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Una compañía de transportes tiene 10 camiones
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Variables de decisión
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Observación.-
1) La solución óptima es: G = 7, P = 4, Z = 24800
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PROBLEMA 03.-
Una compañía tiene que escoger un conjunto de
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Una compañía tiene que escoger ...
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Unidad monetaria: $ 1000.
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Restricciones:
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SOLUCION DE UN PROBLEMA DE
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Programación Lineal Binaria
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Ejemplo:
Max Z = 3 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 2 x4 + 3 x5
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Programación Lineal Binaria
MÉTODO ADITIVO DE EGON BALAS
El método se basa en resolver un modelo deEl método se basa en...
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PROCEDIMIENTO:
1) La función objetivo debe ser de Minimización en
Programación Lineal Binaria
1) La función objetivo de...
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Programación Lineal Binaria
Una vez determinada la solución deben
restablecerse las variables originales.g
3) Evaluar l...
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– x1 + 3 x2 + 5 x3 – x4 + 4 x5 – 4 ≤ 0
2 x1 – 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 – 2 x5 ≤ 0
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  1. 1. 1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I Programación Lineal Entera y Binariay Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Programación Lineal Entera 2
  2. 2. 2 PROBLEMA 01.- La compañía Mauser fabricante de fusiles automáticos Programación Lineal Entera Requerimientos unitarios de tiempo (en horas) H di iblM d lM d l La compañía Mauser, fabricante de fusiles automáticos, tiene 3 departamentos en los cuales se manufacturan sus modelos S-1000 y S-2000, las capacidades mensuales son las siguientes: 3 Departamento 1 4 2 1,600 Departamento 2 2.5 1 1,200 Departamento 3 4.5 1.5 1,600 Departamentos Horas disponibles en el siguiente mes Modelo S-2000 Modelo S-1000 La utilidad del modelo S-1000 es de 40 dólares por unidad y la del modelo S-2000 es de 10 dólares por Programación Lineal Entera y p unidad; suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de estos productos, debido a condiciones favorables de mercado. Determinar el número de unidades de cada modelo que se debe de fabricar de manera que se maximice la utilidad total. 4 utilidad total.
  3. 3. 3 SOLUCION.- Variables de decisión Programación Lineal Entera Variables de decisión x1 : número de fusiles S-1000 que la compañía Mauser va ha fabricar. x2 : número de fusiles S-2000 que la compañía Mauser va ha fabricar. 5 Restricción por horas disponibles del Departamento 1: Restricciones Programación Lineal Entera Restricción por horas disponibles del Departamento 1: 1600x2x4 21 ≤+ 1200xx5.2 21 ≤+ Restricción por horas disponibles del Departamento 2: Restricción por horas disponibles del Departamento 3: 6 1600x5.1x5.4 21 ≤+ Restricciones de no negatividad: 0x,x 21 ≥ Restricción por horas disponibles del Departamento 3:
  4. 4. 4 Función objetivo Programación Lineal Entera 21 x10x40ZMax += 7 El programa queda: Programación Lineal Entera sujeto a 21 x10x40ZMax += 1600x2x4 21 ≤+ 1200xx5.2 21 ≤+ 1600x51x54 ≤+ 8 1600x5.1x5.4 21 ≤+ 0x,x 21 ≥
  5. 5. 5 Resolviendo el programa: Programación Lineal Entera 9 DEFINICIÓN 1.- Un Problema de Programación Lineal Entera (PPLE) es Programación Lineal Entera Un Problema de Programación Lineal Entera (PPLE) es aquel que presenta el siguiente formato: ∑= = n 1i ii xcZOptimizar sujeto a 10 m,,2,1j K= 0enterosxi ≥ ( ) j n 1i iij b,,xa ≥=≤∑=
