найдена цена ситца за 1 м.
  • 167. 2002–2011 гг. 502 847. 1) − 26, 03103 3 8, 67701 ≈ 8, 68 24 2) ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ − 20 18 − − 6 4 − 23 21 − 8, 62222 4 2, 155... ≈ 2, 16 8 22 20 21 21 − 22 20 − 03 3 − 2... 0 3) − 9, 27 4 8 2, 3175 ≈ 2, 32 − 4) − − 7 4 − 30 28 20 20 0 848. 1) − 428, 402 52 8, 238... ≈ 8, 24 416 − 124 104 − 1103, 13 15 105 73, 542 ≈ 73, 54 53 45 81 − 75 63 − 60 30 − 30 0 12 12 − − 200 156 − 442 442 26... 2) − 171, 376 8 21, 422 ≈ 21, 42 16 − 11 8 − 33 32 − 17 16 − 16 16 0
  • 168. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ − 60, 01 5 12, 002 ≈ 12, 00 5 − 3) 10 10 − 4) − 199, 95 25 7, 998 ≈ 8, 00 175 − 010 10 249 225 − 0 503 245 225 − 200 200 0 849. а) При а 3; b 0,1 a + b 3 + 0,2 27 + 0,008 27,008; б) при а 3; b 0,2 (a + b)3 (3 + 0,2)3 3,23 3,2 ˜ 3,2 ˜ 3,2 32,768; в) при а 3; b 0,2 (a + b)(a2 – ab + b2) (3 + 0,2) ˜ (32 – 3 ˜ 0,2 + 0,22) 3,2 ˜ 8,44 27,008; г) при а 3; b 0,2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 33 + 3 ˜ 32 ˜ 0,2 + 3 ˜ 3 ˜ 0,22 + + 0,23 27 + 0,36 + 0,008 32,768. Итак, при данных значениях переменных а и b равны значения выражений а) и в); б) и г), то есть a3 + b3 (a + b)(a2 – ab + b2); (a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 850. а) 1,5x + 3x + 3 ˜ 0,83 4,5x + 2,49; б) 7,1 + 17 – 5x 24,1 – 5x; в) 1,2y + 6 – 1,7 1,2y + 4,3; г) 3x + 2,5x – 15 5,5x – 15. 851. а) y + 7y – 21,7 8y – 21,7; б) 1,1x + 2,6x _ 5,2 3,7x – 5,2; в) x + 4,5x + 9x + 46,8 14,5x + 46,8; г) 7,1x + 1,42 + 1,8 7,1x + 3,22. 852. а) 3x (р.); (х – 0,85) р.; 4(х – 0,85) р.; 3х + 4(х – 0,85) (р.); 3х – 4(х 0,85) (р.); 30 – (3х – 4(х – 0,85)) (р.); б) 3x + 4(x – 0,85) 23,9; 3x + 4x – 3,4 23,9; 7x 23,9 + 3,4; 7x 27,2; x 27,3 : 7; x 3,9. Найдена цена ручки — 3,9 р. 853. Цена тетради — х р., а книги — (х + 7) р. Дальше задание можно выполнить также, как в № 852. 3 3 3 3 28, 4 ⋅ 2, 5 − 1, 34 71 − 1, 34 69, 66 = 3; = = 1, 089 : 1, 5 + 6, 3 : 0, 28 0, 72 + 22, 5 23, 22 0, 72 − 0, 104 − 0, 112 ⋅ 0, 5 0, 616 − 0, 056 0, 56 б) = = = 8; 0, 07 0, 063 : 1, 26 ⋅ 0, 13 0, 05 ⋅ 1, 4 1 : 0, 25 0, 135 : 0, 054 4 (2, 1 − 1, 965) : (0, 12 ⋅ 0, 45) в) − = − = 0, 0325 : 0, 13 0, 16 ⋅ 6, 25 0, 25 1 854. а)
  • 169. 2002–2011 гг. 504 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 2, 5 − 4 = 10 − 4 = 6; 0, 25 4, 488 7, 1 ⋅ 1, 5 (4, 3 + 2, 8) ⋅ (4, 3 − 2, 8) г) + = + 37, 4 = (3, 6 − 0, 63) : (4, 61 + 7, 27) 0, 12 2, 97 : 11, 88 10, 65 = + 37, 4 = 42, 6 + 37, 4 = 80. 0, 25 = 855. 1) − 5775 35 35 165 (р.) — стоит 1 м ткани; − 227 210 − 175 175 0 2) × 20, 25 165 10125 + 12150 2025 3341, 25 (ð.) 856. 1) Ответ: стоимость ткани равна 3341,25 р. 24 52, 8 16 2) × − 2, 2 48 3, 3 (ì) + 48 48 − 48 48 52, 8 (ì) — расстояние; 0 Ответ: длина окружности заднего колеса равна 3,3 м. 8, 1 2) 857. а) 1) 4, 47 − × 0, 4 2, 12 3, 24 3) 894 + 447 894 9, 4764 — новое произведение; 9, 4764 − 4, 4700 5, 0064 Ответ: новое произведение больше первоначального на 5,0064.
