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01 matematica 01 matematica Document Transcript

  • Mecânico de Manutenção AeronáuticaMATÉRIAS BÁSICAS Edição Revisada 23 de Outubro de 2002INSTITUTO DE AVIAÇÃO CIVILDIVISÃO DE INSTRUÇÃO PROFISSIONAL
  • PREFÁCIO Edição revisada Este volume, Matérias Básicas, foi revisado, tendo sido feitas correções emtodos os capítulos, bem como algumas alterações consideradas necessárias como ainclusão do assunto referente a Aerodinâmica, do volume Célula de Aeronaves, porser uma das disciplinas do Módulo Básico. Este volume, Matérias Básicas, é uma tradução do AC 65-9A do FAA (Airframe& Powerplant Mechanics-General Handbook) e tem por finalidade padronizar ainstrução em todos os cursos de formação de mecânicos de manutenção aeronáutica. Este volume contém as matérias necessárias ao desenvolvimento da instruçãoreferente ao Módulo Básico nas especialidades de Célula, Grupo Motopropulsor eAviônicos, sendo um complemento obrigatório. Os assuntos técnicos estão aqui apresentados sob um ponto de vista generalizadoe, de maneira nenhuma, devem substituir as informações e regulamentos oficiaisfornecidos pelos fabricantes das aeronaves e autoridades aeronáuticas. Contribuíram para a tradução do AC 65-9A, as companhias aéreas Varig, Vasp,Tam, Lider e os componentes civis e militares da TE-1. A revisão gramatical daPrimeira Edição foi efetuada por Helena Aquino de Araujo e a revisão técnica porJorge Nunes das Neves. O DAC obteve autorização da editora (FAA) para traduzir o conteúdo dessevolume (AC 65-15A Célula de Aeronaves) e sua distribuição mediante indenizaçãodo valor material, sendo proibida a reprodução total ou parcial do mesmo sem aautorização do DAC (TE-1). É de nosso interesse receber críticas e sugestões às deficiências encontradas paraas devidas alterações em uma próxima revisão. O prefácio original, traduzido, está reproduzido nas páginas seguintes. A correspondência relativa a esse manual deverá ser endereçada aoInstituto de Aviação Civil – DIPAvenida Almirante Silvio de Noronha, 369, Edifício anexo, CEP 20021-010 Rio deJaneiro - RJ - Brasilou enviada ao e-mail: dacg302@uninet.com.br III
  • PREFÁCIO DO MANUAL AC 65-9A Este manual foi desenvolvido e impresso pela primeira vez em 1970 como partede uma série de três manuais para pessoas que se preparam para obter um certificadode mecânico de grupo motopropulsor, decélula ou ambos. Este manual pretendeprover informação básica sobre procedimentos técnicos, fundamentos e princípioscomuns às áreas de célula e grupo motopropulsor. Neste volume é dada ênfase àteoria e métodos de aplicação. Esse manual destina-se a auxiliar estudantes matriculados em um curso formalde instrução, bem como àquele que estuda por conta própria. Visto que osconhecimentos exigidos para célula e grupo motopropulsor são semelhantes emalgumas áreas, os capítulos que tratam dos sistemas de proteção contra o fogo esistemas elétricos contêm algum material que é também duplicado no Manual deGrupo Motopropulsor – Mecânicos de Grupo Motopropulsor e Células, AC 65-12A eo Manual de Células – Mecânicos de Grupo Motopropulsor e Células, AC 65-15A. Este volume contém informações sobre desenho de aviões, peso ebalanceamento, materiais de aviação e processos, física, eletricidade, inspeção, apoiode terra e ferramentas. O conhecimento adquirido com o estudo desse manual é essencial antes deprosseguir em um curso de estudo dos manuais de grupo motopropulsor ou de célula. Pelo fato de existirem muitos tipos diferentes de células e de gruposmotopropulsores em uso, atualmente, é normal supor a existência de diferenças.noscomponentes e sistemas de cada tipo. Para evitar repetições desnecessárias, a práticado uso de unidades e sistemas representativos é mantida ao longo do manual. Oassunto é tratado a partir de um ponto de vista generalizado e deve ser suplementadopor consultas aos manuais dos fabricantes ou outros impressos se forem desejadosmaiores detalhes. Esse manual não procura substituir ou suplantar os regulamentosoficiais ou as instruções dos fabricantes. São expressos agradecimentos aos fabricantes de componentes para células egrupos motopropulsores pela cooperação ao tornarem disponível material paraanexão e inclusão. Material com direitos autorais é usado com permissão especial das seguintesorganizações e não pode ser extraído ou reproduzido sem permissão do proprietáriodo COPYRIGHT: (R) Monsanto Chemicals Co Fluidos “Skydrol” Towsend Corporation Rebites “Cherry” e Luvas “Acres” J. O. King, Inc. Extintores de fogo Gravines, Inc. Extintores de fogo Walter Kidde Extintores de fogo DuPont De Nemours Elementos extintores de fogo V
  • Associação Nacional de Proteção Extintores e especificações dos contra o Fogo elementos de extinção de fogo Associação Nacional de Distribuidores Extintores de fogo de Extintores de Fogo Fundação para a segurança do vôo Dados de reabastecimento Instituto Americano do Petróleo Combustíveis de aviação Corporação Exxon Combustíveis de aviação Parker Hannifin Acessórios de aviação Os avanços na tecnologia aeronáutica obrigam um manual de instrução a estarsob revisão contínua e ser atualizado periódicamente. As normas de vôo (FLIGHTSTANDARDS) exigiram comentários das escolas autorizadas de técnicos demanutenção de aviação nos três manuais. Como resultado desta inspeção, os manuaisforam atualizados até este ponto. Novo material foi acrescentado nas áreas que foram apontadas como deficientese alguns dados foram reagrupados para melhorar a didática dos manuais. Gostaríamos de tomar conhecimento dos erros, bem como receber sugestõespara melhorar o objetivo dos manuais. Comentários e sugestões serão mantidos emarquivo até a saída da próxima revisão. Toda correspondência relativa a estes manuais deve ser endereçada a: U.S. Departament of Transportation Federal Aviation Administration Flight Standards National Field Office P.O. Box 25082, Oklahoma City, Oklahoma 73125 Os manuais que formam a série com o AC 65-9A são o AC65-12A e AC 65- 15A. VI
  • CONTEÚDOPREFÁCIO .............................................................................................................. .... IIICONTEÚDO............................................................................................................ .... VIICAPÍTULO 1 - MATEMÁTICA Introdução ........................................................................................................ .... 1-1 Os números inteiros ......................................................................................... .... 1-1 Frações ............................................................................................................. .... 1-2 Potências e raízes ............................................................................................. .... 1-14 Cômputo de área .............................................................................................. .... 1-16 Cômputo do volume dos sólidos...................................................................... .... 1-21 Gráficos e tabelas............................................................................................. .... 1-23 Sistemas de medição........................................................................................ .... 1-26CAPÍTULO 2 - DESENHOS DE AERONAVES Introdução ........................................................................................................ .... 2-1 Plantas.............................................................................................................. .... 2-1 Desenhos de trabalho ....................................................................................... .... 2-1 Cuidado e uso de desenho................................................................................ .... 2-2 Blocos de títulos .............................................................................................. .... 2-2 Lista de material .............................................................................................. .... 2-3 Outras informações .......................................................................................... .... 2-4 Métodos de ilustração ...................................................................................... .... 2-5 O significado das linhas................................................................................... .... 2-8 Interpretando desenhos .................................................................................... .... 2-10 Diagramas ........................................................................................................ .... 2-11 Esboços de desenho ......................................................................................... .... 2-14 Símbolo de desenho ......................................................................................... .... 2-15 Cuidados com instrumentos de desenho.......................................................... .... 2-15 Microfilme ....................................................................................................... .... 2-15CAPITULO 3 - PESO E BALANCEAMENTO DE AERONAVES Introdução ........................................................................................................ .... 3-1 Teoria do peso e balanceamento...................................................................... .... 3-1 Dados de peso e balanceamento ...................................................................... .... 3-2 Terminologia.................................................................................................... .... 3-2 Procedimentos de pesagem da aeronave.......................................................... .... 3-7 Formulário de pesagem ................................................................................... .... 3-13 Condições extremas de peso e balanceamento ................................................ .... 3-14 Instalação de lastro .......................................................................................... .... 3-16 Cartas de carregamento e envelopes do C.G. .................................................. .... 3-18 Equipamento eletrônico de pesagem .................................................................... 3-20 Peso e balanceamento de helicópteros.................................................................. 3-20CAPÍTULO 4 - COMBUSTÍVEIS E SISTEMAS DE COMBUSTÍVEL Introdução ............................................................................................................. 4-1 Características e propriedades da gasolina de aviação ......................................... 4-1 Combustíveis para motores a turbina ................................................................... 4-5 VII
  • Contaminação do sistema de combustível ............................................................ 4-7 Sistemas de combustível ....................................................................................... 4-11 Componentes do sistema de combustível ............................................................. 4-12 Indicadores do sistema de combustível................................................................. 4-19 Sistemas de combustível para multimotores......................................................... 4-24 Análises e pesquisa de falhas do sistema de combustível..................................... 4-26 Reparos nos tanques de combustível .................................................................... 4-27CAPÍTULO 5 - TUBULAÇÕES E CONEXÕES Introdução ............................................................................................................. 5-1 Tubulações ............................................................................................................ 5-1 Identificação dos materiais.................................................................................... 5-1 Tabulações flexíveis (Mangueiras) ....................................................................... 5-2 Conexões ............................................................................................................... 5-6 Reparos nas linhas com tubo de metal .................................................................. 5-15 Fabricação e substituição de tubos flexíveis......................................................... 5-16 Instalação de tubulações rígidas ........................................................................... 5-18 Torque para tubos de aço 3041/8H ....................................................................... 5-20 Suportes de fixação ............................................................................................... 5-21CAPÍTULO 6 - MATERIAIS DE AVIAÇÃO E PROCESSOS Introdução ............................................................................................................. 