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  • 1. CAPÍTULO 4 LA DERIVADA POR FÓRMULAS4.1 FÓRMULAS (Áreas 1, 2 y 3) Obtener la derivada de cualquier función por alguno de los dos métodos vistos anterior-mente, el de tabulaciones y el de incrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que es pre-ferible tener fórmulas para su cálculo. Para comprender el significado simbólico de las fórmulas, el estudiante debe recordar queel símbolo de un operador es el grafo o representación escrita con el que se hace alusión a laoperación. Así por ejemplo, a continuación se muestran diferentes operadores conocidos: + operador suma × operador multiplicación ÷ operador división operador raíz cuadrada d De la misma manera, el operador derivada es . Así como en el operador suma, como dxen el de multiplicación y división, para que tenga sentido debe escribirse una cantidad antes yotra después, o bien, en el operador raíz cuadrada debe escribirse una cantidad adentro para indi-car a qué cantidad se le está sacando raíz, en el operador derivada lo que se escribe a continua- 55
  • 2. La derivada por fórmulasción de dicho operador es a lo que se le aplica la derivada, aunque a veces se escribe en el mismonumerador cuando es una expresión muy corta. Analícense los siguientes ejemplos del uso deloperador derivada: d x El operador derivada se está aplicando a x. Por ser dx una expresión muy corta se prefiere escribir la x en dx el numerador de la siguiente manera: . dx d 2x − 1 El operador derivada se está aplicando a la raíz cua- dx drada 2x − 1 . d dx ( 3x 4 + 5 x3 − 8 x 2 + 9 x − 11) (El operador derivada está aplicado al polinomio). d ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎜ ⎟ (El operador derivada está aplicado a la fracción). dx ⎝ 6 x 2 − 1 ⎠ sen ( 3x 2 − 2 ) d (El operador derivada está aplicado a la función dx trigonométrica seno). d ( 3x5 − 1) 4 (El operador derivada está aplicado a todo el poli- dx nomio elevado a la cuarta potencia). El estudio de la derivada a través de fórmulas se hará por bloques: 56
  • 3. La derivada por fórmulas a) Fórmulas básicas. b) Fórmulas generalizadas: b.1) Para funciones algebraicas: b.1.1) de la forma un (potencia), b.1.2) de la forma uv (producto), b.1.3) de la forma u/v (cociente). b.2) Para funciones trascendentes: b.2.1) funciones trigonométricas, b.2.2) funciones trigonométricas inversas, b.2.3) funciones logarítmicas y exponenciales.4.2 FÓRMULAS BÁSICAS (Áreas 1, 2 y 3) d (1) c=0 (la derivada de una constante es cero) dx d (2) x =1 (la derivada de x es 1) dx d n (3) x = nx n −1 dx d d d (4) ( u + v + ...) = u+ v + ... (La derivada de una suma es la suma dx dx dx de las derivadas). d du (5) cu = c (La derivada de una constante por una función es la dx dx constante por el resultado de derivar la función. Se dice que la constante se saca de la derivación). 57
  • 4. La derivada por fórmulasEjemplo 1: Hallar la derivada de y = x 6 .Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros: d d 6 y= x dx dx En el lado derecho, empleando la fórmula (3), donde n = 6 : 6 −1 dy = 6x dx n x n-1 dy = 6 x5 dxEjemplo 2: Hallar la derivada de y = 5 x 3 .Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros: d d y= 5 x3 dx dx Empleando primero la fórmula (5) en el lado derecho de la igualdad anterior: 58
