Cuaderno autoinstructivo-fisica

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Cuaderno autoinstructivo-fisica

  1. 1. PRUEBA DE DEFINICIÓN DE NIVELES FÍSICA CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE PREPARACIÓN
  2. 2. Í N D I C E 1. MAGNITUDES FISICAS 1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA 1.2. MAGNITUDES FÍSICAS 1.2.1. Cantidad o magnitud física 1.2.2. Medición 1.2.3. Magnitud 1.2.4. Magnitudes Fundamentales 1.2.5. Sistema Internacional de unidades 1.2.6. Conversión de unidades 1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA 1.3.1. Análisis dimensional 1.3.2. Principio de homogeneidad 1.4. PROBLEMAS RESUELTOS 1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.6. AUTOEVALUACIÓN 2. VECTORES 2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES 2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE METODOS GRAFICOS 2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR 2.4. VECTORES UNITARIOS 2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES 2.6. PRODUCTO ESCALAR 2.7. PRODUCTO VECTORIAL 2.8. FUERZA Y VECTORES 2.8.1. Fuerza Resultante 2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES 2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS 2.11. AUTOEVALUACIÓN 3. CINEMÁTICA 3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO 3.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 3.2.2. Análisis de gráficas del MRU 3.2.3. Movimiento rectilíneo uniforme variado (MRUV) 3.2.4. Análisis de gráficas del MRUV 3.2.5. Movimiento de caída libre 3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO 3.3.1. Movimiento de proyectiles 3.3.2. Movimiento circular 3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU) 3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
  3. 3. Í N D I C E 3.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 3.5. AUTOEVALUACIÓN 4. LEYES DEL MOVIMIENTO 4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA 4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO 4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO 4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y REACCIÓN 4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO 4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 4.7. FUERZA CENTRÍPETA 4.8. PROBLEMAS RESUELTOS 4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS 4.10. AUTOEVALUACIÓN 5. TRABAJO 5.1. UNIDADES DE TRABAJO 5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE 5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS 5.4. POTENCIA 5.5. ENERGIA MECÁNICA 5.6. ENERGIA CINÉTICA 5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA 5.8. ENERGÍA POTENCIAL 5.8.1. Energía potencial gravitatoria 5.8.2. Energía potencial elástica 5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL 5.10. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA 5.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 5.12. AUTOEVALUACIÓN 6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO 6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS 6.2. COLISIONES 6.2.1. Colisiones en una dimensión 6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas 6.2.3. Coeficiente de restitución 6.3. PROBLEMAS RESUELTOS 6.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5. AUTOEVALUACIÓN 7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS 7.1. MOMENTO DE INERCIA 7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL 7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE 7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
  4. 4. Í N D I C E 7.5. MOMENTO ANGULAR 7.5.1. Conservación del momento angular 7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas 7.5.3. Momento angular de un sólido 7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADAS 7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA 7.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 7.9. AUTOEVALUACIÓN 8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8.1. ECUACIONES DEL MAS 8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (OSCILADOR ARMÓNICO) 8.3. PROBLEMAS RESUELTOS 8.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 8.5. AUTOEVALUACIÓN 9. ONDAS MECÁNICAS 9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA 9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL 9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS 9.4. ONDAS SONORAS 9.4.1. Intensidad del sonido 9.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 9.6. AUTOEVALUACIÓN 10. FLUIDOS 10.1. DENSIDAD 10.2. PRESIÓN 10.2.1. Presión atmosférica 10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo 10.2.3. Vasos comunicantes 10.3. PRINCIPIO DE PASCAL 10.4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 10.5. FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO 10.6. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 10.7. ECUACIÓN DE BERNOULLI 10.8. PROBLEMAS PROPUESTOS 10.9. AUTOEVALUACIÓN 11. CALOR Y TEMPERATURA 11.1. DILATACIÓN TÉRMICA 11.2. CALOR 11.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR 11.3.1. Conducción 11.3.2. Convección 11.3.3. Radiación
  5. 5. Í N D I C E 11.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 11.5. AUTOEVALUACIÓN 12. ELECTRICIDAD 12.1. CORRIENTE ELÉCTRICA 12.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE 12.3. RESISTENCIA ELÉCTRICA 12.4. ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS 12.5. RESISTORES EN SERIE Y PARALELO 12.5.1. Resistores en serie 12.5.2. Resistores en paralelo 12.6. PROBLEMAS RESUELTOS 12.7. PROBLEMAS PROPUESTOS 12.8. AUTOEVALUACIÓN 13. APÉNDICE I. CONCEPTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 13.1. DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES 13.2. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 13.3. INTEGRALES 13.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA 13.5. PROBLEMAS RESUELTOS 14. APÉNDICE II. CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES
  6. 6. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 1 1. MAGNITUDES FÍSICAS 1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA La alegría de ingresar a una Universidad le permite a uno, realizar una serie de actividades, se siente triunfador, comunica este acontecimiento a todas las personas de su entorno, hasta se siente dueño del mundo. De pronto retorna a la realidad, pues empieza mañana sus clases en la Universidad, reflexiona y observa el mundo exterior, como consecuencia de ello, llega a la conclusión de que se encuentra en el “espacio exterior” rodeado de cerros, árboles, edificios, aves, ríos y automóviles en movimiento; observa en la noche la luna brillante en movimiento fuera de todo control humano, y se da cuenta que tampoco puede controlar el movimiento de la Tierra. Sin embargo se entera que después de mucho el hombre ha podido comprender las reglas que rigen estos movimientos. El estudio de las reglas que rigen el comportamiento de los fenómenos naturales es lo que constituye la Ciencia; estas reglas cuyo número es sorprendentemente pequeño explican por qué la Tierra es redonda, por qué el mar y el cielo son azules, etc. Entonces conocer el funcionamiento de las leyes de la naturaleza es fascinante y de suma importancia, porque nos permite aplicarlas a nuestras necesidades. La ciencia es una forma de pensar y también un cúmulo de conocimientos, es decir: la ciencia es una forma de conocer. Y ¿la Física? La física estudia cosas tan básicas como: el movimiento, las fuerzas, la energía, el calor, el sonido, la luz, los átomos, etcétera, conocimientos que serán fundamentales en tu carrera.
  7. 7. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 2 1.2. MAGNITUDES FÍSICAS En la naturaleza se presentan una serie de fenómenos, cuya descripción conduce a establecer varias hipótesis, las cuales se ponen a prueba una y otra vez y si no hay contradicciones se puede llegar a establecer una LEY o PRINCIPIO. Cuando uno se encuentra en un taller o una planta industrial, nace la necesidad de hacer mediciones de algún tipo, como la temperatura del ambiente, la presión del sistema de refrigeración, el voltaje a que trabajan las maquinarias, etc. El desarrollo de la ingeniería de la construcción de la hidráulica y la ingeniería estructural involucran la longitud, el área, el volumen y la masa. En la exploración de la naturaleza se ha encontrado que la longitud, el tiempo y la masa desempeñan un papel fundamental en la medición. 1.2.1. Cantidad o magnitud física Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible a ser medido, al cual se le asocia un número, que se obtiene por medio de la operación llamada medición. El volumen de un objeto, la altura de una edificación, la temperatura del medio ambiente, el periodo de rotación de la tierra, etc., son ejemplos de cantidad física. 1.2.2. Medición Es una técnica que se utiliza para determinar el número asociado a la cantidad física por comparación con un patrón conocido que se adopta como UNIDAD. Por ejemplo, cuando se desea conocer la longitud de una barra metálica. Con un instrumento apropiado se determina que es 12 m, para obtener esto, se hizo una comparación con la longitud de un patrón conocido como "metro".
  8. 8. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 3 1.2.3. Magnitud La magnitud de una cantidad física está dada por un número y una unidad de medición. Ejemplo: Si M es una cantidad física su magnitud puede ser M: 20º C, 60 kg, 30 s. Los números asociados son: 20, 60 y 30 y las unidades: ºC: grado centígrado, kg.: 1 kilogramo y s: 1 segundo. 1.2.4. Magnitudes fundamentales La experiencia demuestra que hay tres modos básicos de describir cualquier cantidad física que son: el espacio que ocupa, la materia que contiene y el tiempo que persiste. Todas las descripciones de la materia, relaciones y eventos son combinaciones de éstas. Todas las medidas se reducen a la medición de la longitud, la masa y el tiempo. De ahí, que las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen en términos de otras, son independientes entre sí. La longitud, el tiempo y la masa son magnitudes fundamentales, suficientes y necesarias para el estudio de la mecánica. Tabla 1.1. Magnitudes fundamentales MAGNITUDES FUNDAMENTALES DIMENSION LONGITUD L MASA M TIEMPO T La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la misma. Así para medir la distancia entre dos puntos, se compara con una unidad estándar de distancia, tal como el metro. Todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales.
  9. 9. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 4 1.2.5. Sistema Internacional de unidades El sistema internacional de unidades (SI), es esencialmente el mismo que se conoce como sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido siete cantidades fundamentales y ha asignado unidades básicas oficiales para cada cantidad. Su estructura está conformada por magnitudes fundamentales y derivadas. Tabla 1.2. Magnitudes fundamentales CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin K Intensidad luminosa candela cd Cantidad de sustancia mol mol Tabla 1.3. Magnitudes suplementarias CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO Ángulo plano radián rad Ángulo sólido estereoradián sr
  10. 10. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 5 Tabla 1.4. Magnitudes derivadas Cantidad Unidades derivadas Símbolo Área Volumen Frecuencia Densidad de masa Rapidez, velocidad Velocidad angular Aceleración Aceleración angular Fuerza Presión Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Carga eléctrica Diferencia de potencial, fem Resistencia eléctrica Conductividad térmica metro cuadrado metro cúbico hertz kilogramo por metro cúbico metro por segundo radian por segundo metro por segundo cuadrado radian por segundo cuadrado newton pascal joule watt coulomb volt ohm watt por metro kelvin m2 m 3 Hz kg/m 3 m/s rad/s m/s 2 rad/s2 N (kg·m/s 2 ) Pa (N/m2 ) J (N·m) W (J/s) C V (J/C) Ω (V/A) W/(m·K) 1.2.6. Conversión de Unidades Debido a que se requieren muchas unidades en una diversidad de trabajos, con frecuencia es necesario convertir una medición de una a otra unidad. Por ejemplo: El diámetro de una varilla de construcción 1/2 pulgada se necesita pasar a mm. Se usa 1 pulgada = 25,4 mm. Entonces la conversión será: 0,5 pulg×(25,4 mm/1 pulg) = 12,5 mm.
