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Es una presentación sobre las funciones reales de variable real elementales en Matemáticas

Es una presentación sobre las funciones reales de variable real elementales en Matemáticas

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  • 1. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Las funciones elementales Grado en Química Universidad de Huelva Curso 2009/10 Grado en Química Las funciones elementales
  • 2. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 3. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 4. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Grado en Química Las funciones elementales
  • 5. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva Grado en Química Las funciones elementales
  • 6. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades Grado en Química Las funciones elementales
  • 7. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades 3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso Grado en Química Las funciones elementales
  • 8. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Grado en Química Las funciones elementales
  • 9. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Grado en Química Las funciones elementales
  • 10. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de cada valor x ∈ D Grado en Química Las funciones elementales
  • 11. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de cada valor x ∈ D Grado en Química Las funciones elementales
  • 12. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x Grado en Química Las funciones elementales
  • 13. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades g : [−1, 5] −→ R x −→ x 2 + 2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 14. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades g : [−1, 5] −→ R x −→ x 2 + 2 3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso h : R{0} −→ R x −→ 1/x Grado en Química Las funciones elementales
  • 15. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Grado en Química Las funciones elementales
  • 16. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible Grado en Química Las funciones elementales
  • 17. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible El dominio de una función depende también de la naturaleza de las magnitudes que pretendemos describir Grado en Química Las funciones elementales
  • 18. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible El dominio de una función depende también de la naturaleza de las magnitudes que pretendemos describir En los ejemplos anteriores, x recibe el nombre de variable independiente Grado en Química Las funciones elementales
  • 19. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definiciones Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el dominio D; es decir, Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}. Grado en Química Las funciones elementales
  • 20. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definiciones Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el dominio D; es decir, Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}. Se llama gráfica de f a la curva resultante al representar en unos ejes cartesianos el conjunto siguiente: {(x, f (x)) : x ∈ D} La ecuación de la gráfica de una función viene dada por y = f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  • 21. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 22. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞) Grado en Química Las funciones elementales
  • 23. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞) f(x)=x2 40 y 35 30 25 20 X: 4 Y: 16 15 10 5 x 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 24. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 Grado en Química Las funciones elementales
  • 25. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 Grado en Química Las funciones elementales
  • 26. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? y2=x 4 3 X: 9 Y: 3 2 1 0 −1 −2 X: 9 Y: −3 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 ¡¡x = 9 tiene dos imágenes!! Grado en Química Las funciones elementales
  • 27. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 28. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  • 29. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece f (x). Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) > f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, decrece f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  • 30. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: Grado en Química Las funciones elementales
  • 31. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Grado en Química Las funciones elementales
  • 32. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) creciente en (1, +∞): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Grado en Química Las funciones elementales
  • 33. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  • 34. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  • 35. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en I. Se dice que f está acotada en el intervalo I ⊂ D si está acotada superior e inferiormente en I. En virtud de las definiciones anteriores, esto puede resumirse diciendo que existe un número K > 0 tal que −K ≤ f (x) ≤ K cualquiera que sea x ∈ I. La constante K recibe el nombre de cota de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  • 36. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): Grado en Química Las funciones elementales
  • 37. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior) Grado en Química Las funciones elementales
  • 38. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior) está acotada inferiormente en R (m = −2 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  • 39. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: Grado en Química Las funciones elementales
  • 40. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: no está acotada superiormente en R Grado en Química Las funciones elementales
  • 41. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: no está acotada superiormente en R está acotada inferiormente en R (m = 1 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  • 42. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: Grado en Química Las funciones elementales
  • 43. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: está acotada superiormente (M = 5 es cota superior) Grado en Química Las funciones elementales
  • 44. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: está acotada superiormente (M = 5 es cota superior) está acotada inferiormente (m = 1 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  • 45. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : Grado en Química Las funciones elementales