  • 5. La derivada por fórmulas dy d 3 = 5 x dx dx du c dx Ahora utilizando la fórmula (3), donde n = 3 : = 5 ( 3 x 3 −1 ) dy dx dy = 15 x 2 dx Obsérvese que ya en forma práctica, el 15 se obtiene de multiplicar el coeficiente 5 por el exponente de la x.Ejemplo 3: Calcular la derivada de y = 4 x .Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros: d d y= 4x dx dx Empleando primero en el lado derecho la fórmula (5): dy d =4 x dx dx 59
  • 6. La derivada por fórmulas Ahora utilizando la fórmula (2): dy = 4 (1) dx dy =4 dxEjemplo 4: Derivar y = x 2 + x + 9 .Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros: d dx y= d dx ( x2 + x + 9) Empleando primero en el lado derecho la fórmula (4): dy d 2 d d = x + x+ 9 dx dx dx dx En el lado derecho de la igualdad deben aplicarse las fórmulas (3), (2) y (1) respectivamente: dy = 2x + 1 + 0 dx dy = 2x + 1 dx 60
  • 7. La derivada por fórmulasEjemplo 5: Hallar la derivada de y = 6 x 3 − 7 x 2 − 9 x + 12 .Solución: Como la derivada de una suma es la suma de las derivadas (fórmula 4), dy d d d d = 6 x3 − 7 x2 − 9x + 12 dx dx dx dx dx dy = 18 x 2 − 14 x − 9 dxEjemplo 6: Hallar la derivada de y = 11x 4 − 2 x3 + 9 x 2 + 14 x − 21 .Solución: dy d d d d d = 11x 4 − 2 x3 + 9 x2 + 14 x − 21 dx dx dx dx dx dx dy = 44 x 3 − 6 x 2 + 18 x +14 dx 3x 2 7xEjemplo 7: Hallar la derivada de y = + 5 4Solución: Tómese en cuenta que la función a derivar es lo mismo que 3 2 7 y= x + x 5 4 61
  • 8. La derivada por fórmulas 3 7 y por lo tanto los coeficientes fraccionarios de las equis y son constantes. Así que al 5 4 derivar se obtiene: dy 3 d 2 7 d = x + x dx 5 dx 4 dx dy 3 7 = ( 2 x ) + ( 1) dx 5 4 dy 6x 7 = + dx 5 4 1Ejemplo 8: Hallar la derivada de y = xSolución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, pasando la x al numerador, para lo cual debe recordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que se obtiene de esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada: y = x− 1 Escrito así ya tiene la forma de la fórmula (3): dy = (− 1) x ( − 1 − 1) dx n n-1 62
  • 9. La derivada por fórmulas dy = − 1 x− 2 dx Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, vuelve a regresarse la x al denominador para que le cambie el exponente a positivo: dy −1 = 2 dx x Nótese que se habla de exponentes negativos, no de cantidades negativas que es diferente, por lo que el menos uno del numerador se dejó intacto. 3Ejemplo 9: Obtener la derivada de y= x2Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, pasando la x al numerador, parta lo cual debe recordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que se obtiene de esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada: y = 3x − 2 dy = 3 ( − 2 ) x ( − 2 − 1) dx n n-1 dy = − 6 x− 3 dx Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, vuelve a regresarse la 63
  • 10. La derivada por fórmulas x al denominador para que le cambie el signo del exponente a positivo: dy −6 = 3 dx xEjemplo 10: Hallar la derivada de y = xSolución: En este caso, debe primero transformarse la expresión original, escribiendo la x con expo- nente fraccionario. Debe recordar el alumno que el numerador es la potencia original de x y el denominador el índice del radical. Lo que se obtiene de esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada: y= x = x1/ 2 De este manera ya tiene la forma de x n , en donde n = 1/2: ⎛ 1 ⎞ dy ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 − 1⎟ = ⎜ ⎟ x⎝ ⎠ dx ⎝ 2 ⎠ n n-1 1 dy 1 − = x 2 dx 2 Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final, debe pasarse la x al denominador para que le cambie el exponente a positivo: 64