  11. 11. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 6 Ejercicios resueltos 1. Convertir 30 m a pies. Entonces: 1 m = 3,281 pies 30 m×(3,281 pies/1 m) = 114,3 pies 2. La velocidad de 60 mi/h a pies/s. Entonces: 1mi = 5 280 pies, 1 hora = 3 600 s 60 mi/h = 60×(5 280 pies/1 mi) ×(1 h/3 600 s) = 88 pies/s 1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA La dimensión de una cantidad física es la combinación algebraica de [L], [T] y [M], a partir de las cuales se forma la cantidad física. Una velocidad es una longitud por unidad de tiempo. Por lo tanto la dimensión de la velocidad es: [V] = L/T La dimensión de la fuerza es: [F] = MLT−2 No se debe confundir la dimensión de una cantidad física con las unidades en las cuales se mide. Una velocidad se puede representar en unidades de metros por segundo, millas por hora, kilómetros por hora, todas estas elecciones son consistentes con la dimensión L/T. Cualquier cantidad física tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de las dimensiones fundamentales Lq Tr Ms , donde q, r y s indican el orden o exponente de la dimensión, los cuales pueden ser positivos, negativos, enteros o fraccionarios.
  12. 12. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 7 1.3.1. Análisis dimensional El estudio de las dimensiones de una ecuación física se llama análisis dimensional. Cualquier ecuación que relacione cantidades físicas debe tener dimensiones consistentes, es decir: las dimensiones de un lado de la ecuación deben ser las mismas que las del otro lado. Por ejemplo para la ecuación 2gh = v2 : Su ecuación dimensional es: [g] [h] = [v]2 donde observarás que la constante 2 tiene dimensión igual a la unidad (LT−2 )(L) = (L/T)2 L2 T−2 = L2 T−2 1.3.2. Principio de homogeneidad Si las dimensiones en ambos lados de una ecuación física son las mismas, se dice que la ecuación física es dimensionalmente homogénea. Si una ecuación física consiste de una suma algebraica de varios términos, la dimensión de todos y cada uno de los términos debe ser la misma. 1.4. PROBLEMAS RESUELTOS 3. Hallar la ecuación dimensional del volumen de un cuerpo esférico. Solución El volumen es: V = 4/3π r3 entonces: [V] = [4/3][π][ r3 ] [V] = L3 Observa que las constantes 4/3 y π su dimensión es igual a la unidad.
  13. 13. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 8 4. Hallar la dimensión de la energía cinética. Solución Ek = ½ mv 2 [Ek] = [½][m][v] 2 [Ek] = (1) M (L 2 T -2 ) = ML 2 T -2 5. Uno de los resultados más famosos que obtuvo Albert Einstein está dado por la ecuación: E = mc2 , en la que E es el contenido de energía de la masa m y c es la rapidez de la luz. ¿Cuáles son las dimensiones de E? Solución E = mc2 , entonces [E] = [m][c] 2 = M [L/T]2 = ML2 T−2 6. En la ecuación: D = A·m + B·E +C·X, donde D es densidad, E es área, m es masa y X es distancia. Hallar la dimensión de A, B y C. Solución Por el principio de la homogeneidad, cada término de la ecuación debe tener la misma dimensión que la del primer miembro. Entonces: [D] = [A·m] = [B·E] = [C·X] [D] = [A] [m] [M/L3 ] = [A] M Despejando, [A] = L−3 Análogamente: [D] = [B·E] [M/L3 ] = [B] L2 Despejando, [B] = ML−5 Finalmente,
  14. 14. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 9 [D] =[C·X] [M/L3 ] = [C] L [C] = ML−4 7. Halle la dimensión de K, dada la ecuación: K = m·v2 /F Donde m es masa, v es velocidad y F es fuerza. Solución [K] = [m][v] 2 /[F] [K] = M×(L/T)2 /(ML/T2 ] = L 8. Hallar la dimensión de R, si P·R = AB sen 60°, donde P es peso, A es aceleración y B es volumen. Solución [P·R] = [P][R] = [A][B][sen 60°] [ML/T2 ][R] = [L/T2 ][L3 ] [R] = M−1 L3 . 9. La velocidad v que adquiere una embarcación marina es una función de la potencia P del motor, de la fuerza de resistencia F que ejerce el agua y está dado por: v = Pr ·Fs Hallar los valores de r y s. Solución Usando el principio de homogeneidad: [v] = [Pr ][Fs ] L/T = (ML2 /T3 )r (ML/T2 )s . LT−1 = M r+s L 2r+s T−3r−3s
  15. 15. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 10 Igualando exponentes de las dimensiones correspondientes. r + s = 0 2r + s = 1 −3r −2s = −1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: r = 1, s = −1 10. ¿Es dimensionalmente correcta la relación x = v/3 + 8at, donde x es distancia, v es velocidad, t es tiempo y a es aceleración? Solución Debe cumplirse que [x] = [v/3] = [8at] o [x] = [v] = [a][t] Así, L = L/T y por lo tanto no se cumple el principio de homogeneidad. La ecuación es incorrecta.
  16. 16. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 11 1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Convierta la densidad del agua de mar de 1,02 g/cm3 a kg/m3 . Respuesta. 1,02×103 kg/m3 2. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, hallar la ecuación dimensional de K: D KP C ⋅ ⋅ = ρ 2 Donde: C = velocidad, P = presión, ρ = densidad y D = diámetro. Respuesta. L1/2 3. El período de oscilación de un péndulo está dado por la siguiente fórmula: yx gLT π2= Hallar (x/y), si L = longitud y g = 9,81 m/s 2 . Respuesta. −1 4. Hallar x + y para que la siguiente fórmula sea dimensionalmente correcta: θsen c ba H y x       = 2 2 2 Donde: H = altura, b = radio, a = velocidad y c = aceleración. Respuesta. 1 5. Calcular las dimensiones de X e Y, si la ecuación dada es correcta dimensionalmente:
  17. 17. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 12 2 0 2 2       − =++ m dP CYBXA Donde: A = área, B = volumen, P = presión y m0 = masa. Respuesta. L−4 T−4 , L−5/2 T−2
  18. 18. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 13 1.6. AUTOEVALUACIÓN 1. Si se cumple: A + B = 1/A; entonces podemos afirmar que: I. A y B son funciones trigonométricas II. A y B son magnitudes adimensionales III. No se sabe qué tipo de magnitudes son A y B a) Solo I es verdadero b) Solo II es cierto c) Solo III es cierto d) I y II son verdaderos e) II y III son ciertos 2. Hallar la ecuación dimensional de la constante G de la ley de gravitación de Newton, sabiendo que F es fuerza, d es distancia, m1 y m2 son masas. La ley de gravitación está expresada mediante la fórmula: 2 21 d mm GF = a) M−1 L3 T−2 b) M L3 T−2 c) M−1 L 2 T 2 d) M L3 T e) M L T 3. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta: metros yx yBxA 3572 ,= + + Halle las dimensiones de B y A, sabiendo que Ny 357,= , donde N se mide en newtons. a) M L2 T−1 y M L2
  19. 19. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Magnitudes físicas 14 b) M L3 T−2 y L2 c) L 3 y L 2 d) M L T−2 y L 2 e) Ninguna anterior 4. Hallar la ecuación dimensional de P, si la ecuación dada es correcta dimensionalmente: 2 0 1       − = C R Rm P m0 es masa y C es la velocidad de la luz. a) M L T-1 b) M L T c) M L T-2 d) M L T2 e) M L T3 5. Hallar las dimensiones de X en la ecuación dada, si ésta es correcta dimensionalmente: ( )YKsenAcmYXK ππ 2235 =++ a) L b) L2 c) L3 d) L−1 e) Ninguna anterior
  20. 20. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 15 2. VECTORES En muchas aplicaciones de la física es necesario indicar la dirección así como la magnitud de una cantidad. La dirección en la que se mueve una banda transportadora es a menudo tan importante como la rapidez con la que lo hace. El efecto de un jalón de 20 N haciendo un ángulo con el piso es diferente del correspondiente a un jalón también de 20 N pero paralelo al piso. Las cantidades físicas como desplazamiento, velocidad y fuerza con frecuencia se encuentran en la industria. 2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES Algunas cantidades físicas pueden describirse por completo mediante un número y una unidad. Sólo las magnitudes físicas son de interés al hablar de un área de 12 cm 2 , un volumen de 15 m3 o una distancia de 15 km. Estas cantidades se denominan escalares. Una cantidad escalar se específica completamente por medio de su magnitud, esto es, un número y una unidad. La rapidez (20 mi/h), la distancia (30 km) y el volumen (200 cm3) son ejemplos de ella. Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse de la manera usual. Así. 24 mm + 30 mm = 54 mm 20 pies2 – 14 pies2 = 6 pies2 Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección, así como magnitud. En esos casos, reciben el nombre de cantidades vectoriales. La dirección debe ser una parte de los cálculos relacionados con dichas cantidades.