  • 46. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : no está acotada superiormente Grado en Química Las funciones elementales
  • 47. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : no está acotada superiormente no está acotada inferiormente Grado en Química Las funciones elementales
  • 48. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D. Grado en Química Las funciones elementales
  • 49. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D. Se dice que f es impar si f (−x) = −f (x) cualquiera que sea x ∈D Grado en Química Las funciones elementales
  • 50. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 51. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 f (x) = es par 1 + x2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 52. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 f (x) = es par 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 53. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 54. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par f (x) = x 3 es impar 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 55. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par f (x) = x 3 es impar 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) f (−x) = (−x)3 = −x 3 = −f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 56. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . Grado en Química Las funciones elementales
  • 57. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 58. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 59. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 60. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 61. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 62. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : Grado en Química Las funciones elementales
  • 63. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 64. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 65. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. Grado en Química Las funciones elementales
  • 66. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. En general, g ◦ f = f ◦ g. Grado en Química Las funciones elementales
  • 67. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. En general, g ◦ f = f ◦ g. (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), cualesquiera que sean f , g, h Grado en Química Las funciones elementales
  • 68. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 69. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Grado en Química Las funciones elementales
  • 70. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Ejemplos Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  • 71. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Ejemplos Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva. Cualquier función decreciente en todo su dominio es inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  • 72. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. Grado en Química Las funciones elementales
  • 73. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 20 X: −4 X: 4 Y: 16 Y: 16 15 10 5 0 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; Grado en Química Las funciones elementales
  • 74. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 20 X: −4 X: 4 Y: 16 Y: 16 15 10 5 0 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; f (−4) = f (4) = 16 Grado en Química Las funciones elementales
  • 75. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 25 20 20 X: −4 X: 4 X: 4 Y: 16 Y: 16 Y: 16 15 15 10 10 5 5 0 0 −5 0 5 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; f (x) = x 2 en [0, ∞) f (−4) = f (4) = 16 sí es inyectiva Grado en Química Las funciones elementales
  • 76. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  • 77. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: Grado en Química Las funciones elementales
  • 78. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 79. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Grado en Química Las funciones elementales
  • 80. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Grado en Química Las funciones elementales
  • 81. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  • 82. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Grado en Química Las funciones elementales
  • 83. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo f (x) = 3x + 2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 84. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo Se despeja x de y −2 f (x) = 3x + 2 ⇒x = y = 3x + 2 3 Grado en Química Las funciones elementales
  • 85. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo Se despeja x de y −2 y −2 f (x) = 3x + 2 ⇒x = f −1 (y ) = y = 3x + 2 3 3 Grado en Química Las funciones elementales
  • 86. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Grado en Química Las funciones elementales
  • 87. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Grado en Química Las funciones elementales
  • 88. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Grado en Química Las funciones elementales
  • 89. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD Grado en Química Las funciones elementales
  • 90. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD 2 f ◦ f −1 = idIm (f ) Grado en Química Las funciones elementales
  • 91. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD 2 f ◦ f −1 = idIm (f ) La gráfica de f −1 es simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x. Grado en Química Las funciones elementales
  • 92. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  • 93. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica Definición Función polinómica de grado n: f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0. Grado en Química Las funciones elementales
  • 94. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica Definición Función polinómica de grado n: f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0. Dominio: R Grado en Química Las funciones elementales
  • 95. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b Grado en Química Las funciones elementales
