1. M´canique du solide et des mat´riaux
e e
´
Elasticit´-Plasticit´-Rupture
e e
Jean-Claude Charmet
Documents concernant l’enseignement (Cours, TD, Pr´ceptorats, TP) sur
e
http ://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement
Rubrique : Supports de l’enseignement de m´canique des solides
e
ESPCI - Laboratoire d’Hydrodynamique et M´canique Physique
e
7. Chapitre 1
MATERIAUX
1.1 La Science des mat´riaux
e
Alors que la r´sistance des structures et des mat´riaux est un domaine qui nous concerne tous dans
e e
notre vie quotidienne, elle est rest´e pendant des si`cles le parent pauvre des “Sciences”. Essayer de
e e
comprendre pourquoi se produisent des catastrophes telles que l’effondrement d’un pont ou la rupture
d’un barrage ´tait le lot des hommes de l’art dont les connaissances ´taient surtout affaire d’empirisme
e e
et de tradition.
C’est en 1638, sur la fin de sa vie, que Galil´e (1564-1642) publia son “Dialoghi delle due nuove
e
scienze”, premier ouvrage publi´ qui traitait s´rieusement de r´sistance m´canique. Il ´tudia l’influence
e e e e e
de la section sur la r´sistance statique des tiges, montrant que la charge de rupture ´tait bien propor-
e e
tionnelle ` l’aire de la section droite, et s’int´ressa aussi, avec plus ou moins de bonheur (il ne pouvait
a e
b´n´ficier des travaux de Isaac Newton (1642-1727) sur le principe de l’action et de la r´action), ` la
e e e a
r´sistance en flexion de divers types de poutres.
e
Alors qu’il partageait avec les Grecs leur m´pris pour les Sciences appliqu´es, Isaac Newton y
e e
apporta deux outils d’importance primordiale : le calcul diff´rentiel et sa troisi`me loi, plus connue
e e
sous le nom de “Principe de l’action et de la r´action”. Cette loi stipule que si un corps pesant exerce sur
e
un corps support une force due ` l’action de la pesanteur (contact statique) ou ` celle de l’acc´l´ration
a a ee
(contact dynamique), ce support exerce en sens inverse une force de r´action ´gale et oppos´e sur le
e e e
corps pesant. Si les lois de Newton nous donnent les forces auxquelles une structure peut ˆtre soumise,
e
elle ne nous donne aucune information sur les forces de r´action au sein des mat´riaux qui la compose.
e e
Comment et pourquoi la structure r´siste-t-elle ? La r´ponse fut donn´e par Robert Hooke (1635-
e e e
´
1703). Etudiant l’allongement produit par l’action de charges croissantes appliqu´es sur divers mat´riaux,
e e
il ´tablit une relation de proportionnalit´, dans la limite de pr´cision des mesures de l’´poque, et il
e e e e
formula la loi de l’´lasticit´ qui porte son nom en 1679 dans son trait´ “ De potentia restituva” sous la
e e e
forme “Ut tensio, sic vis”. Telle tension, telle force, car en latin tensio signifie g´n´ralement ´tirement
e e e
et non tension - au sens de force - bien que les romains aient souvent confondu les deux acceptions.
Nous savons aujourd’hui que cette loi s’applique bien ` presque tous les solides usuels (cristallins ou
a
amorphes) aux faibles contraintes mais que les mat´riaux constitutifs des structures biologiques la
e
suivent rarement. Cependant, pour les structures et les mat´riaux usuels, elle joue un rˆle essentiel.
e o
Malgr´ leur richesse, les id´es de Hooke ne d´bouch`rent que cent ans plus tard sous la forme
e e e e
des concepts de Contrainte et de D´formation introduits par Augustin Cauchy (1789-1857). Bien
e
que recouvrant des notions tr`s simples ces deux termes restent souvent myst´rieux et rebutants.
e e
Jusqu’alors les ´tudes avaient port´ sur des structures plus ou moins ´labor´es pour lesquelles les
e e e e
analyses en terme d’allongement et de force ne distinguaient pas ce qui ´tait la contribution de la
e
g´om´trie de la structure de celle intrins`que au mat´riau. La d´finition de l’´tat m´canique local en
e e e e e e e
terme de contrainte et de d´formation a v´ritablement sorti la Science des Mat´riaux de l’impasse.
e e e
L’id´e qu’un mat´riau puisse ˆtre caract´ris´ par une rigidit´ intrins`que est due ` Thomas Young
e e e e e e e a
(1773-1829) qui d´montrait ainsi que la d´formation globale d’une structure r´sulte en fait de la com-
e e e
binaison de la raideur du mat´riau et de la taille et de la forme de cette structure. Cependant on
e
doit ` Henri Navier (1785-1836) d’avoir formul´ math´matiquement le concept d´velopp´ par Thomas
a e e e e
1
8. 2 CHAPITRE 1. MATERIAUX
Young, en s’appuyant sur les notions de d´formation et de contrainte formul´es par Augustin Cau-
e e
chy. Les bases ´taient pos´es pour entreprendre la r´solution analytique des probl`mes de calcul des
e e e e
structures.