6-1 Identificação dos materiais de aviação ................................................................. 6-1 Parafusos de aviação ............................................................................................. 6-2 Porcas de aeronave................................................................................................ 6-7 Arruelas de aviação............................................................................................... 6-11 Instalação de parafusos e porcas ........................................................................... 6-12 Torque e torquímetros........................................................................................... 6-13 Outros tipos de parafusos de aviação ( Screws).................................................... 6-16 Reparos em roscas internas................................................................................... 6-18 Reparo com luvas Acres ....................................................................................... 6-20 Prendedores de abertura rápida............................................................................. 6-22 Cabos de comando ................................................................................................ 6-24 Conexões rígidas de controle ................................................................................ 6-26 Pinos...................................................................................................................... 6-26 Métodos de segurança........................................................................................... 6-27 Rebites................................................................................................................... 6-31 Rebites especiais ................................................................................................... 6-36 Plásticos................................................................................................................. 6-44 Borracha ................................................................................................................ 6-46 Amortecedores de elástico .................................................................................... 6-47 Vedadores ............................................................................................................. 6-48 Juntas de vedação ( Gaskets) ................................................................................ 6-50 Limpadores ........................................................................................................... 6-50 Selantes ................................................................................................................. 6-50 Controles de corrosão ........................................................................................... 6-52 Formas de corrosão ............................................................................................... 6-53 Fatores que afetam a corrosão............................................................................... 6-55 Manutenção preventiva......................................................................................... 6-55 Inspeção ................................................................................................................ 6-56 Áreas propensas a corrosão................................................................................... 6-56 VIII
  • Remoção da corrosão............................................................................................ 6-58 Corrosão de metais ferrosos.................................................................................. 6-59 Corrosão do alumínio e suas ligas ........................................................................ 6-60 Corrosão das ligas de magnésio............................................................................ 6-62 Tratamento anticorrosivo do titânio e suas ligas .................................................. 6-63 Proteção do contato entre metais diferentes ......................................................... 6-64 Limites da corrosão............................................................................................... 6-65 Materiais e processos usados no controle da corrosão ......................................... 6-65 Tratamentos químicos........................................................................................... 6-67 Acabamento com tintas protetoras........................................................................ 6-69 Limpeza da aeronave ............................................................................................ 6-69 Limpeza do interior da aeronave .......................................................................... 6-71 Limpeza dos motores ............................................................................................ 6-73 Solventes de limpeza ............................................................................................ 6-74 Agentes de limpeza em emulsão........................................................................... 6-75 Sabões e detergentes ............................................................................................. 6-76 Produtos para a limpeza mecânica........................................................................ 6-76 Produtos químicos de limpeza .............................................................................. 6-77 Estrutura dos metais.............................................................................................. 6-77 Processos usados na conformação metálica.......................................................... 6-80 Metais ferrosos usados na indústria aeronáutica .................................................. 6-82 Metais não ferrosos de utilização aeronáutica ...................................................... 6-85 Reposição de metais de utilização aeronáutica..................................................... 6-93 Princípios do tratamento térmico.......................................................................... 6-93 Equipamento para tratamento térmico.................................................................. 6-94 Tratamento térmico de metais ferrosos................................................................. 6-98 Cementação........................................................................................................... 6-100 Tratamento térmico de metais não ferrosos.......................................................... 6-103 Tratamento de solução à quente ........................................................................... 6-103 Tratamento por precipitação à quente................................................................... 6-105 Recozimento das ligas de alumínio ...................................................................... 6-106 Tratamento térmico dos rebites de liga de alumínio............................................. 6-107 Tratamento térmico das ligas de magnésio........................................................... 6-107 Tratamento térmico do titânio .............................................................................. 6-108 Testes de dureza.................................................................................................... 6-109CAPÍTULO 7 - FÍSICA Introdução ............................................................................................................. 7-1 Matéria .................................................................................................................. 7-1 Fluídos .................................................................................................................. 7-2 Temperatura .......................................................................................................... 7-5 Pressão .................................................................................................................. 7-7 Pressão atmosférica............................................................................................... 7-7 Compressibilidade e expansão dos gases ............................................................. 7-8 Teoria cinética dos gases ...................................................................................... 7-8 Atmosfera.............................................................................................................. 7-16 Princípio de Bernoulli........................................................................................... 7-23 Máquinas............................................................................................................... 7-24 Trabalho, potência e energia................................................................................. 7-30 Movimento dos corpos.......................................................................................... 7-35 Calor...................................................................................................................... 7-39 Som ....................................................................................................................... 7-44 IX
  • CAPÍTULO 8 - ELETRICIDADE BÁSICA Introdução ............................................................................................................. 8-1 Matéria .................................................................................................................. 8-1 Eletricidade estática .............................................................................................. 8-2 Força eletromotriz................................................................................................. 8-6 Resistência ............................................................................................................ 8-7 Componentes e símbolos de circuito básico ......................................................... 8-9 Lei de Ohm............................................................................................................ 8-17 Circuitos de corrente contínua em série................................................................ 8-21 Circuitos de corrente contínua em paralelo .......................................................... 8-26 Circuitos em série-paralelo ................................................................................... 8-27 Divisores de voltagem........................................................................................... 8-30 Reostatos e potenciômetros................................................................................... 8-31 Magnetismo........................................................................................................... 8-33 Baterias de acumuladores ..................................................................................... 8-42 Baterias de chumbo-ácido..................................................................................... 8-42 Bateria de níquel-cádmio ...................................................................................... 8-46 Dispositivos de proteção e controle de circuitos .................................................. 8-49 Chaves ou interruptores ........................................................................................ 8-51 Instrumento de medição de C.C............................................................................ 8-54 Multímetros........................................................................................................... 8-59 Voltímetros ........................................................................................................... 8-60 Ohmímetros........................................................................................................... 8-62 Análise e pesquisa de defeito em circuito básico.................................................. 8-65 Corrente alternada e voltagem .............................................................................. 8-71 Indutância.............................................................................................................. 8-77 Capacitância.......................................................................................................... 8-79 Lei de Ohm para circuitos de C.A. ....................................................................... 8-85 Transformadores ................................................................................................... 8-91 Amplificadores magnéticos .................................................................................. 8-98 Válvulas eletrônicas .............................................................................................. 8-99 Transistores ........................................................................................................... 