  • 96. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 10 5 0 −5 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 97. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 15 10 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 a<0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 98. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 15 15 10 10 10 5 5 5 0 0 0 −5 −5 −5 −10 −10 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 a<0 a=0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 99. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 100. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −5 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 101. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 45 5 40 0 35 −5 30 −10 25 −15 20 −20 15 −25 10 −30 5 −35 0 −40 −5 −45 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 a>0 a<0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 102. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 103. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + 10 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 104. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + 20 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 105. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + 50 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 106. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 107. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 − 15 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 108. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 − 25 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 109. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 110. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = (x − 2)2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 111. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = (x − 7)2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 112. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = (x − 15)2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 113. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 114. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = (x + 8)2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 115. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 116. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = −x 2 100 80 60 40 20 0 −20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 117. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c Grado en Química Las funciones elementales
  • 118. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Grado en Química Las funciones elementales
  • 119. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: Grado en Química Las funciones elementales
  • 120. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: 1 trasladando a derecha (p < 0) ó izquierda (p > 0) la curva de y = x 2 un tramo de longitud |p| Grado en Química Las funciones elementales
  • 121. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: 1 trasladando a derecha (p < 0) ó izquierda (p > 0) la curva de y = x 2 un tramo de longitud |p| 2 trasladando arriba (q > 0) ó abajo (q < 0) la curva obtenida anteriormente un tramo de longitud |q| Grado en Química Las funciones elementales
  • 122. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: 1 trasladando a derecha (p < 0) ó izquierda (p > 0) la curva de y = x 2 un tramo de longitud |p| 2 trasladando arriba (q > 0) ó abajo (q < 0) la curva obtenida anteriormente un tramo de longitud |q| y = x2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 123. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: 1 trasladando a derecha (p < 0) ó izquierda (p > 0) la curva de y = x 2 un tramo de longitud |p| 2 trasladando arriba (q > 0) ó abajo (q < 0) la curva obtenida anteriormente un tramo de longitud |q| (1) y = x2 y = (x + p)2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 124. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares f (x) = x 2 + bx + c f (x) = (x + p)2 + q, p, q ∈ R Observación La gráfica de la función cuadrática f (x) = x 2 + bx + c puede obtenerse como sigue: 1 trasladando a derecha (p < 0) ó izquierda (p > 0) la curva de y = x 2 un tramo de longitud |p| 2 trasladando arriba (q > 0) ó abajo (q < 0) la curva obtenida anteriormente un tramo de longitud |q| (1) (2) y = x2 y = (x + p)2 y = (x + p)2 + q Grado en Química Las funciones elementales
  • 125. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función racional Definición Función racional: P(x) f (x) = Q(x) siendo P(x), Q(x) funciones polinómicas. Grado en Química Las funciones elementales
  • 126. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función racional Definición Función racional: P(x) f (x) = Q(x) siendo P(x), Q(x) funciones polinómicas. Dominio: R{x ∈ R : Q(x) = 0} Grado en Química Las funciones elementales
  • 127. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función racional Definición Función racional: P(x) f (x) = Q(x) siendo P(x), Q(x) funciones polinómicas. Dominio: R{x ∈ R : Q(x) = 0} 1 Caso particular: función proporcionlidad inversa f (x) = x 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −6 −4 −2 0 2 4 6 x Grado en Química Las funciones elementales
  • 128. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función irracional Definición Función irracional (de índice n): n f (x) = R(x) siendo R(x) función racional. Grado en Química Las funciones elementales
  • 129. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función irracional Definición Función irracional (de índice n): n f (x) = R(x) siendo R(x) función racional. Dominio: Si n impar, es el dominio de R. Si n par, es el conjunto {x ∈ dominio (g) : g(x) ≥ 0} Grado en Química Las funciones elementales
  • 130. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial Definición Función exponencial de base a ∈ R+ : f (x) = ax Grado en Química Las funciones elementales
  • 131. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial Definición Función exponencial de base a ∈ R+ : f (x) = ax Dominio: R Imagen: R+ Grado en Química Las funciones elementales
  • 132. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial Definición Función exponencial de base a ∈ R+ : f (x) = ax Dominio: R Imagen: R+ 12 10 8 6 4 2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 x a>1 Grado en Química Las funciones elementales
  • 133. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial Definición Función exponencial de base a ∈ R+ : f (x) = ax Dominio: R Imagen: R+ 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 x x a>1 0<a<1 Grado en Química Las funciones elementales
  • 134. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función logarítmica Definición Función logarítmica en base a ∈ R+ {1}: f (x) = loga x Grado en Química Las funciones elementales
  • 135. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función logarítmica Definición Función logarítmica en base a ∈ R+ {1}: f (x) = loga x loga (x) = y ⇔ ay = x Grado en Química Las funciones elementales
  • 136. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función logarítmica Definición Función logarítmica en base a ∈ R+ {1}: f (x) = loga x Dominio: R+ Imagen: R Grado en Química Las funciones elementales
