10 análisis de sensibilidad

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  • 1. Análisis de Sensibilidad O análisis post optimal
  • 2. Análisis de Sensibilidad Tópicos  Definición  Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la F.O. cj  Análisis de sensibilidad vector b  Análisis de sensibilidad de los aij  Adición/Eliminación de una variable  Adición/eliminación de una restricciónIO1 RDA 2
  • 3. Análisis de Sensibilidad  Se denomina análisis de sensibilidad a las investigaciones que tratan los cambios en la solución óptima debido a los cambios en los datos  El análisis de sensibilidad en cierto sentido convierte la solución estática de P.L. En un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantesIO1 RDA 3
  • 4. Análisis de Sensibilidad  Objetivo:  Como se ve afectada la solución, si se modifica las condiciones iniciales; esto es hay cambios en los costos, recursos, coeficientes tecnológicos.  Cual es el rango de valores en que se puede trabajar sin afectar la solución.IO1 RDA 4
  • 5. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj) Sí C  C’ ¿cuál será la nueva solución óptima? Recordemos que: (P) max Z=CX (D) min w=Yb s.a. AX=b s.a. YA C x>0 Y libreIO1 RDA 5
  • 6. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Que ocurre con las condiciones? Se mantienen?  La condición de factibilidad 1 si se mantiene, i.e. B es X B  B b  0 base primal  La condición de optimalidad c j  z j  0 ? j  1,...,n no! se sabe Pues solamente se cumple para las VB.IO1 RDA 6
  • 7. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Entonces sí: cj  zj  0  j  I N => sol. óptima se mantiene en caso contrário la sol óptima es afectada => utilizar Simplex para encontrar la nueva soluciónIO1 RDA 7
  • 8. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Ejemplo: max z  3x1  2 x2 s.a x1  2 x2  6 2 x1  x2  8  x1  x2  1 x2  2 Sea el tablero óptimo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 x5 0 0 -1 1 1 0 3 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3IO1 RDA 8 z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3
  • 9. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Sí z  3x1  2x2 se cambia por z  5x1  4x2 la solución permanece óptima? Solución: Nos interesa calcular solamente cj  z j  0  j  IN pues cj  z j  0  j  IB donde I N  no básicas I B  básicasIO1 RDA 9
  • 10. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Como: zN  CB B1N e Y  CB B1  Veamos la Base 2 1 0 0 2 / 3 - 1/3 0 0 1 2 0 0 - 1/3 2/3 0 0 B  B 1    1 -1 1 0 - 1 1 1 0     1 0 0 1 - 2/3 1/3 0 1 IO1 RDA 10
  • 11. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Ahora, con el cambio de coeficientes: CB  (2,3,0,0)  CB  (4,5,0,0) Y  CB B 1  (4,5,0,0) B 1  (1,2,0,0)  Necesitamos conocer N dado que I B  2,1,5,6  I N  3,4 1 0  0 1  de donde N    0 0   0 0IO1 RDA 11
  • 12. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Luego 1 0    0 1  (c3  z3 , c4  z4 )  (0,0)  (1,2,0,0)   (1,2) 00   0 0    (1,2)  0 Cumple con la condición de optimalidadIO1 RDA 12
  • 13. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  Esto es el punto óptimo es el mismo pero el valor de Z varia ( x1  10 / 3, x2  4 / 3) z  5(10 / 3)  4(4 / 3)  22  En la tabla ahora se tiene: x1 x2 x3 x4 x5 x6  z 0 0 -1 - 2 0 0 - 22IO1 RDA 13
  • 14. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)  ¿Cuál es el rango de variación de cj para que la base se mantenga óptima? ahora: C  C ek ek  fila k de la matriz I esto es: C  (c1, c2 ,.... k  ,..... n ) c c y c  ck  kIO1 RDA 14
  • 15. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj) 1. Sí ck corresponde a una VNB Se cumple que: c j  z j  0  j  K , Y  CBB -1 entonces basta verificar que: c  ck   zk k de donde:   zk  ck costo reducidoIO1 RDA 15
  • 16. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj) Ejemplo: Hallar el rango de variación de c3 para que la base siga siendo óptima c3  0  x3 es VNB Basta mirar el tablero óptimo a nivel de -z y tomar el valor contrario de c3-z3=-1/3=>   1/ 3 De donde C3  C3   1/ 3 , esto es, C3  ,1/ 3IO1 RDA 16