  21. 21. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 16 Una cantidad vectorial se específica completamente mediante una magnitud y una dirección; consta de un número, una unidad y una dirección. Son ejemplos, el desplazamiento (29 m, norte) y la velocidad (41 mi/h, 30º al noroeste). La dirección de un vector puede establecerse haciendo referencia a las direcciones convencionales norte, este, oeste y sur. Considere, por ejemplo, los vectores 20 m, oeste, y 40 m, a 30º NE, como se muestra en la Figura 2.1. La expresión NE, noreste, indica que el ángulo se forma girando una línea en la dirección norte a partir de la dirección este. Fig. 2.1. Indicación de la dirección de un vector con referencia al norte (N), al sur (S), al este (E) y al oeste (O). Otro método para especificar la dirección, que será particularmente útil más adelante, es tomar como referencia las líneas perpendiculares denominadas ejes. Estas líneas imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, si bien pueden orientarse en cualquier otra dirección en tanto sigan siendo perpendiculares. Una línea horizontal imaginaria suele llamarse eje x y una línea vertical imaginaria denominarse eje y. (Véase la Fig. 2.2). Las direcciones se determinan por medio de ángulos que se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. En la figura se ilustran los vectores 40 m a 60°y 50 m a 210°. En este cuaderno los vectores se representarán con los siguientes símbolos: A o A r Noroeste Noreste SuresteSuroeste N 90o O E S 270 o N S O E 40 m, 30º Noreste 20 m, 0 30º
  22. 22. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 17 mientras que su módulo se representará por: A o A r . Fig. 2.2. Indicación de la dirección de un vector. Suponga que una persona viaja en automóvil de Lima a San Juan, el desplazamiento desde Lima puede representarse mediante un segmento de línea dibujado a escala desde Lima hasta San Juan (Véase la Fig. 2.3). Una punta de flecha se dibuja sobre el extremo en San Juan para denotar la dirección. Conviene notar que el desplazamiento, representado por el vector D1 o 1D r , es por completo independiente de la trayectoria real del medio de transporte. Fig. 2.3. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Su dirección se indica mediante una flecha continua. El espacio recorrido es una cantidad escalar, indicada en la figura por medio de una línea punteada. Eje y 90º Eje x 0º, 360º 180º 270º(50 m, 210º) (40 m, 60º) 210º 60º Lima D1 S1 40º 140º San Juan • •
  23. 23. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 18 Otra diferencia importante es que el desplazamiento vectorial tiene una dirección constante de 140º (o 40º noroeste). Sin embargo, la dirección del automóvil en cualquier instante del viaje varía. 2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE MÉTODOS GRÁFICOS Hay dos métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores. El método del polígono es el más útil, puesto que puede aplicarse rápidamente a más de dos vectores. El método del paralelogramo es útil para la suma de dos vectores a la vez. En cada caso, la magnitud de un vector se indica a escala mediante, la longitud de un segmento de recta. La dirección se denota por medio de una punta de flecha al final del segmento. Ejercicios resueltos 1. Un barco recorre 100 mi en dirección norte, el primer día de un viaje; 60 mi al noreste, el segundo día; y 120 mi rumbo este, el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante mediante el método del polígono. Solución Una escala adecuada puede ser 29 mi = 1 cm, como en la Fig. 2.4. Usando esta escala, se tiene: cm6 mi20 cm1 xmi120mi120 cm3 mi20 cm1 xmi60mi60 cm5 mi20 cm1 xmi100mi100 == == == Al medir con una regla, se tiene del diagrama a escala que la flecha de la resultante tiene una longitud de 10,8 cm. Por tanto, la magnitud es:
  24. 24. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 19 mi216 cm1 mi20 xcm10,8cm10,8 == La medición del ángulo θ con un transportador, muestra que la dirección es 41°. El desplazamiento resultante es, en consecuencia, R = (216 mi, 41°) Fig. 2.4. Método del polígono para la suma vectorial. Note que el orden en el que se suman los vectores no cambia la resultante de ningún modo, por lo que se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas por el barco. El método del polígono puede resumirse como sigue: • Elija una escala y determine la longitud de las flechas que correspondan a cada vector. • Dibuje una flecha a escala que represente la magnitud y la dirección del primer 45º 120 millas 100 millas Desplazamiento resultante Punto de Inicio θθθθ N E• 60 millas 1 cm 20 mi
  25. 25. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 20 vector. • Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta del primer vector. • Continúe el proceso de juntar cola con punta hasta que se haya representado la magnitud y dirección de todos los vectores. • Dibuje el vector resultante de modo que su cola se sitúe en el origen (punto de inicio) y su punta coincida con la punta del último vector. • Mida con una regla y un transportador para determinar la magnitud y dirección de la resultante. Los métodos gráficos pueden emplearse para encontrar la resultante de todos los tipos de vectores. No se restringen a medir desplazamientos. En el siguiente ejemplo, se determina la resultante de dos fuerzas por medio del método del paralelogramo. En el método del paralelogramo, que es útil para sumar sólo dos vectores a la vez, dichos vectores se dibujan a escala con sus colas en un origen común. (Véase la Fig. 2.5) En ese caso, las dos flechas forman los lados adyacentes de un paralelogramo. Los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas de igual longitud. La resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo comprendida entre las dos flechas vectoriales. Fig. 2.5 Método del paralelogramo para la suma de vectores. Ejercicios resueltos 2. En un poste telefónico se enrolla una cuerda, formando un ángulo de 120°. Si se tira de un extremo con una fuerza de 60 N, y del otro con una fuerza de 20 N, ¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico? 1 cm 1 N 120º θ 20 N 60 N R
  26. 26. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 21 Solución Empleando la escala de 1 cm = 10 N, encontramos: cm2 N10 cm1 xN20 cm6 N10 cm1 xN60 = = En la Fig. 2.5, se construye un paralelogramo dibujando las dos fuerzas a escala desde un origen común con 120° entre ellas. Completando el paralelogramo, es posible dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. La medición de R y θ con una regla y un transportador produce los valores de 53 N para la magnitud y 19° para la dirección. En consecuencia, R = (53 N, 19°) 2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR Considere el vector A r , en un sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la Fig. 2.6. El vector A r puede ser representado como la suma de dos vectores: yx AAA rrr += Donde, Ax = A cos θ , Ay = A sen θ. La magnitud y la dirección de A r se determinan por 22 yx AAA +=       =θ − x y A A1 tan Fig. 2.6 A r xA r yA r θ x y
  27. 27. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 22 2.4. VECTORES UNITARIOS Un vector unitario es un vector adimensional con magnitud igual a 1. Sirve para describir una dirección. En un sistema coordenado xy se pueden definir los vectores unitarios iˆ y jˆ como se muestra en la figura 2.7. Dado el vector A r se define el vector Unitario Aµ r como: A A A µˆ r = El vector Unitario Aµ r no tiene significado físico pero se usa para especificar una dirección en el espacio. Los vectores unitarios en el sistema cartesiano son: iˆ : Vector unitario a lo largo del eje x. jˆ : Vector unitario a lo largo del eje y. kˆ : Vector unitario a lo largo del eje z. La representación de un vector en el plano cartesiano (Fig. 2.8), en el caso de tres dimensiones es: kˆjˆiˆA zyx AAA ++= r Y su módulo es 222 zyx AAAA ++= Fig. 2.7 A r xA r yA r θ x y jˆ iˆ A r x y z Fig. 2.8
  28. 28. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 23 2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES Para este método primero debe dibujarse un sistema de coordenadas el cual servirá de referencia para la ubicación de los vectores. Luego se determinan las componentes de cada uno de los vectores a sumarse, obteniéndose finalmente las componentes del vector resultante. Por ejemplo para la Fig. 2.9: Suma Vectorial: jˆiˆBAR yx RR +=+= rrr Componente x: xxx BAR += Componente y: yyy BAR += El método de componentes puede resumirse como sigue: • Elegir un sistema de coordenadas. • Dibujar los vectores a sumar con un rótulo, desde el origen de coordenadas. • Determinar las componentes x e y de todos los vectores. • Determinar la suma algebraica de las componentes en las direcciones x e y. • Encontrar el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras. • Utilizar una relación trigonométrica idónea para encontrar el ángulo que el vector resultante forma con el eje +x. Fig. 2.9 A r B rR r x y
  29. 29. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 24 Ejercicios resueltos 3. En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobre una partícula. Obtener: (a) las componentes x, y de la fuerza neta sobre la partícula, (b) la magnitud y (c) la dirección de la fuerza resultante. Solución Componentes de las fuerzas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iˆF jˆF jˆjˆsenF iˆiˆcosF N150 N200 399053N500 301053N500 3 2 1 1 −= −= =°= =°= x y y x N, N, r r r r Componentes de la fuerza neta ( ) ( ) jˆR iˆR N199 N151 = = y x r r Magnitud de la fuerza neta N250N199151 2222 =+=+= RRR yx Dirección de la fuerza neta °=      =      = −− 852 151 19911 ,tantan x y R R θ x y F1 = 500 N F2 = 200 N 53,0°F3 = 150 N
  30. 30. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 25 4. En la figura se muestran tres vectores de velocidad y cuyos módulos son: A = 5,0 m/s, B = 10,0 m/s, C = 15,0 m/s. Obtenga la resultante de los vectores, CBA rrr ++ , y determine el módulo y la dirección de la resultante. Solución ( )iˆ,A sm05= r ( ) ( ) jˆ,sen,iˆ,cos,B sm060010sm060010 °+°= r ( ) ( ) jˆ,sen,iˆ,cos,C sm030015sm030015 °+°−= r ( ) ( ) jˆ,iˆ,R sm216sm03 +−= r El módulo es: ( ) ( ) sm16sm47516sm216sm03 22 ==+= ,,,R La dirección es 180°− α °=      = − 80 03 2161 , , tanα θ = 180°− 80°=100° 2.6. PRODUCTO ESCALAR Dados los vectores BA rr y mostrados en la Fig. 2.10, se define el producto escalar como, θABcosBA =⋅ rr 60,0°30,0° A r B r C r x y α x y 16,2 m/s 3,0 m/s θ A r B r Fig. 2.10
  31. 31. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 26 Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas kˆjˆiˆB kˆjˆiˆA zyx zyx BBB AAA ++= ++= r r Su producto escalar se representa como: zzyyxx BABABA ++=⋅BA rr Ejercicios resueltos 5. Calcule el ángulo entre los vectores A = (−1,00 i + 6,00 j) N y B = (3,00 i − 2,00 j) N. Solución El producto escalar es: ( ) N15,00N0012003 −=−−=++=⋅ ,,BA zzyyxx BABABA rr Como el módulo del vector A es ( ) ( ) N037006001 22 ,,, =+−=A y del vector B es ( ) ( ) N013002003 22 ,,, =−+=B , reemplazando en θcosBA AB=⋅ rr tenemos: θcos,,, 0130370015 =− De donde °=        − = − 133 013037 00151 ,, , cosθ
  32. 32. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 27 2.7. PRODUCTO VECTORIAL Dados los vectores BA rr y mostrados en la Fig. 2.11, se define el producto vectorial como: BAC rrr ×= Siendo C un vector perpendicular a los vectores A y B cuya magnitud es θsenABC = Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas kˆjˆiˆB kˆjˆiˆA zyx zyx BBB AAA ++= ++= r r Su producto vectorial se determina como la determinante de la matriz: ( ) ( ) ( )kˆjˆiˆ kˆjˆiˆ C xyyxzxxzyzzy zyx zyx BABABABABABA BBB AAA −+−+−== r Ejercicios resueltos 6. Determine el producto vectorial Fr rrr ×=ττττ , donde ( ) ( ) j,i,r m552m505 −= r y ( )kˆ,F N10345 5 ×= s . Solución BAC rrr ×= θ A r B r Fig. 2.11
  33. 33. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 28 ( ) ( )jˆ,iˆ, , ,, kˆjˆiˆ Fr Nm10942Nm10361Nm 1034500 0552505 66 5 ×−×−=           × −=×= rrr ττττ 2.8. FUERZA Y VECTORES Un empuje o tirón que tiende a provocar movimiento, recibe el nombre de fuerza. Un resorte estirado ejerce fuerzas sobre los objetos a los cuales están unidos sus extremos, el aire comprimido ejerce fuerzas sobre las paredes del recipiente que lo contiene, y un tractor ejerce una fuerza sobre el camión que tira de él. Es probable que la fuerza más familiar sea la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre todo cuerpo por la Tierra, que se denomina peso del cuerpo. Existe una fuerza definida aun cuando no haya contacto entre la Tierra y los cuerpos que atrae. El peso como una cantidad vectorial está dirigida hacia el centro de la Tierra. La unidad de fuerza del SI es el newton (N). 2.8.1. Fuerza resultante Cuando dos o más fuerzas actúan en el mismo punto sobre un objeto, se denominan fuerzas concurrentes. Su efecto combinado recibe el nombre de fuerza resultante. La fuerza resultante es aquella fuerza única que producirá el mismo efecto en magnitud y dirección que dos o más fuerzas concurrentes. Las fuerzas resultantes pueden calcularse de manera gráfica representándose cada fuerza concurrente como un vector. El método del polígono o el método de componentes para la suma de vectores darán entonces la fuerza resultante.