Fort de ces progr`s, le d´but du XIXe si`cle fut la p´riode privil´gi´e des tentatives de pr´diction
e e e e e e e
des r´sistances pratiques des mat´riaux ` partir des connaissances acquises sur les forces des liaisons
e e a
interatomiques et des catastrophes, les r´sultats obtenus s’´cartant de plusieurs ordres de grandeur
e e
des valeurs exp´rimentales. Il fallut attendre plus d’un si`cle pour voir se dessiner une approche
e e
satisfaisante des m´canismes comportementaux au del` de la zone ´lastique : ductilit´ et plasticit´,
e a e e e
fragilit´ et rupture. En effet, ce n’est qu’en 1920 que A. Griffith publia son article r´volutionnaire sur
e e
la r´sistance ` la rupture des solides. et ce n’est qu’en 1934 que Geoffrey Taylor sugg´ra l’existence de
e a e
dislocations dans les cristaux pour interpr´ter les propri´t´s de ductilit´ des m´taux purs.
e ee e e
La Science des Mat´riaux disposait enfin des outils conceptuels n´cessaires ` son d´veloppement.
e e a e
Les travaux de Griffith et de Taylor sont ` la base des m´thodes d’´laboration de nos mat´riaux
a e e e
modernes. Le d´veloppement conjoint des nouveaux mat´riaux et des moyens de calcul par ´l´ments
e e ee
finis permet aujourd’hui aux ing´nieurs de concevoir des structures m´caniquement fiables de plus en
e e
plus complexes comme en t´moignent les r´alisations de haute technologie du pont de Normandie ou
e e
du viaduc de Millau pour ne citer que le domaine des ouvrages d’art.
1.2 Les mat´riaux
e
Le physico-chimiste ´tudie les propri´t´s de la mati`re, m´taux, alliages, verres, polym`res, tissus
e ee e e e
biologiques,. . .mais ne s’occupe que rarement des mat´riaux correspondants. Les mat´riaux sont de
e e
la mati`re travaill´es par l’homme pour fabriquer des objets. Le process d’´laboration procure au
e e e
mat´riau une certaine microstructure qui ` son tour d´termine ses propri´t´s chimiques, physiques,
e a e ee
m´caniques, ´lectriques, thermiques. Il s’agit l` des propri´t´s intrins`ques du mat´riau. La synth`se
e e a ee e e e
des mat´riaux en laboratoire s’appuie sur la trilogie mise en oeuvre- structure - propri´t´s :.
e ee
Proc´d´s de fabrication
e e Coul´e, frittage, d´pˆts (´lectrolytique,. . .)
e e o e
Mise en forme par d´formation
e Laminage, extrusion, ´tirage, forgeage, emboutissage,
e
martelage, . . .
Mise en forme par enl`vement de
e Usinage, rectification, d´coupe (chalumeau, laser, jet
e
mati`re
e d’eau), ´lectro´rosion, . . .
e e
Traitements thermiques Recuit, trempe, vieillissement, revenu, . . .
Assemblage Soudage, collage, rivetage, boulonnage, vissage, fret-
tage, . . .
Traitement de surface Grenaillage, rodage, trempe superficielle, revˆtement
e
par d´pˆt (´lectrolytique, phase vapeur, projection,
e o e
. . .)
...
Tab. 1.1 – Proc´d´s de mise en oeuvre
e e
Type de Liaison, Mol´cules
e Type et taille
Syst`me cristallin, Ordre
e a
` longue et courte distance
Polym`res
e Taux de r´ticulation et de cristallinit´
e e
H´t´rog´n´it´s chimiques
ee e e e S´gr´gation aux joints de grains
e e
Pr´cipit´s coh´rents, incoh´rents
e e e e Dimension, forme, fraction volumique
Composites Plis, fibres (courtes longues trichytes)
Texture, Porosit´e
...
Tab. 1.2 – Microstructure
9. ´
1.2. LES MATERIAUX 3
M´caniques
e Modules et limites ´lastiques, ´crouissage (contrainte
e e
d’´coulement), charge ` la rupture, vitesse de fluage,
e a
ductilit´, allongement r´parti, ` rupture, taux de
e e a
striction, viscosit´, capacit´ d’amortissement, duret´,
e e e
r´sistance (fatigue, usure, abrasion, . . .) . . .
e
Tab. 1.3 – Propri´t´s m´caniques
ee e
1.2.1 Les classes de mat´riaux et leurs propri´t´s
e e e
L’ing´nieur groupe les mat´riaux en trois classes correspondant approximativement ` trois types
e e a
de comportement.
