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VIBRACIONES Y ONDAS
VIBRACIONES Y ONDAS
 1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
 2.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 3.- DINÁMICA DEL M.A.S.
 4.- ENERGÍA ...
Ver
Onda gravitacional
 Vibraciones y ondas
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
 El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque
se puede expresar mediante fun...
Características fundamentales del M.A.S. son:
 El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente un
segmento...
Magnitudes del M.A.S.
 La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el
objeto del punto de equilibrio. Su unidad ...
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
 Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nos
proporcione la posición del objeto en fu...
 Si la fase inicial es cero, la
elongación “y” pasa por los
siguientes valores a lo largo de
una vibración (T representa ...
 El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar la
ecuación de la velocidad respecto del tiempo.
Si derivamos...
DINÁMICA DEL M.A.S.
 Conocida la aceleración de que está animado todo movimiento
armónico, la segunda ecuación de la Diná...
 El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturaleza
elástica, no depende de la amplitud de las oscilacione...
 Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el
peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la
fuerza recuperadora Fr del muel...
ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO
 Una partícula que está animada de M.A.S. (oscilador mecánico) tiene
dos tipos de energí...
 Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas, tienen, por tanto,
una función energía potencial que depende exclusivam...
Comparando ambas expresiones, resulta que la energía potencial elástica
asociada a una partícula situada en la posición de...
 S.1
Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose
como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de
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 S.2
Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un
resorte de constante elástica k = 72 N m-1. Al desplazar el
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 S.3
Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m/s
por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de...
 S.4
Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte,
efectúa oscilaciones armónicas de 0,1  s de período y su
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 S.5
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y
explique el significado físico de cada una de las variable...
 S.6
Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico
simple a lo largo del eje X, de frecuencia 20 Hz. En el
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MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Al tirar una piedra en un estanque,
observamos círculos concéntricos que se
propagan por la super...
- TIPOS DE ONDAS
 La ondas existentes en la naturaleza se pueden clasificar
atendiendo a varios criterios:
1.- Según la n...
2.- Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de
vibración.
Una onda mecánica lleva asociados do...
3.- Según el número de dimensiones en las que se propaga la energía,
son:
 Ondas unidimensionales, cuando la energía
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DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Pulso. Se trata de una onda de poca
duración. Cada partícula está en reposo
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 Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de cumplir dos
requisitos debe tener elasticidad e inercia. La elast...
 Velocidad de vibración (vvibración) es la rapidez con la que se
desplaza una partícula del medio en torno a su posición ...
 Longitud de onda () es la distancia entre dos puntos sucesivos
consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vib...
ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS
 El movimiento ondulatorio supone la transmisión de una
perturbación de un punto a otro s...
 Si en lugar de un pulso consideramos un tren de ondas armónico
propagándose por la cuerda, la ecuación que describe la p...
y (x,t) = A · sen  (t - t’)
 Ecuación de D’Alembert
Como t’ = x/v y  = 2/T

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 En ocasiones, para ajustarse a las condiciones iniciales, la ecuación
anterior debe incluir una constante , que recibe ...
- Consideraciones físicas sobre la ecuación de propagación
 xktωsenAt)y(x, 
 Si fijamos el tiempo t, la ecuación p...
 Es periódica en el tiempo con
un período T. Para cualquier
posición dada x, la función “y”
toma el mismo valor en los
ti...
Velocidad y aceleración de la onda armónica.
 Conocida la ecuación de la onda, se calcula la velocidad de
vibración de un...
 S.7
a) Explique qué es una onda armónica y escriba su
ecuación.
b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué
signi...
 S.8
La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda
tensa es:
y(x,t) = 0,05 sen 2π (25 t – 2 x) (S.I.)
a) Explique...
 S.9
La ecuación de una onda armónica que se propaga por una
cuerda es:
y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.)
a) Deter...
 S.10
Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una
onda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y de
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ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO
 Un movimiento ondulatorio supone la propagación de una
perturbación de un pun...
 El resultado muestra que la energía que se transfiere de una
partícula a otra es función del cuadrado de la frecuencia d...
PRINCIPIO DE HUYGENS
 Para explicar los fenómenos ondulatorios
Huygens, en 1678, ideó un método
geométrico que permite co...
PROPIEDADES DE LAS ONDAS
 El fenómeno de la reflexión es propio de
cualquier tipo de ondas y se produce
cuando al encontr...
 La primera ley se justifica simplemente por simetría: la onda
incidente y la normal a la superficie determinan un plano ...
-Refracción
 Un hecho curioso que habrás
observado alguna vez es que al
introducir, por ejemplo, una pajita recta
en agua...
 Ley de Snell sen
sen
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v
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v1 representa la velocidad de propagación en el medio incidente y v2
la velocidad de ...
 De la figura se deduce:
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sen t;
AC
BC
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 Si v1 y v2 son las respectivas velocidades
de propagación en cada ...
- Difracción
 La difracción es el fenómeno que se
produce cuando en la propagación de una
onda ésta encuentra un obstácul...
- Polarización
 Una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles
planos perpendiculares a la dirección de ...
 S.11
Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio
caracterizado por la función de onda:
Razone a qué distancia se...
 S.12
Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda
de gran longitud con un período de 0,5  s y una amplitud
...
INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
 Al encuentro en un punto del
espacio de dos o más
movimientos ondulatorios qu...
 Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o más
ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia c...
 Vamos a resolver un caso sencillo de interferencia de ondas:
1º.- Supondremos que las ondas que interfieren son idéntica...
 El principio de superposición permite afirmar que la perturbación
resultante en un punto P es:
y = y1 + y2
y = A  sen (...
 La amplitud resultante,
A 2 A k
d d
2r
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  





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alcanza su valor máximo en los puntos del plano para lo...
 Del mismo modo, la amplitud resultante será nula y la interferencia
destructiva, en aquellos puntos del plano que verifi...
ONDAS ESTACIONARIAS
 Estudiaremos ahora el caso de que las ondas no se
propaguen por un medio abierto, por ejemplo, si en...
 La interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y
longitud de onda que se propagan en la misma dirección ...
 Analicemos la expresión de la amplitud resultante:
Ar = 2 A sen kx
- La amplitud Ar es máxima cuando: sen kx = 1
por lo ...
De ello se deriva una conclusión muy importante:
 Si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos que
permanecen e...
 Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias es el
que ocurre en una cuerda fija por sus dos extremos en la ...
 Recordando la relación que existe entre la longitud de onda y la
frecuencia,
L2
v
n
v
f




Denominamos frecuencia ...
 S.13
a) Explique las diferencias entre ondas transversales y
ondas longitudinales y ponga algún ejemplo.
b) ¿Qué es una ...
 S.14
La ecuación de una onda en una cuerda es:
y(x,t)= 0,4 sen(12π x)· cos(40π t) (S.I.)
a) Explique las características...
 S.15
En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus
extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:
a) Explique d...
 S.16
Por una cuerda tensa se propaga la onda:
a) Indique las características de la onda y calcule la
distancia entre el ...
 S.17
La ecuación de una onda es:
y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.)
a) Con la ayuda de un dibujo, explique ...
 S.18
a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4 m de
longitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuencia
f...
 S.19
En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una
onda de ecuación:
a) Indique el tipo de onda de que se t...
 S.20
a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una
onda.
b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y ve...
 S.21
a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas
estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si
una onda ...
Podemos enunciar el principio de Huygens como
sigue:
 Todo punto de un frente de onda es centro
emisor de nuevas ondas el...
ECUACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS
 Hemos visto que una onda
estacionaria es el resultado de la
interferencia de dos ond...
Otras formas de la ecuación de las ondas estacionarias
 Aunque en la presentación hemos usado la ecuación
y = 2 · A sen (...
Vibraciones y ondas
Vibraciones y ondas
Vibraciones y ondas
Vibraciones y ondas
Vibraciones y ondas
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  1. 1. VIBRACIONES Y ONDAS
  2. 2. VIBRACIONES Y ONDAS  1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.  2.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.  3.- DINÁMICA DEL M.A.S.  4.- ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO.  5.- MOVIMIENTO ONDULATORIO. TIPOS DE ONDAS.  6.- DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.  7.- ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS.  8.- ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO.  9.- PRINCIPIO DE HUYGENS.  10.- PROPIEDADES DE LAS ONDAS.  11.- INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.  12.- ONDAS ESTACIONARIAS..
  3. 3. Ver
  4. 4. Onda gravitacional
  5. 5.  Vibraciones y ondas
  6. 6. EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE  El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque se puede expresar mediante funciones armónicas (que repiten una secuencia de valores entre dos extremos), como el seno y el coseno, de una sola variable.  Si dejamos oscilar libremente un objeto colgado de un muelle, éste describe un movimiento armónico simple. muelle horizontal  Si O es la posición de equilibrio, cuando se suelta el objeto desde la posición -A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración (acelera); rebasado el punto O, va disminuyendo su velocidad (frena) hasta llegar al punto A, en que se detendrá. Después volverá a moverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian los rozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo -A simétrico de A, respecto de O.
  7. 7. Características fundamentales del M.A.S. son:  El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente un segmento de recta.  Es un movimiento periódico. Son movimientos cuyas magnitudes características se repiten regularmente.  La aceleración del mismo no es constante. La aceleración depende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que vibra: acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se desplaza desde el centro hacia los extremos.  Si la aceleración no es constante, en virtud de la segunda ley de Newton, tampoco lo será la fuerza que actúa sobre el objeto. El péndulo Muelle
  8. 8. Magnitudes del M.A.S.  La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el objeto del punto de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el metro. -A A O y  La amplitud (A) es la elongación máxima, es decir, la máxima separación del móvil de la posición de equilibrio.  El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación completa. Si el objeto parte de A, es el tiempo que tarda en volver a A. Su unidad en el S.I. es el segundo.  La frecuencia (f) es el número de oscilaciones que repite el móvil en la unidad de tiempo. Es, por tanto, la inversa del período. Su unidad en el S.I. es el segundo-1 y recibe el nombre de Herz (Hz).
  9. 9. CINEMÁTICA DEL M.A.S.  Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nos proporcione la posición del objeto en función del tiempo y = y (t).  La ecuación de la posición que se obtiene es del tipo: y = A · sen ( t + 0) donde:  “y” es la elongación.  “A” representa la amplitud del movimiento.  ( t + 0) es lo que se conoce como fase del movimiento. Su valor determina el estado de la vibración. Su unidad en el S.I. son radianes.   recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular. Representa el incremento del ángulo de fase en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I es radianes/segundo.  = 2  = 2 ·  · f T  0 es la fase inicial. Su valor determina el estado de vibración para t = 0. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, resulta 0 = 0.
  10. 10.  Si la fase inicial es cero, la elongación “y” pasa por los siguientes valores a lo largo de una vibración (T representa el período).  A partir de la ecuación de movimiento, podemos obtener la ecuación de la velocidad derivando la ecuación y=A·sen(t + 0) con respecto al tiempo. v dy dt A t      cos( )0  Si la fase inicial es cero, la gráfica de la velocidad en función del tiempo tiene la forma: y = A · sen ( t + 0) velocidad del oscilador
  11. 11.  El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar la ecuación de la velocidad respecto del tiempo. Si derivamos v = A ·  · cos ( t + 0) a dv dt A t       2 0sen( ) como la elongación y = A · sen ( t + 0), la aceleración puede ponerse expresarse como: a y  2  Si la fase inicial es cero, la gráfica de la aceleración en función del tiempo tiene la forma: - De 0 a T/2 la velocidad va disminuyendo y la aceleración es negativa. - De T/2 a T la velocidad va aumentando y la aceleración será positiva. A -A a T/4 T/2 T3T/4 tiempo
  12. 12. DINÁMICA DEL M.A.S.  Conocida la aceleración de que está animado todo movimiento armónico, la segunda ecuación de la Dinámica, F = m · a, permite encontrar qué tipo de fuerza es la causante del movimiento.  Si la partícula que vibra tiene una masa “m”, como: a y  2 yωmF 2   Debido a que m ·2 es constante, la fuerza se puede poner en la forma: yKF   expresión se conoce con en nombre de ley de Hooke e indica que, la fuerza es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario. A estas fuerzas se le denomina fuerzas recuperadoras o elásticas  La constante K se conoce con el nombre de constante recuperadora. Sus unidades en el S.I. son Newton/metro (N/m)
  13. 13.  El período de las oscilaciones, cuando la fuerza es de naturaleza elástica, no depende de la amplitud de las oscilaciones sino de la masa del cuerpo y de la constante recuperadora.  El período de las oscilaciones, puede calcularse a partir de la expresión: K m m T     2 2 2 4 despejando el período: T m K  2 
  14. 14.  Las fuerzas que actúan sobre el resorte son el peso del cuerpo (fuerza deformadora) y la fuerza recuperadora Fr del muelle que equilibra a la anterior. Si el muelle está en reposo y cumple la ley de Hooke, tenemos: - Cálculo de K por el método estático.  Al colgar un cuerpo de masa “m” de un muelle o resorte, de masa despreciable y longitud “l0”, se estira hasta una longitud “l”. El alargamiento que experimenta el muelle es: l = l - l0. P - Fr = 0 ; Fr = K (l - l0) de donde resulta P = m · g = K ( l -l0) y despejando K K m g l l0    Esta constante K mide el grado de elesticidad del muelle o resorte.