  • 11. La derivada por fórmulas dy 1 = 1 dx 2x 2 También se puede escribir como dy 1 = dx 2 x 3Ejemplo 11: Hallar la derivada de y = 4 x3Solución: Como en los ejemplos anteriores, debe primero transformarse la expresión original, escri- biendo la x con exponente fraccionario y luego pasándola al numerador. Debe recordar el alumno que cuando se escribe un exponente fraccionario, el numerador es la potencia origi- nal de x (en este ejemplo es 3) y el denominador el índice del radical (en este ejemplo es 4) y que al pasar todo el exponente fraccionario al numerador cambia su signo. Lo que se obtie- ne de esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no a la derivada: 3 3 y= 4 = 3 = 3x − 3 / 4 3 x x 4 ⎛ 3 ⎞ dy ⎛ 3 ⎞ ⎜− − 1⎟ = 3⎜ − ⎟ x ⎝ 4 ⎠ dx ⎝ 4⎠ n n-1 dy 9 − 7/4 =− x dx 4 65
  • 12. La derivada por fórmulas dy −9 = dx 4 x7 / 4 3Ejemplo 12: Derivar y = 5 7 x2 3Solución: En este caso, es necesario primero reconocer que la constante es la fracción , es decir, la 7 3 ⎛ 1 ⎞ función original se puede escribir también como y = ⎜ ⎟ . Luego, escribiendo con 7 ⎜ 5 ⎟ ⎝ x2 ⎠ exponente fraccionario y finalmente pasándolo al numerador se tiene que 3 ⎛ 1 ⎞ 3⎛ 1 ⎞ y= ⎜ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 2/5 ⎟ ⎟ 7 ⎝ x ⎠ 7 ⎝ x2 ⎠ y= 7 (x ) 3 − 2/5 ⎛ 2 ⎞ dy ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ − − 1⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ x⎝ 5 ⎠ dx ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ n n-1 dy 6 −7/5 =− x dx 35 66
  • 13. La derivada por fórmulas dy 6 =− dx 35 x 7 / 5 67
  • 14. La derivada por fórmulasEJERCICIO 9 (Áreas 1, 2 y 3)Calcular la derivada de las siguientes funciones:1) y = x9 2) y = x113) y = 23 4) y= x−55) y = 4x + π 6) y = 4x2 − x − 67) y = 2 x3 + 7 x 2 − 8 x − 7 8) y = 5 x5 + 3x 2 − 6 x − 6 3x3 2x29) y = 7 x − x + 5x 4 3 2 10) y= − + 9x 4 7 2 x6 4 x5 1 9x2 3x11) y= + − 12) y= − −7 3 9 2 2 5 1 413) y= 14) y= x4 x8 4 2 6 2 715) y= − 3 16) y= 5 + 2 − x x 3x 5x 9x 2 3 6 8 1 717) y= 5 − 4 + 18) y= 5 − 2 + 9x 7x 5x x 4x 6x y= y= 4 419) x5 20) x9 y= y= 7 1121) x 22) x2 1 323) y= 8 24) y= 7 x7 x10 3 225) y= 9 26) y= 3 7 8 x 9 x2 68
  • 15. La derivada por fórmulas4.3 FÓRMULAS GENÉRICAS (Áreas 1, 2 y 3) El siguiente paso es trabajar con fórmulas generales, no particulares como lo fue en elapartado anterior. Fórmulas particulares se refiere a que en la fórmula anterior de xn solamentela variable x se elevaba a una potencia n; pero puede darse el caso que sea un polinomio el ele- ( ) 6vado a la potencia n, como por ejemplo, x − 5 x + 11 . La siguiente fórmula, llamada de la 3potencia, está dada en forma genérica al utilizar la notación de u para representar cualquier fun-ción elevada a la potencia n. d n du (6) u = nu n −1 dx dx ( ) 8Ejemplo 13: Hallar la derivada de y = 5 x3 − 7Solución: En este caso, si u = 5 x3 − 7 , la función se convierte en y = u 8 . Aplicando la fórmula (6): dy ( 5x − 7) d ( 5x − 7) 8 −1 = 8 3 3 dx dx n u n-1 u Para derivar d dx (5x 3 − 7 ) se emplean las fórmulas básicas iniciales de la página 57. = 8 ( 5 x 3 − 7 ) (15 x 2 ) dy 7 dx o bien 69
