Temel finans matematiği

36,786 views

Published on

Published in: Economy & Finance
5 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • harika bir anlatım teşekkür ederim
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • çok teşekkürler emeğine sağlık
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • teşekkür ederim ağzınıza sağlık
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • teşekkür ederim. tam da ihtiyaç duyduğum bir konu ve açıklamasıydı.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • evet gerçekten emeğini koymussun işin içine ama örnekler biraz anlaşılmaz ve mantık olarak yanlış noktaları var. Mesela 100 dolar mı yoksa 3 yıl sonra 133 dolarmı örneğinde hiç dolar kurunu hesaba katmamışsın dolayısıyla saçma bir örnek oluyor. Ondan önceki örnek ise tamamen bir facia. Ne demek 2 yıl sonra elime geçecek parayı şimdiden borç vermek fln. Fakat emeğine sağlık yinede çok faydalandığım kısımlar oldu.
    Teşekkürler........
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
36,786
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
29
Actions
Shares
0
Downloads
761
Comments
5
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Temel finans matematiği

  1. 1. TEMEL F NANS MATEMAT ĞA. 1. G R Ş .................................................................................................... 2B. Gelecekteki ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar ....... 6C. Basit ve bileşik faiz kavramları ...................................................................... 8D. Anuite – Dönemsel Eşit Ödemeler .................................................................. 9E. Borcun tfası ..............................................................................................15F. Net Şimdiki Değer Ve iç verim Oranı .............................................................17G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity) .........................................................19H. Özet Ve Sonuçlar........................................................................................22 1
  2. 2. A. 1. G R ŞAslında temel finans matematiği karmaşık gibi görünen fakat basit bazı temel kurallaröğrenildikten sonra hiç de zor olmayan hesaplamalar bütünü olarak tarif edilebilir. Şu ansizlere birçok formül vermek yerine şöyle bir soru ile işe başlayalım;100 liranızı bankaya 1 yıl vadeli olarak yıllık yüzde 25 faiz almak üzere yatırırsanız 1 yılınsonunda paranız ne kadar olur?Bu soruya hemen herkes hiçbir formül kullanmadan 125 Tl cevabını rahatlıkla verir.Aslında yaptığı hesaplama basittir. 100 liranın yüzde 25’in hesaplar ve 100 liraya bunuekler. Çünkü bir yıl içinde 100 lirasına 25 lira kazanacaktır (100*0.25=25 lira)Eğer kafadan basitçe yaptığımız bu hesaplamayı formüle dökecek olursak bunu şu şekildeyazabiliriz; 100 TL + (100 TL * 0.25) = 125 TLAnapara + Faiz miktarı (Anapara * Faiz oranı) = Gelecekteki DeğerYani 100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 + (100*0.25) = 125 TLŞimdi parantezin içindeki 100 rakamını dışarı çıkaralım;100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl buluruz.Varsayalım ki 100 lirasını %25 faizle bankaya yatıran tasarruf sahibi 1 yıl sonra 125 TLsahibi oldu ve şimdi de bu parayı 1 yıl daha yüzde 25 faizle bankada tutmak istiyor olsun.Bu durumda yine aynı mantıkla125 liranın gelecekteki değeri = 125 + 125*0.25 = 125 + 31.25 = 156.25 Tlolacaktır.Yani ; 125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 Tlolacaktır.Varsayalım ki finans matematiği konusunda hiç bilginiz yok veya şu ana kadar belki deokuduğunuz okullarda bir yarıyıl okutulan bu ders ile ilgili olarak aklınızda sadecekarmaşık bir sürü formülden kırık dökük parçalar kaldı. Hiçbirşey hatırlamıyorsunuz.Ama şimdi bu formüllerin hepsini unutmanızı istiyorum. Çünkü bu formüllere hiçihtiyacınız yok. Önemli olan nokta finans matematiğinin çekirdek mantığını anlamaktır.Eğer bunu anlarsanız hangi formülü hangi şartlarda uygulamanız gerektiği konusunetleşecektir. Bu mantığı şimdi çok net bir biçimde anlayacaksınız. Çünkü finans 2
  3. 3. matematiğinin sadece 1 tane olan can alıcı formülünü siz yaratacak ve önünüze çıkanneredeyse bütün sorulara sadece 1 tane formül uygulayacaksınız.Buna aslında formül de demek istemiyorum. Çünkü, ortada ezberlemeniz gereken birformül yok. Sadece yukarıda sorduğum soruyu hatırlamanız bütün finans problemleriniçözmeniz için yeterli olacaktır. Belki çok iddialı ama, gerçekten de finans matematiğininsadece bir denklemi vardır ve her koşulda bu denklem geçerlidir.Şimdi yukarıdaki soruya tekrar dönelim. 100 lirasını yıllık yüzde 25 faizle 2 yıl bankadatutan birinin parası 156.25 Tl olmuştur. Bu rakama nasıl ulaştık?1. YIL için:100 liranın gelecekteki (1 yıl sonraki) değeri = 100 (1 + 0.25) = 125 Tl2. YIL için125 liranın gelecekteki değeri = 125 *(1+0.25)= 125 + 31.25 = 156.25 TlEğer bu hesaplamayı tek tek yapmak yerine sadece bir defada yapabilir miyiz? Yukarıdakiikinci denklemi tekrar yazalım;125*(1+0.25) = 156.25 şeklindeydi. Şimdi ilk rakam olan 125 yerine 100 (1+0.25)yazalım; Çünkü bunu yukarıda hesaplamıştık.100 * (1+0.25) * (1+0.25) = 100 * (1+0.25)2 = 156.25Burada 100 TL başlangıçta yatırılan anaparadır (A), 0.25 rakamı faiz oranı (r) ve parantezüzerindeki “2” rakamı da dönem sayısıdır. 156.25 rakamı da 100 liranın 2 dönem sonrakideğeri yani gelecekteki değeridir (G).Bu soruyu formülüze edecek olursak; G = A * (1 + r)nŞeklinde yazabiliriz. Demek ki belirli bir miktar parayı belirli bir dönem boyunca, budönem için geçerli faiz oranından bankaya yatırırsak gelecekte elde edeceğimiz değeri(G) bu formül ile bulabiliriz. Bu formülü kimse bize öğretmedi. Basit bir soru sorarakformülü biz çıkardık. Bundan başka öğrenmeniz gereken formül kalmadı. Finansmatematiğinin bütün konuları ve sorularını bu formülü kullanarak çözebilirsiniz.Yukarıdaki soruyu tekrar hatırlayalım; Adam 100 lirasını yıllık yüzde 25 faiz almak üzere2 yıllığına bankaya yatırdığında parası ne kadar olur? Cevap 156.25 Tl olur.Şimdi soruyu şöyle sormuş olalım;“eğer bir adam yıllık yüzde 25 faiz ile parasını bankaya yatırırsa 2 yıl sonra156.25 Tl sahibi olacaktır. Acaba adamın şu an kaç lirası vardır? 3