  34. 34. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 29 2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES Propiedad Explicación Figura Representación Igualdad A = B si A=B y sus direcciones son iguales Adición C = A + B Propiedad Explicación Figura Representación Negativo de A = −B si B=A y un vector su dirección es opuesta Sustracción C = A − B Multiplicación B = sA si B= sA y por un escalar la dirección de B y A son iguales AX = BX AY = BY AZ = BZ A B CX = AX + BX Cy = Ay + By Cz = Az + Bz A B CX = AX − BX Cy = Ay − By Cz = AZ − BZ B A sA BX = sAX BY = sAY BZ = sAZ A C B AX = −BX AY = −BY AZ = −BZ A B C −B
  35. 35. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 30 2.10.PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo o magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios. Respuesta. cm25 2. Determine el módulo o magnitud de la resultante de los vectores mostrados. Respuesta. N320 3. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. Respuesta. 5,0 N 4. Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar el módulo de la resultante de los vectores que se muestran. Respuesta. 10 cm 5. Si la resultante de los vectores mostrados es un vector vertical, hallar el módulo de C. Respuesta. 21 N A = 20 N B = 20 N 60º N 10 cm M B = 10 N A = 10√2 N 37º 45º x C = 15 N y 10 cm 4√3 N 60º 37º C x 25 N y
  36. 36. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 31 2.11.AUTOEVALUACIÓN 1. Hallar el módulo de la resultante de los vectores graficados. a) 8,0 cm b) 10 cm c) 20 cm d) 1,0 cm e) 15 cm 2. A partir de los vectores mostrados, determine: DCBA rrrr −+− 32 Datos: A = 20 m, B = 30 m, C = 10 m y D = 50 m. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 3. ¿Cuál es el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados? a) 5 √3 cm b) 5,0 cm c) 10 √3 cm d) 10 cm e) −5,0 cm A r A B r C r D r 16 cm 12 cm 10 cm 37º 20 cm 30 cm 10 cm 60º 120º 120º 60º
  37. 37. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Vectores 32 4. En el cubo de lado a que se muestra, hallar el módulo del vector DCBAR rrrrr −−+= . a) a b) 2a c) 4a d) 2a e) a22 5. El gráfico que se muestra es una pirámide recta cuya base es un cuadrado de lado a. Si su altura es igual a 2a , hallar el módulo de la resultante de los vectores que se indican. a) 2a b) 22a c) 24a d) 26a e) 28a A r B r C r D r
  38. 38. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 33 3. CINEMÁTICA Se vive en un mundo donde a simple vista, se aprecia que todo está en movimiento: un hombre caminando, un ave volando, un pez nadando, un motor que tira, un río que fluye, una corriente de agua, un automóvil en marcha, un avión en vuelo, el Sol y la Luna se mueven respecto a la Tierra. El movimiento es un fenómeno que consiste en el cambio de posición que realiza un cuerpo, en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera fijo. 3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Los elementos del movimiento son: • MOVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento. • TRAYECTORIA. Es la línea recta o curva que describe el móvil. • POSICION. Es un vector que indica la posición de un móvil, empieza en el origen de coordenadas y termina en el móvil. Se representa por ( ) kˆjˆiˆr zyxt ++= r . • DESPLAZAMIENTO. Se define para un intervalo de tiempo (t1, t2). Es el vector que va desde la posición en t1 hasta la posición en t2. ( ) ( ) ( )ttt 12 rrr rrr −=∆
  39. 39. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 34 • INTERVALO DE TIEMPO (∆t). Es el tiempo transcurrido desde un instante t1 hasta un instante t2: ∆t = t2 – t1. • VELOCIDAD MEDIA. Es la relación entre el vector deplazamiento y el intervalo de tiempo empleado: ( ) ( ) ( ) 12 12 tt tt t t m − − = ∆ ∆ = rrr v rrr r Se mide en m/s y tiene la misma dirección que el desplazamiento. • RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado. empleadotiempo recorridadistancia =mr La rapidez media es una cantidad escalar y es diferente a la velocidad media. Por ejemplo si partes de tu casa y después de un tiempo retornas a ella, tu desplazamiento será nulo al igual que la velocidad media. Sin embargo si habrá rapidez media ya que realizaste cierta distacia o espacio recorrido. • VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la derivada del vector posición respecto del tiempo: ( ) ( ) td td t r v r r = Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes: ( ) td txd v x = , ( ) td tyd vy = , ( ) td tzd vz = Revisa el Apéndice I para que revises ejercicios de derivación. • RAPIDEZ INSTANTÁNEA. Es el módulo o valor de la velocidad instantánea.
  40. 40. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 35 • ACELERACION MEDIA. Se define la aceleración media como la rapidez del cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo: ( ) ( ) ( ) 12 12 tt tt t t m − − = ∆ ∆ = vvv a rrr r • ACELERACIÓN INSTANTÁNEA. es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t: ( ) ( ) td td t v a r r = Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes: ( ) td tvd a x x = , ( ) td tdv a y y = , ( ) td tvd a z z = 3.2. CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN Es el que se realiza a lo largo de una línea que puede ser horizontal, vertical o inclinada. Estudiaremos dos clases de estos movimientos: Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Trayectoria del móvil Vector velocidad instantánea, v r Vector posición, r r x y
  41. 41. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 36 3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Es el movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, con velocidad constante. Ejemplo. El automóvil viaja por una trayectoria recta, recorriendo espacios en tiempos iguales. v Ecuaciones del MRU La velocidad es constante e independiente del tiempo transcurrido. La distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado. Ecuaciones: Posición : x = xo + v t Desplazamiento : ∆x = x − xo Siendo xo la posición inicial del móvil. Observe que no es necesario escribir las ecuaciones en notación vectorial ya que el movimiento es en una dimensión. Tabla 3.1. Unidades de distancia, tiempo y velocidad UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD SI m s m/s De uso popular km h km/h
  42. 42. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 37 3.2.2. Análisis de gráficas del MRU Gráfica posición (x) – tiempo (t) Se va a representar gráficamente la distancia recorrida por un móvil que viaja con una velocidad de 40 m/s con movimiento rectilíneo uniforme y que parte del origen de coordenadas xo = 0 m. t = 0 s x = xo t = 1 s x1 = 0 + 40 m/s × 1 s = 40 m t = 2 s x2 = 0 + 40 m/s × 2 s = 80 m t = 3 s x3 = 0 + 40 m/s × 3 s = 120 m t = 4 s x4 = 0 + 40 m/s × 4 s = 160 m Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla. x(m) 0 40 80 120 160 200 240 t(s) 0 1 2 3 4 5 6 En la gráfica se representan los tiempos empleados en el eje de las abscisas y las distancias recorridas en el eje de las ordenadas, obteniendo el siguiente gráfico. m/s40 2 80 2-4 80-160 Pendiente +=== ∆ ∆ = t x que es la velocidad media. x (m) t (s) 0 2 4 160 80 ∆t ∆x
  43. 43. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 38 Análisis de la gráfica. En el MRU la gráfica de la posición x en función del tiempo es una línea recta que pasa por el origen cuando xo = 0, por tanto es una función lineal. Se encuentra que a intervalos de tiempos iguales (∆t), le corresponde desplazamientos iguales (∆x). La pendiente de la recta x vs t representa la velocidad media del móvil. Pendiente = ∆x / ∆t En el MRU la velocidad es constante. Gráfica velocidad – tiempo Se va a representar gráficamente la velocidad de un cuerpo que recorre una trayectoria recta de 30 m en cada segundo. t1 = 1s x1 = 30 m v = 30/1 m/s = 30 m/s t2 = 1s x2 = 60 m v = 60/2 m/s = 30 m/s t3 = 1s x3 = 90 m v = 90/3 m/s = 30 m/s t4 = 1s x4 = 120 m v = 120/4 m/s = 30 m/s Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla. v (m/s) 30 30 30 30 30 30 30 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 Al representar los tiempos empleados en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje de la ordenada, se obtiene el siguiente gráfico: v (m/s) t (s) 0 2 4 30 ∆t Desplazamiento, ∆x v
  44. 44. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 39 Análisis de la gráfica. El valor de la pendiente en la gráfica v vs t es constante e igual a 30 m/s para todos los intervalos de la recta. La altura en la gráfica v vs t indica la velocidad media y el eje horizontal el intervalo de tiempo. El valor de la velocidad multiplicada por un intervalo de tiempo define el área del rectángulo que es el desplazamiento del móvil, por tanto, en toda gráfica v - t, el área debajo de la gráfica representa el desplazamiento efectuado por el móvil. Las unidades de esta área no son metros cuadrados por que un lado del rectángulo está medido en segundos y el otro lado en metros por segundo. Ejercicios resueltos 1. Un automóvil se mueve con velocidad constante v = 72 m/s. Se pide: a) Una expresión para la posición x(t) b) La posición en t = 20 s. c) El desplazamiento entre t = 10 s hasta t = 20 s. d) Haga una gráfica x vs. t. Solución (a) Considerando que el móvil parte desde un origen de coordenadas, es decir xo = 0, escribimos: Posición: x(t) = xo + v t = 0 + 72 t x (t) = 72t Solución (b) Para t = 20 s, se tiene: x (20) = 72 (20) = 1 440 m x (20) = 1 440 m Solución (c) ∆x = v ∆t = 72 (20 − 10) = 720 m ∆x = 720 m
  45. 45. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 40 2. Un automóvil parte del kilómetro cero de una carretera, desarrollando 100 km/h durante una hora; se detiene por completo durante 0,50 h, luego regresa a 50 km/h durante 1,0 hora, vuelve a detenerse 0,50 h y finalmente vuelve al punto de partida a 50 km/h. Si cada tramo se realiza con un MRU, se pide: a) Traza la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t). b) Traza la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t). Solución (a) Solución (b) Primer tramo: 0 ≤ t ≤ 1h x = xo+ v t = 0 + 100 t = 100 t Segundo tramo: 1 ≤ t ≤ 1,5h x = xo+ v t = 100 +0 t = 100 km Tercer tramo: 1,5 ≤ t ≤ 2,5h x = xo+ v t = 100 – 50 (t - 1,5) Cuarto tramo: 2,5 ≤ t ≤ 3h x = xo+ v t = 50 + 0 t = 50 km Quinto tramo: 3 ≤ t ≤ 4h x = xo+ v t = 50 – 50 (t - 3) x (m) t (s) 0 1 2 144 72 ∆t ∆x v (km/h) 100 0 -50 1 2 3 4 t(h)
  46. 46. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 41 3. Un tren se traslada sobre una vía rectilínea, manteniendo la velocidad constante de 20 m/s. Sabiendo que el tren parte de un punto considerado como origen, en el instante to = 0, en movimiento progresivo, y que en el margen de la ferrovía existen postes espaciados a intervalos regulares de 100 m, determine: a) La ecuación de movimiento con respecto al tiempo b) El tiempo transcurrido durante el paso de dos postes consecutivos, para un observador en el tren. c) La cantidad de postes que pasan por el observador del ítem b en 1 minuto. Solución (a) Datos: v = 20 m/s, t0 = 0 s, x0 = 0 m Distancia entre los postes = 100 m. Siendo el movimiento uniforme: x = xo + v t ⇒ x = 0 + 20 t x = 20 t Solución (b) ∆x = x - xo= v t ∆x = v t 100 = 20 t⇔ t = 0,5 20 100 = s Solución (c) Utilizando regla de tres: x (km) 100 50 0 1 2 3 4 t(h)
  47. 47. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 42 5,0 s _____ 1 poste 60 s _____ n postes 5,0n = 60 n 12 0,5 60 == n = 12 postes 4. Dos móviles A y B parten simultáneamente de la misma posición, con velocidades constantes y respectivamente iguales a 6,0 m/s y 8,0 m/s. Los móviles recorren los ejes Ox y Oy, formando un ángulo recto. Determine: a) Las ecuaciones con respecto al tiempo de los móviles b) La distancia que los separa, después de 5,0 segundos de su partida Solución (a) Datos: vA = 6,0 m/s vB = 8,0 m/s Para un móvil A, vA = 6,0 m/s y xoA = 0 m. Por tanto, su ecuación de movimiento será xA = 0 + 6 xA = 6 t Para móvil B, vB = 8,0 m/s y xoB = 0 m. Por tanto, su ecuación horaria será xB = 0 + 8 t. XB = 8 t Solución (b) d2 = xA 2 + xB 2 ⇒ d2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500 d = 2500 = 50 d = 50 m.
