2. Introducción
Conjuntos convexos, teoremas
Forma canónica y estándar de un P.L.
Soluciones básicas posibles
Método Algebraico
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3. Conceptos
Conjunto convexo: Un conjunto de
puntos S es convexo, si el segmento de
línea que une cualquier par de punto de
S esta en S.
Esto es, S es un conjunto convexo, si
para todo xi S
x1 (1 ) x2 S para 0,1
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4. Conceptos
Conjuntos convexos
B
B A
A
A B
A
B
A
B
Conjuntos no convexos
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5. Conceptos
Punto extremo: Un punto P es
denominado punto extremo (esquina) ,
si todo segmento de línea que esta
completamente en S y contiene a P,
tiene a P como punto extremo del
segmento de línea.
Esto es si P no puede ser representado
como una combinación convexa
estricta de dos puntos distintos en S.
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(0,1) 5
7. Conceptos
Región Factible: Es un conjunto de
todos los puntos que satisfacen todas
las restricciones del problema
Teorema 1: La región factible de un
problema de programación lineal es un
conjunto convexo y tiene un número
finito de puntos extremos.
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8. Conceptos
Solución óptima: Es un punto de la
región factible con mayor valor de la
F.O. (problema de Max)
Teorema 2: Todo problema de
programación lineal que tiene solución
óptima, tiene un punto extremo que es
óptimo.
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9. Problemas de PL
Forma genérica ó canónica de un PPL, se
denomina así cuando se escribe
n
max Z c j x j co
j 1
s.a. aij x j bi i 1,...,m ; j 1,..n
xj 0
donde c j cos tos de la función objetivo
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10. Problemas de PL
Variables artificiales: se denominan así a
las variables que se agregan al
problema con la finalidad de hacer una
restricción de desigualdad en igualdad.
Si la restricción es >= la variable artificial es
de exceso
Si la restricción es <= la variable artificial es
de holgura.
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11. Problemas de PL
Forma normal ó estándar de un PPL, se
denomina así cuando se escribe
n
max Z c j x j co
j 1
s.a. aij x j bi i 1,...,m ; j 1,..n
xj 0
donde c j cos tos de la función objetivo
Esto es, todas las restricciones son de igualdad
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12. Ejemplo:
Dado el siguiente problema en la forma
genérica
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 <= 9
x1 + 2 x2 <= 16
x1, x2 > 0
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13. Ejemplo:
La forma normal se obtiene agregando
las variables de holgura
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0
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14. Conceptos
Base: De un espacio vectorial es cualquier
conjunto de vectores que pertenezcan al
espacio y que además:
Son linealmente independientes
Son un conjunto generador del espacio vectorial.
Ejemplo: v1 v2 x3 v1 v2 v3
1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 -3
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15. Conceptos
Dado un sistema de ecuaciones lineales, de n
variables y m restricciones:
AX b
suponga n ≥ m,
=> si n-m variables tomen valor =0,
garantiza que las m variables restantes
asuma valores únicos.
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16. Conceptos
Variables no Básicas: Son las variables
que no pertenecen a la base y toman valores
iguales a cero.
# VNB = # variables – # restricciones.
= n–m
Variable Básicas: Son aquellas variables
que pertenecen a la base y toman valores
positivos (≥0)
#VB = # de restricciones =m
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17. Conceptos
Solución Básica: Es una solución que
satisface Ax = b y cuyas VB ≥0 y VNB = 0.
así las columnas asociadas a las VB son
linealmente independiente.
Solución Básicas posible: Son soluciones
básicas con valores de sus variables todos ≥0
Solución Básica degenerada: Son
soluciones básicas en las que algunas VB
toman valor igual a cero.
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18. Conceptos
Solución Básica óptima: Es una
solución básica posible y cuyo valor de
Z (F.O.) es máximo.
Solución adyacente básica posibles
Dos soluciones básicas posibles son
adyacentes, si sus conjuntos de
variables básicas tienen m-1 variables
básicas en común.
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22. Método Algebraico
El método consiste en :
Generar una solución básica posible
Evaluar si la solución básica es óptima
En caso que no lo es, generar una nueva
solución básica posible, tal que
Znuevo > Zanterior
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23. Método algebraico
Del problema anterior
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0
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24. Método algebraico
La primera base es la formada por
las variables de holgura:
B1 = { x3, x4}
NB = { x1, x2} , x1 = x2 = 0
=> x3 = 9
x4 = 16
Z=0
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25. Método algebraico
Escribimos las Variables básicas y
Z en función de las no básicas.
Usemos la función explícita:
x3 = 9 – x1 – x2
Variables
básicas x4 = 16- x1 –2x2
z = 0 + 3x1 + 4x2
Variables no básicas
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26. Método algebraico
Evaluamos si SBP es óptima;
observememos que si x1 ó x2 <>0
Z crece.
=> (x3, x4) no es solución óptima.
Criterio de solución óptima: ninguna
de las variables de la no base tienen
coeficientes estrictamente positivos
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27. Método algebraico
Generamos otra base, por el
intercambio de una de las variables de
la base y de la no base; esto es, sale
una variable de la base y entra una
variable de la no base.
Es más facil ver la variable que sale que
la que entra.
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28. Método algebraico
Criterio para la variable que entra
en la base: debe entrar la variable
que tenga mayor coeficiente positivo;
que hace que Z crezca rápidamente.
En el ejemplo la variable que entra es
x2. X1 permanece con valor cero
(x1=0)
B2 = {x2, ?}
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29. Método algebraico
Criterio para la variable que sale de la
base: debe salir la variable que toma valor
cero cuando la variable que entra toma su
máximo valor. Esto es limita el crecimiento de
la variable de entrada pues todas las
variables deben ser ≥ 0 ( Xi ≥0).
Como x1 =0; se tiene
x3 = 9 – x2 ≥ 0 => x2 ≤9
x4 = 16 –2x2 ≥ 0 => x2 ≤ 8
=> x2 = 8 y X4 = 0 , => sale x4
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30. Método algebraico
Ahora la base es:
B2 = {x2, x3} y NB = {x1,x4}
Y el valor de las variables es:
x2 = (16- x1- x4)/2 = 8- ½ x1 –½ x4
x3 = 1-1/2 x1 + ½ x4
Z = 32 + x1 – 2x4
Evaluamos si es óptimo:
si entra x1=> Z crece,
si entra x4 => Z decrece.
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31. Método algebraico
No es óptimo! =>
Generamos nueva solución posible
La variable que entra es : x1 y x4
permanece con valor cero. (x4 =0)
Variable que sale es:
x2 = 8 - ½ x1 ≥ 0 => x1 ≤ 16
x3 = 1-1/2 x1 ≥ 0 => x1 ≤ 2
ahora x1 = 2 => x3 =0 sale x3
ahora B3 = {x1, x2} y NB = {x3,x4}
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32. Método algebraico
El valor de las variables básicas es:
x1 = 2 –2x3 +x4
x2 = 7 + x3 – x4
Z = 34 – 2x3 –x4
Evaluamos si es óptimo: no hay variable no
basica que haga crecer Z
=> si es óptimo!
x1= 2
x2 = 7
Z = 34.
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