1. SISTEMAS DE
COLAS

2. INTRODUCCION
 Los sistemas de colas son frecuentes en
la infraestructura de transporte: peajes,
terminales, etc.
 Un inadecuado diseño puede causar
demoras en el movimiento de personas y
carga
 Es necesario lograr un balance entre el
tiempo de atención y el costo del sistema
de atención.

3. TEORIA DE
COLAS

4. Acerca de las colas
 Una cola es una línea de espera
 La teoría de colas es un conjunto de
modelos matemáticos que describen
sistemas de líneas de espera
particulares
 El objetivo es encontrar el estado
estable del sistema y determinar una
capacidad de servicio apropiada

5.  Existen muchos sistemas de colas
distintos
 Algunos modelos son muy especiales
 Otros se ajustan a modelos más
generales
 Se estudiarán ahora algunos
modelos comunes
 Otros se pueden tratar a través de la
simulación

6. Sistemas de colas: modelo básico
 Un sistema de colas puede
dividirse en dos componentes
principales:
–La cola
–La instalación del servicio
 Los clientes o llegadas vienen en
forma individual para recibir el
servicio

7. Sistemas de colas: modelo básico
 Si cuando el cliente llega no hay
nadie en la cola, pasa de una vez a
recibir el servicio
 Si no, se une a la cola
 Es importante señalar que la cola
no incluye a quien está recibiendo
el servicio

8. Sistemas de colas: modelo básico
 Las llegadas van a la instalación
del servicio de acuerdo con la
disciplina de la cola
 Generalmente ésta es primero en
llegar, primero en ser servido
(FIFO)
 Pero pueden haber otras reglas o
colas con prioridades

9. Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas

10. Estructuras típicas de sistemas de
colas: una línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

11. Estructuras típicas de sistemas de colas:
una línea, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

12. Estructuras típicas de colas: varias
líneas, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

13. Estructuras típicas de colas: una línea,
servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

14. Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para
el cliente al esperar
 Representa el costo de
oportunidad del tiempo perdido
 Un sistema con un bajo costo de
espera es una fuente importante
de competitividad

15. Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de
operación del servicio brindado
 Es más fácil de estimar
– El objetivo de un sistema de
colas es encontrar el sistema
del costo total mínimo

16. ELEMENTOS DEL PROCESO
 Las llegadas (demanda) o características de
la entrada
 La atención (capacidad) o característica de la
salida
 El procedimiento de servicio o disciplina de
cola.
El régimen de las llegadas y salidas puede ser
determinístico o probabilístico.

17. Las llegadas
 El tiempo que transcurre entre dos
llegadas sucesivas en el sistema de
colas se llama tiempo entre llegadas
 El tiempo entre llegadas tiende a ser
muy variable
 El número esperado de llegadas por
unidad de tiempo se llama tasa media
de llegadas (q). En algunos textos λ

18. Las llegadas
 El tiempo esperado entre llegadas
es 1/q
 Por ejemplo, si la tasa media de
llegadas es q = 20 clientes por hora
 Entonces el tiempo esperado entre
llegadas es 1/q = 1/20 = 0.05 horas
o 3 minutos

19. Las llegadas
 Es necesario estimar la distribución
de probabilidad de los tiempos
entre llegadas
 Generalmente se supone una
distribución exponencial
 Esto depende del comportamiento
de las llegadas

20. Modelo de llegadas tipo Poisson
 El análisis de colas de espera es útil para el diseño de
puestos de atención.
 Supuestos del Modelo
– un conductor (operador) sitúa su vehículo
independientemente de los demás, excepto cuando los
intervalos son pequeños.
– El número de vehículos que en un momento pasa por un
punto es independiente del que pasa por otro punto.
– El número de vehículos que pasa por un punto en un
momento es independiente del que pasa en otro momento

21. Distribución de Poisson
 Es una distribución discreta
empleada con mucha frecuencia para
describir el patrón de las llegadas a
un sistema de colas
 Para tasas medias de llegadas
pequeñas es asimétrica y se hace
más simétrica y se aproxima a la
binomial para tasas de llegadas altas

