Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,640
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
113
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Trigonometri 1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian) A α r 0 B Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah sinar garis (OA dan OB) dan satu titik sudut (O). α adalah besar sudut yang dibentuk oleh garis OA dan OB. Sinar garis OA dan OB disebut kaki sudut dan titik O disebut titik sudut. Sudut yang putarannya searah dengan jarum jam bertanda negatif, sedangkan yang berlawanan dengan arah putaran jarum jam bertanda positif Ada dua satuan ukuran sudut yang sering digunakan, yaitu derajat dan radian a). Ukuran dalam derajat Dalam ukuran derajat lingkaran pelengkap dibagi menjadi 360 bagian yang sama. Satu bagian itu disebut satu derajat busur. b. Ukuran radian Dalam sistem ini lingkaran pelengkap dipandang sebagai lingkaran satuan. Sebuah sudut yang berhadapan dengan busur yang panjangnya 1 satuan disebut 1 radian, disingkat 1 rad. Karena keliling lingkaran satuan adalah 2π, berarti lingkaran pelengkap dibagi menjadi 2π rad. Dengan kata lain, satu radian adalah besar sudut pusat yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari c. Hubungan satuan derajat dengan satuan radian Dalam ukuran derajat lingkaran pelengkap dibagi menjadi 360 bagian, sedangkan dalam ukuran radian lingkaran pelangkap dibagi menjadi 2π. Ini berarti 360o = 2π rad atau 180o = π rad Contoh soal 1. Ubahlah 1 rad ke dalam derajat Penyelesaian : 1 rad = 180 0 π = 57,3o 2. Ubahlah 1o ke dalam rad Penyelesaian : 1o = π 180 rad = 0,01745 rad 4. Sudut yang dibentuk jarum jam, saat pukul 11.55, sama dengan berapa radian?. 5. Jika suatu alat pemancar berputar 60 putaran dalam setiap menit, berapa besar 1
  • 2. putaran dalam derajat per detik? Berapa putaran dalam radian per detik? Latihan 1a. 1. Ubahlah ke dalam derajat a. 1 π rad 2 b. 2 π rad 3 c. 3 π rad 4 2. Ubahlah ke dalam rad a. 90o b.60o c. 120o 3. Ubahlah ke dalam derajat dan radian a. 1 putaran 2 b. 2 putaran 3 c. 3 putaran 4 Konsep trigonometri diawali dengan perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku−siku. A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan B a C α titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut c b A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, A dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c. Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut α Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut α Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri terhadap sudut α sebagai berikut: 2
  • 3. panjang sisi siku - siku di depan sudut A a = panjang hipotenusa c 1. sin α = 2. cos α = panjang sisi siku - siku di dekat (berimpit) sudut A b = panjang hipotenusa c 3. tan α = panjang sisi siku - siku di depan sudut A a = panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b 4. csc α = panjang hipotenusa c = panjang sisi siku - siku di depan sudut A a 5. sec α = panjang hipotenusa c = panjang sisi siku - siku di dekat sudut A b 6. cot α = panjang sisi siku - siku di dekat sudut A c = panjang sisi siku - siku di depan sudut A a Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus: tan α = sin α cos α sec α = 1 1 dan csc α = cos α sin α dan cot α = cos α sin α Contoh: Pada gambar di samping segitiga siku−siku ABC dengan panjang a = 24 B dan c = 25. a Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk α. c α A b Gb. 2.3. perbandingan trigonometri C Penyelesaian: Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras b = 25 2 − 24 2 = 625 − 576 = 49 = 7 sin α = a 24 = c 25 cos α = b 7 = c 25 csc α = c 25 = a 24 sec α = c 25 = b 7 3