8-103 Retificadores ......................................................................................................... 8-108 Filtragem ............................................................................................................... 8-113 Instrumentos de medição C.A............................................................................... 8-115 Medidores de frequência....................................................................................... 8-120CAPÍTULO 9 - GERADORES E MOTORES ELÉTRICOS DE AVIAÇÃO Introdução ............................................................................................................. 9-1 Geradores .............................................................................................................. 9-1 Tipos de geradores C.C......................................................................................... 9-7 Regulagem da voltagem do gerador ..................................................................... 9-12 Interruptor/ relé diferencial ................................................................................... 9-15 Geradores em paralelo .......................................................................................... 9-16 Manutenção do gerador C.C ................................................................................. 9-18 Operação do regulador de voltagem ..................................................................... 9-21 Alternadores.......................................................................................................... 9-25 Alternadores sem escovas ..................................................................................... 9-29 Alternadores de aviões Boeing 737,727 e 707...................................................... 9-29 Sincronismo dos alternadores ............................................................................... 9-46 Manutenção do alternador..................................................................................... 9-49 X
  • Inversores.............................................................................................................. 9-50 Motores elétricos C.C ........................................................................................... 9-55 Motores C.A. ......................................................................................................... 9-65 Manutenção de motores C.A ................................................................................ 9-73CAPÍTULO 10 - PRINCÍPIOS DA INSPEÇÃO Introdução ............................................................................................................. 10-1 Inspeções obrigatórias .......................................................................................... 10-1 Técnicas de inspeção ............................................................................................ 10-1 Fichas de inspeção ................................................................................................ 10-2 Documentação do avião........................................................................................ 10-3 Inspeções especiais ............................................................................................... 10-3 Publicações ........................................................................................................... 10-4 Especificação A.T.A. 100 - Sistemas ................................................................... 10-7 Inspeção por partículas magnéticas ...................................................................... 10-11 Equipamento para magnetização .......................................................................... 10-16 Desmagnetização .................................................................................................. 10-18 Inspeção por líquidos penetrantes......................................................................... 10-19 Radiografia............................................................................................................ 10-21 Teste ultra-sônico.................................................................................................. 10-24 Teste de Eddy Current .......................................................................................... 10-27CAPÍTULO 11 - MANUSEIO DE SOLO, SEGURANÇA E EQUIPAMENTOS DE APOIO Introdução ............................................................................................................. 11-1 Geral...................................................................................................................... 11-1 Partida nos motores............................................................................................... 11-1 Motores turboélice ................................................................................................ 11-4 Motores turbojato.................................................................................................. 11-5 Força elétrica ........................................................................................................ 11-7 Força hidráulica .................................................................................................... 11-8 Unidades de ar condicionado e de aquecimento................................................... 11-8 Fontes de ar para partida....................................................................................... 11-8 Equipamento de pré-lubrificação.......................................................................... 11-9 Abastecimento de aeronaves................................................................................. 11-9 Fogo ...................................................................................................................... 11-12 Marcas recomendadas para indicar a aplicabilidade do extintor .......................... 11-15 Extintores para aeronaves ..................................................................................... 11-16 Abastecimento de óleo nas aeronaves .................................................................. 11-18 Segurança na manutenção..................................................................................... 11-19 Abastecimento de sistemas de oxigênio de aeronaves ......................................... 11-20 Ancoragem de aeronaves ...................................................................................... 11-21 Ancoragem de aeronaves leves............................................................................. 11-23 Segurança de aeronaves pesadas .......................................................................... 11-23 Ancoragem de aeronaves em condições de tempestades...................................... 11-24 Movimentação da aeronave .................................................................................. 11-26 Levantamento da aeronave nos macacos .............................................................. 11-33 Sugestão sobre tempo frio..................................................................................... 11-36 XI
  • CAPÍTULO 12 - FERRAMENTAS MANUAIS E DE MEDIÇÃO Introdução ............................................................................................................. 12-1 Ferramentas de uso geral ...................................................................................... 12-1 Ferramentas de cortar metal.................................................................................. 12-6 Ferramentas de medição ....................................................................................... 12-15 Ferramentas para abrir roscas ............................................................................... 12-22CAPÍTULO 13 – AERODINÂMICA Teoria de vôo......................................................................................................... 13-1 Movimento ............................................................................................................ 13-3 Aerofólios .............................................................................................................. 13-4 Centro de gravidade............................................................................................... 13-7 Estabilidade e controle .......................................................................................... 13-10 Controle ................................................................................................................. 13-13 Compensadores...................................................................................................... 13-17 Dispositivos de hipersustentação........................................................................... 13-19 Forças que atuam sobre um helicóptero ................................................................ 13-21 Aerodinâmica de alta velocidade .......................................................................... 13-29 Diferença entre os fluxos subsônico e supersônico............................................... 13-30 Aquecimento aerodinâmico................................................................................... 13-35 XII
  • CAPÍTULO 1 MATEMÁTICAINTRODUÇÃO do outro, de modo que os pontos decimais este- jam em ordem na linha, de alto à baixo. O uso da matemática está tão presente Para conferir a adição; ou somamos osem todos os setores da vida quotidiana; que, algarismos na mesma ordem novamente; ou osraramente, se é que acontece, alguém percebe somamos em ordem contrária.por completo quão desamparados estaríamos narealização do nosso trabalho diário sem o seu Subtração dos números inteirosconhecimento, até mesmo na sua forma maissimples. Muitas pessoas têm dificuldade com A subtração é o processo para se encon-cálculos relativamente simples, envolvendo a- trar a diferença entre dois números, tirando openas a matemática elementar. Para executar- menor do maior. O número que é subtraído émos cálculos matemáticos com sucesso, é preci- chamado subtraendo, o outro número é chamadoso compreender os processos e a prática contí- minuendo; a diferença tirada deles é chamadanua no uso dos domínios matemáticos. resto. Para encontrar o resto, escreva o subtra- De uma pessoa que esteja entrando no endo embaixo do minuendo, como na adição.ramo da aviação, será exigido que trabalhe com Começando da direita, diminua cada algarismoexatidão. A mecânica de aviação está fre- do subtraendo do algarismo acima, e escreva oquentemente envolvida em tarefas que exigem resto abaixo, na mesma coluna. Quando o pro-cálculos matemáticos de vários tipos, tolerân- cesso é terminado, o número abaixo do subtra-cias em componentes de aeronaves e motores. endo é o resto.Na maioria das vezes, é crucial fazer medições Para conferir a subtração, somamos ode milésimos ou décimos de milésimo de pole- resto e o subtraendo. A soma dos dois é igual aogadas. Por causa das pequenas tolerâncias, que minuendo.se deve observar, é importante que o mecânicode aviação seja capaz de realizar medidas e cál- Multiplicação de números inteirosculos matemáticos precisos. A matemática pode ser comparada a um O processo para se encontrar a quantida-"Kit" de ferramentas, e cada operação matemáti- de obtida pela repetição de um dado número, emca comparada ao uso de uma das ferramentas na um número específico de vezes, é chamado mul-solução de um problema. As operações básicas tiplicação. O processo de multiplicação é, dede adição, subtração, multiplicação e divisão fato, um caso de adição repetida, no qual todossão as ferramentas disponíveis para nos ajudar a os números que estão sendo adicionados sãoresolver um problema em questão. idênticos. Portanto, a soma de 6+6+6+6=24 pode ser expressa pela multiplicação 6 x 4 =24.OS NÚMEROS INTEIROS Os números 6 e 4 são conhecidos como os fato- res (coeficientes) da multiplicação e o 24, comoA adição dos números inteiros produto. Nessa operação, o produto é formado O processo de encontrar a combinação pela multiplicação dos fatores.entre dois ou mais números, é chamado adição. Quando um dos fatores é um número in-o resultado é chamado soma. teiro de um algarismo, o produto é formado pela Quando somamos vários números intei- multiplicação desse número por cada algarismoros, como 4567, 832, 93122 e 65; os colocamos do outro fator, da direita para a esquerda, mu-embaixo, uns dos outros, com seus dígitos em dando quando necessário.colunas, de modo que na última, ou a partir da Quando ambos os fatores são formadosdireita, eles fiquem na mesma coluna. por números inteiros de mais de um algarismo, Quando somamos decimais como 45,67; o produto é formado pela multiplicação de cada8,32; 9,3122 e 0,65; os colocamos embaixo um algarismo de um fator pelo outro. No exercício, o cuidado está, em quando escrever abaixo os 1-1