  • 170. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 858. 1) 5,1 ˜ 2 10,2 (раза); 2) × + 505 28, 1 10, 2 562 281 286, 62 (ì2 ) Ответ: искомая площадь равна 286,62 м . 1, 25 2) 859. 1) 15, 0 12 × − 26 12 1, 25 (ðàç) 2 − 30 24 − 3) 60 60 + 750 250 32, 50 (р.) — стоимость карамели; 0 32, 5 + 26, 0 58, 5 (ð.) Ответ: было куплено конфет на общую сумму 58,5 р. 860. а) 72, 0 45 Частное увеличится в 1,6 раза; − 45 1, 6 − 270 270 0 б) частное не изменится; в) частное не изменится; г) 2,5 ˜ 0,5 1,25 (раза); частное уменьшится в 1,25 раза. 861. 1) 135 2) 540 15 − — один из множителей; − 81 45 36 54 90 − 90 3) 0 81, 0 36 72 2, 25 — второй множитель. 90 − 72 180 − 180 0 Ответ: искомые числа равны 36 и 2,25. −
  • 171. 2002–2011 гг. 506 б) 862. а) 0,25 + 0,3 0,55; в) 0,2 + 8,09 8,29; г) 1, 0 5 1, 0 1, 0 4 − − − 10 0, 2 10 8 0, 25 − 0 20 20 ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 1,68 – 0,5 1,18; 0,75 – 0,098 0,652. 2 3, 0 4 − 28 0, 75 0, 5 0 − 0 20 20 0 Контрольные задания а) − б) 288, 36 36 288 8, 01 − 36 36 − 39, 22 74 370 0, 53 − 222 222 0 0 § 47. Понятие процента 864. 100 % — все высаженные овощи; 8 % ˜ 3 24 % — занято помидорами; 100 % – (6 % + 24 %) 68 % — занято картофелем. 865. 100 % — воздух; 75,5 % – 52,4 % 23,1 % — приходится на кислород; 100 % – (75,5 % + 23б1 %) 1,4 % — приходится на остальные газы. 866. 100 % — все книги библиотеки; 36 % : 3 12 % — справочники и словари; 100 % – (36 % + 12 %) 51 % — художественная литература. 1% 867. Сотая часть числа Десятая часть числа Пятая часть числа 10 % 20 % Четвертая часть числа 100 % Половина числа Три четверти числа 50 % 3 ˜ 25 % 75 % Треть числа 100 % 4 3 = 25 % ≈ 33 % 868. На остальных насекомых приходится 50 % коллекции.