  • 4. a 24 = b 7 tan α = cot α = c 7 = a 24 B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°,60°, dan 90°. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°,dan 60°. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga sikusiku seperti gambar berikut ini. 2 3 30° 1 1 2 60° 45° 1 Gb. 2.4.a. sudut istimewa Gb. 2.4.b. sudut istimewa Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan sin 45° = cos 45° = tan 45° = 1 1 = 2 2 2 csc 45° = sec 45° = 1 =1 1 2 = 2 1 cot 45° = 1 1 = 2 2 2 2 = 2 1 1 =1 1 Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan sin 30° = cos 30° = tan 30° = 1 2 3 1 = 3 2 2 sin 60° = cos 60° = 1 3 = 1 3 3 1 2 tan 60° = 3 1 = 3 2 2 3 = 3 1 Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. α 0° 30° sin α 0 1 2 cos α 1 1 2 45° 1 2 3 2 1 2 2 60° 1 2 3 1 2 90° 1 0 4
  • 5. tan α 0 1 3 3 tak terdefinisi 1 3 contoh: 1 1 1+ 2 + 2= 2 2 2 1. sin 30° + cos 45° = 2. sin 45° tan 60° + cos 45° cot 60° = 1 1 1 2⋅ 3+ 2⋅ 3 2 2 3 = 1 1 4 2 6+ 6= 6= 6 2 6 6 3 C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran Y P(x,y) r O α1 x y X Gb. 2.5 P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ∠XOP dapat bernilai 0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa OP = x2 + y 2 = r dan r > 0 Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut: P(x,y) Y Y ordinat P P(x,y) y 1. sin α = panjang OP = r y r r absis P x 2. cos α = panjangy = r α2 OP α1 x x O O X ordinat P y X = 3. tan α = absis P x Y Y Dengan memutar garis OP maka ∠ XOP = α dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran α4 x x α3 O O X III atau kuadran IV, seperti X pada gambar di bawah ini. y r y r P(x,y) P(x,y) Gb. 2.6. titik di berbagai kuadran 5
  • 6. Tabel tanda nilai perbandingan trigonometri di tiap kuadran: Perbandingan Kuadran Trigonometri I + + + sin cos tan II + - III + IV + - D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut α adalah sudut (90° ± α), (180° ± α), (360° ± α), dan -α°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut α° dengan (90° - α) dan pelurus (suplemen) untuk sudut α° dengan (180° - α). Contoh: penyiku sudut 50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°. 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (90° - α) Y y=x P1(x1,y1) O α Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) P(x,y) y1 r1 akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh: r y (90-α) x1 x Gb. 2.7. sudut yang berelasi Dari gambar 2.7 diketahui 6 X
  • 7. a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 90° - α b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh: a. y x sin ( 90° − α ) = 1 = = cos α r1 r b. x y cos ( 90° − α ) = 1 = = sin α r1 r c. y x tan ( 90° − α ) = 1 = = cot α x1 y Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) dapat dituliskan sebagai berikut: a. sin ( 90° − α) = cos α b. cos ( 90° − α) = sin α c. tan ( 90° − α) = cot α 2. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α) Y Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° - α P1(x1,y1) P(x,y) r1 y1 r (180°-α) y α x1 O x X b. x1 = −x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan: a. y y sin (180° − α ) = 1 = = sin α r1 r b. Gb. 2.8. sudut yang berelasi x −x cos (180° − α ) = 1 = = − cos α r1 r 7
  • 8. c. y y tan (180° − α ) = 1 = = − tan α x1 − x Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin (180° − α) = sin α b. cos (180° − α) = − cos α c. tan (180° − α) = −tan α 3. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α) Y P(x,y) Dari gambar 2.9 titik P 1(x1,y1) adalah bayangan dari titik r (180°+α) P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = −x, x1 sehingga y1 x O X r1 a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = 180° + α b. x1 = −x, y1 = −y dan r1 = r y α P1(x1,y1) Gb. 2.9. sudut yang berelasi maka diperoleh hubungan: a. y −y sin (180° + α ) = 1 = = − sin α r1 r b. x −x cos (180° + α ) = 1 = = − cos α r1 r c. y −y y tan (180° + α ) = 1 = = = tan α x1 − x x Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin (180° + α) = − sin α b. cos (180° + α) = − cos α Y c. tan (180° + α) = tan α P(x,y) r 4. Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (- α) (360°-α1) α O -α y x x1 r1 y1 P1(x1,y1) Gb. 2.10. sudut yang berelasi X 8