22. Distribución de Poisson
Llegadas por unidad de tiempo0
P

23. ( )
( )
( )
!
!
(0) ( )
x m
x qt
qt
m e
p x
x
qt e
p x
x
p p h t e
−
−
−
=
=
= ≥ =
P(x): Probabilidad de que
lleguen x unidades
m: número promedio de
unidades que llegan
durante un período de
tiempo.
q: tasa media de llegadas
h: intervalo
t: tiempo
Este es el modelo de llegadas exponencial

24. Distribución exponencial
( )
( )2
2
si 0
( )
0 si 0
1
1
qt
qe t
f t
t
E T
q
T
q
σ
−
 ≥
= 
<
=
=
Media Tiempo0
f(t)
(intervalo ) 1 qt
P t e−
≤ = −
f(t): función de densidad de probabilidad de la distribución
exponencial, que es característica de los tiempos de llegada

25. Distribución exponencial
 La distribución exponencial supone
una mayor probabilidad para tiempos
entre llegadas pequeños
 En general, se considera que las
llegadas son aleatorias
 La última llegada no influye en la
probabilidad de llegada de la
siguiente

26. El servicio
 El servicio puede ser brindado por
un servidor o por servidores
múltiples
 El tiempo de servicio varía de
cliente a cliente
 El tiempo esperado de servicio
depende de la tasa media de
servicio (Q). En algunos textos μ

27. El servicio
 El tiempo esperado de servicio
equivale a 1/Q
 Por ejemplo, si la tasa media de
servicio es de 25 clientes por hora
 Entonces el tiempo esperado de
servicio es 1/Q = 1/25 = 0.04 horas,
o 2.4 minutos

28. El servicio
 Es necesario seleccionar una
distribución de probabilidad para los
tiempos de servicio
 Hay dos distribuciones que
representarían puntos extremos:
–La distribución exponencial
(σ=media)
–Tiempos de servicio constantes
(σ=0)

29. El servicio
 Una distribución intermedia es la
distribución Erlang
 Esta distribución posee un
parámetro de forma k que
determina su desviación estándar:
1
X
k
σ =

30. El servicio
 Si k = 1, entonces la distribución
Erlang es igual a la exponencial
 Si k = ∞, entonces la distribución
Erlang es igual a la distribución
degenerada con tiempos
constantes
 La forma de la distribución Erlang
varía de acuerdo con k

31. El servicio
Distribución Erlang
Media Tiempo0
P(t)
k = ∞
k = 1
k = 2
k = 8

32. El servicio
Distribución Erlang
Distribución Desviación estándar
Constante 0
Erlang, k = 1 media
Erlang, k = 2
Erlang, k = 4 1/2 media
Erlang, k = 8
Erlang, k = 16 1/4 media
Erlang, cualquier k
media2/1
media8/1
mediak/1

33. Régimen de Servicio o Disciplina
La disciplina de la cola se refiere al orden en
que se seleccionan los miembros de la cola
para comenzar el servicio. Las más comunes
son:
 FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first
come first served): se atiende primero al que
primero llega.
 LIFO (last in first out), también conocida como
LCFS (last come first served) o pila: se atiende
primero al último.
 RSS (random selection of service), o SIRO (service
in random order), se atiende a los clientes en forma
aleatoria.

34. Cantidades de Interés en Estado de
Régimen
 Dado:
– q [λ] : Tasa de llegada
– Q [µ] : Tasa de servicio por servidor
 Incógnitas:
– E(n) : número esperado de usuarios en el
sistema.
– E(m) : número esperado de usuarios en cola.
– E(v) : Tiempo esperado en el sistema por
usuario.
– E(w): Tiempo esperado en cola por usuario.

