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    La derivada3 La derivada3 Document Transcript

    • CAPITULO III LA DERIVADA3.1 Definición de la derivadaSea una función y = f(x) definida sobre cierto intervalo Teniendo en cuenta que h ≠ 0, consideremos, en un(a; b). Fijemos cualquier valor x de dicho intervalo y, punto fijado x, la razón entre el incremento k de laen el punto x, demos al argumento un incremento h tal función en este punto y el incremento correspondienteque el valor x + h pertenezca también al intervalo del argumento h(a; b). k f ( x  h)  f ( x )  (3) h hDefinición La razón (3) se denominará relación de diferencias enSe denominará incremento de la función y = f(x) en el el punto dado x. Puesto que el valor x se cree fijado, lapunto x, correspondiente al incremento del argumento relación de diferencias (3) es función del argumento h.h, el número Esta función está definida para todos los valores del k  f ( x  h)  f ( x) (1) argumento h pertenecientes a cierto entorno bastante pequeño del punto h = 0, excepto el propio punto h = 0.Tiene lugar la siguiente afirmación: para que la fun- De este modo, tenemos derecho de considerar el pro-ción y = f(x) sea continua en el punto x es necesario y blema de la existencia del límite de dicha funciónsuficiente que el incremento k de esta función en el cuando h  0.punto x, correspondiente al incremento del argumentoh, sea infinitesimal cuando h  0. Definición Se denomina derivada de la función y = f(x) en el puntoEsta afirmación permite expresar la condición de con- fijado x el límite de la relación de diferencias (3) paratinuidad de la función y = f(x) en el punto x en forma h  0. La derivada de la función y = f(x) en el punto xnueva, a saber: la función y = f(x) es continua en el se denotará por el símbolo y´(x) o f ´(x). así pues, porpunto x si el incremento k de esta función en el punto definiciónx, correspondiente al incremento del argumento h, es k f ( x  h)  f ( x )infinitesimal para h  0, es decir, si f ( x)  lim  lim . (4) h0 h h0 h lim k  lim [ f ( x  h)  f ( x)]  0 (2) h0 h0 Nótese que si la función y = f(x) está definida y tieneLa condición (2) se denominará forma de diferencias derivada para todos los x del intervalo (a; b), esta deri-de la condición de continuidad de la función y = f(x) en vada será función de la variable x también definidael punto x. sobre el intervalo (a; b).3.1.2 Interpretación geométrica de la derivadaUno de los principales problemas que condujeron al puntos M(x, f(x)) y P(x + h, f(x + h)) son dos puntosdesarrollo del cálculo, fue el de encontrar la pendiente sobre la curva, con la particularidad de que la secantede la línea tangente a una curva f(x) en cualquier punto MP de f(x), que pasa por M y P, no es perpendicular aldel intervalo (a; b). Pasemos ahora a considerar este eje sobre el cual está graficado el dominio D. Usando laproblema. fórmula de la pendiente, tenemos que la pendiente de la secante esSupóngase que f(x) es la gráfica de una función. A una f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h)  f ( x )recta determinada por dos puntos sobre una curva, se MP   ( x  h)  x hle llama línea secante de dicha curva. Sea x  D y seah  0 un número tal que (x + h)  D; entonces los Si dada x  D, podemos hacer que el valor de
    • LA DERIVADA 88 f ( x  h)  f ( x ) Solución , h ( x  h) 2 x2 se acerque a un número m(x) tanto como deseemos, 1  ( x  h) 4 1  x4con sólo hacer h suficientemente pequeña, llamaremos f ´( x)  lima m = {(x, y) / y = m(x)}. La función pendiente de la h 0 hgráfica de f(x). Definimos la línea tangente a la gráfica ( x  h) 4 x4de f(x) en el punto M(x, f(x)) como la línea que pasa  1  ( x  h) 4 1  x4por M y tiene pendiente igual a m(x).  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h    1  ( x  h) 4 1  x4    ( x  h) 4 (1  x 4 )  x 4 (1  ( x  h)4 )  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )     1  ( x  h) 4 1  x4    h(4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3 )  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )     1  ( x  h) 4 1  x4    4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3  limConsidérese la función f(x) y sea h un número distinto h 0  ( x  h) 2 x2 de cero, positivo o negativo, que tenga la propiedad de (1  x 4 )(1  ( x  h) 4 )     1  ( x  h) 4 1  x4 que (x + h)  D. Si existe una función f ´(x) con la  particularidad de que 4 x3 2x f ( x  h)  f ( x )  2  . lim  f ´( x) 2x (1  x 4 )3 h0 h (1  x )  4 2 1  x4para algunos valores de x  D, entonces f ( x  h)  f ( x ) lim es la derivada de f(x) con res- Ejemplo h0 h Calcular la derivada de las funciones, utilizando supecto a x. Es decir: si mediante h denotamos un incre- definición:mento arbitrario del argumento y mediante P, el punto ArcCosxde la curva con las coordenadas (x + h, f(x + h)), en- a) f ( x)  ; ArcSenxtonces, la tangente que pasa por el punto M de la curva b) f ( x)  7 ArcTan( x  1) .dada se define como la posición límite de la secanteMP cuando h  0. En la figura podemos ver que el Solucióncoeficiente angular de la secante MP, es decir, la tan- a) Comogente del ángulo de inclinación de esta secante al eje   ArcSenx0X, es igual a la relación de diferencias. Empleando ArcCosx 2    1 .este dato y el hecho de que, pasando al límite para h  ArcSenx ArcSenx 2 ArcSenx0, el ángulo de inclinación de la secante debe trans- Entoncesformarse en el ángulo de la tangente, anteriormente se  dedujo basándose en razonamientos demostrativos que 1 1 2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenxla derivada f ´(x) es igual al coeficiente angular de la f ´( x)  lim h 0 htangente al gráfico de la función y = f(x) en el punto M.   Ejemplo 2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenx  limCalcular la derivada de la función, utilizando su defi- h 0 hnición: ArcSenx  ArcSen( x  h) f ( x)  1  ArcSen( x  h) ArcSenx   .  lim 1  x4 x2  1  x4 2 h 0 h JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 89  ArcSenx  ArcSen( x  h)  2 x  lim   2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx 2 2 x( ArcSenx)2 1  x 2Entonces  f ´( x)  lim  ArcSen x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2   2( ArcSenx)2 1  x 2 . 2 h 0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx 7 ArcTan( x  h  1)  7 ArcTan( x  1)  x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2 b) f ´( x)  lim  lim h0 h 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx x  h 1 x 1 ArcTan  x 1  ( x  h)2  ( x  h) 1  x 2 FR 1  ( x  h  1)( x  1)  lim   7 lim 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx FR h 0 h h  x 2 (1  ( x  h)2 )  ( x  h) 2 (1  x 2 )  lim 1  ( x  h  1)( x  1) 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR  7 lim h 0 h  2 xh  h2 1  lim  7 lim 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR h0 1  ( x  h  1)( x  1)  2 x  h 7  lim  . 2 h0 ArcSen( x  h) ArcSenx  FR 1  ( x  1)23.1.3 Interpretación física de la derivadaAquí estudiaremos las aplicaciones físicas del concep- Sea que la función y = f(x) determina la cantidad deto de derivada. Ante todo, supongamos que la función electricidad y que pasa por la sección transversal de uny = f(x) describe la ley del movimiento del punto mate- conductor en el tiempo x. En este caso, la derivada frial por la línea recta. Entonces, como se sabe, la rela- ´(x) determinará la intensidad de la corriente que pasa ación de diferencias través de la sección transversal del conductor en el k f ( x  h)  f ( x ) momento de tiempo x. Luego, consideraremos el pro-  ceso de calentamiento de un cuerpo. h hdefine la velocidad media del punto en el intervalo detiempo de x a x + h. En este caso la derivada f ´(x), es Supongamos que la función y = f(x) determina la canti- dad de calor y que hay que comunicar al cuerpo paradecir, el límite de la relación de diferencias para h  calentarlo de 0o a xo. Entonces, la relación de diferen-0, define la velocidad instantánea del punto en el mo- cias determina la capacidad calorífica media del cuerpomento de tiempo x. Así pues, la derivada de la función al calentarlo de xo a (x + h)o. En este caso, la derivadaque describe la ley del movimiento define la velocidad f ´(x), es decir, el valor límite de la relación de diferen-instantánea del punto. cias cuando h  0, determina la capacidad caloríficaPara que uno no tenga la idea de que el concepto de del cuerpo para la temperatura dada x. Notemos que,derivada se usa ampliamente sólo en la mecánica, hablando en general, esta capacidad calorífica cambiadaremos ejemplos de aplicación del concepto de deri- al variar la temperatura x.vada en otras ramas de la física.3.1.4 Movimiento rectilíneoLa función s que da la posición del móvil, respecto del distanciaorigen, como función del tiempo t se llama función de razón  tiempoposición. Si, sobre cierto lapso de tiempo h, el objeto la razón media de cambio de la distancia respecto alcambia su posición una cantidad s = s(t + h) – s(t), tiempo viene dada porentonces, por la fórmula JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 90 cambio en distancia s s(t  h)  s(t )  v(t )  lim  s´(t ) cambio en tiempo h h0 hllamaremos a esta la velocidad media. Si s(t) da la Llamaremos rapidez al valor absoluto de la velocidad.posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por Es siempre no negativa. Indica tan sólo cuán rápido seuna recta, la velocidad media del objeto en el intervalo mueve un objeto, no en qué dirección. Del mismo mo-[t; t + h] viene dada por do que hemos obtenido la velocidad derivando la fun- s s(t  h)  s(t ) ción posición, obtendremos la aceleración derivando la Velocidad media   . función velocidad. Si s es la función de posición de un h h objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el instante t viene dada por a(t) = v´(t) donde v(t) es laSi s = s(t) es la función de posición de un objeto en velocidad en el instante t.movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en elinstante t viene dada por3.1.5 Movimiento de un proyectilSupóngase que un objeto se proyecta verticalmente de 1manera que la única aceleración que actúa sobre el H (t )   g t 2  v0t  H 0 2objeto es la aceleración constante descendente g debi- donde H0 y v0 son la altura inicial y la velocidad inicialda a la gravedad. Cerca del nivel del mar, g es aproxi- del objeto, respectivamente.madamente 32 pies/seg2 o 9.8 mts/seg2. Puede demos-trarse que en el tiempo t, la altura del objeto está dadapor la fórmula3.1.6 Razón de cambio porcentualSi y = f(x), la razón de cambio porcentual de y con 1 2 S g t y, por tanto, podemos escribir S ´ g t .respecto de x está dada por la fórmula 2 f ´( x) Razón de cambio porcentual  100  f ( x) Ejemplo Cuando un producto se vende al precio x, en que x > 0, la demanda del consumidor está dada por la funciónEjemplo 5Calcular la velocidad instantánea del punto material D( x)  :que cae por la acción de la fuerza de gravedad. xSolución a) Encuentre la razón promedio de cambio en la de-Por cuanto la ley del movimiento de este punto se manda D(x) con respecto al precio x, cuando éste varía 1 de x = 5 a x = 5,5;determina por la función S  g t 2 , entonces el camino b) Encuentre la derivada e interprete su resultado. 2S, recorrido por el punto en un intervalo de tiempo det a t + h, es igual a Solución a) La razón promedio de cambio está dada por el co- g (t  h)2 g t 2 g h2 S    gth  ciente de diferencias: 2 2 2 5 5Por eso la velocidad media en este mismo intervalo de  D D( x  h)  D( x) x  h x  5 51tiempo es igual a      h h h  xh xh S 1 vm   gt  gh  5x 5( x  h)  1 5 x  5( x  h) h 2    Por consiguiente, en el momento fijado de tiempo t, la  ( x  h) x x ( x  h )  h x ( x  h )hvelocidad instantánea v es igual a 5h 5   . S  1  x ( x  h) h x ( x  h ) v  lim  lim  g t  g h   g t h 0 h h 0  2  Para un cambio de precio de 5 a 5.5, se hace x = 5 yDe hecho, se ha calculado la derivada de la función h = 0.5, de modo que x + h = 5.5. Sustituyendo se tiene JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 91 D 5 5 su velocidad inicial fue v(0) = -20(0) = 0 en un tiempo    0.18 . h x( x  h) 5(5.5) posterior, cuando t = 3, la piedra ha alcanzado la velo-Es decir, cuando el precio cambia de $ 5 a $ 5,5, la cidad v(3) = -20(3) = -60 metros por segundo. El signodemanda del consumidor disminuye un promedio de negativo indica el movimiento de la piedra hacia abajo.0.18, o 18 artículos por dólar de aumento. Ejemplob) Aplicando el límite al cociente de diferencias, ob- Supóngase que la distancia que recorre un objeto en eltenemos tiempo t está dado por la función s(t) = 3t2 + 2t. Deter- D 5 5 mine la velocidad instantánea de este objeto en el tiem- D´( x)  lim  lim  2 po t. ¿Cuál es la velocidad en el tercer segundo? h0 h h  0 x ( x  h) x SoluciónConsidere que la razón instantánea de cambio en la La velocidad instantánea del objeto, se calcula derivan- 5 do s(t):demanda, D´( x)  , es negativa, sin importar el pre- x2 S (t  h)  S (t ) s´(t )  limcio x. Esto significa que la demanda del consumidor h 0 hsiempre disminuye con respecto al aumento en los 3(t  h)2  2(t  h)  3t 2  2tprecios. Observe también que, cuando x = 5, la razón  lim h 0 hinstantánea de cambio en la demanda es h(6t  3h  2) 5 1  lim  6t  2 . D´( x)   . h 0 h 25 5 La velocidad en el tercer segundo es:Esto significa que, cuando el precio es de $ 5, la fun- v(3) = 6(3) + 2 = 20 mts/seg.ción de demanda disminuye a la razón instantánea de0,2 (ciento) de artículos por dólar de aumento en el Ejemploprecio. Supóngase que el tiempo t, el peso de un pollo está dado por la función w(t) = 1 + 2t + t2. Hallar la rapidezEjemplo instantánea de cambio en el peso, en el tiempo t. ¿CuálSe deja caer una piedra desde una altura de 50 metros. es esta rapidez de cambio en la quinta semana?Su altura sobre el suelo está dada por la función SoluciónH(t) = 50 – 10t2 en el tiempo t; 0  t  3. Encuentre la La rapidez instantánea de cambio en el peso, se calculavelocidad promedio para un periodo de t a t + h. Se- derivando w(t):guidamente, obtenga la velocidad instantánea de la w(t  h)  w(t )piedra en el tiempo t. w´(t )  lim h 0 hSoluciónEn el periodo de t a h, el cambio en la posición de la 1  2(t  h)  (t  h)2  1  2t  t 2  limpiedra es h 0 h H = H(final) – H(inicial) = H(t + h) – H(t)  lim h(2  2t  h)  2  2t .entonces h 0 h H H (t  h)  H (t ) La rapidez de cambio en la quinta semana es: Velocidad promedio   h h w´(t) = 2 + 2(5) = 12 lbs/sem. (50  10(t  h)2 )  (50  10t 2 )  Ejemplo h El volumen de agua contenido en un tanque en el ins- 50  10t 2  20t  h  10h2  50  10t 2 tante t está dado por la función V(t) = 8(8 – t)2. Hallar  h dV e interprete su resultado. Obtener el tiempo t para 20t  h  10h 2 dr  h dV el que 0.  20t  10h . drSi se toman intervalos de tiempo cada vez más peque- Soluciónños, es decir cuando h  0, se deduce que dV V (t  h)  V (t )  lim Velocidad instantánea  lim (20t  10h)  20t . dt h0 h h0 8(8  (t  h)2 )  8(8  t 2 )Por tanto, la velocidad en cualquier instante t, en que  lim h 0 h0  x  3, queda dada por la función v(t) = -20t. En h(h  16  2t )particular, en el tiempo t = 0, cuando se soltó la piedra,  8 lim  128  16t . h 0 h JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 92dV función de ingreso marginal. ¿Es el ingreso marginal representa la rapidez de variación del volumendt mayor para 50 artículos o para 100? ¿Qué significa dV esto?con respecto al tiempo t. Haciendo  0 , entonces: Solución dt 128 La función de ingreso marginal, se obtiene derivando la 128 – 16t = 0  t  8 seg. función ingreso total: 16 R ( x  h)  R ( x )Este resultado indica que se necesitan 8 segundos para R ´( x)  limvaciar el tanque. h 0 h 150 150 300   300 Ejemplo  lim x  h 1 x 1La utilidad obtenida por una empresa que fabrica y h 0 hvende x artículos, está dada por la función P(x) = - 25 150h 150  lim  .+ 5x – 2x2. Hallar P´(x) e interprete su resultado. De- h 0 h( x  h  1)( x  1) ( x  1)2terminar también P´(3). Calculamos el ingreso marginal para x = 50 y x = 100:Solución 150 150 P ( x  h)  P ( x ) R ´(50)    0.058 P´( x)  lim (50  1)2 2601 h 0 h y 25  5( x  h)  2( x  h)2  25  5x  2 x 2  lim R ´(100)  150  150  0.015 . h 0 h (100  1) 2 10201 h(5  4 x  2h)  lim  5  4x . El ingreso marginal es mayor cuando x = 50. Esto h 0 h significa que, a más artículos, menor es el ingresoLa derivada de la función utilidad, se le denomina marginal.función utilidad marginal. La utilidad marginal para 3artículos, está dada por: Ejemplo P´(3) = 5 – 4(3) = -7. Una fábrica de ropa estima que su costo para elaborar xComo el signo de la utilidad marginal es negativo, se artículos está dado por la función C(x) = 50 + 5x +puede decir que la utilidad marginal disminuirá. 0,03x2. Si cada pantalón que fabrica se vende en $ 30, ¿cuál es la función de utilidad? Obtener la función deEjemplo utilidad marginal y evaluar en x = 50 y x = 100. 4r 3 dV SoluciónEl volumen de una esfera es V (r )  . Hallar y 3 dr La función de utilidad es igual a los ingresos menos los dV costos de fabricación, esto esdeterminar el significado de esta función. Evaluar dr U(x) = 30x – C(x),en r = 2. es decir:Solución U(x) = 30x – 50 –5x – 0,03x2 dV V ( r  h)  V ( r ) = - 50 + 25x – 0,03x2.  lim dr h0 h La función utilidad marginal se encuentra derivando la función utilidad: 4(r  h)3 4r 3  U ( x  h)  U ( x ) 3 3 U ´( x)  lim  lim h 0 h h 0 h 50  25( x  h)  0.03( x  h)2  50  25x  0.03x 2 h(12r 2  12rh  4h2 )  lim  lim  4r 2 . h 0 h h 0 3h h(25  0.06 x  0.03h)dV  lim representa la rapidez de variación del volumen de h 0 hdr  25  0.06xla esfera con respecto del radio. La variación del vo-lumen de la esfera cuando r = 2 es: Calculamos la utilidad marginal para x = 50 y x = 100: U´(50) = 25 – 0,06(50) = 22 V ´(2) = 4(2)2 = 16. y U´(100) = 25 – 0,06(100) = 19Ejemplo La utilidad marginal es mayor cuando x = 50. EstoUna empresa pronostica que su ingreso total por la significa que, a más artículos, menor es la utilidad 150venta de x artículos es R( x)  300  . Hallar la marginal. x 1 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 933.1.7 Tarea1) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: x 1 b) f ( x)  x2 1  x ; c) f ( x)  x 1  x 2 ; d) f ( x)  ( x2  x)e x ;a) f ( x)  ; x  x 1 2e) f ( x)  x ; 2 x 4  3x 2  1 1 x 5x2  7 f) f ( x)  ; g) f ( x)  ; h) f ( x)  ; x  x 1 2 x2 1 x x2  2 x x 1 k) f ( x)  x2 ln x ; 1  x  x2i) f ( x)  ; j) f ( x)  ; l) f ( x)  ; x2  1 x2  x  1 1  x  x2m) f ( x)  Sen 1  x 2 ; n) f ( x)  1  ln 2 x ; Tanx x o) f ( x)  ; p) f ( x)  ; x 1  Cosx x 1 r) f ( x)  xArcTan x .q) f ( x)  ; ex2) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: x2  1 b) f ( x)  6 x 2   5 2 c) f ( x)  1a) f ( x)  ; ; ; x 1 2 x 3 x 2 6x  5 1 x 1d) f ( x)  ; e) f ( x)  ; f) f ( x)  3 7 x2  4 x  3 ; x4  x2  1 x 1 4 h) f ( x)  ( x  x1)2 ; ( x  1)( x  3)g) f ( x)  ; i) f ( x)  ; 3x  2 2 ( x  1)( x  3)j) f ( x)  ( x2  x2 )2 ; k) f ( x)  6 ;  2  2 x2  x  (3x  1) 2 4 l) f ( x)  ln  ;  2  2 x2  x   m) f ( x)  ex ; n) f ( x)  ln   x  1  x2  ;  o) f ( x)  ln x  1  x 2 .  Senx  x   3) Un grupo de ingenieros de caminos diseña un tra- a) Calcule la velocidad del globo para t = 4 segundos.mo de carretera que debe conectar una autopista hori- b) Determine la velocidad del globo en el momento enzontal con otra que tiene una inclinación de 20º. El que se encuentra a 50 pie del suelo.enlace debe realizarse sobre una distancia horizontalde 600 metros usando una curva parabólica para unir 6) Un objeto se mueve a lo largo de una recta de ma-los puntos A y B. Obtenga una ecuación del tipo f(x) = nera que después de t minutos su distancia desde elax2 + bx + c para la parábola respectiva y determine las 5 punto de partida es D(t )  10t  metros:coordenadas de B. t 1 a) ¿A qué velocidad se desplaza el objeto al final de 44) Se estima que dentro de t años, la circulación de un minutos?periódico local será C(t) = 100t2 + 400t + 5000: b) ¿Cuánto se desplaza realmente el objeto durante ela) Obtenga una expresión para la razón a la cual la quinto minuto?circulación cambiará con respecto al tiempo dentro det años. 7) El volumen de agua contenido en un tanque en elb) ¿A qué razón cambiará la circulación con respecto instante t lo da V(t) = 10(10 – t)2. Hallar V ´(t) e inter-al tiempo dentro de 5 años?¿disminuirá o aumentara la prete el resultado. Obtener el tiempo t para el quecirculación en ese momento? V ´(t) = 0.c) ¿En cuánto cambiará en realidad la circulacióndurante el sexto año? 8) Un estudio ambiental de cierta comunidad subur- bana señala que dentro de t años el nivel promedio de5) Un globo meteorológico se eleva verticalmente de monóxido de carbono en el aire será Q(t) = 0.05t2 +manera que su altura s(t) sobre el suelo durante los 0.1t + 3.4 partes por millón:primeros 10 segundos de su ascenso está dada por a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido des(t) = 6 + 2t + t2 metros y t está dada en segundos: carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 94b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de 16) Se estima que dentro de t años la población decarbono este año? 6 cierta comunidad suburbana será P(t )  20  miles:c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de t 1carbono durante los próximos 2 años? a) Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo,9) Dos atletas se disponen a correr los 100 metros dentro de t años.planos. Las distancias s1(t) y s2(t) que cada uno de b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año?ellos recorre a los t segundos está dada por c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el 1 1100t segundo año?s1 (t )  t 2  8t y s2 (t )  para t ≥ 0. Determine 5 t  100 d) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9cuál de los corredores es: años?a) El más rápido en la salida; e) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de lab) El que gana la carrera; población a largo plazo?c) El más rápido al cruzar la meta. 17) Un globo esférico se infla y su radio en centíme-10) Cuando cierto jugador de básquetbol salta para tros a los t minutos está dado por r (t )  3 3 t , donde 0 ≤hacer una canasta, la altura de sus pies sobre el piso t ≤ 10. Calcule la razón de cambio con respecto alestá dada por s(t) = -gt2 + 16t pies: octavo minuto de las siguientes cantidades:a) Suponga que g = 32, calcule el tiempo de vuelo en a) r(t);que el jugador se halla en el aire. b) El volumen del globo;b) Determine la velocidad inicial y la altura de salto o c) El área de la superficie del globo.distancia máxima que alcanzan sus pies sobre el suelo. 32c) En la Luna se tiene que g  . Resuelva las par- 18) La utilidad obtenida por una compañía que fabrica 6 y vende x artículos, la da P(x) = - 50 + 10x – x2. Hallartes a) y b) para este valor de g. P´(x) e interpretar esta nueva función. Determinar también P´(5).11) Se lanza una piedra hacia abajo con una veloci-dad inicial de –50 pies/seg desde el techo de un edifi- 19) Un hombre que está en un muelle tira de unacio y choca con el suelo 3 segundos después: cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cen-a) ¿Cuál es la altura del edificio? tímetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobreb) ¿A qué velocidad choca la piedra con el suelo? una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 metros del agua. Si tira de la cuerda a razón de 1 metro12) Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba por segundo, ¿con qué rapidez se acerca el bote aldesde el nivel del suelo con una velocidad inicial de muelle en el momento en que la proa está a 6 metros160 pies/seg: del punto sobre el agua que se encuentra directamentea) ¿Cuándo chocará el proyectil con el suelo? debajo de la polea.b) ¿Cuál es la velocidad de impacto?c) ¿Cuándo alcanzará el proyectil su altura máxima? 20) Una pelota baja rodando por un plano inclinadod) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyec- de manera que la distancia en centímetros que recorretil? al cabo de 3 segundos está dada por s(t) = 2t3 + 3t2 + 4, donde 0 ≤ t ≤ 3:13) La utilidad al producir y vender x artículos queda a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en el segundodada por P(x) = x2 – 200. Hallar P´(x) y determinar qué segundo?representa esta función. Evaluar también P´(x) en x = b) ¿En qué momento alcanza una velocidad de 3010 y x = 20. centímetros por segundo?14) Un biólogo estima que el número de bacterias 21) Se estima que dentro de t años la población depresentes en el instante t está dada por N(t) = 500 + 2t cierto pueblo será+ 5t2. Obtener N´(t) e interprete esta función. Estimar P(t) = t2 + 200t + 10000:N´(t) en t = 1, t = 3 y t = 5. a) Exprese la razón de cambio porcentual de la pobla- ción como una función de t; simplifique esta función en15) Supóngase que la distancias que recorre un objeto forma algebraica.en el tiempo t se modela por S(t) = 4t2 + t. Determinar b) ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentualla velocidad instantánea de este objeto en el tiempo t. de la población a largo plazo?¿Cuál es la velocidad en t = 2? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 9522) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía 29) Cuando un disco metálico circular se calienta, sufueron A(t) = 0.1t2 + 10t + 20 miles de dólares t años diámetro aumenta a razón de 0.01 centímetros pordespués de su formación en 1994: minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del área de unoa) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales bru- de sus lados?tas de la compañía con respecto al tiempo en 2003?b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias 30) Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pieanuales brutas, con respecto al tiempo, en 2003? cúbicos por minuto. ¿Si la presión se mantiene constan- te, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el23) Dos automóviles salen de una intersección al diámetro mide 18 pulgadas?mismo tiempo. Uno viaja hacia el este a una velocidadconstante de 60 km/hora, mientras que el otro va hacia 31) Una persona comienza a correr a partir de unel norte a una velocidad constante de 80 km/hora. punto A hacia el este, a 3 metros por segundo. UnEncuentre una expresión para hallar la razón a la cual minuto después, otra persona sale corriendo desde Acambia la distancia entre los automóviles con respecto hacia el norte a 2 metros por segundo. ¿Cuál es la rapi-al tiempo. dez de variación de la distancia entre las dos personas un minuto más tarde?24) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16pie de altura. Una persona de 5 pie de estatura se aleja 32) La ley de Boyle de los gases asegura que pv = c,del poste a una velocidad de 4 pie por segundo. ¿Con donde p es la presión, v el volumen y c una constante.qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra En cierto momento el volumen es de 75 pulgadas cúbi-cuando él se encuentra a 18 pie del poste? ¿Cuál es la cas, la presión es de 30 libras por pulgada cuadrada ytasa de crecimiento de su sombra? ésta disminuye a razón de 2 libras por pulgada cuadra- da por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del vo-25) Un cohete que se tiene emplazado al pie de una lumen en ese momento?colina cuya pendiente es 1/5 se dispara hacia una coli-na y sigue una trayectoria dada por f(x) = -0.016x2 + 33) Una bola esférica de nieve se derrite de manera1.6x: que su radio disminuye con rapidez constante, de 30 aa) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál era la rapidez deen el momento del disparo? cambio del volumen en el momento en que el radiob) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando mide 25 centímetros?choca contra la colina?c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo. 34) Los extremos de un abrevadero de 4 metros de largo tienen la forma de triángulo equilátero, con lados26) Una barra de metal tiene la forma de un cilindro de 75 centímetros. Se suministra agua al abrevadero acircular recto. Cuando se calienta, su longitud y su razón de 15 litros por minuto. ¿Cuál es la rapidez dediámetro aumenta a razón de 0.002 centímetros por cambio del nivel del agua cuando la profundidad es 15minuto y 0.001 centímetro por minuto, respectivamen- centímetros?te. ¿A razón de cuántos centímetros cúbicos por minu-to aumenta el volumen de la barra en el momento en 35) Un cable de 150 pie de largo y 4.5 pulgadas deque mide 1 metro de largo y 4 centímetros de diáme- diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corro-tro? sión, el área de la superficie del cable disminuye a razón de 600 pulgadas cuadradas por año. Encuentre la27) A las 12:00 horas el barco A se encuentra a 20 rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando lamillas al sur del barco B. Suponiendo que A navega corrosión en los extremos del cable.hacia el oeste a razón de 15 millas por hora, y que Bnavega hacia el sur a 20 millas por hora, evaluar la 36) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pierapidez de cambio o variación de la distancia entre los de largo y 30 pie de ancho. Su profundidad aumentados barcos a las 12:45. uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continúa al mismo nivel los 20 pie28) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada restantes, la cual representa una sección transversal. Lacontra la pared de un edificio. La base de la escalera piscina se está llenando a razón de 500 galones porresbala alejándose de la pared a razón de 3 pie por minuto de agua. Calcule aproximadamente la rapidezsegundo. ¿Con qué rapidez desciende el extremo supe- de cambio del nivel del agua en el momento en que larior de la escalera cuando se encuentra a 8 pie del profundidad en la parte más honda es de 4 pie.piso? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 9637) Una persona que hace volar una cometa sostiene 45) Un vaso de papel con agua tiene la forma de unel cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 cono circular recto truncado de 20 centímetros de altu-pie por segundo, mientras la cometa se mueve horizon- ra con radios de la base y de la orilla libre de 3 centí-talmente a una altura de 110 pie. Suponiendo que el metros y 5 centímetros, respectivamente. El agua sehilo se mantiene tenso, encuentre la rapidez con la que fuga del vaso a razón de 100 centímetros cúbicos porse mueve la cometa cuando se han soltado 130 pie de hora. ¿A razón de cuántos centímetros por hora dismi-hilo. nuye la profundidad del agua cuando es de 5 centíme- tros?38) Un globo de aire caliente se eleva en forma verti-cal y una cuerda atada a la base del globo se va soltan- 46) Un tanque esférico de agua de radio r contienedo a razón de 2 metros por segundo. El torno desde el este líquido con una profundidad h y el volumen delcual se suelta la cuerda está a 10 metros de la plata- 1 agua en el tanque está dado por V   h2 (3r  h) . Su-forma de abordaje. ¿Si se han soltado 180 metros de 3cuerda, con qué rapidez asciende el globo? ponga que un tanque esférico de 6 metros de radio se está llenando a razón de 300 litros por minuto. Calcule39) Se lanza una piedra a un lago y produce ondas a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivelcirculares cuyos radios crecen a razón de 20 centíme- del agua cuando la altura es de 1.5 metros.tros por segundo. ¿A razón de cuántos metros porsegundo aumenta el perímetro de una onda cuando su 47) Un tanque esférico está cubierto por una caparadio es de 5 metros? uniforme de hielo de 3 pulgadas de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente pro-40) Cuando dos resistencias R1 y R2 se conectan en porcional al área de la superficie. Demuestre que esparalelo, la resistencia total R está dada por constante la rapidez de cambio del diámetro exterior.1 1 1   . Si R1 y R2 aumentan a razón de 0,01R R1 R2 48) Una persona deja caer una piedra a un lago desdeohmios por segundo y 0,02 ohmios por segundo, res- un acantilado de 50 metros de altura y, dos segundospectivamente, ¿a razón de cuántos ohmios por segundo después, deja caer otra piedra desde el mismo lugar.varía R en el momento en que R1 = 30 ohmios y R2 = Describa la rapidez de cambio de la distancia entre las90 ohmios? dos piedras durante el siguiente segundo.41) La fórmula de la expansión adiabática del aire es 49) La cubierta de un silo tiene la forma de un hemis-pv1.4 = c, donde p es la presión, v es el volumen y c es ferio de 6 metros de diámetro. En dicha cubierta seuna constante. En cierto momento la presión es 40 deposita una capa de hielo de 5 centímetros de gruesodinas por centímetro cuadrado y aumenta a razón de 3 que disminuye a razón de 0.5 centímetros por hora.dinas por centímetro cuadrado por segundo. En ese ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen de hielo?mismo momento el volumen es de 60 centímetroscúbicos. Calcule la rapidez de variación del volumen. 50) Un avión vuela con velocidad constante de 550 kilómetros por hora y con una inclinación de 45º hacia42) El área de un triángulo equilátero disminuye a arriba. Encuentre la rapidez de cambio de la distanciarazón de 3 centímetros cuadrados por minuto. Calcule del avión a una torre de control en tierra, un minutola rapidez de variación de la longitud de sus lados en el después de que éste pasó directamente a 4 kilómetrosmomento en que el área del triángulo es de 250 centí- arriba de ella. Desprecie la altura de la torre.metros cuadrados. 51) Una carretera A que va de norte a sur y otra B que43) Un incendio que comenzó en un terreno seco se va de este a oeste se cruzan en un punto P. A las 10:00extiende formando un círculo. El radio del círculo horas un automóvil pasa por P viajando hacia el nortecrece a razón de 2 metros por minuto. Calcule la rapi- por la carretera A a 100 kilómetros por hora. En esedez con que crece el área del círculo cuando el radio es mismo momento, un avión que vuela hacia el este ade 50 metros. 400 kilómetros por hora y a 8000 metros de altura, se encuentra directamente arriba de un punto en la carre-44) El gas contenido en un globo esférico escapa a tera B que se halla 200 kilómetros al este de P. Si am-razón de 7 libras por hora. ¿A razón de cuántos centí- bos mantienen la misma velocidad y la misma direc-metros por hora disminuye el radio del globo en el ción, ¿cuál es la rapidez de cambio de la distancia entremomento en que el volumen es 450 libras? el avión y el automóvil a las 10:15 horas? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 973.2 Derivadas derecha e izquierdaObservando la completa analogía con los conceptos de Al mismo tiempo, existen las funciones que, en elvalores límite derecho e izquierdo de una función se punto x, tienen la derivada, tanto derecha como iz-introducen los conceptos de derivadas derecha e iz- quierda, pero no la tienen en dicho punto.quierda de la función y = f(x) en el punto dado x. EjemploDefinición Derivar la funciónSe denomina derivada derecha de la función y = f(x) en f ( x)  x  8el punto fijado x el valor límite derecho de la relación Soluciónde diferencias (3) en el punto h = 0, observando la Aplicando la definición de valor absoluto, tenemoscondición de que este valor límite exista.  x  8, x  8 f ( x)  x  8  Definición  x  8, x  8Se denomina derivada izquierda de la función y = f(x) En el punto x = 8 esta función tiene la derivada derechaen el punto fijado x el valor límite izquierdo de la igual arelación de diferencias (3) en el punto h = 0, observan- ( x  h  8)  ( x  8) h lim  lim  1do la condición de que este valor límite exista. h 8 h h 8 h y la derivada por la izquierda esLa derivada derecha de la función y = f(x) en el punto x ( x  h  8)  ( x  8) h lim   lim  1se denota por el símbolo f  ( x) y la izquierda, por el h 8 h h 8 hsímbolo f  ( x) . Como las derivadas por la izquierda y por la derecha son diferentes, entonces la función f(x) no tiene deriva- da en el punto x = 8.Si la función y = f(x) tiene derivada en el punto x, ellatiene en este punto las derivadas derecha e izquierdacoincidentes entre sí. Si la función y = f(x) tiene deri-vada tanto derecha como izquierda en el punto x, y sidichas deriva das coinciden entre sí, entonces la fun-ción y = f(x) tiene derivada en el punto x.3.3 Derivación por fórmulasEn esta sección enunciaremos propiedades, que nos pequeños ypermitan derivar sin necesidad de utilizar la defini- k xhx h    1 (x > 0).ción general. h h h Si x < 0, tenemos x + h < 0 para h suficientemente pe-Teorema queños ySi una función f(x) tiene derivada en c, entonces es k  ( x  h)  (  x ) hcontinua en c.     1 (x < 0). h h h De este modo,Esta propiedad nos hace notar que, si una función es k  1, si x  0,derivable en un punto, entonces la función debe ser y   lim continua en ese punto. Por lo tanto, la derivabilidad h0h  1, si x  0.es una propiedad más eficaz que la continuidad. Sea ahora x = 0. Entonces k h hEjemplo   Sign h   Sign h h h hAnalice la derivada de la función f ( x)  x .  1, si h  0,Solución Para dicha función  1, si h  0. xh  x k k k  . Por esta razón lim  1 y lim   1 . De esta manera, h0h h0h h h h0 h0Si x > 0, tenemos x + h > 0 para h suficientemente JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 98la función x tiene en el punto x = 0 una derivada Teoremaderecha igual a 1, y una derivada izquierda igual a -1, Si f y g tienen derivadas en un punto c, entonces fg tienelo que es indicio de que en el punto x = 0 la función también una derivada, y (fg)´(c) = f ´(c)g(c) + f(c)g´(c). x no tiene derivada. La derivada de una suma es la derivada de las derivadas:Teorema (f1 f2 ... fn)´ = (f1´ f2 ... fn) + (f1 f2´ ... fn) + ...La derivada de una función constante es igual a cero. + (f1 f2 ... fn´). Hay una extensión correspondiente de la regla del pro-Ejemplo ducto el caso de más de dos factores. Para tres factores,La derivada de una función constante es la función tenemos: d (3) (fgh)´ = f ´gh + fg´h + fgh´,cero. Enfatizamos que si  0 no significa que la dx y, en general, la derivada de un producto de n funcionesderivada del número 3 sea 0; en cambio la derivada es una suma de n términos, en cada uno de los cuales unade la función constante f(x) = 3 es la función cons- de las n funciones se ha derivado:tante g(x) = 0. (f1f2 ... fn)´ = f1´ + f2´ + ... + fn´.Teorema EjemploSi f tiene derivada en algún punto c, entonces tam- Resuelva la ecuación f ´(x) = 0:bién la tiene kf y f ( x)  x( x  1)2 ( x  2)3 . (kf)´(c) = kf ´(c). Solución Multiplicando los tres factores, obtenemos:TeoremaSean f y g funciones cualesquiera, y definamos una f ( x)  x6  8x5  25x4  38x3  28x2  8x .nueva función f + g por la regla Derivamos esta última expresión: (f + g)(x) = f(x) + g(x). f ´( x)  6 x5  40 x4  100 x3  114 x2  56 x  8Si f y g tienen derivadas en algún punto c, entonces Igualamos a cero esta expresión y luego calculamos sustambién la tiene f + g, y raíces (f + g)´(c) = f ´(c) + g´(c). 3x5  20x4  50 x3  57 x2  28x  4  0La regla para sumas se aplica cuando aparecen más  13 5  13 5  3( x  1)( x  2) 2  x     x   0de dos funciones. Por ejemplo, una suma de tres  6 6   6 6funciones puede escribirse como suma de dos fun-ciones, una de las cuales es a su vez una suma:  x 1  x2 f + g + h = (f + g) + h. Aplicando la regla para sumas dos veces, tenemos  5 13 . [(f + g) + h]´ = (f + g)´ + h´ = f ´ + g´ + h´. x  Esto puede extenderse para cubrir el caso de cual-  6 6  5 13quier número de funciones como sumandos. x    6 6TeoremaSi f(x) = xn, siendo n un número entero positivo, Teoremaentonces f es derivable sobre los reales, y además Si f ´(c) y g´(c) existen, y g(c)  0, entoncesf ´(x) = nxn-1. f  g (c) f ´(c)  f (c) g ´(c)   (c )  .Ejemplo g g 2 (c )Resuelva la ecuación f ´(x) = 0: f ( x)  x3  6 x2  9 x  12 . Cualquier función de la forma f , donde f y g son poli-Solución g f ´( x)  3x2  12 x  9  x2  4 x  3  0 nomios, se llama función racional, porque es la razón de dos polinomios. Las reglas para sumas y productos pro- x 1 porcionan una sencilla fórmula para la derivada de cual- (x - 3)(x - 1) = 0   . x  3 quier polinomio; combinando esto con la regla del co- ciente, podemos derivar cualquier función racional. Po- demos darnos cuenta que no es cierto que la derivada de JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 99un producto es el producto de las derivadas respecti- (1  x3 ) 2vas. De manera análoga, la derivada de un cociente   2 x2 3no es simplemente el cociente de las derivadas. (1  x3 )2 (1  x3 )6 1  x3Ejemplo   2 x2 3Derivar la siguiente función: (1  x3 )3 (1  x3 )4 x2  5x  6 1  x3 2x2 1  x3a) f ( x)  ; b) f ( x)  3 .  3 . x  x7 2 1 x 3 x  1 1  x3 6Solución ( x 2  x  7)(2 x  5)  ( x 2  5 x  6)(2 x  1) Ejemploa) f ´( x)  Resuelva la ecuación f ´(x) = 0: ( x 2  x  7)2 x2  x  6 6 x 2  2 x  41 f ( x)  .  . x  10 x  25 2 ( x 2  x  7)2 Solución ( x 2  10 x  25)(2 x  1)  ( x 2  x  6)(2 x  10) 2 f ´( x)  ( x 2  10 x  25) 1  1  x3  3 (1  x3 )(3x 2 )  (1  x3 )(3x 2 )b) f ´( x)    3  1  x3    (1  x3 )2  11x 2  62 x  35 . 2 ( x 2  10 x  25) 6 1 x3  3 x2 11x2  62 x  35  0  (x – 5)(11x – 7) = 0    1  x3  (1  x3 )2  3   x5  2 x2 1  x3  7 .  3  x  11  (1  x3 )(1  x3 ) 1  x33.3.1 Costo marginalDado C como una función de costos de producción, Si C es derivable y x se aproxima a c, entonces este co- C ( x) ciente diferencial tiende a C´(c). Así C´(c) es a menudono necesariamente lineal. Definimos que C ( x)  x igualado con el costo unitario de producir unidades in-es el costo promedio por unidad de producir las pri- crementales, después que c unidades se han producido.meras unidades de x. En comparación Llamamos a la derivada de la función del costo de pro-C (c  h)  C ( c ) ducción, la función del costo marginal. es el costo promedio por unidad de hproducción h unidades adicional, después que c hasido producida.3.3.2 Elasticidad de demandaDado que D(p) describe una función de demanda si Formalmente nuestra razón es:el precio de un bien cambia de c a p dólares, enton- D ( p )  D (c )ces el porcentaje cambia en precios y la cantidad D (c ) c [ D( p)  D(c)] demandada será: pc ( p  c ) D (c )  pc  D ( p )  D (c )  c 100%   y 100%   Desafortunadamente, a menos que D sea una función  c   D (c ) La razón porcentual de cambio en cantidad deman- lineal, esta razón cambia en la medida en que varía p. Sindada al porcentaje de cambio en precio, mide las embargo, si p tiende hacia c, entonces podemos aproxi-respuestas de la demanda a las fluctuaciones en pre- D ( p )  D (c ) mar por D´(c). Por tanto, cuando p tiendecios. Es esencial que se compare el porcentaje de pccambio más que el cambio mismo. hacia c JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 100 D ( p )  D (c ) a) Encuentre el aumento en el número de litros deman- D (c ) c dados semanalmente;  E (c)  D´(c) . pc D (c ) b) Encuentre el porcentaje de cambio en el precio; c c) Encuentre el porcentaje de cambio en la cantidadDonde a E(c) llamamos punto de elasticidad de de- demandada;manda para el precio c. d) ¿Cuál es la razón porcentual del cambio en cantidad demandada, al porcentaje de cambio en precio?;Ejemplo e) Calcule el punto de elasticidad de la demanda;Suponga que el costo de producir x impresoras está f) Use E(1) para estimar el porcentaje de cambio en ladado por la función C(x) = 375 + 25x + 2x2. Encuen- cantidad demandada si el precio cambia de $ 1 a $ 1,05.tre la función de costo marginal en x = 4 y x = 16, y Soluciónluego interprete su resultado. a) El incremento esSolución D(0,95) – D(1) = 1364,625 – 1350 =14,625Si C(x) es la función de costo total, entonces C ´(x) litros por semana.se denomina función de costo marginal. Es decir: C´(x) = 25 + 4x. b) El cambio en precio es 0,95 – 1 = -0,05 dólares, porSi x = 4, tanto el porcentaje de cambio en el precio es C ´(4) = 25 + 4(4) = 25 + 16 = 41 0,05 100%  5% . dólares por artículo, 1lo cual representa el costo aproximado de la quinta c) Si el cambio en cantidad demandada es 14.625, elimpresora. porcentaje de cambio esAnálogamente, si x = 16, 14,625 100%  1,08% . C ´(16) = 25 + 4(16) = 89 dólares por artículo, D(1)lo cual representa el costo aproximado de la décima 1,08séptima impresora. d) La razón es  0,216 . 5El costo exacto de producir la quinta impresora es e) Debemos calcularC(5) – C(4) = [375 + 25(5) + (5)2] – (1) D´(1) - [375 + 25(4) + (4)2] = 525 – 491 = 34 dólares. E (1)  . D(1)Ejemplo Si D´(p) = -300p,Dado C(x) = 2x2 +5x+350 como una función de (1)(300)(1) E (1)   0,2 .costo externo. 1350a) Calcule el costo promedio por unidad de producir f) Para estimar el porcentaje de cambio en la cantidad100 unidades adicionales, después de haber produci- demandada, multiplique el porcentaje de cambio en eldo 1000; precio por el punto de elasticidad. Si el precio es 5 centa-b) Calcule el costo marginal después de haber pro- vos, el porcentaje de cambio en el precio es 5 %. Así elducido 1000 unidades. porcentaje de cambio en la cantidad demandada es apro-Solución ximadamente (-0,2)(5) = -1%. El signo menos indica quea) El costo de producción de diez unidades adiciona- la cantidad demandada disminuirá.les es el costo de producir 1100 unidades menos elcosto de producción de 1000 unidades. Así el costo Ejemplopromedio por unidad es: La parte superior de una escalera de mano de 2 metros de C (1100)  C (1000) 2425850  2005350 largo descansa sobre una pared vertical, y su parte infe-  100 100 rior empieza a deslizarse sobre un pavimento horizontal, 420500 hacia abajo y hacia afuera. En el momento en que el pie   $ 4205 . de la escalera se encuentra a 1.2 metros de la pared, se 100b) Puesto que C ´(x) = 4x +5, el costo marginal está deslizando a la velocidad de 0.2 metros por segundo.cuando x = 1000 es 4(1000) + 5 = $ 4005. ¿A qué distancia de la pared se encontrará el pie de la escalera cuando los dos extremos se mueven a la mismaEjemplo velocidad?Si el precio por litro de aceite para cocina es p dóla- Soluciónres, entonces los consumidores podrán comprar Supongamos que OA representa el pavimento, OB laD(p) = 1500 – 150p2 litros semanalmente. Suponga pared y AB la escalera; las flechas representan la direc-que el precio se reduce de $ 1 a $ 0,95. ción del movimiento. Si x es la distancia OA del pie de la escalera a la pared, y y la distancia OB de la parte alta al JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 101suelo, tendremos, según el enunciado del problema, función dx mts 3t  1que AB = 2 mts,  0.2 , y se trata de calcular P(t )  . dt seg 2t  1dy dy dx ¿Cuál será la rapidez de cambio de esta población en , y el momento en que  . 2030 (cuando t = 33)?dt dt dtTenemos que empezar por expresar y en función de Soluciónx. Esto se hace con ayuda de la figura, notando que La rapidez de cambio de P(t) corresponde a la derivadapuesto que OA es horizontal y OB es vertical, el de P(t). (2t  1)(3t  1)´  (3t )(2t  1)´triángulo AOB es rectángulo. Por lo tanto, P´(t )  (OB)2 + (OA)2 = (AB)2 (2t  1)2es decir, y + x = 22 y despejando y, tendremos: 2 2 (2t  1)(3)  (3t )(2) 1   . y 4x 2 (2t  1)2 (2t  1)2 que es la relación buscada entre y En 2030 (t = 33), la rapidez de cambio de la población y x, es decir, la expresión de y será como función de x. 1 1 P´(33)   Para obtener la velocidad de va- [2(33)  1]2 4489 dy riación habrá que hallar dy  2,23 x 104 millones. dt partiendo de esa ecuación y divi- Esto significa que hasta el año 2030 la población de la dir después por dt. Derivando la ciudad se estará incrementando aproximadamente en 223ecuación, resulta personas por año. dy  x  dx    Ejemplo dt  4  x2  dt Suponga que el costo diario de fabricar x artículos está   dy dado por la funciónPara hallar cuando la distancia x = 1.2 bastará C(x) = 0.05x2 + 13x + 55. dt dx Determine la derivada de la función costo por artículo esustituir los valores dados,  0, 2 y x = 1,2, en la interprete el resultado cuando x = 15. dt Soluciónderivada. Se obtiene El costo por artículo, se obtiene al dividir el costo total dy 1,2 0,24 mts  0,2     0,15 . C(x) entre la producción total x. Por tanto, el costo unita- dt 4  (1.2) 2 2,56 seg rio es dy 0,05 x 2  13x  55El signo negativo de indica que y está disminu- Cu ( x)  . dt xyendo, es decir, que la parte alta de la escalera se Derivando esta expresión, obtenemosmueve hacia abajo. Para encontrar la distancia a la x(0,05 x 2  13x  55)´  (0,05 x 2  13x  55)( x)´ dy dx dy Cu ( x)  ´que se verifica que  pongamos en lugar x2 dt dt dt x(0,10 x  13)  (0,05 x  13x  55)(1) 2 dx de en la derivada. Entonces es posible dividir x2 dt dy 0,05 x  55 2ambos miembros por el factor , y tendremos  dt x2 x En x = 15,1  de donde, 4  x2 0,05(15)2  55 4375 Cu ( x)  ´   0,194 dólares. 4 - x = x  2x = 4 2 2 2 (15)2 225 x = 2  x = 1,414 mts. 2 Lo cual significa que, cuando se producen 15 artículos, elEs decir, que en el instante en que el pie de la escale- costo por unidad está disminuyendo a una razón de 19ra se encuentra a 1,414 mts de la pared, es cuando los centavos de dólar por artículo.dos extremos se mueven a la misma velocidad. EjemploEjemplo Al dejar caer una piedra en las tranquilas aguas de unSuponga que la población de cierta ciudad, en el estanque, se forman ondas circulares que se mueventiempo t, desde 1997 (cuando t = 0) está dada por la hacia afuera, partiendo del lugar en que cayó la piedra, a JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 102la velocidad de 3 cm por seg. En el instante en que el dh v = 5,85 dm3. Como se trata de calcular cuandoradio del anillo que forma una de las ondas tiene 36 dtcm, ¿a qué velocidad aumenta la superficie que cir- dvcunda? v = 5,85 y  1 , hemos de buscar una relación entre h y dtSolución v, es decir, expresar h en función de v. Esta relación nosSea R el radio y A el área del círculo limitado por la proporciona la fórmula del volumen en función de h.una de las ondas. Entonces Esta fórmula es dA dR A = R2   2R  . d 2h 12 dt dt v  hd2  v. 12  Hay que expresar la variable d en función de h o de v. Lo más sencillo es expresar d en fun- ción de h por medio de la pro- porcionalidad que existe entre D y H, que son conocidos, d y h. En la figura, los dos triángu- los invertidos de bases, D y d, yLa velocidad de la onda hacia fuera es la velocidad a alturas, H y h, respectivamente, dR dR cmque aumenta el radio . Por lo tanto, 3 ,y son semejantes, y, por consi- dt dt seg guiente, d : h = D : H. Por loen el instante en que el radio es R = 36 cm, el área tantoaumenta a la velocidad d D 3    0.6  d = 0.6h  d2 = 0.36h2. dA cm2 h H 5  2  36  3  216  678,24 . dt seg Sustituyendo este valor de d2 en la fórmula anterior, se obtieneEjemplo 12 12 3 0,36h3  v  h  3  vEn un depósito cónico de 5 dm de altura y 3 dm de  0,36diámetro en la parte de arriba, cae agua a razón de un h  2,2 3 v .decímetro cúbico por segundo. En el momento enque el depósito está a medio llenar, ¿a qué velocidad Derivando con respecto de t, obtenemos dh 0,74 dvse eleva la superficie del agua?   .Solución dt 3 v 2 dtSupongamos que la figura representa la forma y las dv Por lo tanto, cuando v = 5.85 y  1 , tenemosdimensiones del depósito. Entonces, si v representa dtel volumen de agua contenida en l depósito cuando la dh 0,74 0,74 dmaltura de la superficie sobre el vértice del cono es h,    0,23 . dt 3 (5,85)2 3 34,2 segla velocidad a la cual entra el agua es igual a la velo- dv dh Es la velocidad a la que se va elevando la superficie delcidad a la que aumenta el volumen ,y es la agua. dt dtvelocidad a la cual aumenta la altura h, es decir, lavelocidad a la que se eleva la superficie. Las dimen- Ejemplosiones indicadas d y h son entonces variables y D y Un barco navega rumbo al Norte a la velocidad de veinteH son constantes. millas por hora. En un cierto momento otro barco cruza su ruta cuarenta millas al Norte, navegando rumbo al dv dm3 dhTenemos que 1 , y hay que hallar en el Este a quince millas por hora: dt seg dt a) ¿A qué velocidad se aproximan o se separan los dosinstante en que h sea la altura del agua correspon- barcos al cabo de una hora?diente al depósito medio lleno. b) ¿Y al cabo de dos horas?El volumen del cono es un tercio del área de la base c) ¿Al cabo de cuánto tiempo están en el instante en quepor la altura. Por lo tanto, el volumen total es ni se aproximan ni se alejan? 1 D2 D2 H   32  5 d) En aquel momento ¿a qué distancia se encuentran?  H    11,7 dm3 3 4 12 12 Soluciónpara las dimensiones dadas. Por lo tanto, cuando Expresaremos la distancia entre los barcos en función delesté lleno hasta la mitad el volumen de agua será tiempo transcurrido desde que el segundo cruzó la ruta JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 103del primero. Entonces, la velocidad a que varía esta ds millas a) Al cabo de una hora, t = 1 y  7 y los bar-distancia será la velocidad a que se aproxima o sepa- dt horaren. Supongamos que P representa la posición del cos se aproximan.primer barco cuando el segundo cruza su ruta en O, ds millas40 millas al norte. Al cabo de un determinado núme- b) Al cabo de dos horas, t = 2 y  15 , lo que dt horaro t de horas, el barco que navega rumbo al Este indica que los barcos se separan.habrá llegado al punto A, y el barco que navega rum- c) Momentáneamente ni se alejan ni se acercan en elbo al Norte habrá llegado al punto B. La distancia instante en que dejan de aproximarse y empiezan a sepa-que hay entre ellos será entonces AB. Hay que expre- rarse. Entonces se encuentran en la posición más próximasar esta distancia en función del tiempo t transcurrido dsdesde que A pasó por O y B pasó por P. y se verifica que  0 , es decir dtSi tomamos O como punto de referencia y hacemos 5(25t  32)  0  5(25t – 32) = 0OA = x, OB = y, AB = s, OP = 40, s  x2  y 2 . 25t 2  64t  64 dy millas 7La velocidad del barco B es  20 y la del t 1 horas = 1 hora 16 minutos 48 segundos dt hora 25 dx millas 7barco A es  15 . De esto se deduce que d) Al cabo del tiempo t  1 horas, dt hora 25cuando haya transcurrido t horas, B habrá recorrido 96 72 x millas , y  millas .la distancia PB  20t y el barco A la distancia 5 5 OA  15t . Y según los datos será La distancia entre los barcos será OB  OP  PB  40  20t . 2  96   72  2 s        24 millas .Por lo tanto x = 15t, y = 40 – 20t.  5   5 Reemplazando estos valores en s  x2  y 2 , ten-dremos para la distancia Ejemplo Un aeroplano volando horizontalmente y en línea recta a s  (15t )2  (40  20t )2 la velocidad de 300 km por hora y a una altura de 500 m,  625t 2  1600t  1600 cruza perpendicularmente una carretera recta y horizontal justamente en el momento en que un automóvil pasa por  5 25t 2  64t  64 . debajo de él a 60 km por hora. ¿A qué distancia se en-Esta es la relación que liga a la distancia s que separa cuentran y a qué velocidad se estarán separando un minu-a los barcos y al tiempo t transcurrido desde el cruce to después? ds Solución por O. Si en algún momento la velocidad es dt Supongamos que C representa la posición del avión en elpositiva, la distancia aumenta, es decir, los barcos se instante en que el automóvil está en el punto 0 situado enseparan. Si es negativa, se aproximan. Para hallar la la vertical del aeroplano. Entonces, CP es la dirección del ds avión y 0B la del automóvil. Si las flechas indican la velocidad derivamos la última ecuación dirección del movimiento, al cabo de t minutos ocuparán dt ds 5(25t  32) la posición P y B y la distancia en línea recta que los  separa será el segmento PB = s. Tenemos que hallar el dt 25t 2  64t  64 valor de s en un instante cualquiera t y también su velo- ds cidad de cambio . Tracemos 0A paralela a CP. Tra- dt cemos también la vertical PA desde P; tracemos AB, y llamemos a las distancias, tal como muestra la figura, x, y, h. Entonces, 0AB es un triángulo rectángulo de catetos 0A y 0B e hipotenusa AB, y PAB es un triángulo rectán- gulo de catetos AP y AB e hipotenusa PB = s. Por lo 2 2 tanto, s 2  AB  h2 , y como AB  x2  y 2 resulta s 2  x 2  y 2  h2 (1) dx km Puesto que el aeroplano vuela a la velocidad 5 dt minAplicando esta fórmula se obtiene: JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 104 dy km d) ¿Cuál es el costo actual de producir el artículo 51?y el automóvil corre a la velocidad 1 , al dt min Solucióncabo de t minutos se encontrarán a las siguientes a) C(50)  1250  5(50)  6 50distancias del punto de cruce:  1542,42 dólares;CP = x = 5t, 0B = y = t, 0C = h = ½ km (2) b) El costo marginal, es la derivada de la función C(x):Puesto que 500 mts es la mitad de un kilómetro. Uti- 3lizando esos valores de x, y, h, para sustituirlos en (1), C ´( x)  5  dólares; xtendremos 3 2  1  104t  1 2 c) C ´(50)  5   5,42 dólares; s 2  25t 2  t 2     50 2 4 d) El costo actual de producir el artículo 51, lo calcu- 104t 2  1 lamos de la siguiente manera: s (3) 2 C(51)  C(50)  1250  5(51)  6 51  1250  5(50)  6 50  1547,84  1542,42  5,42 dólares. Ejemplo El costo total para una empresa, de manufacturar x ar- tículos está dado por la función C(x) = x2 + 15x + 25: a) ¿Cuál es el costo de manufacturar 1000 artículos?; b) Encuentre el costo marginal de la función; c) Calcule el costo marginal para x = 1000; d) ¿Cuál es el costo actual de manufacturar el artículo 1010?; e) Encuentre la función del costo promedio; f) ¿Cuándo es el costo promedio igual al costo margi- nal.que es la distancia entre el aeroplano y el automóvil Soluciónun número cualquiera t de minutos después del cruce. a) Para calcular el costo de manufacturar 1000 artícu- ds los, tenemos que reemplazar x = 1000 en C(x). Es decirLa velocidad a la que se separan es . De (3) se dt C(1000) = (1000)2 + 15(1000) + 25deduce = 1015025 dólares; ds 1 208t 52t b) Encontramos el costo marginal, derivando la función    (4) dt 2 2 104t 2  1 104t 2  1 C(x). Es decirque es la velocidad a la que se separan en el tiempo t. C ´(x) = 2x + 15 dólares;Valiéndonos de (3) y de (4) hemos de calcular la c) Para calcular el costo marginal para 1000 artículos, ds tenemos que reemplazar x = 1000 en C´(x). Es decirdistancia s y la velocidad al cabo de un minuto. C ´(1000) = 2(1000) + 15 = 2015 dólares; dtSiendo t = 1, la ecuación (3) da d) El costo actual de producir el artículo 1010, lo calcu- lamos de la siguiente manera: 104  1 105 s   5,1 km C(1010) – C(1009) = (1010)2 + 15(1010) + 25 – 2 2 - (1009)2 – 15(1009) – 25y la ecuación (4) da = 1035275 – 1033241 ds 52 52 = 2034 dólares;   dt 104  1 105 e) Para calcular el costo promedio, dividimos la fun- km km ción costo C(x) para el número de artículos  5,09  305,4 . min hora x 2  15 x  25 C ( x)  . xEjemplo f) El costo promedio es igual al costo marginal, cuandoEl costo de ampliar una empresa que produce x ar- C ( x)  C ´( x) . Es decirtículos está dado por la función x 2  15 x  25 C ( x)  1250  5x  6 x  2 x  15 xa) ¿Cuál es el costo total de producir 50 artículos?;b) Encuentre el costo marginal de la función; x2 = 25  x = 5 artículos.c) ¿Cuál es el costo marginal cuando x = 50?; JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 105Ejemplo c) La razón de porcentaje de cambio en la cantidadUna función de costo de producción está dada por demandada al porcentaje de cambio en el precio es C(x) = x3 – 10x2 + 350x + 500: c( D( p)  D(c)) 15(33) 495    4,7a) Encuentre la función del costo marginal; ( p  c ) D (c ) 105 105b) ¿Cuál es el mínimo costo marginal? d) El punto de elasticidad de la demanda para p = $ 15Solución esa) La función costo marginal, la encontramos deri- 15(2  30) 480vando C(x): E (c)    4,6 . 