Conjunto, Relaciones, Funciones y Notacion Z

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Presentacion Grupo 2 Matematicas Discretas Avanzandas.
Jose Valentin
Xaimara Perez
Antonio Caban

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  • Conjunto, Relaciones, Funciones y Notacion Z

    1. 1. Notación Z<br />Conjuntos, <br />Relaciones y <br />Funciones<br />Recursos:<br />Antonio Cabán<br />XaymaraPérez<br />José Valentín<br />
    2. 2. CONJUNTOS<br />Un cojuntoesunacolección de objetos de cualquiernaturaleza.<br />Los objetos de estacolección son llamadoselementos del conjunto.<br />elementoConjunto<br />
    3. 3. Si x es un elemento del conjunto A, entonces se escribe x ∈ A.<br />Si x no es un elemento del conjunto A, entonces se escribe x ∈ A.<br />Para listarelementos; se escribenpormedio de llaves y son separadospor comas.<br />Todoconjuntoseránombrado con letramayúscula.<br />
    4. 4. Subconjuntos<br /><ul><li>Un conjunto A es un subconjunto de B, denotado A ⊂ B, sitodoelemento de A estambiénelemento de B. Lo queimplicaque</li></ul>x ∈ A y x ∈ B.<br /><ul><li>El conjunto que no posee ningún elemento se conoce como conjunto vacío o nulo representado por el símbolo Ø ó { }. El conjuntovacíoes un subconjunto de todoconjunto.</li></li></ul><li>ConjuntoPotencia<br />El conjuntopotencia de A es el conjuntoformadoportodos los subconjuntos de A, se denota P(A). Por lo tanto<br /> P(A) = { X: X ⊂ A }<br />Ejemplo: Sea A={1,2,3}<br /> El conjuntopotencia de A se define<br /> P(A)={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},Ø}<br />El conjunto de P(A) se denominacomo 2n, donde n representa la cantidad de elementos de A. <br />
    5. 5. Dos conjuntos A y B son igualessitodos los elementos del conjunto A son los mismoselementos del conjunto B.<br />Escribimos A ⊂ B y B ⊂ A. <br />Si A y B son igualesentonces se escribe<br /> A = B. <br />Ejemplo: A={a, e, i, o ,u} y B={i, a, e, o ,u}<br /> A = B.<br />Igualdad de Conjuntos<br />
    6. 6. ConjuntosFinitos e Infinitos<br />Un conjuntofinitoesaquelqueconsta de un númerodeterminado de elementos.<br /><ul><li>Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d}.</li></ul>En un conjuntoinfinitono se puedenenumerarsuselementosdesde el primerohasta el último.<br /><ul><li>Ejemplo: El conjunto de números={1,2,3,…}.</li></li></ul><li>Operaciones de Conjuntos<br />Sean A y B conjuntos:<br />Se define la intersección A y B como<br /> A ∩ B = {x: x ∈ A y x ∈ B}<br />Ejemplo: A = {a,b,c,d,e} y B = {b, c,e}<br />A ∩ B = {b,c,e}<br />
    7. 7. La unión de A y B, se denotacomo<br /> A ∪ B = {x: x ∈ A ó x ∈ B} o en ambos.<br />Ejemplo: A = {1,2,3,4} y B = {1,3,5,6,7}<br />A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7}<br />
    8. 8. La diferencia de A y B se define como<br /> A – B = {x: x ∈ A y x ∈ B}<br />Ejemplo: A – B = { 2, 4 }<br />Si U es el universo y A ⊂ U,definimos el complemento de A como el conjunto<br /> A = U – A<br />A = {x: x ∈ A}<br />
    9. 9. Sean A y B conjuntos:<br />A ∪ B = A ∩ B<br />A ∩ B = A ∪ B<br />Ejemplo:<br />Sea X={2,3,4,5,7,10,19,21,22,40,115}<br />A={2,4,10,22} y B= {5,10,40,115}<br />A ∪ B = {3,7,19,21}<br />A ∩ B = {2,3,4,5,7,19,21,22,115}<br />Leyes de Morgan<br />
    10. 10. RELACIONES<br />Pares Ordenados<br />ProductoCartesiano<br />Introducción a Relaciones<br />
    11. 11. Pares Ordenados<br />Par ordenado- ente constituido por dos objetos o elementos tomados en un orden determinado. Se escriben dentro de paréntesis, separados por una coma.<br />Ej. (a,b); (San Juan, PR)<br />Igualdad de pares ordenados- (a,b)=(c,d) si y solo si a=c y b=d<br />Ej. (5,8)=(5,8) porque 5=5 y 8=8<br />
    12. 12. ProductoCartesiano<br />El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se denota A x B es el conjunto de todos los pares ordenados (x , y) donde x es elemento de A y “y” es elemento de B.<br />A x B = {(x , y)/ x ∈ A y “y” ∈ B}<br />Ej. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}: entonces<br />A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d),…,(3, b), (3, c), (3, d)}<br /> <br />
    13. 13. Introducción a Relaciones<br />Una relación R de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A x B <br /> R ⊂ A x B<br />Ejemplo: El productocartesiano M x N aparece dado a continuación. Hallar M x N<br />1) M x N = {(1,1),(1,2),(1,3), (4,1),(4,2),(4,3)}<br /> M = {(1,4)} N = {(1,2,3)}<br />2)M x N = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)}<br /> M = ? N = ?<br />
    14. 14. Orden de Relaciones<br />Una relación puede tener una, varias o todas estas características o también no tener ninguna de ellas.<br />Relaciones reflexivas-una relación R definida en un conjunto A es reflexiva si y solo si (a, a) ∈ R para toda a ∈ A.<br />Ej. La relación “es subconjunto de” es reflexiva porque todo conjunto es subconjunto en si mismo.<br /> <br />
    15. 15. Orden de Relaciones<br />Relación simétrica- una relación R definida en conjunto A se llama simétrica si y solo si (a, b)∈R entonces (b, a) ∈R.<br />Ej. En el conjunto de los seres humanos varones la relación “ser hermano de” es simétrica porque si a es hermano de b entonces se verifica que b es hermano de a.<br /> <br />
    16. 16. Orden de Relaciones<br />Relaciones transitivas- una relacion R definida en un conjunto A se llama transitiva si y solo si (a, b) ∈R y (b, c) ∈R entonces se verifica que (a, c) ∈R.<br />Ej. En el conjunto de los numerosnaturales la relacion “ser mayor que” estransitivaporquesi a > b y b > c entonces se tiene que a > c.<br /> <br />
    17. 17. Relaciones de Equivalencias<br />Si una relación es reflexiva, simétrica y transitiva decimos que es una relación de equivalencia.<br />Ej. Sea T= triángulos, considera R “es semejante a”. Indica la relación de equivalencia.<br />Reflexiva: todo triángulo es semejante a si mismo.<br />Simétrica: si un triángulo es semejante a otro, este es semejante al primero.<br />Transitiva: si un triángulo es semejante a otro y este semejante al tercero, entonces el primero es semejante al tercero.<br />
    18. 18. Relaciones de Equivalencias<br />Una partición es la separación o división del conjunto en subconjuntos disjuntos o clases de equivalencia.<br />Ej. Sea G el conjunto de figuras geométricas (círculos, triángulos y cuadrados) y R es “tener la misma forma” comprobar que se trata de una relación de equivalencia.<br />
    19. 19. Continuación del Ejemplo<br />
    20. 20. Funciones<br />FunciónInyectiva<br />FunciónBiyectiva<br />FunciónSobreyectiva<br />Función Inversa<br />Permutaciones<br />
    21. 21. FUNCIONES<br /> Es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto.<br />Los elementos del primer conjunto se denotan como el dominio y los elementos del segundo conjunto se denotan como rango.<br />Ej. Si un árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función f:<br />f(edad) = edad × 20<br />Así que si la edad es 10 años, la altura es: <br />f(10) = 200 cm<br />
    22. 22. Ejemplos<br />1. A={1, 2, 3, 4, 5} , P={a, b, c, d, e}, <br />Dom= (1, 2, 3, 4, 5), Rango =(a, b, c, d, e). <br /> f = {(1, a), (2, a), (3, d), (4, c), (5, b ) } es función ?<br />2. A ={1, 2, 3} B = {x, y, z} <br />f = {(1, x), (1, y), (2, z), (3, y)} es función ? <br />
    23. 23. Función Uno a Uno (FunciónInyectiva)<br />Una función es inyectiva si cada f(x) en el rango es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. De todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. <br />Ej.<br />A={1, 2, 3} , P={a, b, c, d, e}. <br />1. f = {(1, a), (2, c), (3, d) } es función uno a uno? <br />2. g = {(1, a), (2, c), (3, c)} es función uno a uno? <br />
    24. 24. FunciónSobreyectiva<br />Una función f (de un conjunto Aa otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple <br /> f(x)= y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.<br />Ej.<br />A = { a , e , i , o , u }<br />B = {1 , 3 , 5 , 7 }<br />f = {( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 )}<br />
    25. 25. FunciónBiyectiva<br />Unafunción f (del conjunto A al B) esbiyectivasi, paracada y en B, hay exactamente un x en A quecumpleque f(x) = y. Unafunciónesbiyectivasies a la vezinyectiva y sobreyectiva.<br />Ej.<br />A = { a , e , i , o , u }<br />B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }<br />f = {( a , 5 ), ( e , 1 ), ( i , 9 ), ( o , 3 ), ( u , 7 )}<br />
    26. 26. Función Inversa<br />Sea f : A ! B una función. Entonces f−1: B ->A es una función si y solo si f es biyectiva.<br />Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observaque f esunafunciónuno a uno. Portanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.<br />Propiedadesde lasfuncionesinversas:<br />Si f-1existe, entonces:<br />1) f-1esunafunciónuno a uno<br />2) dominio de f-1 = recorrido de f<br />3) recorrido de f-1 = dominio de f<br /> <br />