  6. 6. 6 DEFINICIÓN 2.- Definimos el “equivalente continuo” de un PPLE como: Programación Lineal Entera Definimos el equivalente continuo de un PPLE como: ∑= = n 1i ii xcZOptimizar sujeto a 11 m,,2,1j K= 0xi ≥ ( ) j n 1i iij b,,xa ≥=≤∑= Decimos que el equivalente continuo es el relajamiento del PPLE. Programación Lineal Entera Un PPLE y su equivalente continuo tienen la misma estructura, sólo los diferencia el hecho de que en el segundo, las variables no están sujetas a valores enteros. 12
  7. 7. 7 ¿CÓMO RESOLVER UN PPLE? Dado un PPLE resolvemos su equivalente continuo si Programación Lineal Entera Dado un PPLE, resolvemos su equivalente continuo, si la solución óptima resulta entera, entonces esta solución del equivalente continuo será también la solución óptima del PPLE. Si la solución óptima del equivalente continuo tiene por lo menos una variable cuyo valor no es entero, entonces debemos utilizar técnicas de Programación 13 entonces debemos utilizar técnicas de Programación Entera. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL ESPACIO DE SOLUCIONES DE UN PPLE Programación Lineal Entera Consideremos el siguiente PPLE: y5x4ZMax += sujeto a 8yx ≤+ 14 10yx2 ≤+ 0enterosy,x ≥
  8. 8. 8 10 y Grafiquemos Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 q la primera restricción 15 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x x + y = 8 10 y Grafiquemos Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 2x + y = 10 q la segunda restricción 16 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x x + y = 8
  9. 9. 9 10 y Espacio de Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 p soluciones factibles del equivalente continuo 17 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x 10 y Buscando la Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 solución óptima del equivalente continuo 18 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x Z = 20
  10. 10. 10 10 y Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 19 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x Z = 30 10 y Solución Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 Z = 40 óptima del equivalente continuo x = 0 y = 8 Z = 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x
  11. 11. 11 10 y El espacio de Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 p soluciones factibles del equivalente continuo es un conjunto convexo 21 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x 10 y Espacio de Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 p soluciones factibles del PPLE no es un conjunto convexo 22 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x
  12. 12. 12 10 y Solución Programación Lineal Entera 4 5 6 7 8 9 10 Z = 40 óptima del PPLE x = 0 y = 8 Z = 40 23 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x OBSERVACIONES: 1) El espacio de soluciones factibles de un PPLE está Programación Lineal Entera 1) El espacio de soluciones factibles de un PPLE está formado por puntos aislados. 2) El espacio de soluciones factibles de un PPLE no es un conjunto convexo. 3) Ya no se puede hablar de puntos extremos. 4) En el ejemplo presentado la solución óptima del 24 4) En el ejemplo presentado, la solución óptima del equivalente continuo es ( x, y ) = ( 0, 8 ). Como esta solución es entera, será también solución del PPLE.
  13. 13. 13 ¿QUÉ DIFICULTADES SE PRESENTAN SI SE REDONDEA LA SOLUCIÓN DE UN PPLE? Programación Lineal Entera Si al resolver el equivalente continuo de un PPLE la solución no resulta entera y procedemos a redondear dicha solución se pueden presentar las siguientes dificultades: 1) La solución redondeada es no factible. 2) L l ió d d d f tibl 25 2) La solución redondeada es factible, pero no es óptima. 1) La solución redondeada es no factible. Consideremos el siguiente PPLE: Programación Lineal Entera Consideremos el siguiente PPLE: yxZMax += sujeto a 6yx2 ≤+ 4y2x ≤+ 26 4y2x ≤+ 0enterosy,x ≥
  14. 14. 14 y Grafiquemos Programación Lineal Entera 3 4 5 6 2x + y = 6 q la primera restricción 271 2 3 4 1 2 x y Grafiquemos Programación Lineal Entera 3 4 5 6 2x + y = 6 q la segunda restricción 281 2 3 4 1 2 x x + 2y = 4