Mat´riaux
e Comportement Propri´t´s
ee
Verres et c´ramiques
e Duret´ et fragilit´
e e Isolants et r´fractaires
e
M´taux et Alliages
e Ductilit´
e Conducteurs et R´flecteurs
e
Polym`res
e D´formabilit´
e e
Tab. 1.4 – Les trois classes de mat´riaux
e
Cette classification recoupe celle des mat´riaux en fonction de leur type de liaison chimique. Ce
e
r´sultat n’est pas fortuit dans la mesure o` une grande partie des propri´t´s physiques et en particulier
e u ee
des propri´t´s m´caniques sont conditionn´es par les propri´t´s des liaisons chimiques.
ee e e ee
Liaison covalente
Bore Fibres
Carbone diamant Poudres abrasives - fibres
Silicium - germanium Composants ´lectroniques
e
Carbures - nitrures Meules, paliers, fibres r´fractaires
e
Polym`res
e Thermodurcissables
Liaison ionique
Alumine, silice, zircone Abrasifs, r´fractaires
e
Verres Vitres, emballages, fibres
Oxydes et carbures d’uranium Industrie nucl´aire
e
Liaison m´tallique
e
Aluminium Alliages l´gers
e
Zinc Bˆtiment, fonderie
a
Titane A´ronautique
e
Zirconium Industrie chimique, gaines combustible nucl´aire
e
Cuivre Laitons, bronzes
Or, Argent Monnaies, brasures, photographie, contacts
Etain, Plomb Plomberie, soudure
Tantale R´fractaire, ´lectronique
e e
Fer, Cobalt, Nickel Aciers, fontes, superalliages
Chaˆınes covalentes avec liaisons Van der Waals ou Hydrog`ne e
Polym`res
e Thermoplastiques
Elastom`res
e
Bois, Papiers, Cartons
Ciments, B´tons
e
Tab. 1.5 – Mat´riaux et type de liaisons chimiques
e
A ces trois classes s’ajoute la classe des composites qui permet une grande souplesse de combinai-
sons de propri´t´s.
ee
10. 4 CHAPITRE 1. MATERIAUX
Fig. 1.1 – La classe des mat´riaux composites
e
.
1.2.2 La liaison chimique et les propri´t´s m´caniques
e e e
Pour r´sister aux efforts qui lui sont appliqu´s un mat´riau n’a d’autre ressource que de se d´former
e e e e
de mani`re ` stocker ou ` dissiper l’´nergie qui lui est fournie. Dans les mat´riaux cristallins la
e a a e e
d´formation est associ´e ` de l´g`res variations des distances interatomiques, mais elles entraˆ
e e a e e ınent
des variations consid´rables de l’´nergie de coh´sion (´nergie interne). Ainsi, pour comprendre les
e e e e
caract´ristiques m´caniques des mat´riaux comme leur module il faut descendre ` l’´chelle atomique.
e e e a e
Deux facteurs ont un effet pr´pond´rant sur ces propri´t´s :
e e ee
Les forces qui retiennent les atomes les uns aux autres (les liaisons atomiques). Elles agissent comme
de petits ressorts qui lient un atome ` ses proches voisins dans l’´tat solide.
a e
La mani`re dont les atomes sont empil´s (l’empilement atomique) qui va d´terminer le nombre de
e e e
ressorts par unit´ de surface et l’angle sous lequel ils sont ´tir´s.
e e e
Les liaisons atomiques
Les propri´t´s des mat´riaux sont fortement corr´l´es au type de liaison entre atomes car il
ee e ee
d´termine l’´nergie de coh´sion de la mati`re, la force n´cessaire pour ´carter les atomes les uns
e e e e e e
des autres jusqu’` rupture, le coefficient de dilatation, la conductibilit´ ´lectrique ou thermique, la
a e e
stabilit´ des phases, la r´activit´, . . .. Le chimiste distingue deux types de liaisons : les liaisons fortes
e e e
(ionique, covalente et m´tallique) toutes assez r´sistantes qui se d´sagr`gent entre 1000 et 5000 °K et
e e e e
les liaisons faibles ou secondaires (Van der Waals et hydrog`ne) relativement faibles qui fondent
e
entre 100 et 500 °K.
La temp´rature de fusion du corps est un bon indicateur de la r´sistance de ses liaisons
e e
Liaisons Ionique ou Covalente M´tallique
e Van der Waals
Energie 10 5 0,1
Tab. 1.6 – Energie de liaison typique en eV/atome
La coh´sion des m´taux et des c´ramiques est enti`rement due ` des liaisons fortes, covalentes et
e e e e a
ioniques pour les c´ramiques, m´talliques et covalentes pour les m´taux. Ces liaisons fortes et rigides
e e e
se caract´risent par des modules m´caniques ´lev´s.
e e e e
Bien que beaucoup plus faibles, les liaisons secondaires n’en sont pas moins importantes. Elles sont
responsables de liens entre les mol´cules de polym`res, leur permettant d’exister ` l’´tat solide. Sans
e e a e
elles, l’eau bouillirait ` -80°C et la vie sur terre n’existerait pas.
a
Il faut cependant garder ` l’esprit que de nombreux atomes sont retenus les uns aux autres par
a
des liaisons mixtes qui combinent plusieurs sortes de liaisons ´l´mentaires. Ainsi le carbone graphite
ee
11. ´
1.2. LES MATERIAUX 5
Fig. 1.2 – L’´nergie de liaison U (potentiel de Lennard-Jones)
e
.