  48. 48. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 43 5. Los diagramas temporales de los puntos materiales A y B, que se desplazan sobre una misma recta, están representados en la figura. Determine: a) Las ecuaciones con respecto al tiempo b) El instante en que se produce el encuentro de los móviles c) La posición del punto de encuentro d) Los desplazamientos de los móviles hasta el encuentro e) Los instantes en que la distancia entre los móviles es 40 m. Solución (a) Para la obtención de sus ecuaciones horarias determinemos el inicio de sus velocidades. vA m/s )( tt xx t x oAA oAA A A 5 6 30 06 300 == − −− = − − = ∆ ∆ = vB m/s tt xx t x oBB oBB B B 3 30 90 030 900 −= − = − − = − − = ∆ ∆ = vA > 0 ⇒ Movimiento Progresivo vB < 0 ⇒ Movimiento Retrógrado Ecuación horaria de A: xA = -30 + 5 t Ecuación horaria de B: xB = 90 – 3 t Solución (b) -30 + 5 t = 90 – 3 t ⇒ 8 t = 120 ⇔ t = 15 8 120 = t = tE por tanto: tE = 15 s Solución (c) xE = xA = -30 + 5 · 15 = 45 o xE = xB = 90 - 3 · 15 = 45 xE = 45 m
  49. 49. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 44 Solución (d) Para un móvil A: ∆xA = xE - xoA = 45 - (-30) = 75 m Para móvil B: ∆xB = xE - xoB = 45 - 90 = - 45 m Solución (e) Antes de encontrar: Después de encontrar: xB - xA = 40 m xA - xB = 40 m 90 – 3 t - (- 30 + 5 t) = 40 -30 + 5 t - (90 – 3 t) = 40 120 – 8 t = 40 -120 + 8 t =40 8 t = 80 8 t = 160 t = 10 8 80 = t = 20 8 160 = t = 10 s t = 20 s 6. Un tren de 100 m de longitud mantiene una velocidad constante de 72 km/h. Determine la longitud del puente por el cual pasa el tren, si el transcurso completo dura 15 s. Solución vtren = 20 m/s vtren . t1 = 20 · t1 = 100 t1 = 5 s Tiempo Total = 15 s = t1 + t2 t2 = 10 s vtren · t2 = Lpuente = 20 · 10 = 200 m 7. Dos móviles se trasladan por la misma carretera, la cual es rectilínea, y sus desplazamientos obedecen a las ecuaciones horarias x = 10 + 40 t y x' = 330 – 60 t. Los espacios son medidos en kilómetros y los instantes en horas. Si ambos parten en el mismo instante, determine:
  50. 50. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 45 a) El instante del encuentro. b) La posición del encuentro. c) Los respectivos desplazamientos hasta el encuentro. d) La distancia que los separa, después de 3 horas de la partida Solución (a) x = 10 + 40 t ...(1) (km/h) x' = 330 – 60 t ...(2) (km/h) x = x' (encuentro) de (1) - (2) 0 = -320 + 100 t t = 3 h 12 min. Solución (b) Reemplazando t en (1): x = 138 km Solución (c) ∆x = 128 km ∆x' = -192 km Solución (d) x = 10 + 40 (3) = 130 km x' = 330 – 60 (3) = 150 km x' - x = 20 km 8. La figura ilustra las posiciones de los dos móviles, A y B, que parten en el mismo instante, con velocidades constantes y respectivamente iguales a 1,2 m/s y 1,6 m/s. La distancia inicial entre los móviles es 40 m. Determine: a) El tiempo que transcurre desde hasta el instante del encuentro. b) Las distancias recorridas por los móviles hasta el encuentro.
  51. 51. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 46 Solución (a) vA - t = dA ....(1) vB - t = dB ....(2) Del gráfico y por pitágoras (vA t)2 + (vB t)2 = dA 2 + dB 2 t 2 (vA 2 + vB 2 ) = 40 2 t = 20 s Solución (b) vA(20) = 24 m vB(20) = 32 m 9. El diagrama registra la variación de las posiciones de los dos móviles, que caminan sobre la misma recta, en función del tiempo. Sabiéndose que la razón entre las velocidades de los móviles A y B es 2, determine: a) Las respectivas velocidades de los móviles. b) La posición del punto de encuentro.
  52. 52. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 47 Solución (a) 2= B A v v ...(1) xA = -50 + 20 vA xB = 50 + 20 vB ⇒ t = 20 se cumple xA = xB y de (1): vB = 5 m/s y vA = 10 m/s Solución (b) Remplazando en cualquiera de las ecuaciones de movimiento: x = -50 + 20 (10) = 150 m 3.2.3. Movimiento rectilineo uniforme variado (MRUV) Es aquel movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, variando progresivamente el valor de la rapidez (v), ya sea aumentando (acelerando) o disminuyendo (desacelerando o retardado) esta variación depende de la aceleración y esta aceleración es una magnitud constante. Ecuaciones del MRUV • Aceleración media o instantánea a = ∆v/∆t es constante en el tiempo.
  53. 53. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 48 • Velocidad instantánea v(t) = vo + a t La gráfica velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente puede ser positiva (+) cuando la velocidad aumenta y negativa (-) cuando la velocidad disminuye. • La posición x(t) tiene una relación cuadrática con el tiempo. x(t) = xo + vo t + a t2 /2 La gráfica x - t corresponde a una parábola. • Reuniendo las ecuaciones de la velocidad y de la posición, se obtiene: v2 = vo 2 + 2a (x − xo) IMPORTANTE: Recuerde que: • Cuando el móvil parte del reposo la velocidad inicial vo es igual a 0, • el desplazamiento recorrido por un móvil, es igual al área en una gráfica v – t y • la aceleración es igual a la pendiente en una gráfica v – t. v (m/s) V0 v (m/s) V0 t(s) t(s) a > 0 a < 0 xo x (m) t (s) a > 0 xo x (m) t (s) a < 0
  54. 54. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 49 Tabla 3.2. Unidades de distancia, tiempo, velocidad y aceleración UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACIÓN SI m s m/s m/s2 De uso popular km h km/h km/h2 3.2.4. Análisis de gráficas de MRUV Gráfica de la velocidad (v) – tiempo (t) Representamos la velocidad en el eje de las ordenadas, mientras que el tiempo en el eje de la abscisa, de un cuerpo que parte del reposo (vi = 0) que se mueve con una aceleración de 4 m/s2 . vt = v1 + a t vt = 0 + (4 m/s 2 ) (0 s) = 0 m/s 2 vt = 0 + (4 m/s2 ) (1 s) = 4 m/s2 vt = 0 + (4 m/s 2 ) (2 s) = 8 m/s 2 vt = 0 + (4 m/s2 ) (3 s) = 12 m/s2 Registramos los datos obtenidos en la tabla y graficando obtenemos: v(m/s) 0 4 8 12 16 20 24 t(s) 0 1 2 3 4 5 6 v (m/s) t (s) 0 2 4 16 8 ∆t ∆v Pendiente: a = ∆v/∆t= 4 m/s 2
  55. 55. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 50 Análisis de la gráfica. La gráfica v – t es una línea recta. La recta pasa por el origen de coordenadas, debido a que el móvil parte sin velocidad inicial. La pendiente de la recta es la constante, que en este caso viene a ser la aceleración. Aceleración = pendiente en gráfica v – t El desplazamiento es el área debajo la gráfica. Gráfica de la posición (x) – tiempo (t) Representamos la posición x en el eje de la ordenada y el tiempo en la abscisa, para un cuerpo que parte del reposo (vo = 0) y del origen de coordenadas (xo = 0), moviéndose con una aceleración de 2 m/s2 . Aplicando la fórmula: x(t) = xo + vot + a t2 /2 Se registra los datos obtenidos en la tabla y se grafica: x(m) 0 1 4 9 16 25 t(s) 0 1 2 3 4 5 t2 (s2 ) 0 1 4 9 16 25 Linealizamos la gráfica (x vs t 2 ), con el objeto de hallar la pendiente, elevando los
  56. 56. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 51 datos del tiempo al cuadrado en la tabla. Análisis de la gráfica 1. La gráfica posición (x) en función del tiempo es una parábola. La parábola siempre pasa por el origen, debido a que el móvil parte desde el reposo (velocidad inicial = 0). El movimiento tiene aceleración positiva porque la parábola es cóncava hacia arriba. Análisis de la gráfica 2. La gráfica muestra que la distancia es directamente proporcional al cuadrado de los tiempos. La pendiente de la gráfica es igual a la mitad de la aceleración (a/2) cuando el móvil parte del reposo. Ejercicios resueltos 10. Un vehículo que se desplaza a 10 m/s, debe parar después de 10 s que el conductor frena. Se pide: a) Representar las gráficas v - t y x - t b) ¿Cuál es el valor de la aceleración, en el MRUV, que los frenos deben imprimir al vehículo? c) Escriba las ecuaciones v(t) y x(t). d) ¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada? Solución (a) Solución (b) Aceleración, a = ∆v/∆t = (0 – 10) / (10 – 0) = –1m/s2
  57. 57. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 52 Solución (c) Ecuación para la velocidad: v= vo + a t = 10 + (-1) t = 10 – t Ecuación para la posición: x(t) = xo + vo t + a t 2 /2 = 0 + (10) t + (-1) t 2 /2 = 10 t – t2 /2 Solución (d) De la ecuación v 2 = vo 2 + 2a (x - xo), obtenemos 0 = (10)2 + 2 (-1)(x-0) x = 50 m 11. Un auto se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando el conductor pise el acelerador, el movimiento pasa a ser uniformemente acelerado, alcanzando una velocidad de 35 m/s en 3 s. Se pide: a) Trazar las gráficas v - t y x - t. b) Calcular la aceleración del auto. c) Escribir las ecuaciones v(t) y x(t). d) Hallar la distancia alcanzada. Solución (a) v (m/s) x(m) 35 5 t(s) t(s) Solución (b) Aceleración a = ∆v/∆t = (35-5) / (3-0) = 10 m/s 2 Solución (c) Ecuación para la velocidad. v(t) = vo + a t = 5 + 10 t 2
  58. 58. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 53 Ecuación para la posición. x(t) = xo + vo t + a t 2 /2 = 0 + 5 t + 10(t 2 )/2 = 5 t + 5 t2 Solución (d) La distancia corresponde al valor de x cuando t = 3 s x = 5 (3) +5 (3)2 = 60 m 12. En el instante en que una señal de tránsito cambia a verde, un automóvil se pone en movimiento con la aceleración de 1,8 m/s2 . En el mismo instante pasa un tranvía con velocidad uniforme de 9,0 m/s, en la misma dirección del automóvil. Se pide: a) Graficar v - t y x – t. b) Escriba las ecuaciones x(t) y v(t) para el automóvil y el tren. c) ¿Qué velocidad tendrá cuando alcanza el auto al tranvía? d) ¿A qué distancia lo alcanza? Solución (a) Solución (b) Para el automóvil Posición: x(t) = x o + vo t + a t 2 /2 = 0 + 0(t) + 1,8(t 2 )/2 = 0,9 t 2 Velocidad: v(t) = vo + a t = 0 + 1,8 t = 1,8 t Para el tren Posición: x (t) = x o + vot + a t2 /2 = 0 + 9(t) + 0(t2 )/2 = 9 t Velocidad: v(t) = vo + a t = 9 + 0 t = 9 m/s = constante (MRU) Solución (c)
