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  • 1. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 1“AÑO DE LA INVERSION PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIALSEDE - VALLE JEQUETEPEQUEGRADIENTE: aritmética ygeométricaCURSO : INGENIERIA ECONOMICADOCENTE : ING. LUIS A. BENITES G.ALUMNOS : CERNA VASQUEZ, ROCIODIAZ ROJAS, JUNIOR PAVELESPINOZA BAZAN, GLORIAMESTANZA CABRERA, JANBERTSORIANO CHUQUIMANGO, UBERVILCHEZ REAÑO, HUGOCICLO : VIiGuadalupe – Perú – 2013
  • 2. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 2DERIVACIÓN DE FÓRMULAS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO -SERIE DE GRADIENTE (GEOMÉTRICO Y ARITMÉTICO) Y SU RELACIÓN CONEL PRESENTECiertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una ciertacantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un ciertoequipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También, esposible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementen un cierto porcentajeconstante por cada período. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone quelos flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se leconoce con el nombre de “Gradiente”.GRADIENTE ARITMÉTICO:Un gradiente aritmético (G) o uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuyede manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en lamisma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.Al desarrollar una formula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes esconveniente suponer que el primer flujo de la serie se encuentra al final del período 1 y noinvolucra un gradiente, sino un pago base.G = Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o en los ingresos odesembolsos para un período de tiempo.El valor de G puede ser positivo o negativo. Si se ignora el pago base, podríamos construir undiagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se muestra en lasiguiente figura.
  • 3. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 3Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético):Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:Restando las ecuaciones obtenidas:Realizando el despeje correspondiente:La expresión entre llaves es el valor presente de una serie uniformes de 1 a n años.Factorizando, se determina la formula para obtener el valor presente equivalente de ungradiente aritmético conocido, como:
  • 4. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 4Como P = F / (1+i)n:Al despejar F, pasando (1+i)nal otro lado de la ecuación, se determina la formula para obtenerel valor futuro equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:Tomando en consideración la equivalencia entre valor futuro y una anualidad, y desarrollandoen las anteriores fórmulas, se obtendrá:Por lo que una anualidad A dado un gradiente G, es:
  • 5. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 5Al momento de determinar el valor presente equivalente o valor anual equivalente de unaserie de flujos con gradiente uniforme (aritmético), recordar que el primer flujo de la serie seencuentra al final del período y no involucra un gradiente, sino un pago base; por lo que:Ejemplo de cálculo serie de Gradiente aritmético y su relación con elpresente y futuroUna persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo auna cantidad constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de quemagnitud debe ser un deposito anual constante durante el mismo tiempo para que el montoacumulado sea el mismo?Solución:La representación de los flujos será la siguiente:
  • 6. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 6Aplicando la fórmula correspondiente se encuentra lo que pide el ejercicio.A = - 8,308.40Por lo tanto para que el monto acumulado sea el mismo, se debería realizar un depósito anualconstante de 8308.40.GRADIENTES GEOMÉTRICOS.Algunas veces los flujos de caja cambian en porcentajes constantes en períodos consecutivosde pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Este tipo de flujo de caja, es llamado seriede flujos de tipo gradiente geométrico o series en escalera. A los porcentajes constantes es a loque se le conoce como gradiente geométrico, esto se muestra en la siguiente figura, donde Arepresenta la cantidad de dinero en el año 1 y j representa al incremento porcentual.
  • 7. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 7(1)Multiplicar ambos lados de la ecuación por :(2)Restándole a la ecuación (1) la (2):Multiplicar por (1+i) ambos lados de la ecuaciónDespejando se determina la formula para obtener el valor presente equivalente de una seriede flujos tipo gradiente geométrico conocido, como:Sí: j iSí: j = innnnijAijAijAijAijAiAP1111111111111243322nnnnijijijijijiAP11111111111111243322ij1111544332211111111111111nnnnijijijijijijAijP 1111111nnijiAijPPnnijAjPPiP1111nnnnijAjiPijAPjPPiP111111jiijAPnn111jAnP1
  • 8. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 8Al momento de determinar el valor presente equivalente o valor anual equivalente de unaserie de flujos con gradiente geométrico, recordar que el primer flujo de la serie se encuentraal final del período y no involucra un gradiente, sino un pago base; por lo que:Ejemplo de cálculo serie de Gradiente aritmético.Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se vanincrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de laprimera y ultima cuota?Solución:jiijAPnn111jiijAPnn11119.303$3.012.0112.03.0000.1 51A
  • 9. Universidad Nacional de Trujillo -Ingeniería Industrial VII-Sede Valle JequetepequePágina 9• Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?Solución:ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19A5= 303.19(1+0.2)5-1= $628,69018,775$2.03.03.012.011)2.01(19,3033533S

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