poss`de des liaisons de covalence et des ´lectrons libres lui conf´rant un caract`re m´tallique et les
e e e e e
oxydes r´fractaires poss`dent des liaisons ioniques partiellement covalentes.
e e
B
La longueur d’´quilibre r0 d’une liaison r´sulte de la comp´tition entre un terme r´pulsif UR = rn
e e e e
(avec n compris entre 6 et 12) r´sultant de l’interp´n´tration des distributions de charges ´lectroniques
e e e e
A
et un terme attractif UA = − rm (avec m < n). L’´nergie de liaison U (potentiel de Lennard-Jones)
e
est fonction de la distance r entre atomes :
B A
U = UR + UA = − (1.1)
rn rm
La liaison ionique La liaison ionique est une liaison forte dont le terme attractif est d’origine Cou-
q2
lombienne UA = − 4πε0 r2 . Elle assure la coh´sion des halog´nures d’alcalins comme NaCl et par-
e e
tiellement celle des oxydes (magn´sie, alumine, . . .) et des constituants du ciment (carbonates
e
hydrat´s). Les ´lectrons de chaque ion ´voluent dans des domaines complexes (les orbitales)
e e e
autour du noyau. En premi`re approximation les ions peuvent ˆtre suppos´s sph´riques et, `
e e e e a
condition de respecter la nullit´ de la charge totale, la tol´rance d’empilement des ions les uns
e e
autour des autres est ´lev´e : la liaison ionique n’est pas directionnelle.
e e
La liaison covalente est une liaison forte tr`s stable dont le terme attractif provient de la mise en
e
commun d’orbitales ´lectroniques. Dans la plupart des atomes, les ´lectrons mis en commun
e e
occupent des r´gions bien d´finies de l’espace et leur recouvrement (orbitales ` fort degr´ de
e e a e
sym´trie) conduit au caract`re directionnel de la liaison covalente qui d´termine ` son tour la
e e e a
mani`re dont s’empilent les atomes dans les cristaux. Pure, on la rencontre dans le diamant,
e
le silicium et le germanium dont les modules sont ´lev´s (celui du diamant est le plus grand
e e
connu). C’est la liaison dominante des c´ramiques au silicium et du verre (pierres, poteries,
e
briques, verres ordinaires et constituants du ciment). Elle contribue aussi ` la coh´sion des
a e
m´taux ` temp´rature de fusion ´lev´e (tungst`ne, molybd`ne, tantale, . . .). C’est ´galement la
e a e e e e e e
liaison des atomes de C des chaˆ ınes carbon´es de polym`res. Ces derniers comportant ´galement
e e e
des liaisons faibles, leurs modules sont g´n´ralement petits.
e e
La liaison m´tallique est une liaison forte d´localis´e. C’est la liaison principale (mais pas unique)
e e e
des m´taux et de leurs alliages. Dans un m´tal les ´lectrons d’´nergie ´lev´e ont tendance `
e e e e e e a
quitter leurs atomes d’origine (qui se transforment en ions) pour former un gaz d’´lectrons plus
e
ou moins libres ce qui explique la conductivit´ ´lectrique ´lev´e des m´taux. De ce fait, la liaison
ee e e e
m´tallique n’est pas directionnelle et les ions m´talliques ont tendance ` s’empiler en structures
e e a
simples et denses (comme des billes rang´es dans une boˆ
e ıte).
Les liaisons de type Van der Waals sont des liaisons faibles dont le terme attractif entre atomes
´lectriquement neutres est d’origine dipolaire et varie en r−6 . Si la sym´trie des charges d’un
e e
12. 6 CHAPITRE 1. MATERIAUX
atome existe en moyenne dans le temps (neutralit´ ´lectrique), la distribution instantan´e autour
ee e
du noyau ne l’est pas, cr´ant un moment dipolaire al´atoire. Ce moment induit un moment
e e
similaire sur un atome voisin et les deux dipˆles ainsi form´s s’attirent. Ce sont ces liaisons qui
o e
sont responsables de l’´tat liquide des gaz ` basse temp´rature, lorsque l’agitation thermique est
e a e
trop faible pour les rompre, et la glace n’existe que grˆce aux liaisons hydrog`ne.
a e
C’est par la formation de liaisons fortes et faibles que la mati`re se condense pour passer de l’´tat
e e
gazeux ` l’´tat liquide ou solide. Les liaisons faibles des liquides ordinaires ont fondu ; pour cette raison
a e
ils opposent une forte r´sistance ` la compression mais faible ` la traction ou au cisaillement. Leur
e a a
module de compressibilit´ K est grand devant celui des gaz, mais leur module de cisaillement G et
e
leur module d’Young E sont nuls. De mani`re g´n´rale les modules d´pendent de l’´tat des liaisons
e e e e e
(solides ou fondues) et de la structure de la mati`re.