  4. 4. Veya soruyu şu şekilde de sorabiliriz;Yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonraki 156.25 TL’nin şimdiki değeri nedir?Veya soru şöyle de sorulabilir;Şu an birisi kaç lirasını bankaya yıllık yüzde 25 faiz ile 2 yıllığına yatırırsa parası156.25 TL olur?Dikkat ederseniz soruların soruluş biçimi farklıdır fakat, istenilen sonuç hep aynıdır.Şimdiki değeri soruyoruz. Yukarıudaki formüle göre bizden istenilen “A” paramatresidir.Yani Anapara’yı ulmamızı istiyorlar.Bu durumda yukarıdaki formülde A’yı denklemin sol tarafına alırsak şimdiki değerformülünü elde etmiş olacağız. G 156.25 A= A= 2 = 100 (1 + r )n (1 + 0.25)Bu formül aslında yeni bir formül değildir ve ilk bulduğumuz formülün sadeceparametrelerinin yeri değişmiş halidir. Bu formüle paranın zaman değeri veya şimdikideğer formülü adını veriyoruz.Yukarıda vermiş olduğumuz cevap için başka sorular da tyüretebiliriz; şte bunlardanbazıları; • Yıllık mevduat faiz oranı yüzde 25 ise arkadaşınıza vermiş olduğunuz ve 2 yıl sonra alacağınız 156.25 TL’yi bugün kaç TL olarak alırsanız, karınız ya da zararınız olmaz (Paranızı sadece banka mevduatında değerlendirme seçeneğiniz var ve dah ayüksek getiri elde etme imkanınız yok); Cevap 100 TL’dir, çünkü yıllık yüzde 25 faiz üzerinden 2 yıl sonra 156.25 TL şimdiki 100 TL yapmaktadır. Ya da arkadaşımdan şu an 100 TL alsam ve 2 yıl vadeli mevduata yatırsam zaten 156.25 TL olacaktır.Paranın bir zaman değeri vardır: Bugün alınacak 1 TL, 1 yıl sonra alınacak 1 TLden dahadeğerlidir. Bu olgu, 1 TLnin 1 yıl sonra kesin olarak alınması durumunda ve ayrıcaparanın satın alma gücünü düşüren enflasyonun olmaması durumunda bile geçerlidir.Paranın zaman değerini yaratan nedenler aşağıda sıralanmıştır:Bireyler güncel tüketimi gelecek tüketime yeğlerler. Bireylere şimdiki tüketimdenvazgeçmeleri için gelecekte çok daha fazla şeyin sunulması gerekir.Risk. Gelecekteki nakit akımlarıyla ilgili risk arttıkça bu risk nakit akımlarının değerinidüşürür. 4
  5. 5. Gelecekte beklenen enflasyon. Enflasyon paranın değerini düşürür. Enflasyon ne denliyüksekse bugünkü değerle gelecek değer arasındaki fark o kadar büyür. Bu nedenleyüksek enflasyon dönemlerinde yatırımcıların yüksek nominal getiri talep etmeleri okadar doğaldır.Bu etmenleri yansıtmak için nakit akımlarının ayarlanması indirgeme olarak adlandırılır.Yani biz 156.25 TL’yi yukarıdaki soruda bugüne indirgedik. Bu etmenlerin büyüklüğüiskonto oranının büyüklüğü ile yansıtılır. Burada iskonto oranı dediğimiz şey aslında yüzde25 olarak verilen faiz oranıdır. Eğer mevduat yapmaktan başka seçeneğim yoksa 156.25TL’yi bugüne indirgerken iskonto oranı olarak yüzde 25’i kullandım.Şimdi çok önemli bir nüansı vurgulamak istiyorum. Eğer ticaretle uğraşıyorsam ve bankafaiz oranları yüzde 25 iken, yıllık bazda yüzde 40 getiri sağlayan, yani 100 liramıyatırdığımda bana yılda 40 lira kar sağlayan bir işim varsa; acaba 2 yıl sonra elimegeçecek 156.25 TL’yi borç verdiğim kişi bana bana 100 TL olarak ödemek istrerse kabuletmeli miyim?Eğer ben de banka faizi kadar getiri sağlıyor olsaydım başabaş olacaktı fakat şimdi156.25 TL’yi yüzde 40 iskonto oranı ile indirgeyelim (Eğer yüzde 25 ile indirgersek zatensonucun 100 Tl olduğunu biliyoruz.) 156.25 A= 2 = 79.72 (1 + 0.4)Burada sonuç 79.72 TL çıkmıştır. Eğer biz şimdi 79.72 Tl alırsak ve yüzde 40 getirisağlayarak 2 yıl değerlendirirsek 156.25 TL olacaktır. Dolayısıyla biz bırakın 100 TL’yi bize79.72 Tl bile verse zararımız olmayacaktır. Eğer bize şu an 100 TL veriyorsa bu 100TL’nin bizim için gelecekteki (2 yıl sonraki) değeri; 100 * (1+0.4)2 = 196 Tl olacaktır.Dolayısıyla iskonto oranları aletrantif getiri oranını, güncel tüketimi gelecek tüketimeyeğlemeyi, nakit akımlarının riskini ve enflasyon oranlarını yansıtır.Örnek: Şimdi 100 dolar mı almak istersiniz, yoksa yıllık dolar basit faizinin %10olduğunu düşünürsek, 3 yıl sonra 133 dolar almak daha mı karlı olur?Aşağıda cevap verilmiştir. Gelecekte elde edeceğimiz 133 doları (G) yıllık %10 basit dolarfaizi üzerinden bugüne indirgersek, 3 yıl sonraki 133 doların şu an kaç dolara denkgeldiğini buluruz (A). Dolayısıyla iki seçenekten birini uygulamanın farksız olduğunusöyleyebiliriz (aşağıda yaklaşık değerler kullanılmıştır). 5