  59. 59. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 54 En el punto de encuentro las posiciones x son iguales, por tanto: 0,9 t 2 = 9 t 1ra solución: t = 0 2da solución: t = 10 s La velocidad del automóvil cuando lo alcanza es: v = 1,8(10) = 18 m/s Solución (d) Lo alcanza en x = 9(10) = 90 m 13. Un punto material recorre el eje Ox con las velocidades indicadas en el diagrama. En el instante inicial to = 0, el móvil pasa por el origen de las abscisas x o = 0. Determine: a) La aceleración b) La ecuación de la velocidad c) La ecuación con respecto al tiempo d) La posición del móvil en el instante t = 5 s. e) El desplazamiento en los 10 s iniciales. Solución a) Sabemos que a = ∆x ∆v y que: ∆t = 5 - 0 = 5 s
  60. 60. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 55 ∆v = 0 - 20 = -20 m/s La aceleración será: a = 5 20− = -4 m/s2 b) v = vo + a t ∴ v = 20 – 4 t c) x = 0 + 20 t + 2 4− t2 d) Para t = 5 s, la posición del móvil será: x = 50 m e) Observando el gráfico v - t, verificamos que: Área del triángulo superior = 50 (entre 0 s y 5 s) Área del triángulo inferior = -50 (entre 5 s y 10 s) Por tanto, el desplazamiento entre 0 s y 10 s será: ∆x = 0 m 14. Un punto material recorre el eje x con velocidad que varia en el tiempo, según el diagrama, determine: a) La aceleración. b) La ecuación de la velocidad. c) El desplazamiento en los 25 s iniciales. Solución a) a = = ∆t ∆v 1 m/s 2 b) De: v = vo + a t Siendo para t = 0 ⇒ vo = 10 m/s v = -10 + t c) Del diagrama: A1 + A2 = 62,5 m
  61. 61. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 56 15. Una partícula recorre una recta con velocidad que varia según el diagrama. Determine: d) Las aceleraciones en los trechos AB y BC. e) El instante en que el desplazamiento es máximo. f) El desplazamiento en el instante t = 30 s. Solución a) Tramo AB ⇒ a = = ∆ ∆ t v 0,8 m/s2 Tramo BC ⇒ a = -0,8 m/s 2 b) 20 s c) A1 + A2 = 40 m 16. Dos móviles A y B parten simultáneamente de la misma posición y recorren el eje Ox. El diagrama representa las velocidades de los móviles en función del tiempo. Determine: a) El instante del encuentro b) El instante en que la razón entre las velocidades de B y de A es igual a 3. Solución a) vA = 4 t vB = 10 + 2 t xA = xoA + 2 t2 ...(1) xB = xoB + 10 t + t2 ...(2) v (m/s) t (s) 10 20 0 5 A B
  62. 62. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 57 En el encuentro xA = xB y como parten de la misma posición xoA = xoB, así: Restando (1) - (2): t = 10 s b) = A B v v 3 = 4t 2t10 + t = 1 s 17. La posición x de un cuerpo, que se mueve a lo largo de una recta, en función del tiempo t, es mostrada en el gráfico. Para cada uno de los cuatro intervalos señalados en el gráfico, indique: a) Si la velocidad es positiva, negativa o nula. b) Si la aceleración es positiva, negativa o nula. Solución (a) Se observa que en todo momento el movimiento se realiza en la dirección positiva del eje x, por lo tanto en los intervalos I, II y III la velocidad es positiva y en el intervalo IV la velocidad es nula. Solución (b) Analicemos la concavidad de la gráfica en: Intervalo I : Hacia arriba : a > 0 Intervalo II : Recta : a = 0 Intervalo III : Hacia abajo : a < 0 Intervalo IV : Recta : a = 0
  63. 63. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 58 18. Una partícula recorre el eje x. En el instante to = 0 el espacio inicial es xo = 0. En el diagrama se representa la velocidad de la partícula en función del tiempo. Determine: a) La aceleración de la partícula. b) Los tipos de movimiento entre los instantes 0 y 15 s y 15 s y 30 s. c) El desplazamiento en los 15 s iniciales y entre 15 s y 30 s. d) La posición del móvil en el instante 15 s y en el instante 30 s. Solución a) vf = vo + a t entonces a = 2 m/s2 b) De 0 s - 15 s a es positivo y v negativo El movimiento es uniformemente acelerado. De 15 s – 30 s a es positivo y v positivo El movimiento es uniformemente acelerado. c) De 0 - 15 s d = vo t + 2 1 a t 2 = -225 m De 15 s – 30 s d = 225 m d) En el instante t = 15 s ⇒ x = -225 m t = 30 s ⇒ x = 0 m Luego en t = 30 s el móvil regresa a su posición inicial.
  64. 64. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 59 19. Un punto material describe un movimiento rectilíneo, partiendo de un punto donde se encontraba en reposo. Se observa que su velocidad varía con el tiempo, indicado por un reloj, de acuerdo con los valores medidos y tabulados a continuación. a) Construya, en papel milimetrado, el gráfico de v en función de t. b) A partir de la curva ajustada en el gráfico del ítem anterior, calcule la distancia recorrida por el punto material entre t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s. Solución (a) Solución (b) Sabiendo las velocidades en los puntos t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s, usamos: v2 2 = v1 2 + 2 a·∆x ...(1) (6,77)2 = (2,25)2 + 2a·∆x ...(2) De la parte primera se sabe que la aceleración es 1,5 m/s2 Luego remplazando en (2): ∆x = 13,5 m
  65. 65. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 60 20. A partir del gráfico construido para resolver la pregunta anterior. Determine: a) La velocidad media del punto material entre los instantes t1 = 1,0 s y t2 = 6,0 s. b) La aceleración del punto material. Solución (a) La velocidad media es: vm = 2 vv t2t1 + ...(1) Necesitamos vi para t1 = 1 s, luego: ∆x· t1 = vo t1 + 2 1 a t1 2 = 0,75 m (con a = 1,5 m/s2 ) y su velocidad será vt1 = 1,5 m/s ...(2) Remplazando (2) en (1): vm = 1,5 + 2 978, = 5,24 m/s Solución (b) a = tg α = 10 8714, = 1,49 m/s 2 3.2.5. Movimiento de caída libre La caída libre es un caso particular del MRUV siendo la aceleración la gravedad (g = 9,8 m/s2 ) un vector vertical hacia abajo. El movimiento descrito es acelerado con trayectoria rectilínea vertical; no se tiene en cuenta la resistencia del aire. La aceleración de la gravedad no es una constante en la superficie de la tierra, esto se debe a que la tierra noes perfectamente esférica y además posee superficies accidentadas. Los valores de la gravedad son: En los polos g = 9,83 m/s2 En el ecuador g = 9,79 m/s 2
  66. 66. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 61 Observe que: • El movimiento de subida es desacelerado o retardado alcanzando el móvil una altura máxima en cuyo instante su velocidad es cero. • El movimiento de caída libre es rectilíneo y uniformemente acelerado. • En el vacío todos los cuerpos caen con la misma aceleración. • A una misma altura, el tiempo de subida y el tiempo de bajada son iguales. • A una misma altura, el módulo de la velocidad de subida y de bajada son iguales. Ecuaciones de caída libre Como el movimiento de caída libre es un caso particular del MRUV, las fórmulas son las mismas, siendo la aceleración ya conocida (g) y la posición la identificamos por la coordenada “y”. Así tenemos: v = vo − g t v2 = vo 2 − 2 g (y − yo) y = yo + vo t − g t2 /2
  67. 67. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 62 Ejercicios resueltos 21. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s. Se pide: a) Graficar v - t, y – t. b) Escriba las ecuaciones y(t) y v(t). c) ¿En qué tiempo alcanza su altura máxima? d) ¿Cuál es la altura máxima? e) ¿En qué tiempo regresa al punto de lanzamiento? Solución (a) Solución (b) Posición: y = yo + vo t - g t2 /2 = 0 + 20(t) – 9,8(t2 )/2 = 20 t – 4,9 t2 Velocidad: v = vo – g t = 20 – 9,8 t Solución (c) El tiempo de subida se obtiene cuando v = 20 – 9,8 t = 0, es decir t = 20/9,8 = 2,02 s Solución (d) La altura máxima se alcanza cuando v2 = vo 2 - 2 g h = 0, es decir h = vo 2 /2g = (20)2 /(2·9,8) = 20,4 m Solución (e) Regresa al punto de lanzamiento cuando y = 20 t – 4,9 t2 = 0, es decir t = 20/4,9 = 4,08 s hmax y (m) t (s) v = 0 v (m/s) t (s) 20 hmax
  68. 68. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 63 22. Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota, verticalmente hacia abajo, con una velocidad inicial de 14 m/s y tarda 2,0 s en llegar al piso. Se pide: a) Graficar y - t y v – t. b) La altura de donde fue lanzada la pelota. c) Escribir las ecuaciones y(t) y v(t) d) La velocidad con que la pelota llega al piso. Solución (a) Solución (b) La altura desde donde se lanzo debe cumplir: y = yo + vo t - g t 2 /2 = H – 14(2) – 4,9(2) 2 = 0, resultando H = 47,6 m Solución (c) Posición. y = yo + vo t - g t 2 /2 = -14 t – 4,9 t 2 Velocidad v = vo – g t = -14 – 9,8 t Solución (d) La velocidad de llegada, se obtiene de: v = -14 – 9,8(2) = -33,6 m/s hmax y (m) t (s) 0 2,0 v (m/s) t (s) −14 0 2,0
  69. 69. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 64 23. Un observador ve desde su ventana, un cuerpo caer con velocidad de 10 m/s. Otro observador, situado a 75 m debajo del primero, observa el mismo objeto pasar en caída libre y alcanzar el suelo en 1,0 s, considerando la aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s2 , determine: a) La velocidad del móvil al pasar por el segundo observador b) El tiempo que le toma al cuerpo para ir del primero al segundo observador. c) La altura relativa del segundo observador al suelo. d) La altura de caída del cuerpo relativa al suelo, desde el instante en que es abandonado. Solución a) En el tramo entre el 1o y el 2o observador: vo = v1 = 10 m/s v = v2 = ? h = ∆h2 = 75 m g = 10 m/s 2 Sustituyendo estos datos en: v 2 = vo 2 + 2gh v2 = 40 m/s b) En el tramo entre el 1o y el 2o observador: vo = v1 = 10 m/s t = t2 = ? v = v2 = 40 m/s g = 10 m/s2 Sustituyendo: t2 = 3,0 s c) En el tramo entre el 2 o observador: h = ∆h3 = ? vo = v2 = 40 m/s Sustituyendo ⇒ ∆h3 = 45 m d) La caída es de una altura total de : ∆h1 + ∆h2 + ∆h3 Desde el punto inicial hasta el punto en que se localiza el 1er observador, se tiene: vo= 0 , v = v1 = 10 m/s y ∆h1 = ?
