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Guia y taller probabilidad2 2010-1

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Esta es una introduccion a la probabilidad clasica

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  • 1. PROBABILIDAD CLASICA Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E. Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. Lanzar tres monedas. b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. Solución: a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)} b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18} c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E={BB,BN,NN} d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral: E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)} Definición de Probabilidad. Propiedades. • Definición de Probabilidad. Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece. • Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
  • 2. La frecuencia relativa del suceso A: Propiedades de la frecuencia relativa: 1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø. 3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0. Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad. • Definición axiomática. La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la pro , relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande. Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica: 1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0. 2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. =Ø P( ) = P(A) + P(B). 3. La probabilidad total es 1. P(E) = 1. Propiedades. 1. P( ) = 1 - P( A ) 2. P( Ø ) = 0 3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( ) 4. Si A B P( A ) P( B ) 5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces: P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
  • 3. 6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( ) 7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces: Probabilidad condicionada. En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veam un Veamos ejemplo. Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma segunda que en la primera. Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar. Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) sos 0, se llama probabilidad de B condicionada a A A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de babilidad que ocurra B dado que ha sucedido A. De esta igualdad se deduce: P( B A ) = P( B/A ) · P( A ) La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C: P( A B C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A B) Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos. Ejemplo: Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos ="sacar =1/3 que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al casos suceso A sólo 1. Se lanzan dos dados: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? Solución: Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un ="la ="en tres". a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6
  • 4. b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, c. P( B/A )=2/6=1/3 Probabilidad condicionada. El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se , modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A ) Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: • Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A B ) = P( A ) · P( B ) • Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: P( A B ) = P( A ) · P( B ) P( A C ) = P( A ) · P( C ) P( B C ) = P( B ) · P( C ) P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C ) Ejercicio Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; 0.7; P(B)=0.6; P( )=0.58. a. ¿Son independientes A y B? b. Si M A, ¿cuál es el valor de P( , / )?
  • 5. Solución: a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B ) c P( ) = P[(A B) ] = 1 - P(A B) Por tanto, P(A B) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42 Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42 Tablas de contingencia y diagramas de árbol. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta ilidad interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, da uno dado de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema. • Conversión de una tabla en diagrama de árbol Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos. A TOTAL En el caso de los sucesos A, B P( A B) P( B ) P( B) ,By , expresados en frecuencias absolutas, P( A ) P( ) P( ) relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta. TOTAL P( A ) P( ) 1 Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .
  • 6. Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a: re • Conversión de un diagrama en tabla de contingencia De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de construir contingencia equivalente si más que utilizar la expresión P( B A ) = P( B/A ) · P( A ), para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla. las Ejercicio1 : Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. os, a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. por Solución: En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado. ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL MAÑANA 3 8 3 14 TARDE 2 3 1 6 TOTAL 5 11 4 20 ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70 TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30 TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00 Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. Así, se obtiene: a. El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde. b. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%. c. La probabilidad buscada es:
  • 7. P(acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6 Ejercicio2: Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro investigación fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos: El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes datos fraudulentos y no fraudulentos. b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla. c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, ilidad en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? Solución: a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguie siguiente: INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTAL FRAUDULENTOS 6 1 3 10 NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90 TOTAL 20 30 50 100 b. c. Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%. La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3 condicionada Probabilidad total. Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø 2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, Teorema de la probabilidad total Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: , esión:
  • 8. Ejercicio 1: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el servicio 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una que, avería. Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). ( ) Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: ten P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025 Ejercicio2: Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y se 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado? amente Solución: Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: probabilidades P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) = = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028 004 Ejercicio 3:
  • 9. Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, n, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? Solución: Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urna, después del lanzamiento de las iguraciones monedas y las urnas finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene: P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) = = 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½ Ejercicio 4: Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que salen contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola? Solución: El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola. cción La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca. P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) = = 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4 = 13/20 Teorema de Bayes. En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una 1761), memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas primera, a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. Teorema de Bayes
  • 10. Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad . P(Ai/B) viene dada por la expresión: En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol. rmación Ejercicio1: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las , piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza iene defectuosa? Solución: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema = = puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la idad , propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, P(B/D) c. Calculamos P(A/D) y P(C/D) comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. P(C/D), Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
  • 11. La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A d Ejercicio 2: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? sid Solución: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto = = pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R) Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: P(A/R). Ejercicios propuestos. TALLER 1 ( LOS VAMOS HACIENDO) Ejercicio 1: Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero. a. Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.
  • 12. b. Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa. Ejercicio 2: Se lanza dos dados las veces necesarias hasta que aparezcan los mismos valores en ellos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda antes de la quinta lanzada? (b) ¿ Cuál es la probabilidad de que suceda después de la tercera lanzada? (c) Si suponemos que no sucede en la primera lanzada ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten más de 4 lanzadas? Ejercicio 4: Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? Ejercicio 5: En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido. Ejercicio 6: Los alumnos de Primero de mecánica tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? Ejercicio 8: Tenemos un dado con tres "1", dos "2" y un "3". Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados.
  • 13. a. ¿Cuál es el Espacio Muestral? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? c. ¿Cuál es la suma más probable? ¿Cuánto vale su probabilidad? Ejercicio 9: Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "1"? b. Sabiendo que se ha obtenido un "2", ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B? Ejercicio 10: El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. Ejercicio 11: El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. Ejercicio 12: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?