  6. 6. 133 133 133 Şimdiki Deger = A = 3 = 3 = = 100 (1 + 0 . 1) (1 . 1) 1 . 33B. Gelecekteki Değer ve Şimdiki Değer Konusunda Dikkat Edilmesi Gereken NoktalarŞimdi gelecekteki değer formülünü tekrar yazalım. G = A * (1 + r)nBurada faiz oranı ( r ) dönemin getiri oranını yansıtmaktadır. (n) ise ilgili faiz oranının kaçkere tekrarlandığını göstermektedir. Şimdi “bunu zaten biliyoruz” diyeceksiniz. Finansmatematiği soruları çözümlenirken, karşılaşılan en büyük zorluk bu iki parametrenin iyianlaşılmamasından kaynaklanmaktadır.“n” değeri geçerli olan “r” getirisinin kaç kere tekrarlandığını göstermelidir. Bir sorusorarak şöyle açıklayalım;Haftalık bazda binde 5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 hafta sonra nekadar olur?Burada G = ? A= 100 TL r=0.005 n=9 şeklindedir.Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9 = 104.6 TL olarak bulunacaktır.Burada [(1+0.005)9=1.0459] olarak hesaplanır. Yani 1.005’in dokuzuncu kuvvetinialıyoruz.Peki şimdi buna çok benzer bir soruyu şöyle soralım.ÖRNEK: Aylık bazda yüzde 1.5 getiri sağlayan birinin acaba 100 lirası 9 haftasonra ne kadar olur? (not: bir ay 30 gün veya dört haftadır )Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) aylık bazdaverilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre haftalık bazda verilmiştir.Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) aylık bazda yazarsanız, dönem sayısınıda (n) aylık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.Bu soru için “r” yerine 0.015 (%1.5) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki“r” yi aylık bazda yazarsak n değerine 9 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sankiparamızı 9 ay işletmiş gibi oluruz. O zaman 9 haftayı aya çevireceğiz. 9 hafta = 9/4aydır. Çünkü 4 hafta 1 ay yapıyorsa 9 hafta 9/4= 2.25 hafta yapmaktadır. Şimdi soruyuçözelim;Burada G = ? A= 100 TL r=0.015 n=9/4 şeklindedir.Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.005)9/4 = 103.41 TL olarak bulunacaktır. 6
  7. 7. Burada [(1+0.005)9/4=1.03406] olarak hesaplanır. Yani 1.015’in dokuzuncu 2.25ncikuvvetini alıyoruz.ÖRNEK:Yıllık bazda yüzde 30 faiz getirisi alan birinin acaba 100 lirası 19 ay sonra sonrane kadar olur? (Not: 1 yıl 12 aydır ve kırık vade getiri mümkündür. Yani bir yıldolmadan paramızı çektiğimizde o ana kadar işlemiş aylık faizi de alacağız)Dikkat ederseniz getiri oranı (veya faiz oranı da diyebilirsiniz) yıllık bazdaverilmiştir. Fakat buna karşın paranın işletileceği süre aylık bazda verilmiştir.Eğer formül içerisinde faiz oranını ( r ) yıllık bazda yazarsanız, dönem sayısınıda (n) yıllık bazda yazmak zorundasınız. Aksi halde yanlış sonuç elde edersiniz.Bu soru için “r” yerine 0.30 (%30) yazacağız fakat “n” yerine ne yazacağız? Biliyoruz ki“r” yi aylık bazda yazarsak n değerini 19 olarak yazamayız. Çünkü bu durumda sankiparamızı 19 yıl işletmiş gibi sonuç buluruz. O zaman 19 ayı yıla çevireceğiz. 19 ay =19/12 yıldır. Çünkü 1 yıl 12 ay yapıyorsa 19 ay 19/12= 1.583 yıla eşit olmaktadır. Şimdisoruyu çözelim;Burada G = ? A= 100 TL r=0.3 n=19/12 şeklindedir.Dolayısıyla G = 100 * (1 + 0.3)19/12 = 151.49 TL olarak bulunacaktır.Burada [(1+0.005)9/4=1.5833] olarak hesaplanır. Yani 1.3’ün 1.583’ncü kuvvetinialıyoruz.ÖRNEK:Bir yatırımcı 100 TLsini yıllık basit % 40 ödeyen bir bankanın üç aylık mevduathesabına iki yıl süreyle yatırırsa, ikinci yılın sonunda hesabındaki parası ne olur?Başka bir deyişle, bu 100 TLnin ikinci yıl sonundaki gelecek değeri nedir?Eğer banka yıllık basit faiz ödüyorsa, biz üç aylık döneme tekabül eden faiz oarnınıbulmalıyız. Dikkat ediniz faiz oranı yıllık bazda verilmiş, üçer aylık dönemde faiz işleyecekve süre 2 yıldır. Burada önemli olan nokta üç ayda bir faiz ödenmesidir. Eğer yıllık yüzde40 faiz üzerinden parası 2 yıl sonra ne olur diye sorsaydık, cevap basitti, fakat yıllıkyüzde 40 üzerinden üç ayda bir faiz işletilerek 2 yıl sonra parası ne olur diye soruyorsak“r” ve “n” doğru hesaplanmalıdır. Yılık faiz 0.40 ise bunu 4’e böleceğiz, çünkü 1 yıl iinde4 tane üçer aylık dönem var. “n” değeri ise 8 olacak çünkü 2 yıl içinde 8 tane üç ay var(24/3=8) 0 .4 8G = 100 * (1 + ) = 100 *(1+0.1)8 = 214.35 TL olarak bulunacaktır. 4 7
  8. 8. C. Basit ve bileşik faiz kavramlarıNe zaman basit faizden bahsederiz? Ne zaman bileşik faizden veya getiriden bahsediyoroluruz? Basit faizden hareketle bileşik getiriyi nasıl buluruz veya bileşik getiriden basitgetiriyi ya da faizi nasıl elde ederiz?Yine havalarda uçmaya gerek yok. Öğrendiğimiz tek formül bu soruya da cevap olacaktır.Bu formül daha önce öğrendiğiniz gelecekteki değer formülüdür. Bu formülü tekraryazalım; G = A * (1 + r)nBu formülü şöyle ifade edebiliriz; Gelecekteki değer = Anapara + Faizşeklindedir. Dolayısıyla gelecekteki değer’den eğer anapara’yı çıkartırsak geriyefaiz kalır; Faiz = geleceketeki değer(G) – Anapara (A) Faiz = G-A Faiz = A*(1+r)n- AEğer Anapara’nın 1 lira olduğunu varsayarsak Formül Şu şekilde olacaktır; Faiz = (1+r)n-1Bu formül basit faizden hareektle bileşik faizi, ya da bileşik faizden hareketle basit faizibulmamıza yarayan formüldür. Her iki durumda da bu formülü kullanacağız. Fakat aslındabu yeni bir formül değil. lk ürettiğimiz formülden sadece anaparayı çıkardık.ÖRNEK: Aylık yüzde 2 kazanan birinin yıllık bileşik getirisi nedir?Burada r =%2 n= 12 Çünkü “r”yi aylık ifade edersek n’yi de aylık bazda yazmamızgerekiyor; Bunları formülde yerine koyarsak; Bileşik getiri = (1+0.02)12-1= %26.82ÖRNEK: Parasını aylık olarak mevduat yapan birinin yıllık bileşik getirisi yüzde 36olmuştur. Bu kişinin aylık basit getirisi ne olmuştur?Burada r=%36 n=1/12 çünkü “r”yi yıllık bazda ifade ettik ve n değerini de yıllık bazdaifade etmemiz gerekiyor. Bir bakıma 1 ay = 1/12 yıl’dır 8