  • 172. ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 507 869. 100 % – 10 % 90 %. Ответ: на остальные монеты приходится 90 % коллекции. 870. 100 % – 25 % 75 %. Ответ: на отечественную литературу приходится 75 % библиотечного фонда. Контрольные задания 1 % — это сотая часть величины. § 48. Задачи на проценты 874. 1) 180 : 6 30 (марок) — величина 1 %; 2) 30 ˜ 100 3000 (марок). Ответ: в коллекции филателиста 3000 марок. 875. 1) 750 : 100 7,5 (уч.) — величина 1 %; 2) 7,6 ˜ 6 45 (уч.). Ответ: шахматный кружок посещают 45 учеников. 876. 1) 18 : 3 6 (уч.) — величина 1 %; 2) 6 ˜ 100 600 (уч.). Ответ: в школе 600 учеников. 877. 1) 150 : 100 1,5 (дер.) — величина 1 %; 2) 1,5 ˜ 8 12 (лип). Ответ: в парке 12 лип. 878. 1) 131,1 : 23 5,7 (м) — величина 1 %; 2) 5,7 ˜ 100 570 (м). Ответ: бригада должна отремонтировать 570 м дороги. 879. 1) 1500 : 100 15 (монет) — величина 1 %; 2) 15 ˜ 21 315 (монет) — старинные; 3) 15 ˜ 2 30 (монет) — иностранные; 4) 15 ˜ 5 75 (монет) — юбилейные. Ответ: в коллекции 315 старинных монет, 30 иностранных и 75 юбилейных. 880. 1) 48 : 60 0,8 (тыч. р.) — величина 1 %; 2) 0,8 ˜ 100 80 (тыч. р.). Ответ: для оборудования кабинета нужно 80 тысяч рублей. 881. 1) 1200 : 100 12 (марок) — величина 1 %; 2) 12 ˜ 5 60 (марок) — старинные; 3) 12 ˜ 18 216 (марок) — юбилейные; 4) 12 ˜ 6 72 (марки) — иностранные. Ответ: в коллекции 60 старинных марок, 216 юбилейных и 72 иностранные. 882. 1) 1260 : 20 63 (р.) — величина 1 %; 2) 63 ˜ 100 6300 (р.). Ответ: за ремонт кухни было уплачено 6300 р. 883. 1) 10 000 : 100 100 (м2) — величина 1 %; 2) 100 ˜ 15 1500 (м2) — брюссельская капуста;
  • 173. 508 884. 885. 886. 887. 888. 889. 890. 891. 892. 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ 3) 100 ˜ 24 2400 (м2) — капуста кольраби; 4) 100 ˜ 28 2800 (м2) — цветная капуста. Ответ: под брюссельскую капусту отведено 1500 м2; под капусту кольраби — 2400 м2; под цветную — 2800 м2. 1) 800 : 10 80 (пар) — величина 1 %; 2) 80 ˜ 100 8000 (пар). Ответ: на оптовую базу поступило 8000 пар обуви. 1) 87 : 75 1,16 (га) — величина 1 %; 2) 1,16 ˜ 100 116 (га). Ответ: бригада должна убрать урожай с 116 га. 1) за 100 % примем путь лыжников за три дня — это 87 км; 2) 87 : 100 0,87 (км) — 1 %; 3) 0,87 ˜ 35 30,45 (км) — I день; 4) 0,87 ˜ 38 33,06 (км) — II день; 5) 87 – (30,45 + 33б06) 87 – 63,51 23,49 (км) — III день. 1) весь путь, он неизвестен; 2) 33 : 30 1,1 (км) — 1 %; 3) 1,1 ˜ 100 110 (км) — весь путь за три дня; 4) 1,1 ˜ 38 41,8 (км) — II день; 5) 110 – (33 + 41,8) 110 – 74,8 35,2 (км) — III день. 1) выпущенны за месяц 2500 деталей; 2) 2500 : 100 2,5 (детали) — 1 %; 3) 25 ˜ 35 875 (деталей) — I декада; 4) 25 ˜ 40 1000 (деталей) — II декада; 5) 2500 – (875 + 1000) 2500 – 1875 625 (деталей) — III декада. 1) выпущенные за месяц детали; неизвестна; 2) 102 : 17 8 (деталей) — 1 %; 3) 8 ˜ 100 800 (деталей) — за месяц по плану; 4) 8 ˜ 34 204 (детали) — II декада; 5) 800 – (102 + 204) 800 – 306 494 (детали) — III декада. 1) 382 200 : 100 3822 (р.) — 1 %; 2) 3822 ˜ 45 171 990 (р.) — материалы; 3) 171 900 ˜ 2 343 980 (р.) — стоимость работ и материала; 4) 383 200 – 343,980 38 220 (р.) — доставка. Ответ: стоимость материала равна 171 990 р., а доставки — 38 220 р. 1) 60 : 15 4 (стр.) — 1 %; 2) 4 ˜ 100 400 (стр.) — всего в книге; 3) 4 ˜ 25 100 (стр.) — II день; 4) 400 – (100 + 60) 400 – 160 240 (стр.) — III день. Ответ: во второй день Оля прочитала 100 страниц книги, а в третий — 240 страниц. 1) 35 : 100 0,35 (кг) — 1 %; 2) 0,35 ˜ 14 4,9 (кг) — сушеные грибы; 3) 2,8 : 14 0,2 (кг) — 1 % для второго случая; 4) 0,1 ˜ 100 20 (кг) — свежие грибы. Ответ: из 35 кг свежих грибов можно получить 4,9 кг сушеных; а чтобы получить 2,8 кг сушеных грибов, нужно взять 20 кг свежих грибов.