  • produtos parciais formados, estar certo de que o FRAÇÕESalgarismo da extremidade direita se alinha abai-xo do algarismo da multiplicação. Este é então, Uma fração é uma divisão indicada queum problema de adição simples para encontrar o expressa uma ou mais de uma das partes iguais,produto final. na qual uma unidade é dividida. Por exemplo, a fração 2/3 indica que o inteiro foi divido em 3EXEMPLO: Determinar o custo de 18 velas de partes iguais, e que 2 dessas partes estão sendoignição, custando cada $3.25. usadas ou consideradas. O número acima da li- nha é o numerador e o número abaixo é o de- 3, 25 nominador. x 18 Se o numerador de uma fração é igual ou 2600 maior que o denominador, a fração é conhecida 325 como imprópria. Na fração 15/8, se a divisão 58,50 indicada é efetuada, a fração imprópria é troca- da para um número misto, que é um número Quando se multiplica uma série de nú- inteiro, e uma fração:meros, o produto final será o mesmo, indepen-dentemente da ordem pela qual esses números 15 7 =1são organizados. 8 8EXEMPLO: Multiplicar: (7) (3) (5) (2) = 210 Uma fração complexa é aquela que con- 7 21 105 ou 7 3 35 tém uma ou mais frações, ou números mistos, x3 x5 x2 x5 x2 x6 no numerador ou denominador. Os exemplos 21 105 210 35 6 210 são: 1 5 3 31 2 2 ; 8 ; 4 ;Divisão dos números inteiros 2 2 5 2 3 8 3 O processo de descobrir quantas vezesum número está contido em um segundo núme- Uma fração decimal é obtida pela divi-ro, é chamado divisão. O primeiro número é são do numerador de uma fração pelo denomi-chamado o divisor; o segundo, o dividendo; e, o nador, e mostrando o quociente como um deci-resultado é o quociente. mal. A fração 5/8 é igual 5:8 = 0,625. Das quatro operações básicas, a divisão Uma fração não muda seu valor, se tantoé a única que envolve acertos e erros na solução. o numerador quanto o denominador, forem mul-É necessário fazer tentativas quanto ao algaris- tiplicados ou divididos pelo mesmo número.mo apropriado, ainda que a experiência tende adiminuir o número de tentativas, a forma incor- 1 3 3 1 x = =reta pode acontecer uma vez ou outra. 4 3 12 4 Colocar a vírgula, corretamente no quo-ciente, freqüentemente constitui uma dificulda- As mesmas operações fundamentais rea-de. lizadas com números inteiros podem também Quando se divide um número decimal ser realizadas com frações. São: adição, subtra-por outro, um passo importante é eliminar a ção, multiplicação e divisão.vírgula do divisor. Para conseguir basta mover a Adição e subtração de frações ordináriasvírgula para a direita, em um número de casas (comuns)necessário para eliminá-la. A seguir, move-se a vírgula para a direi- Para se adicionar ou subtrair frações, to-ta no dividendo tantas casas quanto forem ne- dos os denominadores devem ser semelhantes.cessárias mover no divisor, e procede-se como No trabalho com frações, como os números in-na divisão normal. teiros, aplica-se regra de semelhança. Isto é, 1-2
  • apenas frações iguais podem ser adicionadas ou Passo 1: Reduzir as frações ao denominadorsubtraídas. comum. Quando adicionamos ou subtraímos fra- 1 2 5 5 = ; =ções que têm denominadores iguais, é apenas 4 8 8 8necessário, adicionar ou subtrair os numerado-res; e expressar o resultado como o numerador Passo 2: Somar os numeradores e expressar ode uma fração, cujo denominador, é o denomi- resultado como numerador de umanador comum. Quando os denominadores são fração cujo denominador é o denomi-diferentes, é necessário primeiro reduzir as fra- nador comum.ções ao denominador comum, antes de continu-ar com o processo de adição ou subtração. 2 5 7 + = 8 8 8EXEMPLOS: 4 - A tolerância para a ajustagem da inclinação1 - Uma certa instalação de interruptor requer do aileron de um avião é 7/8, mais ou menos 1/5um "passeio" da haste, de 5/8 de polegada, antes de polegada. Qual é a inclinação mínima para aque ocorra a atuação da mesma. Se for requeri- qual o aileron possa ser ajustado?do um "passeio" de 1/8 de polegada após a atua-ção, qual será o "passeio" total da haste? Passo 1: Reduzir as frações para o denominador comum.Passo 1: Somar os numeradores. 7 35 1 8 5 +1 = 6 = ; = 8 40 5 40Passo 2: Expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o Passo 2: Subtrair os numeradores e expressar o denominador comum. resultado como nos exemplos acima. 5 1 6 35 8 27 + = − = 8 8 8 40 40 402 - O deslocamento total de um "macaco de ros- Cálculo do mínimo denominador comumca" é 13/16. Se o deslocamento em uma direção,vindo de uma posição neutra, é 7/16 de polega- Quando os denominadores de frações ada, qual é o deslocamento na direção contrária? serem somadas ou subtraídas, são tais, que o mínimo denominador comum possa ser determi-Passo 1: Subtrair os numeradores. nado imediatamente, o MDC (mínimo denomi- nador comum) pode ser encontrado pelo método 13 - 7 = 6 de divisão contínua. Para encontrar o MDC de um grupo dePasso 2: Expressar o resultado como numerador frações, escreva os denominadores na linha ho- de uma fração cujo denominador é o rizontal. A seguir, divida os mesmos denomina- denominador comum. dores pelo menor número inteiro que dividirá 13 7 6 dois ou mais dos denominadores, daí, descer − = para uma nova linha todos os quocientes e nú- 16 16 16 meros que não foram divisíveis. Continuar este processo até que não tenha dois números na3 - Encontrar o diâmetro externo de uma seção linha de resultados que sejam divisíveis porde tubo que tem 1/4 de polegada de diâmetro qualquer número inteiro que não seja um. Mul-interno, e uma espessura de parede combinada tiplica-se todos os divisores e os termos restan-de 5/8 de polegada. tes na última linha para obter o máximo deno- minador comum. 1-3
  • EXEMPLO: Passo 2: Multiplicar os denominadores.Qual é o MDC para 7/8, 11/20, 8/36, 21/45? 5 x 22 x 2 = 220Passo 1: Escrever os denominadores na linha horizontal e dividi-la pelo menor nú- Passo Final: Reduzir a fração resultante para o mero inteiro, que dividirá exatamente seu menor termo. dois ou mais dos números. 36 9 = 2| 8 20 36 45 220 55 4 10 18 45 CancelamentoPasso 2: Continuar este processo até que não haja dois números na linha de resulta- Cancelamento é a técnica de separar ou do que sejam divisíveis por qualquer cancelar todos os fatores comuns que existem número inteiro, que não seja um. entre numeradores e denominadores. Isso ajuda na obtenção do produto, eliminando os cálculos 2| 8 20 36 45 mais pesados. 2| 4 10 18 45 2| 2 5 9 45 EXEMPLO: 3 1 5 9 45 3| 1 5 3 15 Qual é o produto de 18/10 x 5/3? 5 1 5 1 5 O produto poderia ser encontrado pela multipli- 1 1 1 1 cação de 18 x 5 e 10 x 3 e, então, dividindo o produto dos numeradores pelo produto dos de- nominadores. Entretanto, o método mais fácil dePasso Final: Multiplicar todos os divisores e solução é pelo cancelamento. É evidente que o termos restantes na última coluna 10 no denominador e o 5 no numerador podem para obter o MDC. ser divididos por 5. MDC = 2x2x2x3x3x5 = 360 1 18 5 xMultiplicação de frações 10 3 2 O produto de duas ou mais frações é ob- Da mesma maneira, o 18 e o 3 são divi-tido pela multiplicação dos numeradores para síveis por 3.formar o numerador do produto; e pela multipli- 6 1cação dos denominadores, para formar o deno- 18 5 xminador do produto. 10 3 A fração resultante é, então, reduzida pa- 2 1ra o seu menor termo. Um denominador comumnão precisa ser encontrado para esta operação, O 6 resultante no numerador e o 2 nojá que o novo denominador, na maioria dos ca- denominador são divisíveis por 2.sos, será diferente de todas as frações originais. 3EXEMPLO: 6 1 18 5 3x1 3 x = = = 3Qual é o produto de 3/5 x 12/22 x 1/2? 10 3 1x1 1 2 1Passo 1: Multiplicar os numeradores. 1 3 x 12 x 1 = 36 1-4
  • A fração está, portanto, reduzida aos seus meno- Números decimaisres termos; e os passos finais da divisão e multi-plicação são realizados facilmente, quando Números decimais são frações cujos de-comparados com tarefas de multiplicar e dividir nominadores são 10 ou múltiplos de 10, taisas frações maiores. como 100, 1000, 10.000, etc. Eles são indica- dos, escrevendo-se um ou mais algarismos paraDivisão de frações comuns a direita de um sinal de referência chamado vír- gula. Portanto: A divisão de frações comuns é feita,convenientemente, por conversão do problema 6 = 0,6 ⇒ ambos lidos seis decimaisem uma multiplicação de duas frações comuns. 10Para dividir uma fração por outra, inverte-se afração divisora, e multiplica-se os numeradorese denominadores. Isto é conhecido como o mé- 6 = 0,06 ⇒ ambos lidos seis centesimostodo do divisor invertido. 100 Lembre-se sempre da ordem em que asfrações são escritas. É importante, na divisão, 6que as operações sejam realizadas na ordem = 0,006 ⇒ ambos lidos seis milesimos 1000indicada. Lembre-se também, que é sempre odivisor que é invertido, nunca o dividendo. Quando escrevemos um número deci- mal, qualquer número de zeros pode ser escritoNúmeros mistos à direita, sem alterar seu valor. Isto pode ser ilustrado da seguinte maneira: Os números mistos podem ser adiciona-dos, subtraídos, multiplicados ou divididos; tro- 5 1 50 1 500 1cando-os pelas frações impróprias e procedendo 0,5 = = ;0,50 = = ;0,500 = =como nas operações com outras frações. 10 2 100 2 1000 2 Uma fração decimal, que é escrita ondeEXEMPLO: não há números inteiros como 0,6; 0,06; etc., é chamada decimal puro. Quando um númeroUm pedaço de tubo medindo 6 3/16 de polegada inteiro e uma fração decimal são escritos juntosé tirado de um pedaço de 24 1/2 de polegada. como 3,6; 12,2; 131,12; etc., o número é conhe-Levando em conta 1/16 de polegada para o cor- cido como decimal misto.te, qual é a medida do pedaço restante?Passo 1: Reduzir as partes fracionárias para fra- ções semelhantes e completar o pro- cesso de subtração. 1 3 1 8 3 1 4 1 − − = − − = = 2 16 16 16 16 16 16 4 Figura 1-1 Circuito em série.Passo 2: Subtrair as partes inteiras. Adição de decimais 24 - 6 = 18 Quando operamos com números deci-Passo Final: Combinar os resultados obtidos em mais, a regra de semelhança requer que se adi- cada passo. cione ou subtraia apenas denominadores iguais. Essa regra foi discutida anteriormente sob o 18 + 1/4 = 18 1/4 de polegada título de adição e subtração de números inteiros. Para somar ou subtrair expressões decimais, 1-5
  • organize os decimais, de modo que as vírgulas Multiplicação de números decimaisse alinhem verticalmente, e some ou subtraia,como os inteiros. Coloque a vírgula no resultan- A multiplicação de um número decimalte diretamente abaixo da vírgula nos adendos, por outro sempre produzirá um resultado menorou minuendo e subtraendo. do que qualquer dos dois números. Quando um decimal é multiplicado por um número inteiroEXEMPLOS: ou por um número misto, a resposta se posicio- nará entre os dois números. A resistência total do circuito em série Quando se multiplica uma fração deci-(figura 1-1) é igual a soma das resistências indi- mal por um número inteiro ou uma outra fraçãoviduais. Qual é a resistência total para o circuito decimal, a maior dificuldade consiste no posi-mostrado neste exemplo? cionamento da vírgula. Para multiplicar decimais, ignore as vír-Passo 1: Organize os números decimais na co- gulas e multiplique os termos, como se eles fos- luna vertical de modo que as vírgulas sem números inteiros. Para localizar a vírgula fiquem alinhadas. no produto, comece da direita e siga para a es- querda o número de casas decimais, que serão 2,34 iguais a soma de casas decimais, nas quantida- 37,5 des multiplicadas. 0,09 Passo 1: Posicione e multiplique os termos.Passo 2: Complete a adição seguindo a técnica Desconsidere a vírgula. usada na soma dos números inteiros. Coloque a vírgula no resultado dire- 9,45 tamente abaixo das vírgulas das par- x 120 celas. 000 1890 2,34 945 37,5 113400 0,09 39,93 ohms A seguir, determine o local da vírgula, comece à direita do produto e siga para a es-Subtração dos decimais querda o número de casas decimais, iguais à soma das casas decimais das quantidades multi- Um circuito em série contendo dois re- plicadas.sistores tem uma resistência total de 37,27ohms. Um dos resistores têm o valor de 14,88ohms. Qual é o valor do resistor restante? 9,45 x 120Passo 1: Coloque os números decimais na co- 18900 luna vertical, de modo que as vírgulas 945 fiquem no alinhamento. 1134,00 37,27 - 14,88 Em alguns problemas o número de alga-Passo 2: Realizar a subtração, usando o proce- rismos no produto será menor que a soma de ca- dimento de subtração dos números in- sas decimais nas quantidades multiplicadas. teiros. Coloque a vírgula no resultado Onde isso ocorrer, simplesmente some zeros diretamente abaixo das outras vírgulas. para a esquerda do produto, até que o número de algarismos se iguale à soma das casas decimais 37,27 nas quantidades multiplicadas. - 14,88 22,39 EXEMPLO: Multiplicar 0,218 por 0,203 1-6
