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Interpolacion kenj Interpolacion kenj Document Transcript

  • Republica Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Fermín Toro Núcleo Portuguesa Ing. en Computación Estudiante Kenj mourad Cl:19903208 Araure 9 de febrero del 2013
  • INTERPOLACIÓN Consiste en determinar el polinomio único de n-esimo grado que se ajuste a n+1punto, este polinomio, entonces esto proporciona una formula para calcular valoresintermedio aunque hay uno y un solo polinomio de n-eximo grado que se ajusta a n+1 puntoexisten una gran variedad de formula matemática en la cuales pueden expresarse estepolinomio. por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una leyque desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente delas conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor queobtengamos será una aproximación del valor real. INTERPOLACIÓN LINEALConsiste en unir dos puntos con una llinea recta y esta es su formulax2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA En consecuencia una estrategia para mejora la estimación consiste en introduciralguna convertura a la línea que une los puntos pero si tienen 3punto ya son un polinomiode segundo grado y su formula esFORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONEl polinomio de n-ésimo grado esfn(x) = b0 + b1(x – x0) + · · · + bn(x – x0)(x – x1)· · ·(x – xn–1) Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntosasociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomioden-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamosestos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:b0 = f(x0)b1 = f[x1, x0]b2 = f[x2, x1, x0]
  • ·bn = f[xn, xn–1, · · ·, x, x0]donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididasfinitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representacomoF(xi,xj)= ERRORES DE LA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximacionesde las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, sila función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio deinterpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También,como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error detruncamiento INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funcionesde un modo eficaz. Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación porSplines Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación: Requiere sólo deun punto conocido de la función para su cálculo, si bien se pide que la función seasuficientemente diferenciable en un entorno de ese punto.El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otras formas deinterpolación polinómica:Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puedealcanzar cotas demasiado elevadas.tambien existe varios tip como la lineal, cuadrática ycubico TRAZADORES LINEALES La unión más simple entre dos puntos es una línea recta. Los trazadores de primergrado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funcioneslineales,
  • f(x) = f(x0) + m0(x – x0) x0< x < x1f(x) = f(x1) + m1(x – x1) x1 < x < x2..f(x) = f(xn–1) + mn–1(x – xn–1) xn–1< x < x TRAZADORES (SPLINES) CUADRÁTICOS Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debeemplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usan con másfrecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segundaderivadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden y mayores podrían serdiscontinuas cuando se usan trazadores cúbicos, por lo común no pueden detectarse enforma visual y, en consecuencia, se ignoran. Debido a que la deducción de trazadores cúbicos es algo complicada, la hemosincluido en una sección subsecuente. Decidimos ilustrar primero el concepto deinterpolación mediante trazadores usando polinomios de segundo grado. Esos“trazadores cuadráticos” tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque lostrazadores cuadráticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muybien para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de gradosuperior. El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo gradopara cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalo serepresenta como TRAZADORES CÚBICOS El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado paracada intervalo entre los nodos: Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4nincógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones paraevaluar las incógnitas. Éstas son: 1. . Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condiciones). 2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones).
  • 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones) POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación delpolinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa demanera concisa comodonde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo: COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange son adecuados para determinarvalores intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la formaconvencional f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn Un método directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en elhecho de que se requieren n + 1 puntos para determinar los n + 1 coeficientes. Así, se utilizaun sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para calcular las a. Por ejemplo,suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parábola
  • INTERPOLACIÓN DE HERMITE Son polinomios por partes Hn(x)ya sea cubico en cada su intervalo en lainterpolación f(x) y f(x) en los puntos su función queda establecida en forma única por estacondiciones y su calculo se tiene que hacer por sistema lineales de 4x4 cada una tiene comodesventajas que necesita de la disposición de muchas aplicaciones TABLA DE DIFERENCIASDados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, elpropósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi,f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la mismamanera, en el intervalo en cuestión. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias(ejemplo):x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)0,0 0,000 0,2030,2 0,203 0,017 0,220 0,0240,4 0,423 0,041 0,020 0,261 0,0440,6 0,684 0,085 0,052 0,346 0,0960,8 1,030 0,181 0,211 0,527 0,3071,0 1,557 0,488 1,0151,2 2,572