  15. 15. 15 y Programación Lineal Entera 3 4 5 6 2x + y = 6 291 2 3 4 1 2 x x + 2y = 4 Espacio de Programación Lineal Entera 1 2 y p soluciones factibles del equivalente continuo 30 1 2 3 1 x
  16. 16. 16 Buscando la Programación Lineal Entera 1 2 y Z 1 solución óptima del equivalente continuo 31 1 2 3 1 x Z = 1 Programación Lineal Entera 1 2 y 32 1 2 3 1 x Z = 2
  17. 17. 17 Solución óptima del Programación Lineal Entera 1 2 y Z = 3.333 p equivalente continuo x = 2.6666 y = 0.6666 Z = 3.3333 33 1 2 3 x Solución Programación Lineal Entera 1 2 y redondeada x = 3 y = 1 Z = 4 solución no factible 34 1 2 3 1 x
  18. 18. 18 Espacio de Programación Lineal Entera 1 2 y p soluciones factibles del PPLE 35 1 2 3 1 x Solución Programación Lineal Entera 1 2 y Z = 3 óptima del PPLE x = 3, y = 0 ó x = 2, y = 1 Z = 3 36 1 2 3 1 x
  19. 19. 19 2) La solución redondeada es factible, pero no es óptima Programación Lineal Entera p Consideremos el siguiente PPLE: yx10ZMax += sujeto a 12y4x3 ≤+ 37 18yx8 ≤+ 0enterosy,x ≥ y 17 18 Grafiquemos Programación Lineal Entera 8x + y = 18 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 q las restricciones 381 2 3 4 1 2 3 4 5 6 x 7 3x + 4y = 12
  20. 20. 20 Espacio de Programación Lineal Entera 2 3 y p soluciones factibles del equivalente continuo 39 1 2 3 1 x Solución Programación Lineal Entera 2 3 y óptima del equivalente continuo x = 2.25 y = 0.00 Z = 22.5 40 1 2 3 1 x
  21. 21. 21 Solución Programación Lineal Entera 2 3 y redondeada x = 2 y = 0 Z = 20 solución no óptima 41 1 2 3 1 x Espacio de Programación Lineal Entera 2 3 y p soluciones factibles del PPLE 42 1 2 3 1 x
  22. 22. 22 Solución Programación Lineal Entera 2 3 y óptima del PPLE x = 2 y = 1 Z = 21 43 1 2 3 1 x SOLUCION DE UN PPLE TECNICA DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO Programación Lineal Entera TECNICA DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO Esta técnica consiste en insertar restricciones en el problema original (ACOTAMIENTO) y resolviendo por el método SIMPLEX se obtienen soluciones óptimas, con las cuales se construye un árbol de decisión (RAMIFICACION) siguiendo la dirección del árbol con el mejor valor óptimo obtenido hasta el momento 44 mejor valor óptimo obtenido hasta el momento.
  23. 23. 23 PROCEDIMIENTO.- 1) Resolver el equivalente continuo del PPLE esto Programación Lineal Entera 1) Resolver el equivalente continuo del PPLE, esto puede dar lugar a las siguientes posibilidades: a) Si la solución óptima obtenida es entera entonces fin del proceso, esta será la solución del PPLE. 45 b) En caso contrario tomamos una de las variables cuyo valor no es entero y generamos Programación Lineal Entera y y g dos restricciones. Por ejemplo, supongamos que )r(rx Ζ∉= r 46 [ ]rx ≤ [ ] 1rx +≥ donde [r] es el máximo entero de r.
  24. 24. 24 2) Resolver el equivalente continuo insertando la restricción x ≤ [r] y ubicamos el resultado en una de Programación Lineal Entera y las ramificaciones. Luego resolvemos el equivalente continuo considerando sólo la segunda restricción x ≥ [r] + 1 y ubicamos el resultado en la otra ramificación. 3) Si alguna solución obtenida es entera y no existe ramificación con algún valor óptimo mejor entonces 47 ramificación con algún valor óptimo mejor, entonces fin del proceso. En caso contrario continuar con el paso 1 en la ramificación que tenga el mejor valor óptimo hasta el momento. Ejemplo.- Resolver el siguiente PPLE Programación Lineal Entera Resolver el siguiente PPLE y4x3ZMax += sujeto a 18y3x2 ≤+ 56y7x8 ≤+ 48 56y7x8 ≤+ 0enterosy,x ≥
  25. 25. 25 y Programación Lineal Entera Acotando y ramificando x 3 4 5 6 x = 4.2 y = 3.2 Z = 25.4 49 1 2 43 5 6 7 1 2 x Programación Lineal Entera x = 4.2 y = 3.2 x = 4 y = 3.333 Z = 25.33 4x ≤ 50 y Z = 25.4 x = 5 y = 2.286 Z = 24.14 5x ≥