  • 9. Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga a. ∠XOP = α dan ∠XOP1 = - α b. x1 = x, y1 = −y dan r1 = r maka diperoleh hubungan a. y −y sin ( − α ) = 1 = = − sin α r1 r b. x x cos ( − α ) = 1 = = cos α r1 r c. y −y tan ( − α ) = 1 = = − tan α x1 x Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin ( − α) = − sin α b. cos ( − α) = cos α c. tan ( − α) = −tan α Untuk relasi α dengan (- α) tersebut identik dengan relasi α dengan 360° − α, misalnya sin (360° − α) = − sin α. E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Y P(x,y) • Y r y O x P(r, α) • X Gb. 2.11. koordinat kartesius O α x y X Gb. 2.12. koordinat kutub 9
  • 10. Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, α) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, α) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan: cos α = x → x = r cos α r sin α = y → y = r sin α r jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, α) dapat dicari dengan hubungan: r = x2 +y 2 tan α = y y → α = arc tan , arc tan adalah invers dari tan x x Contoh: 1. Ubahlah menjadi koordinat kutub a. B(5,5) 2. b. C( − ,4 3 ) 4 Ubahlah P (12,60°) menjadi koordinat kartesius Penyelesaian: 1. a. B (5,5) b. x = 5, y = 5 (kuadran I) x = −4, y = r = 52 + 5 2 r = = 25 + 25 = 5 2 tan α = jadi B 2. 2,45° ) P (12,60°) x = r cos α 4 3 ( − 4 )2 + (4 3 (kuadran II) )2 = 16 + 48 = 64 = 8 5 = 1 → α = 45° 5 (5 C( − ,4 3 ) 4 tan α = 4 3 = − 3 → α = 120° −4 jadi C (8, 120°) diubah ke koordinat kartesius y = r sin α = 12 cos 60° = 12 sin 60° = 12(1/2) = 12  1  3 2  10
  • 11. x=6 y =6 3 Jadi koordinat kartesiusnya P (6,6 3 ) F. Identitas Trigonometri Y P(x, y) • r O α y x X Gb. 2.13. rumus identitas Dari gambar di samping diperoleh cos α = sin2 α + cos 2 α = y2 r2 + x y , sin α = r r dan r = x2 +y 2 . Sehingga x2 r2 = Jadi x2 + y 2 r2 r2 = r2 =1 sin2α +cos2α = 1 G. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos (α + β) dan cos (α − β) C Pada gambar diketahui garis di samping α CD dan AF G keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus β A F α Gb. 2.14 D E B cos (α + β). cos ( α + β) = AD AC → AD = AC cos ( α + β) 11
  • 12. Pada segitiga siku−siku CGF sin α = GF → GF = CF sin α CF …………..(1) Pada segitiga siku−siku AFC, sin β = CF → CF = AC sin β AC …………..(2) cos β = AF → AF = AC cos β AC …………..(3) Pada segitiga siku−siku AEF, cos α = AE → AE = AF cos α AF …………..(4) Dari (1) dan (2) diperoleh GF = AC sin α sin β Karena DE = GF maka DE = AC sin α sin β Dari (3) dan (4) diperoleh AE = AC cos α cos β AD = AE − DE Sehingga AC cos (α + β) = AC cos α cos β − AC sin α sin β Jadi cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β Untuk menentukan cos (α − β) gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke rumus cos (α + β). cos (α − β) = cos (α + (−β)) = cos α cos (−β) − sin α sin (−β) = cos α cos β − sin α (−sin β) 12
  • 13. = cos α cos β + sin α sin β Jadi 2. cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β Rumus sin (α + β) dan sin (α − β) Untuk menentukan rumus sin (α + β) dan sin (α − β) perlu diingat rumus sebelumnya, sin (90° − α) = cos α dan yaitu: cos (90° − α) = sin α sin (α + β) = cos (90° − (α + β)) = cos ((90° − α) − β) = cos (90° − α) cos β + sin (90° − α) sin β = sin α cos β + cos α sin β Jadi sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β Untuk menentukan sin (α − β), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke sin (α + β). sin (α − β) = sin (α + (− β)) = sin α cos (−β) + cos α sin (−β) = sin α cos β + cos α (−sin β) = sin α cos β − cos α sin β Jadi 3. sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β Rumus tan (α + β) dan tan (α − β) Dengan mengingat tan α = tan (α + β) = sin α , maka cos α sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β = cos (α + β) cos α cos β − sin α sin β 13