  • Passo 1: Organize os termos e proceda a mul- Passo 1: Disponha os termos da divisão e mova tiplicação, desconsiderando a vírgula. a vírgula para a direita, somando zeros quando necessário. 0,218 0,203 245.00 40,33 654 4360 Passo 2: Divida os termos, desconsiderando os 44254 pontos decimais completamente.Passo 2 - Localizar a vírgula, acrescentando um 245.00 4033 zero à esquerda do produto, até que o 030200 6,07 número de casas seja igual a soma das 1969 casas decimais nas quantidades mul- tiplicadas. A seguir, acrescente um zero à esquerda da vírgula. Arredondamento de decimais 0,218 0,203 Há uma tendência geral a pensar que to- 654 dos os números são precisos. Realmente, o do- 4360 mínio inteiro de medidas, envolve números que 0,044254 são apenas aproximações de números precisos. Por exemplo, medições de comprimentos, áreasDivisão de números decimais e volumes são as melhores aproximações. O grau de precisão dessas medições depende do Quando um ou ambos os termos de um refinamento dos instrumentos de medidas.problema de divisão envolve expressões deci- De vez em quando é necessário arredon-mais, o quociente é encontrado ao se converter o dar um número para algum valor prático para oproblema para outro, envolvendo um número uso. Por exemplo, o valor de uma medição éinteiro. 29,4948 polegadas. É impraticável, se não im- Dois fatos relacionando a divisão de de- possível, medir de forma exata, com uma reguacimais que devem ser colocados em mente são: de aço (escala), cuja precisão seja 1/64 de pole-(1) Quando o dividendo e o divisor são multipli- gada.cados pelo mesmo número, o quociente perma- Para utilizar essa medida, podemos usarnece inalterado; (2) Se o divisor for um número o processo de arredondamento. Uma expressãointeiro, a casa decimal no quociente se alinhará decimal é arredondada tomando-se determinadoverticalmente com o decimal no dividendo, número de casas e descartando-se as demais.quando o problema for expresso em forma de O número retido é uma aproximação dodivisão prolongada. número calculado ou do número exato. O grau Para dividir expressões decimais, conte de precisão desejado determina o número depara a direita da vírgula no dividendo o mesmo algarismos a ser tomado. Quando o algarismo,número de casas que estão situados à direita da logo à direita do último algarismo tomado, for 5vírgula no divisor. Se o número de casas deci- ou maior, aumente o último algarismo tomadomais no dividendo for menor que o número de de uma unidade.casas decimais no divisor, acrescente zeros ao Quando o algarismo, imediatamente àdividendo; lembrando que deve haver no míni- direita do último algarismo tomado for menormo tantas casas decimais no dividendo quantas que 5, deixe-o inalterado.sejam as do divisor. Dividir os termos despre-zando as vírgulas. EXEMPLO: Arredonde 29,4948 para o décimo mais próximo.EXEMPLO: A área da asa de um certo avião éde 245 pés quadrados; sua extensão é 40,33 pés. Passo 1: Determine o número de algarismos aQual é a corda média de suas asas? ser tomado. Neste caso - décimos sen- 1-7
  • do a primeira casa para a direita da vírgula. 29,4948Passo 2:Mude o valor do último algarismo to- mado, se requerido. Neste caso, como é maior que 5 o decimal final é expresso assim: 29,4948 passa a ser 29,5 polegadas.Conversão de decimais para frações comuns Figura 1-2 Centralizando um furo. Para transformar um número decimal em Para transformar um decimal na fraçãouma fração comum, conte o número de al- equivalente mais próxima, com um denomina-garismos para a direita da vírgula. Expresse o dor desejado, multiplique o decimal por essenúmero como numerador de uma fração, cujo denominador. O resultado será o numerador dadenominador é 1, seguido pelo número de zeros fração procurada.que ficará igual ao número de algarismos à di-reita da vírgula. EXEMPLO:EXEMPLO: Quando são requeridos juros precisos de diâmetro uniforme, primeiramente eles são per-Expresse 0,375 como uma fração comum. furados com 1/64 de polegada a menos (SUB- MEDIDA) e, posteriormente alargados ou reti-Passo 1: Conte o número de algarismos à direi- ficados até o diâmetro desejado. Qual o ta- ta da vírgula. manho da broca a ser utilizada antes de alargar um furo até 0,763 de polegada? 0,375 1 2 3 Passo 1: Multiplique o decimal pelo denomi-Passo 2: Expresse o número como numerador nador desejado - 64: de uma fração cujo denominador seja 1, seguido pela quantidade de zeros, que ficará igual ao número de alga- 0,763 rismos à direita da vírgula. x 64 3052 375 4578 0,375 = 1000 48,832 Muitas vezes uma dimensão é descritanum manual de manutenção, ou numa planta, Passo 2: Arredonde o produto para o inteirosob a forma de frações decimais. Para que possa mais próximo e expresse-o como oser utilizada, a dimensão precisa ser convertida numerador da fração correspondente:com aproximação adequada para a escala dis-ponível no instrumento de medida. No caso do 48,832 ---> 49mecânico, a régua de aço (escala) costuma ser o fração = 49instrumento mais usado. 64 1-8
  • Passo Final: Para determinar o tamanho da bro- Percentagem ca, subtraia 1/64 de polegada do diâmetro final do furo: Muitos problemas do dia a dia envolvem percentagem. A maior parte deles envolve al- 49 − 1 = 48 3 = gum tipo de comparação entre uma parte e um 64 64 64 4 todo. Essas comparações se tornam problemas de percentagem quando tais frações são expres-Assim, devemos usar a broca de 3/4 de polega- sas como um percentual.da. Uma fração cujo denominador é 100 é dado o nome de percentual. Ao escrever taisConversão de frações comuns em números frações, o símbolo do percentual (%) é utilizadodecimais. para substituir o denominador. Qualquer fração ou número decimal pode ser expresso como um Para converter uma fração comum, seja percentual. A fração 1/5 pode ser expressa comoela própria ou imprópria, para um número deci- 0,20 ou como 20 por cento, ou simplesmente,mal, divida o numerador pelo denominador e 20%. Note que o percentual é a mesma coisaacrescente zeros à direita, de modo a dar ao que uma fração decimal, exceto que a vírgulaquociente a precisão desejada. foi movida duas casas para a direita, e depoisEXEMPLO: deletado, após o símbolo "%" ter sido adiciona- da. Calcule a distância do centro do furo(figura 1-2) às bordas da placa, considerando Expressão de um número decimal como umque o centro do furo coincide com o centro da percentualplaca. Expresse o comprimento e a largura da Para exprimir um número decimal, comoplaca em decimais, dividendo por 2. Expresse o um percentual, mova a vírgula duas casas para aresultado final nos 32 avos mais próximos. direita (adicione zeros, se necessário), e então coloque o símbolo "%".Passo 1: Transforme os números mistos em fra- ções impróprias: EXEMPLO: Exprima 0,90 como um percentual. 7 87 5 29 Passo 1: Mova a vírgula duas casas para a direi- 5 = ; 3 = 16 16 8 8 ta 0,90 ---> 90,Passo 2: Converta as frações impróprias em expressões decimais: Passo Final: Elimine a vírgula e coloque o sím- bolo "%". 87 29 90, ---> 90% = 5,4375; = 3,625 16 8Passo 3: Divida as expressões decimais por 2 Expressão de um percentual como um núme- para achar o centro da placa. ro decimal 5,4375 3,625 Algumas vezes pode ser necessário ex- = 2 ,7188; = 1,813 2 2 primir um percentual como um decimal. Tenha em mente que um percentual é simplesmentePasso Final: Expresse o resultado final em 32 um número decimal, cuja vírgula foi deslocadaavos. duas casas para a direita; assim, para se expri- mir um percentual como um número decimal, 23 26 tudo que se precisa fazer é mover a vírgula duas 2 ,7188 = 2 ; 1,813 = 1 32 32 casas para a esquerda. 1-9
  • Expressão de uma fração comum como um A eficiência do motor é de 89,58%percentual Calculando um percentual de um número A técnica envolvida em exprimir uma dadofração comum em percentual é, essencialmente,a mesma utilizada para uma fração decimal. A A técnica utilizada para determinar umúnica diferença está no procedimento necessário percentual de um dado número é baseada nopara converter a fração em número decimal. processo de multiplicação. É necessário expri-EXEMPLO: Expresse 5/8 como um percentual mir o percentual desejado, sob a forma de nú- mero decimal ou fração comum, e multiplicá-loPasso 1: Converta a fração em número decimal pelo número dado. 5 EXEMPLO: = 5 ÷ 8 = 0,625 8 A velocidade de cruzeiro de um avião numa altitude de 7500 pés é de 290 nós. Qual aPasso Final: Mova a vírgula duas casas e direita velocidade de cruzeiro a 9000 pés, sabendo-se e coloque o símbolo "%". que ela teve um acréscimo de 6%? 0,625 = 62,5% Passo 1: Expresse o percentual desejado em decimal.Calculando qual percentual um número é deoutro 6% = 0,06 Determinar qual percentual um número é Passo 2: Multiplique o número dado pela ex-de outro se faz escrevendo o número que repre- pressão decimalsenta a parte, como sendo o numerador de umafração, cujo denominador será o número que 290 x 0,06 = 17,40representa o todo. Então se converte tal fraçãoem percentual. Passo Final: Some o produto encontrado, que corresponda ao acréscimo de 6% àEXEMPLO: Um motor de potência 12 HP está velocidade original.desenvolvendo potência de 10,75 HP. Qual aeficiência do motor expressa em porcentagem? 290 + 17,4 = 307,4 nósPasso 1: Escreva o número que representa a A velocidade de cruzeiro a 9000 pés será de parte 10,75 como o numerador; e o 307,4 nós. número que representa o todo, 12, como sendo o denominador. Determinação de um número do qual se co- 10,75 nhece um percentual 12 Para se determinar um número, quandoPasso 2: Converta a fração formada em número dele se conhece um percentual, expresse o per- decimal. centual como um número decimal e divida o número conhecido pela expressão decimal do 10,75 ÷ 12 = 0,8958 percentual.Passo Final: Expresse o decimal em percentual. EXEMPLO: Oitenta ohms representam 52% da resistência total de um circuito elétrico. Calcule 0,8958 = 89,58% a resistência total deste circuito. 1-10
  • Passo 1: Expresse o percentual conhecido como que o peso do combustível é de 7,2 libras por um número decimal. galão. 52% = 0,52 Passo 1: Expresse a carga de combustível dePasso 2: Divida o número correspondente ao 800 galões como sendo o numerador de percentual conhecido pelo expresso uma fração, cujo denominador será a decimal. carga de combustível de 10080 lb. 80 - 0,52 = 153,8 ohms 800gal A resistência total é de 153,8 ohms R= 10080lbRazão Passo 2: Expresse ambas as quantidades na mesma unidade (libras) Uma importante aplicação das fraçõescomuns é a razão, que representa a comparação (800 × 7 ,2 ) lb 5760lb Em libras: R = =entre números. Comparações através de razões 10,080lb 10.800lbtêm grande aplicação na aviação. A razão é utilizada para expressar a 800gal 800galcomparação entre o volume de um cilindro, Em galões: R = = 10.080gal 1400galquando o pistão está no ponto morto inferior; e 7 ,2o volume do mesmo cilindro, quando o pistãoestá no ponto morto superior. Esta razão é denominada razão de com- Passo Final: Reduza a fração formada com ter-pressão. mos mais simples. A razão de resposta de uma asa de aviãoé a comparação entre a medida da envergadura e 5760 4 Em libras: R = = ou 4 ÷ 7a medida da corda. A relação entre velocidade, 10080 7área de asa, envergadura, peso e potência, de 800 4 Em galões: R = = ou 4 ÷ 7diferentes modelos e tipos de aeronaves, pode 1400 7ser comparada através da utilização de razões. A razão é o quociente de um número 2 - Se a velocidade de cruzeiro de um avião é dedividido por outro, expressos em termos iguais. 200 nós e sua velocidade máxima é de 250 nós, A razão é, pois, a fração que um número qual a razão entre a velocidade de cruzeiro e arepresenta de outro e pode ser expressa como velocidade máxima?uma fração, ou pode ser escrita utilizando osdois pontos (:) como sendo o símbolo para re- Passo 1: Expresse a velocidade do cruzeiro co-presentar a razão. Assim a razão 7/8 pode ser mo numerador de uma fração, cujoescrita 7:8. denominador é a velocidade máxi- ma.Determinação da razão entre duas quantida-des 200 R= 250 Para achar a razão, o primeiro termo édivido pelo segundo. Ambas as quantidades, de Passo Final: Reduza a fração resultante aos ter-ambos os termos, devem estar necessariamente mos mais simples.expressos na mesma unidade; e a fração, entre-tanto, formada e reduzida aos termos mais sim- 200 4 R= =ples. 250 5EXEMPLOS: Se quiser expressar a razão à unidade.1 - Qual a razão entre uma carga de combustível 4 R= = 0,8 ÷ 1de 800 galões e uma de 10080 libras? assuma 5 1-11
