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Ecuación de la recta   prof. Mónica Lordi
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Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi

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  • 1. Ecuación de la recta
    Prof. Mónica Lordi
  • 2. Ecuación de la recta
    Las ecuaciones del tipo
    y = mx+ b
    representan rectas en el plano
    2
    Prof. Mónica Lordi
  • 3. Ejemplos
    • y= 3x+8
    • 4. y= x – 7
    Ecuación explícita de la recta
    Llamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión
    y = mx + b
    En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:
    m = pendiente
    b = ordenada al origen
    x = variable independiente
    Recuerda: las expresiones de la forma
    y = mx + b
    representan rectas en el plano
    y = variable dependiente
    3
    Prof. Mónica Lordi
  • 5. Pendiente
    En las ecuaciones
    • y = 4x , la pendiente es m = 4
    y = 4x
    y = 3x
    y = 3x , la pendiente es m = 3
    y = 2x
    y = x
    Observa las siguientes gráficas
    y = 2x , la pendiente es m = 2
    Se puede observar que la pendiente m determina la “inclinación” de la recta respecto del eje X
    y = x . la pendiente es m = 1
    4
    Prof. Mónica Lordi
  • 6. Ordenada al origen
    2
    1
    0
    -1
    y = x + 2
    y = x + 1
    y = x - 1
    Observa, en la gráfica
    La recta de ecuación
    y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2
    y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1
    y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1
    La ordenada al origen b determina la intersección de la recta con el eje Y
    5
    Prof. Mónica Lordi
  • 7.
    • y = x
    Veamos un ejemplo:
    Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:
    m = 3
    y = 3x - 11
    b = -11
    m = -5
    • y = -5x + 20
    b = 20
    m =
    b = 0
    6
    Prof. Mónica Lordi
  • 8. Otros ejemplos de rectas
    • Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.
    • 9. La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
    • 10. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
    • 11. Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
    • 12. La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
    • 13. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.
    7
    Prof. Mónica Lordi
  • 14. Otras formas de ecuaciones lineales
    Forma implícita:Ax + By + C = 0
    Forma segmentaria:Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es:
    8
    Prof. Mónica Lordi
  • 15. FORMA SEGMENTARIA
    p
    q
    9
    Prof. Mónica Lordi
  • 16. Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y luego identificar my b
    Ejemplo 1:
    Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0
    Se despeja y
    (de la misma forma que se despeja cualquier ecuación)
    2x + y = 0 + 8
    y = -2x + 8
    Luego, m = -2 y b = 8
    10
    Prof. Mónica Lordi
  • 17. Ejemplo 2: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0
    Despejamos y
    4x – 8y + 16 = 0
    4x + 16 = 8y
    m =
    b = 2
    11
    Prof. Mónica Lordi
  • 18. Ejemplo 3: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación
    Despejamos y
    12
    Prof. Mónica Lordi
  • 19. Ejercicio 1:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas:
    g)
    13
    Prof. Mónica Lordi
  • 20. Cálculo de la pendiente de una recta
  • 21. Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta
    (x1, y1) y (x2 ,y2 )
    la pendiente m
    queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
    y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos,
    es decir:
    15
    Prof. Mónica Lordi
  • 22. Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )
    la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
    y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:
    (x2 , y2)
    y2 – y1
    m =
    y2 – y1
    x2 – x1
    (x1 , y1)
    x2 – x1
    16
    Prof. Mónica Lordi
  • 23. (x2 , y2)
    y2
    y2 – y1
    (x1 , y1)
    Cálculo de la pendiente de una recta
    y1
    x2 – x1
    x1
    x2
    17
    Prof. Mónica Lordi
  • 24. Ejemplo 1
    Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
    x2
    y2
    Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
    x1
    y1
    12
    y2 – y1
    14 – 2
    m =
    =
    =
    = 6
    2
    x2 – x1
    9 – 7
    Reemplazamos estos valores en la fórmula
    18
    Prof. Mónica Lordi
  • 25. Ejemplo 2
    Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
    x1
    y1
    x2
    y2
    Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
    -4
    y2 – y1
    -3 – 1
    -2
    m =
    =
    =
    =
    14
    x2 – x1
    7
    9 – (-5)
    Reemplazamos estos valores en la fórmula
    19
    Prof. Mónica Lordi
  • 26. Ejemplo 3
    Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:
    En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:
    ( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
    (0,4)
    x1
    y1
    x2
    y2
    (5,0)
    Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
    y2 – y1
    0 – 4
    -4
    m =
    =
    =
    x2 – x1
    5
    5 – 0
    Reemplazamos estos valores en la fórmula
    20
    Prof. Mónica Lordi
  • 27. Ejercicio 2
    I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
    A) (3 , -6) y (-2 , -2)
    B) (7 , -9) y (0 , -1)
    C) (-3 , -4) y el origen
    D) (3 , -4) y ( 2 , -6)
    21
    Prof. Mónica Lordi
  • 28. A) B)
    II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas:
    22
    Prof. Mónica Lordi
  • 29. Puntos que pertenecen a una recta
  • 30. 2
    1
    0
    -1
    -1 1 2 3
    ¿Cómo determinar cuando un punto pertenece
    o no pertenece a una recta?