  9. 9. Basit Getiri = (1+0.36)1/12-1= % 2.6D KKAT! Şimdi basitten bileşik faize mi yoksa bileşik faizden basiti mi hesapladığınızdanemin olmak için n değerine bakacaksınız.N < 1 ise bileşik faizden (getiriden) basit faizi (getiriyi) hesaplamış olursunuz. N > 1 ise basit faizden (getiriden) bileşik faizi (getiriyi) elde etmiş olursunuz. N = 1 ise bileşik faiz (getiri) ve basit faiz (getiri) birbirine eşittir.ÖRNEK: Haftalık repo yapan biri 1 yıllık sürfe içinde yüzde 42 getiri elde etmiştir. Bukişinin haftalık (basit) getirisi ne olmuştur (Not: 1 yıl 52 haftadır)Burada r=%42 (yıllık) n= 1/52 dir. Basit Getiri = (1+0.42)1/52-1= % 0.68ÖRNEK:Vadesine 3 ay kala 100 lira nominal değerli bir bonoyu 90 liradan alan yatırımcının yıllıkbileşik getirisi ne olur?Vadesine 3 ay kalmıştır ve bureada önce 3 ayda sağlayacağı getiriyi bulalım. Şu an 90liraya almıştır ve 3 ayda 10 lira kazanacaktır. Bu durumda üç aylık getiri 10/90=%11.11olarak bulunacaktır. Eğer üç ayda %11.11 getiri sağlarsa yıllık bileşik getirisi ne olur?Burada r=%11.11 ve n= 12/3=4 şeklindedir. Çünkü bir yılın içinde 4 tane 3 ay vardır. Getiri = (1+0.1111)4-1= % 52.41olarak bulunacaktır.  1 A = 20.995.200 *  4 = 20.995.200 * 0,095260 = 2.000.000  (1 + 0.8) D. Anuite – Dönemsel Eşit ÖdemelerMağazaya girdiniz ve dünya kupasını keyifle izlemek için büyük ekran bir televizyonalmak istiyorsunuz. Fakat peşin olarak satın alabilecek durumda değilsiniz.Taksitlendirme yapılmasını istiyorsunuz. Her ay eşit ödeme yapabileceğinizibelirtiyorsunuz. Elbetteki şu anki peşin fiyatını eşit taksitlere bölerek size bir rakamçıkarmıyorlar. Çünkü üç ay sonra sizden alacakları 100 milyon Tl şu an için aynı değeriifade etmiyor. Dolayısıyla vade farkı ekleyerek, yani belirli bir faiz üzerinden hesaplamayapılırak toplam ödemeniz gereken rakama ulaşılıyor.Bu şekilde, belli bir süre için, her dönem sabit bir tutardan oluşan ödeme ya da nakitakım serisine dönemsel eşit ödemeler veya anuite adı verilir. Önümüzdeki n dönemboyunca her dönem sonunda 1000 TL kadar yapılacak olan bir dönemsel eşit ödeme 9
  10. 10. serisi aşağıdaki zaman çizgisi üzerinde gösterilmiştir. Anuite, yukarıda bahsedile sabittaksit ödemeli borçtur. Fakat burada biraz daha geniş bir şekilde konuyu ele alacağız. 0. AY 1. AY 2. AY 3. AY (Peşinat) 1000 TL 1000 TL 1000 TLDönemsel eşit ödemelerin de şimdiki değerini ve gelecekteki değerini hesaplamamızmümkündür. Bu nakit akımlarının gelecekteki değerini hesaplarken yapılması gereken,her nakit akışının beklenen faiz oranı ile gelecekteki değerinin, bindirgenmiş faiz formülüile hesaplanması ve tüm değerlerin toplanmasından ibarettir. Bu mantık çerçevesindeDönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeri aşağıdaki formüle eşittir (D KKAT! Buformülün pay kısmı size yukarıda gösterilen “bileşik faiz” formülüdür. Bileşikfaiz formülünü “r”ye böldüğünüzde annuitelerin gelecekteki değerinibuluyorsunuz. )  G ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ]  r G=Dönemsel eşit ödemelerin gelecekteki değeriC=Dönemsel eşit ödemelerr=Dönem faiz oranı (iskonto oranı veya faiz beklentisi)n=Dönem sayısıYukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin }gelecekteki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloya Anuite tablosu adı veriliyor.Çeşitli n ve r değişkenleri için hesaplanan bilgiler bulunmaktadır. Dönem Sayısı ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 1.00000 2.05000 3.15250 4.31013 5.52563 6.80191 8.14201 9.54911 11.02656 12.57789 14.20679 15.91713 17.71298 10 1.00000 2.10000 3.31000 4.64100 6.10510 7.71561 9.48717 11.43589 13.57948 15.93742 18.53117 21.38428 24.52271 15 1.00000 2.15000 3.47250 4.99338 6.74238 8.75374 11.06680 13.72682 16.78584 20.30372 24.34928 29.00167 34.35192 20 1.00000 2.20000 3.64000 5.36800 7.44160 9.92992 12.91590 16.49908 20.79890 25.95868 32.15042 39.58050 48.49660 25 1.00000 2.25000 3.81250 5.76563 8.20703 11.25879 15.07349 19.84186 25.80232 33.25290 42.56613 54.20766 68.75958 30 1.00000 2.30000 3.99000 6.18700 9.04310 12.75603 17.58284 23.85769 32.01500 42.61950 56.40535 74.32695 97.62504 35 1.00000 2.35000 4.17250 6.63288 9.95438 14.43841 20.49186 28.66401 39.69641 54.59016 74.69672 101.84057 138.48476 40 1.00000 2.40000 4.36000 7.10400 10.94560 16.32384 23.85338 34.39473 49.15262 69.81366 98.73913 139.23478 195.92869 Faiz Oranı ( r ) 45 1.00000 2.45000 4.55250 7.60113 12.02163 18.43137 27.72548 41.20195 60.74282 89.07709 130.16178 189.73458 276.11515 50 1.00000 2.50000 4.75000 8.12500 13.18750 20.78125 32.17188 49.25781 74.88672 113.33008 170.99512 257.49268 387.23901 55 1.00000 2.55000 4.95250 8.67638 14.44838 23.39499 37.26224 58.75647 92.07252 143.71241 223.75423 347.81906 540.11955 60 1.00000 2.60000 5.16000 9.25600 15.80960 26.29536 43.07258 69.91612 112.86579 181.58527 291.53643 467.45829 748.93327 65 1.00000 2.65000 5.37250 9.86463 17.27663 29.50644 49.68563 82.98129 137.91912 228.56655 378.13481 624.92244 1032.12203 70 1.00000 2.70000 5.59000 10.50300 18.85510 33.05367 57.19124 98.22511 167.98268 286.57056 488.16995 830.88891 1413.51115 75 1.00000 2.75000 5.81250 11.17188 20.55078 36.96387 65.68677 115.95184 203.91573 357.85252 627.24191 1098.67334 1923.67835 80 1.00000 2.80000 6.04000 11.87200 22.36960 41.26528 75.27750 136.49951 246.69911 445.05840 802.10513 1444.78923 2601.62061 85 1.00000 2.85000 6.27250 12.60413 24.31763 45.98762 86.07709 160.24262 297.44885 551.28037 1020.86869 1889.60708 3496.77310 90 1.00000 2.90000 6.51000 13.36900 26.40110 51.16209 98.20797 187.59514 357.43078 680.11847 1293.22510 2458.12769 4671.44261 95 1.00000 2.95000 6.75250 14.16738 28.62638 56.82144 111.80181 219.01354 428.07640 835.74898 1630.71051 3180.88550 6203.72672 100 1.00000 3.00000 7.00000 15.00000 31.00000 63.00000 127.00000 255.00000 511.00000 1023.00000 2047.00000 4095.00000 8191.00000Örneğin; Dolar hesabınıza Aylık %1 faiz ödeyen bir bankaya önümüzdeki 5 yıl boyuncaher ay sonunda 20 dolar yatırırsak, 5. yıl bitiminde hesapta ne kadar para olur? 10