  70. 70. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 65 Sustituyendo en v 2 = vo 2 + 2gh ⇒ ∆h1 = 5,0 m Siendo ∆h2 = 75 m y ∆h3 = 45 m, tenemos: h = 125 m. 24. Dos esferitas son lanzadas verticalmente de abajo hacia arriba, a partir de la misma altura, con la misma velocidad inicial de 15 m/s, pero con intervalo de tiempo de 0,5 s entre los lanzamientos. Despreciando la resistencia del aire, realice en el mismo sistema de ejes, los gráficos de velocidad en función del tiempo para las dos esferitas. Indique en los ejes las unidades de medida. Determine también el instante en que las alturas de las dos esferitas coinciden y justifique sus respuestas. Solución La altura máxima alcanzada es igual para las dos esferas, pues la resistencia del aire fue despreciada. El tiempo de ascenso de la esfera A es: ta = 1,5 g vo −=− s Como t'a = ta + t'o ⇒ t'a = 2,0 s Las esferas A y B tendrán la misma altura, en el instante en que la primera estuviera en caída y la segunda estuviera ascendiendo, cuando el tiempo transcurrido para A fuera t, para la esfera B será (t - 0,5), pues hay un desfase de 0,5 s entre ambas.
  71. 71. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 66 Las observaciones correspondientes serán: A ⇒ hA = 15 t + 2 t 2 10− B ⇒ hB = 15(t-0,5) + 2 0,5)(t 2 10 − − Igualando hA = hB ⇒ t = 1,75 s Podemos llegar a la observación de t = 1,75 s a través de la observación del gráfico anterior. • El área A representa la altura de caída de la esfera A. • El área B representa la altura que le falta a la esfera B para alcanzar la altura máxima. Para que el área A sea igual al área B, el instante t deberá ser el punto medio entre 1,5 s y 2,0 s. Así las esferas A y B estarán en la misma altura en el instante t = 1,75 s.
  72. 72. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 67 25. La figura representa la velocidad en función del tiempo, de un cuerpo que fue lanzado de abajo para arriba (t = 0 representa el instante del lanzamiento). ¿Cual es la mayor altura que él alcanza en relación al punto de lanzamiento? Justifique su respuesta. Solución Calculemos el tiempo que toma el alcanzar su máxima altura (vf = 0): vf = vo – g t 0 = 10 – 10 t ⇒ t = 1s con t = 1 s calculamos la altura correspondiente: h = 10(1) - 5 = 5 m. 26. Un proyectil es lanzado desde el suelo, en dirección vertical, con una velocidad inicial de 400 m/s. Considerando la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 y despreciando la resistencia del aire, determine: a) La altura máxima alcanzada. b) El tiempo empleado por el proyectil hasta regresar a la posición inicial. c) La altura, desde el suelo, en que ocurre el encuentro con un segundo proyectil, soltado en el instante del lanzamiento del primer proyectil y desde el punto de altura máxima por este alcanzado. Solución a) Hallando el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima: vf = vo – g t ⇒ t = 40 s Entonces hmax = 400(t) - 5(t2 ) = 8 000 m
  73. 73. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 68 b) Para subir emplea 40 s y despreciando la resistencia del aire, se cumple: tsalida = tbajada ⇒ ttotal = 80 s c) Para el proyectil (1): vf1 = 400 – 10 t Para el proyectil (2): vf2 = -10 t Pero vf1 = vf2 ⇒ t = 20 s Ahora: h = 400(20) - 5(20)2 = 6000 m, que es la altura del punto de encuentro. 27. Un cuerpo abandonado cae, en caída libre, de una altura de 125 m del suelo, en un local donde la aceleración de la gravedad es 10 m/s2 . Determine: a) El tiempo de recorrido. b) La velocidad con que llega al suelo. c) La altura del punto donde el cuerpo pasa con velocidad igual a la quinta parte de la velocidad máxima. Solución h = 125 m a) ⇒ 125 = 5 t2 ⇒ t = 5s b) La velocidad con que llega al suelo es: vf = vo + g t = 50 m/s c) La vmax = 50 m/s, entonces: La altura para v = 10 m/s: vf 2 = vo 2 + 2gh ⇒ h = 5 m Es decir que el punto esta a 5 m de nuestro nivel de referencia, entonces la altura de este punto es 120 m.
  74. 74. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 69 28. Un cuerpo A es abandonado, en caída libre, de una altura de 120 m sobre el suelo. En el mismo instante se lanza un cuerpo B, de abajo para arriba, en la misma dirección, con velocidad voB. Demuestre que la aceleración de la gravedad local es de 10 m/s2 y que los y que los cuerpos chocan 3,0 s después de iniciado los movimientos. Determine: a) La velocidad voB. b) Las velocidades de los cuerpos A y B en el instante del choque. c) La altura donde ocurre el encuentro. Solución Tiempo de choque = 3,0 s. a) hA= 120 - 2 1 (10)(3,0)2 = 75 m hB = 75 m = voBt - 2 1 (10)(3,0) ⇒ voB = 40 m/s b) vfA = -30 m vfB = 10 m/s c) a 75 m del suelo 29. A 180 m del suelo se abandona un cuerpo, en caída libre. La altura es dividida en tres trechos tales que los tiempos utilizados en los diversos trechos son iguales. Suponiendo la aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s2 . Determine: a) La altura de cada trecho b) La velocidad media en cada trecho.
  75. 75. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 70 Solución (a) Calcularemos las alturas correspondientes a cada tramo del movimiento: hA = 180 - 2 1 (10)t2 hB = 180 - 2 1 (10)(2t) 2 hC = 180 - 2 1 (10)(3t)2 Pero hC = 0 (al nivel del suelo), luego t = 2 s. ∴ hA = 160 m y hB = 100 m Con lo que tenemos en el primer tramo una separación de 20 m, en el segundo tramo 60 m y en el tercer tramo 100 m. Solución (b) vfA = vo - g(2) = - 20 m/s ⇒ vmA = - 10 m/s vfB = - 40 m/s ⇒ vmB = - 30 m/s vfC = -60 m/s ⇒ vmC = - 50 m/s 30. Del alto de un muro, de altura 40 m, se lanza una piedra, de abajo para arriba, con velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la aceleración de la gravedad local es de 10 m/s2 y suponiendo despreciable la resistencia del aire. Determine: a) El tiempo empleado por la piedra hasta alcanzar el suelo. b) La velocidad con que la piedra llega al suelo. c) La altura máxima alcanzada por la piedra con respecto al suelo. d) El gráfico de velocidad en función del tiempo, suponiendo un eje orientado de abajo para arriba.
  76. 76. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 71 Solución vo = 10 m/s y considerando el nivel de referencia desde la posición inicial y con la coordenada positiva dirigida hacia abajo. La coordenada positiva dirigida hacia abajo. a) vf = -vo + (10) t ⇒ t = 1 s (con vf = 0 m/s) El cuerpo toma 2 segundos en pasar por la posición de lanzamiento (considerando la subida y la bajada), y desde aquí al suelo le toma: h = 40 = 10(t) + 5 t2 ⇒ t = 2 s El tiempo total que toma hasta llegar al suelo es: t = 4 s. b) vf = v0 + g(2) ⇒ vf = 30 m/s c) Se necesita calcular la altura que alcanza en el primer segundo de ser lanzado: h = - 5 m Altura máxima es de 45 m del suelo. d) 3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO Hay muchos casos importantes de movimientos dentro de un plano. Estudiaremos dos de ellos: el movimiento de proyectiles y el movimiento circular.
  77. 77. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 72 3.3.1. Movimiento de proyectiles Se refiere al movimiento de un objeto que ha sido lanzado horizontalmente o en forma inclinada. La trayectoria que describe, es un movimiento curvilíneo que resulta de la combinación de dos movimientos: una horizontal uniforme y otra vertical uniformemente variada. Ejemplo: Una pelota de glof lanzada como se muestra en la figura. El movimiento de proyectiles podemos estudiarlos en dos perspectivas: Movimiento Horizontal y Movimiento Vertical. Al lanzarse el objeto con una rapidez inicial vo formando un ángulo θ con la horizontal, la velocidad inicial tiene dos componentes: Componente horizontal: vox = vo cos θ Componente vertical: voy = vo sen θ Ángulos sen θ cos θ 15° 0,2588 0,9659 30° 0,5 0,8660 37° 0,6018 0,7986 45° 0,7071 0,7071 53° 0,7986 0,6018 60° 0,8660 0,5 90° -1 0 x v0x = v0 cos θ y v0 v0y = v0 sen θ θ
  78. 78. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 73 Movimiento Horizontal Cuando se lanza un objeto con cierta inclinación, este adquiere una velocidad inicial horizontal. Después de ser arrojado, no existe aceleración en la dirección horizontal y por lo mismo el proyectil se desplaza en la dirección horizontal con una velocidad constante (MRU). La posición del proyectil en la dirección horizontal en función del tiempo es: x = xo + vo cosθ t Movimiento Vertical Luego de lanzar el objeto, esta tiene una aceleración hacia abajo debido a la gravedad. La posición del proyectil en la dirección vertical en función del tiempo es: y = yo + vo senθ t – g t2 /2 Combinando estas dos ecuaciones para la posición horizontal y vertical, se encuentra que la trayectoria descrita corresponde a una parábola.