  • 14. sin α cos β + cos α sin β sin α sin β + cos α cos β cos α cos β tan ( α + β) = = cos α cos β − sin α sin β sin α sin β 1− ⋅ cos α cos β cos α cos β = tan α + tan β 1 − tan α tan β tan α + tan β tan (α + β) = 1 − tan α tan β Jadi Untuk menentukan tan (α − β), gantilah β dengan −β lalu disubstitusikan ke tan (α + β). tan (α − β) = tan (α + (− β)) = = tan α − tan (β) 1 − tan α ( −tan β) = Jadi tan α + tan (-β) 1 − tan α tan (-β) tan α − tan β 1 + tan α tan β tan (α − β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β H. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Dari rumus−rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sinα cosα Jadi 2. sin 2α = 2 sinα cosα cos 2α = cos (α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos2α − sin2α Jadi cos 2α = cos2α − sin2α 14
  • 15. Rumus−rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2α dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2α + sin2α = 1. cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = cos2α − sin2α = cos2α − (1 − cos2α) = (1 − sin2α) − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α Sehingga 1) cos 2α = cos2α − sin2α 2) cos 2α = 2cos2α − 1 3) cos 2α = 1 − 2 sin2α 3. tan 2α = tan ( α + α) = Jadi I. tan 2α = tan α + tan α 2 tan α = 1 − tan α tan α 1 − tan 2 α 2 tan α 1 − tan 2 α Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β + cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β Jadi cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β − cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β Jadi cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β 2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 15
  • 16. sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β + sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β Jadi sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β − sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β Jadi sin (α + β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β J. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri Contoh soal aplikasi dalam keteknikan: 1. Dua buah tegangan pada arus bolak-balik mempunyai harga: V1 = 200 sin 120° dan V2 = 200 sin 210° Berapa Vtotal dari V1 dan V2 ? Penyelesaian: Vtotal = V1 + V2 = 200 sin 120° + 200 sin 210° = 200. 1 2 = 100 3  1 3 + 200.  −   2 –100 2. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan α = 37° (sudut antara tangga dengan lantai). Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin α dan w cos α. w sin α α Tentukan besar sudut β dan γ! γ β w w cos α Gb. 15.a Penyelesaian: C γ β A α Gb. 15.b D 16 B
  • 17. Gambar 15.a dapat direpresentasikan dalam segitiga seperti pada gambar 15.b. Dengan mengingat kembali sifat-sifat dari 2 segitiga yang sebangun (segitiga ADC dan segitiga CDB) akan diperoleh sudut β = sudut α = 37°. Sehingga γ = 90° – β = 90° – 37° = 53° K. Soal Latihan 1. Carilah nilai dari a. sin 120° c. tan 150° e. cot 330° b. cos 300° d. sec 210° f. csc 120° 2. Nilai dari sin 45° cos 135° + tan 210° sec 60° = ….. 3. Jika cos α = 4 dan 0°< α < 90° maka nilai tan α adalah …… 5 4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah….. 5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120°) adalah ……. B 6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping 7. Jika nilai tan α = 1 maka nilai dari x 12 C 30° A Gb. 2.15 cos2α - sin2α = ……….. 8. Himpunan penyelesaian dari sin x = 1 3 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….. 2 17
  • 18. 9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30° untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …….. 10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)! 11. Jika α dan β sudut-sudut lancip dengan sin α = 3 5 dan sin β = , hitunglah sin (α + 5 13 β) 12. Sederhanakan bentuk cos 100° cos 10° + sin100° sin 10° 13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = …… 14. Buktikan 1 + tan2α = sec 2α 15. Sederhanakan a. (1 – cos α) (1 + cos α) b. tan2α - sec2α 16. Hitunglah kuat arus dengan persamaan I = 20 sin ωt , jika diketahui ω = π rad/detik 6 dan t = 2 detik. 17. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan α = 30°. Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin α dan w cos α. F1= w sin α γ β α Tentukan besar gaya F1 dan F2 jika diketahui massa balok F = w= 14 kg dan gaya (m) cos α w 1 grafitasi (g) = 10 m/s2 18
  • 19. Bab III Penutup A. Rangkuman 1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa. α 0° 30° sin α 0 1 2 cos α 1 1 2 3 tan α 0 1 3 3 cot α tak terdefinisi 45° 1 2 2 1 2 60° 2 3 1 2 3 1 2 1 1 3 1 0 3 1 90° 3 tak terdefinisi 0 2. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran Perbandingan Kuadran Trigonometri I II III sin + + cos + tan + + csc + + sec + cot + + 3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi a. IV + + - perbandingan trigonometri sudut α dengan (90° - α) 1) sin ( 90° − α) = cos α 4) csc ( 90° − α) = sec α 2) cos ( 90° − α) = sin α 5) sec ( 90° − α) = csc α 3) tan ( 90° − α) = cot α 6) cot ( 90° − α) = tan α 19
  • 20. b. Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° - α) 1) sin (180° − α) = sin α 2) cos (180° − α) = − cos α 5) sec (180° − α) = −sec α 3) tan (180° − α) = −tan α c. 4) csc (180° − α) = csc α 6) cot (180° − α) = −cot α Perbandingan trigonometri untuk sudut α° dengan (180° + α) 1) sin (180° + α) = − sin α 2) cos (180° + α) = − cos α 5) sec (180° + α) = −sec α 3) tan (180° + α) = tan α d. 4) csc (180° + α) = −csc α 6) cot (180° + α) = cot α Perbandingan trigonometri untuk sudut α dengan (- α) 1) sin ( − α) = − sin α 4) cosec ( − α) = −cosec α 2) cos ( − α) = cos α 5) sec ( − α) = sec α 3) tan ( − α) = −tan α 6) cot ( − α) = −cot α 4. Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x = sin α maka x = α + k. 360° atau x = (180° − α) + k. 360° , k ∈ B b. Jika cos x = cos α maka x = α + k. 360° atau x = − α + k. 360°, k ∈ B c. Jika tan x = tan α maka x = α + k. 180° k ∈ B 5. Rumus-rumus trigonometri a. Jumlah dan selisih dua sudut 1) cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β 2) cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β 3) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 20
  • 21. 4) sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β tan α + tan β 5) tan (α + β) = 1 − tan α tan β tan α − tan β 6) tan (α − β) = 1 + tan α tan β b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 3) tan 2α = 1) sin 2α = 2 sin α cos α 2 tan α 1 − tan 2 α 2) cos 2α = cos2α − sin2 α cos 2α = 2cos2α − 1 cos 2α = 1 − 2 sin2 α c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos (α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β 2) cos (α + β) − cos (α − β) = −2 sin α sin β 3) sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β 4) sin (α + β) − sin (α − β) = 2 cos α sin β B. Saran Pemahaman terhadap rumus−rumus dasar trigonometri harus betul−betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumus−rumus yang sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri. Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan. Daftar Pustaka Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika. 21
  • 22. Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc. Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher. Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika. Kunci Jawaban 1 3 2 1. a. b. 1 2 e. − 3 d. − 2 3 3 14. 1+ tan 2 α = = cos 2 α cos 2 α + sin 2 α cos 2 α sin 2 α + cos 2 α cos 2 α 22
  • 23. c. − 1 3 3 2. 2 3 3 3 4 = 1 cos 2 α 2 1 3 – 3 2 3. f. 4. (10 2,135°)  9 9  3  2 2  = sec 2 α 15. a. 1 – cos2 α = sin2 α b. dari no 14.a. maka 5.  − , (sec2x – 1) – sec2x = – 1 6. BC = 24 16. I = 10 7. x 2 −1 x 2 +1 8. {60°, 120°} 3 17. F1 = 70 ampere 3 Newton F2 = 70 Newton 9. {15°, 75°, 195°, 255°} 10. cos 2x cos 3y – sin 2x sin 3y 11. 56 65 12. 0 13. 45° dan 225° 23