  11. 11. [  (1 + 0 . 01 )60 − 1  G ≡ 20 *  ]  = 20 * 81 . 67 = 1633 .4 $  0 . 01 Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değerleri de hesaplanabilir. Her bir eşit ödemeninıskonto faiz oranıyla bugüne indirgenmiş değerlerinin toplamı o serinin bugünkü değertoplamını verecektir. Bu mantık çerçevesinde aşağıda belirtilen formül dönemsel eşitödemelerin şimdiki değerini verir.  D ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ] n  r( + r ) 1 D=Dönemsel eşit ödemelerin şimdiki değeriC=Dönemsel eşit ödemelerr=Dönem faiz oranı (Ya da piyasa faiz beklentisi)n=Dönem sayısıYukarıdaki eşitlikte {...} parantezi içerisinde yer alan bölüm, Dönemsel eşit ödemelerin }şimdiki değer faiz faktörüdür. Aşağıdaki tabloda çeşitli n ve r değişkenleri içinhesaplanan bilgiler bulunmaktadır. Dönem Sayısı ( n ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 0.95238 1.85941 2.72325 3.54595 4.32948 5.07569 5.78637 6.46321 7.10782 7.72173 8.30641 8.86325 9.39357 10 0.90909 1.73554 2.48685 3.16987 3.79079 4.35526 4.86842 5.33493 5.75902 6.14457 6.49506 6.81369 7.10336 15 0.86957 1.62571 2.28323 2.85498 3.35216 3.78448 4.16042 4.48732 4.77158 5.01877 5.23371 5.42062 5.58315 20 0.83333 1.52778 2.10648 2.58873 2.99061 3.32551 3.60459 3.83716 4.03097 4.19247 4.32706 4.43922 4.53268 25 0.80000 1.44000 1.95200 2.36160 2.68928 2.95142 3.16114 3.32891 3.46313 3.57050 3.65640 3.72512 3.78010 30 0.76923 1.36095 1.81611 2.16624 2.43557 2.64275 2.80211 2.92470 3.01900 3.09154 3.14734 3.19026 3.22328 35 0.74074 1.28944 1.69588 1.99695 2.21996 2.38516 2.50752 2.59817 2.66531 2.71504 2.75188 2.77917 2.79939 40 0.71429 1.22449 1.58892 1.84923 2.03516 2.16797 2.26284 2.33060 2.37900 2.41357 2.43826 2.45590 2.46850 Faiz Oranı ( r ) 45 0.68966 1.16528 1.49330 1.71951 1.87553 1.98312 2.05733 2.10850 2.14379 2.16813 2.18492 2.19650 2.20448 50 0.66667 1.11111 1.40741 1.60494 1.73663 1.82442 1.88294 1.92196 1.94798 1.96532 1.97688 1.98459 1.98972 55 0.64516 1.06139 1.32993 1.50318 1.61496 1.68707 1.73359 1.76361 1.78297 1.79547 1.80353 1.80873 1.81208 60 0.62500 1.01563 1.25977 1.41235 1.50772 1.56733 1.60458 1.62786 1.64241 1.65151 1.65719 1.66075 1.66297 65 0.60606 0.97337 1.19598 1.33090 1.41267 1.46222 1.49226 1.51046 1.52149 1.52818 1.53223 1.53468 1.53617 70 0.58824 0.93426 1.13780 1.25753 1.32796 1.36939 1.39376 1.40809 1.41652 1.42149 1.42440 1.42612 1.42713 75 0.57143 0.89796 1.08455 1.19117 1.25210 1.28691 1.30681 1.31818 1.32467 1.32838 1.33051 1.33172 1.33241 80 0.55556 0.86420 1.03567 1.13093 1.18385 1.21325 1.22958 1.23866 1.24370 1.24650 1.24806 1.24892 1.24940 85 0.54054 0.83272 0.99066 1.07603 1.12218 1.14712 1.16061 1.16790 1.17184 1.17397 1.17512 1.17574 1.17607 90 0.52632 0.80332 0.94912 1.02585 1.06624 1.08749 1.09868 1.10457 1.10767 1.10930 1.11016 1.11061 1.11085 95 0.51282 0.77581 0.91067 0.97983 1.01530 1.03349 1.04281 1.04760 1.05005 1.05131 1.05195 1.05228 1.05245 100 0.50000 0.75000 0.87500 0.93750 0.96875 0.98438 0.99219 0.99609 0.99805 0.99902 0.99951 0.99976 0.99988Örnek Soru :Beyaz eşya satan bir işletmede yeni bir kampanya başlamış bulunuyor. Bukampanyada bir televizyon almak istiyorsunuz ve önünüze iki ayrı seçenek konuyor.- 12 ay boyunca, aylık 50 milyon Tl eşit taksit ödeme veya;- Peşin olarak 500 milyon Tl ödemek.Eğer aylık banka faiz oranı %5 ise ve yıl sonuna kadar bu şekilde devam edeceğinidüşünüyorsanız, rasyonel bir tüketici olarak hangi seçeneği seçerdiniz? [  (1 + 0.05 )12 − 1 D = 50,000,000 ×  ] 12  = 50,000,000 * 8.8632 = 443,162,582  0.05 * (1 + 0.05 ) Bu şartlar altında bir karşılaştırma yapacak olursak; şu an 500 milyon ödemek mi dahaiyidir? Yoksa gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin bugünkü (şimdiki değeri) 443.2 milyon 11
  12. 12. tutuyorsa, taksitle mi ödemek iyidir? Dolayısıyla cevap taksitli ödeme seçeneğininseçilmesi olmalıdır.Anüite, belli bir zaman dönemi boyunca yapılan eşit ödeme ya da tahsilatlar dizisidir. biranüitenin gelecek değeri, eşit ödemelerin büyümesini olanaklı kılan bileşik faizuygulamasıyla bulunur. Annüiteler, ödemelerin dönem başı ya da dönem sonuyapılmasına göre olağan ve peşin olmak üzere ikiye ayrılır. Ayrıca ödemelerin belli dönemsonra başlayacağı bir anüite türü daha olup, bu anüite, ertelenmiş annüite olarakadlandırılır. Burada yalnızca olağan anüiteleri ve sürekli ele alacağız:Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci dönemsonunda alınan 1 TL, iki dönem faiz kazanmaktadır, bu nedenle üçüncü dönem 1.2360TLye ulaşmaktadır. kinci dönem sonunda alınan 1 TL, 1.060 TLye ulaşmaktadır. Üçüncüdönem sonunda alınan 1 TLnin dönem sonu değeri yine 1 TL olmaktadır. Toplam anüite,üçüncü dönemin sonunda 3.18360 TLya ulaşmaktadır. Bu rakam; r % 6dan, n üç dönemiçin gelecek değer anüite faktörü (GDAF i,n), olarak adlandırılır. Anüitelerin gelecek değeriformülünü tekrar yazalım. SG  ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ]  r Burada, C, annüite tutarını (dönemsel ödemeleri), [(1+r)n-1]/i ise, r faiz oranı üzerinde ndönemi için gelecek değer anüite faktörünü (GDAFi,n) temsil etmektedir. Formüldekideğişkenler yerine ilgili değerler konursa, 3.18360 TLye ulaşılır.Örneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yılsonunda 5 milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta ne kadar para olur ? [(1 + 0.50)3 - 1] GA = 5,000,000 ————————— 0.50 5,000,000 * 4.75 = 23,750,000 TL.Ayrıca, artan oranlı (a) anüitelerde hesaplama yapmak için faiz oranı (ra) şöylehesaplanır:ra = ((1+r)/(1+a))-1Yukarıdaki denklemin matematik değeri, faiz oranı (r) yerine (ra) konarak anüiteleringelecek ve şimdiki değeri bulunur. 12