  • 174. 509 ǝDzȅDzǺǵDz ȀǼǽǭdzǺDzǺǵǶ Ƿ ȀȄDzǮǺǵǷȀ Ǖ. Ǖ. ǔȀǮǭǽDzǯǻǶ, Ǎ. ǐ. ǙǻǽDZǷǻǯǵȄǭ 893. 1) 100 % – 35 % 65 % — остается вареного мяса; 2) 1 : 65 0,01538… | 0,015 (кг) — 1 % для первого случая; 3) 0,015 ˜ 100 1,5 (кг) — свежее мясо; 4) 2 : 100 0,02 (кг) — 1 % для второго случая; 5) 0,02 ˜ 65 1,3 (кг) — вареное мясо. Ответ: нужно взять |1,5 кг свежего мяса, чтобы получить 1 кг вареного; а из 2 кг свежего мяса получится 1,3 кг вареного. Контрольные задания 1. 2. 3. 4. 5,96 : 100 0,0596 — 1%. 0,079 ˜ 100 7,9 — 100 %. 186 : 100 ˜ 34 1,86 ˜ 34 – 63,24. 53,94 : 62 ˜ 100 0,87 ˜ 100 87. § 49. Микрокалькулятор 894. а) + 215, 710 34, 527 250, 237 б) − 7549, 25 6343, 77 1205, 48 в) × + 15, 78 30, 05 7890 4734 474, 1890 г) − 382, 27 127 381 3, 01 − 127 127 0 895. а) 395,561; проверка: 395,561 – 54,281 341,28. Так как получили второе слагаемое, то сумма найдена правильно. б) 300,652; проверка: 300,652 + 390,4 691,052; в) 271,488; проверка: 271,488 : 12,8 21,21; г) 322,5; проверка: 322,5 ˜ 18 5805. 896. а) 0,302; проверка: 0,302 – 0,052 0,25; б) 0,0937; проверка: 0,0937 + 0,0088 0,1025; в) 28,08; проверка: 28,08 : 0,8 35,1; г) 0,1416; проверка: 0,1416 ˜ 2,5 0,354. 897. 25 32; 4,23 74,088; 37 2187; 5,14 676,5201. 898. а) 67,111 – 33,048 34,063; б) 165,42 + 73,55 238,97; в) 166,663 – 102,58 64,083; г) 311,5 : 2,8 111,25. 899. а) 546,31 – 452,8 93,51; б) 2,626 + 11,44 14,066; в) 74,11 + 85,32 159,43; г) 1,8 ˜ 1,3536 2,43648. 900. ‘А — ? в 2 раза >, чем 2x° ⎫ ⎪ ‘В — ? 180° x° ⎬ ‘С — ? на 20q <, чем ⎪ ⎭ (x − 20)°
  • 175. 510 2002–2011 гг. ǙǍǟǒǙǍǟǕǗǍ Решение. 2x + x + x – 20 180; 4x 180 + 20; 4x 200; x 50. Итак, ‘B 50q, ‘А 2 ˜ 50q 100q; ‘С 50q – 20q 30q. Ответ: ‘А 100q; ‘В 50q; ‘С 30q. 901. 1 способ: ‘ABF 180q – 158q 22q; ‘DBF 165q – 22q 143q. 2 способ: ‘CBD 180q – 165q 15q; ‘DBF 158q – 15q 143q. 3 способ: 1) 158q + 165q 323q; 2) 323q – 180q 143q. Ответ: ‘DBF 143q. 902. 1) 6 : 8 ˜ 3 0,75 ˜ 3 2,25 (сотки) — занято под огурцы; 2) 2,25 : 5 ˜ 2 9,45 ˜ 2 0,9 (сотки) — занято под огурцы для открытого грунта; 3) 2,25 – 0,9 1,35 (сотки) — тепличные сорта. Ответ: тепличными сортами занято 1,35 сотки участка. 903. Единичный отрезок — 8 клеток.