  • 17. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj) 1. Sí ck corresponde a una VB, se tiene: Y CB B1 (CB e p ) B1Y f p e p  fila p de I P  pos. de VB k en IB se debe verificar que: f p  fila P de B1 a j  colum na j deA c j  z j  c j  Y a j  0  j  I N de donde:  c j  Ya j     c j  Ya j    max y pj 0      min   ypj  y pj 0    ypj  IO1 RDA 17
  • 18. Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj) Ejemplo: Hallar el rango de variación de c1 para que la base siga siendo óptima C1  3  x1 es VB Observe que I N  3,4 , IB  2,1,5,6 , la posición de x1 en la base es 2 => Según la formula esto corresponde a los valores de c3  z3 , c4  z4 y de y23 , y24 => max  4 / 3    min 1/ 3      2/3  y pj 0  1 / 3  y pj 0  2  1 y como c1  c1   1  c1  4IO1 RDA 18
  • 19. Sensibilidad del vector b  Sí b  b’ ¿Cuál es la nueva solución Óptima?  ¿Qué ocurre con las condiciones? 1  Factibilidad: X B  B b  0 ? no se sabe  Optimalidad: C YA  0 se mantiene, pues b’ no interviene => B es Base dual posible => Y es solución dual posibleIO1 RDA 19
  • 20. Sensibilidad del vector b  Entonces, Sí 1 X B  B b  0 =>Sol. Óptima del problema primal (e Y óptima del dual) En otro caso solución es afectada =>aplicar simplex dual para la hallar la soluciónIO1 RDA 20
  • 21. Sensibilidad del vector b Ejemplo: que pasa si 6 7 8  8  b  b    1     3   2 2 x1 1 Debemos verificar X B  B b  0 2 / 3 -1/3 0 0 7 2 -1/3 2/3 0 0 8 3 la base permanece B1b         0 -1 1 1 0  3 4 y ahora x2  2, x1  3      - 2/3 1/3 0 1  2 0 x5  4, x6  0IO1 RDA z  13 21
  • 22. Sensibilidad del vector b  ¿Cuál es el rango de variación de b para que B siga siendo óptima? ei  columna i de I b  b ei  i  columna i B1 X  B b  B b  B ei  0 B 1 1 1 X B  X B   i  0 En particular para la fila s, tenemos:  X BS   X BS  max     min   si 0   si   si 0   si IO1 RDA 22
  • 23. Sensibilidad del vector b Ejemplo: rango de variación de b1 2 / 3 -1/3 0 0 6 4 / 3  -1/3 2/3 0 0 8  10 / 3 B1    b  XB    -1 1 1 0 1  3        - 2/3 1/3 0 1  2  2/3  b1=6 => vemos en la columna 1 de B1 y para cada fila S = 1, 2,3,4 según fórmula se tiene 10 / 3 3 2 / 3   4 / 3 max , ,     min   1 / 3 1  2 / 3   2 / 3 1    2 => 6  2  b1   6 1 4  b1  7IO1 RDA 23
  • 24. Sensibilidad de los coeficientes aij  Caso en que aij  N cambie, que ocurre con la solución solución óptima? C. de Factibilidad: X B b01 se mantiene B C. de optimalidad: CN YN  0 ? No se sabeIO1 RDA 24
  • 25. Sensibilidad de los coeficientes aij  Entonces, dado aij  N Sí, CN YN  0 entonces la solución permanece caso contrário solución cambia => aplicar simplexIO1 RDA 25
  • 26. Sensibilidad de los coeficientes aij  Ejemplo: max z  3x1  2 x2 s.a x1  2 x2  6 2 x1  x2  8  x1  x2  1 x2  2 Sea el tablero óptimo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 x5 0 0 -1 1 1 0 3 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3IO1 RDA 26 z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3
  • 27. Sensibilidad de los coeficientes aij Ejemplo: Que pasa si a13  x3 VNB a13  1 , ahora es a13  4 =>debemos verificar c3  z3  0 , como c  0 3 y Y  C B  (1/ 3,4 / 3,0,0) , obtenemos B 1  4    0 z3  Ya3  (1/ 3,4 / 3,0,0)   4 / 3 0    0 de donde   c3  z3  0  4 / 3  4 / 3  0IO1 RDA 27
  • 28. Sensibilidad de los coeficientes aij  Rango de variación de aij  N la base permanece óptima sí, CN YN  0 esto es: c j  Ya j  0 j  I N Pero como a j  a j  ei para un jIO1 RDA 28
  • 29. Sensibilidad de los coeficientes aij  => el rango de variación de   c j  Ya j      Yi Yi 0  c j  Ya j      Yi Yi 0IO1 RDA 29
  • 30. Sensibilidad de los coeficientes aij Ejemplo: rango de variación de a13  x3 VNB a13  1 =>nos interesa c3  z3 y la variable dual, Y  1/ 3 obtenido a partir de Y  C B  (1/ 3,4 / 3,0,0) 1 B 1 ahora reemplazando, en la formula se tiene:    1/ 3  1    1/ 3  a13  a13    a13  0IO1 RDA 30
  • 31. Sensibilidad de los coeficientes aij  Caso en que aij  B cambie, que ocurre con la solución solución óptima?  La modificación de un elemento de la base afecta las condiciones: 1 de factibilidad: X B  B b de optimalidad (factibilidad dual): CN YN  0 de complementaridad: Y  CB B1IO1 RDA 31