  13. 13. Bir Anüitenin Şimdiki Değeri. Tahvil ve benzeri araçlardan elde edilen faiz, anüitelerioluşturur. Bu tür finansal araçları karşılaştırmak için, bu anüitelerin şimdiki değerlerinibilmemiz gerekir. Zaman 0 1 2 3 1 1 1 ÷1.06 0.9434 ÷1.062 0.8900 ÷1.063 0.839 PVA3 = 2.67302 13
  14. 14. Örneğin, % 6 faiz oranı üzerinden üç dönemli bir anüiteyi ele alalım. Birinci döneminsonunda elde edilecek 1 TLnin şimdiki değeri 0.94340 TL, ikinci dönem sonunda eldeedilecek 1 TLnin şimdiki değeri 0.89000 TL ve üçüncü dönem sonunda elde edilecek 1TLnin şimdiki değeri 0.94340 TLye ulaşmaktadır.Tüm anüiteleri şimdiki değeri ise2.67302 TL olmaktadır. Buradan anüitelerin şimdiki değeri ise şöyle bulunacaktır:  D ≡ C ×  [(1 + r ) − 1  n  ] n  r( + r ) 1 Burada, A, anüitelerin herbirini, [(1+r)n-1]/(r(1+r)n) ise, şimdiki değer anüite faktörünü,(ŞDAFi,n), temsil etmektedir. Formüldeki değişkenlerin yerine ilgili değerler konursa,2.67302 TLya ulaşılır.Dönem Sayısı. Burada, belli bir faiz kazanan ve dönem sonunda gerçekleşen olağananüitelerin istenen gelecek değere ulaşması için gerekli olan dönem sayısıhesaplanmaktadır. Dönem sayısı şöyle hesaplanır: Ln(1+((G*r)/A)) n = ——————— Ln(1+r)Örneğin yıllık % 50 faiz veren mevduat hesabına her yıl sonunda 5 milyon TL yatırılırsa,hesabın 23,750, 000 TL’ye ulaşması için kaç dönem geçmelidir? Ln(1+((23.75*0.5)/5)) n = ——————— = 3 yıl Ln(1.5)Faiz Oranı. Burada, dönem sonunda gerçekleşen olağan anüiteleri istenen şimdikideğere eşitleyen iskonto (faiz) oranı hesaplanmaktadır. Bu amaçla anüiteler değişik faizoranları üzerinden iskontolanarak şimdiki değere eşitlenmeye çalışılır. Bu sureçanüitelerin peşin değerini iskontolanan anüitelere eşitleyinceye kadar sürdürülür. Bulunafaiz oranı iç verim oranı olarak adlandırılır. Konu bölümün sonlarında ayrıntılı olaraktartışılmaktadır.Anüite Tutarı. Anüitelerin gelecek değeri formülünden yararlanarak anüite tutarınailişkin formül geliştirebiliriz: 14
  15. 15. [(1+r)n - 1] GA = A ————— rBuradan, [(1+r)n - 1] A= GA / ————— rÖrneğin, yıllık % 50 ödeyen bir banka hesabına önümüzdeki 3 yıl boyunca her yılsonunda kaç milyon TL yatırılırsa, üçüncü yıl sonunda hesapta 23,750,000 TL olur? [(1.5)n - 1]A= 23.75 / ————— = 5 milyon TL 0.5E. Borcun tfasıPek çok kredi aylık, üç aylık ya da yıllı dönemler itibariyle geri ödenir. Herbir dönemselödeme, ödenmemiş anapara kalanı üzerinden yürütülen faiz ile anaparakalanındandüşülen bir indirimden oluşur. Ödemeler dönembaşı ya da dönem sonu olabilir. Buradayalnızca dönemsonu ödemeler ele alınacaktır.Dönemsonu ödemeleri belirlemek için anüitelerin şimdiki değeri yaklaşımı kullanılır.Kredinin şimdiki değeri kendisine eşittir. Anüitenin I faiz oranı üzerinden n dönem içinşimdiki değer anüite faktörü bulunur., bu faktör verilen –krediye bölünür. Çıkan rakamdönemsel ödemeyi gösterir. Bu tartışmaları formülle ifade etmek gerekirse: [(1+r)n-1] D = C —————— bilindiğine göre, r(1+r)n r(1+r)n C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1]Payda, 1 TL’lik anüitenin şimdiki değer faiz faktörü (ŞDFFi,n) olup, tablodan formüleyerleştirilirse; dönemsel ödeme tutarı olan C kolayca hesaplanır. Ödemenin faiz bölümüise önceki dönemin anapara kalanına kullanılan faiz oranı uygulanmak suretiyle kolaycabulunur. 15
  16. 16. Örneğin, tüketici kredilereine aylık % 7.77 (yıllık % 93.24) uygulayan A Bankası’ndan 15milyon kredi alan tüketici borcunu 12 eşit taksitle öderse, aylık taksit tutarı ne olur? 15 C= —————— = 1,966,770 -12 [1-(1.0777) ] /0.0777lgili itfa tablosu aşağıda sunulmaktadır:Tablo 1: tfa Tablosu ÖdenenDönem Ödenen Faiz Anapara Kalan Anapara 15,000,000 1 1,165,500 801,270 14,198,730 2 1,103,241 863,529 13,335,201 3 1,036,145 930,625 12,404,575 4 963,836 1,002,935 11,401,641 5 885,907 1,080,863 10,320,778 6 801,924 1,164,846 9,155,932 7 711,416 1,255,354 7,900,578 8 613,875 1,352,895 6,547,682 9 508,755 1,458,015 5,089,667 10 395,467 1,571,303 3,518,364 11 273,377 1,693,393 1,824,970 12 141,800 1,824,970 0tfa tablosu hesaplamalarında belli bir süre sonra ödeme başlıyorsa, önce borcunödemenenin başladığı dönemin başındaki gelecek değeri bulunur, daha sonra bu değeryeni borç tutarı kabul edilir ve bu tutar üzerinden itfa tablosu oluşturulur.Örneğin, 6,500,000 TL tutarında ve faiz oranı 0.115 olan bir borç 10 eşit taksitte dönemsonlarında ödenecektir. lk ödeme 4. yılın sonunda başlayacaktır. Dönemsel ödemelerintutarı ne olacaktır? Önce bu borcun üçüncü dönem sonundaki gelecek değeri bulunur.Bulunan bu değer yeni borç tutarı olarak algılanır. Bu borç tutarı üzerinden dönemseltaksitler hesaplanır. 6,500,000 TLin üçüncü yılın sonundaki gelecek değeri şöyleolacaktır: G = A (1+r)n = 6,500,000(1.115)3 = 9,010,273 TL 16