150  30  225 105 C ´(x) = 3x2 – 20x + 350 dólares.b) Para encontrar el mínimo costo marginal, deri- Ejemplovamos la función C(x) y luego a esta nueva función Se lanza verticalmente al aire una pelota con velocidadle igualamos a cero, es decir: inicial de 70 mts/seg. Su desplazamiento en el instante t 10 6x – 20 = 0  x   3,33 artículos. vendrá dado por la ecuación S(t) = 70t – 17,5t2: 3 a) Calcular la velocidad media durante el primer medioEste valor de x lo reemplazamos en la función costo segundo, el primer segundo y el segundo segundo;marginal y obtenemos el mínimo costo marginal. b) Hallar la velocidad de la pelota al cabo de 1 segundo y 3 segundos;Ejemplo c) ¿Cuándo alcanzará la pelota su altura máxima?;La función de costo total de una central eléctrica se d) Hallar la velocidad de la pelota como función de t.estima como ¿Qué velocidad tendrá el instante de máxima altura?¿Y C(x) = 16,50 + 0,125x + 0,00450x2, cuándo llegue al suelo? ¿Cómo se puede saber por laC es el costo total de combustible para un periodo de velocidad si la pelota sube o baja?8 horas; x es el porcentaje de capacidad: Solucióna) Encuentre la curva de costo marginal; sb) Encuentre C´(55). a) La velocidad media está dada por Vmedia  : tSolución 30,625  0 mtsa) Para encontrar la curva de costo marginal, tene- t = ½ seg: Vmedia   61,25 ;mos que derivar la función costo total C(x): 0,5  0 seg C´(x) = 0,125 + 0,009x dólares 52,5  0 mts t = 1 seg: Vmedia   52,5b) C´(55) = 0,125 + 0,009(55)  0,62 dólares. 1 0 seg 70  0 mtsEjemplo t = 2 seg: Vmedia   35 20 segSi la función de demanda está dada por D(p) = 150 – b) La velocidad está dada por la derivada de S(t). Es2p – p2. Suponga que p sube de 15 a 16 dólares: decir, V = S´(t) = 70 – 35t:a) Calcule el porcentaje de cambio en precio; t = 1 seg: S´(1) = 70 – 35(1) = 35 mts/seg;b) ¿Cuál es el porcentaje de cambio en la cantidad t = 3 seg: S´(3) = 70 – 35(3) = - 35 mts/seg.demandada?; c) Para que la pelota alcance su altura máxima, debe-c) Encuentre la razón de porcentaje de cambio en la mos igualar a cero la primera derivada. Es decir:cantidad demandada al porcentaje de cambio en elprecio; S´(t) = 0  70 – 35t = 0  t = 2 seg.d) Encuentre el punto de elasticidad de la demanda d) La velocidad de la pelota como función del tiempo espara p = $ 15. S´(t) = 70 – 35t. El instante en que alcanza la altura má-Solución xima es S´(2) = 0. La pelota llega al suelo cuando S(t)a) El porcentaje de cambio de precio es = 0, es decir  pc  16  15  t  0 100% 70t – 17,5t2 = 0    100%   100%   6,7% t  4  c   15  15b) El porcentaje de cambio en la cantidad deman- por tanto será en el cuarto segundo. De acuerdo al signodada es de la primera derivada, se puede saber si la pelota sube oD ( p )  D (c ) baja. 100%  D (c ) Ejemplo 150  2(16)  (16)2  150  2(15)  (15)2 Considérese una varilla metálica delgada PQ. Dado un  100% 150  2(15)  (15)2 punto A en la varilla, represéntese por d su distancia a P,  31,4 % y por m la masa del trozo de varilla entre P y A. Se dice que la varilla es homogénea si existe una constante k tal JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 106que m = kd; tal k se llama densidad lineal de la vari- No tiene sentido hablar de densidad lineal en el punto della: unión, ya que en dicho punto no existe continuidad en ela) En el caso de una varilla no homogénea, definir material.apropiadamente la densidad lineal media de un seg-mento de la varilla, y la densidad lineal (instantánea) Ejemploen un punto. Dos automóviles dejan una intersección al mismo tiem-b) Supóngase que la longitud de la varilla es de 25 po. Uno viaja hacia el este a una velocidad constante decm y que su distribución de masa viene dada por 60 km/h, mientras que el otro va hacia el norte a unam = 3d + 5d2. Calcular la densidad lineal media de la velocidad constante de 80 km/h. Hallar una expresiónvarilla y la densidad lineal en el punto d = 10 cm. para el ritmo al que la distancia entre los coches estác) Supóngase que la varilla consta de dos varillas cambiando con respecto al tiempo.homogéneas de 12,5 cm de longitud cada una, yux- Solucióntapuestas. Si la densidad lineal del primer segmento Tenemos que r es la relación del ritmo de cambio,es 5 g/cm y la del segundo 8 g/cm, hallar m. ¿Tienesentido hablar de la densidad lineal de la varilla en elpunto de unión d = 12,5?SoluciónLa varilla pesa M gr., la varilla es homogénea sim = kd.a) En un segmento de la varilla: m d N d E m = kd  k  VN  , vE  , t N  tE . d t N t EEn el punto A: Del triángulo de la figura, deducimos que m dr dx dy k r2 = x2 + y2  2r  2x  2 y d dt dt dtentonces la densidad lineal media de un segmento de dr x dx y dyla varilla es   dt r dt r dt dk m  2 reemplazando los datos conocidos, obtenemos dd d dr x km y km  80  60y la densidad lineal instantánea en un punto es dt r hora r hora M m k  80 x 60 y  km Dd    .  r r  horab) Sabemos que D = 25 cm y m = 3d + 5d2.Entonces la densidad lineal media de la varilla es Ejemplo M m 3200  0 k  k  k = 128 gr/cm. Si un objeto es dejado caer o lanzado verticalmente, su Dd 25  0 altura después de t segundos es H(t) = -16t2 + S0t + H0,La densidad en el punto d = 10 cm, está dada por donde S0 es la velocidad inicial y H0 es su altura inicial. m k  lim  lim (3  10d ) Use esta fórmula para resolver lo siguiente: d  0 d d  0 a) Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio gr de 144 metros de altura. ¿Cuándo golpeará el suelo la  3  10d  3  10(10)  103 . cm piedra? ¿Con qué velocidad golpeará la piedra el suelo?c) Sabemos que b) Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba desde d1 = d2 = 12,5 cm, k1 = 5 gr/cm, k2 = 8 gr/cm, el suelo con una velocidad inicial de 60 metros por se- m1 = 62,5 gr, m2 = 100 gr. gundo (S0 = 60). ¿Cuándo golpeará la bola el suelo? ¿Con qué velocidad golpeará la bola el suelo? ¿Cuándo alcanza la bola su máxima altura? ¿Qué altura alcanzará la bola? c) Un hombre, de pie en lo alto de un edificio, lanza una JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 107bola verticalmente hacia arriba. Después de 2 segun- El signo de la velocidad, indica que el objeto cae. Lados, la bola pasa ante él en su camino hacia abajo, y velocidad de la bola cuando golpea el suelo, se calcula2 segundos después de esto golpea el suelo. ¿Cuál es reemplazando S = 32 mts/seg y t = 4 seg en la derivadala velocidad inicial de la bola? ¿Cuál es la altura del de la función H(t):edificio? ¿Cuál es la velocidad de la bola cuando V(4) = -32(4) + 32  V(4) = -96 mts/seg.pasa ante el hombre en su camino hacia abajo? ¿Cuál El signo de la velocidad, indica que el objeto cae.es la velocidad de la bola cuando golpea el suelo? d) De la función H(t) = -16t2 + S0t + H0, hacemos qued) Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba H0 = H:desde el suelo con una cierta velocidad inicial S0. S0 H = -16t2 + S0t + H  0 = -16t2 + S0t  t  .Obtenga una fórmula para el tiempo en el que la bola 16golpea el suelo. Use el resultado anterior para de- Derivamos la función H(t) y luego reemplazamos t:mostrar que la bola estará cayendo a una velocidad dH S de S0 metros por segundo cuando golpea el suelo.  32t  S0  V  32  0   S0  V  S0 . dt  16 Solucióna) En este caso, tenemos que H = 0, H0 = 144 mts yS0 = 0. Remplazando estos datos en H(t), obtenemos Ejemplo La ley de Poiseuille afirma que la velocidad de la sangre 0 = -16t2 + 0t + 144  t = 3 seg. que está a r centímetros del eje central de una arteria deLa velocidad con que la piedra golpeará el piso, se radio R es S(r) = c(R2 – r2), donde c es una constantededuce de derivar la función H(t): positiva. ¿Dónde es mayor la velocidad de la sangre? dH  32t  S0  V(3) = - 32(3) + 0 Solución dt Derivamos la expresión dada V(3) = -96 mts/seg. dS  dR dr El signo de la velocidad, indica que el objeto cae.  c  2R  2r b) Aquí, tenemos que H = H0 = 0 y S0 = 60 mts/seg. dr  dr dr Remplazando estos datos en H(t), obtenemos dR Ya que el radio de la arteria no varía, entonces 0. 0 = -16t2 + 60t + 0  t = 3,75 seg. drLa velocidad con que la piedra golpeará el piso, se Por tantodeduce de derivar la función H(t): dS  dR dr   c  2R  2r  dH  32t  S0  V(3,75) = - 32(3,75) + 60 dr  dr dr  dt De esta última expresión, podemos deducir que por el V(3,75) = -60 mts/seg. signo de la derivada, la velocidad de la sangre que circulaEl signo de la velocidad, indica que el objeto cae. por la arteria es mayor cuando lo hace por el eje central. dHComo  0 , entonces la altura máxima la calcu- dt Ejemplolamos derivando H(t) y luego reemplazando los datos Se inyecta aire en un balón esférico de goma a tal veloci-conocidos: dad que el radio aumenta a razón de un centímetro por dH segundo. ¿A qué velocidad se está inyectando aire cuan-  32t  S0  0  32t  60  t = 1,875 seg. dt do el radio es de dos decímetros?Para calcular la altura que alcanza la bola, en la Soluciónecuación H(t) reemplazamos t = 1.875 seg y H0 = 0: En este caso tenemos que H(1,875) = -16(1,785)2 + 60(1,875) + 0 = 56,25 mts. dr 1 cm  0,1 dm , r = 2 dm. Sabemosc) Para este caso debemos observar que H = H0 = 0, dt seg segt = 2 seg. Reemplazando estos datos en la ecuación 4H(t), obtenemos que el volumen de la esfera es V   r 3 . 3 0 = -16(2) + 2S0  S0 = 16 mts/seg. Derivando esta expresión, respecto delPara calcular la altura del edificio tenemos que tiempo, obtenemosS0 = 32 mts/seg, t = 4 seg, entonces dV dr 0 = -16(4)2 + 32(4) + H0  H0 = 128 mts.  4r2 dt dtPara calcular la velocidad de la bola cuando pasa Reemplazamos los datos conocidosante el hombre en su camino hacia abajo, derivamos dV 1 dV 8  dm3 dV dm3la función H(t):  4  (2)2     5,03 dt 10 dt 5 seg dt seg dH  32t  S0 dt V(2) = -32(2) + 32 = - 32 mts/seg. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 108Ejemplo Reemplazando los valores conocidos, tenemosSe calienta una lámina metálica en forma de triángu- ds dm dy pieslo equilátero de tal manera que cada uno de los lados 6   6,6 . dt seg dt segaumenta a razón de diez centímetros por hora. ¿A Calculamos la velocidad a la que se mueve el extremo dequé velocidad aumenta el área en el instante en que su sombra de la siguiente manera: Del triángulo tenemoscada lado mide 69,28 cm? que z = x + y, derivando esta expresión con respecto alSolución tiempo, obtenemos Tenemos que dz dx dy dx cm    10 , x = 69,28 dt dt dt dt hora reemplazando los datos conocidos, tenemos cm. De la figura podemos dz pies pies dz pies deducir que el área del  4,4  6,6   11 . triángulo es dt seg seg dt seg x xy A y  A 2 2 Ejemplo Un hombre corriendo a lo largo de la orilla recta de unDerivando esta expresión, obtenemos río de 120 m de anchura se aproxima hacia un bote que dA 1  dy dx  dA 1 dx hay en esa orilla, a razón de 5 m por segundo. En el mo-  x  y    y mento en que está todavía a 50 m del bote, ¿a qué veloci- dt 2  dt dt  dt 2 dt dad se estará aproximando al punto de la orilla opuesta dA 3 dx que esté justamente enfrente del bote?  x dt 4 dt SoluciónReemplazamos los datos conocidos Tenemos los siguientes dA 3 dA cm2 dx mts   (69,28)  10   300 . datos: 5 , dt 4 dt hora dt seg dyEjemplo x = 50 mts, 0, dtUn hombre de seis pies de altura se aleja de un farol y = 120 mts. Del triángu-a razón de tres millas por hora sobre un pavimento lo de la figura, tenemoshorizontal. Si el farol está a diez pies por encima del z2 = x2 + y2. Derivando esta expresión, con respecto delsuelo, ¿a qué velocidad aumenta de longitud la som- tiempo, encontramosbra?, ¿a qué velocidad se mueve el extremo de su dz dxsombra? s  52  122  13  z x dt dtSolución dz x dxPara calcular la velocidad con que cambia la longitud  de su sombra, tenemos lo siguiente: Sabemos que dt x 2  y 2 dt dx millas pies Reemplazando los datos conocidos, obtenemos 3  4,4 , H = 10 pies, h = 6 pies. dt hora seg dz 50 mts dz mts  5   1,92 . Haciendo una rela- dt (50)  (120) 2 2 seg dt seg ción de triángulos, obtenemos x y H Ejemplo  Un hombre de pie sobre un malecón atrae con una cuerda y h un bote al que está amarrada, a razón de 4 dm por segun- xh do. Si sus manos están 9 dm por encima del punto de y H h amarre, ¿a qué velocidad se aproxima el bote al malecónDerivando esta expresión con respecto del tiempo, cuando esté a 12 dm de distancia?tenemos Solución  dh dx   dH dh  dz dm ( H  h)  x  h   xh    Tenemos los siguientes datos: 4 , y = 9 dm, dy   dt dt   dt dt  dt seg dt ( H  h) 2 x = 12 dm. Del triángulo, obtenemos z2 = x2 + y2. Deri- dy h dx vando esta expresión, con respecto del tiempo, encon-   tramos dt H  h dt JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 109 Solución dz dx dy dx x 2  y 2 dz 2z  2x  2 y    dh dz mts dt dt dt dt x dt Consideramos la altura h constante, 0,  15 dt dt min dx km mts y 3  50 . Haciendo dt hora min x2 + h2 = z2, derivamos esta expre- sión con respecto del tiempo dx dh dz 2x  2h  2z dt dt dt dx dz x z dt dt dx 122  92 dm dx dm  4  5 . Reemplazando los datos conocidos, obtenemos dt 12 seg dt seg dx mts x 30 mt  50 z dt  min  100 mtsEjemplo dz mtsUn extremo de un alambre enrollado en un carrete 15 dt minestá amarrado a lo alto de un poste de 35 dm de altu- Sabemos quera; dos hombres sujetando el carrete en un palo quelo sostiene a 5 dm sobre el nivel del suelo horizontal x2 + h2 = z2  h2 = z2 – x2  h  z 2  x 2se alejan del poste a la velocidad de 5 km/hora, man- Reemplazando los datos conocidos, obtenemosteniendo tirante el alambre. ¿A qué distancia del h  (100 mt)2  (30 mt)2  9100 mt 2  10 91 mts .poste se encontrarán cuando el alambre se esté des-enrollando a razón de 1 km/hora? EjemploSolución Suponiendo que el volumen de un árbol sea proporcional En este caso tenemos: al cubo de su diámetro (V = kD3, siendo k una constante) dy dx km 0, 5 , y que el diámetro aumenta siempre a la misma velocidad, dt dt hora ¿cuánto más rápido es el crecimiento en volumen del dz km árbol cuando el diámetro es de 36 cm a cuando era de 6 1 , y = 30 dt hora cm? dm. Del triángulo Solución rectángulo podemos dV dV deducir que Sabemos que V = kD, donde  3kD 2 y es cons- dD dD z2 = x2 + y2 (1) tante. Derivando con la regla de la cadena, tenemosDerivamos esta expresión con respecto del tiempo dV dV dD dV dD dz dx dy dz dx     3kD 2  2z  2x  2 y  z x (2) dt dD dt dt dt dt dt dt dt dt Cuando D = 6 cm, entoncesDe la ecuación (1), tenemos z  900  x2 . Reem- dV  3k (6 cm)2  108k cm2 .plazando todos los datos en la ecuación (2), obtene- dDmos Cuando D = 36 cm, entonces 10000 900  x  50000 x  900  x  5x 2 2 dV  3k (36 cm)2  3888k cm2 . 15 dD x  6,124 dm . Hacemos la relación 6 dV (36) dD 3888k dt  dt  36Ejemplo dV (6) dDUn viento de 3 km/hora, que sopla en dirección hori- 108k dt dtzontal, arrastra una cometa, manteniéndola siempre Por tantoal mismo nivel, alejándola del niño que sostiene la dV (36) dV (6)cuerda. ¿Cuál es la altura de la cometa en el instante  36en que pasa por la vertical de un punto situado a 30 dt dtm del niño, si éste está largando cuerda en aquel El crecimiento en volumen del árbol es 36 veces másmomento a razón de 15 mts/min? rápido. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 110Ejemplo dh 4 dm3 dm3Al calentar hasta el punto de fusión un lingote de   720  1,02 . dt 9  π 52 min minplata en forma de ladrillo, se dilata una milésimaparte de cada una de sus tres dimensiones por cada Por tanto la velocidad a la que aumenta la altura del mon-grado que aumenta la temperatura. ¿Cuánto aumenta tón de arena en el momento en que alcanza el orificio depor cada grado su volumen cuando las dimensiones salida es 1,02 dm3/min.son 2 x 3 x 6 decímetros?Solución EjemploSabemos que Un bloque de piedra de edificar ha de ser levantado por dx dm dy dm una cuerda de 50 dm de largo que pasa por una polea  0,001 ,  0,001 , situada en el borde de una ventana a 25 dm por encima dT C dT C del nivel del suelo. Un hombre, sujetando el extremo dz dm  0,001 . libre de la cuerda a 5 dm sobre el nivel del suelo, se aleja dT C del bloque de piedra a razón de 10 dm por segundo. ¿A Como el volumen del lingote es qué velocidad empezará a elevarse el bloque de piedra? V = xyz, entonces Solución dV dx dy dz Sabemos que  yz  xz  xy dT dT dT dT dx  10 dm , h = 20, dV dx dy dz dt  yz  xz  xy dT dT dT dT dhReemplazando los datos conocidos, tenemos s = 25,  0 . De la dt dV figura, podemos deducir  3  6  0,001  2  3  0,001  2  6  0,001 dT que s2 = h2 + x2, enton- 2 2 2 dm3 ces h = s – x . Derivando esta expresión, obtenemos  0,036 . dh ds dx C 2h   2s   2 x Esto quiere decir, que el volumen aumenta 0.036 dm3 dt dt dtpor cada °C. dh ds dx ds x dx h  s  x    dt dt dt dt s dtEjemplo Calculamos x de la siguiente manera:Un volquete vierte arena que queda formando un x2 = s2 – h2  x  s 2  h2montón cónico cuya altura es igual a 1/3 del diáme-tro de la base. Si el camión se está vaciando a razón x  252  202  15de 720 dm3 por minuto y si la salida está a 5 dm Reemplazando los valores establecidos, tenemossobre el nivel del suelo ¿a qué velocidad aumenta la ds 15 dm ds dmaltura del montón en el momento en que alcanza el  10  6 . dt 25 seg dt segorificio de salida?Solución EjemploSabemos que Una cuerda de 28 m de largo está amarrada a un bloque 1 dV dm3 1 de piedra situado en el suelo horizontal, y pasa por una h d ,  720 , V  r2 h . 3 dt min 3 polea que hay a 12 m por encima del suelo. La cuerdaReemplazando los datos conocidos en el volumen del está puesta bien tensa y con un motor se tira de su extre- como, tenemos mo libre, a razón de 13 mts/seg. ¿A qué velocidad se 1 d2 moverá el bloque cuando esté a 5 m de distancia del V  h punto que hay inmediatamente debajo de la polea? 3 4 Solución 1 (3h)2 V  h Sabemos que dy  0 , x = 5 mts, 3 4 dt 3 y = 12 mts. Podemos calcular s de V   h3 . 4 la siguiente manera: Derivando con respecto al s2 = x2 + y2 tiempo s  x2  y 2 dV 9 2 dh dh 4 dV  h   dt 4 dt dt 9  h2 dt s  52  122  13 . JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 111De aquí podemos hacer que x2 = s2 – y2. Derivando observamos que h2 = x2 + y2, de dondeimplícitamente esta expresión, obtenemos dx dy 5 2 = x2 + y2  0  2 x  2y dx ds dy dx s ds dt dt 2 x   2s   2 y     dt dt dt dt x dt dy x dx  dx 13 mts dx mts dt y dt  13   33,8 . dt 5 seg dt seg sabemos que y = h – x = 25 – 9 = 16, de donde y = 4. Reemplazamos en la última ecuación y obtenemosEjemplo dy 3 cmUn depósito tiene la forma de un cono con el vértice  . dt 2 minhacia abajo, y su altura y su diámetro son ambos de10 dm. ¿A qué velocidad entrará agua en el mismoen el momento en que la altura del agua en el depósi-to sea de 5 dm y su superficie se eleve a la velocidadde 4 dm por minuto?Solución dhSabemos que  4 dm , h = 5 dm, r = 5 dm. El dtvalor de x lo calculamos haciendo una relación de Del triángulo, también podemos deducir que el área estriángulos xy dA 1  dy dx  10 5 h A   x  y    x . 2 dt 2  dt dt  h x 2 dA 1   3   7 cm2El volumen de un cono está dado por   3    4(2)   . 1 1 dt 2   2   4 min V   x 2 h  V   h3 3 12 Ejemplo Se está inflando un globo esférico de modo que el volu- men aumenta uniformemente a razón de 40 cm3/minuto. ¿A qué velocidad estará aumentando el área de la super- ficie en el momento en que el radio mida 8 centímetros? Solución Sabemos que el aumento uniforme del volumen del globo es dV cm3  40 el radio es r = 8 cm, dt min dA debemos encontrar . Para estoDerivando esta expresión, con respecto al tiempo, dtobtenemos nos valemos del volumen de la dV 1 dh dV 1 2 dh 4     3  h2    h esfera V   r 3 , entonces dt 12 dt dt 4 dt 3Reemplazando los datos obtenidos, tenemos dV 4 2 dr dV dr   3r    4r2 dV 1 dV dm3 dt 3 dt dt dt   (52 )(4)   78,54 . dt 4 dt min dV dr 40 5 cm  dt 2   .Ejemplo dt 4  r 4 π 82 32 π minLa hipotenusa AB de un triángulo rectángulo ABC, El área de la superficie es A = 4r2, de aquí queconserva una longitud de 5 cm mientras que los otros dA dr drdos lados varían, aumentando el lado AC a razón de  4    2r   8  r2 cm por minuto. ¿A qué velocidad cambiará el área dt dt dtdel triángulo en el momento en que AC mida 3 cm? dA 5 cm2  8 π 8  10 .Solución dt 32π min dx cmTenemos que 2 y x = 3 cm. Del triángulo dt min JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 112EjemploUn aeroplano de combate vuela en línea recta si-guiendo una ruta horizontal pretendiendo cruzar laruta de otro avión de bombardeo que también vuelahorizontalmente y en línea recta. El avión de comba-te vuela a un nivel situado 94 m por encima delbombardero, y sus rutas se cruzan en un ángulo de 60grados. Ambos aeroplanos se dirigen hacia el crucede sus rutas, por el mismo lado de dicho cruce, vo-lando el bombardero a 200 km/hora y el avión decombate a 300 km/hora. En el momento en que elavión de combate esté a 10 km y el bombardero a 7km del punto de cruce, ¿a qué velocidad se aproxi-man el uno al otro sobre la línea recta que une a losdos aeroplanos?Solución Derivando implícitamente con respecto del tiempo, te- dr km ds km nemosSabemos que  200 ,  300 , dt hora dt hora dz dr ds  ds dr  2 z  2r  2s  2  r  s  Cos = 60°, r = 10 km, s = 7 km, h = 94 mts. Del dt dt dt  dt dt triángulo podemos deducir que dr ds  ds dr  x2 = r2 + s2 – 2rsCos r  s   r  s  Cos dz dt dt  dt dt  x = 102 + 72 – 2(10)(7)Cos60° 2  x = 8.88 km. dt zDel otro triángulo, deducimos que Reemplazando en esta ecuación los datos conocidos, z2 = h 2 + x 2 obtenemos z = 0.094 + 8.82  z = 8.8 km. 2 2 dz 10  200  7  300  (10  300  7  200)Cos60 También nos damos cuenta que dt 8.8 z2 = h2 + x2  z2 = h2 + r2 + s2 – 2rsCos dz  215,9 km . dt hora3.3.3 Tarea1) Derivar las siguientes expresiones: x 1 1  3 a) f ( x)  2 ; b) f ( x)  x3 1  ; c) f ( x)  x 2  2 x3  4  ; x  x 1 x 1 2  4x   1  6 x x x 3 2 8 x 2  6 x  11d) f ( x)   x 2  2  ; e) f ( x)  ; f) f ( x)  ;  x  x3  x 2  x x 1 1 x3  x 2  1 1 1  2 x3  x 2  3x  17g) f ( x)  ; h) f ( x)    2  ; i) f ( x)  ; x 1 x x  2x  5 x4  x2  1  3x  4  3 f ( x)  1j) f ( x)  ; k) f ( x)    ; l) ; x  x 1 4 2  6x  7  1  x  x 2  x3 x5  1 x 4  3x 2  1 f ( x)  1m) f ( x)  ; n) f ( x)  ; o) ; x 15 (2 x  3) 4 (8  5 x  7 x 2 )10 2x2  1  12 2 x3  7 x 2  4 x  3p) f ( x)  ; q) f ( x)   x   ; r) f ( x)  ; 3x  4  x x2 5x4 x2  x  1 2 x3  3 x  4 u) f ( x)  (6 x  7)3 (8x2  9)2 ;s) f ( x)  ; t) f ( x)  ; x2  x  1 2 x3  3 x  4 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 113 1 2  2 x3  1 x2  4 x) f ( x)  .v) f ( x)  x x ; w) f ( x)  x 1 ; 2 2 2 3 1  x2  4   4 x  2 x 4  2x  4 3 x 1  x x  2) Resuelva la ecuación f ´(x) = 0 si: 3) Calcular, en los puntos indicados, las derivadasa) f ( x)  x3  6 x2  9 x  12 ; para las funciones siguientes: 1  x  x2 x2  x  6 a) f ( x)  , x = 0, x = 1;b) f ( x)  ; 1  x  x2 x 2  10 x  25 3c) f ( x)  x( x  1)2 ( x  2)3 . b) f ( x)  (1  x) 2  x 2 3  x3 , x = 0.4) Sea f(x), x  R una función en todos los puntos 9) Determine las derivadas a la derecha y a la izquier-derivable. Hallar g´(x) si: da en el punto a, para la función f ( x)  x  a g ( x) ,a) g ( x)  f ( x) , f(x) > 0; b) g ( x)  f ( x3 ) . donde g(x) es la función prefijada, continua en el punto a.5) Sean f(x) y g(x), x  R, funciones derivables entodo lugar. Hallar h´(x) si 10) De un ejemplo de función que en el punto de discontinuidad tiene una derivada infinita negativa. h( x)  n f 2 ( x)  g 2 ( x) , f2(x) + g2(x) > 0. 11) De un ejemplo de función continua en cierto pun-6) Determinen los valores de A y B con los que las to y que, en él, no tiene derivada ni a la izquierda ni a lafunciones, son por todo lugar continuas, son por todo derecha.lugar derivables:  Ax  B, x  1  12) El volumen V de una pequeña represa durante laa) f ( x)   ; época de lluvias está dado por V = 5000(t + 1)2, donde t   x2 , x  1 se mide en meses y 0 ≤ t ≤ 3. La tasa de cambio del  A  Bx 2 , x  1 volumen con respecto al tiempo es el flujo instantáneo b) f ( x)   1 ; hacia la represa. Calcule el flujo en los tiempos t = 0 y  x , x 1 t = 2. ¿Cuál es el valor del flujo cuando el volumen es  de 11200 pie cúbicos?   2 x  2, x  1 13) Dos automóviles se mueven a lo largo de carrete- c) f ( x)   A( x  1)( x  2)( x  B), 1  x  2 . ras horizontales rectilíneas, que se cruzan formando un  x ángulo de sesenta grados, acercándose uno de ellos al   1, x  2 cruce a 25 km/hora, y alejándose el otro de él a 30  2 km/hora, pero por el mismo lado. ¿A qué velocidad se acercan o se alejan uno del otro en el momento en que7) Investigue la derivabilidad de las funciones: ambos están a 10 km del cruce?a) f ( x)  x3 ( x  1)2 ( x  2) ; b) f ( x)  x x . 14) Un tren que va de A a B recorre todo el camino,8) Determine las derivadas a la derecha y a la iz- igual a 2400 kilómetros, en el transcurso de 44 horas 14quierda de las funciones en los puntos de discontinui- minutos. Determine la velocidad media del tren.dad: 15) El radio de un cilindro circular recto aumenta con  x(1  x 2 ) su coeficiente de variación constante. Su altura es una  , x0a) f ( x)   x ; función lineal del radio y aumenta tres veces más  rápidamente que éste. Cuando el radio es 1 metros su  1, x  0 altura es 6 metros. Cuando el radio es 6 metros, el vo-b) f ( x)  (1  x2 )Signx ; lumen crece a razón de 1 metro cúbico por segundo. x 2  3x  6 Cuando el radio es 36 metros, el volumen aumenta ac) f ( x)  . razón de n metros cúbicos por segundo, siendo n ente- x2  1 ro. Calcular n. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 11416) Una población de moscas crece en un recipiente a) ¿Cuál es la razón del cambio de distancia entregrande. El número de moscas P en cientos, a las t ellos?semanas está dado por P = 12t2 – t4 + 5. ¿Cuándo deja b) ¿Cuándo están uno frente a otro directamente?de crecer la población? ¿En qué intervalos de tiempo c) ¿Cuándo A está 1/8 de kilómetro delante de B?es positiva o negativa la tasa de crecimiento de la po- d) ¿Cuándo B está 1/8 de kilómetro delante de A?blación? 25) Un pontón flotante se atrae hacia la orilla con17) Un punto está en movimiento por la parábola t = ayuda de un cable que se enrolla en un torno a una8x – x2 de modo que su abscisa varía según la ley velocidad de 3 metros por minuto. Determine la veloci- x  t (x se mide en metros, t, en segundos). ¿Cuál dad de movimiento del pontón cuando se encuentra aserá la velocidad de variación de la ordenada del punto 25 metros de la orilla si el torno está situado en la orilla9 segundos después de comenzar el movimiento? a 4 metros de altura sobre el nivel de agua.18) Un tren y un globo aerostático parten de un mis- 26) La ley de Boyle para los gases dice que pv = cmo punto simultáneamente. El tren se traslada a una donde p es la presión, v el volumen y c una constante.velocidad uniforme de 60 kilómetros por hora. El Suponga que al tiempo t en minutos, la presión es 20 +globo asciende uniformemente a 15 kilómetros por 2t cm/Hg para 0 ≤ t ≤ 10, y que el volumen en t = 0 eshora. ¿A qué velocidad se distancia el uno del otro? de 60 centímetros cúbicos. Determine la razón de cam- bio del volumen con respecto al quinto minuto.19) El radio de un globo crece uniformemente a unavelocidad de 5 centímetros por segundo. ¿Cuál será la 27) Dos automóviles A y B viajan hacia un cruce ovelocidad de variación del volumen del globo en el intersección por carreteras perpendiculares. A se des-momento cuando el radio se hace igual a 50 centíme- plaza a 40 kilómetros por hora, y B, a 80 kilómetrostros? por hora. En cierto momento A está a 400 metros de la intersección y B a 800 metros. Calcule la rapidez con20) Cada arista de un cubo se dilata a razón de 1 que los automóviles se acercan en ese momento.centímetro por segundo. ¿Cuál es la razón de variacióndel volumen cuando la longitud de cada arista es x 28) Un automóvil baja por un plano inclinado. Elcentímetros? número de pies s(t) recorridos a los t segundos está dado por s(t) = 5t2 + 2. ¿Cuál es la velocidad en el21) Una rueda gira de tal manera que el ángulo de segundo segundo? ¿Cuándo alcanza una velocidad degiro es proporcional al cuadrado del tiempo. La prime- 28 pie por segundo?ra vuelta fue realizada en 8 segundos. Hallar la veloci-dad angular 64 segundos después del comienzo de 29) Un puente de ferrocarril pasa por arriba de un ríomovimiento. a 8 metros de él. Una persona a bordo de un tren que corre a 100 kilómetros por hora pasa por el centro del22) Un cuerpo de masa m = 1.5 kilogramos está en puente en el momento en que otra pasa por debajo delmovimiento rectilíneo según la ley S(t) = t2 + t + 1 centro del puente en una lancha de motor que va a 30metros. Hallar la energía cinética del cuerpo 5 segun- kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se alejan las dosdos después del comienzo del movimiento. personas 10 segundos después?23) Dos automóviles marchan por carreteras que se 30) Por el eje de abscisas se mueven dos puntos queintersecan en un ángulo recto, cada uno de los auto- tienen las siguientes leyes de movimiento; x = 100 + 5tmóviles en dirección a la intersección. ¿A qué veloci- 1 y x  t 2 . ¿A qué velocidad se separan uno de otro endad está aumentando la distancia entre ambos si el 2automóvil A está a kilómetro y medio de la intersec- el momento del encuentro (x se mide en metros, t ención y va a 90 kilómetros por hora mientras que el segundos)?automóvil B está a medio kilómetro de la interseccióny marcha a 80 kilómetros por hora? 31) Durante una nevada, se está formando hielo sobre una línea telefónica, y el espesor del hielo aumenta a24) Dos trenes marchan en vías paralelas separadas ¼ razón de 1/8 centímetros por hora. Consideremos unade kilómetros cada una, uno va a 40 kilómetros por sección de 1 centímetro de largo de cable en el que elhora y el otro a 60 kilómetros por hora, y ambos en hielo ha formado un cilindro de radio r pulgadas. ¿Aigual dirección. El pasajero A en el tren de menor qué velocidad aumenta el volumen de hielo sobre estavelocidad observa al pasajero B del otro tren: sección de 1 pie de cable? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 11532) Cuando se calienta un frasco que contiene 10 39) La relación entre la temperatura F en la escalamoles de un gas A, la velocidad de las moléculas del Fahrenheit y la temperatura C en la escala Celsius estágas aumenta y se forma un segundo gas B. Cuando 5chocan dos moléculas del gas A, se originan dos mo- dada por C  ( F  32) . ¿Cuál es la razón de cambio 9léculas del gas B. El número y de moles del gas B a los de F con respecto a C? 10tt minutos está dado por y  . Evalúe la rapidez de t4 40) Un punto P(x, y) se mueve sobre la gráfica de y2 =la reacción en mol por minuto, cuando el número de dy dx 2x3 de manera que  x para el tiempo t. Calculemoles del gas A es igual al número de moles del gas B. dt dt en el punto (2, 4).33) Un avión se desplaza en vuelo horizontal a 8kilómetros de altura. La ruta de vuelo pasa por encima 41) Un punto está en movimiento por la espiral dede un punto P del suelo. La distancia entre el avión y el Arquímedes r = a de modo que la velocidad angularpunto P disminuye a razón de 4 kilómetros por minuto de rotación de su radio polar es constante e igual a 6ºen el instante en el que esta distancia es de 10 kilóme- por segundo. Determine la velocidad de alargamientotros. Calcular la velocidad del avión en kilómetros por del radio polar r si a = 10 metros.hora. 42) La ley de Boyle dice que pv = c, donde p es la34) Los extremos de un abrevadero horizontal de 10 presión, v el volumen y c es una constante. Obtengapie de largo son trapecios isósceles cuya base inferior una fórmula para la razón de cambio de p con respectomide 3 pie, la superior 5 pie y la altura es de 2 pie. El a v.nivel de agua sube a razón de 1/5 de pulgada por minu-to cuando la profundidad es de 1 pie. ¿Qué cantidad de 43) Si W es el peso en libras de una persona y t elagua por minuto entra al abrevadero? dW tiempo en meses, entonces es la rapidez de ga- dt35) La resistencia eléctrica R de un alambre de cobre nancia o pérdida de peso en libras por mes. El recordde longitud constante es inversamente proporcional al mundial de rapidez de pérdida de peso corresponde acuadrado de su diámetro d. ¿Cuál es la tasa de cambio un cambio de 487 a 130 libras en un período de ochoo variación R con respecto a d? meses. Demuestre que la tasa de pérdida de peso exce- dió 44 libras por mes en algún momento durante dicho36) Un fabricante de motores pequeños calcula que el período.costo de producción de x unidades al día está dado por 100C ( x)  100  50 x  . Compare el costo marginal de 44) Un triángulo rectángulo variable ABC en el plano x cartesiano tiene su ángulo recto en el vértice B, unproducir 5 motores con el costo de la producción del vértice A fijo en el origen, y el tercer vértice C sobre lasexto motor. 7 2 parábola y  1  x . El vértice B parte del punto (0, 3637) La iluminación producida por una fuente de luz 1) en el tiempo t = 0 y se desplaza hacia arriba siguien-es directamente proporcional a la intensidad de la do el eje Y a una velocidad constante de 2 centímetrosfuente e inversamente proporcional al cuadrado de la por segundo. ¿Con qué rapidez crece el área del trián-distancia s a la citada fuente. A una distancia de 2 pie gulo cuando t = 7/2 segundos?de una hoguera, el luxómetro de un fotógrafo registra120 unidades. El fotógrafo se aleja poco a poco de la 45) La función de costo por la producción de un com-hoguera. Calcule la tasa de cambio de la lectura del ponente para un microprocesador está dada por C(x) =luxómetro con respecto a s cuando está a 20 pie de la 1000 + 2x + 0.005x2. Suponiendo que se fabrican 2000hoguera. unidades, calcule el costo, el costo medio, el costo marginal y el costo medio marginal.38) Una compañía lleva a cabo una serie de pruebaspiloto para la producción de un nuevo solvente indus- 46) A través de un filtro de papel cónico de 2 pulga-trial, y encuentra que el costo de producir x litros para das de radio y 4 pulgadas de altura, escurre agua a una 10cada prueba está dado por C ( x)  3  x  . Compare tasa de 2 pulgadas de radio. Sea x la altura del agua en x el filtro y y la altura del agua en la taza. Determine lael costo marginal de producir 10 litros con el costo de relación entre dy/dt y dx/dt, cuando el filtro contiene 10producir el undécimo litro. pulgadas cúbicas de agua. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 11647) El inicio de una pista de aeropuerto esta a una 50) Sea T la temperatura en ºF al tiempo t en horas. Sidistancia perpendicular de 300 pie de la base de una dTtorre de 20 pie de altura. Un avión alcanza una veloci- la temperatura disminuye, entonces es la rapidez dtdad de 100 millas por hora después de recorrer 300 pie de enfriamiento. La mayor variación de temperaturasobre la pista. Calcule la rapidez de cambio de la dis- durante un período de 12 horas que se ha registrado,tancia entre el avión y la cabina de la torre de control. ocurrió en la ciudad A, cuando la temperatura bajó de 44 ºF a -56 ºF. Demuestre que la rapidez de enfriamien-48) Un fabricante de hornos de microondas determina to excedió -8 ºF por hora en algún momento durante elque el costo de producir x unidades está dado por C(x) período de cambio.= 4000 + 100x + 0.05x2 + 0.0002x3. Compare el costomarginal de producir 100 hornos con el costo en la 51) Se dispara un proyectil verticalmente hacia arribaproducción del centésimo primero. con una velocidad inicial de 144 pie por segundo. Su altura sobre el suelo s(t) en pies, a los t segundos está49) La carga eléctrica Q de un capacitor o condensa- dada por s(t) = 144t – 16t2. ¿Cuál es la velocidad y cuáldor aumenta de 2 a 10 milicoulombs en 15 milisegun- la aceleración a los t segundos? ¿Cuáles son a los 3 dQ segundos? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega aldos. Demuestre que la corriente I  pasa de 0.5 dt suelo?Amperes en algún momento durante este pequeñointervalo de tiempo. (1 ampere = 1 Coulombs porsegundo)3.4 Función compuesta. Regla de la cadenaSupongamos que la función u = g(x) está definida en derivada de esta función es válida la expresiónun conjunto D y el conjunto de valores de esta función [f(g(t0))]´ = f ´(x0)g´(t0).integra el dominio el dominio de la función y = f(u).En este caso a cualquier x del dominio D de la función Consideramos la función compuesta y = f(x), dondeu = g(x) le corresponde un valor determinado de la x = g(t), es decir, tomamos x como el argumento in-variable u, y a dicho valor u la función y = f(u) le pone termedio y t, como el argumento final. Por supuesto,en correspondencia un valor determinado de la varia- se puede cambiar estas notaciones. Frecuentemente, esble y, es decir, la variable y es una función de x en el más conveniente considerar la función compuesta deconjunto D: y = f(g(x)). tipo y = f(u), donde u = g(x), es decir, tomamos x co- mo el argumento final y una variable u, como el in-La función obtenida de otra función se llama función termedio. Para esta función la fórmula de diferencia-compuesta de la variable x. La función u = g(x) se cióndenomina función interior, y la función y = f(u), exte- [f(g(t0))]´ = f ´(x0)g´(t0)rior. Una función compuesta y = f(g(x)) se denomina toma la formacon frecuencia superposición de dos funciones: la y´ = [f(g(x))]´ = f ´(u)g´(x).interior u = g(x) y la exterior y = f(u). A continuación enunciamos la regla de derivación deLa más importante de las reglas generales para el una función compuesta y = f(x), donde x = g(t). Paracálculo de derivadas es la regla de la cadena. Se aplica hallar la derivada y´(t) de una función compuestaa una manera general de combinar funciones, llamada y = f(g(t)) respecto al argumento t en un punto dado tcomposición. En la presente sección plantearemos el hay que establecer lo siguiente:objetivo de establecer la regla que permite hallar la 1) Calcular la derivada g´(t) de la función x = g(t) enderivada de la función y = f(g(t)) si se conocen las el punto t;derivadas de las funciones que la integran y = f(x) y x = 2) Calcular la derivada f ´(x) de la función y = f(x) eng(t). el punto x, donde x = g(t); 3) Multiplicar dichas derivadas.DefiniciónSea que la función x = g(t) es derivable en un punto t0 De este modo, la derivada de la función compuestay la función y = f(x) es derivable en el punto corres- y = f(g(t)) puede ser hallada por la fórmulapondiente x0 = g(t0). Entonces, la función compuesta y´(t) = f ´(x)g´(t). Los razonamientos siguientes expli-f(g(t)) es derivable en dicho punto t0 con tal que para la can la regla enunciada. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 117Demos un incremento arbitrario r  0 al argumento t Ejemploen el punto t. A este incremento le corresponde el Una lámpara de la calle está a una altura de H metros.incremento h = g(t + r) – g(t) de la función x = g(t). Al Un peatón de h metros de altura se aleja de la luz aincremento obtenido h le corresponde el incremento razón de k mt/seg. Calcular la razón a la que se muevek = f(x + h) – f(x) de la función y = f(x) en el punto x. el extremo de su sombra cuando el peatón está a xOmitiendo el caso cuando h = 0, consideremos la rela- metros de distancia del pie de la lámpara.ción Solución k k h Hacemos la relación de triángulos   . r h r x y H xh   yDebido a que y h H h h k Derivando esta expresión, obtenemos lim  g ´(t ) , lim  f ´( x) r 0 r h 0 h  dh dx   dH dh y de la existencia del primero de estos límites se dedu- ( H  h)  x  h   xh    dy   dt dt   dt dt  k ( H  h) 2ce que para r  0 se tiene h  0, entonces lim dt r 0 rexiste y es igual a f ´(x)g´(t), o lo que es lo mismo, y´(t) = f ´(x)g´(t).La notación de Leibniz hace imposible olvidar la reglade la cadena. Suponga que y es una función derivablede u y u es una función derivable de x. Entonces ypuede considerarse una función de x, y dy dy du   dx du dx . Reemplazando los datos conocidos, obtenemosEs decir, la derivada de y con respecto a x es la deriva-  dx  ( H  h)  x  0  h   xh  0  0 da de y con respecto a u multiplicada por la derivada dy   dt de u con respecto a x. dt ( H  h) 2 dxEjemplo ( H  h) h dy dt  dy  h  dx .Una bola esférica de nieve se derrite a razón de 0.03 centímetros cúbicos por segundo. ¿A qué velocidad dt ( H  h) 2 dt H  h dtdisminuye el área de su superficie cuando el diámetrode la esfera es de 15 cm? EjemploSolución La calidad de los artículos producidos en una línea de dV cc montaje es importante tanto para el consumidor como Nos dicen que  0.03 , y para el fabricante. Es evidente que la calidad disminuye dt seg a medida que se presiona para elevar el nivel de pro- dS se nos pide hallar , siendo V y S ducción diaria x. Supóngase que para cierto producto, dt la función de calidad el volumen y área superficial, res- 1 pectivamente, de la bola de nieve.  1,8 x  2  16 Q( x)  150  2  4  3x  2 Usaremos las fórmulas V   r 3 y S  4  r 2 . Apli- 3 modela el porcentaje de los artículos que no son defec-cando la regla de la cadena, obtenemos tuosos. Determine la razón de cambio en la función de dV dV dr dr calidad Q(x) cuando x = 75. 0,03     4 r 2 dt dr dt dt Solución dr 0,03 dS dS dr dr 0,06 Para determinar la razón de cambio en la función de      8 r  calidad, debemos derivar Q(x): dt 4 r 2 dt dr dt dt r 15Cuando el diámetro es 15 cm el radio r = 7,5 cm y en   1  1,8 x  2  16consecuencia Q´( x)  150   2   2  16  3x  2  dS cm  0,008 (3x 2  2)(1,8)  (1,8 x  2)(6 x) dt seg  (3x 2  2)2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 118Cuando x = 75: Como 15  1   1,8(75)  2  16Q´(75)  150       16   3(75)2  2    [3(75)2  2](1,8)  [1,8(75)  2)[6(75)]   0,276 [3(75)2  2]2Esto significa que la función de calidad Q(x) crece arazón de aproximadamente 0,3 % cuando x = 75.Ejemplo dh mts mts  103  1.66x105 ,Suponga que una compañía maderera estima que el dt min segvolumen de la madera obtenida de un árbol con diáme- dV m3 m3tro x se expresa por la función 3  180 , dt seg min (3x  12)3 V ( x)  15  por tanto, la velocidad a la que crece su altura cuando 1250 h = 10 escuando x > 6 pulgadas. Determine la razón de cambio dh dh mtsde este volumen con respecto al diámetro x del árbol. 3   (10)2   0,0095Solución dt dt minLa razón de cambio la da la derivada Derivando la ecuación del volumen, con respecto a la altura, obtenemos dV d  (3x  12)3   15   dV 1    3h2  dV   h2 . dx dx   1250   dh 3 dh   d 1 d Aplicando la regla de la cadena, cuando  (15)  (3x  12)3 dh mts dx 1250 dx  1,66x105 , tenemos que h es 3 dt seg  (3x  12)2 (3) 1250 3   h2  (1.66x105 ) donde h  239,4 mts . 9  (3x  12)2 . 1250 Ejemplo Una partícula se mueve sobre la elipse 15x2 + 7y2 =Ejemplo 250 en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿EnSobre la cima de una montaña de arena en forma cóni- qué punto o puntos de la elipse decrece la ordenada alca, cae arena a razón de 3 m3/seg. Suponiendo que la mismo ritmo con que la abscisa crece?montaña de arena mantiene constantemente la forma Soluciónde cono circular recto con altura igual al radio de la Derivando implícitamente la ecuación de la elipse conbase, determinar a qué velocidad crece su altura cuan- respecto a x y luego con respecto a y, obtenemosdo éste es de 10 metros. ¿Qué altura debe tener la 30 xx´14 y  0montaña de arena para que ésta crezca a un ritmo infe- 15x2 + 7y2 = 250   .rior a 10-3 mt/min.? 30 x  14 yy´ 0Solución Haciendo que x´ = y´, tenemosSabemos que el volumen del cono es 15 x 7y 15 x    225x2 = 49y2  y   . 1 7y 15 x 7 V   r3 3como h = r, entonces 1 V   h3 . 3Por la regla de la cadena, tenemos dV dV dh   dt dh dtDerivando la ecuación del volumen, con respecto altiempo, obtenemos dV 1 dh dV dh Reemplazando este valor en la ecuación de la elipse,    3h2     h2 . obtenemos el punto pedido dt 3 dt dt dt JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 119 2  15 x  después de 30 segundos, ¿cuándo será de 2 mm su 15 x 2  7    250  105x + 225x = 1750 2 2 radio?  7  Solución 330x2 = 1750 Sabemos que la masa de la gota es proporcional a su x =  2.3028, y =  4.9346. dmPor tanto P(-2.3028, -4.9346). superficie, es decir  4k  r 2 . Como dt 4Ejemplo m  V   r 3Por un agujero en el vértice de un depósito cónico de 3agua escapa ésta a razón de 80 m3/seg. Si el depósito dm dr  4 r 2 .tiene 35 metros de profundidad y 50 metros de diáme- dt dttro, hallar a qué ritmo desciende el nivel del aguacuando la altura de la misma es de 20 metros. Igualando estas ecuaciones, obtenemosSolución dr dr k 4 k  r 2  4  r 2  Tenemos que R = 25 mts, H = 35 mts, h = 20 mts, dt dt  dV m3 dh Reemplazando los datos conocidos, tenemos  80 . Debemos calcular . Del triángulo dt seg dt dr 1,5   0,05 mm  r = 0.05tadjunto, obtenemos que dt 30 H R h 35 2 = 0.05t  t = 40 seg.     25h = 35r h r r 25Derivando esta expresión, tenemos Ejemplo dh dr dr 25 dh Se está bombeando aire a un balón de fútbol de modo 25  35   que su radio aumenta a razón de 1.5 cm/seg. ¿Cuál es dt dt dt 35 dtSabemos que el volumen del cono está dado por la razón de cambio con el tiempo, en centímetros por segundo, del volumen del balón cuando su radio mide 1 V   r 2h 15 cm? 3 Solución dr cm Sabemos que  1,5 , dt seg dV debemos encontrar cuando dt r = 15 cm. Conocemos que el volumen de la esfera es 4 V   r3 3 Derivando esta expresión respecto del tiempo, tene-Derivando con respecto al tiempo, obtenemos mos dV   2 dh dr  dV 4 dr dV dr  r  2r h     3r 2   4r2 . dt 3  dt dt  dt 3 dt dt dtReemplazando en esta ecuación los valores conocidos, Reemplazando en esta ecuación los valores conocidos,tenemos tenemos  25 dh  dV dV cc 8   (14,28)2 dh  2(14,28)(20)  4  (15)2 (1.5)   4241,15 .  dt dt seg 3 dt 35 dt  dh mts  0,125 . Ejemplo dt seg Se dan modelos de producción y de utilidad, respecti- vamente porEjemplo 750t 2Imagínese una gota de agua esférica que cae a través x(t )  y P( x)  5 x  35 .del vapor de agua del aire. Suponga que el vapor se 2  t2adhiere a su superficie, de modo que la razón de au- a) Obtener x´(t) y P´(x);mento con el tiempo de la masa m de la gota es pro- b) Aplicar la regla de la cadena para hallar P´(x);porcional a su superficie S. Si la gota inicia su caída c) Aplicar la composición de funciones con el fin decon un radio que en efecto es cero y r = 1.5 mm obtener P(t). JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 120Solución Para encontrar D´(1), debemos derivar D(x) y luego (2  t )(750t )´750t (2  t )´ 2 2 2 2 reemplazar x = 1:a) x´(t )  (2  t 2 )2 1 2 x4 2 x 4  6 x  8 x3  (3x 2  2) D´( x)    1500t (2  t 2 )  750t 2 (2t ) 2 3x 2  2 4 x8  (2  t 2 )2 2 (3x 2  4)  . 3000t 2 x3 3x 2  2  (2  t 2 ) 2 2 (3(12 )  4) 7 2 D´(1)     2,21 . P´( x)  5  . 1  5 2(1 ) 3(1 )  2 3 2 2 5 2 x 2 x b) Para obtener D(10), reemplazamos x = 10 en D(x): du 1b) Haciendo u  x , entonces  . Por otro 3(102 )  2 151 dx 2 x D(10)    0,123 . 2(104 ) 100 dPlado P(u) = 5u – 35, entonces  5 . Aplicando la Para encontrar D´(10), debemos reemplazar x = 1 en du D´(x):regla de la cadena, tenemos 2 (3(102 )  4) dP dP du    dP  5 1  5 . D´(10)    0,0124 . dx du dx dx 2 x 2 x 2(103 ) 3(102 )  2c) P( x(t ))  5 x(t )  35 Ejemplo 750t 2 Los ingenieros de control de calidad encuentran que el P(t )  5  35 . 2  t2 porcentaje de artículos defectuosos depende del nivel de producción x según la funciónEjemplo 50  2x El número de bacterias presentes en el tiempo t se D( x)  230   .  2x  5 expresa como a) Obtener el porcentaje de artículos defectuosos N (t )  (2t  15)2 8t  5 . cuando x = 50;Determine N´(t) e interprete su resultado. b) Hallar la razón de cambio en D(x) cuando x = 50.Solución SoluciónN ´(t )  (2t  15)2 ( 8t  5)´ 8t  5((2t  15)2 )´ a) Para obtener el porcentaje de artículos defectuo- sos, debemos reemplazar x = 50 en la función D(x): 4  (2t  15)2   8t  5  4(2t  15) 50 50 8t  5  2(50)   100  D(50)  230   230    20,06 . 4(2t  15)  2(50)  5   105   (2t  15  8t  5) 8t  5 b) Para encontrar la razón de cambio, debemos deri- 40(2t  15)(t  2) var la función D(x):  . 49 8t  5  2 x  (2 x  5)  2  2 x  2 D´( x)  230  50   N´(t) indica la velocidad con que se propagan las bac-  2x  5  (2 x  5)2terias. 115000  (2 x)49  .Ejemplo (2 x  5)51Considere que la demanda diaria de cierto artículo Cuando x = 50, obtenemosvendido al precio x se representa por la función 115000  (100) 49 D´(50)   0,95 . 3x 2  2 (105)51 D( x)  , x > 0. 2x4a) Obtener D(1) y D´(1); Ejemplob) Hallar D(10) y D´(10). El costo de calentar y enfriar una casa depende de laSolución temperatura exterior x. Supóngase que el costo anuala) Para obtener D(1), reemplazamos x = 1 en D(x): se expresa por la función C(x) = (2x – 75)2 y que du- rante un mes particular la temperatura promedio en el 3(12 )  2 5 D(1)  4   1.58 . día t se da por 2(1 ) 2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 121 Como x(t )  3600  2t  3t 2 , 0  t  30. dC dC dxa) Determinar C´(t) aplicando C´(x), x´(t) y la regla   dt dx dtde la cadena; dC 3t  1b) Hallar C´(t) cuando t = 15.  4(2 x  75) Solución dt 3600  2t  3t 2  a) Calculamos las derivadas correspondientes dC 4 2 3600  2t  3t 2  75 (3t  1)  2(2 x  75)(2 x  75)´ 4(2 x  75)  . dx 3600  2t  3t 2   d (3600  2t  3t 2 ) 4 2 3600  2(15)  3(152 )  75 (3(15)  1) dx dt 6t  2   b) C´(15)  dt 2 3600  2t  3t 2 2 3600  2t  3t 2 3600  2(15)  3(152 ) 3t  1  .  157,7 . 3600  2t  3t 23.4.1 Tarea1) Sean f, g y h funciones tales que f(x) = g(h(x)). 6) La relación de longitud a peso de un determinadoSuponiendo que h(1) = -1, g(1) = 4, h´(1) = 6 y pez está descrita por la fórmula W = 10.375L3, donde lag(3) = -5, calcule f(1) y f´(1). longitud L está en metros y el peso W en kilogramos. dL2) Sea f(x) = g(h(x)). Suponiendo que f(-2) = 3, Su tasa de crecimiento en longitud está dada por dtg(-2) = 6, h(-2) = 5, f´(-2) = 3 y g´(-2) = -7, encuentre 0.18(2 – L), para t medido en años:h´(-2). a) Encuentre una fórmula para la tasa de crecimiento dW3) En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unida- en peso en términos de L. dtdes durante la jornada de producción diaria es C(q) b) Use la parte a) para calcular la tasa de crecimiento= 0.2q2 + q + 900 dólares. Con base en la experiencia en peso de un pez de 20 kilogramos.se ha determinado que aproximadamente q(t) = t2 +100t unidades se producen durante las primeras t horas 7) Se estima que dentro de t años la población de cier-de una jornada de producción. Calcule la razón a la 6cual cambia el costo total de fabricación con respecto ta comunidad suburbana será p(t )  20  miles.al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. t 1 Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario4) Si un cuerpo de masa m tiene velocidad v, entonces de monóxido de carbono en el aire será 1 c( p)  0.5 p 2  p  58 partes por millón cuando lasu energía cinética k está dada por k  mv 2 . Supo- 2 población sea p miles. Halle el ritmo al cual cambiarániendo que v es una función del tiempo t, aplique la el nivel de monóxido de carbono, con respecto al tiem-regla de la cadena para encontrar una fórmula para po, dentro de 2 años.dk .dt 8) Cuando un globo meteorológico se está inflando, su radio r es función del tiempo t. Sea V el volumen del5) Cuando se lanza un astronauta al espacio, el peso globo. Aplique la regla de la cadena para obtener unade su cuerpo disminuye hasta llegar a un estado de dV fórmula para .ingravedad total. El peso W de un astronauta de 150 dtlibras, a una altura de x kilómetros sobre el nivel del 2 9) Los lobos marinos, como las focas y las morsas,  6400 mar está dado por W  150   . ¿A razón de son un suborden de los mamíferos acuáticos carnívoros  6400  x  cuyas extremidades se han convertido en aletas. Lacuántas libras por segundo pierde peso el astronauta si relación entre la longitud y el peso durante su creci-cuando x = 1000 kilómetros la astronave se va alejan- miento fetal está dada por W = (6x10-5)L2.74, donde lado a razón de 6 kilómetros por segundo? longitud L se mide en centímetros y el peso W en JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 122kilogramos. Usando la regla de la cadena encuentre 10) La fórmula para la expansión adiabática del aireuna fórmula para la tasa de crecimiento del peso con 1respecto al tiempo t, suponiendo que L es una función es pv 4  c , donde p es la presión, v el volumen y c esderivable de t. Si una foca pesa 0.5 kilogramos y crece una constante. Obtenga una fórmula para la tasa dea razón de 0.4 kilogramos por mes, ¿cuál es la tasa de cambio de la presión con respecto al volumen.crecimiento de su longitud?3.5 Derivación de expresiones dadas implícitamenteDefinición  dy  dy FSe dice que una función está definida implícitamente Fx ( x, y )  Fy ( x, y )    0   x .  dx  dx Fycon la ecuación F(x, y) = 0 (función implícita) si cadavalor de su argumento x y el valor de la función y,correspondiente a él, son la solución de la mencionada Ejemploecuación F(x, y) = 0. Derivar implícitamente las siguientes funciones: a) xmyn = (x + y)m+n; b) x5y4 – x3y2 + xy – 1 = 0;Para encontrar las diversas derivadas, hemos supuesto c) xy + 2y + 3(y + x) = 0.hasta aquí que una de las variables es la variable de- Soluciónpendiente y la otra es la variable independiente. a) nxmyn-1y´ + mxm-1yn = (m + n)(x + y)m+n-1(1 + y´) [nxmyn-1 + (m + n)(x + y)m+n-1]y´ =Una ecuación con dos variables x e y puede tener una o = (m + n)(x + y)m+n-1 - mxm-1ynmás soluciones de y en términos de x o x en términos (m + n)( x  y) m+n 1  mx m 1 y n y ´ m n 1 .de y. Estas soluciones son funciones de las que deci- nx y  (m + n)( x  y)m+n 1mos que están definidas implícitamente por la ecua- b) 4x5y3y´ + 5x4y4 – 2x3yy´ - 3x2y2 + xy´ + y = 0ción. (4x5y3 - 2x3y + x)y´ = 3x2y2 - 5x4y4 – y x(5 x 4 y 3  2 x 2 y  1)Supongamos que tenemos una función de dos varia- y´   .bles, F(x, y) = 0, y que ésta implícitamente define y y (5 x 4 y 3  3x 2 y  1)como función de x. Queremos encontrar la derivada c) xy´+ y + 2y´+ 3(y´+ 1) = 0dy sin despejar primero y, porque, en algunos casos, xy´+ 5y´= - y – 3  (x + 5)y´= - y – 3dt y3 y´  .esto puede no ser posible. Puesto que y es una función x5de x, se presume que y tomará un incremento k a me-dida que x tome un incremento h. Por consiguiente, el Ejemploincremento total en la función, a medida que x toma un Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico deincremento h, es F(x + h, y + k) – F(x, y). 50 cm de radio. Si la profundidad del agua en el tanque es de 15 cm y disminuye a razón de 5 cm/seg, ¿a quéSe deduce entonces que razón disminuye el radio de la superficie superior delF ( x  h, y  k )  F ( x, y ) agua?  h Solución F ( x  h, y  k )  F ( x, y  k ) F ( x, y  k )  F ( x, y) Tenemos que R = 50 cm, H = R, h = 15 cm,   h h dh cm  5 . Del triángulo mostrado en la figura, te- 0. dt segA medida que h  0, el primer término del segundo nemosmiembro se aproxima a Fx(x, y + k), o, por cierto, Fx(x, (H – h)2 + r2 = R2  (R – h)2 + r2 = R2y), puesto que k  0 a medida que h  0. El segundo Derivando esta expresión, con respecto del tiempo,término puede escribirse también en la forma tenemos F ( x, y  k )  F ( x, y ) k  dR dh  dr dR  . 2( R  h)     2r  2 R k h  dt dt  dt dtA medida que h  0, este término se aproxima a dh dy ( R  h) . Consecuentemente, tenemos dr dtFy ( x, y ) dx  dt 2hR  h 2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 123Reemplazando los datos conocidos, obtenemos dr (50  15)(5) dr cm    4,9 . dt seg du millas dv millas dt 2 15  50  152 Se nos da u = v = 15,  30 y 6El signo negativo, significa que el radio disminuye a dt hora dt horarazón de 4.9 centímetros por segundo. en el momento en cuestión. Puesto que el submarino está a igual distancia de P y Q, es claro que x = 5.Ejemplo Entonces, y = 14,1  14. Siendo así, el submarino estáUna mancha circular de aceite de grosor uniforme ha a 5 millas al este y 14 millas al norte de P. Diferen-sido causada por el derrame de 0.8 metros cúbicos de ciando implícitamente las dos ecuaciones anterioresaceite. El grosor de la mancha está disminuyendo a obtenemosrazón de 3 cm/hora. ¿A qué razón aumenta el radio de dx dy du 2x  2y  2ula mancha cuando mide 5 metros? dt dt dtSolución yTenemos los siguientes datos: V = 0.8 m3, dx dy dv 2(10  x)  2y  2v .dy mts dt dt dt  0,03 , r = 5 mts. Sabemos que el volumendt hora Al sustituir los datos numéricos deducidos, encontra-de la mancha es V = r2y. Derivando implícitamente mos queesta expresión, obtenemos dx dy dx dy 10  28  900 y 10  28  180 . dV dr dy dr dy dt dt dt dt  2 r y   r 2  0  2r y  r2 dt dt dt dt dt Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos  r dy 3 dx millas dy millas dr r dy dr  19,3 y  36 . Por lo tanto, el      dt hora dt hora dt 2 y dt dt 2V dt submarino está desplazándose hacia el noreste a una velocidad de millas (19,3)2  (36)2  40,8 . horaReemplazando los datos conocidos, tenemos dr   53 dr mts Ejemplo   (0,03)   7,36 . Se está recolectando el agua de un bloque de hielo de dt 2(0,8) dt hora base cuadrada. El agua se produce al fundirse el hielo,Cuando r = 5 mts, el radio aumenta a razón de 7,36 de modo que la arista de la base del bloque disminuyemetros por hora. a 3 cm/hora, mientras la altura del bloque disminuye a 4 cm/hora. ¿Cuál es la razón de flujo del agua en elEjemploDos estaciones de radar P y Q, con Q a 10 millas al recipiente recolector cuando la base tiene una arista deeste de P, están rastreando a un submarino que está en 25 cm y la altura del bloque es de 20 cm?la superficie del mar. En cierto momento, el barco está Solución Tenemos como datos:a 15 millas de P y su distancia aumenta a razón de 30 dx cmmillas/hora. En el mismo instante, el barco está a 15  3 ,millas de Q, mientras su distancia aumenta a sólo 6 dt horamillas/hora. ¿Dónde está el submarino, con qué rapi- dy cm  4 , x = 25 cm,dez se desplaza y en qué dirección? dt horaSolución y = 20 cm. Podemos dedu-Con las dimensiones indicadas en la figura, encontra- cir del gráfico quemos con la ayuda del teorema de Pitágoras que V  x y . Derivando esta 2 x2 + y2 = u2 y (10 – x)2 + y2 = v2 expresión con respecto del tiempo, obtenemos JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 124 dV dy dx dh  x2  2 xy cm, H = R. Tenemos que encontrar , para esto, dt dt dt dtReemplazando los datos conocidos, tenemos usamos la ecuación dada del volumen dV 1  (25)2  (4)  2  (25)(20)  (3) V   h2 (3r  h) . Del triángulo que se da en el gráfi- dt 3 dV cm3 co, obtenemos  5500 dt hora R2 = r2 + (h – H)2  r  2hR  h2El signo negativo, significa que el hielo se está derri-tiendo a razón de 5500 centímetros cúbicos por hora.EjemploUna cometa se desplaza en el aire en dirección hori-zontal, a una altura de 20 metros y a razón de 20cm/seg, alejándose de la persona que sostiene la cuerdade la cometa, al nivel del piso. ¿A qué razón se está Reemplazamos en la ecuación del volumensoltando cuerda cuando ya se soltaron 50 metros deella? 1  V   h2 3 2hR  h2  h 3 Solución Derivamos esta expresión, con respecto al tiempo dx cmSabemos que  20 , z = 50 mts, debemos calcu- dt seg    dR dh    2R  dV   2   dt dt  dh  3 2h  h   dz   2lar . Para esto, del triángulo deducimos que z = dt dt 3   2 2hR  h 2 dt x2 + y2. Derivando esta expresión, con respecto al      tiempo, obtenemos 2z dz dt dx  2x  2 y dt dy dt  z dz dt x dx dt  2h 3 2hR  h2  h  dh  dt dV dz x dx dz z 2  400 dx 3 2hR  h 2       dh  dt dt z dt dt z dt  dt  15h2 R  6h3  3h2 2hR  h 2  Reemplazando los datos conoci- Reemplazando los datos conocidos, tenemos dos, tenemos dh 3(189450) 2  20 15  202  dz dt  502  400 50  (0,2)  dt  15  202 15  6  203  3  202  2  20 15  202  dz mts dh cm  0,18 .  