  • Determinação da quantidade relativa ao 2 100 ÷ =primeiro termo 3 Considere agora a situação, na qual são Passo Final: Faça as operaçõesconhecidas a razão e a quantidade correspon-dente ao segundo termo, e, que se deseje achar 2a quantidade correspondente ao primeiro termo. 100 ÷ = 3Para resolver este tipo de problema, multiplique 3a quantidade que corresponde ao segundo termo 50 × = 150pela fração que corresponde à razão. 2 O segundo termo é 150. Novamente pode-seEXEMPLO: A razão é 5/7 e o número corres- verificar, calculando a razão entre 100 e 150:pondente ao segundo termo é 35. Ache o núme-ro correspondente ao primeiro termo. 100 2 = 150 3Passo 1: Expresse o problema como o produto do segundo termo, pela razão. Proporção 5 A proporção e a equivalência entre duas 35 × = ou mais razões. Assim: 7Passo Final: Faça as operações indicadas: 3 6 = ; ou 3 ÷ 4 = 6 ÷ 8 4 8 5 5× = 25 Lê-se: 3 está para 4; assim como 6 está 7 para 8. O primeiro e o último termo da propor- O primeiro termo é 25. Pode-se verificar ção são chamados "extremos". O segundo e ocalculando razão entre 25 e 35. terceiro termos são chamados "meios". Em qualquer proporção o produto dos 25 5 extremos é igual ao produto dos meios. Na pro- = porção 35 7 2" ÷ 3 = 4 ÷ 6Determinação da quantidade relativa ao se-gundo termo. O produto dos extremos; 2x6, é 12; o produto dos meios; 3x4, também é 12. Para resolver um problema deste tipo, a Na verificação de qualquer proporção,razão entre as duas quantidades e, a quantidade verifica-se que isto é sempre verdade. Esta regracorrespondente ao primeiro termo devem ser simplifica a solução de muitos problemas práti-conhecidos. A solução é obtida dividindo-se a cos.quantidade conhecida (1º termo) pela fração querepresenta a razão: Um avião consumiu 24 galões de gasoli- na, para percorrer uma distância de 300 milhas.EXEMPLO: Quantos galões precisará para voar 750 milhas? A razão entre dois números é 2/3, o nú- 300 24mero que corresponde ao primeiro termo é 100. =Ache o número que corresponde ao segundo 750 Xtermo. 300 × X = 750 × 24Passo 1: Expresse o problema como o quociente 300X = 18000 do primeiro termo dividido pela razão. X = 60 1-12
  • Resposta: Sessenta galões serão necessários Passo Final: Ache a soma entre o total de pesos para percorrer a distância de 750 mi- removidos, sinal negativo, e o peso lhas. total original da aeronave.Números positivos e negativos 2000 - 13 = 1987 O novo peso da aeronave é de 1987 libras. Números positivos e negativossão números que possuem um valor relativo, Subtraçãoconforme sua posição, em relação a uma origemou zero. Para subtrair números positivos e nega- Números acima, ou de um lado; usual- tivos, troque o sinal do subtraendo (número amente à direita do zero, são designados positi- ser subtraído do outro), e proceda como na adi-vos (+). ção. Aqueles abaixo ou do lado oposto; usu- EXEMPLO:almente à esquerda do zero, são designados ne-gativos (-). A figura 1-3 é representativa dos Qual é a diferença entre a temperatura denúmeros relativos numa escala horizontal. +20º, lida a 5000 pés e a de - 6º, lida a 25000 pés? Siga a regra "a diferença de temperatura, é -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 igual a primeira temperatura lida; subtraída da- quela, tomada na segunda leitura". Figura 1-3 - Escala de números relativos. Passo 1: Troque o sinal do número a ser subtraí- do.- A soma de números positivos é positiva- A soma de números negativos é negativa. + 20 passa a ser - 20Adição Passo Final: Combine os termos e proceda co- mo adição. Para somar um número positivo e um ne-gativo, ache a diferença entre seus valores abso- - 6 + (- 20) = - 26 grauslutos, e atribua a essa diferença o sinal ( "+" ou"-" ) do número de maior valor absoluto. MultiplicaçãoEXEMPLO: O peso de uma aeronave é de 2000libras. Uma bandeja de equipamento eletrônicopesando 3 libras e um transceptor pesando 10 O produto de dois números positivos élibras, são removidos dessa aeronave. Qual o positivo ( + ). O produto de dois números nega-novo peso? tivos, é positivo ( + ). O produto entre um nú- Para efeito de peso e balanceamento, to- mero positivo e um negativo, é negativo ( - ).do peso removido da aeronave é consideradonegativo, e todo peso incluído, é consideradopositivo. EXEMPLOS:Passo 1: Adicione os valores absolutos dos pe- 3 x 6 = 18 - 3 x 6 = -18 sos retirados. - 3 x (- 6) = 18 3 x (- 6) = 18 10 + 3 = 13 DivisãoPasso 2: Atribua o sinal negativo; pois foram pesos retirados. O quociente entre dois números positi- vos é positivo. O quociente entre dois números - 13 negativos é negativo. O quociente entre um nú- mero positivo e um negativo, é negativo. 1-13
  • EXEMPLOS: Infelizmente, nem todos os números são quadrados perfeitos, nem pequenos. O quadrado 6÷3 = 2 - 6 ÷ 3 = -2 de um número é, o produto dele por si mesmo. - 6 ÷ (-3) = 2 6 ÷ (-3) = -2 O cálculo da raiz quadrada é o processo inverso da exponenciação e, é essencialmente, um processo especial de divisão. Uma descrição desse processo é apresentada a seguir.POTÊNCIAS E RAIZES EXEMPLO:Potência Quando um número (a base), é usado Encontre a raiz quadrada de 213,16.como fator, duas ou mais vezes, o resultado éuma potência da base. Um expoente positivo Passo 1: Começando pela vírgula, divida o nú-inteiro, escrito como um número pequeno (em mero em partes com apenas dois alga-tamanho) à direita e pouco acima da base, indica rismos, antes e depois da vírgula. Ao número de vezes em que base é usada como última parte à esquerda da vírgula nãofator. Assim, "4 ao quadrado" ou "42", significa4 x 4, que é igual a 16. O 4 é a base, o 2 é o ex- precisa ter dois algarismos; todos ospoente, e o 16 é o resultado. outros precisam. Deve-se adicionar um zero à direita, de forma que a úl-Raízes tima parte possua dois algarismos. A raiz de um número é aquele dentre 213,16dois ou mais números iguais, que, quando mul-tiplicados, produzem o número original. Tal Passo 2: Escolha o maior número que possa sernúmero é chamado fator igual. Sendo assim, elevado ao quadrado na primeira parte.dois fatores iguais que produzem 9, quando Coloque o número sobre o radical; de-multiplicados são: 3 e 3. Por isso, a raiz quadra- pois coloque o quadrado desse númeroda de 9 é igual a 3. sob a primeira parte; e por fim subtraía. Isso pode ser representado assim: 1 9 = 3 . O símbolo " " é chamado de radical. 21316 . 1 1 Outro método de iniciar a raiz quadrada 1de um número, é utilizar um expoente fracional.Tal como 9 1/2 = 3. Passo Final: Desça a próxima parte. Caso a raiz a ser obtida não seja quadra-da, ela também pode ser representada de manei- (1) Multiplique a raiz por 2, e ponha o produto àra semelhante; ou seja, a raiz cúbica de 9 pode esquerda do resto, como o divisor de tentati-ser escrita 9 1/3. va. Por exemplo, a raiz cúbica de 8 é igual a (2) Encontre o número de vezes que o divisor de2, e pode ser representada, " 3 8 = 2 ", a raiz tentativa está contido na parte do resto, quequarta de 256 é igual a 4, e pode ser representa- é um dígito maior que o divisor de tentati-da por " 4 256 = 4 ", ou "256 1/4". va. Escreva esse número à direita do divisor de tentativa para formar um divisor final; eCálculo da raiz quadrada também à direita do dígito na raiz. É relativamente fácil determinar a raiz (3) Multiplique esse número pelo divisor com-quadrada de alguns números, como: 4, 9, 16 e pleto. Se o resultado for maior que o resto,144. Esses números são os quadrados perfeitos reduza o número de 1, tanto na raiz comode pequenos números. no divisor final, e repita a multiplicação. 1-14
  • (4) Subtraia o produto formado do resto, e des- xemplo, 2-3 (lê-se 2 elevado a menos 3) é o ça a próxima parte, para formar um novo mesmo que: resto. 1 1 1 = =(5) Para completar, simplesmente repita os pro- (2) 3 2×2×2 8 cedimentos para cada número restante, não é necessário calcular além do número de (2) Qualquer número, exceto o zero, elevado à dígitos do número original. zero é igual à 1. Quando um número é es- crito sem um expoente, o valor do expoente 14 6 é 1. Quando um expoente não tem sinal 213,16 (+ ou -), precedendo-o, o expoente é positi- vo. -1 24 113 POTÊNCIA DE EXPANSÃO VALOR DEZ -96 286 17 16 Expoente Positivo 17 16 10 6 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1.000.000 5 10 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000Obs.: O 2 está contido 5 vezes dentro do 11. 10 4 10 × 10 × 10 × 10 10.000Contendo 5 x 25 é maior que 113; portanto o 5 3 10 10 × 10 × 10 1.000deve ser reduzido a 4. 2 10 10 × 10 100 A vírgula é colocada na raiz. Dessa for- 1ma, o número de dígitos da parte inteira da raiz, 10 10 10 0é igual à soma do número de partes com dois al- 10 1garismos, na parte inteira do número, do qual araiz foi extraída. A velocidade da luz e de 30.000.000.000 de centimetros por segundos, simplificando para 3 × 1010 centimetros por segundo.Potências de dez Expoente Negativo A dificuldade de realização de proble- 1 1 1 10-1 = = 0,1 10 10 10mas matemáticos; envolvendo números muito −2 1 1 1grandes, ou muito pequenos; e a contagem e 10 = 2 = 0,01 10 10 × 10 100escrita de muitas casas decimais, são tanto um 1 1 1 10−3 = 3 = 0,001aborrecimento como uma fonte de erros. 10 10 × 10 × 10 1.000 Os problemas de representação e cálculo 1 1 1 10−4 = 4 = 0,0001são simplificados pelo uso das "potências de 10 10 × 10 × 10 × 10 10.000dez". (ver figura 1-4). Este sistema requer a 1 1 1 10−5 = 5 = 0,00001compreensão dos princípios da exponenciação. 10 10 × 10 × 10 × 10 × 10 100.000 1 1 1Eles são resumidos a seguir: 10−6 = 6 = 0,000001 10 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1.000.000(1) O expoente positivo de um número (ou po- A massa de um elétron é de tência) é o método de indicar quantas vezes 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 o número é multiplicado por si. Por exem- gramas. plo, 23 (dois ao cubo) significa que o núme- ______________________________________ ro 2 deve ser multiplicado por sí 3 vezes (2x2x2=8). Um número com expoente ne- Figura 1-4 Potências de dez e seus equivalentes gativo pode ser definido como seu inverso (3) O valor de um número não muda quando ele ou recíproco (1 dividido pelo número) com é multiplicado e dividido pelo mesmo fator o mesmo expoente, agora positivo, por e- (5 x 10:10=5). Movendo-se a vírgula de um 1-15
  • número para a esquerda, é o mesmo que di- Um fator pode ser movido do numerador vidí-lo por 10, para cada decimal, que a vír- para o denominador; ou, do denominador para o gula se mova. Inversamente, movendo-se a numerador, simplesmente mudando o sinal do vírgula para a direita, é o mesmo que multi- seu expoente. plicarmos o número por 10, para cada casa que a vírgula se mova. 32 2 3 43 1 −3 = 3 × 4 = −2 = −3 4 3 4 × 3−2 Os procedimentos para o uso de potên-cias de dez pode ser resumido: Para que dois ou mais números possam ser multiplicados através da adição ou subtração(1) Mova a vírgula para a casa desejada. Conte de seus expoentes, as bases devem ser iguais. o número de casas movidas. Sendo assim, a5 x b6 não podem ser combina- dos; uma vez que as bases são diferentes.(2) Multiplique o número por 10, a uma potên- Note que as regras especificam soma e cia igual ao número de casas decimais que a subtração algébrica dos expoentes. Veja alguns vírgula foi movida. exemplos:(3) O expoente de 10 será negativo se a vírgula 1 for movida para a direita; e será positivo se a ⇒ 37 × 3−11 = 37 + ( −11) = 37 −11 = 3−4 = a vírgula for movida para a esquerda. Uma 34 ajuda para lembrar o sinal a ser usado é: E, 1 b ⇒ 4 −5 × 4 3 = 4 −5+ 3 = 4 −2 = A, D, S. 42 58 Quando a vírgula é movida para a es- c⇒ −6 = 58 − ( −6 ) = 58+ 6 = 514 5querda, basta adicionar; e quando a vírgula émovida para a direita, apenas subtraia. 68 1 d ⇒ 12 = 68−12 = 6−4 = 4 Na maioria dos casos, pode-se achar 6 6conveniente reduzir os números usados, a núme-ros entre 1 e 10, com a potência adequada. A A multiplicação e a divisão, utilizandomenos que, de outro modo especificado, todas potências de dez, podem ser realizadas em 3as respostas dos problemas que usam potências passos simples, como:de dez se enquadrem noutro registro. (1) Reduza todos os números a valores entre 1 eAdição e Subtração de Potências de Dez 10, multiplicados por 10, elevados à potên- cia adequada; Antes de usar potências de dez em ope-rações matemáticas, é bom relembrar algumas (2) Realize as operações indicadas;regras de expoentes. (3) Mude o resultado para um número entre 1 e• Dois ou mais números de mesma base, quando 10, multiplicado por 10 à potência adequada.multiplicados, mantêm a mesma base elevada àsoma algébrica dos expoentes. CÔMPUTO DE ÁREA 4 5 3 4 + 5+ 3 12 3 ×3 ×3 = 3 =3 As fórmulas lidam com dimensões, áreas• Quando dois números de mesma base são di- e volumes de figuras geométricas. Há 5 figurasvididos, o quociente será igual à mesma base geométricas com as quais você deve estar fami-elevada à um expoente, igual à subtração dos liarizado. Há uma fórmula para o cálculo deexpoentes. cada uma delas. 45 A área de uma figura plana é igual ao = 45− 3 = 4 2 número de unidades quadradas que ela contém. 43 As áreas são medidas em unidades diferentes, das utilizadas para comprimento. Uma área qua- 1-16