  17. 17. Dönemsel ödeme tutarı da şöyle bulunacaktır: r(1+r)n C = D (—————— ) olacaktır. [(1+r)n-1] C = 1,562,176 TLF. Net Şimdiki Değer Ve iç verim OranıProje değerlemede çeşitli yaklaşımlar vardır: Net şimdiki değer (NŞD), iç verim oranı( VO) gibi.Net Şimdiki Değer. Net Şimdiki değer, yararların şimdiki değeri ile projeninmaliyetlerinin şimdiki değeri arasındaki farktır. Nakit akımlarını (yarar ve maliyetleri)indirgemek için sermaye maliyeti kullanılır. Pozitif bir şimdiki değere sahip bir proje,işletme değerine katkıda bulunacağı için kabul edilmelidir. Negatif bir NŞDe sahip birproje ise reddedilmelidir.Dönem sonlarında gerçekleşen n tane nakit akımına sahip bir yatırımın şimdiki değeri(fiyatı) NA0, k, uygun iskonto oranı ve NAiler de dönemsel nakit akımları olsun. NA1 NA2 NAn NŞD = NAo + 1 + 2 + .... + (1 + k ) (1 + k ) (1 + k )nBu denklem, gelecekteki getirileri (NAi) firmanın finansman giderleri (sermaye maliyeti)üzerinden iskontolayarak, gelecekteki getirilerin toplamını bugünün lirası karşılığınadönüştürür.Örneğin bir yatırımı sırasıyla her yılı sonunda 200, 300 ve 400 milyar TL getirdiğini, buyatırıma başlangıçta 500 milyar TL bağlandığını ve iskonto oranının % 13 olduğunuvarsayalım. Bu yatırımın nakit akımlarının şimdiki değeri şöyle olacaktır: 200 300 400 ŞD = ——— + ———— + ———— = 689.16 milyar TL (1+0.13)1 ( 1+0.13)2 (1+0.13)2Bu yatırımı net şimdiki değerini şöyle hesaplarız: NŞD = 689.16 - 500 = 189.16 milyar TL 17
  18. 18. Paydaşlar üçüncü yıl sonu itibariyle elde ettiği nakit akımlarının gelecek değeri (GD) iseşöyle hesaplanır: GD = 200(1+0.13)2 + 200(1+0.13)1 + 400 = 255.38 + 399 + 400 = 994.38Başlangıçta yatırılan 500 milyar TL’nin gelecek değeri ise şöyle olacaktır: GD = 500(1+0.13)3 = 721.45 milyar TLBu hesaplamalardan paydaşları üçüncü yıl sonu itibariyle kârı (K) şöyle olacaktır: K = 994.38 - 721.45 = 272.93 milyar TLBu kârı yatırımı yapıldığı dönemdeki değere (NŞD) şöyle dönüştürebiliriz: 272.93 272.93 NŞD = ———— = ——— = 189.16 milyar TL (1+0.13)3 1.4429Tartışmaları Tablo 3’de olduğu gibi özetleyebiliriz:Tablo : Net Şimdiki Değer Yöntemi Sermaye FinansmanYıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan 1 500.00 200.00 65.00 135.00 2 365.00 300.00 47.45 252.55 3 112.45 400.00 14.62 385.38 0 + 272.93 kârBu yatırım 3. yıl sonunda paydaşlara 272.93 milyar TL kâr bırakmıştır. Bu kârı 0.dönemdeki değeri daha önce tartışıldığı gibi 189.16 milyar TL düzeyindedir. Finansmangiderlerinin sermaye harcamalarının kalanı üzerinden hesaplandığını hemen belirtelim. Buproje paydaş servetini arttırdığı için üstlenilmelidir. ç Verim Oranı. ç verim oranı, projenin yarar ve maliyetlerini biribirine eşitleyeniskonto oranıdır. Başka bir deyişle, projenin NŞDini sıfır yapan iskonto oranıdır. lgiliformül şöyledir: NA1 NA2 NAnNAo + + + ... + =0 (1 + VO ) 1 (1 + VO ) 2 (1 + VO ) n 18
  19. 19. Projenin VOı sermayenin maliyetinden yüksekse, işletmenin değeri artacak olup, buproje üstlenilmelidir. IVO, sermaye maliyetine eşit ise, yine proje üstlenilmelidir. VO,sermayenin maliyetinden düşükse proje reddedilmelidir.Bu yöntem bir örnekle şöyle açıklanabilir: 200 milyar TLlik bir yatırımın birinci ve ikinciyıllarda 90 milyar TL ve üçüncü yıl 81.4 milyar TL getirdiğini varsayalım. Kullanılaniskonto oranı % 10 olsun. Bu verileri bir tablo ile özetleyelim:Tablo : ç Verim Oranı Yöntemi Sermaye FinansmanYıllar Harcamaları Getiriler - Giderleri = Kalan1 200 80.0 20.0 602 140 80.0 14.0 663 74 81.4 7.4 74 0 + 0.0 kârBu örnekte görüldüğü gibi, proje ne kârlı ne de zararlıdır. Yatırım kendini itfa ettiği gibi,fon sağlayanlara % 10luk bir getiri sağlamıştır. Bu durumda projenin ancak % 10luk birfinansman giderlerine eşit bir verim sağladığı söylenebilir. şte bu % 10 iç verimoranından başka bir şey değildir.G. Vadeye Kadar Verim (Yield to Maturity)Faiz oranlarını hesaplamanın birçok yolu vardır ve en önemli olanlardan biri de vadeyekadar verim (yield to maturity) olarak adlandırılan yöntemdir. Buna gore hesaplanacakolan faiz oranı; borç enstrümanının bugünkü değerini, bu borç enstrümanı tarafındangelecekte yapılacak ödemelerin bugünkü değerine eşitleyen faiz oranı olacaktır.Ekonomistler, en doğru ölçülmüş faiz oranı olarak bu faiz oranını dikkate alırlar. Şimdi,vadeye kadar verim oranını sizlere daha once verdiğimiz 4 tür borç aracı içinhesaplamaya çalışalım. Hesaplamaların kolay ve basit olması amacıyla dolar bazındaörnekler vereceğiz. • Basit Ödünç Verme şlemi: 100 dolar ödünç veren birinin eline eğer vade sonunda 110 dolar gegeçiyorsa bu durumda bugünkü 100 doları 1 yıl sonra 110 dolara eşitleyecek faiz oranı vadeye kadar olan verimi verecektir. Yani aşağıdaki şekilde bir hesaplama yapacağız; 110 100 = (1 + i )dolayısıyla bu denklemden “i” faiz oranını denklemin sol tarafına çekecek ve gereklisadeleştirmeleri yapacak olursak aşağıdaki şekilde çözüme ulaşırız. 19
  20. 20. 110 − 100 10 i= = = 0 . 10 = % 10 100 100NOT: Basit ödünç verme işlemlerinde basit faiz oranı vadeye kadar olan verimeeşit olur. Yani eğer bankaya paranızı bir yıllığına yıllık %50 basit faizleyatırıyorsanız, sizin vadeye kadaki veriminiz %50’dir. • Sabit Taksit Ödemeli Borç: Hatırlayacağınız üzere, burada borcun eşit taksitlere bölünmüş şekilde ödenmesi sözkonusuydu. Örneğin, bir banka şubesi, kendisinden araba kredisi isteyen bir müşterisi için galeriye 5 bin dolar ödeme yapıyor. Müşterisine de 3 yıl vadeli kredi açarak her yıl 2000 dolar ödemesini istiyor. Bu durumda banka için vadeye kadar verimi hesaplayalım. Bir başka deyişle tüketicinin kullandığı kredinin yıllık faiz maliyetini bulalım. Daha önce de belirttiğimiz gibi; bugün bankanın yaptığı ödemeyi, gelecekte ödeyeceğimiz taksitlerin toplam değerine eşitleyen faiz oranı, vadeye kadar olan verimdir. Formül ile gösterirsek; 2000 2000 2000 5 000 = + 2 + 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) Yukarıdaki formülde bu eşitliği sağlayan “i” değeri vadeye kadar olan verim oranıdır. Eğer bu eşitliği çözersek i=0.097 olarak bulunur. Dolayısıyla banka için yıllık vadeye kadar olan verim oranı %9.7 olarak bulunmuştur. Bir başka açıdan da Arabanın bize yıllık maliyet oranıdır. Banka açısından vadeye kadar olan verim, bizim için gerçekçi maliyettir. • Kuponlu Tahvillerde Vadeye Kadar Verim: Aslında kupon ödemeli tahvillerde de yukarıda sabit taksit ödemeli borç durumundaki yöntem izlenir. Tahvilin bugünkü değerini, ileride tahvil’den elde edilecek nakit akışının tümünün şimdiki değerine eşitleyen faiz oranı vadeye kadar olan verimi gösterecektir. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Gerçek piyasa faiz oranı bu yolla hesaplanan vadeye kadar verim oranıdır. Etkin bir tahvil piyasasında vadeye kadar verim o risk sınıfı için piyasa faiz oranıdır. Vadeye kadar verimin yorumunu şöyle yapabiliriz. Eğer bir yatırımcı tahvili piyasa fiyatını ödeyerek satın alır, vade bitimine kadar elinde tutar ve bu aradaki tüm nakit ödemeleri (Kupon faiz ödemesi ve anapara ödemesi) alırsa , elde ettiği yıllık getiri oranı vadeye kadar verimdir. Vadeye kadar verimin gerçeğe dönüşmesi , yani elde edilen getiri ile aynı olması için bir takım koşulların sağlanması gerekmektedir. Bu koşulları şöyle sıralayabiliriz. 20
  21. 21. Tahvil vade bitimine kadar elde tutulmalıdır. Vadeden önce satıldığı takdirdepiyasa koşullarına bağlı olarak satış fiyatının durumuna göre elde edilecek getirivadeye kadar verimden farklı olabilir.Tüm kupon faiz ve anapara geri ödemelerin zamanında ve eksiksiz olarakyapılması gerekmektedir. Aksi halde gerçekleşen getiri vadeye kadar veriminaltında kalır.Vadeden önce itfası söz konusu olmamalıdır.Yatırımcı tarafından tahsil edilen kupon faiz ödemeleri vadeye kadar eşit verimeeşit bir faiz oranından yeniden yatırıma dönüşmelidir. Yatırımcı elde ettiği kupongelirlerini harcamadan yatırıma yöneltmeli , üstelik bu yeni yatırımdan sağlayacağıgetiri tahvilin vadeye kadar verimine eşit olmalıdır. Yeniden yatırma getirisininvadeye kadar verimden düşük olması durumunda gerçekleşen getiri vadeye kadarverimden az olacak, aksi halde ise onun üzerinde bir değere ulaşacaktır.Tahvilin fiyatı genellikle nominal değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilmektedir.Tahvil analizinde çoğu kez piyasa işlem fiyatı doğrudan gözlemlendiği haldevadeye kadar verim bilinmeyeni teşkil etmektedir. Yani tahvilin birim fiyatı, kuponödemeleri ve anapara ödemelerinin tarih ve büyüklüğü bilindiği halde piyasaıskonto faiz oranının bulunması gerekebilir. Böyle bir durumda tahvil bugünküdeğer formülünde deneme yanılma yoluyla çözüme ulaşmak en kolayı olacaktır.Tahvilin değeri eğer nominal değerden küçükse kupon ödeme faizinden dahadüşük bir ıskonto faiziyle denemeler başlatılmalı, aksi durumda ise tam tersiuygulanarak sonuca ulaşmaya çalışılmalıdır. Vadeye kadar verimi daha kısayoldan, deneme yanılma yöntemine başvurmaksızın yaklaşık olarak hesaplamakmümkündür. Bu yaklaşık hesaplama formülü şöyle ifade edilebilir. V − TD rV + i ≅ N TD + V 2Burada :i : vadeye kadar verimr : Kupon FaiziV: Tahvilin nominal değeriTD: Tahvilin şu anki piyasa fiyatıN: Vadeye kadar olan yıl sayısıÖrneğin, üç yıl vadeli, nominal değeri 100.000 TL, %75 kupon faiz ödemeli ve şuanki piyasa değeri 96,000 TL olan tahvilin vadeye kadar verimini bu formüllehesaplarsak aşağıdaki rakam bulunur. 21
  22. 22. 100 , 000 − 96 , 000 75 , 000 + i ≅ 3 ≅ 0 , 78 96 , 000 + 100 , 000 2 Burada ortaya çıkan %78’lik rakam aslında vadeye kadarki verimi en doğru şekilde vermemektedir ve yaklaşık bir rakam olarak alınmalıdır. Normal şartlar altında, yukarıdaki formül yerine aşağıdaki formülü kullansaydık ve “i” değerini bu formülden hesaplasaydık %78.8 olarak bulmalıydık. rV rV rV V TD = + 2 + 3 + 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 75 , 000 75 , 000 75 , 000 100 , 000 96 , 000 = + 2 + 3 + 3 i = %78.8 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) • skontolu Bonolarda Vadeye Kadar Verim: skontolu bonolarda kupon bulunmaz. Dolayısıyla faiz fiyatın içindedir ve bu bonolar ilk arz edilirken, fiyatlarında iskonto yapılmştır. Bu tür iskontolu bonolarda vadeye kadar verimi V −F 360 hesaplamak kolaydır. formül ; i = * şeklinde verilebilir. F Vadeye kalan gün Örneğin; şu anki piyasa fiyatı 55000 Tl ve nominal değeri (itfa değeri) 100.000 TL olan bir yıl vadeli bir bononun vadeye kadarki verimini hesaplayalım. 100 , 000 − 65 , 000 35 , 000 i= = = 0 . 5384 = % 53 . 84 ; burada vadeye kadarki 65 , 000 65 , 000 verim %53.84 seviyesindedir.H. Özet Ve SonuçlarBu bölümde bileşik faiz, anüite hesaplamaları, itfa tablosu, ödenim fonu, gelecek veşimdiki değer hesaplamaları, ve net şimdiki değer ve iç verim oranı konuları elealınmıştır. Ayrıca tahvilk ve boıno değerlemesinde kullanılan oranlar verilmiştir.Hemen hemen tüm finans modellerinde paranın zaman değeri yaklaşımını yoğun olarakkullanır. Bu nedenle nakit akımlarını değerlendirirken paranın zaman değeri gözönünealan finans matematiği ilkelerinden yoğun bir biçimde yararlanılır.Yararlanılan Kaynaklar 22
  23. 23. Arman T. Tevfik, Gürman Tevfik Finans Matematiğine Giriş, T. ş Bankası KültürYayınları, Istanbul, 1996.Arman T. Tevfik, Temel Finans Matematiği , Ders Notları , Istanbul, 2001. 23

×