Unmsm fisi - estudio de casos de problemas de programación lineal - io1 cl05

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Unmsm fisi - estudio de casos de problemas de programación lineal - io1 cl05

  1. 1. 1 Estudio de casos de problemas de Programación Lineal Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I 2 CASO 1: ASIGNACION DE RECURSOS AGRICOLAS Una Cooperativa opera 3 granjas. Los datos acerca de las granjas son las siguientes: TERRENO AGUA UTILIZABLE DISPONIBLE (ha) (m3 ) 1 700 2000 2 800 2400 3 600 1500 GRANJA La Cooperativa considera sembrar 4 productos A, B, C y D. Estudio de Casos de PPL
  2. 2. 2 3 No se puede mostrar la imagen en este momento. CANTIDAD CONSUMO UTILIDAD MAXIMA DE DE ESPERADA TERRENO AGUA POR HECTAREA (ha) (m3/ha) ($) A 500 5 2000 B 700 4 1500 C 400 3 1000 D 600 4 1500 PRODUCTO Además para mantener una carga uniforme de trabajo, se establece que en todas las granjas se debe utilizar el mismo porcentaje de terreno. Determine el plan óptimo de sembrío para maximizar la utilidad esperada. Estudio de Casos de PPL 4 SOLUCION: Determinando los posibles sembrios en cada granja: 1 2 3 A A1 A2 A3 B B1 B2 B3 C C1 C2 C3 D D1 D2 D3 Estudio de Casos de PPL
  3. 3. 3 5 1 2 3 A B C D PRODUCTOS GRANJAS A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D2D1 D3 Estudio de Casos de PPL 6 Variables de decisión: Ai i = 1, 2, 3 Bi i = 1, 2, 3 Ci i = 1, 2, 3 Ejemplo C2: número de hectáreas a sembrar del producto C en la granja 2 Estudio de Casos de PPL
  4. 4. 4 7 Restricciones: Por terreno utilizable A1 + B1 + C1 + D1 ≤ 700 A2 + B2 + C2 + D2 ≤ 800 A3 + B3 + C3 + D3 ≤ 600 5 A3 + 4 B3 + 3 C3 + 4 D3 ≤ 1500 Por agua disponible 5 A1 + 4 B1 + 3 C1 + 4 D1 ≤ 2000 5 A2 + 4 B2 + 3 C2 + 4 D2 ≤ 2400 Estudio de Casos de PPL 8 Por cantidad máxima a sembrar de cada producto A1 + A2 + A3 ≤ 500 B1 + B2 + B3 ≤ 700 C1 + C2 + C3 ≤ 400 7 A3 + 7 B3 + 7 C3 + 7 D3 – 6 A1 – 6 B1 – 6 C1 – 6 D1 = 0 Por carga uniforme de trabajo 8 A1 + 8 B1 + 8 C1 + 8 D1 – 7 A2 – 7 B2 – 7 C2 – 7 D2 = 0 8 A3 + 8 B3 + 8 C3 + 8 D3 – 6 A2 – 6 B2 – 6 C2 – 6 D2 = 0 D1 + D2 + D3 ≤ 600 600 3D3C3B3A 800 2D2C2B2A 700 1D1C1B1A +++ = +++ = +++ Estudio de Casos de PPL
  5. 5. 5 9 Por no negatividad A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3 ≥ 0 Función objetivo: Maximizamos la utilidad Max Z = 2000 (A1 + A2 + A3) + 1500 (B1 + B2 + B3) + 1000 (C1 + C2 + C3) + 1500 (D1 + D2 + D3) Estudio de Casos de PPL 10 Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro y en la popa. Los límites de capacidad son: Capacidad Peso Volumen (Ton) (Pies 3 ) Proa 2,000 100,000 Centro 3,000 135,000 Popa 1,500 30,000 Bodega CASO 2: CARGA DEL BARCO Estudio de Casos de PPL
  6. 6. 6 11 Se ofrecen los siguientes cargamentos y los dueños de los barcos pueden aceptar el total o una porción cualquiera de cada artículo. Cantidad Ganacia Peso Vol/Ton por Ton (Ton) (Pies 3 ) ($) A 6,000 60 6 B 4,000 50 8 C 2,000 25 5 Artículo Estudio de Casos de PPL 12 Para preservar el equilibrio de barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe distribuirse la carga para hacer máxima la ganancia? Estudio de Casos de PPL
  7. 7. 7 13 La siguiente gráfica permite visualizar el problema e identificar las variables de decisión. POPA CENTRO PROA A B C A1 A2A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 SOLUCION: Estudio de Casos de PPL 14 Variables de decisión: Ai i = 1, 2, 3 Bi i = 1, 2, 3 Ci i = 1, 2, 3 Ejemplo C1: cantidad de toneladas del producto C que se transporta en la bodega 1 (proa) i = 1 (Proa), 2 (Centro) y 3 (Popa) Estudio de Casos de PPL
  8. 8. 8 15 Por límite de cantidad de artículos Restricciones Por límite de capacidad de peso del barco A1 + A2 + A3 ≤ 6000 B1 + B2 + B3 ≤ 4000 C1 + C2 + C3 ≤ 2000 A1 + B1 + C1 ≤ 2000 A2 + B2 + C2 ≤ 3000 A3 + B3 + C3 ≤ 1500 Estudio de Casos de PPL 16 Por límite de capacidad de volumen del barco Por equilibrio del barco 60 A1 + 50 B1 + 25 C1 ≤ 100000 60 A2 + 50 B2 + 25 C2 ≤ 135000 60 A3 + 50 B3 + 25 C3 ≤ 30000 500,1 3C3B3A 000,3 2C2B2A 000,2 1C1B1A ++ = ++ = ++ 3 A1 + 3 B1 + 3 C1 – 2 A2 – 2 B2 – 2 C2 = 0 2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – 1.5 A1 – 1.5 B1 – 1.5 C1 = 0 2 A3 + 2 B3 + 2 C3 – A2 – B2 – C2 = 0 Estudio de Casos de PPL
  9. 9. 9 17 Por no negatividad A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 ≥ 0 Función objetivo: Maximizamos la ganancia Max Z = 6 A1 + 6 A2 + 6 A3 + 8 B1 + 8 B2 + 8 B3 + 5 C1 + 5 C2 + 5 C3 Estudio de Casos de PPL 18 CASO 3: PROBLEMA DE LOS CORTES DE PAPEL Una compañía papelera produce rollos de 3 dimensiones: Rollo Dimensión (cm.) A 100 B 150 C 200 Estudio de Casos de PPL
  10. 10. 10 19 La compañía tiene los siguientes pedidos de papel: Dimensión Cantidad pedida (cm.) (und.) 50 180 70 200 80 150 90 80 Estudio de Casos de PPL 20 Además se sabe que para la próxima semana sólo se tendrán disponibles: Rollo Disponible (und.) A gran cantidad B 115 C 90 Plantee un modelo para determinar una planificación óptima de cortes y resuelva utilizando LINDO/PC. Estudio de Casos de PPL
  11. 11. 11 21 SOLUCION: Determinando las modalidades de cortes Rollo A = 100 cm. Corte A1 A2 A3 A4 50 cm 2 - - - 70 cm - 1 - - 80 cm - - 1 - 90 cm - - - 1 Desperdicio 0 30 20 10 Estudio de Casos de PPL 22 Rollo B = 150 cm. Corte B1 B2 B3 B4 B5 B6 50 cm 3 1 1 1 - - 70 cm - 1 - - 2 1 80 cm - - 1 - - 1 90 cm - - - 1 - - Desperdicio 0 30 20 10 10 0 Rollo C = 200 cm. Corte C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 50 cm 4 2 2 2 1 1 - - - - 70 cm - 1 - - 2 1 1 - - - 80 cm - - 1 - - 1 - 2 1 - 90 cm - - - 1 - - 1 - 1 2 Desperdicio 0 30 20 10 10 0 40 40 30 20 Estudio de Casos de PPL
  12. 12. 12 23 Variables de decisión: Ai i = 1, 2, 3, 4 Bi i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Ejemplo C5: número de veces que se utiliza el proceso de corte C5 Estudio de Casos de PPL 24 Restricciones: Por cantidad pedida 2 A1 + 3 B1 + B2 + B3 + B4 + 4 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 2 C4 + C5 + C6 = 180 A2 + B2 + 2 B5 + B6 + C2 + 2 C5 + C6 + C7 = 200 A3 + B3 + B6 + C3 + C6 + 2 C8 + C9 = 150 A4 + B4 + C4 + C7 + C9 + 2 C10 = 80 Por disponibilidad B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 ≤ 115 C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 + C8 + C9 + C10 ≤ 80 Estudio de Casos de PPL
  13. 13. 13 25 Por enteros no negativos A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5, B6, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10 enteros ≥ 0 Función objetivo: Minimizamos el desperdicio Min Z = 30 A2 + 20 A3 + 10 A4 + 30 B2 + 20 B3 + 10 B4 + 10 B5 + 30 C2 + 20 C3 + 10 C4 + 10 C5 + 40 C7 + 40 C8 + 30 C9 + 20 C10 Estudio de Casos de PPL 26 CASO 4: SELECCIÓN DE PROYECTOS Una compañía tiene que escoger un conjunto de proyectos de la siguiente lista para un horizonte de planeación de 3 años. Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total, pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquiera de los 3 años. Unidad monetaria: $ 1000. Estudio de Casos de PPL
  14. 14. 14 27 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 1 30 80 10 80 2 40 70 50 96 3 50 60 70 88 4 60 60 10 92 5 70 40 10 76 6 20 30 90 87 7 20 50 20 78 8 25 80 60 81 9 40 20 15 94 PRESUPUESTO 300 320 220 PROYECTO REINVERSIONES VALOR PRESENTE NETO Estudio de Casos de PPL 28 Unidad monetaria: $ 1000. Además se dan las siguientes condiciones: a) La compañía debe escoger de todas maneras uno de los proyectos 1 o 9, (o ambos). b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces el proyecto 8 también debe ser seleccionado. c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a la vez. Estudio de Casos de PPL
  15. 15. 15 29 SOLUCION: Variables de decisión: Estudio de Casos de PPL ⎩ ⎨ ⎧= 0 1Pi si el Proyecto i es seleccionado en caso contrario i = 1, 2, 3, ...., 9 30 Restricciones: Por presupuesto 30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300 80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320 10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220 Por selección del proyecto 1 o 9 P1 + P9 ≥ 1 Estudio de Casos de PPL Por posible selección de los proyectos 6 y 8 P6 - P8 ≤ 0
  16. 16. 16 31 Por binarios P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1} Función objetivo: Maximizamos el Valor presente Neto Max Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94 P9 Estudio de Casos de PPL Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vez P1 + P3 ≤ 1 32 CASO 5: PLANIFICACION FINANCIERA Un inversionista dispone de un capital de $ 100,000 y trata de determinar en que actividades le será más conveniente invertir durante un horizonte de planificación de 6 años. Estudio de Casos de PPL
  17. 17. 17 33 Plantee un modelo de Programación Lineal para determinar un plan óptimo de inversiones. A 1, 2, 3, 4, 5 1.4 al cabo de 2 años B 1, 2, 3, 4 1.6 al cabo de 3 años C 6 1.3 al cabo de 1 año D 2, 3 1.8 al cabo de 4 años E 4 1.8 al final del año 6 RETORNO POR CADA DÓLAR INVERTIDO ACTIVIDAD DISPONIBLE A INICIO DEL AÑO Estudio de Casos de PPL 34 SOLUCION: Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad A: Estudio de Casos de PPL año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6 A1 A2 A3 A4 A5
  18. 18. 18 35 Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad B: Estudio de Casos de PPL año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6 B1 B2 B3 B4 Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad C: año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6 C6 36 Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad D: Estudio de Casos de PPL Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad E: año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6 D2 D3 año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6 E4
  19. 19. 19 37 Variables de decisión: Ai i = 1, 2, 3, 4, 5 Bi i = 1, 2, 3, 4 Ci i = 6 Ejemplo B2: cantidad a invertir en la actividad B a inicio del año 2. Estudio de Casos de PPL Di i = 2, 3 Ei i = 4 38 Estudio de Casos de PPL 1 100,000 A1 + B1 S1 2 S1 A2 + B2 + D2 S2 3 S2 + 1.4 A1 A3 + B3 + D3 S3 4 S3 + 1.4 A2 + 1.6 B1 A4 + B4 + E4 S4 5 S4 + 1.4 A3 + 1.6 B2 A5 S5 6 S5 + 1.4 A4 + 1.6 B3 + 1.8 D2 C6 S6 CANTIDAD DISPONIBLEA INICIO DEL AÑO i CANTIDAD A INVERTIR EN EL AÑO i CANTIDAD DISPONIBLEAL FINAL DEL AÑO i AÑO i
  20. 20. 20 39 Restricciones: Por planes seleccionados A1 + B1 + S1 = 100000 A2 + B2 + D2 + S2 – S1 = 0 A3 + B3 + D3 + S3 – S2 – 1.4 A1 = 0 A4 + B4 + E4 + S4 – S3 – 1.4 A2 – 1.6 B1 = 0 Estudio de Casos de PPL Por no negatividad A1, A2, A3, A4, A5, B1, B2, B3, B4, C6, D2, D3, E4 ≥ 0 A5 + S5 – S4 – 1.4 A3 – 1.6 B2 = 0 C6 + S6 – S5 – 1.4 A4 – 1.6 B3 – 1.8 D2 = 0 40 Función objetivo: Maximizamos el retorno Max Z = S6 + 1.4 A5 + 1.6 B4 + 1.3 C6 + 1.8 D3 + 1.8 E4 Estudio de Casos de PPL
  21. 21. 21 41 CASO 6: PROGRAMACION DE TURNOS DE VIGILANTES Una compañía requiere la siguiente cantidad de vigilantes durante las 24 horas de cada día. 2 - 6 8 6 - 10 6 10 - 14 7 14 - 18 10 18 - 22 12 22 - 2 9 HORAS CANTIDAD MINIMA Estudio de Casos de PPL 42 Cada vigilante trabaja 8 horas/día en forma continua y cobra según los siguientes turnos: Estudio de Casos de PPL Plantee un modelo de Programación Lineal para minimizar el costo de vigilantes necesarios para cubrir los requerimientos. TURNO PERIODO Costo-hora ($) 1 6 - 14 10 2 14 - 22 12 3 22 - 6 18
  22. 22. 22 43 SOLUCION: Grafiquemos el requerimiento de vigilantes: Estudio de Casos de PPL 2 6 10 14 18 22 2 76 10 12 98 Los posibles ingresos de vigilantes: 2 6 10 14 18 22 2 76 10 12 98 V2 V6 V10 V14 V18 V22 44 Estudio de Casos de PPL 2 6 10 14 18 22 2 V2 V6 V10 V14 V18 V22
  23. 23. 23 45 Variables de decisión: V2, V6, V10, V14, V18, V22 Ejemplo V10: número de vigilantes que entran a trabajar a las 10. Estudio de Casos de PPL 46 Restricciones: Por cubrimiento V2 + V6 ≥ 6 V6 + V10 ≥ 7 V10 + V14 ≥ 10 V14 + V18 ≥ 12 Estudio de Casos de PPL Por no negatividad V2, V6, V10, V14, V18, V22 enteros ≥ 0 V18 + V22 ≥ 9 V2 + V22 ≥ 8
  24. 24. 24 47 Estudio de Casos de PPL 2 6 10 14 18 22 2 TURNO 3 V2 V6 V10 V14 V18 V22 TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 VIGILANTES TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 TOTAL V2 40 72 112 V6 80 80 V10 40 48 88 V14 96 96 V18 48 72 120 V22 144 144 48 Función objetivo: Minimizamos el pago por vigilantes Min Z = 112 V2 + 80 V6 + 88 V10 + 96 V14 + 120 V18 + 144 V22 Estudio de Casos de PPL

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