102,2 . dt seg dt min Es decir, la cuerda se suelta a razón de 0.18 metros por segundo. Ejemplo Un misil es lanzado en dirección vertical y rastreadoEjemplo por una estación de radar situada en el suelo, a 5 kiló-El volumen V del agua de un tanque esférico de radio metros de la rampa de lanzamiento. ¿Cuál es la velo- 1 cidad vertical del misil cuando está a 15 kilómetros der, lleno en parte, es V   h2 (3r  h) , donde h es la la estación de radar y su distancia aumenta a razón de 3 3200 km/h?profundidad máxima del agua. Suponga que el agua se Soluciónestá drenando de un tanque esférico de 15 cm de radio dz kma razón de 50 gal/min. Encuentre la razón a la que Tenemos que x = 5 km, z = 15 km,  3200 .disminuye la profundidad h del agua cuando h = 20 dt horacm. Del triángulo que se muestra en la figura, obtenemosSolución x2 + y2 = z2. Derivando esta expresión, con respecto al tiempo, tenemos dV cm3Sabemos que  189450 , R = 15 cm, h = 20 dx dy dz dy z dz dt min 2x  2 y  2z    dt dt dt dt y dt JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 125 dy z dz como una función C(x) de producción. Determine el   costo promedio y el costo marginal a un nivel de pro- dt z 2  x2 dt ducción de 350 unidades. Reemplazamos los Solución datos conocidos en esta Para determinar el costo promedio, debemos poner y expresión en función de x, y luego dividir esta expresión para x: dy 15   3200 5  24 x 2  520 x  25 dt 152  52 C ( x)  4 dy km  3394,11 . 5  24 x 2  520 x  25 dt hora C ( x)  . 4xEjemplo Para determinar el costo marginal, debemos derivar laLa ecuación 2x2 + 350p2 = 4500 define la demanda x función C(x), y luego reemplazar x = 350:para un bien implícito como una función D(p) del 6 x  65 C ´( x) dólar por unidad de precio p: 24 x  520 x  25 2a) Determine la cantidad demandada si el precio por 6  350  65unidad es $ 3,5; C ´(350)   1,2 .b) Determine la elasticidad de demanda al precio de $ 24  3502  520  350  252,5.Solución Ejemploa) Para encontrar la cantidad demandada, debemos Un barco con una larga cadena de ancla está ancladoreemplazar p = 3,5 en la función original: en 15 brazas de agua. La cadena del ancla está siendo 425 enrollada a razón de 5 brazas/min, ocasionando que el 2x2 + 350(3,5)2 = 4500  x   10,3 unidades . barco se mueva hacia el punto que está directamente 4 arriba del lugar donde descansa el ancla en el fondob) De la ecuación original, tenemos que del océano. El punto de contacto entre el barco y la  2250  175 p 2  cadena está situado 1,5 brazas arriba de la línea del x   2250  175 p 2  D( p)   agua. ¿A qué velocidad se mueve el barco cuando hay   2250  175 p 2  todavía 7 brazas exactas afuera?  175 p Solución  Tenemos que y = 1,5 brazas, z = 8 brazas,  2250  175 p 2 D´( p )   . dz 5 brazas . De la figura, podemos deducir que  175 p dt min  2250  175 p 2 z2 = x2 + y2 (1) La elasticidad de demanda cuando p = 2,5, está dada Derivando implícitamente esta expresión con respectopor del tiempo, tenemos dx dy  (175)(2,5)  z y (2,5)    dz dx 2z  2x  2 y dy  dx  dt dt  2250  175(2,5) 2  dt dt dt dt x E (2,5)     0,94 2250  175(2,5) 2  (175)(2,5)  (2,5)    2250  175(2,5) 2  E (2,5)     0,94 2250  175(2,5) 2Esto quiere decir que para el primer caso, la demandaes inelástica. Para el segundo caso la elasticidad de De la ecuación (1), encontramos que x  7.9, reempla-demanda es E(2,5) = 0,94 para el precio p = 2,5 dóla- zando los datos conocidos, obtenemos dx (8)  (5)  (1,5)  (0) brazasres.   5,1 . dt 7,9 minEjemploLa ecuación 3x2 – 65x - 2y2 + 5y = 0 define el costo yde manufacturar x unidades de un producto implícito JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1263.5.1 Tarea1) Hallar y´ para las funciones derivables, prefijadas implícitamente con las ecuaciones: 2 2 2 b) x3  y3  3x2 ; c) x6  2 x3 y  y3 ;a) x 3  y 3  a 3 , y > 0;d) x2 ( y  2)2  2 xy  y 2  0 ; e) x2 y 2  y  1 ; f) y 2  2 px , y > 0;g) x2  4 xy  4 y 2  4 x  3 y  7  0 ; h) y5  x 4  xy 2 ; i) x4  y 4  xy  0 ;j) (2a  x) y 2  x3 , y < 0; k) x y 2; l) x4  2 y3  4 x 2 y ;m) 5x2  9 y 2  30 x  18 y  9  0 , y < -1; n) x5  y5  xy 2 ; o) 4 y 2  4 x2 y  x5 ; x2 y2 x2 y2 r) y5  y3  y  x  0 .p)   1 , y > 0; q)  1 ; a2 b2 a2 b22) Para las funciones derivables, prefijadas implíci- 7) Un objeto proyectado desde un punto P se mueve atamente, calcular y´(a): lo largo de una recta. Se sabe que la velocidad dela) x2  y 2  6 x  10 y  2  0 , y > -5, a = 0; objeto es directamente proporcional al producto del tiempo durante el cual el objeto se ha movido y la 11b) 6 xy  8 y 2  12x  26 y  11  0 , y < 2, a  . distancia que ha recorrido desde P. También se conoce 12 que al final de 5 segundos, el objeto está a 20 pies de P y se mueve a la razón de 4 pies/seg. Halle la acelera-3) La producción en cierta planta es Q = 0.08x2 + ción del objeto en este momento (cuando t = 5).0.12xy + 0.03y2 unidades al día, donde x es la cantidadde horas de mano de obra calificada que se utiliza e y 8) Una persona, de pie en un acantilado, observa unael número de horas de mano de obra no calificada que lancha rápida con un telescopio, cuando la lancha sese emplea. En la actualidad, cada día se utilizan 80 aproxima a la playa que está directamente debajo de lahoras de mano de obra calificada y 200 horas de mano persona. Si el telescopio está 300 pies arriba del nivelde obra no calificada. Estime el cambio que debería del agua y si el bote se acerca a 30 pie por segundo,realizarse en la mano de obra no calificada para com- ¿con qué rapidez cambia el ángulo del telescopio conpensar un incremento de 1 hora en la mano de obra respecto al bote cuando éste se encuentra a 300 pies decalificada, de manera que la producción se mantenga la playa?en su nivel actual. 9) Una alberca de natación tiene 40 pies de largo, 204) En cierta fábrica la producción Q está relacionada de ancho y 8 de profundidad en un extremo y 3 en elcon los insumos x e y mediante la ecuación Q = 2x3 + otro; el fondo es rectangular. Si la alberca se llena3x2y2 + (1 + y)3. Si los niveles actuales de insumos son bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minu-x = 30 e y = 20, estime el cambio que debería realizar- to, ¿con qué rapidez sube el nivel cuando tiene tres piesse en el insumo y para compensar una disminución de de profundidad en el extremo hondo?0.8 unidades en el insumo x, de manera que la produc-ción se mantenga en su nivel actual. 10) Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0,02 pulgadas por segundo,5) Se derrama petróleo de un tanque roto formando ¿con qué rapidez aumenta el área de una de sus carasuna mancha circular. Si el radio del círculo aumenta a cuando su radio es de 8,1 pulgadas?razón constante de 1.5 pies por segundo, ¿con quérapidez aumenta el área cubierta al término de 2 horas? 11) Una persona mide 7 pies de estatura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público que está a 256) En determinada fábrica la producción Q está rela- pies de altura a razón de 2 pies por segundo:cionada con los insumos u y v mediante la ecuación a) ¿Con qué rapidez crece su sombra cuando la perso- 2u  3v na está a 24 pies del poste?Q  3u 2  . Si los niveles actuales de insumos (u  v)2 b) ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de la som-son u = 10 y v = 25, estime el cambio que debería bra?realizarse en el insumo v para compensar una disminu- c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué razónción de 0,7 unidades en el insumo u, de modo que la angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 6producción se mantenga en su nivel actual. pies de largo? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 12712) Se bombea agua a un tanque que tiene la forma 14) Suponiendo que una burbuja de jabón mantengade cono truncado circular recto con una razón unifor- su forma esférica cuando se expande, ¿qué tan rápidome de 2 litros por minuto. El tanque tiene una altura de aumenta su radio cuando mide 2 pulgadas, si se sopla80 centímetros y radios inferior y superior de 20 y 40 aire al interior a razón de 3 pulgadas cúbicas por se-centímetros, respectivamente. ¿Con qué rapidez sube gundo?el agua cuando la profundidad es de 30 centímetros?13) El agua está goteando del fondo de un depósitohemisférico de 8 pies de radio a razón de 2 pies cúbi-cos por hora. El depósito estaba lleno en cierto mo-mento. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua cuandola altura es de 3 pies?3.6 Derivación de funciones trigonométricasA continuación procederemos a enunciar y demostrar 1 d 1 f ´( x)    Cos8 x  (8 x)    8Cos8 x  4Cos8x .los teoremas, en los que se dan todas las fórmulas de 2 dx 2las funciones trigonométricas, utilizando el método de b) Simplificando esta expresión, obtenemosderivación: Sen2 x Cos 2 x f ( x)   Cosx SenxTeorema 1 1La función Senu(x) es derivable en todo su dominio, y Senx Cosxsu derivada se expresa como Sen3 x Cos3 x   d d ( Senu ( x))  Cosu ( x)  (u ( x)) . Senx  Cosx Senx  Cosx dx dx Sen3 x  Cos3 x  Senx  CosxEjemplo  1  SenxCosxHallar la derivada de las funciones siguientes: 1 1  Cos(8 x  3)  (2  Sen2 x) .a) f ( x)  ; 2 Tan2 x  Cot 2 x Derivamos esta última expresión Sen2 x Cos 2 xb) f ( x)   . 1 d 1 f ´( x)    Cos 2 x  (2 x)    2Cos 2 x  Cos 2 x . 1  Cotx 1  Tanx 2 dx 2Solucióna) Simplificando esta expresión, obtenemos Ejemplo 1  Cos8 xCos3  Sen8 xSen3 1 f ( x)  Dada la función f ( x)  , resuelva la ecuación Sen2 x Cos 2 x  1  Sen2 x Cos 2 x Sen2 x f ´(x) = 0. 1  Cos8 x  Solución Sen 2 2 x  Cos 2 2 x Derivando con respecto de x, obtenemos: Sen2 xCos 2 x 2SenxCosx f ´( x)   . (1  Cos8 x) Sen2 xCos 2 x (1  Sen2 x)2  Sen2 2 x  Cos 2 2 x Igualando a cero la derivada, tenemos 1 2Cos 2 4 x  Sen4 x  Senx  0 2SenxCosx = 0    2 Cosx  0 Cos 4 x  Sen4xCos4x  x  0, x  , x    1    3 .   Sen8 x . x  2 , x   2 , x  2  2Derivamos esta última expresión n Por tanto la solución es x  , n  Z. 2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 128Teorema TeoremaLa función Cosu(x) es derivable en todo su dominio, y La función Tanu(x) es derivable en todo su dominio, ysu derivada se expresa como su derivada se expresa como d d d d (Cosu ( x))  Senu ( x)  (u ( x)) . (Tanu ( x))  Sec 2u ( x)  (u ( x)) . dx dx dx dxEjemplo EjemploHallar la derivada de las funciones siguientes: Hallar la derivada de las funciones siguientes: 2 2 1  x x a) f ( x)  Tan2 x  Tan3 2 x  Tan5 2 x ;a) f ( x)   Sen  Cos  ; 3 5  2 2 1  Tanxb) f ( x)  Sen6 x  Cos6 x . b) f ( x)  1  TanxSolución Solución  x x d  x x 2a) f ´( x)  2  Sen  Cos    Sen  Cos  a) f ´( x)  Sec 2 2 x  (2 x)´  3Tan2 2 x  (Tan2 x)´  2 2  dx  2 2 3  x x  1 x 1 x 1   5Tan4 2 x  (Tan2 x)´  2  Sen  Cos  Cos  Sen   2 2  2 2 2 2 5 x x  2Sec2 2x  4Tan2 2 xSec2 2 x  2Tan4 2 xSec2 2 x  Sen2  Cos 2  Cosx . 2 2  2(1  2Tan2 2 x  Tan4 2 x)Sec2 2 x d d  2(1  Tan2 2 x)2 Sec2 2 xb) f ´( x)  6Sen5 x  ( Senx)  6Cos5 x  (Cosx) dx dx  2Sec4 2 xSec2 2 x  6Sen5 xCosx  6Cos5 x(Senx)  2Sec6 2 x .  6SenxCosx(Sen4 x  Cos 4 x) (1  Tanx) Sec 2 x  (1  Tanx)( Sec 2 x)  6SenxCosx(Sen x  Cos x)(Sen x  Cos x) 2 2 2 2 b) f ´( x)  (1  Tanx)2  6SenxCosx(Cos2x)  3Sen2xCos2x (1  Tanx  Tanx  1) Sec 2 x 3    Sen4 x . (1  Tanx)2 2 2Sec 2 x  .Ejemplo (1  Tanx) 2Derive implícitamente las siguientes expresiones:a) xSeny – Cosy + Cos2y = 0; Teoremab) xCosy = Sen(x + y). La función Cotu(x) es derivable en todo su dominio, ySolución su derivada se expresa comoa) Derivando la expresión en función de x y de y, d dobtenemos (Cotu ( x))  Csc 2u ( x)  (u ( x)) . dx dx Fx ( x, y)  Senyy Ejemplo Fy ( x, y)  2Sen2 y  Seny  xCosy . Hallar la derivada de la función siguiente:De donde 1  Cot 2 x f ( x)  . dy F ( x, y) Seny 1  Cot 2 x  x  . dx Fy ( x, y) 2Sen2 y  Seny  xCosy Soluciónb) Derivando la expresión en función de x y de y, (1  Cot 2 x)2Csc 2 2 x  (1  Cot 2 x)2Csc 2 2 x f ´( x) obtenemos (1  Cot 2 x)2 Fx ( x, y)  Cosy  Cos( x  y) 2(1  Cot 2 x  1  Cot 2 x)Csc 2 2 xy  (1  Cot 2 x)2 Fy ( x, y)   xSeny  Cos( x  y) . 4Csc 2 2 xDe donde  . dy Cosy  Cos( x  y ) (1  Cot 2 x) 2  . dx xSeny  Cos( x  y ) JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 129Teorema dz millasLa función Secu(x) es derivable en todo su dominio, y 3 5π . dt minsu derivada se expresa como Para calcular la velocidad con que se desplaza el rayo d d de luz, recurrimos a la ecuación (1) ( Secu ( x))  Tanu ( x) Secu( x)  (u( x)) . dx dx dy 1 (1.5)2  1  (1.5)   (4)   3 5Teorema dt 1.5 1.5La función Cscu(x) es derivable en todo su dominio, y dy millas  9π .su derivada se expresa como dt min d d (Cscu ( x))  Cotu ( x)Cscu ( x)  (u ( x)) . Ejemplo dx dx Un avión P vuela en línea recta a velocidad constanteEjemplo v. Inicialmente el avión se halla justamente sobre unLa señal de un faro situado a una milla de la costa gira cañón antiaéreo colocado en el origen. Calcular laa razón de 2 revoluciones por minuto. Suponiendo que velocidad angular del cañón si éste apunta constante-la línea de costa sea recta, ¿a qué velocidad se desplaza mente hacia el avión.el rayo de luz al pasar por un punto que dista 1,5 millas Solucióndel faro? x Del triángulo obtenemos que Tan  .Solución y d Derivamos esta expresiónSabemos que x = 1 milla, z = 1.5 millas,  2 RPM . dt con respecto a tDel triángulo tenemos que dx dy y x y 2 d dt dt Sen   y = zSen Sec    z dt y2Derivamos esta expresión con respecto al tiempo dx dy d y x dy  zCos  Sen dz d (1)  2 2 dt dt dt dt dt dt y Sec  Reemplazando en la derivada, los datos del problema, obtenemos d  yVx  x  0 d  VxCos 2  2 2   . dt y Sec  dt y Ejemplo Sea C un círculo de radio r con centro en el punto (0, r) del plano XY. Imaginemos que una motocicletaTambién podemos obtener z2 = x2 + y2, derivando esta corre por la noche sobre C, por el primer cuadrante,nueva expresión, obtenemos hacia el origen. Considérese el punto del eje X ilumi- dz dx dy dz dx dy nado por su faro delantero. Calcular a qué velocidad se 2z  2x  2 y  z x y dt dt dt dt dt dt acerca este punto al origen en términos de r, de laReemplazando distancia d, medida sobre C, que separa a la motoci- dz  d dz  cleta del origen, y de la velocidad de esta última. z  1  0  z  zCos  Sen  Sen Solución dt  dt dt  Sabemos por geometría elemental que dz  d dz  2 r 360   zCos  Sen  Sen  dt  dt dt  y  dz  d dz  r    zCos  Sen  Sen y dt  dt dt  180 dz d 180 y  zTan  dt dt r dz Derivando esta  (1.5) (1.5)  (1)2 (4 ) 2 dt expresión, con respecto al tiempo, obtenemos JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 130 dy  r d d  180 dy rectángulo deducimos que      dt 180 dt dt  r dt Tan  xDel gráfico podemos deducir que h  x Tan60  18000 Tan  2 r xDerivamos esta expresión x = 3167,57 mts. 1  d  1 dx dx r  d Derivando esta Sec 2      Sec 2  expresión con res- 2 2 dt r dt dt 2 2 dt pecto del tiempo,Reemplazamos los datos conocidos en esta expresión yobtenemos tenemos dx 90 dh dx 90 y dy x h  Sec 2  . d dt dt dt   r dt Sec  2  dt x2 dh dEjemplo x  x 2 Sec 2 dxUn cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado  dt dt .por una estación de observación situada en el suelo a dt h10 kilómetros de la plataforma de lanzamiento. Su- Sabemos que 0.5 grd/seg = 0.0087266 rad/seg, 18000póngase que el ángulo de elevación de la línea visual pies = 5486.4 mts. Reemplazando los datos conocidos,hacia el cohete aumenta 3 grados por segundo cuando obtenemos = 45°. ¿Cuál es la velocidad del cohete en ese mo- dx x  0  (3167.57) 2  Sec 2 60  (0.0087) mento? dt 5486.4Solución dx mts  63.6 . d grd dt seg Sabemos que 3 , dt seg El signo negativo indica que el avión se acerca al ob-  = 45°, tenemos que calcular Vy. servador. Entonces, del triángulo dado en y Ejemplo la figura, obtenemos Tan  . En un proyecto de máquina la manivela y la biela tie- x Derivando esta expresión y re- nen, respectivamente, tres y diez dm de longitud y la emplazando los datos conocidos, manivela gira a la velocidad uniforme de 120 r.p.m. ¿Aobtenemos qué velocidad se moverá la cruceta de la biela cuando dy dx dx d la manivela forme un ángulo de 45 grados con la línea x y y  x 2 Sec 2 muerta central d dt dt  dy  dt dt Sec  2  Solución dt x2 dt x Supongamos que OC representa la línea muerta central,Reemplazando los datos del problema, obtenemos y la circunferencia la trayectoria de la manivela P. dy y  0  (10)2  Sec 2 45  (0.052) Entonces, C será la cruceta, CP la biela y OP la mani-  dt 10 vela. Al moverse P uniformemente en la dirección dy km indicada, C adquiere un movimiento de vaivén de velo-  1.04 . cidad variable a lo largo de OC. Si llamamos OC = dt seg dx x y al ángulo POC = , habrá que hallar cuandoEjemplo dtUn observador en el suelo observa un aeroplano que se d rev rad 2  4π . Para ello tendremos que expresaraproxima con una velocidad constante y a una altura dt seg segde 18000 pies. Desde su punto de vista, el ángulo de x en función de .elevación del aeroplano aumenta 0.5 grados por se-gundo cuando mide 60°. ¿Cuál es la velocidad delaeroplano?SoluciónComo datos del problema, conocemos que d grd  0.5 ,  = 60°, h = 18000 pies. Del triángulo dt seg JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 131Supongamos que en la figura, a = longitud de la mani- dxvela = 3 dm y b = longitud de la biela = 10 dm. Tra- En el primer caso, el valor negativo de significa dtcemos PA perpendicular a OC. Entonces, para diferen- que x está disminuyendo, es decir, que C se aproximates posiciones de P también A y C tendrán posiciones a O, moviéndose la cruceta hacia la izquierda. En eldistintas, pero siempre será: segundo caso, el signo positivo significa que se mueve x  OA  AC (1) hacia la derecha, es decir, que x aumenta. Del mismoEn el triángulo rectángulo PAC la fórmula de la hipo- modo, la fórmula (5) daría un valor negativo para todatenusa da posición de la manivela P por encima de la línea hori- 2 zontal OC, y un valor positivo para toda posición por AC  b2  AP (2) debajo de esa línea.y en el triángulo rectángulo POA, OA  aCos , AP  aSen . (3) EjemploSustituyendo este valor de AP en (2), resulta Un hombre atraviesa un patio circular a lo largo de un diámetro que mide 60 m a razón de 2 mts/seg. Una AC  b2  a2Sen2 , lámpara en la pared en un extremo del diámetro per-y este valor de AC juntamente con el valor de OA pendicular a su trayectoria proyecta su sombra sobre laque da la primera de las ecuaciones (3), sustituidos en pared circular. ¿A qué velocidad se mueve la sombra:la ecuación (1) dan finalmente a) cuando el hombre está en el centro; b) cuando está a 7 m del centro; x  aCos  b2  a 2Sen2 (4) c) cuando está sobre la circunferencia?que expresa x en función del ángulo . Para hallar la Solución dx Sea CB la trayectoria del hombre y L la posición de lavelocidad habrá que diferenciar esta ecuación y así dt lámpara. Sea también M la posición del hombre en unobtendremos dx. Derivando la ecuación (4), y efec- instante determinado cualquiera y y la distancia que lotuando las transformaciones y simplificaciones necesa- separa del centro O. Entonces P es la posición de larias, se obtiene: sombra sobre la pared circular, s es la distancia AP dx d 2a 2SenCos d  tomada a lo largo de la pared circular desde A y ds es  aSen    la diferencial de s en la dirección momentánea de la dt dt 2 b2  a 2 Sen2 dt tangente, que cambia continuamente siguiendo la   ds   curva. Para hallar la velocidad de la sombra cuan-  Cos  d dt  aSen  1   dy  2 dt b 2  do la del hombre es conocida, hemos de hallar una     Sen   dt  a  relación entre y y s. 2 b dAhora bien, a = 3, b = 10,    11,1 ,  4 , Tracemos OP y, llame-  a dt mos  al ángulo AOP, s al dx  Cos  arco AP y a al radio OL =  12  1    Sen (5)   OA; ds está indicado por dt  11.1  Sen2  la flecha. Si dibujáramosCuando  = 45º, Sen = 0,707 y Cos45º = 0,707, en- una recta uniendo el ex-tonces: tremo de esa flecha con L, dx  0,707  la distancia entre el punto  12  1    (0.707) en que corta a OB y el dt  11.1  (0,707) 2    punto M sería dy, es decir, dm el cambio de y correspondiente a ds; y si trazáramos  32.44 . seg una recta desde O al extremo de la flecha, el ánguloAnálogamente, si  = 270º, Sen = -1, Cos = 0, en- que formara esta recta con OP sería d, es decir, eltonces: cambio de  correspondiente a ds. Utilizando la nota- ción que acabamos de indicar, tenemos dx  0   12  1    (1)  37.70 dm . S = a (1) dt  2  11.1  (1)  seg Además, el ángulo PLA = ½ ángulo (POA) y, por  tanto, el ángulo MLO = ½. En el triángulo rectángulo MOL: JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 132  Ejemplo y  aTan (2) Una persona en un tranvía se aproxima a una torre de 2Diferenciando (2) y (1), resulta: 50 m de altura mirando constantemente a lo alto de la  misma, y a una velocidad de 12 km/hora. ¿A qué velo- dy  aSec 2 d  , ds  ad  . cidad tendrá que ir levantando la cabeza (la visual) 2 cuando el tranvía se encuentra a 50 m de la torre en unLa primera de estas igualdades da suelo horizontal? 2 1 d    dy Solución a Sec 2  dx km 2 Tenemos que  12 , y = 50 mts, x = 50 mts. dt horay sustituido este valor de d en la segunda, obtenemos: Del triángulo que se forma en la figura, tenemos 2 ds   dy (3) Tan  y  Sec 2 x 2Puesto que en cualquier instante se conocen y y a, es preferible utilizar Tan en vez de la secante. Por 2tanto, la ecuación (3) se puede escribir en la forma 2 ds 2 dy ds   dy    (4)  dt 1  Tan 2  dt 1  Tan2 2 2Esta fórmula da la velocidad de la sombra en función Derivando esta expresión con respecto del tiempo,del ángulo MLO y de la velocidad del hombre. Ahora obtenemos  ybien, según la figura, Tan  , siendo, en este caso, 2 a dy dx dx x y y  y dy d da = 30. Por lo tanto, Tan  , y como  2 es la Sec 2  dt  Sec    dt dt 2 2 30 dt dt x 2 dt x2velocidad del hombre, sustituyendo estos valores en la dx yfórmula (4) se obtiene: d   2 dt 2 ds  4 . dt x y 2 dt  y  Reemplazando los datos en esta expresión, obtenemos 1    30  120 50 Cuando se da la posición del hombre, se conoce su d d rad   2 36 2   0.033 .distancia y al centro y, por lo tanto, se puede calcular dt 50  50 dt seg dsinmediatamente con esta fórmula la velocidad de dt Ejemplola sombra sobre la pared. Entre los datos figuran tres Un observador dirige una visual a un globo que seposiciones del hombre: eleva uniforme y verticalmente a un kilómetro dea) Cuando está en el centro y = 0, y por tanto distancia. En el momento en que el ángulo de eleva- ds mts ción del anteojo es 30 grados, y está aumentando a 4 . razón de ¼ de radián por minuto, ¿a qué altura se dt seg encuentra el globo y a qué velocidad asciende?b) Cuando está a 7 m del centro y = 7, y entonces Solución y 7  , y por consiguiente, d  1 rad30 30 Tenemos que  , dt 4 min ds 4 mts  2  3.8 . x = 1 km. Del triángulo, dt  7  seg tenemos que 1    30  Tan  yc) Cuando está en la circunferencia y = 30, y entonces x y ds 4 mts Derivando esta expresión 1 y  2 . con respecto del tiempo, 30 dt 2 seg obtenemos JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 133 dy dx Reemplazando los datos x y d dt dt dy 1 dy mts Sec 2   1000  Sec 2 30    333.3 . dt x2 dt 4 dt min dy Para encontrar la altura a la que se encuentra el globo, x 2 d hacemos Sec   dt dt x2 y  xTan  y  1000Tan30  577.35 mts . dy d  x Sec 2 dt dt3.6.1 Tarea1) Derivar las siguientes expresiones:     f ( x)  Cos 2 xa) f ( x)  TanxTan   x Tan   x  ; b) ;  3   3  1  Sen2 x 2( Sen2 x  2Cos 2 x  1) 1  Sen2 xc) f ( x)  ; d) f ( x)  ; Cosx  Senx  Cos3x  Sen3x Cos 2 x 2Cos 2 x  1 1  Sen2 xe) f ( x)  ; f) f ( x)  ;     1  Sen2 x 2Tan   x  Sen2   x  4  4      f ( x)  Tan3x  1g) f ( x)  Sen2   x   Sen2   x  ; h) ; 8  8  Cos3x 1  Cosx  Cos 2 x  Cos3x 1  Tan2 xTanxi) f ( x)  ; j) f ( x)  ; Cosx  2Cos 2 x  1 Cotx  Tanx f ( x)  Tanx  Cotx Cos 2 x  Sen2 2 xk) ; l) f ( x)  ; (1  Tan x) 2 2 (1  Cot 2 x)2 4Cos 2 x     1  Senx  Cosx Sen  x    Cos   x  n) f ( x)  ;m) f ( x)   6 3 ; Sen x Cosx 2o) f ( x)  1  Senx  Cosx  Tanx ; Secx  Cosx p) f ( x)  ; 2Senx Senx  Sen3x  Sen5 x Senx  Tanxq) f ( x)  ; r) f ( x)  ; Cosx  Cos3x  Cos5 x Cosx  Cotx  x Csc(  x) (1  Senx)Tan    t) f ( x)  ;  4 2 ; Cot 2 x  Cotxs) f ( x)  Senx 1  Senx  x 2Senx  Sen2 xu) f ( x)  Tan    ; v) f ( x)  . Cosx  4 2 2Senx  Sen2 x2) Derivar las siguientes expresiones:  2   4  2 1a) f ( x)  Senx  Sen  x    Sen  x   ; b) f ( x)  Tanx  Tan3 x  Tan5 x ;  3   3  3 5c) f ( x)  2(Sen6 x  Cos6 x)  3(Sen4 x  Cos 4 x) ; d) f ( x)  x Sen x  Cos x ;e) f ( x)  Tanx  1  (1  Tanx) Senx  1 ; f) f ( x)  (3Cos 2 x  5)Cos3x ; 1  Tan x 2 1 2 f ( x)  4  Cot 2 x (2  Tan2 x)Tanx ;g) f ( x)  Sen2axCosax  SenaxCosax ; h) 3a 3a JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 134i) f ( x)  6 xCosx  3x2Senx  x3Cosx  6Senx ; j) f ( x)  x2Cosx  2 xSenx  2Cosx ; 1 1 2 1k) f ( x)  2 x  Sen2 x  Sen4 x  Sen6 x ; l) f ( x)  Cotx  Cot 3 x  Cot 5 x ; 2 3 3 5 (Tan2 x  1)(Tan4 x  10Tan2 x  1) 2Sen2 x  1 (2Senx  1)Cosxm) f ( x)  ; n) f ( x)   . 3 3Tan x Cosx 1  Senx3) Derivar las siguientes expresiones: Tan2 xTanx 2  Senx Cosxa) f ( x)  ; b) f ( x)  ; c) f ( x)  ; Tan2 x  Tanx 2  Cosx 2x2  3 ax 2  bx  c f ( x)  xSenx f ( x)  1d) f ( x)  ; e) ; f) ; Senx  Cosx 1  x2 x  Senx 4Cos 2 x 1 1  Cos 2 xg) f ( x)  ; h) f ( x)  ; i) f ( x)  ; x x 2  Cosx 1  Senx Tan  Cot 2 2 1  Sen2 x 1  Cos 2 x x  Sen2 xj) f ( x)  . k) f ( x)  ; l) f ( x)  . 1  Sen2 x 1  Cos 2 x x  Cos 2 x4) Derivar las siguientes expresiones dadas implícitamente:a) Cos 2 x  Cos 2 ( x  y)  2CosxCosyCos( x  y)  1 ; Sen(2 x  y) b)  2Cos( x  y)  1 ; Senxc) Sen( x  y)Sen( x  y)Sec2 xSec 2 y  1 ; Senx  Cos(2 y  x) d) 1; Cosx  Sen(2 y  x) 1 Cosx  Senye) Sen2 2 x  Sen2 y  Cos 4 x  1 ; f)  Sen45º . 4 Cosx  Seny5) Demostrar que la función 7) Sean f(x) y g(x), x  R, funciones derivables por Cosx, si x   / 4 todo lugar. Hallar h´(x) si f ( x)    Senx, si x   / 4 h( x)  f (Sen2 x)  g (Cos 2 x) .está definida implícitamente por la ecuación 2y2 – 2(Senx + Cosx)y + Sen2x = 0. 8) Si f(x) = (ax2 + bx + c)Senx + (dx2 + ex + f)Cosx, dy determine valores para las constantes a, b, c, d, e, fMediante derivación implícita expresar en térmi- tales que f ´(x) = x2Senx. dxnos de x e y. Mostrar que f(x) es continua pero no deri-vable en x = /4. ¿Queda esto reflejado de algún modo 9) Si f(x) = (ax + b)Senx + (cx + d)Cosx, encuentre valores de para las constantes a, b, c, d tales que dyen la expresión general obtenida para ? f ´(x) = xCosx. dx 10) Con qué valores de A la función6) Determine los valores de A y B con los que la  A 1función es por todo lugar derivable:  x Sen , x  0 f ( x)   x  Ax  B, x  0  f ( x)   .  0, x  0  ACosx  BSenx, x  0 en el punto x = 0, es continua, tiene derivada, tiene derivada continua.11) Con qué valores de A y B (B > 0) la función en el punto x = 0, es continua, tiene derivada, tiene  A 1 derivada continua.  x Sen B , x0 f ( x)   x  12) Investigue la derivabilidad de las funciones:  0, x  0 a) f ( x)  Senx ; b) f ( x)    x Senx ; JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 135  2  donde t es el tiempo, a, el semieje mayor de la órbita  x Cos , x  0 elíptica, , su excentricidad, P, el período orbital delc) f ( x)   x .  0, x  0 satélite, t0, el tiempo de paso por el perigeo. Hallar el  valor de la velocidad de variación de la distancia r (la llamada velocidad radial del satélite).13) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierdapara las funciones en los puntos indicados: 19) En ingeniería naval se demuestra que el efectoa) f ( x)  3 Senx , x = k, k  Z; giratorio del timón de un barco es T = kCosSen2, en  2 que  es el ángulo que forma el timón con la direcciónb) f ( x)  x Cos , x , k  Z; de la quilla del barco. Cuando el timón gire a razón de x 2k  1 ¼ radianes por minuto, ¿a qué velocidad, expresada enc) f ( x)  Senx 2 , x = 0, x   ; función de la constante k, cambiará T en el momento k en que sea  = 30º?d) f ( x)  Cosx Senx  Senx Cosx , x , k  Z. 2 20) Una partícula está obligada a moverse a lo largo de una parábola cuya ecuación es y = x2:14) Determine la velocidad media de variación de la a) ¿En qué punto de la curva varían la abscisa y la 1función y  Sen sobre el segmento [2/; 6/] ordenada con el mismo coeficiente de variación? x b) Encontrar esta razón si el movimiento es tal que en el instante t, es x = Sent e y = Sen2t.15) Un avión vuela con velocidad y altura constantesa lo largo de una recta que pasa directamente arriba de 21) Desde la playa, un hombre observa un rayo deuna estación de radar en tierra. En el momento en que luz que gira. La luz da una vuelta por minuto, y el hazel avión está a 20 kilómetros de la estación, un obser- de luz cruza una pared directamente detrás del hombrevador nota que su ángulo de elevación es 30º y va a razón de 10 metros por segundo. La pared es per-aumentando a razón de 0.5º por segundo. Calcule la pendicular a la recta que va desde el hombre al focovelocidad del avión. que emite la luz. ¿A qué distancia está el foco de la pared?16) Un torpedero navega paralelamente a una costarectilínea a 40 millas/hora, manteniéndose a 1,5 millas 22) Una sierra vierte aserrín sobre una pila cónica ade la costa; desde un lugar de observación situado razón de 300 centímetros cúbicos por día. El lado delmedia milla tierra adentro, se dirige el haz luminoso de montón de aserrín tiene una pendiente de 1, es decir,un foco siguiendo al torpedero. ¿A qué velocidad en forma un ángulo de 45º con el terreno. ¿A qué veloci-radianes por minuto habrá de girar el haz luminoso dad aumenta la altura de la pila cuando tiene una altu-para seguir al barco en el momento en que éste pasa ra de H centímetros?justamente frente al lugar de observación, y tambiéncuando lo haya rebasado media milla? 