35. Sistemas de colas: Etiquetas para
distintos modelos
Notación de Kendall: A/B/c
 A: Distribución de tiempos entre llegadas
 B: Distribución de tiempos de servicio
– M: distribución exponencial (Markov)
– D: distribución degenerada (determinística)
– Ek: distribución Erlang
–G : distribución general)
 c: Número de servidores

36. Estado del sistema de colas
 En principio el sistema está en un
estado inicial
 Se supone que el sistema de colas
llega a una condición de estado
estable (nivel normal de operación)
 Existen otras condiciones anormales
(horas pico, etc.)
 Lo que interesa es el estado estable

37. Desempeño del sistema de colas
 Para evaluar el desempeño se
busca conocer dos factores
principales:
1. El número de clientes que
esperan en la cola
2. El tiempo que los clientes
esperan en la cola y en el
sistema

38. Sistemas de colas: La cola
 El número de clientes en la cola es
el número de clientes que esperan
el servicio
 El número de clientes en el sistema
es el número de clientes que
esperan en la cola más el número
de clientes que actualmente
reciben el servicio

39. Sistemas de colas: La cola
 La capacidad de la cola es el
número máximo de clientes que
pueden estar en la cola
 Generalmente se supone que la
cola es infinita
 Aunque también la cola puede ser
finita

40. Medidas del desempeño del sistema
de colas
1. Número esperado de clientes en la
cola E(m)
2. Número esperado de clientes en el
sistema E(n)
3. Tiempo esperado de espera en la
cola E(w)
4. Tiempo esperado de espera en el
sistema E(v)

41. Medidas del desempeño del sistema de
colas: fórmulas generales
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
E v E w
Q
E m qE w
E n qE v
E n E m
Q
= +
=
=
= +

42. Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
 Suponga una estación de gasolina a
la cual llegan en promedio 45
clientes por hora
 Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
 Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola

43. Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
 La tasa media de llegadas q es 45
clientes por hora o 45/60 = 0.75
clientes por minuto
 La tasa media de servicio Q es 60
clientes por hora o 60/60 = 1 cliente
por minuto

44. Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3min
1 1
3 4min
1
0.75 4 3
0.75 3 2.25
E w
E v E w
Q
E n qE v clientes
E m qE w clientes
=
= + = + =
= = × =
= = × =

45. Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejercicio
 Suponga que a una cantera llegan en
promedio 100 camiones por hora
 Si la cantera tiene capacidad para
atender en promedio a 150 camiones
por hora, y se sabe que los clientes
esperan en promedio 2 minutos en la
cola
 Calcule las medidas de desempeño
del sistema

46. Probabilidades como medidas del
desempeño
 Beneficios:
–Permiten evaluar escenarios
–Permite establecer metas
 Notación:
–P(n) : probabilidad de tener n
clientes en el sistema
–P(v ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t tiempo

47. Factor de utilización del sistema
 Dada la tasa media de llegadas q y la
tasa media de servicio Q, se define el
factor de utilización del sistema ρ.
 Generalmente se requiere que ρ < 1
 Su fórmula, con un servidor y con s
servidores, respectivamente, es:
q q
Q sQ
ρ ρ= =

48. Factor de utilización del sistema -
ejemplo
 Con base en los datos del ejemplo
anterior, q = 0.75, Q = 1
 El factor de utilización del sistema
si se mantuviera un servidor es
ρ = q/Q = 0.75/1 = 0.75 = 75%
 Con dos servidores (s = 2):
ρ = q/sQ = 0.75/(2*1) = 0.75/2 =
37,5%

49. Modelos de una cola y un servidor
 M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
 M/G/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
general de tiempos de servicio
 M/D/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
degenerada (determinística) de tiempos de
servicio
 M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
Erlang de tiempos de servicio

50. Ejemplos
 Semáforo con régimen D/D/1
 Cuello de Botella
 Línea de espera con una estación de
servicio M/M/1 (peaje)
 Línea de espera con varias estaciones
de servicio M/M/K (peaje)
Nota: el régimen puede ser determinístico (D) o aleatorio o
markoviano (M). Un fenómeno M/M/K supone llegadas y
atención de tipo probabilístico y k estaciones de servicio

51. D(t)
A(t)
t1t0
#
t
Cola promedio:
1 0
_1
( )
Area
E m
t t
=
−
t
n0
n1
#
Tiempo de espera promedio:
Teorema de Little (1961)
1 0
_ 2
( )
Area
E w
n n
=
−