  26. 26. 26 y Programación Lineal Entera Acotando y ramificando y 3 4 5 6 x = 4 y = 3.333 Z = 25.33 x = 5 y = 2.286 Z 24 14 desde el mejor valor óptimo 51 1 2 43 5 6 7 1 2 x Z = 24.14 x = 4 y = 3 Z 24 3y ≤ Programación Lineal Entera x = 4.2 y = 3.2 x = 4 y = 3.333 Z = 25.33 Z = 24 x = 3 y = 4 Z = 25 4x ≤ 4y ≥ 52 y Z = 25.4 x = 5 y = 2.286 Z = 24.14 5x ≥
  27. 27. 27 y Programación Lineal Entera x = 3 El mejor valor óptimo 3 4 5 6 x = 5 y = 4 Z = 25 x = 4 y = 3 Z = 24 resulta Z=25 53 1 2 43 5 6 7 1 2 x y = 2.286 Z = 24.14 Observación.- 1) La solución óptima es: x = 3, y = 4, Z = 25. Programación Lineal Entera y4x3ZMax += sujeto a 18y3x2 ≤+ 1) La solución óptima es: x 3, y 4, Z 25. 2) A medida que aumentamos de nivel, el valor de la F.O. no mejora. 3) El problema resuelto con el método simplex fue: 54 18y3x2 ≤+ 56y7x8 ≤+ 0y,x ≥ 4x ≤ 4y ≥
  28. 28. 28 PROBLEMA 02.- Una compañía de transportes tiene 10 camiones Programación Lineal Entera Una compañía de transportes tiene 10 camiones grandes con capacidad de 40000 libras cada uno y 5 camiones pequeños con capacidad de 30000 libras cada uno. Los camiones grandes tienen un costo de operación de $30/milla y los pequeños $25/milla. 55 Para la próxima semana la compañía debe transportar 400000 libras de malta en un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos significa que por cada 2 camiones pequeños mantenidos en reserva, Programación Lineal Entera p q debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Determine el número óptimo de camiones a utilizar. 56
  29. 29. 29 SOLUCION.- Variables de decisión Programación Lineal Entera Variables de decisión G : número de camiones GRANDES a utilizar en el transporte. P : número de camiones PEQUEÑOS a utilizar en el transporte. 57 Restricción por cantidad a transportar: Restricciones Programación Lineal Entera Restricción por cantidad a transportar: 4003040 ≥+ PG 10≤G Restricción por número de camiones grandes: Restricción por número de camiones pequeños: 58 5≤P Restricción por número de camiones pequeños:
  30. 30. 30 Restricciones Restricciones de camiones en reserva: Programación Lineal Entera Restricciones de camiones en reserva: 2 10 5 ≤ − − G P GP 2205 −≤− 152 ≤− PG 59 0, ≥enterosPG Restricción por no negatividad Función objetivo Programación Lineal Entera PGZMin )800(25)800(30 += 60
  31. 31. 31 El programa queda: Programación Lineal Entera sujeto a PGZMin 2000024000 += 4003040 ≥+ PG 10≤G 61 5≤P 152 ≤− PG 0, ≥enterosPG NO FACTIBLE 2≤P Programación Lineal Entera G = 8.5 P = 2 G = 8 P = 2.666 Z = 245333.3 G = 7.75 P = 3 Z = 246000 G = 7 P = 4 Z = 248000 8≤G 3≥P 7≤G 62 Z = 24400 G = 9 P = 3 Z = 276000 G = 8 P = 3 Z = 252000 9≥G 8≥G
  32. 32. 32 Observación.- 1) La solución óptima es: G = 7, P = 4, Z = 24800 Programación Lineal Entera sujeto a 1) La solución óptima es: G 7, P 4, Z 24800 2) El problema resuelto con el método simplex fue: PGZMin 2000024000 += 4003040 ≥+ PG 8≤G 63 10≤G 5≤P 152 ≤− PG 0, ≥PG 7≤G 3≥P Programación Lineal Binaria 64
  33. 33. 33 PROBLEMA 03.- Una compañía tiene que escoger un conjunto de Programación Lineal Binaria Una compañía tiene que escoger un conjunto de proyectos de la siguiente lista para un horizonte de planeación de 3 años. Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total, pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquiera de los 3 años. 65 Unidad monetaria: $ 1000. AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 PROYECTO REINVERSIONES VALOR PRESENTE NETO Programación Lineal Binaria 1 30 80 10 80 2 40 70 50 96 3 50 60 70 88 4 60 60 10 92 5 70 40 10 76 6 20 30 90 87 66 7 20 50 20 78 8 25 80 60 81 9 40 20 15 94 PRESUPUESTO 300 320 220
  34. 34. 34 Unidad monetaria: $ 1000. Además se dan las siguientes condiciones: Programación Lineal Binaria Además se dan las siguientes condiciones: a) La compañía debe escoger de todas maneras uno de los proyectos 1 o 9, (o ambos). b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces el proyecto 8 también debe ser seleccionado. c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a 67 c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a la vez. SOLUCION: Variables de decisión: Programación Lineal Binaria Variables de decisión: ⎩ ⎨ ⎧= 0 1Pi si el Proyecto i es seleccionado en caso contrario i = 1, 2, 3, ...., 9 68
