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Desigualdades

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  1. KAREN KLEVER MONTERO
  2.  En matemáticas, una desigualdad es una relación que se daentre dos valores cuando estos son distintos (en caso de seriguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjuntoordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden sercomparados. En las desigualdades se utilizan los siguientes símbolos: < > ≤ ≥ ≪ ≫
  3.  < Menor que > Mayor que ≥ Mayor o igual que ≤ Menor o igual que ≫ Mucho mayor que ≪ Mucho menor que ≠ No es igual a
  4.  La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b; estas relaciones se conocencomo desigualdades estrictas, puesto que a nopuede ser igual a b; también puede leersecomo "estrictamente menor que" o"estrictamente mayor que".
  5.  La notación a ≤ b significa a es menor o igualque b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igualque b;Estos tipos de desigualdades reciben el nombrede desigualdades amplias (o no estrictas).
  6.  La notación a ≪ b significa a es mucho menorque b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayorque b;Esta relación indica por lo general una diferenciade varios órdenes de magnitud.
  7.  La notación a ≠ b significa que a no esigual a b. Tal expresión no indica si uno esmayor que el otro, o siquiera si soncomparables.
  8.  Las desigualdades están gobernadas por las siguientespropiedades. Notar que, para las propiedadestransitividad, adición, sustracción, multiplicación ydivisión, la propiedad también se mantiene si lossímbolos de desigualdad estricta (< y >) sonreemplazados por sus correspondientes símbolos dedesigualdad no estricta (≤ y ≥).
  9.  Para números reales arbitrarios a, b y c: Si a > b y b > c entonces a > c. Si a < b y b < c entonces a < c. Si a > b y b = c entonces a > c. Si a < b y b = c entonces a < c. Ejemplo: Si 12 < 15 y 15 < 23, entonces 12 < 23 Si 9 > 5 y 5 = (3 + 2) entonces 9 > (3 +2)
  10.  Para números reales arbitrarios a, b y c: Si a < b entonces a + c < b + c Y a − c < b − c. Si a > b entonces a + c > b + c Y a − c > b − c. Ejemplo: Si 789 < 987 y aplicamos la propiedadadicionando 143 resulta así: 789 + 143 < 987 + 143 932 < 1130
  11.  Para números reales arbitrarios a y b,y c diferente de cero: Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
  12.  Para números reales arbitrarios a y b: Si a < b entonces −a > −b. Si a > b entonces −a < −b. Ejemplo: Si 45 < 86 entonces -45 > -86 Si 70 > 49 entonces -70 < -49 Cambia el sentido de la desigualdad.
  13.  Para números reales a y b distintos de cero,ambos positivos o negativos a la vez: Si a < b entonces 1/a > 1/b. Si a > b entonces 1/a < 1/b. Si a y b son de distinto signo: Si a < b entonces 1/a < 1/b. Si a > b entonces 1/a > 1/b. Ejemplo: -8 < -3 entonces -1/8 > -1/3 6 > -4 entonces 1/6 > -1/4
  14.  Se puede definir el valor absoluto por medio dedesigualdades:∣a∣ ≤ b si y solo si, -b ≤ a ≤ b∣a∣ ≥ b si y solo si, a ≥ b ⋁ a ≤ -bEjemplo:∣8∣ ≤ 17 si y solo si, -17 ≤ 8 ≤ 17∣-12∣ ≥ 5 si y solo si, 12 ≥ 5 ⋁ 12 ≤ -5 y laverdadera es 12 ≥ 5
  15.  En matemática, una inecuación esuna desigualdad algebraica en la que aparecenuna o más incógnitas en los miembros de ladesigualdad. Si la desigualdad es deltipo > o < se denomina inecuación en sentidoestricto y si es del tipo ≥ o ≤ sedenomina inecuación en sentido amplio.
  16.  Del mismo modo en que se hace la diferenciaentre igualdad y ecuación, una inecuación que esválida para todas las variables sellama inecuación incondicional y las que sonválidas solo para algunos valores de las variablesse conocen como inecuacionescondicionales. Los valores que verifican ladesigualdad, son sus soluciones.
  17.  Según el número de incógnitas,◦ De una incógnita. Ejemplo: x < 0◦ De dos incógnitas. Ejemplo: x < y◦ De tres incógnitas. Ejemplo: x < y + z◦ etc.
  18.  Según la potencia de la incógnita:◦ De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de laincógnita de la inecuación es uno.Ejemplo: x + 1 < 0◦ De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayorexponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo:x2 + 1 < 0◦ De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente decualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: x3 + x2 < 0◦ etc. Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes,como se muestra en el último ejemplo
  19.  Inecuaciones de segundo grado con unaincógnita Se expresan a través de cualquiera de lasdesigualdades siguientes (con a, b y c númerosreales, y a distinto de cero): ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0
  20.  Un intervalo (del latín intervallum) esun conjunto comprendido entre dos valores.Específicamente, un intervalo real esun subconjunto conexo de la recta real , esdecir, una porción de recta entre dos valoresdados.
  21.  El intervalo real I es la parte de R que verificala siguiente propiedad: Si a y b pertenecen a I con a ≤ b, entoncespara todo x tal que a ≤ x ≤ b , se tieneque x pertenece a I Nota: I es el intervalo y R es el conjunto delos números reales.
  22.  Existen dos notaciones principales: en uncaso se utilizan corchetes y corchetesinvertidos, en el otro corchetes y paréntesis. [ ] ( ) ] [ [ ) ( ]
  23.  Intervalo abierto No incluye los extremos. (a , b) o bien ]a , b[ Notación conjuntista o en términos dedesigualdades: El intervalo (a , b), es aquel que para todo xque pertenece al intervalo, a < x < b
  24.  Intervalo cerrado Sí incluye los extremos. Que se indica: [a , b] Notación conjuntista o en términos dedesigualdades En el intervalo [a , b], es aquel que para todo xque pertenece al intervalo, se representa a ≤ x ≤ b
  25.  Intervalo semiabierto Incluye únicamente uno de los extremos. Con la notación [a , b) o bien [a , b[ indicamos. En notación conjuntista: [a ,b), para todo x que pertenece al intervalo, elprimer extremo está incluido así: a ≤ x < b Y con la notación (a , b] o bien ]a, b], En notación conjuntista: (a ,b], para todo x que pertenece al intervalo, elprimer extremo está incluido así: a < x ≤ b

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