e
´
Etat Liaisons Modules
Faibles Fortes K G et E
Liquides rompues — grand nuls (E = G = 0)
Cristaux liquides rompues — grand quasi nuls (E G 0)
Caoutchoucs ´tablies
e ´tablies
e grand petits (E G K)
Verres — ´tablies
e grand grands (E G K)
Cristaux — ´tablies
e grand grands (E G K)
Tab. 1.7 – Liaisons chimiques et ´tats de la mati`re
e e
L’empilement des atomes
La fa¸on dont les atomes sont empil´s est ´galement une donn´e importante pour d´terminer les
c e e e e
propri´t´s m´caniques des mat´riaux. De nombreux mat´riaux (presque tous les m´taux et c´ramiques)
ee e e e e e
sont constitu´s d’un assemblage de petits cristaux dans lesquels les atomes sont empil´s en une struc-
e e
ture r´guli`re r´p´t´e dans les trois dimensions. Les cristaux les plus simples peuvent ˆtre mod´lis´s
e e e ee e e e
en assimilant les atomes ` des sph`res dures. Il s’agit l` cependant d’une simplification consid´rable
a e a e
quoique commode. En simplifiant encore plus un corps pur avec une seule taille de sph`res dures e
aux liaisons non directives aura tendance ` s’organiser en une structure compacte o` les sph`res sont
a u e
rang´es sans contrainte autre que g´om´trique. Le Cuivre est un bon exemple de mat´riau r´pondant `
e e e e e a
ces conditions. Les caract´ristiques principales de l’empilement atomique s’expriment au travers de la
e
masse volumique du mat´riau qui est l’expression de la masse et du diam`tre des atomes constituants,
e e
mais aussi de la densit´ de l’empilement dans le cristal. La plupart des m´taux ont de fortes densit´s
e e e
parce que leurs atomes sont lourds et empil´s de fa¸on compacte.
e c
Les verres min´raux sont constitu´s d’oxydes (comme SiO2 ) amorphes dans lesquels l’empilement
e e
n’est pas cristallin. Ainsi, la silice vitreuse, du fait des liaisons covalentes Si − O reste solide bien au
dessus de 1000°C. L’ajout de N a2 O diminue la rigidit´ de la structure et abaisse la temp´rature de
e e
ramollissement (` laquelle on peut travailler le verre sodique usuel des bouteilles et des vitres) aux
a
alentours de 700°C en brisant une partie des liaisons covalentes.
La masse volumique des polym`res et de nombreuses c´ramique est plus faible que celle des m´taux
e e e
parce que les atomes constituants (C, H, O) sont plus l´gers et qu’ils adoptent des structures d’empi-
e
lement non compact (cf. annexe A.2).
1.2.3 Raideur et r´sistance ultime
e
La connaissance du potentiel de Lennard-Jones (1.1) permet de calculer la force interatomique
F = dU et la longueur au repos r0 (F = 0) de la liaison qui correspond au minimum de l’´nergie U de
dr e
la liaison. Lorsque l’on ´tire la liaison la force croˆ progressivement jusqu’` la valeur maximale FM
e ıt a
pour une longueur rM correspondant ` la dissociation de la liaison qui se produit au point d’inflexion
a
dF
de la courbe U (r). La pente S = dr de la courbe F (r) d´finit la raideur de la liaison. Au repos, F = 0
e
d2 U
et r = r0 , elle a pour valeur S0 = dr2 |r0 .
13. ´
1.2. LES MATERIAUX 7
´
Fig. 1.3 – Energie et r´sistance d’une liaison
e
.
Elle augmente depuis cette valeur lorsque la liaison est de plus en plus comprim´e, traduisant la
e
r´sistance de plus en plus grande du mat´riau ` la compression hydrostatique. Au contraire, lorsque la
e e a
liaison est ´tir´e, sa raideur diminue jusqu’` s’annuler au point de dissociation r = rM o` la liaison ne
e e a u
pr´sente plus de r´sistance ` la traction. Pour de faibles variations r − r0 de la longueur de la liaison
e e a
autour de sa valeur d’´quilibre r = r0 , la force de r´sistance F = S0 (r − r0 ) varie donc lin´airement
e e e
avec r − r0 pour tous les mat´riaux. On peut donc calculer la valeur S0 de la raideur de la liaison en
e
fonction de sa nature ` partir de courbes th´oriques U (r). C’est le domaine de la physique du solide
a e
et de la chimie quantique.
S0
Type de liaison S0 (N.m−1 ) E= r0 (Gpa)
Covalentes, liaison C − C 180 1000
Ionique pure (i.e Na-Cl) 9 - 21 30 - 70
M´tallique pure (i.e Cu-Cu)
e 15 - 40 30 - 150
Hydrog`ne (i.e H2 O − H2 O)
e 2 8
Van der Waals (cires, polym`res)
e 1 2
Tab. 1.8 – Raideurs de liaisons : valeur typiques
La coh´sion d’un mat´riau cristallin ´tant assur´e par les liaisons interatomiques, leur raideur
e e e e
permet th´oriquement de calculer les modules ´lastiques du mat´riau ` condition de prendre en compte
e e e a
la structure cristalline qui va d´finir les directions des liaisons par rapport ` l’effort appliqu´ d’o` un
e a e u
comportement g´n´ralement anisotrope.