52. Análisis de Colas D/D/1
Ilustremos con un ejemplo
 La entrada de vehículos a un parque de recreaciones
es atendida en una sola barrera donde todos los
vehículos deben parar, y un guarda bosque les entrega
un folleto gratuito de información.
 Si el parque abre a las 9AM, y los vehículos empiezan
a llegar desde esa hora a una tasa de 480 veh/hr.
Después de 20 minutos, la tasa de llegada declina a
120 veh/hr, y continúa a ese nivel por el resto del día.
 Si el tiempo requerido para distribuir el folleto es de 15
segundos, y asumiendo que la cola es D/D/1, describa
las características operacionales de la cola.

53. Ejemplo: Análisis de Colas
D/D/1 Intersección Semaforizada
tiempo
No.devehículos
Q
[µ]
q
[λ]
R V
µ
V R

54. SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA M/M/1
( ) 1
n
q q
P n
Q Q
   
= − ÷  ÷
   
( )
q
E n
Q q
=
−
1. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema, P(n).
Donde n es el número de unidades en el sistema, incluyendo
la que esta siendo servida.
2. El número esperado de unidades en el sistema, E(n).
Incluye el que está siendo servido y los que esperan en fila
Tasa de llegada
q
Tasa de Servicio
Q
Área de Servicio
Cola

55. ( )
( )
2
q
E m
Q Q q
=
−
( )
( )
q
E w
Q Q q
=
−
3. El número esperado de unidades esperando para ser
servidas ( esto es, la longitud de la cola), en el sistema, E(m).
Note que E(m) no es exactamente igual a E(n)-1, la razón de
esto es que hay una probabilidad definida de cero unidades
que están en el sistema, P(0).
4. Tiempo promedio de espera en la cola, E(w).
5. Tiempo de espera promedio de una llegada, incluyendo cola
y servicio, E(v).
( )
1
E v
Q q
=
−

56. ( )
qt
Q
q
etvP






−−
−=≤
1
1
( )
qt
Q
q
e
Q
q
twP






−−
−=≤
1
1
6. Probabilidad de gastar en el sistema un tiempo menor o
igual a t.
7. Probabilidad de espera en la cola un tiempo menor o igual a
t.
8. Probabilidad de que mas de N unidades estén en la cola,
P(n>N). 1
)(
+






=>
N
Q
q
NnP

57. Modelo M/M/1: ejemplo
 Una estación de verificación puede atender un
camión cada 5 minutos y la tasa media de
llegadas es de 9 autos por hora
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en
el sistema, la probabilidad de tener una cola
de más de 3 clientes y la probabilidad de
esperar más de 30 min. en la cola y en el
sistema

58. Modelo M/M/1: ejemplo
( )
( )
( )
( )
0
9
9, 12, 0.75
12
3
2.25
0.33 20min
0.25 15min
0.25
( 3) 0.32
( 30/ 60) 0.22
( 30/ 60) 0.17
q Q
E n clientes
E m clientes
E v hrs
E w hrs
P
P n
P v
P w
ρ= = = =
=
=
= =
= =
=
> =
> =
> =

59. Modelo M/M/1: ejercicio
 A una estación de gasolina llegan en promedio
80 vehículos por hora que son atendidos entre
sus 5 surtidores.
 Cada surtidor puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/M/1
 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el
sistema, la probabilidad de tener una cola de
más de 4 clientes y la probabilidad de esperar
más de 10 min. en la cola

60. Modelo M/G/1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2(1 )
1
0 1
1
q
E n E m E m
E m
E v E w E w
Q q
P
σ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
= + =
−
= + =
= −
<
Las ecuaciones del modelo son:

61. Modelo M/G/1: ejemplo
 Una caseta en la entrada a un puerto
puede atender un camión cada 5 min.
y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora, σ = 2 min.
 Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema y la probabilidad
de que un cliente tenga que esperar
por el servicio

