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Unmsm   fisi - resolución de un ppl con lindo - io1 cl08-lindo Unmsm fisi - resolución de un ppl con lindo - io1 cl08-lindo Document Transcript

  • 1 Resolución de un PPL con LINDO Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I 2
  • 2 3 LINDO/PC.- LINDO System, Inc. se especializa en software de optimización lineal, no lineal y entera, ofreciendo una línea completa de productos, con un total soporte de éstos. Los que vienen de acuerdo al tamaño de la matriz de sus modelos (número de variables y restricciones), además están disponibles en todas las plataformas conocidas. LINDO – Linear INterative and Discrete Optimizer.- La velocidad y la facilidad de uso han hecho de LINDO el estándar de la industria para resolver problemas de optimización lineal, entera y cuadrática. LINDO 4
  • 3 5 Ejemplo.- Un comerciante se dedica a la fabricación de 3 productos y utiliza 3 tipos de recursos: Matria prima (kg/unidad) Espacio (pies3 /unidad) Costo producción ($/unidad) Utilidad ($/unidad) Recursos 1 2 3 Disponibilidad 4 3 2 270 kg. 2 2 1 150 pies3 $3,700304050 58 47 32 Formular el PPL y resolver utilizando LINDO. LINDO 6 Formulando el modelo: Sea xi = número de unidades a producir del producto i. El modelo es: Max Z = 58 x1 + 47 x2 + 32 x3 sujeto a 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 <= 270 2 x1 + 2 x2 + x3 <= 150 50 x1 + 40 x2 + 30 x3 <= 3700 x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0 LINDO
  • 4 7 Ingresando la formulación del PPL al software, se debe digitar conforme al modelo presentado: MAX 58 X1 + 47 X2 + 32 X3 SUBJECT TO 2) 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 270 3) 2 X1 + 2 X2 + X3 <= 150 2) 50 X1 + 40 X2 + 30 X3 <= 3700 END LINDO 8 Para resolver el problema utilizar el comando SOLVE (Ctrl+S) Y responder a la siguiente pregunta: DO RANGE (SENSITIVY) ANALYSIS? SI/NO con (SI), el resultado presentado por LINDO es el siguiente: LINDO
  • 5 9 OPTIMO DEL PL ENCONTRADO EN EL PASO 3 VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO 1) 4170.000 VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 X3 50.000000 0.000000 FILA HOLGURA O EXCESO PRECIO DUAL 2) 0.000000 5.000000 3) 0.000000 4.000000 4) 0.000000 0.600000 NO. DE ITERACIONES= 3 LINDO 10 RANGOS EN LOS CUALES LA BASE OPTIMA NO CAMBIA: RANGOS PARA LOS COEFIC. DE LA FUNCION OBJETIVO VARIABLE COEFICIENTE INCREMENTO DECREMENTO ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO X1 58.000000 4.000000 2.500000 X2 47.000000 5.000000 2.000000 X3 32.000000 2.500000 3.000000 RANGOS PARA LOS TERMINOS DEL LADO DERECHO FILA RHS INCREMENTO DECREMENTO ACTUAL PERMITIDO PERMITIDO 2 270.000000 25.000000 10.000000 3 150.000000 20.000000 15.000000 4 3700.000000 200.000000 250.000000 LINDO
  • 6 11 1) Se ha alcanzado la solución óptima en 3 iteraciones. El valor óptimo es Z = 4170.000. El valor óptimo se obtiene con: X1 = 20.000000, X2 = 30.000000 y X3 = 50.000000 OPTIMO DEL PL ENCONTRADO EN EL PASO 3 VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO 1) 4170.000 VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 X3 50.000000 0.000000 Vemos que: Z = 58(20) + 47(30) + 32(50) = 4170 LINDO 12 2) El producto VALOR x COSTO REDUCIDO debe ser igual a cero. Si el costo reducido de la variable X1 fuese diferente de cero, por ejemplo 8.000000 se tendría entonces: VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO X1 0.000000 8.000000 X1 = 0 indica que el producto 1 no es parte de la solución óptima. Si el problema es de maximización, el costo reducido de X1 igual a 8 indica la cantidad en que debe aumentar su utilidad para que sea rentable su producción. Es decir la utilidad de X1 debe ser como mínimo 58 + 8 = 66. LINDO