  15. 15. ENERGÍA DE UN OSCILADOR MECÁNICO  Una partícula que está animada de M.A.S. (oscilador mecánico) tiene dos tipos de energía: una asociada al movimiento (energía cinética) y otra asociada al dispositivo que vibra (potencial elástica).  La energía cinética de la partícula que vibra es: E 1 2 m vC 2   Como: v A t     cos( )0 Resulta E 1 2 m A tC 2       2 2 0cos ( ) y cos ( ) sen ( )2 0 2 0 1   t t     E 1 2 m A tC 2        2 2 01 sen ( )        1 2 m A A t2 2   2 2 0sen ( ) puesto que y A t  sen( ) 0  E 1 2 m A yC 2 2    2 m·2 es la constante K  E K A yC 2 2    1 2  Es decir, la energía cinética depende de la posición. Tiene su valor máximo en el centro de la trayectoria (y =0) y es cero en los extremos. y A-A ½ Ka 2E
  16. 16.  Las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas, tienen, por tanto, una función energía potencial que depende exclusivamente de la posición. el trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula de la posición de elongación y1 a la de elongación y2. Tomando un desplazamiento infinitesimal “dy” en el que la fuerza es constante (de módulo K·y) y sumando para todo el camino: W F dy K y dy1 2 y y y y 1 2 1 2           Integrando la expresión anterior entre las posiciones 1 y 2: 2 1 2 2 y y 2 21 yK 2 1 yK 2 1 2 yK W 2 1         Por otro lado: W E (E E ) E E1 2 P P2 P1 P2 P1         pΔEW   El trabajo realizado por la fuerza elástica para trasladar la partícula entre dos posiciones no depende del camino seguido y es igual a menos el incremento de la energía potencial asociada a esas posiciones.
  17. 17. Comparando ambas expresiones, resulta que la energía potencial elástica asociada a una partícula situada en la posición de elongación y es: E 1 2 K yp   2 La energía potencial tiene su valor máximo en los extremos de la trayectoria y es cero en el centro.  La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial: 222 PCm yK 2 1 )y(AK 2 1 EEE  de dónde se obtiene que: E 1 2 K Am 2   En un movimiento armónico la energía mecánica permanece constante mientras no haya rozamiento. Al vibrar la masa en uno y otro sentido, la energía se transforma de potencial a cinética y de cinética a potencial.  Energía mecánica y A-A ½ Ka 2E
  18. 18.  S.1 Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 π2x. a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm. b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.
  19. 19.  S.2 Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elástica k = 72 N m-1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s -1. a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso. b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.
  20. 20.  S.3 Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m/s por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N/m, fijo por el otro extremo. a) Analiza las variaciones de energía que tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con el resorte y calcula la máxima compresión del resorte. b) Discute en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento.
  21. 21.  S.4 Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1  s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i)se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.
  22. 22.  S.5 a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado físico de cada una de las variables que aparecen en ella. b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula?
  23. 23.  S.6 Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, de frecuencia 20 Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la energía potencial es 0,6 J. a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima. b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía potencial durante una oscilación.
  24. 24. MOVIMIENTO ONDULATORIO  Al tirar una piedra en un estanque, observamos círculos concéntricos que se propagan por la superficie del estanque. Si agitamos una cuerda por extremos, observamos que la agitación se transmite a lo largo de la cuerda.  De igual forma al conectar la radio captamos una señal que ha sido enviada desde cierta distancia; a su vez, el altavoz emite un sonido, que percibimos a distancia del lugar donde se produce.  En todos estos ejemplos se aprecia una característica común: cierta situación física (una perturbación), producida en un punto se propaga, alcanzando otros puntos  Denominamos onda o, en general, movimiento ondulatorio, al fenómeno de transmisión de una perturbación de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte neto de materia entre ambos.
  25. 25. - TIPOS DE ONDAS  La ondas existentes en la naturaleza se pueden clasificar atendiendo a varios criterios: 1.- Según la naturaleza del medio en que se propagan. - Ondas materiales o mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Las ondas se originan al perturbar un medio elástico (cuerda, agua o aire) y se transmiten gracias a la elasticidad del medio. Sin él no habría propagación. Como ejemplo de ondas mecánicas podemos citar: las ondas sonoras, las ondas en cuerdas, las ondas en el agua. - Ondas electromagnéticas: No necesitan de un medio material para propagarse, sino que lo hacen en el vacío. Por ejemplo: la luz.
  26. 26. 2.- Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración. Una onda mecánica lleva asociados dos movimientos: a.- El movimiento de propagación de la onda a través del medio. b.- El movimiento vibratorio, de las partículas del medio. - Ondas longitudinales: cuando la dirección de vibración de las partículas coincide con la dirección de propagación. Este tipo de ondas se propaga en cualquier medio material. El sonido o las vibraciones producidas al comprimir y dilatar un muelle. Cuando este tipo de ondas se propaga en el seno de un fluido (gas o líquido) se denominan ondas de presión. O.longitudinales y O. de presión - Ondas transversales: cuando la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección en que vibran las partículas. Estas ondas sólo se propagan en los medios sólidos o en la superficie de los líquidos, pero no en el interior de estos. Cuando agitamos una cuerda verticalmente se produce una onda transversal.  ondas en una cuerda
  27. 27. 3.- Según el número de dimensiones en las que se propaga la energía, son:  Ondas unidimensionales, cuando la energía se propaga a lo largo de una línea. Por ejemplo, al onda que se propaga en una cuerda.  Ondas bidimensionales, cuando la energía se propaga en un plano. Por ejemplo, las ondas que se propagan en la superficie del agua.  Ondas tridimensionales, cuando se propagan por todo el espacio. Por ejemplo, el sonido en el aire.
  28. 28. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO  Pulso. Se trata de una onda de poca duración. Cada partícula está en reposo hasta que le llega el pulso. En ese instante se mueve durante cierto tiempo y después vuelve al reposo. Cualquier punto que se encuentre en reposo antes de que pase el pulso volverá al reposo después de que haya pasado.  Pulso  Si en lugar de dar un golpe al extremo lo movemos continuamente hacia arriba y hacia abajo, estamos produciendo una sucesión de pulsos que viajarán a lo largo de la cuerda. En este caso todas las partículas de la cuerda se están moviendo y decimos que se ha generado un tren de ondas. v Tren de ondas  De ahora en adelante siempre que hablemos de ondas nos estamos refiriendo a trenes de ondas
  29. 29.  Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de cumplir dos requisitos debe tener elasticidad e inercia. La elasticidad del medio da lugar a la aparición de fuerzas restauradoras cuando una porción del mismo es apartada de su posición de equilibrio. La inercia del medio es que en última instancia explica el tipo de movimiento debido a la perturbación. Ambas propiedades del medio son las que determinan finalmente la velocidad a la que se propaga una onda. - Magnitudes características de una onda  Velocidad de propagación (v) es la rapidez con la que se desplaza la perturbación por un medio. Esta magnitud depende de las características del medio y es independiente de las del foco emisor. Para un medio determinado y un tipo de perturbación es una cantidad constante. Por ejemplo es sonido se propaga en el aire a una velocidad de 340 m/s y en el agua a 1400 m/s. inercialpropiedad elásticapropiedad v  Está comprobado que, en general, la velocidad de propagación de una onda en un medio puede expresarse como:  Aunque estas propiedades son diferentes para cada medio, no es lo mismo que la onda se propague el agua, que una cuerda o en el aire.
  30. 30.  Velocidad de vibración (vvibración) es la rapidez con la que se desplaza una partícula del medio en torno a su posición de equilibrio. Esta magnitud se modifica de un instante a otro.  Período (T) es el tiempo que tarda cada punto en estar en el mismo estado de vibración, es decir, en dar una oscilación completa. También es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. Su unidad en el S.I. es el segundo  Frecuencia (f o ) es el número de vibraciones que realiza una partícula en la unidad de tiempo. También es el número de pulsos producidos en la unidad de tiempo. La unidad en el S.I. es el herzio (Hz = s-1) T 1 f   Pulsación o frecuencia angular () :  = 2  · f = 2 / T Su unidad en el S.I. son radianes/s, aunque su sentido físico no es el de una velocidad angular.
  31. 31.  Longitud de onda () es la distancia entre dos puntos sucesivos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración. La longitud de onda será la distancia que avanza la onda en un período. Por tanto:  = v · T Donde v es la velocidad de propagación por un determinado medio y T es el período. Su unidad en el S.I. es el metro.  Número de onda (k) es el número de longitudes de onda contenidas en 2. (A veces se define como el número de longitudes de onda contenidos en la unidad de longitud). Su unidad es el m-1  Amplitud (A) se define como la distancia máxima que separa un punto de la posición de equilibrio. Representa el valor máximo que alcanza la perturbación en un punto; por tanto sus unidades son aquellas en que se mide la perturbación (longitud, presión, etc.). k  2   Terminología de la Física de ondas
  32. 32. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS  El movimiento ondulatorio supone la transmisión de una perturbación de un punto a otro sin transporte neto de materia. Nuestro objetivo es obtener la expresión matemática que permita conocer el estado de vibración de cada punto a medida que transcurre el tiempo  Supongamos que por una cuerda se propaga una onda armónica con cierta velocidad “v”. Esto supone admitir que cada punto de la cuerda describe un M.A.S.  Supondremos asimismo que un pulso como el representado en la figura se desplaza hacia la derecha a lo largo del eje X, con velocidad “v”.  Transcurrido un tiempo t’, si en el medio no se produce amortiguamiento y la velocidad de propagación es constante, el pulso se habrá desplazado una distancia t'vx  encontrándose en la posición de la figura y la partícula situada en esa posición empezará a moverse con un retraso t’ = x/v  Pulso
  33. 33.  Si en lugar de un pulso consideramos un tren de ondas armónico propagándose por la cuerda, la ecuación que describe la posición de la partícula x = 0 viene dada por: y (x =0,t) = A · sen ·t  Si admitimos que, a medida que transcurre el tiempo, ese tren de ondas se propaga con velocidad “v” hacia la derecha sin deformarse, la ecuación que describe el movimiento de una partícula situada en cualquier punto x será de la forma: y (x,t) = A · sen  (t - t’) donde t es el tiempo transcurrido desde que se produce el tren de ondas y t’ representa el retraso con el que se produce el fenómeno en el punto x, es decir el tiempo que tarda en llegar el tren de ondas al punto x. x X Y
  34. 34. y (x,t) = A · sen  (t - t’)  Ecuación de D’Alembert Como t’ = x/v y  = 2/T        v x t T 2π senAt)y(x,         Tv x T t 2senAt)y(x, puesto que la longitud de onda  = v · T         x T t 2senAt)y(x, y si utilizamos el número de ondas k  2   xktωsenAt)y(x,   A esta ecuación se le conoce como ecuación de D’Alembert o ecuación de propagación de las ondas armónicas unidimensionales  Aunque en las deducción hemos considerado una onda que se desplaza por una cuerda, la ecuación obtenida es válida en muchas otras ocasiones. x X Y
  35. 35.  En ocasiones, para ajustarse a las condiciones iniciales, la ecuación anterior debe incluir una constante , que recibe el nombre de fase inicial, quedando la ecuación de D’Alembert - Consideraciónes sobre la ecuación de D’Alembert   xktωsenAt)y(x,  Cuando la diferencia de fase entre dos puntos es 2 radianes, su estado de vibración es el mismo y decimos que están en fase. Y si la diferencia de fase es  radianes, los estados de vibración están en oposición de fase.  Al ángulo ( t - k x) se le denomina fase de la onda.  Si partiendo del origen la onda avanza a lo largo de la parte negativa del eje X, puesto que la velocidad va en sentido negativo, la ecuación que describe la perturbación es:  xktωsenAt)y(x,   De igual forma puede utilizarse en lugar de la función seno, la función coseno y la ecuación tendrá la forma:  xktωcosAt)y(x,   Incluso a veces, la ecuación aparece escrita como  txksenAt)y(x, 
  36. 36. - Consideraciones físicas sobre la ecuación de propagación  xktωsenAt)y(x,   Si fijamos el tiempo t, la ecuación proporciona la posición en un instante dado de todos los puntos de la cuerda. Describe la forma de la onda en ese instante; es como una fotografía de la onda.  La ecuación de propagación es una función de dos variables La ecuación de ondas es doblemente periódica, con un período espacial, caracterizado por la longitud de onda  y un período temporal, caracterizado por el período T.  Es periódica en el espacio, la perturbación se repite en todos los puntos cuyas distancias al origen son múltiplos de la longitud de onda. Es decir, en un instante dado t, la onda tiene el mismo valor en las posiciones x, x + , x + 2, etc. Por tanto, en un instante determinado están en fase las partículas separadas por una distancia igual a un número entero de longitudes de onda.
  37. 37.  Es periódica en el tiempo con un período T. Para cualquier posición dada x, la función “y” toma el mismo valor en los tiempo t, t + T, t, + 2T, etc.  Es decir, que para un punto determinado están en fase los instantes separados en el tiempo por un número entero de períodos  Si, por el contrario, se mantiene fija la posición x, es decir, si consideramos un punto fijo de la cuerda, la ecuación nos indica cómo varía la posición de ese punto con el tiempo. Nos describe el movimiento vibratorio de la partícula situada en la posición x.
  38. 38. Velocidad y aceleración de la onda armónica.  Conocida la ecuación de la onda, se calcula la velocidad de vibración de un punto derivando la posición respecto del tiempo:  xktωsenAt)y(x,    x)ktωcos(A dt xktωsend(A dt dy v     Conocida la velocidad, se calcula la aceleración derivando la posición respecto del tiempo:  xktωoscAt)v(x,    x)ktω(senA dt xktωoscAd( dt dv a 2    )t,x(ya 2 
  39. 39.  S.7 a) Explique qué es una onda armónica y escriba su ecuación. b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué significado tiene esa afirmación? Haga esquemas para representar ambas periodicidades y coméntelos.
  40. 40.  S.8 La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y(x,t) = 0,05 sen 2π (25 t – 2 x) (S.I.) a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido se propaga e indique cuáles son su amplitud, frecuencia y longitud de onda. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad del punto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1 s y explique el significado de cada una de ellas.
  41. 41.  S.9 La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es: y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.) a) Determine el sentido de propagación de la onda, su amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un punto de la cuerda y calcule su velocidad máxima.
  42. 42.  S.10 Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una onda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y de frecuencia f = 2 Hz con una velocidad de propagación v = 1,2 m s - 1. a) Escriba la ecuación de la onda. b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de la cuerda situado en x = 1 m y calcule su velocidad máxima.
  43. 43. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO  Un movimiento ondulatorio supone la propagación de una perturbación de un punto del espacio a otro, sin que exista transporte neto de materia. Vamos a evaluar la energía que se transfiere en el movimiento ondulatorio.  Si consideramos ondas armónicas, cada partícula del medio describe un M.A.S. y comunica a sus vecinas dicho movimiento. La energía total de una de esas partículas será la suma de la energía cinética y potencial: E 1 2 m v 1 2 K ypart vibración 2 2     donde K representa la constante elástica del medio (no confundir con el nº de ondas k).  Cuando la partícula alcanza la máxima elongación (A), su velocidad es cero y, como ya vimos, toda la energía de la partícula es: E 1 2 K Apart 2  
  44. 44.  El resultado muestra que la energía que se transfiere de una partícula a otra es función del cuadrado de la frecuencia de la onda (f 2) y del cuadrado de la amplitud (A2).  Teniendo en cuenta que K = m · 2 y que   2 f E 1 2 m A f Apart 2         2 2 2 2 2 m  Si el medio es homogéneo, la energía se irradia por igual en todas las direcciones, repartiéndose en superficies concéntricas de centro el foco emisor y cuyo radio aumenta en el transcurso del tiempo. La energía se distribuye a lo largo del frente de ondas.  Al avanzar la onda, la cantidad de partículas puestas en vibración aumenta, por lo que la energía se reparte para más partículas y les toca a menos cantidad, por lo que la amplitud disminuye y la onda se atenúa.  Si hubiera pérdidas de energía por rozamiento, viscosidad, etc, supone que parte de la energía va siendo absorbida por el medio y, por tanto, la onda se debilita, acaba por amortiguarse y desaparece. A este debilitamiento se le conoce con el nombre de absorción.
  45. 45. PRINCIPIO DE HUYGENS  Para explicar los fenómenos ondulatorios Huygens, en 1678, ideó un método geométrico que permite conocer como se pasa de un frente de onda al siguiente y por tanto cómo se propaga la energía a través del medio.  Entendemos por frente de onda los puntos a los que ha llegado la perturbación. Huygens (1629-1695)  Si tenemos un frente de ondas en un instante t, cada punto del frente de ondas se convierte en un foco secundario de emisión que emite ondas de características idénticas a la original. Al cabo de un tiempo t’, estas ondas elementales alcanzarán los puntos a’, b’ c’, simultáneamente. Uniendo estos puntos, tenemos el nuevo frente de ondas. Observaciones
  46. 46. PROPIEDADES DE LAS ONDAS  El fenómeno de la reflexión es propio de cualquier tipo de ondas y se produce cuando al encontrarse la onda con una superficie que separa dos medios (aire- cristal plateado, aire-pared), “rebota” hacia atrás, propagándose por el mismo medio de donde provenía y cambiando de dirección y sentido. Vamos a realizar un breve análisis cualitativo de los siguientes fenómenos: - Reflexión 2) El ángulo que forma la dirección de propagación de la onda incidente con la normal, ángulo de incidencia (i), es igual al ángulo que forma la dirección de propagación de la onda reflejada con la normal, ángulo de reflexión (r) La reflexión cumple las leyes experimentales siguientes 1) La dirección de propagación de la onda incidente y de la onda reflejada están en un mismo plano, que es perpendicular a la superficie de separación y contiene a la normal.