e e
Pour passer de la raideur microscopique (liaison) ` la raideur macroscopique (module d’Young E )
a
associ´ ` chaque type de liaison, donc ` chaque classe de mat´riau, consid´rons le mod`le simple dans
ea a e e e
A
lequel tous les atomes sont situ´s sur un r´seau cubique (cf. Fig. 1.3). N = r2 ´tant le nombre de liaisons
e e e
0
qui traversent une section droite d’aire A normale ` la force macroscopique appliqu´e f , la r´sistance
a e e
` la traction microscopique de chaque liaison faiblement ´tir´e de r0 ` r ´tant F = S0 (r − r0 ), la
a e e a e
force macroscopique appliqu´e est donc f = N F = A S0 r−r0 . R´´crite en terme de contrainte, densit´
e r
0
r0 ee e
f r−r0
surfacique de force σ = A et de d´formation, variation relative d’allongement ε = r0 , cette relation
e
devient σ = S0 ε. Soit l’expression du module d’Young E = σ caract´risant la raideur macroscopique
r
0
ε e
S0
en fonction de la raideur microscopique E = r0 .
En comparant les ordres de grandeur ainsi calcul´s (Tab. 1.8) avec les valeurs mesur´es (cf. annexe A.4),
e e
14. 8 CHAPITRE 1. MATERIAUX
on constate un bon accord pour les mat´riaux cristallins : c´ramiques et m´taux. On peut ´galement
e e e e
noter la tr`s bonne corr´lation entre les valeurs des modules ´lastiques et les temp´ratures de fusion
e e e e
des mat´riaux (cf. annexe A.1) qui traduisent bien la r´sistance des liaisons. Ainsi le diamant qui
e e
pr´sente le plus fort module d’Young connu est aussi le mat´riau dont la temp´rature de fusion est la
e e e
plus ´lev´e.
e e
Le mod`le pr´c´dent permet ´galement d’estimer la limite th´orique de r´sistance ultime ` la
e e e e e e a
traction σM d’un mat´riau en fonction de son type de liaison. C’est la contrainte associ´e ` la force
e e a
FM qui conduit ` la dissociation de la liaison au maximum de la courbe F (r), donc au point d’inflexion
a
de la courbe U (r) ou encore ` la valeur S = 0 de la raideur. Il lui correspond une d´formation maximale
a e
εM associ´e ` la longueur maximale rM d’extension de la liaison.
e a
m+1 1
σM 1 m + 1 n−m n + 1 n−m
= εM = −1 (1.2)
E n+1 n+1 m+1
E
Pour un cristal ionique, m=1 et n=9, la limite ultime ` la traction est σM
a 15 et la d´formation
e
σM 1 1
εM 20% . En faisant varier m de 1 ` 6 et n de 6 ` 12, le rapport E varie assez peu, entre 10 et 25
a a
et εM varie entre 10 et 30%.
Le cas particulier des polym`res
e
D’apr`s (Tab. 1.8) tous les mat´riaux v´ritablement ` l’´tat solide devraient avoir des modules
e e e a e
´lastiques sup´rieurs ` la valeur minimale calcul´e de 2 GPa. Or, pour la classe des mat´riaux po-
e e a e e
lym`res, les estimations bas´es sur la raideur des liaisons pr´sentent une divergence de plusieurs ordres
e e e
de grandeur par rapport aux valeurs mesur´es. Ceci provient de leur structure particuli`re. Les po-
e e
lym`res sont constitu´s de tr`s longues mol´cules. Bien que les atomes qui en constituent le squelette
e e e e
(g´n´ralement compos´ d’atomes de carbone) soient li´s par des liaisons covalentes rigides, la longueur
e e e e
de ces chaˆınes les rend flexibles et, selon les conditions, ces chaˆ
ınes s’arrangent
– au hasard et non en structures p´riodiques tridimensionnelles (polym`res amorphes)
e e
– se replient les unes sur les autres de mani`re sym´trique et r´guli`re ` la mani`re d’une rame de
e e e e a e
papier informatique (polym`res cristallins)
e
– ou pr´sentent une structure mixte contenant ` la fois des zones amorphes et des zones cristallis´es.
e a e
Fig. 1.4 – Structure des polym`res
e
– ` gauche : amorphe partiellement cristallis´
a e
– ` droite : fortement r´ticul´ par de nombreux ponts covalents interchaˆ
a e e ınes
Leurs propri´t´s m´caniques sont conditionn´e par l’indice de cristallinit´, le degr´ de pontage entre
ee e e e e
les chaˆ
ınes et la densit´ des liaisons faibles interchaˆ
e ınes de type Van der Waals. Les liaisons le long
du squelette des macromol´cules et les pontages occasionnels entre chaˆ
e ınes (liaisons covalentes tr`s
e
15. ´
1.2. LES MATERIAUX 9
raides) ne participent que tr`s peu ` la raideur globale, sauf ` tr`s forte d´formation lorsque toutes les
e a a e e
chaˆınes sont compl`tement ´tir´es. Ce sont les liaisons secondaires faibles (inter-chaˆ
e e e ınes de type Van
der Waals) qui contrˆlent les propri´t´s m´caniques des polym`res.