  • quadrada com 1 polegada de lado, é chamada de A área do retângulo é o produto das me-uma polegada quadrada. Todas as unidades de didas de comprimento e altura, quando expres-área são quadradas, (polegada quadrada, o pé sas na mesma unidade de medida. A área podequadrado, o jarda quadrado, vara quadrada, e ser exprimida pela fórmula:etc..). Outras unidades de área são, centímetroquadrado, metro quadrado, metro quadrado, e A-CxLetc. Encontrados no sistema métrico. Onde: A = área TABELA DE ÁREAS C = comprimento L = altura 144 polegadas quadradas = 1 pé quadrado 9 pés quadrados = 1 jarda quadrada 30 1/4 jardas quadradas = 1 vara quadrada EXEMPLO: 160 varas quadradas = 1 acre 640 acres = 1 milha quadrada O painel de uma certa aeronave está na 1 metro = 39,37 polegadas 1 metro = 3,281 pés forma retangular, que possui um comprimento 1 metro = 1000 milímetros de 24 polegadas e uma altura de 12 polegadas. 1 milha terrestre = 1.609 metros Qual é a área do painel expressa em polegadas quadradas? A técnica de determinação da área dequalquer forma geométrica é baseada no uso de Passo 1: Pegue os valores conhecidos e substi-fórmulas. Para resolver um problema com uma tua na fórmula.fórmula é necessário: A=Cxh A = 24 x 12(1) selecionar a fórmula correta, Passo 2: Faça a multiplicação indicada, a res-(2) inserir os valores conhecidos na fórmula posta será a área total em polegadas selecionada; e quadradas.(3) fazer os cálculos matemáticos para encontrar A 24 x 12 = 288 pol quadradas o resultado. Figura 1-6 O quadrado.Figura 1-5 O retângulo. O QuadradoO Retângulo O quadrado é uma figura plana que pos- O retângulo é uma figura plana de quatro sui quatro lados iguais e quatro ângulos retoslados opostos côngruos 2 a 2, e em ângulos de (fig 1-6).90º. O retângulo é uma figura muito conhecida Para determinar sua área, basta encontrarna mecânica, representa a seção transversal de o produto entre dois dos lados. Uma vez que osmuitas vigas, hastes e encaixes. (ver fig 1-5). lados são iguais, sua fórmula pode ser expressa da seguinte forma: 1-17
  • A = L2onde A é a área, e L é o comprimento do lado.EXEMPLO: Qual a área de um quadrado cujoslados medem 25 polegadas? Determine o valorconhecido e substitua na fórmula. A =L2 A = 252 A = 25 x 25 = 625 pol2Triângulos O triângulo é um polígono de três lados.Há três tipos básicos de triângulos: o escaleno, oequilátero e o isósceles. Um triângulo escaleno é aquele que temlados e ângulos diferentes; o triângulo equiláte-ro tem todos os lados e ângulos iguais. O triângulo que possui apenas os dois la- Figura 1-7 Tipos de triângulos.dos e ângulos iguais é chamado isóscele. Os triângulos também podem ser classi-ficados em reto, obtuso ou agudo. Esses nomesdescrevem os ângulos inscritos nos triângulo. Um triângulo retângulo, é aquele quepossui um ângulo medindo 90º; num triânguloobtusângulo, um dos ângulos é maior que 90º,no triângulo acutângulo, todos os ângulos são Figura 1-8 Triângulo.menores que 90º. Os vários tipos de triângulos são mostra- A área do triângulo é calculada aplican-dos na figura 1-7. do-se a fórmula: A altura do triângulo é a linha perpendi- A = 1 hbcular, a partir do vértice até a base. Em alguns 2triângulos, como na fig 1-8, pode ser necessárioprojetar a base para fora do triângulo, para que a onde A é a área; 1/2 é uma constante dada; H éaltura possa tocá-la. a altura; e, B é a base. A base do triângulo é o lado sobre o qualsupõe-se que o triângulo descansa. Qualquer EXEMPLO:lado pode ser tomado como base. Encontre a área do triângulo mostrado na figura 1-8. 1-18
  • Passo 1: Substitua os valores conhecidos na EXEMPLO: fórmula da área. O diâmetro de um certo pistão mede 5 1hb polegadas. Qual o comprimento da cir- A= = 1 × 2 6" × 3 2" 2 cunferência formada pela seção transversal do pistão?Passo 2: Resolva a fórmula para o valor desco- Passo 1 - Substitua os valores conhecidos na nhecido. fórmula, C = πD. 1 1140 C = 3,1416 x 5A= × 30 × 38 = = 570 polegadas quadradas 2 2 Passo 2 = Resolva a fórmula.Circunferência e Área de um Círculo C = 15,7080 polegadas Para encontrar a circunferência, ou aárea de um círculo, é necessário usar um núme- Árearo, chamado pi (π). Esse número representa a A área de um círculo, tal como em umrelação entre o raio e o diâmetro de qualquer retângulo ou triângulo, deve ser expressa emcircunferência. O Pi não é um número exato, e é unidades quadradas.representado com quatro casas decimais 3,1416, A distância que corresponde à metade doque é preciso o bastante, para a maioria dos diâmetro de um círculo é chamado "raio".cômputos. (ver fig. 1-9) A área de um círculo é encontrada ele- vando-se o raio ao quadrado e multiplicando porCircunferência π. A fórmula é assim expressa: O comprimento de um círculo pode ser A = π r2encontrado aplicando-se a fórmula: onde, A é a área; π é a constante dada; e r é oC = π D onde, C é o comprimento; π é a cons- raio do círculo.tante (3,1416); e D é o diâmetro do círculo. EXEMPLO: O diâmetro interno de um cilindro de motor de uma aeronave mede 5 polegadas. Ache a área transversal interna do cilindro. Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula, A = π r2 . A = 3,1416 x 2,52 Passo 2 - Resolva a equação A = 3,9416 x 6,625 Figura 1-9 Um círculo. A = 19,635 pol. quadradas 1-19
  • O Trapézio Área Alar Para descrever a planta de uma asa (fig. 1-12), muitos dados são requeridos. Para calcu- lar a área de uma asa será necessário considerar o significado dos termos - envergadura e corda. A envergadura é o comprimento da asa, medido de ponta a ponta. A corda é a largura da asa,Figura 1-10 - O trapézio. medida do bordo de ataque ao bordo de fuga. Se a asa for afilada, a corda média deve ser conhe- Um trapézio (fig. 1-10) é um quadriláte- cida para o cálculo de área. A fórmula para oro que possui um par de lados paralelos. A área cálculo da área alar é:do trapézio é determinada pela fórmula: 1 A = EC A = ( b1 + b2 )h 2 onde A é a área, E é a envergadura e C é a cordaonde, A é a área, 1/2, é uma constante; B1 e B2, média.são as duas bases paralelas; e H é a altura. * O processo usado, no cálculo da áreaEXEMPLO: alar, dependerá do formato da asa. Em alguns casos, será necessário usar a fórmula da área Qual é a área de um trapézio cujas bases alar, em conjunto com uma das fórmulas da áreamedem 14 pol e 10 pol, e cuja altura mede 6 de um quadrilátero ou círculo.pol? (ver fig. 1-11). EXEMPLOS:Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. 1 - Descubra a área da asa ilustrada na figura 1- 13. Para determinar a área, é necessário decidir 1 que fórmula usar. Vê-se que as pontas da asa A= ( b1 + b2 )h 2 formariam um círculo de 7 pés de diâmetro; o resto da asa tem a forma de um retângulo. Com- 1 binando as fórmulas, a área da asa com pontas A= (10 + 14 ) 6 2 arredondadas pode ser calculada assim:Passo 2: Resolva os cálculos. Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. 1 A= (24 )6 2 A = EC + π r2 A = (25 - 7) (7) + (3,1416) (3,5)2 A = 1 × 144 = 72 pol quadradas O valor de E é representado pela envergadura original da asa, menos o diâmetro das pontas circulares. Passo 2: Resolva a fórmula. A = (18 x 7) + (3,1416 x 12,25) A = 126 + 38,5 A = 164,5 pés2 (sq.ft) Figura 1-11 Cômputo da área de um trapézio. 1-20
  • 1 A= (64 )5 2 1 A= (320) 2 A = 1600 pes2 (sq. fr ) Figura 1-12 Planta da asa. Figura 1-13 Asa com pontas arredondadas.2 - Encontre a área da asa da fig. 1-14, cuja en- Figura 1-14. Asa enflechada.vergadura é de 50 pés e cuja corda média é de 68".Passo 1: Substitua os valores na fórmula. A = EC A = 50 x 6 8" Figura 1-15. Asa trapezoidal.Passo 2: Resolva os cálculos. CÔMPUTO DO VOLUME DOS SÓLIDOS A = 50 x 6,67 A = 333,5 pés2 (sq.fr) Sólidos são objetos tridimensionais -3 - Encontre a área de uma asa trapezoidal com comprimento, largura e espessura. Possuem(mostrada na figura 1-15), cuja envergadura do várias formas, sendo os mais comuns os pris-bordo de ataque mede 30 pés, e a envergadura mas, cilindros, pirâmides, cones e esferas. Oca-do bordo de fuga mede 34 pés; e cuja corda mé- sionalmente, é necessário determinar o volumedia mede 5 pés. de um triângulo, de um cubo, de um cilindro, ou de uma esfera.Passo 1: Substitua os valores conhecidos na Uma vez que nem todos os volumes são fórmula. medidos nas mesmas unidades, é necessário conhecer todas as unidades de volume mais co- 1 muns, e como elas se relacionam. A= ( b1 + b2 )h Por exemplo, o mecânico pode saber o 2 volume de um tanque em pés cúbicos ou pole- gadas cúbicas; porém quando o tanque está 1 A= (30 + 34 )5 cheio de gasolina, ele vai querer saber quantos 2 galões esse tanque contém. A tabela a seguir mostra a relação entrePasso 2: Resolva as contas. algumas das unidades de volume mais comuns. 1-21
  • UNIDADES DE VOLUME 1,728 pol3 = 1 pé3 27 pés3 = 1 jarda3 231 pol3 = 1 gal 7,5 gals = 1 pé3 2 pintas = 1 quarto 4 quartos = 1 galãoVolume de um Sólido Retangular Figura 1-16 Sólido retangular. Um sólido retangular é formado por ân-gulos retos. Em outras palavras, é como se fosseuma caixa (ver fig. 1-16). Se o sólido possuiarestas e lados iguais ele é chamado de cubo. A fórmula de determinação do volumede um sólido retangular pode ser expressa as-sim: V=Cxlxh Figura 1-17 Cubo.onde; V é igual o volume; C é igual ao compri-mento; L é igual à largura; e H é igual à altura. Se o sólido for um cubo (fig. 1-17), a fórmula passa a ser o cubo dos lados:EXEMPLO: Um bagageiro retangular mede 5pés e 6 polegadas de comprimento, 3 pés e 4 V = l3polegadas de largura e 2 pés e 3 polegadas dealtura. Quantos pés cúbicos de bagagem ele onde V é o volume, e L é a medida dos lados docomportará? cubo.Passo 1: Substitua os valores na fórmula. Área e Volume de um Cilindro V=Cxlxh Um sólido com o formato de uma lata, o V = 5 6" x 3 4" c 2 3" comprimento de um tubo ou, com forma se- melhante, é chamado de cilindro. As extremida- des de um cilindro são círculos idênticos, comoPasso 2: Resolva as contas. mostra a Fig. 1-18. Área da Superfície 1 1 1 V = 5 ×3 ×2 A área da superfície de um cilindro, é 2 3 4 encontrada multiplicando-se a circunferência da 11 10 9 base pela altura. A fórmula é expressa assim: V = × × 2 3 4 A=πDh 165 V = = 41,25 pés 3 onde A é a área; π é a constante dada, D é o 4 diâmetro, H é a altura do cilindro. 1-22
  • Passo 2: Resolva as contas. A = 3,1416 x 3,5 x 12 A = 132,95 ou 133 pés2 Volume O volume de um cilindro pode ser en- contrado, multiplicando-se a área de seção transversal pela altura do cilindro. A fórmula pode ser expressa como: V = π r2 hFigura 1-18 O Cilindro. onde V é o volume; π é a constante dada; r2 é o quadrado do raio do cilindro; h é a altura do ci- lindro (figura 1-19). EXEMPLO: O cilindro do motor de uma aeronave possui um raio interno de 5,5 polegadas, e o pistão percorre um curso de 5,5 polegadas. Qual o deslocamento do pistão desse cilindro? Passo 1: Substitua os valores conhecidos na fórmula. V = π r2 h V = (3,1416) (2,75)2 (5,5) Passo 2: Resolva a equação. V = 17,28 x 7,56Figura 1-19 Deslocamento do Pistão no Cilin- V = 130,64 pol3 dro.EXEMPLO: GRÁFICOS E TABELAS Quantos pés2 de folha de alumínio serãonecessários para fabricar um cilindro de 12 pés Gráficos e tabelas são representaçõesde comprimento e, 3 pés e 6 polegadas de diâ- pictoriais de dados, equações e fórmulas. Atra-metro? vés do seu uso, as relações entre duas ou mais quantidades podem ser mais claramente entendi-Passo 1: Substitua os valores conhecidos na das. Além disso, a pessoa pode ver certas condi- fórmula. ções ou relações em uma olhada; enquanto que, se dependesse de uma descrição escrita, levaria A=πDh bastante tempo para obter as mesmas informa- A = 3,1416 x 3 6" x 12 ções. Os gráficos têm muitas aplicações, tais como representar uma equação ou fórmula. 1-23
  • Podem ser usados para resolver duas equações fórmulas envolvendo muitas operações matemá-para um valor comum. ticas, haverá muito trabalho. Os gráficos e tabelas são construídos emdiversos formatos. Alguns dos tipos mais co-muns são: os gráficos de barras, gráficos em li-nha quebrada, gráficos com curvas contínuas egráficos com círculos. Um exemplo de cada émostrado na figura 1-20. Um dos gráficos maisúteis em trabalhos técnicos é o que tem curvascontínuas.Interpretação ou Leitura de Gráficos e Tabe-las É mais importante, do ponto de vista domecânico, ser capaz de ler um gráfico adequa-damente ao invés de desenhar. A relação entre apotência de um certo motor, ao nível do mar eem qualquer altitude até 10.000 pés, pode serdeterminada através da tabela da figura 1-21. Para usar este tipo de tabela, simples-mente encontre o ponto no eixo horizontal querepresenta a altitude desejada; mova-se paracima, ao longo dessa linha, até o ponto de in-terseção com a curva; depois, mova-se para aesquerda, lendo a percentagem disponível noeixo vertical.EXEMPLO: Figura 1-20 Tipos de gráficos. Qual a percentagem da potência ao níveldo mar que está disponível à altitude de 5.000pés?Passo 1: Localize o ponto no eixo horizontal que representa 5.000 pés. Mova para cima até a interseção com a curva.Passo 2: Coloque para a esquerda, lendo a per- centagem de potência disponível a 5.000 pés. A potência disponível é 80%.Nomogramas Geralmente é necessário fazer cálculos, Figura 1-21 Carta de potência por altitude.usando a mesma fórmula; porém usando valoresdiferentes para as variáveis. É possível obter É possível evitar todo esse trabalho, u-uma solução usando uma régua de cálculo ou sando um diagrama representativo da fórmula;preparando uma tabela. Contudo, no caso de na qual cada variável é representada por uma ou 1-24