  35. 35. 35 Restricciones: Por presupuesto Programación Lineal Binaria Por presupuesto 30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300 80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320 10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220 Por selección del proyecto 1 o 9 P1 + P9 ≥ 1 69 Por posible selección de los proyectos 6 y 8 P6 - P8 ≤ 0 Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vez P1 + P3 ≤ 1 Programación Lineal Binaria Por binarios P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1} Función objetivo: Maximizamos el Valor presente Neto 70 Max Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94 P9
  36. 36. 36 Programación Lineal Binaria SOLUCION DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL BINARIA (PPLB).-( ) Los Problemas de Programación Lineal Binaria (PPLB) tiene la forma general de los PPL pero las variables sólo pueden tomar valores binarios (0,1). Para resolver un PPLB se puede utilizar los siguientes métodos: 71 1) Método de la Revisión Exhaustiva 2) Método Aditivo de Egon Balas Programación Lineal Binaria MÉTODO DE LA REVISÓN EXHAUSTIVA Este no es un método propiamente dicho Dado que lasEste no es un método propiamente dicho. Dado que las variables sólo toman valores {0,1} pueden revisarse todas las soluciones y determinar la solución óptima por comparación. El número de soluciones posibles esta dado por 2n donde n es el número de variables. 72
  37. 37. 37 Programación Lineal Binaria Ejemplo: Min Z = 5 x1 + 7 x2 + 10 x3 + 3 x4 + x5Min Z 5 x1 7 x2 10 x3 3 x4 x5 Sujeto a - x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 4 x5 ≤ 4 2 x1 - 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 - 2 x5 ≤ 0 x2 - 2 x3 + x4 + x5 ≥ 1 xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5 P t ti 25 32 l i ibl 73 Para este caso se tiene 25 = 32 soluciones posibles, algunas soluciones serán no factibles, pero en este método se deben revisar la totalidad de soluciones. Las soluciones factibles serán evaluadas en la función objetivo. Programación Lineal Binaria Soluciones posibles: SOLUCIONESSOLUCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Factible No Si No Si No No No No Si No Si No No No No No No Si No No No No No No Si No Si No No No No No Z - 1 - 4 - - - - 7 - 10 - - - - - - 6 - - - - - - 12 - 15 - - - - - 74 La solución es x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1 y Z = 1.
  38. 38. 38 Programación Lineal Binaria Min Z = 8 x + 7 x + 6 x + 5 x + x Ejemplo: Min Z = 8 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 5 x4 + x5 Sujeto a - 6 x1 - 3 x2 + 2 x3 - 4 x4 - x5 ≤ - 3 - 4 x1 - 5 x2 - 4 x3 - 3 x4 + 3 x5 ≤ -7 xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5 75 Programación Lineal Binaria SOLUCIONES Soluciones posibles: SOLUCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Factible No No No No No No No No No No Si No No No Si Si No No Si No Si No Si Si Si No Si Si Si Si Si Si Z - - - - - - - - - - 12 - - - 18 19 - - 13 - 14 - 19 20 15 - 20 21 21 22 26 27 76 La solución es x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0 y Z = 12.
  39. 39. 39 Programación Lineal Binaria Max Z = 3 x + 2 x 5 x 2 x + 3 x Ejemplo: Max Z = 3 x1 + 2 x2 - 5 x3 - 2 x4 + 3 x5 Sujeto a x1 + x2 + x3 + 2 x4 + x5 ≤ 4 7 x1 + 3 x3 - 4 x4 + 3 x5 ≤ 8 11 x1 - 6 x2 + 3 x4 - 3 x5 ≥ 3 xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5 77 Programación Lineal Binaria SOLUCIONES Soluciones posibles: SOLUCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 x4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Factible No No Si No No No Si No No No No No No No No No Si No Si Si No No Si No Si No Si No No No No No Z - - -2 - - - -7 - - - - - - - - - 3 - 1 4 - - -4 - 5 - 3 - - - - - 78 La solución es x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 y Z = 5.