62. Modelo M/G/1: ejemplo
( )
( )
( )
( )
2 2 2
0
1.31
2(1 )
1.31 .75 2.06
0.145 8.7min
0.228 13.7min
1 0.25
q
E m clientes
E n clientes
E w hrs
E v hrs
P
σ ρ
ρ
ρ
+
= =
−
= + =
= =
= =
= − =

63. Modelo M/G/1: ejercicio
 A un aeropuerto llegan en promedio 80
viajeros por hora que son atendidos entre sus
5 puntos de atención.
 Cada punto puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos. Suponga σ = 5 min
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en
el sistema y la probabilidad de que un cliente
tenga que esperar por el servicio

64. Modelo M/D/1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2(1 )
1
1
E n q E v E m
E m
E v E w E w
Q q
ρ
ρ
ρ
= =
−
= + =
<
Es un caso especial del modelo M/G/1 en el cual se supone
que los tiempos de servicio son constantes, por lo cual su
varianza es cero

65. Modelo M/D/1: ejemplo
 Una caseta de entrada a un puerto
puede atender un camión cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9
camiones/hora.
 Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/D/1

66. Modelo M/D/1: ejemplo
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
1.125
2(1 )
1.875
0.125 7.5min
1
0.21 12.5min
q
E m clientes
E n qE m clientes
E m
E w hrs
q
E v E w hrs
Q
ρ
ρ
= =
−
= =
= = =
= + = =

67. Modelo M/D/1: ejercicio
 A un aeropuerto llegan en promedio 80
pasajeros por hora que son atendidos
en cinco puntos.
 Cada punto puede atender en promedio
a un cliente cada 3 minutos.
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/D/1

68. Modelo M/Ek/1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
( 1)
2 (1 )
1
1
k
E n q E v E m
k
E m
E v E w E w
Q q
ρ
ρ
ρ
+
= =
−
= + =
<
Las ecuaciones del modelo son las siguientes

69. Modelo M/Ek/1: ejemplo
 Una planta de asfalto puede llenar
un camión cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9
camiones/hora. Suponga σ = 3.5
min (aprox.)
 Obtenga las medidas de
desempeño de acuerdo con el
modelo M/Ek/1

70. Modelo M/Ek/1: ejemplo
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 1
2.041
12 3.5
60
( 1)
1.6875
2 (1 )
0.1875 11.25min
0.2708 16.25min
2.437
k
Q k
k
E m clientes
k
E w hrs
E v hrs
E n clientes
σ
ρ
ρ
 
 = → = =
 
 
+
= =
−
= =
= =
=

71. Modelo M/Ek/1: ejercicio
 A un aeropuerto llegan en promedio 80
pasajeros por hora que son atendidos
entre sus 5 puntos de atención.
 Cada punto puede atender en promedio
a un cliente cada 3 minutos. Suponga
k= 4
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/Ek/1

72. Modelos de varios servidores
 M/M/s: s servidores con llegadas de
Poisson y tiempos de servicio
exponenciales
 M/D/s: s servidores con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
degenerada de tiempos de servicio
 M/Ek/s: s servidores con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
Erlang de tiempos de servicio

73. Sistema M/M/K
( ) 1
0
1
0
1 1
! !
n k
k
n
P
q q kQ
n Q k Q kQ q
−
=
=
    
+  ÷  ÷ −     
∑
Probabilidad de tener cero unidades en el sistema, p(0):
Probabilidad de tener exactamente n unidades en el sistema, p(n):
1
( ) (0) 0
!
1
( ) (0)
!
n
n
n k
q
p n p para n k
n Q
q
p n p para n k
k k Q−
 
= ≤ < ÷
 
 
= ≥ ÷
 

74. El número esperado de unidades esperando para ser servidas ( esto
es, la longitud de la cola), en el sistema, E(m).
( ) 2
(0)
( 1)!( )
k
q
qQ
Q
E m p
k kQ q
 
 ÷
 =
− −
Número esperado de unidades en el sistema E(n), incluye la que
está siendo servida y las que están en cola:
( ) ( )
q
E n E m
Q
= +
Tiempo promedio de espera en la línea de espera E(w) :
( ) 2
(0)
( 1)!( )
k
q
Q
Q
E w p
k kQ q
 