23) Un aeroplano de combate vuela a 300 km/hora, en línea recta y horizontal, y adelanta a un aeroplano17) Un cohete despega verticalmente desde un punto enemigo que vuela paralelamente, y al mismo nivel,a 8 kilómetros de una estación rastreadora que se en- en la misma dirección y a 250 km/hora. El ametralla-cuentra a la misma altitud. Durante los primeros 20 dorista dirige el tiro sobre el aeroplano enemigo tansegundos de vuelo, el ángulo de elevación  aumenta a pronto como se pone a su alcance, y lo hace girar parauna razón constante de 2º por segundo. Calcule la conservar el punto de mira sobre el aeroplano paravelocidad del cohete cuando el ángulo de elevación es poder seguir disparándole mientras lo adelanta. Si lasde 30º. rutas de los dos aeroplanos tienen una separación de 114 mts, ¿a qué velocidad habrá que girar la ametra-18) La distancia r hasta un satélite de la Tierra desde lladora para seguir al aeroplano enemigo: a) en elsu centro puede ser expresada, aproximadamente, con momento de adelantarlo, b) medio minuto después?la fórmula  2(t  t0 ) 2  4(t  t0 )   r  a 1  Cos   Cos  1   P 2 P    JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1363.7 Derivación de funciones trigonométricas inversasToda función y = f(x) aplica el dominio de existencia Este teorema tiene el sentido geométrico sencillo.de la función sobre el codominio de tal modo que acada x del dominio de existencia le corresponde el En el entorno del punto c consideramos la gráfica de laúnico valor y del codominio. Así pues, las funciones función y = f(x) o de la función inversa. Supongamospueden dividirse en dos grupos: que al punto c le corresponde el punto P de esta grafi-1) Funciones que realizan una aplicación biunívoca ca. Entonces, obviamente, la derivada f ´(c) es igual adel dominio de existencia sobre el codominio. la tangente del ángulo de inclinación  formado por la2) Funciones que no poseen esta propiedad. tangente, que pasa por el punto P, y el eje 0X. La deri- vada de la función inversa (f -1(d))´ es igual a la tangen-Supongamos que el dominio de la función y = f(x) es te del ángulo de inclinación  formado por la mismatal que la función realiza una aplicación biunívoca del tangente y el eje 0Y. Puesto que la suma de los ángulosdominio D sobre el codominio C. Entonces, a partir de  y  es /2, la expresióncualquier y, perteneciente al codominio C, se puede 1establecer unívocamente el valor de x de dominio D, ( f 1(d ))´  f ´(c)procediendo de la manera siguiente: en la igualdadf(x) – y = 0 se considera fijo cualquier y  C y se busca 1 indica el hecho evidente de que Tan  .x  D que satisfaga la igualdad citada. Cada x  D Tanencontrado se denota con f -1(y). La igualdad x = f -1(y) El concepto de funciones inversas se puede aplicar alleva el nombre de regla inversa. las funciones trigonométricas. La función periódica no es inversible, en particular, tampoco son inversibles lasDefinición funciones trigonométricas. Pero sobre ciertos subcon-Se denomina función inversa de la función y = f(x), juntos de su campo de definición estas funciones sonx  D, y  C, aquella que se obtiene a partir de la regla inversibles.inversa x = f -1(y), sustituyendo x por y, e y por x con lasustitución simultánea del dominio por el codominio y Es evidente que cualquier función trigonométrica fun-del codominio por el dominio. Realizada la sustitución damental inversa aplica biunívocamente su dominiomencionada, el codominio de la función y = f(x) se sobre su codominio. Por eso, cada una de estas funcio-convierte en el dominio de la función inversa nes cuenta con su función inversa, que es una funcióny = f -1(x), mientras que el dominio de la función trigonométrica fundamental correspondiente, peroy = f(x) se hace el codominio de la función inversa analizada solamente en el dominio correspondiente.y = f -1(x). Las relaciones trigonométricas inversas no son funcio-Así pues, dos funciones, a saber y = f(x) con el domi- nes, ya que hay muchos valores de f(x) que están aso-nio D y el codominio C, y la función y = f -1(x) con C y ciados con un valor dado de x. Para obtener las funcio-D que intervienen como el dominio y el codominio, nes trigonométricas inversas, se restringen las relacio-respectivamente, donde f(f -1(x)) = x para todo x  C, y nes trigonométricas a ciertos valores, llamados valores principales.f -1(f(x)) = x para todo x  D, son tales que una de ellases inversa de la otra. No siempre se logra encontrar A continuación procederemos a enunciar los teoremas,para cada función tal dominio, que se aplique por ella en los cuales se dan todas las fórmulas de las funcionesde manera biunívoca sobre el codominio correspon- trigonométricas inversas, utilizando el método de deri-diente. vación:Teorema TeoremaSea que la función y = f(x) crece (o decrece) y es con- La función ArcSenu(x) es derivable en todo su domi-tinua en cierto entorno del punto c. Sea que, además, la nio, y su derivada se expresa comofunción y = f(x) es derivable en el punto c y la derivadaf ´(c) es diferente de cero. Entonces, existe la función d (u ( x)) d dxinversa x = f -1(y) que está definida en cierto entorno ( ArcSenu ( x))  .del punto correspondiente d = f(c), es derivable en este dx 1  u 2 ( x) 1punto y tiene en él la derivada igual a . f ´(c) JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 137Ejemplo 6x2Hallar la derivada de las siguientes funciones: f ´( x)  . 1  x6 Senxa) f ( x)  ArcSen ; 1  Sen2 x Teorema 2 x3 La función ArcCosu(x) es derivable en todo su domi-b) f ( x)  ArcSen . nio, y su derivada se expresa como 1  x6Solución d (u ( x)) d dx (1  Sen x)Cosx  CosxSen x 2 2 ( ArcCosu ( x))   3 dx 1  u 2 ( x)a) f ´( x)  1  Sen x  2 2  1 Ejemplo 1  Sen 2 x Hallar la derivada de la siguiente función:  Senx  x 2n  1 f ( x)  ArcCos .   ´ x 2n  1 2    1  Sen x  Solución 2  Senx  d  x 2n  1  1      2  dx  x 2 n  1   1  Sen x  f ´( x)     d 1  Sen 2 x  ( Senx)  Senx  dx d dx 1  Sen 2 x    x 2n  1  1   2n  x 1  2 1  Sen 2 x    1 d d ( x 2 n  1)  ( x 2 n  1)  ( x 2 n  1)  ( x 2 n  1) 1  Sen 2 x dx dx ( x 2 n  1)2  Cosx .  1  Sen2 x x 4n  2 x 2n  1  x 4n  2 x 2n  1 ( x 2 n  1) 2 d  2 x3  (1  x6 )  6 x 2  2 x3  6 x5 ( x 2n  1)  2nx 2n 1  ( x 2 n  1)  2nx 2 n 1   dx  1  x 6    (1  x 6 ) 2 ( x 2n  1) 2b) f ´( x)    4 x6 4 x6 4 x 2n 1 1 (1  x 6 )2 (1  x 6 ) 2 ( x 2n  1) 2 6 x 2  6 x8  12 x8 2nx 2n 1( x 2n  1  x 2n  1) 2nx n 1   . (1  x 6 )2 6x  6x 2 8 2 x n ( x 2n  1) x 2n  1   1  2 x 6  x12  4 x 6 (1  x6 ) x12  2 x6  1 1  x6 Teorema La función ArcTanu(x) es derivable en todo su domi- 6 x 2 ( x6  1) 6 x ( x  1) 2 6    Sign( x6  1) nio, y su derivada se expresa como (1  x ) ( x  1) 6 6 2 (1  x6 )( x6  1) d (u ( x))  1, x  1  0 d dx 6 ( ArcTanu ( x))  .  6x2  dx 1  u 2 ( x)   0, x 6  1  0 6  1 x   1, x  1  0 6  Ejemplo Hallar la derivada de la siguiente función:  6 x2  , x  (;  1)  (1;  ) 1 x f ( x)  ArcTan .  1 x 6  1 x  0, x  1, x  1 .  2  6 x , x  (1;1)  1  x6 Como x< 1, entonces la derivada buscada es JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 138Solución Teorema d 1 x  La función ArcCotu(x) es derivable en todo su domi-   nio, y su derivada se expresa como dx  1  x  d  1 x  1 x d   (u ( x)) dx  1  x    2 1 x d ( ArcCotu ( x))   dx 2 . f ´( x)  1  u ( x) 1 x 1 x 1 x dx 1 1 x 1 x d d Teorema (1  x)  (1  x)  (1  x)  (1  x) La función ArcSecu(x) es derivable en todo su domi- dx dx 1 x nio, y su derivada se expresa como 2  (1  x) 2 d  1 x (u ( x)) d dx 2 ( ArcSecu ( x))  . 1 x dx u ( x) u 2 ( x)  1 1  x (1  x)  (1)  (1  x) 1  1 x 2(1  x) 2 Teorema  La función ArcCscu(x) es derivable en todo su domi- 2 nio, y su derivada se expresa como 1 x d 1 x 2 (u ( x))  d ( ArcCscu ( x))   dx . 1  x 2(1  x)2 1   dx u ( x) u 2 ( x)  1 2 2 1 x  1 x 1 x 1  . 2 1  x23.7.1 Tarea1) Determine la derivada de las siguientes funciones: 1 1 x2  2 xa) f ( x)  ( x 4  1) ArcTanx 2  x 2 ; b) f ( x)   ArcSen 1 ; 4 4 x 1 ( x  1) 2 2 2 Ax  B 1 1c) f ( x)  ArcTan ; d) f ( x)  ( x 2  1) ArcTanx  x ; 4 AC  B 2 4 AC  B 2 2 2 Cos 2 x  15 4 4Sen2 x  1 f ( x)  xArcSenx  1  x2 ;e) f ( x)   ArcSen ; f) 4  Sen2 x 15 4  Sen2 x x h) f ( x)  Cos(2 ArcCosx) ;g) f ( x)  xArcCos  x  ArcTan x ; x 1 xi) f ( x)  x( ArcSenx)2  2 x  2 1  x2 ArcSenx ; j) f ( x)  2 x  3 ArcTanx  ; 1  x2k) f ( x)  3 ArcSenx  (5x  2 x3 ) 1  x2 ; l) f ( x)  e x  1  ArcTan e x  1 ; 1 n) f ( x)  ArcSen(Senx  Cosx) ;m) f ( x)  3x 4 ArcSen  ( x 2  2) x 2  1 ; xo) f ( x)  ( ArcSenx)2  2 x 1  x2 ArcSenx  x2 ; p)  f ( x)  ArcTan x  1  x 2 ; q) f ( x)  (2 x2  1) ArcSenx  x 1  x 2 ; r) f ( x)  ( x  1) ArcTan x  x ; xa 1  2  f ( x)  x  a  b  a ArcTan f ( x)  ArcSen   3 Senx s) ; t) ; ba  2   JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 139 2x 1 ( x 2  1) ArcTanxu) f ( x)   2 ArcTan( x  1) ; v) f ( x)  2 x . x  2x  2 2 x2) Un avión vuela a una altura constante de 5 kilóme- 6) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierdatros y a una velocidad de 500 kilómetros por hora y se para las funciones en los puntos de discontinuidad:aleja de un observador en tierra. Calcule la rapidez con  1 xla que varía el ángulo de elevación cuando la aeronave  ArcTan 1  x , x  1 vuela sobre un punto en tierra que se encuentra a 2 ki- a) f ( x)   ;  lómetros del observador. , x 1   23) Determine los valores de A y B con los que la fun-  1  ArcTan , x0ción, es por todo lugar continua, es por todo lugar deri- b) f ( x)   x ;vable:  , x  0   Ax3  Bx, x  2   1 f ( x)   1 1 .  ArcTan x , x  0   ArcSen , x  2 c) f ( x)   .  x    , x0   24) Determine los valores de A y B con los que la fun-ción tiene derivadas: en el punto x = 1, en el punto 7) Sea f(x), x  R una función en todos los puntosx = -1: derivable. Hallar g´(x) si  ArcTanAx, x 1 g ( x)  f ( ArcSenf ( x)) , f ( x)  1 .  f ( x)   x 1 .  BSign( x)  , x 1  2 8) Un faro buscador se encuentra a 1/8 de kilómetro del punto más cercano P de una carretera recta y5) Hallar las derivadas a la derecha y a la izquierda apunta a un automóvil que viaja sobre la carretera apara las funciones en los puntos indicados: 50 kilómetros por hora. Calcule la rapidez de giro del 1 haz de luz cuando el automóvil se encuentra a ¼ dea) f ( x)  ArcCos , x = -1, x = 1; x kilómetro de P. (2k  1)b) f ( x)  ArcSen(Senx) , x  , x  Z. 23.8 Derivación de funciones exponenciales y logarítmicasSea a un número real positivo. El símbolo a1 represen- Definiciónta el propio a. Si n es un entero positivo mayor que 1, Sean a > 0 y a  1. El número k se llama logaritmo delentonces a significa an multiplicado por sí mismo n número b > 0 en el sistema de base a si ak = b.veces. Adoptaremos la convención que a0 = 1. Si n esnuevamente un entero positivo, hay un número positi- El logaritmo del número b en el sistema de base a sevo solamente que satisface bn = a. Este número b es designa por logab. Por la misma definición aloga b  b . 1denominado por an y se llama la n-ésima raíz de a. De la definición del logaritmo se desprende que mCada fracción se puede escribir en la forma donde pq  aloga paloga q  aloga p loga q n m y por eson es un entero positivo. El símbolo a n designa la n- loga ( pq)  loga p  loga q .ésima potencia de a elevada a la n-ésima potencia. Es Análogamente   m k m  1 p k  aloga p  a k loga pdecir an  an  .   y, por consiguiente   loga p k  k log a p . JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 140Sean a > 1 y p < q. Si hubiera sido logap  logaq, en- Con a > 1 la función logarítmica estrictamente crece ytonces la tasa de crecimiento para x > 1 es lenta, con 0 < a < 1 aloga p  aloga q estrictamente decrece y la tasa de decrecimiento para x > 1 es lenta. Si a > 1, entonces, cuando x tiende a 0,es decir, p  q. La desigualdad obtenida contradice lo la función decrece rápidamente. Si 0 < a < 1, entonces,que p < q. Por consiguiente, debe ser cuando x tiende a 0, la función crece rápidamente. Si log a p  log a q . a > 1, la función es negativa para 0 < x < 1 y positiva para x > 1. Si 0 < a < 1, la función es positiva paraDe las propiedades de los logaritmos resulta que 0 < x < 1 y negativa para x > 1. p log a  log a p  log a q . q Los gráficos de las funciones f(x) = ax, x  R y f ( x)  loga x , x  (0; +)Sean a > 0, b > 0, a = 1, b = 1, c > 0. Por definición del son simétricos entre sí con relación a la recta f(x) = x.logaritmo C  aloga c y por eso logb c Sea a  1 un número positivo. Decimos que y es el logb c  log a c  logb a  log a c  logaritmo de x en base a si ay = x. Es decir log a x  y . logb ay se denomina fórmula de paso a otra base. La fórmulaobtenida permite encontrar los logaritmos de los núme-ros en el sistema de base a, si se conocen los logarit-mos de base b.De esta fórmula, en particular, se desprende que 1 log a b  . logb aSea b un número positivo. El logaritmo natural de b es loge b  ln b . Nótese que lnb solamente se calcula paravalores de b entre 1 y 10.Ahora mostraremos cómo calcular log a b en términosde lnb para una base diferente a e. Sean b y a números Sea x un número positivo. El logaritmo natural de x espositivos, a  1. Entonces loge x  ln x . Nótese que lnx solamente se calcula para ln b  log a b . valores de x entre 1 y 10. ln aSea b un número real. La función g(x) = kxb (x > 0) sellama función potencial.DefiniciónUna función de la forma h(x) = kax (a > 0, a  1) sellama función exponencial con base a, y la curva co-rrespondiente se conoce como curva exponencial.Sea a el número positivo dado, a  1. La función ex-ponencial f(x) = ax está definida en R, el intervalo (0;+) es el conjunto de sus valores. Con a > 1 la función Sean x y a números positivos, a  1. Entoncesestrictamente crece, con 0 < a < 1, estrictamente de- ln xcrece, los valores negativos de x producen valores  log a x .positivos de f(x). ln aLa función exponencial f(x) = ax, x  R es inversible. Sea a un número positivo. Entonces, a x  e x ln a paraLa función inversa recibe el nombre de logarítmica y cada número real x.se designa con f(x) = logax, ella está definida en elintervalo (0; +), el conjunto R es el conjunto de sus Una función y = ax, donde a es un número fijo tal, quevalores. a > 0 y a  1, se denomina función exponencial. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 141La función exponencial posee las siguientes caracterís- (1  x)  (1)  (1  x) 1 1 xticas: (1  x) 2 e 1 x a) El dominio es (-; +); 1 xb) El codominio es (0; +); 2 1 xc) La función está acotada inferiormente: y > 0; 2d) La función no toma el valor máximo ni tampoco el 1 xmínimo; 1 x (1  x) 2 e e) La función no es periódica; 1 x 2f) La función no es par ni tampoco impar; 1 xg) Si a > 1, la función y = ax crece en todo el domi- 1 xnio; si 0 < a < 1, la función y = ax decrece en todo el 1 x 1  e  .dominio; (1  x) 1  x 2h) El punto (0, 1) es el único punto de interseccióncon los ejes coordenados.Una función f ( x)  loga x , donde a es un número fijo b) f ´( x)  e d ln( x 2  x 1) dx   ln( x 2  x  1)  dtal, que a > 0 y a  1, se denomina función logarítmi- (ln( x 2  x  1)) ln( x 2  x 1) dxca. La función logarítmica posee las siguientes caracte- e rísticas: 2 ln( x 2  x  1)a) El dominio es (0; +); d 2 ( x  x  1)b) El codominio es (-; +); dxc) La función no está acotada ni superior ni inferior-  e ln( x  x 1)  2 x2  x  1mente; 2 ln( x 2  x  1)d) La función no toma el valor máximo ni tampoco elmínimo; 2x  1e) La función no es periódica; e ln( x 2  x 1)  x  x 1 2f) La función no es par ni tampoco impar; 2 ln( x 2  x  1)g) Si a > 1, la función f ( x)  loga x crece en todo el ln( x 2  x 1) 2x  1dominio; si 0 < a < 1, la función f ( x)  loga x decrece e  . 2( x  x  1) ln( x 2  x  1) 2en todo el dominio;h) El punto (1, 0) es el único punto de interseccióncon los ejes coordenados. Teorema La función logau(x)) es derivable en todo su dominio, yLa definición geométrica de logaritmo nos conduce su derivada se expresa comodirectamente a su derivada: d (u ( x)) d dx (log a u ( x))  .Teorema dx u ( x)ln aLa función au(x) es derivable en todo su dominio, y suderivada se expresa como Ejemplo d u ( x) d Hallar la derivada de la función: (a )  au ( x ) ln a  (u ( x)) . dx dx  x4  1  x2  f ( x)  ln  .  x4  1  x2 Ejemplo  Hallar la derivada de la función: Solución 1 x Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplifi- 1 x ln( x 2  x 1)a) f ( x)  e ; b) f ( x)  e . camos esta expresión:Solución x4  1  x2 f ( x)  ln d 1 x  x4  1  x2 1 x 1 x   d  1 x      dx 1  x a) f ´( x)  e 1 x    e 1 x    ln x 4  1  x 2  ln x4  1  x2 . dx  1  x    1 x 2 1 x Derivamos la nueva expresión: JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 142 d  x4  1  x2   dx  d x4  1  x2  b) Esta función se puede expresar como   dx ln x 2 f ´( x)  f ( x)  1  3x x 1  x 4 x 1  x 2 4 2 d 4 d 4 ln x 2 ( x  1) ( x  1) dx  2 x dx  2x  (1  3 x ) 2  (1  3x )ln x .  2 x 1  2 x 1 4 4 Derivando esta expresión, obtenemos x4  1  x2 x4  1  x2 d f ´( x)  (1  3x )ln x  ln(1  3x )  (ln x)  4 x3 4 x3 dx  2x  2x d 2 x4  1 2 x4  1  ln x  (1  3x )ln x 1  (1  3x )   dx x4  1  x2 x4  1  x2 1 x ln x 1 x  (1  3x )ln x  ln(1  3x )   ln x  (1  3 )  3  ln3 1 2x  2x x  1 3 4 2x  2x x  1 3 4 x x 1 4 x4  1  1  3x     (1  3x )ln x 1  ln(1  3x )  3x ln x ln3  .  x  x4  1  x2 x4  1  x2   2 x( x 2  x 4  1) 2 x( x 2  x 4  1) Ejemplo  x4  1 x4  1 Se afirma que para los pinos de un determinado bos- x4  1  x2 x4  1  x2 que, la medida de la evaporación del agua V como una 2x 2x 4x función de la temperatura T del aire que los rodea se    . expresa por la función V(T) = 5.5eR(T), donde x 1 4 x 1 4 x4  1 17.5T R(T )  . T  237Teorema ¿Cuál es la rapidez de evaporación cuando la tempera-La función compuesta u(x)v(x) es derivable en todo su tura del aire es 22°C?dominio, y su derivada se expresa como Solución d d (u ( x)v( x) )  v( x)u ( x)v( x) 1  (u ( x))  La rapidez de evaporación del agua se da por dV . dx dx dT d Aplicando la regla de la cadena,  u ( x)v( x) ln u ( x)  (v( x)) . dx dV dR  5.5 e R (T ) dT dTEjemplo R (T ) (T  237)(17.5)  17.5THallar la derivada de la función:  5.5 e (T  237)2   x ln x 2a) f ( x)  x x ; b) f ( x)  1  3x .  5.5 e R (T ) . 17.5(237) (T  237)2Solucióna) Aplicamos logaritmos a ambos lados de la función Cuando T = 22, R(22) = 1,486 y por lo tanto dV 17,5(237)  5,5 e1.486  1,5 xln f ( x)  ln x x  x x ln x . Derivando esta expresión, dT (22  237) 2obtenemos unidades de agua por grado. f ´( x) d d  x x  (ln x)  ln x  ( x x ) f ( x) dx dx Ejemplo 1 Un lago se contaminó con una sustancia química. La  x   ln x  ( x x  ln x  1  x  x x 1  1) x x acción natural de las bacterias hace que el nivel de este  x x 1  x x  ln 2 x  x x  ln x químico disminuya con una rapidez proporcional a la cantidad actual en el lago. Se requieren 5 años para que  x x 1(1  x ln 2 x  x ln x) . las bacterias desintegren únicamente el 5% del quími-Por tanto co. No es posible volver a tener peces en el lago hasta f ´( x)  x x x x 1(1  x ln 2 x  x ln x) x que el nivel del químico sea menor de 10% del nivel actual. ¿Cuándo volverá el lago a ser habitable para los x  x 1  xx ( x ln 2 x  ln ex x ) . peces? JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 143Solución Por consiguiente, el modelo puede reescribirse comoSea Q(t) la cantidad de químico en el lago, t años a Q(t) = Q0(0,99)t. El lago es habitable para los pecespartir de ahora, y sea Q(0) = Q0 el nivel actual de quí- cuandomico. Q(t) = 0,1Q0  Q0(0,99)t = 0,1Q0 dQ Q0(0,99)t = 0,1Puesto que la rapidez de decremento es  kQ(t ) , se dt ln[(0,99) ] = ln(0,1)  t ln(0,99) = ln(0,1) ttiene como modelo Q(t) = Q0ekt. t = 229 años.Después de 5 años, Q(5) = Q0e5k = 0,95Q0. Por tanto, Por tanto, los peces pueden regresar con seguridad al Q0e5k = 0,95Q0  e5k = 0,95  ek = 0,99. lago después de 229 años.3.8.1 Tarea1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:a) f ( x)  xArcTanx  ln 1  x 2 ; b) f ( x)  ln(Cosx  2)  ln(Cosx  1) ;c)  ( x  1)2  f ( x)  ln  2  x 1    2 ArcTanx ; d)   f ( x)  x ln x  1  x 2  1  x 2 ;  e)  f ( x)  ln e x  1  e2 x ;  f) f ( x)  x ln  x  1 x   1 x ; 2 2 f ( x)  x x  a  a ln  x  x  a  ;g) f ( x)  x(Sen ln x  Cos ln x) ; 2 2 2 2 2 h)i)  f ( x)  xArcSenx  ln x  x 2  1 ;  j) f ( x)  ln  x  1  x   ArcTan 2 x 1 x ; 2k)  x 1 f ( x)  ln   1  1 ; l) f ( x)  xArcSecx  ln  x  x  1  ; 2  x 1  x 1 x 1 ArcTanx f ( x)  x ln 1  x 2  x  ArcTanx ;m) f ( x)   ln x  ln 1  x 2 ; n) x  x  ArcSenx p) f ( x)  x  e x ArcTane x  ln 1  e2x ;o) f ( x)  ln   ;  2  1 1 x  xq) f ( x)  (Senx)Cosx  (Cosx) Senx ; 1  Cosx r) f ( x)  CotxCscx  ln ; 1  Cosxs) f ( x)  ln( Sec3x  Tan3x)  1 ; 1  a b  x a b  Sen3x t) f ( x)  ln   a b  x a b   ; a b 2  2 u) f ( x)  Sen2 x  1  ln Sen4 x ; v) f ( x)  (2 x  1)ln   x  1  x  x2  x ; Sen2 x  1  x2  1       w) f ( x)  x 2  1  ln  ; x) f ( x)  ln  Csc  x    Cot  x    ;  x    4  4   y) f ( x)  x ln( x2  x)  ln( x  1)  2 x ; 2  ln x z) f ( x)  1  4ln x  ln 2 x  2 ArcSen . 52) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 2x  1a) f ( x)  ln( x  1)3  ln( x 2  x  1)3  4 3 ArcTan ; 3 2 1  x 1b) f ( x)  3e2 x  6e x  1  ln  e  1  e2 x  2e x   ;  3 3  3  JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 144c) 5 5 1  5 f ( x)   x  x3  x5  1  x 2  ln x  1  x 2 ;  16 24 6  16   x 3d) f ( x)  x  2  ln( x 2  2 x  2)2  ArcTan( x  1) ; x  2x  2 3x  17 15e) f ( x)   ln x 2  4 x  5  ArcTan( x  2) ; 2( x 2  4 x  5) 2  ; 4f) f ( x)  ( x  1) x 2  2 x  5  ln x  1  x 2  2 x  5 x  x2 4 1g) f ( x)   ln x  1  ln x 2  1  ArcTanx ; 4( x  1)( x  1) 2 4 x2 5 2x  1h) f ( x)  ln( x  1)   ArcTan  ln x 2  x  1 ; 3( x 2  x  1) 3 3 3   2i) f ( x)  2(2 x  1)(8 x 2  8 x  17) x 2  x  1  ln 2 x  1  2 x 2  x  1 ;j)    f ( x)  x ln 2 x  x 2  1  2 x 2  1ln x  x 2  1  2 x ; k) f ( x)  ArcTan Tanx 2  Tan x 2  ln  2  Tan2 x  Tanx ;     2   x 1 1  2 2 x 1 1l) f ( x)  ln   ArcTan ;  x  2  x 1  3 3    x2  2x  4  1  1 2x2  4x  8m) f ( x)  ln   ArcTan ;  x2  2 x  4  1  2 x 1    x 4 x  1  Cos n) f ( x)   2 ArcTan Cos  ln  2 ; x 2  x Cos  1  Cos  2  2 ( x  1)2 ( x 2  x  1) x 3o) f ( x)  ln  3 ArcTan ; ( x  1)2 ( x 2  x  1) 1  x2 1  2Senx  1  5 p) f ( x)  ln( Senx  Cos 2 x)  ln  ; 5  2Senx  1  5    xq) f ( x)  ln x 2  2 x  2  2  2 ArcTan( x  1) ; x  2x  2r) f ( x)  (1  x2 )( ArcTanx)2  2 xArcTanx  ln x 2  1 ;  x 1  1 x  1 xs) f ( x)  ln   x  1  1  x   2 ArcTan 1  x  ;   3 x x x xt) f ( x)  Tan2  Tan3  Tan  ln Cos3  x ; 2 3 3 3 3  3 Tanx  1 u) f ( x)  ln    3 ArcTan 2Tanx  1 .  6 Tan2 x  Tanx  1  3 3   JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1453) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:a) f ( x)  1  x 2 ArcTanx  ln x  1  x 2 ;   b) f ( x)  ln( x 2 ln x) ;c)   f ( x)  x ln x  x  2 x  2 x  2ln 1  x ;   d)  f ( x)  ln Tanx  Tan2 x  2 ; e) f ( x)  ln ( x 4  1)22  2 x4  1  5  ln   ; f)  f ( x)  x  1  ln 1  x  1 ;  x  x 18 4 5  2 x4  1  5     x 1 1 4 4  1 g) f ( x)  ln    2 ArcTan 4 x 4  1 ; h) f ( x)  ln  ArcCos ;  4 x 4  1  1   x  i)  f ( x)  ln Tanx  2  Tan2 x  4Tanx  1 ;  j) f ( x)  ln(1  Cotx)  Cotx ;  x 2 1  Tanxk) f ( x)  x  1   Cot x 2  2 ln  Tan  ; 2  l) f ( x)  ln 1  Tanx x; 2  m)  f ( x)  ln Cosx  2  Cos 2 x  4Cosx  1 ;  n)  f ( x)  ln x  1  x 2 ;   ex  1 1  p) 1 f ( x)  ( x  1)ln x  1  x ;o) f ( x)  2 e x  1  ln  ; 2  ex  1  1        1  2  2x  x  2 r) f ( x)  ln Sen xTan x  x ;q) f ( x)  ln    ln x  x 2  1 ; 2 2  2  2 x2  x   s) f ( x)  1 1 x  ln   1  xCosa    Cota  ln  Sena  1  x  ;  1  xCosa  t)  f ( x)  ln Senx  Sen2 x  1 ; u)   f ( x)  2 x ln 2 x  4 x 2  1  4 x 2  1 ; v) 1 f ( x)  Sen ln x Cos ln x  ln x ;  a ln  x   x) f ( x)  log(log(log(log Senx))) ;w) f ( x)  x 2 a 2  x 4 2 2 a2  x4 ; 1 1 1 ArcTanx xy) f ( x)  ln(1  x 2 )  ln(1  x 4 )  ; z) f ( x)   ln . 2 4 2(1  x 2 ) x 1  x24) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 1 x  x2  a a x2a) f ( x)  x3 ln    ln(1  x )  x ; 2 2 b) f ( x)  ln  ArcTan ; 1 x  x 4  b2 b b 1 f ( x)  e x ArcTane x  ln 1  e2 x ;c) f ( x)  e ArcTanx  ln 2 (1  x 2 )  ArcTanx ; d) 4 3 x 2Cosx 3Cosxe) 1 1 f ( x)  ln(1  4 x 2 )  ( ArcTan2 x) 2 ; f) f ( x)  ln Tan3   ; 8 3 2 Sen4 x Sen2 xg) f ( x)  ln( x  4 x  5)  8 ArcTan( x  2) ; 2 3 1 1  h) f ( x)  x 2  1  ln   1  2 x ;   x i) f ( x)  2 x ln x  2x log x e 1 ln x e e 1 2 log x e ; j) f ( x)  ln  2Senx  1  2Senx  1 ;   x   x  f ( x)  1 Tan2Senx  ln Cos(Senx) ;k) f ( x)  Tan2     ln Cos 2    ; l) 2 4 2 4 2m) f ( x)  x  ln 1  e2 x  e x ArcCote x ; n) x f ( x)  ln Tan  Cosx ln tan x ; 2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 146 2 p) f(x) = 3Sen(xex - ex) - Sen(xex + ex). 1  x 2  4 xo) f ( x)  ln    ArcTan ; 2  x 2   3 35) Encuentre la derivada de las siguientes funciones: 1    ArcTanx 1 f ( x)  ArcSenSen 2 xa) f ( x)  ln   x 1 ;  2 b) ;  x  2 1  2  3x 1 Sen4 xc) f ( x)  ln   ; d) f ( x)   ln ; 2 6  2  3x Sen x  1 Sen4 x  1 4  e) x f ( x)   Sen ln x  Cos ln x  ; 2 f)  f ( x)  ln 3x 2  9 x 4  1 ; g) f ( x)  e x 1  e2 x  ArcSene x ; h) f ( x)  ln  2Cosx  Cos 2 x ;  2i) f ( x)  x  ArcTan e2 x  1 ;  x3 2x  5 j) f ( x)  ln    ; e 2x 1  x  2  ( x  2)( x  3) x ex Senx 1  senxk) f ( x)  ArcTane 2  ln ; l) f ( x)   ln . ex  1 Cos 2 x Cosx6) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:a) f ( x)  ln Senx ;   Senx  c) f ( x)  log2 log3 log5 x ; b) f ( x)  ln Tan   ; 4 2 d) f ( x)  ln ln ln x2 ; e) f ( x)  (1  ln Cosx) Secx ; 1  Senx f) f ( x)  ln ; 1  Senx f ( x)  x ArcSenx ; 2g) xx i) f ( x)  x 2e x ln x ; h) f ( x)  x ( x ln x  x  1) ; ej) f ( x)  log3 (2 x  3)2 ; k) f ( x)  Tan2 x  ln Cos 2 x ; 2 x ( x  1)3 2 l) f ( x)  ; ( x  1)2 2 x  1m) f ( x)  ArcCos 1  2 x ; ( x  1)( x  3)3 n) f ( x)  ln . ( x  2)3 ( x  4) dy x  y 10) Hallar las derivadas derecha e izquierda en el7) Demuestre que  sí punto x = 0, para las funciones: dx x  y y   x, x  0 ArcTan  ln x 2  y 2 . a) f ( x)   3 ;  x ln x, x  0 x 4    2 x, x  08) Resuelva la ecuación f ´(x) = 0 si b) f ( x)   ;  x 1 5 7 ln(1  x ), x  0 e  f ( x)  . 1 x  1  1 ex , x  0 c) f ( x)   .9) Sean f(x) y g(x), x  R, funciones derivables por   1 x , x  0 4todo lugar. Hallar h´(x) si: f ( x)a) h( x)  ln , f(x)g(x)  0; 11) Para las funciones derivables, prefijadas implíci- g ( x) tamente, calcular y´(a):b) h( x)  ( f ( x)) g ( x) , f(x) > 0. a) e y  xy  e , y > 0, a = 0; b) xy  ln y  1 , y < e2, a = 0. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 14712) Determine los valores de A y B con los que la 1función es por todo lugar derivable: elija correctamente es R(t )  1  (0.90)t : 3   Bx  ( x  A)e , x  0 a) Comparar C´(0) y R´(0) a fin de determinar cuál  2 . de los dos animales aprende más rápido en un princi-  Ax  Bx  1, x  0  pio; b) Confrontar C(20) y R(20) para determinar sus13) La masa m(t) de una sustancia radiactiva varía comportamientos después de 20 intentos. Aplicar t0 T C´(20) y R´(20) para comparar la rapidez de aprendi-según la ley m  m0 2 T , donde t es el tiempo, m0 la zaje de los dos animales después de 20 intentos;masa en el momento de tiempo t0, T, el período de c) Trazar las gráficas de C(t) y R(t) sobre los mismossemidesintegración. Demuestre que la velocidad de ejes coordenados.desintegración de la sustancia radiactiva es proporcio-nal a la cantidad de sustancia. Halle el coeficiente de 19) La función C(t) = 0,5(0,8)t representa la concen-proporcionalidad. tración de alcohol en la sangre, t horas después de que se inicia el monitoreo.14) Una sustancia radiactiva decrece de acuerdo con a) ¿Cuál es el nivel inicial de alcohol en la sangre?;la fórmula q(t )  q0ect , donde q0 es la cantidad inicial b) ¿Cuándo la concentración baja de 0,01 miligramo por mililitro?;de la sustancia, c es una constante positiva y q(t) es la c) Determinar la rapidez a la que la concentracióncantidad restante cuando han transcurrido t unidades está cambiando en los tiempos t = 3 y t = 6;de tiempo. Demuestre que la rapidez con la que la d) Trazar la gráfica de la función C(t).sustancia decrece es proporcional a q(t). 20) Muebles de oficina valuados inicialmente en $15) La corriente I(t) al tiempo t en un circuito eléctri- Rt 3000 se deprecian un 15% por año:  a) Determinar un modelo para el valor V(t) de losco está dada por I (t )  I 0e L , donde R es la resisten- muebles después de t años;cia, L la inductancia e I0 la corriente al tiempo t = 0. b) ¿Cuál es el valor de los muebles después de 5Demuestre que la rapidez de variación de la corriente años?;en cualquier tiempo t es proporcional a I(t). c) Evaluar V´(5) e interprete su resultado; d) ¿Cuál es el gasto real de depreciación, V(5) – V(6),16) Un rayo de luz de intensidad k se dirige vertical- durante el sexto año?mente hacia abajo a través del agua, entonces su inten-sidad I(x) a una profundidad de x metros es 21) El número de litros de una gaseosa que consume I ( x)  ke1.4 x : un comprador es una función del precio por litro p ya) ¿Cuál es la razón o tasa de cambio de la intensidad 25 p con respecto a la profundidad a 1 metro? está dada por la función D( p)  75000 e : 4b) ¿A qué profundidad el valor de la intensidad es la a) Encuentre el punto de elasticidad de la demandamitad del valor en la superficie? para un precio de $ 0,50; b) Suponga que el precio por cuarto se ha rebajado a17) La rapidez R con la que un tumor crece está rela- $ 0,45. Use E(0,50) para estimar el porcentaje de cam- K bio en la elasticidad demandada.cionada con su tamaño x por la ecuación R  r x ln , xdonde r y K son constantes positivas. Demuestre que el 22) En una ciudad A se instalaron 10000 teléfonos el año 1997, y el número de instalaciones aumenta en untumor crece más rápidamente cuando x  e1K . 2% cada año: a) ¿Cuántos teléfonos se instalarán dentro de 1518) En un experimento simple de doble selección, los años?;animales tienen en principio un 35% de posibilidad de b) Determinar la rapidez instantánea de cambio en elelegir correctamente. Después, esa probabilidad mejo- número de teléfonos instalados por año, dentro de 15ra al aprender de experiencias pasadas. Supóngase que años;la probabilidad de que un cerdo elija correctamente, c) Determinar el cambio real en el número de instala-después de t horas de aprendizaje, es ciones, del año 15 al año 16. 