  40. 40. 40 Programación Lineal Binaria MÉTODO ADITIVO DE EGON BALAS El método se basa en resolver un modelo deEl método se basa en resolver un modelo de minimización con coeficientes positivos en la función objetivo, de manera que se utilice el menor número de variables a fín de minimizar el valor óptimo de la función objetivo. INFACTIBILIDAD.- 79 Llamaremos infactibilidad al intervalo que produce una solución aplicada sobre una restricción, o un conjunto de éstas, y mide la distancia de la solución sobre un resultado factible. Programación Lineal Binaria Ejemplo.- Dado el siguiente conjunto de restricciones:Dado el siguiente conjunto de restricciones: 1xx3x2 321 ≤+− 1x2xx 321 ≥−+− La solución x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 0, produce: 0312 ≤−⇒≤− 0011 I f tibilid d 0 Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0 = 0 80 0011 ≤⇒≥ Infactibilidad 0 La solución x1 = 1, x2 = 0 y x3 = 0, produce: 0112 ≤⇒≤ 0211 ≤⇒≥− act b dad 0 0 0 Infactibilidad 1 Infactibilidad 2 Infactibilidad = 1+2 = 3
  41. 41. 41 PROCEDIMIENTO: 1) La función objetivo debe ser de Minimización en Programación Lineal Binaria 1) La función objetivo debe ser de Minimización, en caso de Maximización, usar la regla de equivalencia: Maximizar ( Z ) = Minimizar ( W = -Z ) Ejemplo: 21 x10x40ZMax −= 81 21 x10x40WMin +−= Una vez determinada la solución debe restablecerse la función objetivo original. Programación Lineal Binaria 2) Los coeficientes de la función objetivo deben ser no negativos, si algún ci es negativo, entonces seg g i g cambia xi por su complemento: ii x1x −= El cambio de la variable por su complemento, también debe efectuarse en todas las restricciones donde participa la variable. 82 21 x10x40WMin +−= 21 x10)x1(40WMin +−−= 40x10x40WMin 21 −+= 21 x10x40WMin +=
  42. 42. 42 Programación Lineal Binaria Una vez determinada la solución deben restablecerse las variables originales.g 3) Evaluar las restricciones tomando las variables el valor cero. Evaluar la infactibilidad, si resulta cero, es la solución óptima. 4) Añadir una variable xi = 1 al conjunto solución y evaluar la infactibilidad. ) Si l i f ibilid d l l l ió 83 5) Si algunas infactibilidades resultan cero, la solución óptima será la solución que tenga menor valor óptimo y fin del proceso. En caso contrario seleccionar la de menor infactibilidad y regresar al paso 4. Programación Lineal Binaria Ejemplo: Min Z = 5 x1 + 7 x2 + 10 x3 + 3 x4 + x5Min Z 5 x1 7 x2 10 x3 3 x4 x5 Sujeto a - x1 + 3 x2 + 5 x3 - x4 + 4 x5 ≤ 4 2 x1 - 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 - 2 x5 ≤ 0 x2 - 2 x3 + x4 + x5 ≥ 1 xi = {0,1} i = 1, 2, 3, 4, 5 84
  43. 43. 43 – x1 + 3 x2 + 5 x3 – x4 + 4 x5 – 4 ≤ 0 2 x1 – 6 x2 + 3 x3 + 2 x4 – 2 x5 ≤ 0 – x2 + 2 x3 – x4 – x5 + 1 ≤ 0 1a) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 04 ≤− Infactibilidad 0 00 ≤ Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0+1 = 1 01≤ Infactibilidad 1 2a) x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 05 ≤− 02 ≤ Infactibilidad 2 Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+2+1 = 3 01≤ Infactibilidad 1 85 01≤ Infactibilidad 1 2b) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0 01≤− 06 ≤− Infactibilidad 0 Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0+0 = 0 00 ≤ Infactibilidad 0 Z = 7 2c) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0 01≤ 03 ≤ Infactibilidad 3 Infactibilidad 1 Infactibilidad = 1+3+3 = 7 03 ≤ Infactibilidad 3 2d) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0d) 1 0, 2 0, 3 0, 4 , 5 0 05 ≤− 02 ≤ Infactibilidad 2 Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+2+0 = 2 00 ≤ Infactibilidad 0 2e) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1 00 ≤ Infactibilidad 0 86 02 ≤− Infactibilidad 0 Infactibilidad = 0+0+0 = 0 00 ≤ Infactibilidad 0 Z = 1 Solución óptima x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 y x5 = 1 para Z = 1. Se revisaron 6 soluciones. (Menor que 32).
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