  • mais linha graduadas. A partir desse diagrama, a EXEMPLO:solução da fórmula para qualquer variável podeser lida através de uma linha de índice. Um dia- Determine a potência calculada de umgrama desse tipo é conhecido como nomogra- certo motor, usando o nomograma da figura 1-ma. 22. Suponhamos que a OAT seja 10º C, e que a A maior parte das informações requeri- pressão barométrica seja de 28,5 pol.hg, e que odas para resolver problemas aeronáuticos serão motor esteja operando a 10.000 r.p.m.apresentadas em forma de nomograma. Os ma-nuais de instrução, das diversas aeronaves, con-têm numerosos nomogramas, muitos dos quais Passo 1: Encontre os pontos de referência sobrecomplexos. Muitos possuirão diversas curvas no a escala de OAT e sobre a escala demesmo eixo de coordenadas, e cada curva apli- pressão barométrica, que corresponde àcável a uma diferente constante da equação. No temperatura dada, e àa leituras de pres-último caso, é essencial selecionar a curva ade- são. Eles são identificados como 1 e 2,quada a cada condição. respectivamente, na carta. Com o auxí- Ainda aqui, como nos gráficos mais sim- lio de uma régua, conecte esses doisples, é mais importante para o mecânico ser ca- pontos e estabeleça o ponto 3 na linhapaz de ler nomogramas que desenhá-los. pivô. O exemplo a seguir é tomado de um ma-nual de manutenção da Allison para o motorturboélice 501-D13. Passo 2: Encontre a r.p.m. do motor, identifica- Um nomograma (figura 1-22) é usado da como 4, na escala de r.p.m. do mo-para determinar a potência requerida, quando o tor. Usando uma régua, conecte os pon-motor estiver operando com torque mínimo. tos 3 e 4 e estabeleça o ponto 5 na es- A OAT (temperatura do ar externo), a cala de potência calculada (HP). A po-pressão barométrica e a rpm do motor, são três tência calculada é lida no ponto 5. Nes-fatores que devem ser conhecidos para utilizar te caso o valor encontrado e 98%.este nomograma em particular. Figura 1-22 Potência requerida para torque mínimo. 1-25
  • Sistema MétricoSISTEMAS DE MEDIÇÃO O sistema métrico é a linguagem domi- O nosso sistema de medidas (figura nante entre as medidas adotadas hoje em dia. A1-23) é parte da nossa herança cultural, desde maioria dos países já usava o sistema métrico,os tempo em que o Brasil era colônia de Portu- antes da Segunda Guerra Mundial.gal, e adquiria a maior parte dos produtos ma-nufaturados da Inglaterra. Desde a guerra, mais e mais países, fo- Esse sistema começou como uma mistu- ram convertidos ou estão em processo de con-ra de pesos e medidas Anglo-saxônicas, Roma- versão para o sistema métrico. Somente os Es-nas e Normando-francesas. Desde os tempos tados Unidos e mais 13 países ainda não fize-medievais, comissões feitas por diversos mo- ram a conversão.narcas ingleses reduziram o caos de medidas,adotando padrões específicos para algumas das O Congresso tem o poder de definir osunidades mais importantes. padrões de pesos e medidas. Repetidas vezes o Registros antigos, por exemplo, dão sistema métrico tem sido proposto; porém semconta de que uma polegada era definida como quorum suficiente.comprimento de "três grãos de cevada, redon-dos e secos" quando agrupados; um "penny- O sistema métrico foi desenvolvido porpeso" ou “um vinte avos" de uma onça de torre, um estadista francês, Talleyrand, Bispo de An-era igual a 32 grãos de trigo do "meio da espi- tum, usando o "metro" como padrão; sendo quega". o metro é uma parte da circunferência da Terra O galão americano equivale ao galão de no Equador. A partir daí, o metro foi desenvol-vinho britânico, padronizado no início do sécu- vido e aceito como padrão. Os múltiplos e sub-lo 18 (é aproximadamente 20% menor que o múltiplos do metro são baseados no sistemagalão britânico adotado em 1824 e que era usa- decimal.do para medir a maioria dos líquidos).5 COMPRIMENTO MASSA VOLUME TEMPERATURA CORRENTE TEM- ELÉTRICA POMÉTRICO Centígrado Metro Quilograma Litro (Celsius) Ampère SegundoINGLÊSinch (polegada) ounce (onça) fluid ounce (onça de fluído) Fahrenheit ampere Segun-foot (pé) pound (libra) teaspoon (colher de chá) doyear (ano ton (tonelada) cup (xícara)fathom (toesa=6pés) grain (grão) pint (pinta)rod (vara=5m) dram (dracma) quart (1/4 de galão)mile (milha) gallon (galão) barrell (barril) peck (1/4 alq.) bushel (alqueire) Figura 1-23 Algumas unidades comuns. 26
  • A Lógica do Metro Para se calcular o número de metros que existem em 3,794 quilômetros multiplica-se por Nenhum outro sistema de medida atual- 1000 (mova a vírgula três casas decimais para amente usado consegue superar a simplicidade direita), e a resposta será 3.794,00 metros.do Sistema Métrico. Ele foi deliberadamente Por analogia, para se encontrar o númeroprojetado para suprir todas as necessidades de de polegadas em 3,794 milhas, é necessáriocientistas e engenheiros. O leigo só precisa co- multiplicar primeiro por 5.280 e depois por 12.nhecer e usar algumas partes simples. Além disso, os múltiplos e submúltiplos O metro possui um ordenamento lógico, de todos as unidade do Sistema Internacionalenquanto outros sistemas se desenvolveram de- seguem uma nomenclatura padrão que consistesordenadamente. Existem hoje apenas seis me- em adicionar um prefixo à unidade, qualquerdidas básicas no Sistema Métrico Internacional. que seja ela. A unidade de comprimento é o metro; a Por exemplo, quilo equivale a 1.000; umunidade de massa é o kilograma; unidade de quilômetro é igual a 1000 metros; e um qui-tempo é o segundo; a unidade de corrente elétri- lograma é igual 1.000 gramas. "Micro" é o pre-ca é o ampère; a unidade de temperatura é o fixo equivalente a milionésimo; um metro equi-kelvin (que em uso normal é convertido em valente a um milhão de micrometros, e um gra-graus centígrados); a unidade de intensidade ma equivale a um milhão de microgramas (figu-luminosa é a candela. ra 1-24). Todas as outras unidades de medida doSistema Métrico Internacional são derivadas PREFIXO SIGNIFICADOdessa seis unidades básicas. A área é medida em metros quadrados; avelocidade em metros por segundo; a densidade tera (1012) Um trilhão de vezesem kilogramas por metro cúbico. giga (109) Um bilhão de vezes O newton, a unidade de força, é uma re- 6lação simples envolvendo metros, kilogramas e mega (10 ) Um milhão de vezessegundos; e, pascal, unidade de pressão, é defi- kilo (103) Mil vezesnido como um newton por metro quadrado. Em alguns casos, a relação entre as uni- hecto (102) Cem vezesdades base e as derivadas, tem que ser expressa deca (10) Dez vezespor fórmulas mais complicadas (o que é inevitá-vel em qualquer sistema de medidas), devido àcomplexibilidade inata de certas coisas que me- deci (10-1) Um décimodimos. Relações semelhantes entre massa, área, centi (10-2) Um centésimotempo e outras quantidades no sistema antigo, mili (10-3) Um milésimogeralmente requerem fórmulas semelhantes,ainda mais complicadas por conterem constan- micro (10-6) Um milionésimotes arbitrárias. Por exemplo, um cavalo de força nano (10-9) Um bilionésimoé definido como 550 libras-pé por segundo. A terceira vantagem, é que o sistema pico (10-12) Um trilionésimométrico é baseado no sistema decimal. Os múlti-plos e submúltiplos estão sempre relacionados à Figura 1-24 Nomes e símbolos para prefixospotência de 10. métricos. Por exemplo, um centímetro contém 10milímetros, 100 centímetros equivalem a 1 me- Conversão do Sistema Métrico ao Sistematro; e, 1.000 metros equivalem a 1 quilômetro. Inglês Isso simplifica muito a conversão de As pessoas tendem a opor-se às mudan-grandes medidas em pequenas medidas. ças, geralmente por não entenderem o motivo da mudança, ou a nova ordem. A terminologia para 27
  • unidades costumeiras e unidades métricas já foi Exemplo: Be, onde B é a base o e, expoente.discutida. Uma tabela de conversão também foi Assim: 23 = 2 x 2 x 2 = 8incluída. Exemplo de seu uso: 133 = 13 x 13 x 13= 2197 Para se converter polegadas em milíme- Um cálculo específico de volume podetros, multiplique o número de polegadas por 25. ser considerado como uma elevação ao cubo.(Ex: 25 x 25 = 625 mm). Exemplo: Volume = Comprimento multiplicado Para se converter milímetros em polega- pela Largura e pela Altura (V = C x L x H).das, multiplique os milímetros por 0,04. (Ex: Raiz Quadrada625 mm x 0,04 = 25 opl). Para se converter polegadas quadradas A raiz quadrada é a operação inversa daem centímetros quadrados, multiplique por 6,5. elevação ao quadrado. A raiz quadrada de um(Ex: 100 pol2 x 6,5 = 650 cm2). número é aquele número que, multiplicado por Para se converter centímetros quadrados si mesmo (elevado ao quadrado), resultará noem polegadas quadradas, multiplique por 0,16. número que se extraiu a raiz. Exemplificando: a(Ex: 100 x 0,16 = 16 pol2). raiz quadrada de 16 é 4, pois 4x4 = 42 = 16. Em A figura 1-26 é praticamente auto-expli- sua representação, utiliza-se um radical, con-cativa. As medidas, começando em 1/64 de po- forme a representação seguinte:legadas, foram convertidas em divisões deci- 16 = 4, pois 4 2 =16.mais de polegada e em milímetros. Raiz CúbicaFunções dos Números Por sua vez, a raiz cúbica é a operação inversa da elevação ao cubo. Então a raiz cúbica A tabela de funções dos números (figura de um número será igual ao valor que elevado1-27 e 1-28), é incluída neste capítulo por con- ao cubo resulte naquele do qual se extraiu a raiz.veniência, para facilitar os cômputos. A familia- Como exemplo tem-se que a raiz cúbica de 27 érização com as várias partes desta tabela ilustra- 3, pois 3x3x3 = 33 = 27. Da mesma forma que arão as vantagens de se usar cálculos já feitos. raiz quadrada, utiliza-se o radical em sua repre- sentação, porém, por se tratar de raiz cúbica,Números utiliza-se o índice 3 no radical, conforme a re- presentação seguinte: 27 = 3, pois 3 = 27. 3 3 A coluna dos números contém de 1 a100. As outras colunas contêm cálculos para Circunferência de um Círculocada número. A circunferência é a medida linear do perímetro de um círculo.Tal medida é calculadaQuadrado multiplicando-se o diâmetro do círculo pela constante π, que é aproximadamente igual a O quadrado é o produto obtido pela mul- 3,1416.tiplicação de um número por si mesmo: 1 x 1 Exemplo: para uma circunferência de diâmetro=1; 2 x 2 = 4; 17 x 17 = 289. igual a 10 cm: C = 10cm x 3,1416 = 31,416 cm. A elevação ao quadrado pode ser consi- Nota: A constante π é obtida dividindo-se aderada uma forma especial de cômputo de área: circunferência de qualquer círculo por seu res-Área = Comprimento multiplicado pela largura, pectivo diâmetro.A = C x L. Área de um círculoCubo A área de um círculo é o número de uni- O cubo é o produto obtido pela multipli- dades quadradas de medidas contidas na áreacação de um número por si mesmo três vezes. circunscrita. Ela é calculada utilizando-se aEm sua representação, o número que é multipli- fórmula A = π x r2, ou seja, multiplica-se acado chama-se base e o que indica quantas ve- constante π pelo valor do raio elevado ao qua-zes a multiplicação ocorre, expoente, que no drado.Ex.: para uma circunferência de raio igualcaso deste cálculo sempre será três. a 10cm, temos: A = 3,1416 x (10cm)2= 314,16 cm2 1-28
  • QUANDO VOCÊ CONHECE VOCÊ PODE ACHAR: SE MULTIPLICAR POR:COMPRIMENTO Polegadas Milímetros 25 Pés Centímetros 30 Jardas Metros 0,9 Milhas Quilômetros 1,6 Milímetros Polegadas 0,04 Centímetros Polegadas 0,4 Metros Jardas 1,1 Quilometros Milhas 0,6ÁREA Pol. quadradas centímetros quadrados 6,5 pés quadrados metros quadrados 0,09 jardas quadradas metros quadrados 0,8 milhas quadradas quilômetros quadrados 2,6 acres quadrados hectares quadrados 0,4 cent. quadrados polegadas quadradas 0,16 metros quadrados jardas quadradas 1,2 quil. quadrados milhas quadradas 0,4 hectares quadrados acres quadrados 2,5MASSA onças gramas 28 libras quilogramas 0,45 gramas onças 0,035 quilogramas libras 2,2VOLUME LÍ- onças milímetros 30QUIDO pintas litros 0,47 quartos de galão litros 0,95 galões litros 3,8 mililitros onças 0,034 litros pintas 2,1 litros quartos de galão 1,06 litros galões 0,26TEMPERATURA graus fahrenheit graus centígrados 5/9 após subtrair 32 graus centígrados graus fahrenheit 9/5 e adicionar 32 Figura 1-25 - Convertendo sistema inglês em métrico. 29
  • Figura 1-26 Frações, decimais e milímetros. 30
  • Figura 1-27 Funções dos Números. 31
  • Figura 1-28 Funções dos Números (continuação). 1-32