 ÷
 =
− −

75. Tiempo promedio gastado en el sistema E(v), incluyendo
tiempo de cola y servicio :
( ) ( )
1
E v E w
Q
= +
Probabilidad de tener que esperar en la fila, ( ) :P n k≥
(0)
( ) ( )
! 1
k
n k
q p
P n k p n
Q q
k
Qk
∞
=
 
≥ = =  ÷
   − ÷
 
∑
Probabilidad de gastar un tiempo t o menos en el sistema, ( ):P v t≤
1
1
( ) 1
( ) 1 1
1
1
q
Qkt
Qk k
Qt P n k e
P v t e
qk
Qk k
 
− − − 
 
−
 
 ≥ − 
≤ = − + × 
 − −
  

76. APLICACIONES:
En un puerto, cada camión que ingresa debe cumplir
un trámite de verificación que demora en promedio
un minuto. El flujo de camiones en el período pico
que debe ser verificado es de 45 por hora.
– ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto no lleguen
vehículos?¿Cuál es la probabilidad de que en 2 min
lleguen exactamente tres vehículos?
– Si hay un solo puesto de verificación ¿Cuál es la
probabilidad que un camión sea atendido
inmediatamente? ¿Cuál es tal probabilidad si hay dos
puestos de atención?

77. ( )
0
45 45
0 1 0,25
60 60
P
   
= − = ÷  ÷
   
( ) 0 1 2
1
0 0,45
1 45 1 45 1 45 2 60
0! 60 1! 60 2! 60 2 60 45
P = =
  ×     
+ +  ÷  ÷  ÷
× −       
Veamos si hay un solo puesto de atención. Si no hay ningún
camión, será atendido inmediatamente
En caso de haber dos sitios de atención, será atendido si
hay 0 o 1 camiones.
( )
1
1 45
(1) 0,45 0,34
2! 60
0 (1) 0,79
P
P P
 
= = ÷
 
+ =
g
Las técnicas de simulación también son útiles para estos
análisis

78.  Ejercicio
A un puerto llegan en promedio 10 embarcaciones diarias, que son
atendidas en 3 muelles.
Cada muelle puede atender en promedio a un barco cada 4 horas
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo
M/M/3
Además la probabilidad de tener 2 barcos en el sistema, la
probabilidad de tener una cola de más de 4 barcos y la probabilidad
de esperar más de 12 horas en la cola para ingresar al puerto

79. Análisis económico de líneas de
espera
Costos
Tasa de servicioTasa óptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total

80. Toma de decisiones y definición
de funciones costo-espera
Definiciones:
CW: Costo de espera (valor del tiempo
perdido en la cola)
CS: Costo del servicio: de atenciónValor
de los puesto
CT: Costo Total
CT=CS+CW

81. Ejercicio
 En un puerto el número promedio de
embarcaciones que arriban es 3,6. Si el puerto
tiene capacidad instalada en muelles para atender
5 embarcaciones estime:
 Probabilidad de que un buque deba esperar
fondeado para ser atendido.
 Si una hora de buque esperando tiene un costo de
$250.000, estime el costo anual que tiene el tiempo
perdido por espera.
 Si una hora de muelle cuesta $150.000, estime el
costo anual de la capacidad ociosa no utilizada

82. Ejercicio
 Una compañía transportadora realiza
mantenimiento a sus vehículos según lo requiera.
La alternativa 1 consiste en proporcionar dos
talleres de mantenimiento, cada uno de los cuales
tiene un costo anual de US$300.000, y que realiza
el mantenimiento de un vehículo en 6 horas. La
segunda alternativa es un taller cuyo costo anual
es de US$400.000 y que realiza el mantenimiento
en 3 horas. Los vehículos llegan según proceso
Poisson con una tasa media de uno cada cinco
horas. El costo del tiempo ocioso de un vehículo es
US$50 por hora. ¿Qué alternativa escoger?
Suponga que se trabaja todo el año