1C (t )  1  (0.95)t . Después de t horas de efectuar el 3mismo experimento, la probabilidad de que una rata JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1483.9 Derivación de funciones hiperbólicasA causa de la semejanza que existe entre la circunferen- Ejemplocia y la hipérbola, se plantea la cuestión de si habrá un Hallar la derivada de la función:conjunto de magnitudes o funciones que se correspon- Coshx 2dan con la hipérbola de la misma manera que las funcio- a) f ( x)  ; b) f ( x)  (Coshx)Senhx . Senh2 x 2nes circulares se corresponden con la circunferencia. SoluciónEsas funciones existen y se denominan funciones hiper-bólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, Senh2 x 2 (Coshx 2 )´Coshx 2 (Senh2 x 2 )´ a) f ´( x) tangente hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Senh4 x 2Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola. Senh x  2 xSenhx  Coshx 2  4 xSenhx 2Coshx 2 2 2 2  Senh4 x 2El seno hiperbólico se define en R de la siguiente mane-ra: 2 xSenh x  4 xCosh2 x2 2 2 2 x(1  Cosh2 x 2 )   . 1 Senh3 x 2 Senh3 x2 f ( x )  (e x  e  x ) . 2 b) f ´( x)  Senhx  (Coshx)Senhx 1  (Coshx)´Teorema (Coshx)Senhx  ln Coshx  ( Senhx)´La función Senhu(x) es derivable en todo su dominio, ysu derivada se expresa como  Senhx  (Coshx)Senhx 1  Senhx  d d (Coshx)Senhx  ln Coshx  Coshx ( Senhu ( x))  Coshu ( x)  (u ( x)) . dx dx  (Coshx)Senhx 1(Senh2 x  Cosh2 x ln Coshx)Ejemplo  (Coshx)Senhx 1(Coshx ln eCoshx  1) .Hallar la derivada de la función: (3  Senhx)( Senhx  1)a) f ( x)  ; La tangente hiperbólica se define en R, de la siguien- 2 te manera: x  Senhx e x  e xb) f ( x)  . f ( x)  . x  Senhx e x  e xSolución (3  Senhx)Coshx  (Senhx  1)Coshxa) f ´( x)  Teorema 2 La función Tanhu(x) es derivable en todo su dominio, (3  Senhx  Senhx  1) Coshx y su derivada se expresa como  2 d d (Tanhu ( x))  Sech2u ( x)  (u ( x)) . (4  2Senhx) Coshx dx dx   (2  Senhx)Coshx . 2 Ejemplo ( x  Senhx)(1  Coshx)  ( x  Senhx)(1  Coshx) Hallar la derivada de la funciónb) f ´( x)  ( x  Senhx)2 2 1  2Tanhx f ( x)  Tanhx  ln . 2 xCoshx  2Senhx 2( xCoshx  Senhx) 4 1  2Tanhx   . Solución ( x  Senhx)2 ( x  Senhx)2 Aplicando las propiedades de los logaritmos, esta función se puede expresar de la siguiente manera:El coseno hiperbólico se define en R, con la fórmula: 2 1 f ( x)  Tanhx  ln(1  2 Tanhx)  f ( x )  (e x  e  x ) 4 2 2  ln(1  2 Tanhx) .Teorema 4La función Coshu(x) es derivable en todo su dominio, y Derivando esta nueva expresión, obtenemos:su derivada se expresa como d (1  2 Tanhx) d d 2 dx (Coshu ( x))  Senhu ( x)  (u ( x)) . f ´( x)  Sech x  2   dx dx 4 1  2 Tanhx JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 149 d La Secante hiperbólica se define en R, de la siguien- (1  2 Tanhx) te manera: 2 dx   4 1  2 Tanhx 2 f ( x)  x  x . 2 2 Sech2 x 2  2 Sech 2 x e e Sech2 x     4 1  2 Tanhx 4 1  2 Tanhx Teorema 2 2 2Sech2 x Sech2 x La función Sechu(x) es derivable en todo su domi- Sech x  2   Sech2 x  nio, y su derivada se expresa como 4 1  2Tanh x 2 1  2Tanh2 x d d 2Sech4 x ( Sechu ( x))   Sechu( x)Tanhu( x)  (u( x)) . . dx dx 1  2Tanh2 x La Cosecante hiperbólica se define en R 0, de laLa Cotangente hiperbólica se define en R / 0, de la siguiente manera:siguiente manera: 2 e x  e x f ( x)  x  x . f ( x)  . e e e x  e x TeoremaTeorema La función Cschu(x) es derivable en todo su domi-La función Cothu(x) es derivable en todo su dominio, y nio, y su derivada se expresa comosu derivada se expresa como d d d d (Cschu ( x))  Cschu ( x)Cothu ( x)  (u( x)) . (Cothu ( x))  Csch 2u ( x)  (u ( x)) . dx dx dx dx3.9.1 Tarea1) Calcular la derivada de las siguientes funciones:a) f ( x)  ln Senhx  xCothx ; b) f ( x)  xTanhx  ln Coshx ; c) f ( x)  4Coshx  2Senhx ;d) f ( x)  x  SenhxCoshx ; e) f ( x)  xCothx  e4 x Senhx ; f) f ( x)  e xCosxCoshx ; x  2  Coshx  5 Coshx 2 x2 x Tanh 2; h) f ( x)    ; i) f ( x)   ln Coth ;g) f ( x)   3 ArcTan  3  Senhx  Senh2 x 2 2 2 3 1 1 1 1j) f ( x)  Senh3 x  Senh5 x ; k) f ( x)  x  Tanhx  Tanh3 x ; l) f ( x)  Cosh3 x  Coshx ; 3 5 3 3 1 x 1 x 1m) f ( x)  Tanh  Tanh3 ; n) f ( x)  Senhx  Senh3x . 2 2 6 2 32) Calcular la derivada de las siguientes funciones: xa) f ( x)  (Coshx)e ; b) f ( x)  Senh2xCoth2x ; c) f ( x)  xCothx ; Senhx Coshx  Tanhx f) f ( x)  (Coshx)Senhx ;d) f ( x)  ; e) f ( x)  ; 1  ln x Coshx  Tanhx Senhx  Senh2 x Coshx  Cosh2 x 3  Senhxg) f ( x)  ; h) f ( x)  ; i) f ( x)  ; Senhx  Senh2 x Coshx  Cosh2 x 1  Coth2 xj) f ( x)  xSenhxCoshx ; k) f ( x)  SenhxCosh2x ; l) f ( x)  Coshx ; Senhx  Tanhx Coshx  Senhx x  Cothxm) f ( x)  ; n) f ( x)  ; o) f ( x)  . Senhx  Tanhx Coshx  Senhx x  Cothx JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1503.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversasLas funciones hiperbólicas inversas se establecen co- Ejemplomo sigue: Hallar la derivada de la función: AreaTanhxLa inversa de f(x) = Senhx, se da de la siguiente mane- a) f ( x)  ; 1  x2ra: x 1 f ( x )  (e x  e  x ) 2   x  ln y  y 2  1  x b) f ( x)   3 ArcTan 2 Tanh 3 2.de donde Solución   AreaSenhx  ln x  x 2  1 , - < x < +. a) f ´( x)  (1  x 2 )  ( AreaTanhx)´ AreaTanhx  (1  x 2 )´ (1  x 2 )2Teorema 1 (1  x 2 )   AreaTanhx  (2 x)La función AreaSenhu(x) es derivable en todo su do-  1  x2minio, y su derivada se expresa como (1  x 2 )2 d 1  2 x AreaTanhx (u ( x))  . d dx ( AreaSenhu ( x))  . (1  x 2 )2 dx 1  u 2 ( x)  xLa inversa de f(x) = Coshx, se establece de la siguiente d  Tanh 2 manera:   dx  3  1 f ( x )  (e x  e  x )  2  x  ln y  y 2  1  b) f ´( x)   3   1 2 Tanh 2 x de donde 1 2  AreaCoshx  ln x  x 2  1 , x  1.  1  Sech 2 3 x(AreaCoshx > 0 es valor principal) 2 2 2 x 1 3 1 3 Sech 2   3   Teorema 2 x 2 2 x Tanh 2 3  Tanh 2La función AreaCoshu(x) es derivable en todo su do- 1 2 2minio, y su derivada se expresa como 3 d  x x 3  Tanh2  3Sech 2  d (u ( x)) 1  2 2 ( AreaCoshu ( x))  dx .    2  x  dx u 2 ( x)  1 3  Tanh2  2   x xLa inversa de f(x) = Tanhx, se establece de la siguiente 2  Sech 2  3Sech 2  1  2 2manera:    2  2 x  e x  e x 1 1 y  3  Tanh f ( x)  x  x  ln    2  x 2 1 y  e e x 1  2Sech 2de donde 2.  1 1 x  3  Tanh 2 x AreaTanhx  ln   , -1 < x < 1. 2 1 x  2Teorema La inversa de f(x) = Cothx, se establece de la siguienteLa función AreaTanhu(x) es derivable en todo su do- manera:minio, y su derivada se expresa como e x  e x 1  y 1 f ( x)  x  x  x  ln   d e e 2  y 1  (u ( x)) d dx ( AreaTanhu ( x))  . de donde dx 1  u 2 ( x) 1  x 1 AreaCothx  ln   , x > 1 ó x < -1. 2  x 1  JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 151Teorema AreaSechx AreaCoshx La función AreaCothu(x) es derivable en todo su do-  x 1 2 x 1  x2minio, y su derivada se expresa como ( AreaSechx)2 d (u ( x)) d ( AreaCothu ( x))  dx 2 . x 1  x 2 AreaSechx  x 2  1AreaCoshx dx 1  u ( x) x 1  x2 x2  1  ( AreaSechx)2La inversa de f(x) = Sechx, se establece de la siguientemanera: x 1  x 2 AreaSechx  x 2  1AreaCoshx  . 2 1 1  x 2 x 2  x 4  1( AreaSechx) 2 f ( x)  x  x  x  ln   1  e e y 2   y de donde La inversa de f(x) = AreaCschx, se establece de la si- guiente manera: 1 1  AreaSechx  ln   x 1 , 0 < x  1  2 1 1   x2  f ( x)  x  x  x  ln   1 e e y 2 (AreaSechx > 0 es valor principal)  y  de dondeTeorema 1 1  AreaCschx  ln   x  1  , x  0. La función AreaSechu(x) es derivable en todo su do-  x 2 minio, y su derivada se expresa como d Teorema (u ( x)) d dx ( AreaSechu ( x))  . La función AreaCschu(x) es derivable en todo su do- dx u ( x) 1  u 2 ( x) minio, y su derivada se expresa como d (u ( x))Ejemplo d dx ( AreaCschu ( x))  .Hallar la derivada de la función dx u ( x) 1  u 2 ( x) AreaCoshx f ( x)  . AreaSechxSolución 1 1 AreaSechx   AreaCoshx  f ´( x)  x 1 2 x 1  x2 ( AreaSechx)23.10.1 Tarea1) Derivar las siguientes funciones:a) f ( x)  4 AreaSenhx  2 AreaCoshx ; b) f ( x)  xAreaTanhx ;c) f ( x)  x AreaSenhx AreaCoshx ; 2 d) f ( x)  AreaSenh(ln x) ;e) f ( x)  AreaSenhx  AreaCoshx ; AreaTanhx f) f ( x)  ; AreaCothxg) f ( x)  AreaTanhx  AreaCothx ; AreaSechx h) f ( x)  ; AreaCschxi) f ( x)  e2 x AreaCoshx  e x AreaSenhx ; 1  AreaSenhx j) f ( x)  ; 1  AreaCoshxk) f ( x)  AreaSenh (ln x)  AreaCosh (ln x) ; 1  AreaTanhx l) f ( x)  ; 1  AreaCothx AreaSenhx x AreaSenhxm) f ( x)   ; n) f ( x)  ; x AreaCoshx AreaCoshx JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 152 AreaTanhx  AreaCothx x  AreaSenhxo) f ( x)  ; p) f ( x)  ; AreaTanhx x  AreaCoshxq) f ( x)  AreaSenhxAreaCoshx ; r) f ( x)  AreaSech (Sechx) ;s) f ( x)  e ArcSenxAreaSenhx ; x t) f ( x)  AreaTanh (Tanhx) ;u) f ( x)  AreaTanhx  AreaCothx ; v) f ( x)  ArcTanxAreaTanhx .3.11 Derivación de expresiones dadas paramétricamenteDefinición Debemos entender, sin embargo, que puede ser difícil oSea que en el conjunto T son dadas dos funciones imposible despejar la segunda variable. Este procedi-x = g(t) e y = h(t). El conjunto de todos los puntos del miento puede conducir a una complicada función delplano de coordenadas con coordenadas (g(t), h(t)), parámetro, a menos que se elija cuidadosa y juiciosa-t  T, recibe el nombre de curva prefijada paramétri- mente la función arbitraria del parámetro que se ponecamente. en ecuación con la primera variable.Sean P y Q los conjuntos de los valores de las funcio- Una representación conveniente debe ser simple y debenes x = g(t) e y = h(t), respectivamente, definidas sobre dar la curva entera, a menos que se aclare de otro mo-T. Para cada t  T al valor de x = g(t) contraponemos do. Ningún método de eliminación de un parámetroel valor de y = h(t). Con ello, puede suceder que al puede aplicarse igualmente bien a todos los casos.valor x  P se ha contrapuesto más de un valor de y  Cualquier método que se usó en álgebra o trigonome-Q. Sea dada una regla de acuerdo con la cual, del con- tría para eliminar una variable puede ser convenientejunto de los valores de y, contrapuestos del modo indi- en ocasiones.cado más arriba al valor de x, sólo se elige un valor.Las funciones x = g(t) e y = h(t), t  T, junto con la Para obtener la gráfica de una forma paramétrica de lamencionada regla, definen la función y = f(x), x ecuación, asignamos un conjunto de valores al paráme- P, de la que se dice que está prefijada paramétrica- tro, calculamos cada valor correspondiente de x y y,mente. localizamos los puntos (x, y), y trazamos una curva por ellos. Sin embargo, esto puede dar sólo una parte de laDefinición gráfica de la ecuación de coordenadas rectangularesSi x es una función de la variable t, e y es también obtenida al eliminar el parámetro.función de t, se dice entonces que el par de ecuaciones Buscamos la derivada de y respecto a x en términos de  x  g (t )  las derivadas de x e y respecto a t. Emplearemos las  y  h(t ) designaciones y´(x), ..., x´(t), y´(t). Debido a la inva-son ecuaciones paramétricas y que t es un parámetro. riancia de la forma de la primera diferencial. Pero, dy = y´(t)dt, dx = x´(t)dt.Para construir una curva, dada por sus ecuaciones y´(t )paramétricas generalmente es útil eliminar el paráme- Por eso y´( x)  , x´(t)  0. x´(t )tro para obtener una ecuación en términos de x e y,llamada ecuación cartesiana de la curva. Si la función Ejemplode t es una función trigonométrica, la eliminación de t Determine la derivada de las expresiones dadas ense facilita mediante el uso de identidades trigonométri- forma paramétrica:cas.  1  x(t )  t 2  1  x(t )  t  1Podemos obtener una representación paramétrica deuna ecuación con dos variables en muchos casos, del   a)  2 ; b)  t 1 .  y (t )  2siguiente modo:  y (t )   t a) Igualando una de las variables a una función arbi-     t 1   t 1traria del parámetro.b) Sustituyendo esta igualdad en la ecuación dada por Soluciónla variable. d (t  1) dt 1c) Despejando la segunda variable en términos del a) x´(t )    ;parámetro. (t  1)2 (t  1)2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 153 d d d d (t  1) (t )  t (t  1) t2 1  (t  1)  (t  1)  ( t 2  1) t dt dt dx dx y´(t )  2   y´(t )  t 1 (t  1) t2 1 t t 1 t 2t t 2  1  (t  1)  t  2   . t  1 (t  1) (t  1)2 t 1 2 Aplicando la fórmula para encontrar y´(x), obtenemos: t2 1 2t t 1  . y´(t ) (t  1)2 (t 2  1) t 2  1 y´( x)    2t . x´(t )  1 Aplicando la fórmula para encontrar y´(x), obtenemos: (t  1) 2 t 1 d 2 y´(t ) (t 2  1) t 2  1 t 1 (t  1) y´( x)    2 . dt 2t tb) x´(t )    ; x´(t ) t t (t  1) 2 t 1 2 t 1 2 2 t 1 2 t2 13.11.1 Tarea1) Hallar y´(x) para las funciones prefijadas paramétricamente:  x  Sect  x  e t   x  ACost  x  ACoshta)  ; b)  ; c)  ; d)  ;  y  Tant  y t 3  y  BSent  y  BSenht   t  x  t 3  3t  1   x  Sen 2t   x  t  Sent  x  ln Sen f)  ; g)  ; h)  ;e)  2;  y  t  3t  1 3  y  Cos t 2  y  t  Cost  y  ln Sent     x  2Cost  x  t ln t  x  tet   x  t 2  6t  5i)  ; j)  ; k)  ;   y  Tan2t  y  t ln(t  1)  y  te t l)  t 2  54 ;   y  t  2e t  5at 2  at 4  3at x  x  x  x   t 1    1  t3 n)  1  t ; o)  1  t ; 5 3m)  ; p)  2 ;  tet  5at 3  at 3  y  3at  y  t 1   y  1  t5  y  1  t3   1  t3    t  t3  t2  2t x  2  x 2  x x   t 1  t 1  t 1 ;  1 t2q)  ; r)  ; s)  t)  2 . 2  y t  t  2t 2 3 y  t y  t   t 1  y  t2 1   t2 1   1 t2 2) Hallar y´(x) para las funciones prefijadas paramétricamente:  x  (t  1)2 (t  2)   x  t  ln t  x4 ta)  ; b)  ;   y  (t  1) (t  3) 2  y  1  t  ln t c)  1 2 1;  y  t   2 t  x  a(Cost  tSent )  xt  x  Cot 2td)  ;    y  a( Sent  tCost ) e)  1 3 1 ; f)  2Cos 2t  1 ;  y  3 t  4t   y  2Cost   x  t  3  x  (t  1)3    xtg)  ; h)  ; i)  ;  y  t  bArcTant  y  (t  2) 2  y  t  2t  1 2   JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 154  x  (t 3  2t 2  3t  4)et   x  4t 2  1   x t j)  ; k)  ; l)  ;  y  (t  2t  4t  4)e 3 2 t  y  3  2t   y  3t  4    x  t  2t 2  t 3   x  2aCott    o)  x  2 1  t ; 2m)  ; n)  ;  y  2aSen t 2  y  2  3t  t  3    y t   x  2t  t  x  at  bSent  xt p)  ; q)  ; r)  .  y  5t  4t t 2  y  at  bCost  y  t 1 2  3) Hallar y´(x) para las funciones prefijadas paramétri- 4) La ley de movimiento de un punto material lan-camente: zado bajo el ángulo  respecto al horizonte a una  (a  b)t velocidad inicial v0, sin tomar en consideración la  x  (a  b)Cost  bCos b  resistencia del aire, tiene la formaa)  ;  x  (v0Cos)t  y  (a  b) Sent  bSen (a  b)t    b  1 2  y  (v0 Sen)t  2 gt   (a  b)t  x  (a  b)Cost  bCos b  donde t es el tiempo, g, la aceleración de la fuerza deb)  . gravedad. Determine las coordenadas del vector de  y  (a  b) Sent  bSen (a  b)t velocidad y el valor de ésta.   b3.12 Derivadas de expresiones dadas en coordenadas polaresCuando se introduce un nuevo sistema de coordenadas,  3Cos3 3es conveniente tener fórmulas que permitan calcular las  x()    Cos   Sen  1  Tan3 3 3coordenadas de un punto en un sistema cuando se cono-  .cen las correspondientes coordenadas en el otro. Si el  3Cos 2Sen 3Tan  y ()  Cos 3  Sen3  1  Tan3origen y el semieje positivo X de un sistema de coorde- nadas cartesianas coinciden, respectivamente, con el Derivando cada una de estas expresiones con respec-polo y el eje polar de un sistema de coordenadas polares, to a , obtenemos:entonces las coordenadas cartesianas y polares de un dpunto cualquiera P están relacionadas por medio de las 3  (1  Tan3) d 9Tan2Sec 2siguientes fórmulas: x´()    ; (1  Tan3)2 (1  Tan3)2  x  rCos  . 3(1  Tan3)  (Tan)´3Tan  (1  Tan3)´  y  rSen y´()  (1  Tan3)2Ejemplo 3(1  Tan3) Sec 2  9Tan3Sec 2Determine la derivada de las expresiones dadas en coor-  (1  Tan3)2denadas polares: 3(1  2Tan3) Sec 2 3Cos 2 a) r ()  ; (1  Tan3)2 Cos3  Sen3 a A continuación encontramos y´(x), de la siguienteb) r ()   aTan . manera: CosSolución 3(1  2Tan3) Sec 2a) Sabemos que x() = r()Cos, y() = r()Sen, por (1  Tan3)2 1  2Tan3 y´( x)   .lo tanto: 9Tan Sec  2 2 3Tan2   3Cos 2 (1  Tan3)2  x()   Cos  Cos3  Sen3   3Cos 2 b) Descomponiendo esta expresión, obtenemos:  y ()  Cos3  Sen3  Sen  JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 155  a Para el segundo caso: a  Cos  aTan    a  r ()   aTan    x()   Cos  aTan  Cos  a  aSen Cos  a  aTan     Cos  .   y ()   a  aTan  Sen  a(1  Sen)Tan   Para el primer caso:   Cos   a  Derivando cada una de estas expresiones con respec- x()   Cos  aTan  Cos  a  aSen   to a , obtenemos: y ()   a  d   aTan  Sen  a(1  Sen)Tan x´()  a  ( Sen)  aCos ;  Cos  dDerivando cada una de estas expresiones con respecto a y´()  a(1  Sen)  (Tan)´aTan (1  Sen)´, obtenemos:  a(1  Sen)Sec2  aTanCos d x´()  a  ( Sen)  aCos ;  a(Sec2  SenSec2  Sen) . d A continuación encontramos y´(x), de la siguiente y´()  a(1  Sen)  (Tan)´aTan (1  Sen)´ manera:  a(1  Sen)Sec2  aTanCos a( Sec 2  SenSec 2  Sen) y´( x)   a(Sec2  SenSec2  Sen) . aCosA continuación encontramos y´(x), de la siguiente mane- ( Sen  1) Sec 2  Senra:  . Cos a( Sec 2  SenSec 2  Sen) y´( x)  aCos (1  Sen) Sec 2  Sen  . Cos3.12.1 Tarea1) Calcule y´(a) para las funciones prefijadas con la ecuación r = r(), donde r y  son las coordenadas polares delos puntos (x, y):a) r 2 (4Sen2  9Cos 2)  36 ; b) r  4(1  Sen) ; c) r 2Cos 2  1 ;d) r 2 (Cos 2  Sen2)  16 ; e) r (Sen  2Cos)  6 ; f) r  1  2Cos ;g) r (Sen  rCos 2)  1 ; h) r 2Sen2  4 ; i) r  2  2Sec ;j) r  6(1  Cos) ; 1 4 k) r  ; l) r  . 1  Cos 2  Sen2) Para la función prefijada con la ecuación 4) Use el problema anterior para demostrar que cada  par de ecuaciones son ortogonales en sus puntos der  A Cos 2 , 0    , calcular la derivada derecha intersección: 4con respecto a x = 0 y la derivada izquierda con respecto a) r  aSen y r  aCos ;a x = a. b) r  a y r  a .3) Compruebe que si las gráficas de las ecuaciones 5) Demuestre que si Cos  0, entonces la pendientepolares r  f () y r  g () se cortan en P(r, ), enton- de la recta tangente a la gráfica r  f () esces las rectas tangentes en P son perpendiculares si y dr Tan  rsólo si m d . f ´() g´()  f () g ()  0 . dr  rTanEs decir, las gráficas son ortogonales en P. d JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1563.13 Derivadas de orden superiorSupóngase que en el intervalo (a; b) está dada la función Ejemplof(x). Su derivada, si existe en el intervalo (a; b), es cierta Para cada una de las expresiones, determine la deri-función f ´(x). Se llamará dicha función derivada de vada de segundo orden:primer orden. f ( x)  Senh2 x  Cosh2 x .Puede ocurrir que la primera derivada tenga, a su vez, Solución Simplificamos la expresiónderivada en el intervalo (a; b). Esta última se denominaderivada de segundo orden y se establece de la siguiente f ( x)  Senh2 x  Cosh2 xmanera:  Senh2 x  1  Senh2 x  1  2Senh2 x .Sea h  0. Si existe una función f ´´(x) con la propiedadde que Derivamos f ´( x  h)  f ´( x) d f ´( x)  2  2Senhx  lim  f ´´( x) ( Senhx) h0 h dxpara algunos valores a < x < b, entonces  4SenhxCoshx  2Senh2x f ´( x  h)  f ´( x) d f ´´( x)  2  (Senh2 x)  4Cosh2 x . lim h0 h dxse denomina derivada de segundo orden. EjemploPara las derivadas de segundo orden se ha adoptado la Determine la derivada de n-ésimo orden:siguiente notación: a) f ( x)  x3  x  e3x ; b) f ( x)  SenaxSenbx . 2 d d  d Solución  f ( x)   2 f ( x)  f ´´( x) . dx  dx  dx a) Derivando de forma sucesiva, obtenemos: y´ = 3x + 1 + 3e3x = 1 + 3x + 3e3x;En general, se denomina derivada de la función f de n- y´´ = 6x + 9e3x = 6x + 32e3x;ésimo orden, a la primera derivada de la derivada de f de y´´´ = 6 + 27e3x = 6 + 33e3x;orden n – 1 y se designa por: yiv = 81e3x = 34e3x; ... d  d n 1  dn y(n) = 3ne3x, n > 3.  n 1 f ( x)   n f ( x)  f ( x) . ( n) dx  dx   dx  b) Descomponemos esta expresión:Si se trata de cierto valor fijado de x, el símbolo f(n)(x)designa la derivada de f de n-ésimo orden en el punto x. 1 1 f ( x)  SenaxSenbx  Cos(a  b) x  Cos(a  b) x .Para que ésta exista, se requiere la existencia de la deri- 2 2vada f(n-1)(x) no sólo en x, sino también en cierto entorno Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos:de x, con ello, por derivada f(0)(x) de orden nulo se en- 1  n tiende la función f(x). No obstante, no es toda función ni f ( n) ( x)  (a  b) n Cos  (a  b) x   mucho menos, para la cual se logra obtener fórmulas 2  2 generales para sus n-ésimas derivadas. 1  n   (a  b)n Cos  (a  b) x   2  2 Teorema 1  n Determine la derivada n-ésima de las siguientes expre-  (a  b)n Cos  (a  b) x   siones: 2  2  dn  n   (ax  )   n ax  ln n a . (a  b)n Cos  (a  b) x    . dx n  2 Teorema TeoremaDetermine la derivada n-ésima de las siguientes expre- Determine la derivada n-ésima de las siguientes ex-siones: presiones: dn dn (ex  )   nex  . (e(x ) )  (1)n  ne(x ) . dx n dx n JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 157Teorema 3 1Determine la derivada n-ésima de las siguientes expre-   Cos 4 x . 4 4siones: Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: dn  n  1  n  ( Sen(x  ))   n Sen  x    . f ( n) ( x)   4n Cos  4 x   dx n  2  4  2   n Ejemplo  4n 1Cos  4 x   , n  1.Determine la derivada de n-ésimo orden:  2  f ( x)  Sen2 xSen2 x TeoremaSolución Determine la derivada n-ésima de las siguientesDescomponemos esta expresión: expresiones: 1 f ( x)  (1  Cos 2 x) Sen2 x dn 2 ((x  )k )  k (k  1)(k  2)...(k  n  1)  dx n 1 1  Sen2 x  Sen2 xCos 2 x n (x  )k n . 2 2 1 1  Sen2 x  Sen4 x . Ejemplo 2 4 Determine la derivada de n-ésimo orden:Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: 1 1  n  1 n  n  f ( x)  f ( n) ( x)   2n Sen  2 x     4 Sen  4 x   1  2x 2  2  4  2  Solución  n   n   2n 1 Sen  2 x    4n 1 Sen  4 x   . Descomponemos esta expresión:  2   2   1 f ( x)  (1  2 x) 2Teorema Haciendo a = -2, b = 1, k = - ½ y aplicando la co-Determine la derivada n-ésima de las siguientes expre- rrespondiente fórmula, obtenemos:siones:  1   3   5  dn n  f ( n) ( x)  (2)n             ...    2   2   2  (Cos(x  ))   nCos  x    . dx n  2  1  2n  1    n    (1  2 x) 2Ejemplo  2 Determine la derivada de n-ésimo orden: n  n 1  1 f ( x)  Sen x . 2  (2)n    (1  3  5  ...  2n  1)(1  2 x) 2  2Solución n  1Descomponemos esta expresión: (2)n    (2n  1)!!  2 (2n  1)!! f ( x)  Sen2 x  1 1  Cos 2 x .   . 2 n 1 2 2 (1  2 x) (1  2 x) 2n 1Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: 1  n  Teorema f ( n) ( x)    2n Cos 2 x   2  2  Determine la derivada n-ésima de las siguientes  n  expresiones:  2n 1Cos 2 x  . dn (1)n 1 (n  1)! n  2  (log k (x  ))   . dx n ln k (x  )nEjemploDetermine la derivada de n-ésimo orden: Teorema f ( x)  Sen x  Cos x 4 4 Determine la derivada n-ésima de las siguientes expresiones:SoluciónDescomponemos esta expresión: dn (1)n 1(n  1)! n (ln(x  ))  . 1 1 dx n (x  )n f ( x)  (1  Cos 2 x)2  (1  Cos 2 x) 2 4 4 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 158 Ejemplo entonces (1 + x2)f ´(x) = 1. Calculamos las derivadasPara cada una de las expresiones, determine la derivada del orden n – 1 para ambos miembros de esta igual-de segundo orden: dad. Para calcular la derivada del primer miembro  f ( x)  ln x  x 2  1 .  aplicamos la fórmula de Leibniz, haciendo en ella u(x) = f ´(x), v(x) = 1 + x2. ObtenemosSolución (1 + x2)f(n)(x) + 2(n – 1)xf(n-1)(x) + + (n – 1)(n – 2)f(n-2)(x) = 0Derivamos de donde, con x = 0, hallamos la relación recurrente d 2 ( x  1) f(n)(0) = -(n – 1)(n – 2)f(n-2)(0). d f ´( x)  dx    x  x2  1 1  dx 2 x2  1 Cuando n es par (n = 2k), ya que f(2)(0) = 0, obtene- mos f(2k)(0) = 0. Siendo n impar (n = 2k + 1), ya que x  x 1 2 x  x2  1 f ´(0) = 1, hallamos x f(2k+1)(0) = -(2k)(2k – 1)f(2k-1)(0) = ... = 1 = (-1)k(2k)!f ´(0) = (-1)k(2k)!. x 1  2 x  x2  1 1   x   . x  x 1 2 x2  1 x2  1 x 1 2 Ejemplo Sea que la función y = f(x) está prefijada con las fór- d 2 mulas paramétricas x = x(t), y = y(t), t  (a; b) y sean ( x  1) d  f ´´( x)   dx 2 x 1 2  dx   2 2 1 x2 x(t) e y(t) derivables dos veces y x´(t)  0 con t  (a; b). Hallar y´´(x). x 1 x 1 Solución x Sabemos que y ´(t )   x 1   2 x . y ´( x)  . x2  1 3 x´(t ) (x 2  1) 2 Derivando por x ambos miembros de esta igualdad, obtenemosEjemplo ´ ´  y ´(t )   y ´(t )  1Determine la derivada de n-ésimo orden: y ´´( x)    t ´( x)    , f ( x)  ln(5x  3) .  x´(t )   x´(t )  x´(t ) es decir,Solución x´(t ) y ´´(t )  y ´(t ) x´´(t )Aplicando la correspondiente fórmula, obtenemos: y ´´( x)  . [ x´(t )]3 (1)n 1(n  1)!5n (1)n 15n (n  1)! f ( n ) ( x)   . (5 x  3)n (5 x  3)n Ejemplo Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desdeTeorema la parte superior de un edificio de 150 pies de alto. LaDetermine la derivada n-ésima de las siguientes expre- función s(t) = -16t2 + 120t + 150 modela la altura porsiones: encima del piso a la que se encuentra esta pelota en el dn dn dn instante t. Describa el movimiento de la pelota. n (u ( x)  v( x))    n u ( x)    v( x) . dx dx dx n Solución La velocidad y la aceleración se dan porTeorema v(t) = s´(t) = - 32t + 120 pies/seg;Determine la derivada n-ésima de las siguientes expre- a(t) = s´´(t) = - 32 pies/seg2.siones: Esta aceleración constante de –32 pies por segundo dn n n   d n i di cuadrado es la de la gravitación que actúa sobre cual- (u ( x)v( x))     n i u ( x) i v( x) . n quier objeto en caída libre. dx i 0  i  dx dx El análisis del movimiento de la pelota se lanza en tres instantes:Ejemplo 1) El tiempo t = 0, cuando se lanza la pelota inicial-Para la función f ( x)  ArcTanx calcular f(n)(0). mente.Solución 2) El tiempo t = t0, en el que la velocidad cambia deComo signo, es decir 1 v(t0) = 0  - 32t0 + 120 = 0  t0 = 2. f ´( x)  3) El tiempo t = t1, en el instante que la pelota choca 1  x2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 159contra el piso, es decir habilidades de mecanografía estén mejorando s(t1) = 0  16t1  120t1  150  0 2 y´(x) > 0, la rapidez de esa mejora va decreciendo y´´(x) < 0. t1 = -1.09 o t2 = 8.59.Por supuesto, el tiempo negativo no tiene sentido en este Ejemploproblema y, por lo tanto se desecha. Según la gráfica y Para cada una de las expresiones, determine la deri-los valores encontrados, se puede establecer la siguiente vada de segundo orden:  interpretación:a) En el instante t = 0, la pelota se encuentra a 150 pies a) f ( x)  ArcTan x  x 2  1 ;por encima del piso, con una velocidad hacia arriba de120 pies por segundo. x 12 b) f ( x)  ArcSen . b) En el instante t = 3.75, x2  1 la pelota está 375 pies Solución arriba del piso, sin veloci- d 2 ( x  1)   dad. En este instante, la dx pelota está a su altura d x  x 1 2 1 máxima, ya que la veloci- a) f ´( x)  dx  2 x2  1     2 2 dad v(3.75) = 0 indica que 1  x  x2  1 1  x  x2  1 ha dejado de subir. c) En el instante t = 8.59, x 1 la pelota choca contra el x 1 2 x  x2  1   piso, con una velocidad hacia abajo de 154.88 pies  1  x  x2  1  2  2  x2  x x2  1  1  x2  1por segundo. x  x2  1 1  EjemploUn instituto de formación de secretarias espera que la  2  x  x  1  ( x  1) 2  2 2( x 2  1)estudiante típica sea capaz de mecanografiar y palabras d 2por minuto después de x horas de instrucción hasta que ( x  1) dx 2x xse alcance el nivel de 70 palabras por minuto. Supóngase f ´´( x)     2 . 2( x  1) 2 2 2( x  1) 2 2 ( x  1)2que y está relacionada con x por la función x d  x2  1 y ( x)  4 x  . Determine la rapidez de aprendizaje   2 dx  x 2  1    b) f ´( x) y´(x) cuando x = 40. ¿Cuál es la aceleración del aprendi- 2zaje cuando x = 40 horas?  x2  1  1  2   x 1Solución  La rapidez de cambio de y(x) es d 2 d 2 1 ( x 2  1)  ( x  1)  ( x 2  1) ( x 2  1) y´( x)   . dx dx x 2 ( x 2  1) 2Por tanto la aceleración se expresa por  4 x2 1 y´´( x)   . ( x  1) 2 2 x xPor lo tanto, cuando x = 40, la rapidez de cambio de y(x) 2 x( x 2  1)  2 x( x 2  1)  4x es 2  Sign  2  ( x 2  1) 2  x 1 2   y´(40)   0.82 4 x2 x 1 2 1 40  ( x 2  1) 2 2palabras por minuto por hora de instrucción.  4x  d 2  Sign  2   ( x 2  1)La aceleración del aprendizaje en x = 40 es f ´´( x)    x  1  dx  2 4 x . y´´(40)   1  0.0039 . ( x 2  1)2 ( x  1) 2 40 40Esta aceleración negativa significa que la estudiante está Ejemploaprendiendo cada vez con mayor lentitud. Los resultados Demostrar que la función y = Senlnx + Coslnx satis-obtenidos nos permiten concluir que aún cuando las face la ecuación x2y´´ + xy´ + y = 0. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 160Solución  [SenxSen(Senx)  SenxCos(Senx)  d d 2Cos 2 xSen(Senx)]eSenx y´ Cos ln x  (ln x)  Sen ln x  (ln x) dx dx Por tanto, cuando x = 0, tenemos 1 1 Cos ln x  Sen ln x f ´´(0)  [Sen0Sen(Sen0)  Sen0Cos(Sen0)   Cos ln x   Sen ln x   x x x 2Cos 2 0Sen(Sen0)]eSen0  0  e0  0 . x  (Cos ln x  Sen ln x)´(Cos ln x  Sen ln x)  ( x)´y´´ x2  1 1 1  x 2  ( ArcSenx)´ ArcSenx  ( 1  x 2 )´ x    Sen ln x   Cos ln x    Cos ln x  Sen ln x b) f ´( x)  1  x2   x x x2 1 x 1  x2   ArcSenx  2Cos ln x  1 x 2 1  x2  x2 1 x 2Reemplazando la primera y segunda derivadas, obtene- 1  x  xArcSenx 2mos:  3  2Cos ln x   Cos ln x  Sen ln x  (1  x 2 ) 2x2     x   x2   x  3   x x (Sen ln x  Cos ln x)  0 (1  2 2 x )    ArcSenx     1 x 1 x 2 2 2Cos ln x  Cos ln x  Sen ln x  Sen ln x  Cos ln x  0 f ´´( x)  Lo cual indica que se cumple la ecuación dada. (1  x ) 2 3 1 3Ejemplo ( 1  x 2  xArcSenx)  (1  x 2 ) 2 (2 x)  2Determine la derivada de segundo orden en el puntox = 0: (1  x 2 )3 3 ArcSenxa) f ( x)  eSenxCos(Senx) ; b) f ( x)  . (1  x 2 ) 2 ArcSenx  3x( 1  x 2  xArcSenx) 1  x 2 1  x2  (1  x 2 )3Solucióna) Derivando, tenemos (1  x 2 ) ArcSenx  3x 1  x 2  3x 2 ArcSenx)  f ´( x)  e Senx  (Cos(Senx))´Cos(Senx)  (e Senx )´ 5 (1  x ) 2 2  eSenxCosxSen(Senx)  eSenxCosxCos(Senx) (1  2 x 2 ) ArcSenx  3x 1  x 2  (Cos(Senx)  Sen(Senx))eSenxCosx ;  5 f ´´( x)  (Cos(Senx)  Sen(Senx))  (e Cosx)´ Senx (1  x 2 ) 2 Por tanto, cuando x = 0, tenemos e Cosx  (Cos(Senx)´Sen(Senx)) Senx (1  2  02 ) ArcSen0  3  0  1  02  (Cos(Senx)  Sen(Senx))  (eSenx Senx  eSenxCos 2 x)  f ´´(0)  5  eSenxCosx  (CosxSen(Senx)  CosxCos(Senx)) (1  02 ) 2  (Sen(Senx)  Cos(Senx))eSenx Senx  1  ArcSen0  3  0 1  0. 