  • 32. Sensibilidad de los coeficientes aij  Rango de variación de aij  B En este caso se calculará el rango de variación respecto a las condiciones de factibilidad y de optimalidad para cada caso particular Nota: A veces es mejor resolver el nuevo problema generado con el cambio.IO1 RDA 32
  • 33. Adición de una variable  ¿Qué posibilidad hay de lanzar un nuevo producto al mercado?  El problema ahora es: max Z  CX  cn1xn1 AX  an1xn1  b X , xn1  0  El número de restricciones ha variado?IO1 RDA 33
  • 34. Adición de una variable  Como el número de restricciones no varia  B tiene el mismo número de VB esto es: X B  B1b es una base posible  Ahora Sí, B sigue siendo óptimo, debemos de verificar que: cn1  Yan1 en caso contrário aplicar el SimplexIO1 RDA 34
  • 35. Adición de una variable  La variable que entra es xn1  Para la tabla simplex es necesario 1 calcular yn1  B an1IO1 RDA 35
  • 36. Adición de una variable Ejemplo: Suponga que se desea añadir una variable x7, max z  3x1  2 x2  (3 / 2) x7 s.a x1  2 x2  (3 / 4) x7  6 2 x1  x2  (3 / 4) x7  8  x1  x2  x7  1 x2  2 debemos de verificar que: cn1  Yan1 Como Y  (1/ 3,4 / 3,0,0) an1  (3 / 4,3 / 4,1,0)IO1 RDA 36
  • 37. Adición de una variable tenemos 1/ 3(3 / 4)  4 / 3(3 / 4)  0(1)  0(0)  3 / 2 3/ 4  3/ 2 => Aplicar simplex Calcular yn1  B1an1 y el nuevo tablero es: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2 / 3 -1/3 0 0  3 / 4 1/ 4  x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 1/4 4/3 -1/3 2/3 0 0 3 / 4  1/ 4  x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 1/4 10/3     -1 1 1 0  1  1  x5 0 0 -1 1 1 0 -1 3      - 2/3 1/3 0 1  0  1/ 4 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 -1/4 2/3 z 0 0 -1/3 - 4/3 0 0 3/4 - 38/3IO1 RDA 37
  • 38. Eliminación de una variable  La eliminación de una variable implica que este tome un valor fijo: x j  k  Caso de una VNB En el óptimo: Z  Z   (c j  z j ) x j a j  IN X Bs  X   ysj x j a Bs s  IB como : xk  IO1 RDA 38
  • 39. Eliminación de una variable se tiene: Z  (Z  (ck  zk ) )   (c j  z j ) x j a j  IN j k X Bs  ( X Bs  ysk )   ysj x j a s  IB j k entonces, sí: X  y   0 Bs sk la base sigue siendo óptima en otro caso  aplicar dual simplexIO1 RDA 39
  • 40. Eliminación de una variable Ejemplo: Suprimir x3  2, x3 es VNB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 x5 0 0 -1 1 1 0 3 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3 verificar z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3 X Bs  ysk  0 4/3 – (2/3) 2 = 0 10/3 –(-1/3) 2 = 12/3 Z= 38/3 +(-1/3)2 =36/3 = 12 3 – (-1) 2 = 5 2/3- (-2/3) 2 =2IO1 RDA 40
  • 41. Eliminación de una variable ahora la tabla óptima queda así: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0 1 --- -1/3 0 0 0 x1 1 0 --- 2/3 0 0 12/3 x5 0 0 --- 1 1 0 5 x6 0 0 --- 1/3 0 1 2 z 0 0 --- - 4/3 0 0 -12IO1 RDA 41
  • 42. Eliminación de una variable  Caso de una VB  La eliminación de una variable de la Base, modifica de forma compleja el problema; esto es la base ya no es más base óptima.  Una forma de abordar el problema es hacer que la VB a ser eliminada pase a ser una VNBIO1 RDA 42
  • 43. Eliminación de una variable ejemplo: Suprimir x2  2, x2 es VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 x5 0 0 -1 1 1 0 3 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3 z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3 Forcemos a x2 salir de la base y luego eliminémosla.IO1 RDA 43
  • 44. Eliminación de una variable x1 x2 x3 x4 x5 x6 Haciendo: x2= 2, x2 0 1 2/3 - 1/3 0 0 4/3 -4-(-3)2 =2 6-(2)2=2 x1 1 0 - 1/3 2/3 0 0 10/3 7-(3)2=1 x5 0 0 -1 1 1 0 3 2-(1)2=0 Z= 18+(-4)2= 10 x6 0 0 - 2/3 1/3 0 1 2/3 Se tiene : z 0 0 - 1/3 - 4/3 0 0 - 38/3 x1 x2 x4 0 -3 - 2 1 0 0 -4 x4 0 -- -2 1 0 0 2 x1 1 2 1 0 0 0 6 x1 1 -- 1 0 0 0 2 x5 0 3 1 0 1 0 7 x5 0 -- 1 0 1 0 1 x6 0 1 0 0 0 1 2 x6 0 -- 0 0 0 1 0 z 0 - 4 -3 0 0 0 -18 z 0 -- -3 0 0 0 -10IO1 RDA 44
  • 45. Adición o eliminación de una restricción  Al eliminar una restricción la región factible queda inalterada o aumenta  La Adición de restriciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca  Efectos sobre la FO.  La adición de una restricción al modelo empeora o no altera el valor de la FO.  La eliminación de una restricción al modelo mejora o no altera el valor de la FO.IO1 RDA 45