  • 137. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función logarítmica Definición Función logarítmica en base a ∈ R+ {1}: f (x) = loga x Dominio: R+ Imagen: R a>1 0<a<1 5 6 4 4 3 2 2 1 0 0 −1 −2 −2 −3 −4 −4 −5 −6 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 138. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función logarítmica Definición Función logarítmica en base a ∈ R+ {1}: f (x) = loga x Dominio: R+ Imagen: R a>1 0<a<1 5 6 4 4 3 2 2 1 0 0 −1 −2 −2 −3 −4 −4 −5 −6 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 139. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial y logarítmica: propiedades • a0 = 1 • loga 1 = 0 Grado en Química Las funciones elementales
  • 140. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial y logarítmica: propiedades • a0 = 1 • loga 1 = 0 x1 +x2 x1 x2 •a =a ·a • loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 141. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial y logarítmica: propiedades • a0 = 1 • loga 1 = 0 x1 +x2 x1 x2 •a =a ·a • loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 ax1 x1 • ax1 −x2 = • loga = loga x1 − loga x2 ax2 x2 Grado en Química Las funciones elementales
  • 142. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial y logarítmica: propiedades • a0 = 1 • loga 1 = 0 x1 +x2 x1 x2 •a =a ·a • loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 ax1 x1 • ax1 −x2 = • loga = loga x1 − loga x2 ax2 x2 x2 • (ax1 ) = ax1 ·x2 • loga (x p ) = p · loga x Grado en Química Las funciones elementales
  • 143. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función exponencial y logarítmica: propiedades • a0 = 1 • loga 1 = 0 x1 +x2 x1 x2 •a =a ·a • loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 ax1 x1 • ax1 −x2 = • loga = loga x1 − loga x2 ax2 x2 x2 • (ax1 ) = ax1 ·x2 • loga (x p ) = p · loga x • (a · b)x = ax · bx Grado en Química Las funciones elementales
  • 144. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función seno Definición Función seno: f (x) = sen x x en radianes Grado en Química Las funciones elementales
  • 145. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función seno Definición Función seno: f (x) = sen x x en radianes Dominio: R Imagen: [−1, 1] Periódica de periodo 2π Impar: sen (−x) = −sen x Grado en Química Las funciones elementales
  • 146. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función seno Definición Función seno: f (x) = sen x x en radianes f(x)=sen(x) 2 Dominio: R 1.5 1 Imagen: [−1, 1] 0.5 Periódica de periodo 2π 0 Impar: sen (−x) = −sen x −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 147. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función coseno Definición Función coseno: f (x) = cos x x en radianes Grado en Química Las funciones elementales
  • 148. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función coseno Definición Función coseno: f (x) = cos x x en radianes Dominio: R Imagen: [−1, 1] Periódica de periodo 2π Par: cos (−x) = cos x Grado en Química Las funciones elementales
  • 149. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función coseno Definición Función coseno: f (x) = cos x x en radianes f(x)=cos x 2 Dominio: R 1.5 1 Imagen: [−1, 1] 0.5 Periódica de periodo 2π 0 Par: cos (−x) = cos x −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  • 150. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función tangente Definición Función tangente: sen x f (x) = tg x = x en radianes cos x Grado en Química Las funciones elementales
  • 151. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función tangente Definición Función tangente: sen x f (x) = tg x = x en radianes cos x Dominio: π R (2k + 1) : k ∈ Z 2 Imagen: R Periódica de periodo π Impar: tg (−x) = −tg x Grado en Química Las funciones elementales
  • 152. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función tangente Definición Función tangente: sen x f (x) = tg x = x en radianes cos x f(x)=tg x Dominio: 6 π R (2k + 1) : k ∈ Z 4 2 2 Imagen: R 0 Periódica de periodo π −2 Impar: tg (−x) = −tg x −4 −6 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 153. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco seno Definición Función arco seno: f (x) = arc sen x Grado en Química Las funciones elementales
  • 154. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco seno Definición Función arco seno: f (x) = arc sen x arc sen x = y ⇔ sen y = x Grado en Química Las funciones elementales
  • 155. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco seno Definición Función arco seno: f (x) = arc sen x 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Grado en Química Las funciones elementales
  • 156. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco seno Definición Función arco seno: f (x) = arc sen x f(x)=arc sen x 1.5 1 0.5 Dominio: [−1, 1] 0 π π Imagen: − , −0.5 2 2 −1 −1.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Grado en Química Las funciones elementales
  • 157. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco coseno Definición Función arco coseno: f (x) = arc cos x Grado en Química Las funciones elementales
  • 158. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco coseno Definición Función arco coseno: f (x) = arc cos x arc cos x = y ⇔ cos y = x Grado en Química Las funciones elementales
  • 159. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco coseno Definición Función arco coseno: f (x) = arc cos x 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Grado en Química Las funciones elementales
  • 160. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco coseno Definición Función arco coseno: f (x) = arc cos x f(x)=arc cos x 3 2.5 2 1.5 Dominio: [−1, 1] 1 Imagen: [0, π] 0.5 0 −0.5 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Grado en Química Las funciones elementales
  • 161. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco tangente Definición Función arco tangente: f (x) = arc tg x Grado en Química Las funciones elementales
  • 162. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco tangente Definición Función arco tangente: f (x) = arc tg x arc tg x = y ⇔ tg y = x Grado en Química Las funciones elementales
  • 163. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco tangente Definición Función arco tangente: f (x) = arc tg x 6 4 2 0 −2 −4 −6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  • 164. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función arco tangente Definición Función arco tangente: f (x) = arc tg x f(x)=arc tg x 6 4 2 Dominio: R 0 π π Imagen: − , 2 2 −2 −4 −6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales