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Problemas de
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Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
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Una región factible es no acotada si qued...
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Una restricción es redundante cuando no part...
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Unmsm fisi - casos especiales de problemas de programación lineal - io1 cl07

  1. 1. 1 Casos Especiales de Problemas de Programación Lineal Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 2 Casos Especiales Según la región factible que se forma
  2. 2. 2 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 3 REGION FACTIBLE ACOTADA: Una región factible es acotada si queda representada por una región cerrada. Ejemplo Graficar el siguiente conjunto de restricciones: Casos Especiales 16xx2 21 ≤+ 04x5x2 21 ≤+ 0x,x 21 ≥ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 4 Casos Especiales REGION FACTIBLE ACOTADA X2 X1 85 6 8
  3. 3. 3 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 5 REGION FACTIBLE NO ACOTADA: Una región factible es no acotada si queda representada por una región abierta. Ejemplo Graficar el siguiente conjunto de restricciones: Casos Especiales 50x7x2- 21 ≤+ 12x3x4- 21 ≤+ 0x,x 21 ≥ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 6 Casos Especiales REGION FACTIBLE NO ACOTADA X2 X1 (10,10) 3 4 8
  4. 4. 4 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 7 Ejemplo Graficar el siguiente conjunto de restricciones: Casos Especiales 7xx2 21 ≥+ 27x7x3 21 ≥+ 0x,x 21 ≥ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 8 Casos Especiales X2 X1 REGION FACTIBLE NO ACOTADA 3 7 92
  5. 5. 5 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 9 NO SE FORMA REGION FACTIBLE: El conjunto de restricciones no forma una región factible. Decimos que la región factible es un conjunto vacío. Ejemplo Graficar el siguiente conjunto de restricciones: Casos Especiales 40x8x5 21 ≤+ 72x9x8 21 ≥+ 0x,x 21 ≥ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 10 Casos Especiales NO SE FORMA REGION FACTIBLE X2 X1 8 5 8 9
  6. 6. 6 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 11 RESTRICCION REDUNDANTE: Una restricción es redundante cuando no participa en la delimitación de la región factible. El sistema puede ser resuelto sin esta restricción. Ejemplo Graficar el siguiente conjunto de restricciones: Casos Especiales 40x8x5 21 ≤+ 72x9x8 21 ≤+ 0x,x 21 ≥ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 12 Casos Especiales X2 X1 RESTRICCIÓN REDUNDANTE 8 5 8 9
  7. 7. 7 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 13 Casos Especiales Según la solución del P.P.L. Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 14 SOLUCION UNICA: El P.P.L. presenta una única solución óptima. Ejemplo Determinar la solución óptima de: Casos Especiales 0x,x 21 ≥ 21 x5x5ZMax += sujeto a 16xx2 21 ≤+ 04x5x2 21 ≤+
  8. 8. 8 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 15 Casos Especiales X2 X1 SOLUCIÓN ÚNICA 85 6 8 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 16 Casos Especiales Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -5 -5 0 0 0 x3 0 2 5 1 0 40 20 x4 0 2 1 0 1 16 8 1 0 -5/2 0 5/2 40 x3 0 0 4 1 -1 24 6 x1 5 1 1/2 0 1/2 8 16 1 0 0 5/8 15/8 55 x2 5 0 1 1/4 -1/4 6 x1 5 1 0 -1/8 5/8 5 Θ
  9. 9. 9 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 17 Casos Especiales 5x1 = Solución: 6x2 = 0x3 = 0x4 = 55Z = Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 18 Ejemplo Determinar la solución óptima de: Casos Especiales 7xx2 21 ≥+ 27x7x3 21 ≥+ 0x,x 21 ≥ 21 x5x5ZMin += sujeto a
  10. 10. 10 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 19 Casos Especiales X2 X1 3 7 92 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 20 Casos Especiales Primera Fase: Z x1 x2 x3 x4 w1 w2 Sol. Z 1 0 0 0 0 -1 -1 w1 1 3 7 -1 0 1 0 27 w2 1 2 1 0 -1 0 1 7 1 5 8 -1 -1 0 0 34 w1 1 3 7 -1 0 1 0 27 3,86 w2 1 2 1 0 -1 0 1 7 7,00 1 11/7 0 1/7 -1 -8/7 0 22/7 x2 0 3/7 1 -1/7 0 1/7 0 27/7 9,00 w2 1 11/7 0 1/7 -1 -1/7 1 22/7 2,00 1 0 0 0 0 -1 -1 0 x2 0 0 1 -2/11 3/11 2/11 -3/11 3 x1 0 1 0 1/11 -7/11 -1/11 7/11 2 Θ
  11. 11. 11 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 21 Casos Especiales Segunda Fase: Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -5 -5 0 0 x2 5 0 1 -2/11 3/11 3 x1 5 1 0 1/11 -7/11 2 1 0 0 -5/11 -20/11 25 x2 5 0 1 -2/11 3/11 3 x1 5 1 0 1/11 -7/11 2 Θ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 22 Casos Especiales 2x1 = Solución: 3x2 = 0x3 = 0x4 = 25Z =
  12. 12. 12 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 23 MÚLTIPLES SOLUCIONES: El P.P.L. presenta más de una solución óptima. Ejemplo Determinar la solución óptima de: Casos Especiales 0x,x 21 ≥ 21 x10x4ZMax += sujeto a 16xx2 21 ≤+ 04x5x2 21 ≤+ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 24 Casos Especiales X2 X1 MÚLTIPLES SOLUCIONES 85 6 8
  13. 13. 13 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 25 Casos Especiales Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -4 -10 0 0 0 x3 0 2 5 1 0 40 8,00 x4 0 2 1 0 1 16 16,00 1 0 0 2 0 80 x2 10 2/5 1 1/5 0 8 x4 0 8/5 0 -1/5 1 8 1 0 0 2 0 80 x2 10 0 1 1/4 -1/4 6 x1 4 1 0 -1/8 5/8 5 Θ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 26 Casos Especiales ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 6 5 λ)(1 8 0 8 0 λ x x x x 4 3 2 1 Solución: 1λ0 ≤≤ donde
  14. 14. 14 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 27 Casos Especiales ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 0 7 2.5 0 0 6 5 )5.0(1 8 0 8 0 5.0 Ejemplo: 0.5λ = 80)4(0)0(0)7(10)5.2(4Z =+++= Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 28 Casos Especiales SOLUCIÓN NO ACOTADA: La solución del P.P.L. crece indefinidamente debido a que la búsqueda se realiza sobre una región no acotada. Este modelo no tiene solución. Ejemplo Determinar la solución óptima de: 21 x5x5ZMax += sujeto a 50x7x2- 21 ≤+ 12x3x4- 21 ≤+ 0x,x 21 ≥
  15. 15. 15 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 29 Casos Especiales X2 X1 SOLUCIÓN NO ACOTADA (10,10) 3 4 8 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 30 Casos Especiales Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -5 -5 0 0 0 x3 0 -4 3 1 0 12 4,00 x4 0 -2 7 0 1 50 7,14 1 -35/3 0 5/3 0 20 x2 5 -4/3 1 1/3 0 4 x4 0 22/3 0 -7/3 1 22 1 0 0 -45/22 35/22 55 x2 5 0 1 -1/11 2/11 8 x1 5 1 0 -7/22 3/22 3 Θ
  16. 16. 16 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 31 Casos Especiales La variable que debe ingresar a la base es x3, se verifica la condición de optimalidad, pero no es posible seleccionar una variable de salida, no se cumple la condición de factibilidad. El modelo planteado no presenta solución. Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 32 Casos Especiales SOLUCIÓN SIN REGION FACTIBLE: El conjunto de restricciones no forma una región factible. Este modelo no tiene solución. Ejemplo Determinar la solución óptima de: 21 x5x5ZMax += sujeto a 40x8x5 21 ≤+ 72x9x8 21 ≥+ 0x,x 21 ≥
  17. 17. 17 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 33 Casos Especiales X2 X1 8 5 8 9 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 34 Casos Especiales Z x1 x2 x3 x4 w1 Sol. Z 1 0 0 0 0 -1 0 w1 1 8 9 -1 0 1 72 x4 0 5 8 0 1 0 40 Z 1 8 9 -1 0 0 72 w1 1 8 9 -1 0 1 72 8,00 x4 0 5 8 0 1 0 40 5,00 Z 1 19/8 0 -1 -9/8 0 27 w1 1 19/8 0 -1 -9/8 1 27 11,37 x2 0 5/8 1 0 1/8 0 5 8,00 Z 1 0 -19/5 -1 -8/5 0 8 w1 1 0 -19/5 -1 -8/5 1 8 x1 0 1 8/5 0 1/5 0 8 Θ Primera Fase:
  18. 18. 18 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 35 Casos Especiales Se alcanza un tablero óptimo, pero la variable artificial no ha salido de la base. El modelo planteado no presenta región factible. Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 36 SOLUCIÓN DEGENERADA: Una vez localizada la variable que ingresa, (condición de optimalidad, para casos de empate, se elige arbitrariamente cualquiera de ellas). Para la variable de salida, (condición de factibilidad), si ocurre un empate en los cocientes entre 2 o más variables básicas, puede ocasionar un problema de ciclaje, o el retorno a una solución anterior. También origina que algunas variable básicas tomen el valor cero. Casos Especiales
  19. 19. 19 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 37 Ejemplo Determinar la solución óptima de: 21 10xx4ZMax += 40x8x5 21 ≤+ 30x6x5 21 ≤+ 0x,x 21 ≥ sujeto a Casos Especiales Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 38 Casos Especiales 2 1 X2 X1
  20. 20. 20 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 39 Casos Especiales La solución óptima resulta: 0x1 =5x2 = 0x3 =0x4 = 50Z = Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -4 -10 0 0 0 x3 0 5 6 1 0 30 5 x4 0 5 8 0 1 40 5 Z 1 4.333 0 1.667 0 50 x2 10 0.833 1 0.167 0 5 x4 0 -1.667 0 -1.333 1 0 Θ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 40 Casos Especiales La solución óptima resulta: 0x1 =5x2 = 0x3 = 0x4 = 50Z = Z x1 x2 x3 x4 Sol. Z 1 -4 -10 0 0 0 x3 0 5 6 1 0 30 5 x4 0 5 8 0 1 40 5 Z 1 2.25 0 0 1.25 50 x3 0 1.25 0 1 -0.75 0 x2 10 0.625 1 0 0.125 5 Θ
  21. 21. 21 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 41 Ejemplo de E.M.L. Beale Determinar la solución óptima de: 4321 x6x5.0x02x75.0ZMax −+−= 0x3x0.5x12x0.5 4321 ≤+−− 0x9xx8x0.25 4321 ≤+−− 0x,x,x,x 4321 ≥ sujeto a Casos Especiales 1x3 ≤ Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 42 Casos Especiales Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sol. Θ Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0 x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0 0 x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0 0 x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Z 1 0 -4 -3.5 33 3 0 0 0 x1 0.75 1 -32 -4 36 4 0 0 0 x6 0 0 4 1.5 -15 -2 1 0 0 x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Z 1 0 0 -2 18 1 1 0 0 x1 0.75 1 0 8 -84 -12 8 0 0 0 x2 -20 0 1 0.375 -3.75 -0.5 0.25 0 0 0 x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1
  22. 22. 22 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 43 Casos Especiales Z 1 0.25 0 0 -3 -2 3 0 0 x3 0.5 0.125 0 1 -10.5 -1.5 1 0 0 x2 -20 -0.047 1 0 0.188 0.063 -0.125 0 0 0 x7 0 -0.125 0 0 10.5 1.5 -1 1 1 0.095 Z 1 -0.5 16 0 0 -1 1 0 0 x3 0.5 -2.5 56 1 0 2 -6 0 0 0 x4 -6 -0.250 5.333 0 1 0.333 -0.667 0 0 0 x7 0 2.5 -56 0 0 -2 6 1 1 Z 1 -1.75 44 0.5 0 0 -2 0 0 x5 0 -1.25 28 0.5 0 1 -3 0 0 x4 -6 0.167 -4 -0.167 1 0 0.333 0 0 x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0 x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0 x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0 x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I 44 Casos Especiales Después de 6 iteraciones se alcanza el tablero inicial. Decimos que ha ocurrido un ciclaje. Para resolver el ciclaje se utilizan las reglas lexicográficas.
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