    24
    Prof. Mónica Lordi
  • 31. ¡Muy sencillo!
    ¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y) en la ecuación y = mx + b!
    Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)
    pertenece a la recta y = -3x + 6
    (1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación
    = -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para
    verificar si hay equilibrio entre
    ambos miembros
    3 = -3 + 6
    3 = 3
    Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6
    25
    Prof. Mónica Lordi
  • 32. 3 = -2 + 1
    3 = -1
    Ejemplo 2:
    Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1
    (-1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación
    = 2• (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para
    verificar si hay equilibrio entre
    ambos miembros
    Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a la recta y = 2x + 1
    26
    Prof. Mónica Lordi
  • 33. Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la recta dada
    A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1
    B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3
    C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0
    27
    Prof. Mónica Lordi
  • 34. Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano
    (x2, y2)
    y = mx + b
    (x1, y1)
  • 35. P(x1 , y1)
    Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
    Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2 , y2 ) dos puntos de una recta.
    En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posible
    determinar su ecuación.
    • Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
    • 36.    Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir  
    y
    Entonces:
    Q(x2 , y2)
    que también se puede expresar como:
    R(x , y)
    29
    Prof. Mónica Lordi
  • 37. ¿Y cómo usamos esta fórmula?
    Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10)
    x1
    y1
    x2
    y2
    Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
    y – y1
    y2 – y1
    =
    Reemplazamos estos valores en la fórmula
    x– x1
    x2 – x1
    y – 4
    10– 4
    Efectuamos los “productos cruzados”
    =
    x– 2
    5– 2
    y – 4
    2
    =
    y – 4
    6
    x– 2
    1
    =
    x– 2
    3
    y – 4 = 2x - 4
    ordenamos
    y = 2x – 4 +4
    30
    Prof. Mónica Lordi
    Y tenemos nuestra ecuación
    y = 2x
  • 38. Otra forma de enfrentar la misma tarea
    Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , -4) y (6, 12)
    Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
    x1
    y1
    x2
    y2
    y2 – y1
    12– (-4)
    16
    4
    Se calcula la pendiente:
    =
    =
    m
    =
    = 4
    x2 – x1
    6– 2
    • Se reemplaza m en la ecuación y = mx + b
    y = 4x+ b
    • Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuación y = 4x + b
    (2 , -4)
    -4 = 4•2 + b
    y despejamos b
    -4 = 8 + b
    Finalmente reemplazamos ben
    y = 3x +b , quedando y =3x–12
    -4 – 8 = b
    -12 = b
    31
    Prof. Mónica Lordi
  • 39. Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que pasa por los puntos
    A) (3,5) y (2, 8)
    B) (-2 , -3) y (5 , 3)
    C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)
    D) (-1, 1) y el origen
    32
    Prof. Mónica Lordi
  • 40. II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos
    33
    Prof. Mónica Lordi

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