  • 7 13 Si el problema es de minimización, el costo reducido de X1 igual a 8 indica la cantidad en que debe disminuir su utilidad para que sea rentable su producción. Es decir la utilidad de X1 debe ser como mínimo 58 - 8 = 50. LINDO 14 3) Si la restricción es ≥ el valor de la columna HOLGURA O EXCESO es una variable de exceso. Si la restricción es ≤ el valor de la columna es una variable de holgura. Variable de holgura.- Como se muestra en el ejemplo las 3 restricciones son ≤, las variables son de holgura. Consideremos la fila 2, su variable de holgura es 0, la restricción correspondiente: 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 270 (Materia prima) LINDO
  • 8 15 Indica que estamos utilizando toda la materia prima disponible: 4 (20) + 3 (30) + 2 (50) = 270 Supongamos que en la fila 4) la variable de holgura hubiese sido 250: 50 X1 + 40 X2 + 30 X3 <= 3700 indica que no se utilizan los $ 3 700. Sino: 3 700 – 250 = $ 3 450, es decir hay un sobrante de $ 250. LINDO 16 Variable de exceso.- Supongamos que se tiene la restricción: X1 + X2 + X3 >= 100 entre los tres productos debemos producir como mínimo 100 kg. Supongamos que en la solución óptima la variable de exceso es igual a 30. Significa que estamos produciendo en total 130 kg., es decir 30 kg. más (exceso) respecto al mínimo requerido de 100 kg. LINDO
  • 9 17 4) Precio DUAL Tomemos la fila 2) que corresponde a la restricción: 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 270 (Materia prima, kg.) su precio dual es 5 El valor óptimo es $ 4170, utilidad máxima Por ejemplo si modificamos el término derecho de la restricción a: 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 273 y resolvemos el problema, entonces el nuevo valor óptimo será: 4170 + 3 x 5 = 4185 LINDO 18 Interpretación: Como estamos utilizando toda la materia prima disponible, entonces por cada kg. que incrementamos dicha materia prima, la utilidad se incrementará en $ 5.000000. Ejemplo 4 X1 + 3 X2 + 2X3 <= 271 El valor óptimo será: $ 4175. Si p es el precio al que debemos adquirir 1 kg. de materia prima, el valor óptimo será realmente: 4175 – p LINDO
  • 10 19 conviene el incremento si el nuevo valor óptimo es mejor que el anterior (cuando sólo utilizamos lo disponible) 4175 – p > 4170 P < 5 conviene incrementar materia prima si el precio por kg. de ésta es menor de $ 5. El precio dual indica lo máximo que se debe pagar por el recuso a fin de que su incremento sea rentable. LINDO 20 Tomemos la fila 4) que corresponde a la restricción: 50 X1 + 40 X2 + 30 X3 <= 3700 (Capital) si la modificamos a: 50 X1 + 40 X2 + 30 X3 <= 3800 el nuevo valor óptimo es: 4170 + 100 x 0.6 = 4230 0.6 es el máximo interés que debemos pagar en caso de que nos hagan un préstamo de dinero para incrementar nuestro capital. LINDO
  • 11 21 Disminución del recurso.- Por ejemplo en la fila 2): 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 270 si la modificamos a: 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 269 la nueva utilidad será: 4170 – 1 x 5 = 4165 Supongamos que ese kg. de materia prima que hemos disminuido ha sido para venderlo al precio p, este precio p debe ser: LINDO 22 4165 + p > 4170 p > 5 En caso de disminuir un recurso para luego venderlo, el mínimo precio (lo más barato) a que se debe vender es $ 5/kg. (precio dual). LINDO
  • 12 23 5) Rangos de sensibilidad.- Rango para X1: [58 – 2.5, 58 + 4] = [55.5, 62] Rango para X2: [47 – 2, 47 + 5] = [45, 52] Rango para X3: [32 – 3, 32 + 2.5] = [29, 34.5] Por ejemplo para X1 el rango de su coeficiente en la función objetivo es [55.5, 62], mientras el coeficiente de X1 varíe en este intervalo, entonces la solución óptima no cambiará, seguirá siendo: X1 = 20 X2 = 30 X3 = 50 LINDO 24 Rango Fila 2): [270 – 10, 270 + 25] = [260, 295] Rango Fila 3): [150 – 15, 150 + 20] = [135, 170] Rango Fila 4): [3700 – 250, 3700 + 200] = = [3450, 3900] En la fila 2) [260, 295], significa que mientras el término derecho de la fila 2) se encuentre en este intervalo, el precio dual no cambiará. En el caso de que un incremento o decremento sea infinito aparecerá: INFINITY en el lugar correspondiente y el rango será: [-∞, n] o [n, +∞]. LINDO