  47. 47.  La primera ley se justifica simplemente por simetría: la onda incidente y la normal a la superficie determinan un plano y no hay ninguna razón que aparte de dicho plano a las ondas reflejadas y refractadas  La segunda ley se justifica con ayuda del principio de Huygens: supón que tenemos un frente de onda AB y que llega con cierta inclinación “i” a la superficie de separación de dos medios. Cuando el punto A del frente de onda alcanza la superficie de separación, el punto B dista un segmento BC de la misma. Consideraremos un frente de ondas plano que se dirige hacia la superficie de separación de ambos medios. De ese modo, cuando el punto B llegue a la superficie de separación, las ondas emitidas por A, X, Y, Z habrán originado un nuevo frente de ondas, envolvente de las ondas secundarias, el A’C que constituye la onda reflejada. En ese instante, el punto alcanzado por A se convierte en un foco emisor de ondas secundarias. A medida que transcurre el tiempo, ocurre lo mismo con los puntos X, Y, Z.  Si la onda incidente forma un ángulo “i” con la superficie y la onda reflejada un ángulo “r”, resulta: sen i = BC/AC sen r = AA’/AC  La onda no cambia de medio, el módulo de la velocidad no se modifica, y por tanto BC = AA´, puesto que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. Por tanto: ángulo de incidencia (i) = ángulo de reflexión (r)
  48. 48. -Refracción  Un hecho curioso que habrás observado alguna vez es que al introducir, por ejemplo, una pajita recta en agua esta parece torcida. Este fenómeno es debido a la refracción de la luz al pasar del agua al aire y, al igual que con la reflexión, ocurre con todos los tipos de ondas.  La refracción se produce cuando la onda atraviesa la superficie que separa dos medios y se propaga por el segundo medio, modificando su velocidad de propagación y dirección.  La refracción cumple dos leyes similares a las de la reflexión: 1) La dirección de propagación de la onda incidente y de la onda refractada están en un mismo plano, que es perpendicular a la superficie de separación y contiene a la normal. 2) La relación que existe entre el seno del ángulo de incidencia (i) y el seno del ángulo que forma la onda refractada con la normal, ángulo de refracción (t), es la misma que la que existe entre las velocidades de propagación de la onda en los dos medios.
  49. 49.  Ley de Snell sen sen i t  v v 1 2 v1 representa la velocidad de propagación en el medio incidente y v2 la velocidad de propagación por el medio en que se refracta.  De esta relación se deduce que cuando la onda accede a un medio por el que se propaga más despacio, el ángulo de refracción es menor que el de incidencia (la dirección de propagación se acerca a la normal). En caso contrario, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia (la dirección de propagación se aleja de la normal)  La ley de Snell puede justificarse con el principio de Huygens, teniendo en cuenta que la velocidad de la onda al penetrar en el segundo medio varía por tener éste características diferentes al primero.  Supongamos que un frente de ondas plano incide sobre la superficie que separa los dos medios. Sean v1 y v2 las velocidades de propagación de la onda en los medios 1 y 2 respectivamente.  Cuando el punto A es alcanzado por el frente de ondas se comportará como foco emisor de ondas secundarias, en ese caso hacia el segundo medio, y lo mismo ocurrirá con los puntos X, Y, Z, a medida que son alcanzados por la onda.  Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C, se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas, A’C,
  50. 50.  De la figura se deduce: AC AA' sen t; AC BC isen   Si v1 y v2 son las respectivas velocidades de propagación en cada uno de los medios, tendremos: BC = v1 · t AA’ = v2 · t siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’, idéntico al que emplea en pasar de B a C. AC t vsen t; AC t visen 21  y dividiendo miembro a miembro: sen sen i t  v v 1 2 que es la ley de Snell.
  51. 51. - Difracción  La difracción es el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda ésta encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda.  La difracción es característica del movimiento ondulatorio. Si existe difracción, el fenómeno tiene naturaleza ondulatoria  Si en el camino de las ondas colocamos un obstáculo cuyo tamaño sea del orden del de la longitud de onda se observa que los puntos del frente de ondas que no están tapados por el obstáculo se convierten en centros emisores de nuevos frentes de ondas, logrando la onda bordear el obstáculo y propagarse detrás del mismo.  El sonido es capaz de bordear obstáculos pequeños que encuentre en su camino, ya que su longitud de onda está comprendida entre unos cm y varios m. Hecho que nos permite escuchar a las personas situadas al otro lado de una esquina aunque no las veamos. Sin embargo, no puede salvar obstáculos como un edificio o una montaña.  Si en vez de un obstáculo interponemos en el camino de la onda incidente un orificio del tamaño de la longitud de onda, el orificio se convierte en centro emisor. La onda incidente difiere tanto más de la difractada cuánto más próximo sea el tamaño del orificio al de la longitud de onda. Difracción
  52. 52. - Polarización  Una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles planos perpendiculares a la dirección de propagación, pero si forzamos, por medio de algún dispositivo, a que las vibraciones se produzcan en un único plano, decimos que hemos polarizado la onda.  El plano determinado por las direcciones de propagación y de vibración de la onda se denomina plano de polarización.  Al generar una onda en una cuerda, las partículas pueden vibrar en cualquier dirección. Si en el camino de la cuerda ponemos una ventana estrecha, las ondas que son paralelas a la ranura pueden pasar al otro lado porque están orientadas debidamente, pero las que vibran en cualquier otra dirección no atravesarán la ventana.  La polarización es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondas transversales y cobra especial importancia en el caso de la luz, ya que sirvió para demostrar su carácter de onda transversal. Polarizador
  53. 53.  S.11 Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio caracterizado por la función de onda: Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa cuerda si: a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes. b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un cuarto de periodo.        T t λ x 2πsenAy
  54. 54.  S.12 Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un período de 0,5  s y una amplitud de 0,2 cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0,1 m s – 1. a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido. b) Explique qué características de la onda cambian si: i)se aumenta el período de la vibración en el extremo de la cuerda; ii)se varía la tensión de la cuerda.