o ee e e
Or la densit´ des liaisons faibles inter-chaˆ
e ınes ´tant une fonction de la temp´rature, la temp´rature
e e e
de fusion du mat´riau doit ˆtre remplac´e par la temp´rature de transition vitreuse Tg qui caract´rise
e e e e e
la transition entre un ´tat normal basse temp´rature (T < Tg ) dans lequel les liaisons faibles sont
e e
´tablies et un ´tat fondu haute temp´rature (T > Tg ) dans lequel les liaisons secondaires ont fondu.
e e e
La plupart des polym`res tr`s flexibles ont partiellement fondu ` l’ambiante. Au del` de Tg les po-
e e a a
Fig. 1.5 – Influence de Tg sur la structure des ´lastom`res
e e
– ` gauche : amorphe ` T > Tg pontage inter-chaˆ
a a ınes covalents occasionnels
– ` droite : ` T < Tg liaisons Van des Waals secondaires inter-chaˆ
a a ınes ´tablies au niveau des groupes
e
lym`res non pont´s fondent compl`tement et deviennent des liquides visqueux, les polym`res r´ticul´s
e e e e e e
deviennent visco´lastiques (PVC) ou caoutchouteux (Polystyr`ne butadi`ne). Cette fusion des liaisons
e e e
secondaires est la cause de leurs propri´t´s m´caniques particuli`res comme par exemple la formabi-
ee e e
lit´ du poly´thyl`ne ou la grande d´formabilit´ ´lastique du caoutchouc. Sous contrainte les chaˆ
e e e e ee ınes
peuvent alors facilement glisser les unes sur les autres partout o` il n’y a pas de pont, ce qui explique
u
la grande d´formabilit´ et la faible valeur des modules ´lastiques des polym`res ` l’ambiante.
e e e e a
Par contre, en dessous de Tg les polym`res sont de v´ritables solides de module ´lastique ≥ 2 GPa.
e e e
Leur module est ´lev´ par suite de la formation de ponts Van der Waals dont la densit´ avoisine 1.
e e e
La simple exp´rience qui consiste ` refroidir un morceau de caoutchouc ` la temp´rature de l’azote
e a a e
liquide permet de rendre compte de la qualit´ de la pr´diction th´orique. En effet ce dernier devient
e e e
alors rigide (et cassant) et son module passe rapidement d’une valeur 1 MPa ` une valeur normale
a
d’environ 4 GPa.
L’autre param`tre qui caract´rise le comportement m´canique des polym`res est leur degr´ de
e e e e e
r´ticulation qui mesure la densit´ de ponts covalents inter-chaˆ
e e ınes. La rigidit´ des polym`res augmente
e e
corr´lativement ` l’augmentation de leur taux de r´ticulation pour tendre vers la limite du diamant
e a e
que l’on peut consid´rer comme un polym`re dont toutes les liaisons sont pont´es. les polym`res les
e e e e
plus rigides ont aujourd’hui des modules comparables ` celui de l’aluminium. Le module d’Young est
a
donc une fonction croissante de la densit´ de ponts covalents, mˆme pour les caoutchoucs au dessus
e e
de la temp´rature de transition vitreuse, en dessous de Tg leur module ´tant ´lev´ par suite de la
e e e e
formation de ponts Van der Waals dont la densit´ avoisine 1 (cf. Fig. 1.6).
e
La haute ´lasticit´ caoutchoutique
e e
Pour les mat´riaux tels que les ´lastom`res et les tissus biologiques, les conformations des chaˆ
e e e ınes
macromol´culaires peuvent ˆtre consid´rablement modifi´es par les d´formations quasiment sans varia-
e e e e e
tion des distances interatomiques et le comportement du mat´riau r´sulte de la variation de r´sistance
e e e
au changement de conformation des macromol´cules, d´senchevˆtrement, ´tirement, alignement, res-
e e e e
ponsables de la haute ´lasticit´ caoutchoutique, ´lasticit´ d’origine entropique. La d´formation se pro-
e e e e e
duit quasiment ` contrainte constante et les pelotes s’´tirent progressivement, la faible r´sistance
a e e
16. 10 CHAPITRE 1. MATERIAUX
Fig. 1.6 – Influence de la Tg et du taux de r´ticulation
e
Fig. 1.7 – L’´lasticit´ d’origine entropique
e e
a
` cet ´tirement provenant de l’agitation thermique qui tend ` r´emmˆler les chaˆ
e a e e ınes. A tr`s haute
e
d´formation, le module tangent croˆ brutalement car ce sont les liaisons covalentes du squelette car-
e ıt
bon´ de la plupart des chaˆ
e ınes qui sont maintenant ´tir´es et la rupture (fragile) intervient sans
e e
accroissement notable de d´formation.
