Ecuaciones trigonometricas

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  • 1. MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ECUACIONES TRIGONOMÉTRICASEcuaciones TrigonométricasUna ecuación trigonométrica es una ecuación en términos de expresiones trigonométricas, para la cuallas variables o incógnitas representan números reales, que son la medida en radianes de ángulos.Una identidad es una ecuación trigonométrica que tiene como solución todos los valores de la variable paralos cuales están de…nidas las expresiones trigonométricas involucradas.Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el ángulo, o los ángulos que satisfacen la ecuación, es decir,los ángulos que convierten la ecuación en una proposición verdadera.Para resolver una ecuación trigonométrica usamos las operaciones algebraicas y las identidades trigonométri-cas para escribir, en términos de una función trigonométrica, y a un lado del signo igual, todas las expresionestrigonométricas, y luego encontramos los ángulos que satisfacen la ecuación.EjemploResuelva la siguiente ecuación trigonométrica: csc2 x 4 = 0:Solución (csc x + 2) (csc x 2) = 0 csc x + 2 = 0 ó csc x 2=0 csc x = 2 ó csc x = 2 1 1 = 2ó =2 sen x sen x 1 1 sen x = ó sen x = 2 2Hallemos las soluciones en el intervalo [0; 2 ] ;es decir, los ángulos en dicho intervalo que satisfacen estasecuaciones: 1 7 11 sen x = si x = óx= 2 6 6 1 5 sen x = si x = ó x = : 2 6 6 5 7 11Luego, x = ;x= ;x= yx= son las soluciones de la ecuación en el intervalo [0; 2 ]. 6 6 6 6Como la función seno es periódica, de período 2 , todas las soluciones en R se obtienen sumando los múltiplosenteros de 2 a las soluciones halladas en el intervalo [0; 2 ]. Así, 5 7 11 x= + 2k , x = + 2k ; x = + 2k y x = + 2k ; k 2 Z 6 6 6 6 1
  • 2. son las soluciones de la ecuación inicial.EjemploResuelva la siguiente ecuación: 2 cos2 x + sen x = 1:Solución 2 1 sen 2 x + sen x = 1 2 2 2 sen x + sen x = 1 2 sen 2 x sen x 1 = 0 p 1 1+8 sen x = 4 1 3 sen x = 4 4 2 1 sen x = = 1 ó sen x = = 4 4 2 1 7 11 sen x = 1 si x = y sen x = si x = óx= : 2 2 6 6Con base en la periodicidad de la función seno, las soluciones en R de la ecuación son: 7 11 x= + 2k , x = + 2k y x = + 2k ; k 2 Z: 2 6 6EjemploResuelva la siguiente ecuación trigonométrica: 2 sen 3x 1 = 0:Solución 1 sen 3x = 2 5 3x =+ 2k ó 3x = + 2k ; k 2 Z: 6 6Luego, todas las soluciones en R de la ecuación son de la forma: 2k 5 2k x= + yx= + ; k 2 Z: 18 3 18 3 2
  • 3. EjemploHalle los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación: cos x + 1 = sen x:Solución 2 (cos x + 1) = sen 2 x 2 cos x + 2 cos x + 1 = sen 2 x cos2 x + 2 cos x + 1 = 1 cos2 x 2 cos2 x + 2 cos x = 0 2 cos x (cos x + 1) = 0 2 cos x = 0 ó cos x + 1 = 0 cos x = 0 ó cos x = 1 3 x = + 2k , x = + 2k , x = + 2k ; k 2 Z: 2 2Ahora, como en el procedimiento para resolver la ecuación elevamos al cuadrado, debemos determinar cuálesde estos valores de x satisfacen la ecuación original. Si x = , cos + 1 = 0 + 1 = 1 y sen = 1. 2 2 2 Por lo tanto x = + 2k , k 2 Z es solución de la ecuación original. 2 3 3 3 Si x = , cos + 1 = 0 + 1 = 1 y sen = 1. 2 2 2 3 Por lo tanto x = + 2k , k 2 Z no es solución de la ecuación original. 2 Si x = , cos + 1 = 1 + 1 = 0 y sen = 0. Por lo tanto x = + 2k , k 2 Z es solución de la ecuación original.Luego, las soluciones de la ecuación original son x= + 2k yx= + 2k ; k 2 Z: 2EjemploResuelva la siguiente ecuación trigonométrica: cos 5x cos 7x = 0:Solución cos (6x x) cos (6x + x) = 0 cos 6x cos x + sen 6x sen x cos 6x cos x + sen 6x sen x = 0 2 sen 6x sen x = 0 sen 6x = 0 ó sen x = 0 6x = k ó x = k ; k 2 ZEntonces, k x= y x=k ; k2Z 6son las soluciones de la ecuación original. 3
  • 4. EjemploEncuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica en el intervalo [0; 2 ): tan4 x 13 tan2 x + 36 = 0SoluciónEn primer lugar, factorizamos completamente la ecuación: tan2 x 9 tan2 x 4 = 0 (tan x + 3) (tan x 3) (tan x + 2) (tan x 2) = 0:Por lo tanto, tan x = 3 ó tan x = 3 ó tan x = 2 ó tan x = 2: 1Ahora, con una calculadora en modo radianes, al aplicar la función o tecla tan obtenemos valores de x enel intervalo , : 2 2 tan x = 3 si x = 1:249: Sin embargo 1:249 2 [0; 2 ), entonces, como la función tangente es periódica, con período , sumamos = : 1:249 + = 1:8926 2 [0; 2 ): Si sumamos nuevamente 1:8926 + = 5:0342 2 [0; 2 ): tan x = 3 si x = 1:249 2 [0; 2 ): Sumando 1:249 + = 4:391 2 [0; 2 ) tan x = 2 si x = 1:1071: Sin embargo 1:1071 2 [0; 2 ), entonces, como la función tangente es periódica, con período = ; sumamos : 1:1071 + = 2:0345 2 [0; 2 ): Sumando nuevamente 2:0345 + = 5:1761 2 [0; 2 ) tan x = 2 : x = 1:1071 2 [0; 2 ): Sumando 1:1071 + = 4:2487 2 [0; 2 )De esta forma, las únicas 8 soluciones de la ecuación trigonométrica en el intervalo [0; 2 ) son: x = 1:8926, x = 5:0342; x = 1:249, x = 4:391; x = 2:0345, x = 5:1761; x = 1:1071 y x = 4:2487: 4