  55. 55. INTERFERENCIAS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN  Al encuentro en un punto del espacio de dos o más movimientos ondulatorios que se propagan por en mismo medio se le llama interferencia.  El hecho de que dos pulsos se crucen sin alterar su naturaleza es una propiedad fundamental de las ondas y caracteriza al movimiento ondulatorio  Este comportamiento constituye la base experimental que permite enunciar lo que se conoce como el principio de superposición. “Cuando se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio es igual a la suma de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado” Tras la coincidencia, cada onda vuelve a conservar su forma original como si no hubiera pasado nada. El principio de superposición permite estudiar analíticamente qué ocurre cuando por un medio se propaga más de una onda: basta sumar los efectos de cada una de las ondas individuales.
  56. 56.  Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o más ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva, y la perturbación resultante es mayor que las originales.  Si la perturbación resultante es menor que las originales, la interferencia es destructiva.  El estudio de la interferencia de dos ondas cualesquiera es demasiado complejo para ser tratado aquí. Resolveremos únicamente algunas situaciones simples.
  57. 57.  Vamos a resolver un caso sencillo de interferencia de ondas: 1º.- Supondremos que las ondas que interfieren son idénticas, es decir, tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud. 2º.- Además, tendrán la misma fase o una diferencia de fase constante. A este tipo de fuentes se les llama coherentes. 3º.- Consideramos que la propagación se produce en un plano, como las ondas que se propagan por la superficie del agua, generadas por dos agitadores idénticos.  Considera que disponemos de dos focos emisores de ondas armónicas, F1 y F2 y que estamos interesados en determinar la perturbación resultante en un punto P cualquiera.  De ese modo, las perturbaciones que producen en P cada uno de los focos, suponiendo que están en fase, son: y1 = A · sen ( t - k d1) ; y2 = A · sen ( t - k d2) donde d1 y d2 son las respectivas distancias de los focos al punto P. Aunque A, k y  son idénticas para cada onda, no lo son las perturbaciones y1 e y2 en el instante t, ya que la distancia del punto P a cada uno de los focos no tiene por qué ser la misma.
  58. 58.  El principio de superposición permite afirmar que la perturbación resultante en un punto P es: y = y1 + y2 y = A  sen ( t - k d1) + sen ( t - k d2)  y = A · sen ( t - k d1) + A · sen ( t - k d2) Sabiendo que: sen sen sen cosa b a b a b       2 2 2                      2 kdωtkdωt cos 2 kdωtkdωt sen2Ay 2121                2 dd kcos 2 dd kωtsenA2y 1221 Si denominamos amplitud resultante (Ar) a A 2 A k d d 2r 2 1         cos         2 dd ktωsenAy 21 r  Por tanto, la perturbación resultante es una onda armónica de la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales, cuyo origen podría encontrarse a una distancia (d1+d2)/2 del punto P, pero cuya amplitud es diferente para cada punto del plano, según la situación de éste respecto a los focos emisores.
  59. 59.  La amplitud resultante, A 2 A k d d 2r 2 1         cos alcanza su valor máximo en los puntos del plano para los que: k d d 2 n2 1   con n = 0, 1, 2 ... Recordando que k = 2/, resulta d2 - d1 = n ·   Por tanto, en aquellos puntos del plano tales que la diferencia entre las distancias a los focos es un múltiplo entero de la longitud de onda, la amplitud resultante es máxima (vientres).  En ellos se producirá una interferencia totalmente constructiva.
  60. 60.  Del mismo modo, la amplitud resultante será nula y la interferencia destructiva, en aquellos puntos del plano que verifiquen la expresión:  k d d 2 2 1   2 1 2 n  con n = 0, 1, 2 ... Siguiendo el razonamiento anterior, ahora resulta:   2 )12( 2 12 dd 12     n n  La interferencia es destructiva para todos los puntos cuya diferencia de distancias a los focos es un número impar de semilongitudes de onda.  A estos puntos del plano, en los que la amplitud de la onda resultante es nula, se les denomina nodos. Cubeta de ondas
  61. 61. ONDAS ESTACIONARIAS  Estudiaremos ahora el caso de que las ondas no se propaguen por un medio abierto, por ejemplo, si en una cuerda con un extremo fijo y el otro libre generamos una onda en el extremo libre, ésta se propaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendo por la cuerda hasta el extremo libre.  La onda incidente y la reflejada (si no existe amortiguamiento) tienen las mismas características, pero viajan en sentidos contrarios. ¿Cómo interfieren esas dos ondas?  El resultado de esta interferencia es que unos puntos están siempre en reposo y otros presentan movimiento vibratorio armónico de distintas amplitudes. Esta onda se denomina onda estacionaria porque el perfil de la onda no se desplaza debido a que existen unos puntos para los cuales la amplitud es siempre cero.  Ondas estacionarias
  62. 62.  La interferencia de dos ondas de idéntica amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario se le llama onda estacionaria. La ecuación de la onda estacionaria es de la forma: y = 2 · A sen (kx) · cos (t) ecuación que depende del tiempo y de la posición separadamente: - A es la amplitud de las ondas que por superposición originan la onda estacionaria. -  es la frecuencia angular de las ondas originales - k el nº de ondas de las ondas que originan la onda estacionaria - x es la distancia de cualquier punto al extremo fijo.  Si denominamos amplitud resultante (Ar) a : Ar = 2 A sen kx la ecuación de la onda estacionaria es. y = Ar cos t  Esta onda estacionaria resultante, tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales y la amplitud depende de la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo. opciones
  63. 63.  Analicemos la expresión de la amplitud resultante: Ar = 2 A sen kx - La amplitud Ar es máxima cuando: sen kx = 1 por lo que: 2 π 1)(2nnπ 2 π kx  con n = 0, 1, 2 ... Como k = 2/ , resulta:   4 λ 12nx   Es decir, todos los puntos que distan un número impar de cuartos de longitudes de onda vibran con la amplitud máxima. Estos puntos se denominan vientres. - La amplitud resultante será nula en los puntos que verifiquen: kx = n  con n = 0, 1, 2 ... 2 λ nx   A estos puntos se les denomina nodos, y al tener amplitud nula, permanecen constantemente en reposo.