e
1.2.4 Entre raideur et rupture
Si un mat´riau suivait ` l’´chelle macroscopique les lois microscopiques jusqu’` rupture il stockerait
e a e a
une quantit´ d’´nergie m´canique ´gale ` la somme des ´nergies de toutes ses liaisons chimiques, c’est
e e e e a e
a
` dire du mˆme ordre que celle contenue dans une masse ´quivalente d’explosif. A la rupture cette
e e
´nergie serait brutalement lib´r´e en une v´ritable explosion. Manger s’apparenterait ` allumer dans
e ee e a
sa bouche un bˆton de dynamite.
a
Heureusement, il n’en est rien car les r´sistances RM ultimes mesur´es (cf. annexe A.5 et A.6)
e e
E
sont de plusieurs ordres de grandeur inf´rieures ` la limite th´orique σM
e a e 10 . Au del` d’un seuil
a
17. ´
1.3. LA MECANIQUE DES SOLIDES CONTINUS 11
de contrainte, les mat´riaux cristallins dissipent l’exc´dent d’´nergie m´canique en se d´formant de
e e e e e
mani`re irr´versible supportant des allongements sup´rieurs ` la valeur th´orique εM
e e e a e 10% sans
cons´quence dangereuse (cf. annexe A.7). Mais il faut alors les comprimer fortement pour leur redonner
e
leur forme initiale et au bout de quelques cycles, le processus de d´gradation par fatigue provoque
e
leur rupture. Le comportement particulier des ´lastom`res provient du changement de conformation
e e
Mat´riau
e D´formation (%)
e Contrainte (MPa) ´
Energie stockable(J.kg −1 )
Bronze 0,3 400 70
Bois d’If (arc) 0,9 120 900
Corne 4,0 90 1500
Cheveux humains 30 160 13000
Caoutchouc 300 7 8000
Acier ` ressort
a 0,3 700 130
Tendon 8,0 70 2500
Tab. 1.9 – Capacit´s de stockage d’´nergie
e e
des macromol´cules et non de l’extension des liaisons fortes du squelette et conduit ` une r´ponse
e a e
r´versible jusqu’` rupture mais non lin´aire de sorte que leurs grandes d´formations s’obtiennent `
e a e e a
faible niveau de contrainte limitant leur capacit´ de stockage.
e
1.3 La m´canique des solides continus
e
C’est le domaine de la Science qui ´tudie et mod´lise le comportement de la mati`re en prenant
e e e
en compte, contrairement ` la M´canique Rationnelle, sa d´formabilit´. Comme les d´formations
a e e e e
d´pendent non seulement des forces, mais aussi de la temp´rature, il faut ´galement prendre en compte
e e e
les lois d’´change de chaleur et les principes de la Thermodynamique. Contrairement ` ces principes
e a
bien ´tablis, les lois de d´formation sont loin d’ˆtre simples et connues avec autant de certitude. Si
e e e
th´orie et calculs sont n´cessaires pour mod´liser et pr´dire, la th´orie doit ˆtre pr´c´d´e d’observations
e e e e e e e e e
et les calculs v´rifi´s par l’exp´rience.
e e e
Avec l’av`nement des mat´riaux composites modernes, la Science des Mat´riaux ne peut plus faire
e e e
l’impasse sur la texture de la mati`re pour pr´ciser les lois de comportement. En passant directement
e e
de l’´chelle microscopique, l’angstr¨m des liaisons atomiques, aux dimensions macroscopiques on oublie
e o
que les mat´riaux comportent des textures aux ´chelles m´soscopiques interm´diaires (cf. annexe A.3),
e e e e
textures qui vont influer consid´rablement sur certaines de leurs propri´t´s, tout particuli`rement sur
e ee e
leurs caract´ristiques de r´sistance m´canique.
e e e
Cependant, il faut garder pr´sent ` l’esprit le fait que tous les d´veloppements th´oriques sont bas´s
e a e e e
sur la conception fondamentale d’un milieu continu dont les transformations sont continues. Or nous
savons que la mati`re est discontinue ` l’´chelle mol´culaire, souvent mˆme ` une ´chelle beaucoup
e a e e e a e
plus grande : cristaux d’un m´tal, grains d’une roche, granulats d’un b´ton. Mais la M´canique se
e e e
place ` une ´chelle macroscopique, c’est ` dire ` une ´chelle suffisamment grande pour que la mati`re
a e a a e e
apparaisse comme continue, sauf ´ventuellement le long de certaines surfaces de discontinuit´ comme
e e
les fractures.
1.3.1 Les essais en m´canique
e
Dimensionner des structures pour qu’elles puissent supporter le chargement n´cessite la r´solution
e e
compl`te du probl`me m´canique associ´. Aux ´quations de conservation (masse, impulsion, ´nergie) il
e e e e e e
faut adjoindre les lois de comportement des mat´riaux constitutifs, ´quations d’´tat reliant contrainte
e e e
et d´formation.
e
L’´tablissement de la loi de comportement d’un mat´riau est g´n´ralement ph´nom´nologique,
e e e e e e
bas´e sur l’exp´rimentation macroscopique et l’identification des param`tres dans le cadre de la for-
e e e
mulation thermodynamique. Cependant l’identification exp´rimentale du comportement m´canique
e e
