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Unmsm fisi - problema de la asignación - io1 cl14 asignacion

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  • 1. 1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I Problema de Asignacióng Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal En este problema se estudia la asignación de tareas a diferentes equipos. Cada tarea es asignada a un sólo Problema de Asignación q p g equipo y cada equipo tendrá asignada una sóla tarea. El problema esta sujeto al número de tareas o equipos y los costos de asignación. El costo de asignación es el costo que cada equipo requiere para realizar cada una de las tareas. 2
  • 2. 2 Problema de Asignación et 1 1 e1 e2 t1 t2 Tareas Equipos c12 1 2 1 2 3 entm m n Este problema es un caso particular del problema de transporte, donde la oferta de cada punto de origen es Problema de Asignación p p g uno (1): 1oi = m,2,1,i K= y la demanda de cada punto de destino también es uno (1): 1dj = n,2,1,j K= 4
  • 3. 3 Problema balanceado.- Un problema de asignación esta balanceado cuando se Problema de Asignación Un problema de asignación esta balanceado cuando se tiene el mismo número de tareas y equipos. Objetivo del Problema de Asignación.- ∑∑ == = n 1j j n 1i i et 5 Objetivo del Problema de Asignación. El objetivo de este problema es determinar el mínimo costo para asignar las tareas a los equipos. Planteando el problema como un P.P.L. (problema balanceado).- Problema de Asignación ⎩ ⎨ ⎧= jequipoalitarealaasignaseNo0 jequipoalitarealaasignaseSi1 xij ) Variables de decisión.- :cij Costo de asignar la tarea i al equipo j 6 ⎩ jequipoalitarealaasignaseNo0
  • 4. 4 1 2 3 j n 1 n Equipos Problema de Asignación 1 2 3 j n-1 n 1 c11 c12 c13 c1j c1 n-1 c1n 2 c21 c22 c23 c2j c2 n-1 c2n 3 c31 c32 c33 c3j c3 n-1 c3n i ci1 ci2 ci3 cij ci n 1 cin Tareas 7 i ci1 ci2 ci3 cij ci n-1 cin n-1 cn-1 1 cn-1 2 cn-1 3 cn-1 j cn-1 n-1 cn-1 n n cn1 cn2 cn3 cnj cn n-1 cnn T 1 2 3 j n 1 n Equipos Problema de Asignación 1 2 3 j n-1 n 1 x11 x12 x13 x1j x1 n-1 x1n 2 x21 x22 x23 x2j x2 n-1 x2n 3 x31 x32 x33 x3j x3 n-1 x3n i xi1 xi2 xi3 xij xi n 1 xin Tareas 8 i xi1 xi2 xi3 xij xi n-1 xin n-1 xn-1 1 xn-1 2 xn-1 3 xn-1 j xn-1 n-1 xn-1 n n xn1 xn2 xn3 xnj xn n-1 xnn T
  • 5. 5 C d li d ól i Restricciones.- Problema de Asignación 1xxx 1n1211 =+++ L M 1xxx 2n2221 =+++ L Cada tarea es realizada por un sólo equipo (tarea 1) (tarea 2) 9 1xxx nnn2n1 =+++ L (tarea n) Cada equipo realiza una sóla tarea (Equipo 1)1xxx +++ Problema de Asignación M (Equipo 1) (Equipo 2) (Equipo n) 1xxx n12111 =+++ L 1xxx n22212 =+++ L 1xxx =+++ L 10 (Equipo n)1xxx nn2n1n +++ Por no negatividad { }1,0xij = n,2,1,i K= n,2,1,j K=
  • 6. 6 Mi i i l d i ió d Función Objetivo.- Problema de Asignación Minimizar el costo de asignación de tareas nnnnijij12121111 xcxcxcxcZMin +++++= LL 11 ZMi El modelo queda: Problema de Asignación nnnnijij12121111 xcxcxcxcZMin +++++= LL 1xxx 1n1211 =+++ L 1xxx 2n2221 =+++ L 1xxx n12111 =+++ L 1xxx n22212 =+++ L Por tareas Por equipos Sujeto a: 12 M 2n2221 1xxx nnn2n1 =+++ L M n22212 1xxx nn2n1n =+++ L { }1,0xij = n,2,1,i K= n,2,1,j K=
  • 7. 7 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE ASIGNACION.- La utilización del método SIMPLEX o loa métodos del Problema de Asignación La utilización del método SIMPLEX o loa métodos del Problema de Transporte, no resultan eficientes para resolver el Problema de Asignación, por lo cual se utiliza otro método denominado METODO HÚNGARO. El Método Húngaro se desarrolló por Kuhn, basado en un trabajo de Egerváry y Konig. Fue Kuhn quien lo denominó: Método Húngaro 13 denominó: Método Húngaro. CARACTERÍSTICA DEL MÉTODO.- El método a estudiar tiene la siguiente característica: Problema de Asignación El método a estudiar tiene la siguiente característica: a) Se garantiza la solución óptima. b) El procedimiento requiere que la matriz de costos sea no negativa. c) La solución óptima se obtiene en una matriz de costos equivalente cuyo valor óptimo es cero (0). 14 costos equivalente cuyo valor óptimo es cero (0). d) El problema planteado debe estar balanceado: ∑∑ == = n 1j j n 1i i et
  • 8. 8 e) La solución óptima no varía si a la matriz original se le incrementa un valor k a cada celda. Pero el valor Problema de Asignación Z se incrementa en nk. f) La solución óptima no varía si a la matriz original se le incrementa un valor k a una fila o columna. Pero el valor Z se incrementa en k. 15 MÉTODO HÚNGARO.- 1) R d ió fil Problema de Asignación 1) Reducción por filas.- Determinar el mínimo valor de cada fila y restarlo a todas las celdas de su correspondiente fila. Esto garantiza un cero en cada fila.. 2) Reducción por columnas.- Determinar el mínimo valor de cada columna y 16 Determinar el mínimo valor de cada columna y restarlo a todas las celdas de su correspondiente columna. Esto garantiza un cero en cada columna.