1 2eSenxCos 2 xSen(Senx)3.13.1 Tarea1) Hallar la segunda derivada en el punto indicado: v  2u a) f ( x)  ; b) f ( x)  euv ; x5 ua) f ( x)  e x , x = 4; b) f ( x)  , x = 5. ( x  1)4 v c) f ( x)  ArcTan ; d) f ( x)  ln u 2  v 2 . u2) Hallar la segunda derivada considerando que u´, u´´,v´, v´´ son conocidas: 3) Supongamos que para la función y = f(x) son conocidas f ´(x), f ´´(x), f ´´´(x). Hallar la segunda y JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 161tercera derivadas de la función inversa x = f -1(y) en lasuposición de que ellas existen.4) Para las funciones prefijadas en forma implícita, hallar la y´´:a) x2  y 2  a 2 ; b) e2 y  2ln x  1  0 ; x2 y 2 d) y 2  2 px ; c) 2  2  1 ; a be) y  e 2 x2  y 2 ; f) y  xTan ln x  y ; 2 2 g) x  y 2  a 2 ; 2 h) e x  y  x  y .5) Hallar la segunda derivada para las funciones prefijadas paramétricamente:  x  log5 Sent  t  t2  x  ArcSen(Tant ) a)  ;  x  ln Tan x  d)  ;  y  log5 Cost b)  2;   y  Cos 2t c)  1  t ; 3   y  ln Tant   t3  y  1  t3   x  2  3t  t 3   et  x  2Cos 2t   1e)  ;  x g)  ;  x f)  1 t ; h)  Cost .  y  t  2t  t y  2 2 3 Sen 2t     y  Tant  t   y  (t  1)e t6) Compruebe que la función dada satisface la ecuación:a) y  ( Ae x  1) x  B , ( x  1) y´´( x  2) y´ x  2  0 ; 1 xb) y    x A2  x 2  A2 ArcSeb   B , y´ y´´  x ; 2 Ac) y  Sen( A  x)  Bx  C , y´´´2  y´´2  1 ; yBd) x  A  ln , yy´´ y´2  y´ y 2  y´2 ; yB 1e) y  ( A  Bx)e x  x3e x , y´´2 y´ y  xe x ; 6 2 Af) y 2  Senx  , yy´Senx  ( Senx  y2 )Cosx ; 3 Sen2 x 1 1g) y  ACos 2 x  BSen2 x  (3Sen2 x  2Cos 2x) x  , y´ xn1 ln x ; 4 4 1h) y  ACosx  bSenx  xCosx  Senx  ln Senx , y ´´ y  ; Senx 1 1 1 i) y  A  Be3 x   Cosx  3Senx  x 2  x  , y´´3 y´ x  Cosx ; 10  6 9 j) ( x  B)ln y  x  A , y(1  ln y) y´´(1  ln y ) y ´2  0 ; 1  x Sen2 x k) y   Sen3 x  A     B , y´´2 y´Cotx  Sen x ; 3 3 2 4  exl) y  ( A  Bx  ln x 2  1  xArcTanx)e x , y ´´2 y ´ y  . x2  17) Hallar y(n) para las funciones prefijadas paramétricamente:  t  x  aCos 2t  x  t 1   x  Cost a)  ; b)  ; c)  . y  Cosnt  y  2t  t 2  y  bSen t  2    (t  1) 2 JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 1628) Hallar la n-ésima derivada para las funciones:a) f ( x)  eaxCos(bx  c) ; ax  b x2 b) f ( x)  ; c) f ( x)  ; cx  d 1  2xd) f ( x)  (3  2 x)2 e23x ; 1 x f) f ( x)  xCosx ; e) f ( x)  ; 1 xg) f ( x)  ( x2  x)Cos 2 x ; h) f ( x)  ArcTanx ; 1 i) f ( x)  x n 1e x ;j) f ( x)  e2 x Sen2 x ; k) f ( x)  xn1 ln x ; l) f ( x)  Cos 4 x .9) Calcule en el punto dado la derivada del indicado orden:a) f ( x)  (2 x  7)2 (3x  7)3 , n = 5, x = A; b) f ( x)  x , n = 10, x = 1;c) f ( x)  ( x  2 x)Cos3x , n = 101, x = 1; 2 d) f ( x)  x 2 ln x , n = 100, x = 1; x 1 1 x2e) f ( x)  , n = 13, x   ; f) f ( x)  , n = 8, x = 0; x  x2 2 2 1 x  1  x2g) f ( x)  xSenxCos2 x , n = 100, x  ; h) f ( x)  , n = 6, x = -1; 2 3 2  3x  f ( x)  x 2  3x3 , n = 5, x = 1.i) f ( x)  ( x  Senx)2 , n = 16, x  ; j) 410) Determine la derivada de n-ésimo orden: 1  x2 b) f ( x)  2 x 1( x  1) ;  3 x a) f ( x)  ; c) f ( x)  x ln  ; 1  x2  3 x d) f ( x)  x log2 (1  3x) ; e) f ( x)  ln( x  1)2 x ; 3  2x2 f) f ( x)  ; 2 x 2  3x  2g) f ( x)  23x32 x (2 x  1) ; h) f ( x)  x ln( x 2  3x  2) ; i) x f ( x)  2 xCos 2 ; 3j) f ( x)  x ; k) f ( x)  1 ; l) f ( x)  x2Cos 2 x . 1  5x x 4 211) Determine la derivada de tercer orden:  t  x  et Cost  x  a(t  Sent )  x  Cost  ln Cot  x  aCosht a)  ; b)  2; c)  ; d)  .  y  a(1  Cost )  y  Sent  y  aSenht t  y  e Sent  12) Determine cuál es el orden de las derivadas que posee la función en el punto x = 0 y calcule en él todas las deri-vadas existentes:  100 1  Senhx, x  0  Senhx  x, x  0  x Sen , x  0 b) f ( x)   ; c) f ( x)   ;a) f ( x)   x ;  SenxCoshx, x  0  x  Senx, x  0   0, x  0  1  1  Cosx, x  0 2 xCosx, x  0  2 d) f ( x)   ; f) f ( x)   .e) f ( x)  e x , x  0 ;  ln(1  x)  x, x  0  Sen2 x, x  0  0, x  0 13) Determine la derivada de segundo orden en el punto indicado:  x  ln(1  Sent )  3 1  x  (t 2  1)et a)  ,  ln , ln  ; b)  , (1, 0).  y  ln(1  Cos 2t )  2 2  y t e 2 2t  JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 163  x  CoshtSent  SenhtCost  2t  t 2c)  , (0, 1); x   y  CoshtCost  SenhtSent  d)  t 1 , (0, 4);  t2  y  t 1 14) Suponga que f tiene segunda derivada. Demuestre: b) ¿A qué tasa cambia la velocidad del automóvila) Que si f es una función par, entonces f ´´ es par. con respecto al tiempo al final de 6 horas?¿aumenta ob) Que si f es una función impar, entonces f ´´ es impar. disminuye la velocidad en este instante? c) ¿En cuánto cambia realmente la velocidad del15) Un punto está en movimiento según la ley automóvil durante la séptima hora? 5s(t )  2t 2  t 3 , s se mide en metros y t en segundos. 22) Un meteorito penetra en la atmósfera terrestre 3Hallar su aceleración 5 segundos después del comienzo con velocidad inversamente proporcional a s , sien-del movimiento. do s su distancia al centro de la tierra. Pruebe que su aceleración es inversamente proporcional a s2.16) Demuestre que durante el movimiento de un sólidosegún la ley s(t )  aet  bet su aceleración es numéri- 23) Hallar el valor de la fuerza que actúa sobre un punto de masa m = 0.1 en movimiento según la leycamente igual al recorrido realizado. s(t )  t 2  4t 4 , en el momento de tiempo t = 3.17) Demuestre que durante el movimiento de un sólidosegún la ley s(t )  t su aceleración es proporcional al 24) Un cohete de masa m1 lleva un abasto de com- bustible de masa m2, que se quemará según una rapi-cubo de la velocidad. dez constante de b kilogramos por segundo. El cohete18) Un punto está en movimiento según la ley expulsa los gases con velocidad constante y la distan- cia s(t) (en metros) que el cohete ha recorrido a los t 1 1 s1(t )  t 3  t 2  t  , segundos, está dada por 2 2 c  m  m2  bt otro, según la ley s(t )  ct  (m1  m2  bt )ln  1  2 b  m1  m2  s2 (t )  t 3  3t 2  5t , para una constante c > 0: 3s1 y s2 se miden en metros, t, en segundos. Hallar la a) Calcule la velocidad inicial y la aceleración ini-aceleración de los puntos en el momento cuando sus cial del cohete.velocidades son iguales. m b) El combustible se agota al tiempo t  2 . Calcu- b19) Un objeto se mueve a lo largo de una recta. Des- le la velocidad y la aceleración en ese momento.pués de t segundos su distancia desde el punto de partidaes D(t) = t3 – 12t2 + 100t + 12 metros. Halle la acelera- 25) La distancia recorrida por un objeto en t segun-ción del objeto después de 3 segundos. Durante este dos es s(t) = t3 + 3t2 + 2t. Hallar las funciones detiempo, ¿disminuye o aumenta la velocidad? velocidad y aceleración. Determinar la velocidad a los 3 segundos y la aceleración a los 5 segundos.20) Un automóvil viaja a 90 pies/seg cuando el conduc-tor aplica los frenos para evitar atropellar a un niño. 26) Por una circunferencia de 5 metros de radio estáDespués de t segundos, el automóvil está a S = 90t – 9t2 en movimiento un punto a velocidad angular constan-pies del punto donde el conductor aplicó los frenos. te de 2 radianes por segundo. Hallar el valor de la¿Cuánto tiempo se demora el automóvil para detenerse y aceleración del punto.cuánto recorrió antes de parar? 27) Un estudio de eficiencia del turno matinal en21) Después de t horas de un viaje de ocho horas, un cierta fábrica revela que un trabajador medio que 10 2 llega al trabajo a las 08:00 habrá producido Q(t) = - t3automóvil ha recorrido D(t )  64t  t 2  t 3 kilóme- + 8t2 + 15t unidades t horas más tarde: 3 9tros: a) Calcule la tasa de producción del trabajador a lasa) Obtenga una fórmula que exprese la aceleración del 09:00.automóvil como una función del tiempo. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 164b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del tra- 30) La función de posición de un punto que se mue-bajador con respecto al tiempo a las 09:00? ve a lo largo de una recta coordenada está dada porc) Estimar el cambio en la tasa de producción del traba- t 2  3t  1jador entre las 09:00 y las 09:15. S (t )  2 . Calcule la velocidad y la acelera- t 1d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del ción al tiempo t y describa el movimiento del puntotrabajador entre las 09:00 y las 09:15. durante el intervalo de tiempo [-2; 2].28) El costo de producir x artículos se da por la función 31) Si un objeto se deja caer o se lanza verticalmen-C(x) = 20x2/3 + 75x + 8000. Determinar dónde crece y te, su altura en pies, después de t segundos es H(t) = -dónde decrece esta función de costo. Trazar una gráfica 16t2 + S0t + H0, donde S0 es la velocidad inicial delde C(x). objeto y H0 su altura inicial: a) Obtenga una expresión para la aceleración del objeto.29) El número de personas infectadas por cierto virus b) ¿Cómo varía la aceleración con respecto al tiem-se representa por la función I(t) = 12 + 10t2 – 2t4, 0  t  po?5, donde t es el tiempo desde que empezó la epidemia. c) ¿Cuál es la consecuencia del hecho de que laDeterminar la rapidez a la que la enfermedad se extiende respuesta del literal a) sea negativa?y cuándo el número de infectados está creciendo y cuán-do va decreciendo.3.14 DiferencialesDefinición En ocasiones se utiliza x para representar el valorSe denomina diferencial de la función y = f(x) a la parte inicial de la variable dependiente. En este caso, paraprincipal de su incremento, que es lineal con respecto al indicar un pequeño cambio de esta variable, se diceincremento del argumento. Se denomina diferencial del que x tiene un incremento h.argumento al; incremento del argumento dx = h. Elnúmero h es el incremento de x, es decir el nuevo valor A continuación se dan las propiedades principales dex + h es igual al valor inicial x más el incremento h. La la diferencial:letra k se usa para denotar el cambio en la variable de- 1) d(k) = 0, donde k = constante;pendiente y que corresponde a h. Entonces 2) d(ku) = kdu; k = f(x + h) – f(x) 3) d(u  v) = du  dv; 4) d(uv) = udv + vdu;Definición  u  v du  u dvSi y = f(x) y x tiene un incremento h, entonces el incre- 5) d    , v  0. v v2mento k de y es k = f(x + h) – f(x). Sea la función y = f(x) derivable sobre el intervalo (a;DefiniciónSea y = f(x), donde f es una función derivable, y sea h un b), su diferencial dy = f ´(x)dx, llamada primera dife-incremento de x, entonces: rencial de dicha fun-a) La diferencial dx de la variable independiente x es dx ción, depende de dos= h. variables x y dx. Seab) La diferencial dy de la variable dependiente y es dy también la derivada f= f ´(x)h = f ´(x)dx. ´(x) derivable sobre el intervalo (a; b). Enton-En esta definición puede verse que la variación o dife- ces con dx fijada, larencial dx de la variable independiente x es igual a su diferencial dy es fun-incremento h. Sin embargo, esto no sucede con la varia- ción sólo de x, para lable dependiente y. Como puede verse, el valor de dy que, a su vez, es posi-depende de x y de dx. Si h ≈ 0, entonces ble calcular la diferen-k ≈ dy = f ´(x)dx. Por tanto, si y = f(x), dy puede usarse cial, con la particularidad de que como incremento hcomo un valor aproximado del incremento exacto k de la de la variable independiente x podemos tomar elvariable dependiente correspondiente a un incremento mismo incremento que fue elegido para hallar lapequeño h de x. primera diferencial de la función f(x), es decir, dx. La JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 165diferencial de la primera diferencial, calculada con esta 3.14.3 Costo e ingreso marginalescondición, lleva el nombre de segunda diferencial o biendiferencial de segundo orden de la función y = f(x) y se Si C(x) es el costo total de producir x unidades y R(x)designa con d2y. Así, pues, por definición es el ingreso total obtenido de la venta de x unidades, d2y = d(dy) = d(f ´(x)dx) = (df ´(x))dx = f ´´(x)dxdx = f entonces ´´(x)(dx)2 Costo marginal = C´(x)  Costo de producir x + 1 2 2o bien d y = f ´´(x)dx . unidad Ingreso marginal = R´(x)  Ingreso obtenido de laPor analogía, en el caso cuando la función y = f(x) tiene venta de x + 1 unidadsobre el intervalo (a; b) una derivada de orden n, sedetermina la n-ésima diferencial dny como la primera 3.14.4 Error medio y error porcentualdiferencial de la (n – 1)-ésima diferencial, a condiciónde que durante el cálculo de la primera diferencial se Sea x una medida con un error máximo h. Por defini-toma como incremento h aquel incremento dx que fue ción tenemos que:elegido al calcular la (n – 1)-ésima diferencial. Según el hmétodo de inducción, para la n-ésima diferencial se a) Error medio  . xobtiene la fórmula b) Error porcentual = dny = f(n)(x)dxn. h = Error medio x 100%  100%  .Si para las funciones u(x) y v(x) existen las diferenciales xdnu y dnv, la función ku(x)  rv(x), donde k y r son cons- Si x representa una medida con un error posible dx,tantes y u(x)v(x) también tienen diferenciales de n-ésimo dx entonces el error medio es . Si dx es una aproxi-orden, con ello x1) dn(ku(x)  rv(x)) = kdnu  rdnv; mación al error en x entonces, por supuesto, dx es n n   x2) d n (u ( x)v( x))     d n k u ( x)d k v( x) . una aproximación al error medio. k 0  k  EjemploLa fórmula d2y = f ´´(x)dx2 y dny = f(n)(x)dxn, con n > 1 Calcular el valor aproximado de ArcSen(0.51).son válidas cuando y sólo cuando x es la variable inde- Soluciónpendiente. Para la función compuesta y = y(x(t)) la fór- Examinamos la función y = ArcSenx. Haciendomula d2y = f ´´(x)dx2 se generaliza de la siguiente forma: x = 0.5, h = 0.01 y aplicando la fórmula d2y = d(dy) = d(y´(x)dx) = (dy´(x))dx + y´(x)d(dx), ArcSen(x + h)  ArcSenx + (ArcSenx)´hes decir d2y = y´´(x)dx2 + y´(x)d2x. Obtenemos 13.14.1 Fórmula de aproximación ArcSen(0,51)  ArcSen(0,5)   0,01 1  (0,5)2Si y = f(x) y h representa un cambio pequeño en x, en- tonces el cambio correspondiente en y es   0,011  0,513 . 6 dy k  h dx Ejemploo, en notación funcional, el cambio correspondiente en f Calcular el valor aproximado del área de un círculoes k = f(x + h) – f(x)  f ´(x)h. Es decir, el cambio en la cuyo radio sea igual a 3.02m.función es aproximadamente la derivada de la función Soluciónpor el cambio en su variable. Utilicemos la fórmula S = R2. Haciendo R = 3, h = 0.02, tenemos3.14.2 Cambio porcentual k  dS = (2R)h = (2)(3)(0.02) = 0.12. Por consiguiente, el valor aproximado del área delSi h es un cambio pequeño en x, el cambio porcentual círculo es decorrespondiente en la función f(x) es 9 + 0.12 = 9.12  28.66 m2.Cambio porcentual en k f ´( x)h Ejemplo f  100   100  f ( x) f ( x) u Hallar d2y si y  y du, dv, d2u, d2v son conocidas. v JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 166Solución dxDurante la resolución hacemos uso de las propiedades de dx  dx 2 xla primera diferencial   2 x x x u   u   vdu  udv  d2    d  d    d   dx 2 xdx  dx v   v   v2    2 x 2 x x x v 2d (vdu  udv)  (vdu  udv)dv 2   x  x 1 2 x  v4   dx . v 2 (vd 2u  dvdu  ud 2v  dudv)  2v(vdu  udv)dv  2 x x x     v4 1 u 2 2u  d 2u  2 d 2v  2 dudv  3 dv 2 . d ( 1  2Senx  2Senx  1) b) dy  v v v v 1  2Senx  2Senx  1 d (1  2Senx) d (2Senx  1)Ejemplo Determine la diferencial de la función  2 1  2Senx 2 2 Senx  1 1  2Senx  2Senx  1a) f ( x)  x  2 x  x ; 2Cosxdx 2Cosxdx b) f ( x)  ln   1  2Senx  2Senx  1 .  2 1  2Senx 2 2Senx  1 1  2Senx  2Senx  1Solución Cosxdx d ( x) d (x  x )  .a) dy   2 4Sen2 x  1 2 x 2 x x3.14.5 Tarea1) Determine la diferencial de la función en el punto indicado:a) ey + xy = e, y > 0, x = 0; b) xy + lny = 1, y < e2, x = 0; c) x + ylny = 0, (p; q); x e) f ( x)  ArcTan ln x x2 2xd) 4 xy 3  ln 3  0 , (1, 0); , x = 1/e; f) f ( x)  x , x = 1; x y x xg) xy  3 xy 2  6  0 , (2, 1); 1  x 1  x 1 h) f ( x)   ln   , x = -1; y2 x  x  i) xe  2 y  0 , (4, 2).2) Determine la diferencial de la función en el punto indicado: (2 x  1)3 2  3x b) 6xy + 8y2 - 12x - 26y + 11 = 0, y < 2, x = 11/12;a) f ( x)  , x = 0; (5 x  4)2 3 1  xc) x + y – 8x2 – 10y2 + 16 = 0, (1, 3); d) r = a(1 + Cos), 0 <  < , (0, a); 4 4e) 3 Sen( yx 2 )  3x( y  )  1  0 , (1, ); f) x2 + y2 - 6x + 10y - 2 = 0, y > -5, x = 0;  x  (t  1)2 (t  2)   etg)  , (4, 0);  x  2 9   y  (t  1) (t  3) 2 h)  t ,  , .    e 4 e  y  (t  1) e 2 t3) Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, hallar el valor aproximado de la función en los pun-tos indicados:a) f ( x)  3 x , x = 65; b) f(x) = ArcSenx, x = 0,51; c) f(x) = ArcTanx, x = 1,05;d) f(x) = Senx, x = 359°; e) f(x) = logTanx, x = 47°15´; f) f(x) = Tanx, x = 44°50´.4) Determine la segunda diferencial de la función:a) f ( x)  ( x2  x  1)e x ; b) f ( x)  x(Cos ln x  Sen ln x) ; c) f ( x)  x 3 ( x  5)2 ; JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 167 2  x2 3x  2 f) f ( x)  2x  Cot 2x .d) f ( x)  ArcTan ; e) f ( x)  ; 2  x2 x  2x  5 25) Determine la diferencial de la función:   2 x 49 x c) f ( x)  x x ;a) f ( x)  49  x 2  ArcSen ; b) f ( x)  ln x  x 2  4 ; 2 2 7d) f ( x)  ArcCos(e x ) .6) Determine la segunda diferencial en el punto indicado:a) x2 + 2xy + y2 - 4x + 2y - 2 = 0, P(1, 1); b) x3y + ArcSen(y - x) = 1, P(1, 1);c) 2ln(y - x) + Sen(xy) = 0, P(0, 1); d) 3(y - x + 1) + ArcTan(yx) = 0, P(1, 0).7) Hallar la segunda diferencial de la función en el punto dado: 2  x2 x3 3x  2a) f ( x)  ArcTan , x = 0; b) f ( x)  , x = 1; c) f ( x)  , x = 0; 2  x2 3  x2 x2  2 x  5d) f ( x)  x 3 ( x  5)2 , x = -3.8) Calcule en el punto dado la diferencial del indicado orden:a) f ( x)  ( x  5)5 , n = 3, x = 0;  b) f ( x)  SenxSen2xSen3x , n = 10, x  ; 6c) f ( x)  ArcSenx , n = 19, x = 0; d) f ( x)  (2 x  1)Senh x , n = 8, x = 0; 2 2 7x 1   2e) f ( x)  , n = 10, x = 1; f) f ( x)  x 2  1  x  1 , n = 16, x = 1. (3x  2) 29) Hallar en los puntos indicados las diferenciales de f ( x)  euv ; c) f ( x)  u 2  v 2 ; d)las funciones prefijadas con ecuaciones implícitas oparamétricas: uv v e) f ( x)  ; f) f ( x)  ln Tan .a) y3  y  6 x 2 , (1, 2); b) y5  x4  xy 2 , (a, b). u 2  v2 u 15) Determine en cuánto aumentará, aproximadamen-10) Determine el valor aproximado de x, a partir de la te, el volumen de un globo si su radio R = 15 centíme-ecuación 13Senx - 15Cosx = 0. tros aumentó 0.2 centímetros.11) Hallar d2y considerando que du, d2u, dv, d2v son 16) Determine aproximadamente el error relativo, alconocidas: calcular la superficie de una esfera si al determinar sua) f ( x)  (2  v)u ; b) f ( x)  u ln v ; radio el error relativo constituyó 1 %c) f ( x)  u 2  v 2 ; d) f ( x)  u v . 17) ¿En cuánto variará en % aproximadamente, la12) En el punto (0, a) hallar la diferencial de la fun- intensidad de la corriente si su resistencia aumenta el 1ción prefijada en un sistema polar de coordenadas con %?la ecuación r = a(1 + Cos), 0 <  < . 18) El interior de un depósito cilíndrico sin tapa es de 12 pies de diámetro y 8 pies de altura. El fondo es de13) Hallar el valor aproximado de 4 15,8 . cobre y los lados de acero. Calcule la cantidad aproxi- mada, en galones, de pintura impermeabilizante que se14) Hallar la diferencial de la función, considerando necesita para aplicar una capa de 0.05 pulgadas a laque son conocidas las diferenciales de las funciones u parte de acero del interior del tanque.y v: u2 19) Estime qué le sucederá al área de un círculo si ela) f ( x)  u 2v ; b) f ( x)  ; radio se incrementa en un 1 %. Exprese su respuesta en v porcentaje. JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 16820) ¿En cuánto hay que variar, aproximadamente, la 29) Los seis lados de una caja cúbica de metal midenlongitud de un péndulo L =20 centímetros, con el fin 0.25 pulgadas de grueso y el volumen del interior de lade que el período de las oscilaciones aumente 0.05 caja es de 40 pulgadas cúbicas. Encuentre el valorsegundos? El período T se calcula con la fórmula aproximado del metal usado para construir la caja. LT  2 . 30) Al medir el radio de una esfera se halla que tiene g 4 6 pulg y se utiliza la fórmula V   r 3 para calcular 321) La velocidad del flujo sanguíneo a lo largo del eje el volumen. Si la medición del radio tiene un margencentral de una cierta arteria es de S(R) = 1.8x105R2 de error del 1 %, ¿qué tan exacto es el cálculo delcm/seg, donde R es el radio de la arteria. Un investiga- volumen?dor médico mide el radio de la arteria obteniendo1.2x10-2 cm, pero comete un error de 5x10-4 cm. Esti-me la cantidad en la cual el valor calculado de la velo- 31) El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulga-cidad de la sangre diferirá de la verdadera velocidad, si das de espesor. Calcule el volumen aproximado de lase utiliza el valor incorrecto del radio en la fórmula. región interior del mismo.22) Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulga-das de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 ± 32) Estime qué le sucederá al volumen de un cubo si0.005 pulgadas. Calcule su volumen con una estima- la longitud de cada lado disminuye en un 2 %. Exprese su respuesta en porcentaje.ción del error. 33) Los pequeños errores en la medición de las di-23) La velocidad de circulación de la sangre a lolargo del eje central de una arteria con radio R es S(R) mensiones de grandes recipientes tienen un efecto= cR2, donde c es una constante. Estime el error por- importante en el cálculo de sus volúmenes. Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto coronadocentual que se cometerá en el cálculo de S(R) con base por una semiesfera. La altura del cilindro es exacta-en esta fórmula y un margen de error del 1 % en la mente de 50 pie. Suponga que la circunferencia de lamedición de R. base mide 30 pie con un error máximo en la medición24) El ángulo comprendido entre los dos lados igua- de 6 pulgadas. Calcule el volumen del silo a partir deles de un triángulo isósceles mide 0.53 ± 0.005 radia- estas medidas y estime el error máximo en el cálculo. Determine el error medio y el error porcentual.nes. Los dos lados iguales miden 151 centímetrosexactos de longitud. Calcule la longitud del tercer lado 34) Se calcula que el lado de un triángulo equiláterocon una estimación del error. es de 4 pulgadas con un error máximo de 0.03 pulga-25) Estime el mayor error porcentual que puede per- das. Estime el error máximo en el cálculo del área delmitirse en la medición del radio de una esfera, si desea triángulo. Calcule el error porcentual.que el error en el cálculo de su volumen mediante 35) La arena que se escapa de un recipiente va for- 4V   r 3 no sea superior al 8 %. mando un montículo cónico cuya altura siempre es 3 igual a su radio. Establezca el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2 centímetros cúbi-26) Estimar el valor de cos en el volumen del montículo, cuando el radio mide P = (2.01)4 – 3(2.01)3 + 4(2.01)2 – 5. 10 centímetros.¿Cuál es el valor exacto de P? 36) El volumen y el área de la superficie de un globo27) Calcule el volumen de material en una cáscara esférico se denotan por V y S, respectivamente. Elesférica cuyo radio interior es de 5 centímetros y el diámetro es 8 centímetros y el volumen aumenta en 12exterior de 5.125 centímetros. centímetros cúbicos. Calcule el incremento en S.28) Se mide el radio de un círculo y se encuentra que 37) Un balón de fútbol hecho de cuero de 1/8 pulg detiene 12 cm; luego utiliza la fórmula A   r 2 para espesor, tiene un diámetro interno de 8 ½ pulg. Calcu-calcular el área. Si su medición del radio tiene un mar- le el volumen de su envoltura de cuero. (Considere elgen de error del 3 %, qué tan exacto es su cálculo del volumen de la envoltura como cierto cambio V en elárea. volumen) JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 16938) Una copa cónica de 10 centímetros de altura y 8 48) Un laboratorio espacial gira alrededor de la tierracentímetros de ancho en la parte superior, se llena con a una altura de 610 kilómetros. Un astronauta miraagua con una profundidad de 9 centímetros. Un cubo hacia el horizonte a un ángulo  = 65.8º de la verticalde hielo de 3 centímetros de lado está a punto de ser y el máximo error posible en la medición del ángulo essoltado dentro de ella. Decida si la copa se derramará. de 0.5º. Estime el error que el astronauta puede come- ter al calcular el radio de la Tierra con estos datos.39) Un melón de forma esférica tiene una corteza de1/5 pulg de espesor y un diámetro interno de 8 pulg. 49) Según la ley de Stefan, la energía de radiaciónEstime qué porcentaje del volumen total del melón es emitida por la superficie de un cuerpo está dada porla corteza. R = kT4, donde R es la emisión por unidad de área, T es la temperatura en grados Kelvins y k es una cons-40) Un tanque tiene forma de un cilindro con extre- tante. Suponiendo que el error en la medición de T esmos hemisféricos. Si la parte cilíndrica tiene 10 centí- 0.5%, evalúe el error porcentual correspondiente en elmetros de largo y tiene un radio de 10 centímetros, cálculo del valor de R.¿cuánta pintura se necesita para pintar la parte exteriordel tanque con un espesor de 1 milímetro? 50) La ley de Boyle establece que la presión p y el volumen v de un gas encerrado están relacionados por41) El nivel de polución del aire en una cierta ciudad la fórmula pv = c, donde c es una constante, supo-es proporcional al cuadrado de la población. Estime el niendo v ≠ 0. Demuestre que dp y dv están relaciona-porcentaje en que crecerá el nivel de polución del aire das por la fórmula pdv + vdp = 0.si la población crece un 5 %. 51) La ley de gravitación de Newton dice que la42) Establezca una fórmula que dé el valor aproxima- fuerza de atracción entre dos partículas con masas m1do del volumen de una envolvente cilíndrica delgada gm mde altura h, radio interior r y espesor T. ¿Cuál es el y m2 está dada por F  1 2 , donde g es una cons- s2error que se comete al usar esta fórmula? tante y s es la distancia entre las partículas. Establezca el incremento en s que se requiere para aumentar F en43) El radio de un globo esférico mide 25 centímetros un 10% cuando s = 20 centímetros.y el error máximo en la medición es de 0,10 centíme-tros. Establezca el error medio y el error porcentual 52) La iluminación producida por una fuente de luzpara el valor calculado del volumen. Estimar el máxi- es inversamente proporcional al cuadrado de la distan-mo error que se comete al calcular el volumen de la cia a la fuente. Un estudiante trabaja en un escritorioesfera. que está a cierta distancia de una lámpara. Calcule el cambio porcentual en la distancia que aumentará la44) Considérese que x3 + xy + y4 = 19 define una iluminación en 10%.función diferenciable f tal que y = f(x). Suponiendoque P(1, 2) es un punto de la gráfica de f, establezca la 53) En una cierta fábrica, la producción diaria es deordenada b del punto de la gráfica Q(1.10, b). Q( L)  20000 L unidades, donde L representa la45) El radio de la tapa circular de un pozo de alcanta- fuerza laboral medida en horas - trabajador. Actual-rilla es de 40 centímetros aproximadamente, con un mente se usan cada día 900 horas - trabajador. Estimeerror en la medición de 0.15 centímetros. Establezca el el efecto que habrá en la producción si la fuerza deerror máximo en el cálculo del área de un lado de la trabajo se reduce a 885 horas - trabajador.tapa. Calcule el error medio y el error porcentual. 54) La obstrucción de las arterias es una de las causas46) El lado de una baldosa cuadrada mide 30 centí- de hipertensión sanguínea. Se ha comprobado experi-metros con un error de medición de 0.15 centímetros. mentalmente que cuando la sangre fluye por una arte-Establezca el error máximo en el cálculo del área. ria de longitud dada, la diferencia de presión en losCalcule el error medio y el error porcentual. dos extremos de la arteria es inversamente proporcio- nal a la cuarta potencia del radio. Suponga que el radio47) Establezca el incremento en volumen de un cubo de una arteria disminuye en 10%. Calcule el cambiocuando sus lados cambian de 10 a 10.1 centímetros. porcentual en la diferencia de presión.¿Cuál es el incremento exacto del volumen? 55) Un globo esférico se infla con gas. Establezca el incremento del área de la superficie del globo cuando JOE GARCIA ARCOS
    • LA DERIVADA 170el diámetro varía de 60 centímetros a 60.5 centímetros. 59) Sean f(z) = 2z3 – 2z2 + 3z – 8 y w = f(z). Encuen- tre dw. Use dw para establecer el incremento de w56) Un lado de una casa tiene la forma de un cuadra- cuando z varía de 5 a 4,95.do coronado por un triángulo equilátero. La base mide48 pie con un error máximo en la medición de 1 pul- 60) El área S de la superficie curva de un cono circu-gada. Calcule el área del lado y establezca el error lar recto de altura h y radio r está dada pormáximo cometido en el cálculo. Evalúe el error medio S  r r 2  h2 . Un cono con radio r = 6 centímetros,y el error porcentual. tiene una altura de 8 centímetros. Con un error máxi- mo en la medición de 0.1 centímetros. Calcule S a57) La resistencia eléctrica R de un conductor es partir de estas medidas y establezca el error máximodirectamente proporcional a su longitud e inversamen- en el cálculo. Calcule también el error porcentual.te proporcional al cuadrado de su diámetro. Suponien-do que la longitud es constante, ¿con qué precisión 61) El período T de un péndulo simple de longitud Ldebe medirse el diámetro, en términos del error por-centual, para mantener el error porcentual en el valor R L se puede calcular con la fórmula T  2 , donde gentre -3% y +3%. g es una constante. Establezca el cambio en L que pro-58) Suponga que 3x2 – x2y3 + 4y = 12 define una voca un incremento de 1% en T.función derivable f tal que y = f(x). Establezca el in-cremento de f(x) cuando x varía de 2 a 1.97, suponien- 62) Sean f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 y g(x) = x5 + 4x3 + 2x.do que f(2) = 0. Establezca el incremento de g(f(x)) cuando x varía de -1 a -1,01. JOE GARCIA ARCOS