  64. 64. De ello se deriva una conclusión muy importante:  Si a lo largo de la cuerda existen una serie de puntos que permanecen en reposo (nodos), resulta imposible transmitir energía más allá de ellos, por lo que la energía no se puede propagar por el medio. La onda estacionaria no es una onda viajera; de ahí el nombre de estacionaria.  Como se observa en la figura, todos los puntos, salvo los nodos, se mueven con M.A.S. de la misma frecuencia y amplitud variable, de acuerdo con su posición. Todos vibran a la vez y alcanzan simultáneamente los posiciones de equilibrio.  Observa que la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos es /2  La distancia entre un nodo y un vientre /4 Applet Ondas estacionarias
  65. 65.  Un caso especialmente interesante de ondas estacionarias es el que ocurre en una cuerda fija por sus dos extremos en la que provocamos una perturbación.  Si la cuerda es de longitud L, al estar fijos ambos extremos, los puntos x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias. Por tanto, en la longutid L debe haber un número entero de semilongitudes de onda, esto es: 2 λ nL  Las posibles longitudes de onda han de cumplir: n L 2  La figura muestra los tres primeros modos de vibración de una cuerda. La longitud de onda del primer modo (n =1) es 2 L. Para el siguiente modo de vibración (n = 2) es símplemente L y así sucesivamente.
  66. 66.  Recordando la relación que existe entre la longitud de onda y la frecuencia, L2 v n v f     Denominamos frecuencia fundamental de vibración al valor f v 2 L   con n = 1  Observa que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de vibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental y que la frecuencia no varía de forma continua, sino que lo hace adquiriendo valores que se diferencian en v/(2L).  Podemos afirmar que estas ondas están “cuantizadas”, siendo ello consecuencia de las condiciones de contorno (longitud de la cuerda L y sus extremos fijos).  Esta situación se da con frecuencia en física, ocurre, por ejemplo, con las ondas estacionarias asociadas al movimiento del electrón en el átomo y con la interpretación de los niveles energéticos de dicho electrón.  Las ondas sonoras que se generan en los instrumentos de cuerda, así como las formadas en los tubos sonoros son estacionarias.
  67. 67.  S.13 a) Explique las diferencias entre ondas transversales y ondas longitudinales y ponga algún ejemplo. b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus características.
  68. 68.  S.14 La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t)= 0,4 sen(12π x)· cos(40π t) (S.I.) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.
  69. 69.  S.15 En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación: a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y a 6 m, respectivamente, de unos de los extremos y comente los resultados .).()8cos() 4 (02,0),( IStxsentxy   
  70. 70.  S.16 Por una cuerda tensa se propaga la onda: a) Indique las características de la onda y calcule la distancia entre el 2º y el 5 nodo. b)Explique las características de las ondas cuya superposición daría lugar a esa onda, escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad de propagación. .).()50()5,0cos(10·8),( 2 IStsenxtxy  
  71. 71.  S.17 La ecuación de una onda es: y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.) a) Con la ayuda de un dibujo, explique las características de dicha onda. b) Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de las ondas cuya superposición podría generar dicha onda.
  72. 72.  S.18 a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4 m de longitud, sujeta por los dos extremos. Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 352 m s - 1. b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido resulta más agudo.
  73. 73.  S.19 En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación: a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique las características de las ondas que dan lugar a la indicada y escriba sus respectivas ecuaciones. b) Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga? Razone las respuestas. .).()200cos()4(02,0),( IStxsentxy 
  74. 74.  S.20 a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la onda incidente, la reflejada y la refractada?
  75. 75.  S.21 a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía. b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas.
  76. 76. Podemos enunciar el principio de Huygens como sigue:  Todo punto de un frente de onda es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de ondas.  Esta forma de interpretar la propagación de una onda resulta apropiada en el caso de ondas materiales, en las que las vibraciones de las partículas del medio se transmiten de unas a otras, pero carece de significado físico si consideramos las ondas electromagnéticas, que se propagan en el vacío.  Asimismo, si somos rigurosos con la idea de que cada punto del medio alcanzado por una onda se convierte en foco emisor de ondas secundarias, habría que admitir la propagación “hacia atrás”, que realmente no se observa. Una modificación posterior del principio de Huygens, permitió soslayar estos defectos.  Kirchhoff modifica el enunciado original, de modo que el principio puede aplicarse a cualquier tipo de onda y, además, establece que las ondas de retroceso poseen energía nula y , por tanto, no existen. Las dificultades matemáticas añadidas que suponen estas modificaciones harán que aceptemos sin más los resultados obtenidos por Kirchhoff Kirchhoff (1824-1887) Volver
  77. 77. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS  Hemos visto que una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en sentido opuesto.  Si elegimos como referencia el punto en el que se refleja la onda, la ecuación de la onda que viaja hacia la derecha es de la forma: y1 = A sen ( · t + k x)  La onda incidente al reflejarse, en el extremo fijo, sufre un cambio de fase de  radianes y como sen ( + ) = - sen , la onda reflejada que viaja hacia la derecha es: y2 = A sen ( · t - k x + ) = - A sen ( · t - k x) de modo que la perturbación resultante en cada punto de la cuerda, vendrá dada por: y = y1 + y2 = A sen ( · t + k x) - A sen ( · t - k x) y = 2 · A · sen kx · cos t que es la ecuación de las ondas estacionarias  Utilizando la relación sen sen cos sena b a b a b      2 2 2
  78. 78. Otras formas de la ecuación de las ondas estacionarias  Aunque en la presentación hemos usado la ecuación y = 2 · A sen (kx) · cos (t) Es posibles encontrar la ecuación escrita de forma diferente, veamos otras formas posibles: y = 2 · A cos (kx) · sen (t)  Si con estas ecuación aplicamos la condición de vientre, cos (kx)  1, con lo que resulta x n·/2 Y para los nodos cos (kx)  0 y resulta x  (2n+1)·/4 Que como vemos es diferente a las posiciones obtenidas con la ecuación (1). Pero lo importante es que los nodos y los vientres sucesivos están separados igualmente /4 (1) y = 2 · A cos (kx) · cos (t)  Estas ondas representa con respecto a la de la ecuación (1) un desfase de /2, puesto que cos(kx)sen(kx/2) o bien cos(kx/2)  sen (kx) volver
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