  • 9. 9 3) Cubrimiento de ceros.- Con el mínimo número de rectas cubrir los ceros de Problema de Asignación la matriz reducida. Empezar por la fila o columna que tenga el mayor número de ceros. Si el número de rectas resulta igual a n (número de tareas o equipos) se ha llegado a la solución óptima Pasar al paso 5 de lo contrario pasar al 17 óptima. Pasar al paso 5, de lo contrario pasar al paso 4. 4) Reducción posterior.- Localizar la celda no cubierta de menor costo. Restar el valor determinado a las celdas no cubiertas. Problema de Asignación Sumar el valor determinado a las celdas que se encuentren en la intersección de las rectas. Regresar al paso 3. 5) Localización de la solución.- Determinar las filas que tengan un único valor cero i l li i l l 18 y asignarlos, eliminar las columnas correspondientes. Determinar las columnas que tengan un único valor cero y asignarlos, eliminar las filas correspondientes.
  • 10. 10 Repetir este procedimiento tantas veces sea necesario. Problema de Asignación En caso de celdas con empates seleccionar arbitrariamente. La asignación localizada de valor cero, implantarla en la matriz de costos original y determinar el valor de Z. 19 CONSIDERACIONES SUPLEMENTARIAS EN EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.- Problema de Asignación 1) El problema esta desbalanceado: Si se tienen más tareas que equipos añadir Aquí se observan algunos problemas que ocurren con el modelo original. En los casos siguientes se realizan cambios sobre el modelo afín de utilizar el mismo procedimiento resolutivo. 20 Si se tienen más tareas que equipos, añadir equipos ficticios igual a la diferencia: Equipos ficticios = tareas - equipos El costo de asignación a estos equipos es igual a cero.
  • 11. 11 Si se tienen más equipos que tareas, añadir tareas ficticias igual a la diferencia: Problema de Asignación g Tareas ficticias = equipos - tareas El costo de asignación a estas tareas es igual a cero. 21 2) Soluciones múltiples: Si en la solución óptima del problema de Problema de Asignación Si en la solución óptima del problema de asignación se tienen otras posibles asignaciones con valor cero, estas constituyen soluciones alternativas óptimas. 22
  • 12. 12 3) Caso de Maximización: Si la matriz de costos del problema de asignación Problema de Asignación Si la matriz de costos del problema de asignación son beneficios, la función objetivo es de maximización. Multiplicar por –1 cada costo, y restarle a cada celda el valor más negativo. 23 4) Rutas prohibidas: Si se requiere que en la solución del problema no Problema de Asignación Si se requiere que en la solución del problema no se encuentre la variable xij (xij = 0), se coloca como costo cij un valor bastante grande: Mcij = 24
  • 13. 13 PROBLEMA.- Una compañía ha sido contratada para realizar cinco Problema de Asignación Una compañía ha sido contratada para realizar cinco trabajos. Estos trabajos pueden efectuarse en seis de sus plantas de manufactura. Debido a la magnitud de los trabajos, no es factible asignar más de un trabajo a una planta de manufactura particular. También, el segundo trabajo no puede asignarse a la tercera planta de manufactura. Los costos estimados, en miles de 25 , dólares, para la ejecución de los trabajos en las distintas plantas de manufactura se resumen a continuación: Problema de Asignación TRABAJOS 1 2 3 4 5 6 PLANTAS 1 50 55 42 57 48 52 2 66 70 - 68 75 63 3 81 78 72 80 85 78 4 40 42 38 45 46 42 5 62 55 58 60 56 65 26 Plantee y resuelva el problema de asignar los trabajos a las plantas de forma que el costo total sea mínimo.
  • 14. 14 PROBLEMA.- Sofía Susana y Sandra salen a un compromiso con Problema de Asignación Sofía, Susana y Sandra salen a un compromiso con Daniel, Guillermo y Andrés. A Sofía le gusta Guillermo dos veces más que Daniel y tres veces más que Andrés. A Susana le gusta Guillermo tres veces más que Daniel y cinco veces más que Andrés (Andrés es un perdedor!). A Sandra le gusta tanto Daniel como Guillermo, y ambos le gustan aproximadamente cinco 27 , y g p veces más que Andrés. ¿Cómo es posible formar las parejas de modo que las chicas estén lo más contentas posible?. Si una chica desea permanecer en casa, ¿cuál debe ser?. ¿Que chico perderá el compromiso?