    27. 27. Permutaciones<br />Dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.<br />Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".<br />
    28. 28. Permutación: Se le llama permutación a cualquier arreglo específico de los objetos. Si se selecciona r objetos de un conjunto de n objetos diferentes.<br />Fórmula de Permutaciones:<br />Fórmula factorial para las permutaciones<br /> P ( n , r ) = __ n!___<br /> (n – r)!<br />Las permutaciones sólo se aplican cuando:<br /> 1. No se permiten repeticiones<br /> 2. El orden es importante<br />
    29. 29. Ejemplo<br />1. P ( 6 , 2 ) = <br />2. P ( 5 , 2 ) =<br />3. P ( 8 , 5 ) = <br />4. Determine el número de permutaciones diferentes de dos de las cinco vocales y haga una lista de todas ellas.<br />
    30. 30. Notación Z<br />
    31. 31. ¿Quées la notación Z?<br />La notación Z es un lenguaje formal, el cual se basa en la teoría de conjuntos de Zermelo y lógica matemática de primer orden. <br />En el mismo se representan procesos, algoritmos, funciones y datos, mediante estados, operaciones, símbolos lógicos, conjuntos de valores o condiciones.<br />
    32. 32. Esta notación Z proporciona una construcción denominada esquema el cual se utiliza para describir el espacio de estados y las operaciones. <br />Este agrupa declaraciones de variables con una lista de predicados que restringen los posibles valores de cada variable.<br />
    33. 33. Un ejemplo de un esquema es:<br />___________________________<br />DECLARACIONES ___________<br />PREDICADOS ___________<br />El esquema contiene dos cajones, en la parte superior se escriben las declaraciones en donde expresa el nombre de las variables y sus tipos y en la parte posterior los predicados que son las relaciones entre las variables.<br />
    34. 34. Por ejemplo, el siguiente esquema describe una estructura de datos que es una secuencia de números naturales de longitud menor que 10:<br />__ColaAcotada_________<br />cola : seq N_____________<br />#cola ≤10______________<br />Para representar operaciones también se utilizan esquemas.<br />
    35. 35. Además este lenguaje utiliza la simbología usada en la teoría de conjuntos. Tales como: pertenece, no pertenece, intersección, unión, funciones, lógica de predicados, etc. <br />
    36. 36. Función de la notación Z<br />La notación Z es muy expresiva para describir las entidades de los sistemas y aplicaciones software.<br />También es muy adecuado para modelar las entidades estáticas y su comportamiento.<br />
    37. 37. Se utiliza para describir y modelar sistemas de cálculo. Además se utiliza en la especificación clara de programas de computadora y la formulación de pruebas sobre el funcionamiento previsto del programa.<br />
    38. 38. Además la notación Z es utilizada en una de las piezas mas exitosas de software a nivel mundial. Este software es conocido como CICS que significa CustomerInformation Control System. (Sistema de Control de Información del Cliente).<br />
    39. 39. El mismo es una familia de productos para el procesamiento de transacciones producida por IBM en Reino Unido.<br />Este provee servicios de acceso a datos de: <br />comunicación,<br />integridad y <br />seguridad.<br />
    40. 40. Es por esto que uno puede retirar dinero en un cajero automático en otro país y en segundos esta reflejado en tu banco, sin importar la distancia.<br />
    41. 41. Estructura del Lenguaje<br />La estructura es una que todo matemático reconoce como:<br />Sets ({123,456,789})<br />Basic Type ([ADDRESS,DATE,PERSON]) <br />IntegerType (mod, div, min, max,+, -, *)<br />Predicados <br />Esquemas<br />Set type<br />Set de operaciones<br />Esquemas de cálculo<br />Relaciones Binaria <br />Función<br />
    42. 42. Referencias<br />Sets, Relations, Functions<br />Autor: IvoDüntsch & GüntherGediga<br />Serie I, Vol. I<br />Matemáticapara Maestros <br />Autor: L. Rodríguez<br />Fundamentos de Matemática<br />Autor: Luis F. Caceres<br />RecintoUniversitario de Mayagüez<br />http://www.lcc.uma.es/~av/Docencia/Doctorado/tema2.pdf<br />http://www.cosc.brocku.ca/~duentsch/archive/methprimer1.pdf<br />www.tmarris.com<br />http://web.mit.edu/kolya/sipb/afs/root.afs/sipb.mit.edu/user/golem/papers/898/spivey-intro-to-z.pdf<br />http://www-2.dc.uba.ar/materias/isoft1/Z/usingz.htm<br /> <br />

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