  • 16. La derivada por fórmulas = 120 x 2 ( 5 x3 − 7 ) dy 7 dx ( ) 4Ejemplo 14: Calcular la derivada de y = 6 x 4 + 2 x 3 − x 2 + 8 x − 11Solución: En este caso, si u = 6 x 4 + 2 x 3 − x 2 + 8 x − 11 , la función se convierte en y = u 4 . Apli- cando la fórmula (6): = 4 ( 6 x 4 + 2 x3 − x 2 + 8 x − 11) 4 − 1 ( 6x4 + 2x3 − x2 + 8x − 11) dy d dx dx n u n-1 u y efectuando la derivada indicada al final: = 4 ( 6 x 4 + 2 x3 − x 2 + 8 x − 11) ( 24 x 3 + 6 x 2 − 2 x + 8 ) dy 3 dx 1Ejemplo 15: Obtener la derivada de y = 4 x + 13Solución: En éste y en los ejemplos sucesivos, deberán emplearse exponentes fraccionarios y/o negati- vos exactamente como se hizo en los ejemplos 8 a 12 de las páginas 62 a 66, para convertir la función a la forma u n . Entonces y = (4x + 13)- 1 70
  • 17. La derivada por fórmulas y la derivada es dy d = − 1( 4 x +13) − 1 − 1 ( 4 x + 13) dx dx n u n-1 u dy = − 1( 4 x + 13) − 2 ( 4 ) dx dy −4 = ( 4 x + 13) 2 dx (9x + 12 x − 2 ) 5Ejemplo 16: Hallar la derivada de y = 2 ( ) 5/ 2Solución: Escribiendo la función con exponente fraccionario: y = 9 x 2 + 12 x − 2 . De esta mane- ra ya se puede emplear la fórmula de la derivada de u n : 5 ( 9 x 2 + 12 x − 2 ) ( 9 x 2 + 12 x − 2 ) dy 5 −1 d = 2 dx 2 dx n u n-1 u 3 = ( 9 x 2 + 12 x − 2 ) 2 (18 x + 12 ) dy 5 dx 2 71
  • 18. La derivada por fórmulas 14Ejemplo 17: Derivar y = (x − 9 x 2 + 8x − 5) 4 3 7Solución: Escribiendo la función con exponente fraccionario: = 14 ( x 3 − 9 x 2 + 8 x − 5 ) 14 − 7/4 y= (x − 9 x2 + 8x − 5) 3 7/4 con lo que ya se puede emplear la fórmula de u n : ⎛ 7 ⎞ 7 ( x3 − 9 x 2 + 8 x − 5) ( x3 − 9 x 2 + 8 x − 5) dy − −1 d = 14 ⎜− ⎟ 4 dx ⎝ 4 ⎠ dx n u n-1 u 11 dy ( 98 3 x − 9 x 2 + 8 x − 5 ) 4 ( 3 x 2 − 18 x + 8 ) − =− dx 4 11 dy ( 49 3 x − 9 x 2 + 8 x − 5 ) 4 ( 3 x 2 − 18 x + 8 ) − =− dx 2 13Ejemplo 18: Hallar la derivada de y = (5x + 5x2 + 5x − 4) 3 6Solución: Escribiendo la función con exponente negativo: y = 13 ( 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x − 4 ) −6 72
  • 19. La derivada por fórmulascon lo que ya se puede emplear la fórmula de un: = 13 ( − 6 ) ( 5 x3 + 5 x 2 + 5 x − 4 ) − 6 − 1 ( 5 x3 + 5 x 2 + 5 x − 4 ) dy d dx dx n u n-1 u = − 78 ( 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x − 4 ) (15 x 2 + 10 x + 5 ) dy −7 dx dy − 78 (15 x 2 + 10 x + 5 ) = ( 5 x3 + 5 x 2 + 5 x − 4 ) 7 dx 73
  • 20. La derivada por fórmulasEJERCICIO 10 (Áreas 1, 2 y 3)Hallar la derivada de las siguientes funciones: y = ( 7 x 4 − 8 x 3 + 8 x 2 − 11x − 9 ) y = ( x 5 + x 2 − 19 x − 11) 7 91) 2) y = ( 4 − x − 6 x 2 − x3 ) y = ( 9 − x − 9 x5 + x 6 ) 8 63) 4) (x + x + 2) 75) y= x3 + 5 x 2 + 9 x − 1 6) y= 2 ( 3x − 4x − 4) y = 5 ( 7 − 5x3 ) 9 67) y= 2 8) y = 10 ( 6 − x ) y = 7 (8 − 3x − x5 ) 11 49) 10) (5x − x − 7 x4 ) (6x − 6x − x7 ) 8 911) y = 12 7 3 12) y=7 10 2 13 1113) y= 14) y= x + 8 x + 11 ( x − 9x ) 4 5 2 7 915) y= 16) y= (x − x2 + 7 x ) 5 ( 3x 2 + 5 x + 6 ) 3 5 8 17 917) y= 18) y= (x + x2 − x ) (x − 11x 2 − 9 x + 7 ) 3 4 7 3 3 8 5 4 8 1219) y= 20) y= (9x + 18 x − 11) ( 6 x − 12 x ) 2 18 5 10 3 9 9 5 74

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