  79. 79. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 74 Ejercicios resueltos 31. Un avión vuela horizontalmente (θ = 0) a 500 m de altura con velocidad constante de 600 m/s y deja caer víveres. Se pide: a) Escribir las ecuaciones de posición horizontal x(t) y vertical y(t). b) La velocidad vertical con que los víveres llegan a la Tierra. c) ¿Qué tiempo tarda en caer? d) ¿La distancia recorrida por el avión desde que suelta los víveres hasta que esta llega a Tierra? Solución a) Posición Horizontal : x = xo + v t = 0 + 600 t Posición Vertical : y = yo + vo t – g t2 /2 = 500 + 0 – 4,9 t2 = 500 – 4,9 t2 b) Velocidad vertical final de caída vf 2 = vi 2 - 2g(y - yo) = 0 – 2·9,8·(0-500) = 9 800 Resultando vf,y = 98,99m/s c) Decimos que llega al piso cuando y = 0 m y = 500 + 0 – 4,9 t 2 = 0, resultando t = 10,1s 32. Jesús es futbolista, patea la pelota con una velocidad inicial de 18 m/s con un ángulo de elevación de 15°. Se pide: a) La ecuación de las posiciones horizontal x(t) y vertical y(t) b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón? c) ¿Qué tiempo tarda la subida? d) ¿Qué tiempo demora el balón en todo el movimiento? e) ¿Qué alcance tuvo el balón?
  80. 80. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 75 Solución (a) Posición horizontal: x = xo +v t = 0 + 18·cos(15°)t = 17,38 t Posición vertical : y = yo + vosen(15°)t – gt2 /2 = 0 + 18·sen(15°)t – 4,9t 2 = 4,65t – 4,9t 2 Solución (b) De la expresión para la velocidad : vy 2 = [vosen(15°)]2 – 2g(y-yo), tenemos: 0 = (4,65)2 –2·9,8·(h - 0), resultando : h = 1,1m Solución (c) De la expresión para la velocidad: vy = vosen(15°) – gt = 4,65 – 9,8t =0. Resulta t = 0,47 s. Solución (d) Tiempo total de recorrido hasta que retorna al piso : tT = 2 t = 2·0,47 = 0,98 s Solución (e) El alcance horizontal que tiene el balón es: d = vocos(15°)tT = 17,38·0,98 = 17 m 33. Un proyectil fue lanzado con velocidad vo, formando un ángulo α con la horizontal. Suponiendo despreciable la resistencia del aire y sabiendo que la aceleración de la gravedad local vale g, determine: a) La altura máxima alcanzada. b) El alcance horizontal. c) El ángulo de lanzamiento para que el alcance sea máximo. Solución a) En la vertical, tenemos: voy = vo · sen α. Un punto de altura máxima (∆Y = H), la velocidad es: vy = 0. Substituyendo los valores de voy y vy en la siguiente ecuación:
  81. 81. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 76 ( ) αα 22 0 22 0 22 senvgHHgsenv02gHvv 22 0y 2 y ⋅=⇒−+⋅=⇒+= g senv H 2 22 0 α⋅ = b) En la horizontal, el movimiento es uniforme y vx = vo · cos α Sustituyendo esos resultados en la ecuación horaria, vemos: x = vx · t x = vo · cos α · t (I) Cuando regresa a la posición del lanzamiento, la velocidad del cuerpo: vy = - vo. sen α Substituyendo tenemos: vy = voy + h t - vo. sen α = vo . sen α - g t g t = 2 vo ·sen α g senv t α⋅ = 02 (II) Sustituyendo (II) en (I), vemos: x = v0 · cos α g senv α⋅2 0 x = g cossenvo αα ⋅⋅ 22 Por trigonometría sabemos que: 2 sen α . cos α = sen 2α. Por tanto: x = g senvo α22 ⋅ c) Para que x (alcance horizontal) sea máximo, sen α deberá ser máximo, será igual a 1. Como sen 90o = 1, tenemos: 2α = 90o α = 45o Esto es, el alcance será máximo cuando el ángulo de lanzamiento sea igual a 45O
  82. 82. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 77 34. Una bomba es abandonada de un avión con velocidad de 720 km/h, en vuelo horizontal a 1 125 m de altura. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 , determine: a) El tiempo empleado por la bomba hasta alcanzar el suelo. b) El alcance horizontal. Solución vbomba = 720 km/h a) 0 = 1 125 - 2 1 (10)t 2 ⇒ t = 15 s b) El alcance horizontal será: vbomba·15 = 15·720 km/h = 3 · 103 m 35. Un cañón dispara un proyectil con velocidad de 100 m/s, según una inclinación de 30o con respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2 , determine: a) El tiempo empleado hasta que el proyectil vuelva a la misma horizontal de su lanzamiento. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance horizontal. d) El instante en que el proyectil alcanza la altura de 80 m. e) Las posiciones del proyectil en los instantes de ocurrido el ítem (d). Solución a) La velocidad en la dirección vertical es: voy = 50 m/s el tiempo que toma para alcanzar su máxima altura es cuando vf = 0 ∴ vfy = 50 - 10t ⇒ t = 5 s. Luego el tiempo usado es : 10 segundos. b) La altura máxima es alcanzada en t = 5 s :
  83. 83. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 78 hmax = 50(5) - 5(5) 2 = 125 m. c) La velocidad horizontal es: vx = 100cos30°= 50 3 m/s Entonces el alcance horizontal es: vx·(10) = 500 3 m d) 80 = 50t - 2 1 (10)t2 ⇒ t = 8 s y t = 2 s e) Las posiciones son: t = 2 s ⇒ (100 3 ;80 m) t = 8 s ⇒ (400 3 ;80 m) 3.3.2. Movimiento circular Es el movimiento que recorre un móvil y cuya trayectoria corresponde a una circunferencia. Ejemplo: La trayectoria descrita por una piedra que gira atada al extremo de una cuerda como el de la figura. 3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU) Es aquel movimiento que tiene la trayectoria circular y recorre longitudes iguales en tiempo iguales. En el movimiento circular uniforme, la rapidez (magnitud de la velocidad v) no cambia, pero la dirección de la velocidad cambia permanentemente por influencia de la aceleración centrípeta ac. La velocidad es un vector tangente a la trayectoria y, por tanto perpendicular al ac ac ac ac v v v v R
  84. 84. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 79 radio. Elementos del MCU • Longitud Recorrida. Es la longitud de arco de circunferencia recorrido por un cuerpo con movimiento circular. • Desplazamiento Angular (∆θ). Es el ángulo que se describe el vector posición durante el movimiento. Se expresa en radianes. • Período (T). Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circular para dar una vuelta completa. • Frecuencia (f). Es el número de vueltas dado por un cuerpo con movimiento circular en cada unidad de tiempo. T f 1 = Se mide en hertz (Hz) o 1/s. • Velocidad Lineal o Tangencial (v). Es el vector velocidad del móvil y que tiene la dirección tangente a la circunferencia. • Rapidez Angular (ω). Es aquella cantidad escalar que nos indica el ángulo que recorre un cuerpo en cada unidad de tiempo. t∆ ∆ = θ ω Se mide en rad/s. También es frecuente medir la rapidez angular en revoluciones por minuto o rpm: s rad 60 2 min rev 1rpm1 π == • Revolución. Es una vuelta completa que da el móvil.
  85. 85. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 80 Ecuaciones del MCU Rapidez angular: T f π πω 2 2 == Rapidez tangencial o lineal: R T R v ω π == 2 Aceleración centrípeta Es la cantidad vectorial que representa el cambio de dirección de la velocidad; su dirección es hacia el centro de giro. Por definición la aceleración es una magnitud que representa el cambio de la velocidad; en el caso de la aceleración centrípeta, solo cambia la dirección, más no la magnitud. Por este motivo este movimiento sigue siendo uniforme (MCU) a pesar que interviene la aceleración centrípeta. La aceleración centrípeta se calcula por la expresión: R R v ac 2 2 ω== Ejemplos resueltos 36. Una partícula con movimiento circular uniforme, describe un ángulo de φ = 3,2 radianes en 2,0 segundos, si el radio de la circunferencia descrita es de 0,30 m. Se pide:
  86. 86. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 81 a) La rapidez angular b) La rapidez lineal c) El período d) La frecuencia e) La aceleración centrípeta Solución a) Velocidad angular. ω = ∆φ/∆t = 3,2/2 = 1,6 rad/s b) La velocidad lineal. v = ωR = 1,6 rad/s × 0,3m = 0,48 m/s c) Período. ω =2π/T, luego T = 2π/w = 2π/1,6 = 3,9 s d) Frecuencia. f = 1/T = 1/3,9 = 0,96/s = 1,96 Hz e) Aceleración centrípeta. ac = ω 2 R = ( 1,6 rad/s) 2 × 0,3 m = 0,77 m/s 2 Aceleración tangencial y angular La aceleración angular at cambia el módulo de la velocidad tangencial pero no la dirección de la velocidad. Se define la aceleración angular instantánea α como la derivada de la velocidad angular con respecto del tiempo. dt dω α = La aceleración angular se mide en rad/s2 . ac ac at ac v v v R at at
  87. 87. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 82 La aceleración tangencial y angular se relacionan por: Rat α= 3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV) Es aquel movimiento efectuado por un móvil durante el cual la aceleración angular y la aceleración tangencial permanecen constantes. Ecuaciones del MCUV Posición angular: 2 t αtωθθ(t) 2 oo ++= Velocidad angular: αtωω(t) o += Además, ∆θ2αωω 2 o 2 (t) += Que son idénticas a las obtenidas para el movimiento rectilíneo uniforme variado si hacemos los cambios θr → , ωv → y αa → . Obsérvese también, que la aceleración centrípeta ahora ya no es constante, mientras que la aceleración tangencial no cambia su magnitud. Ejemplos resueltos 37. La posición angular de un punto sobre la orilla de una rueda giratoria está dada por 2 3 4,00 3,00t t tθ = − + , donde θ se mide en radianes y t en segundos. ¿Cuál
  88. 88. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 83 es la aceleración angular a los 4,00 s? Solución Para revisar el tema de derivadas consulta el Apéndice I 2 003006004 tt dt d ,,, +−== θ ω t dt d 006006 ,, +−== ω α ( ) s rad t 018004 ,, ==α
  89. 89. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 84 3.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si la posición del cuerpo en función del tiempo es 0152 ,, += tx m. Determine la posición en t = 2,0 s. Respuesta. x = 6,0 m 2. Determine el espacio total recorrido por un móvil cuya gráfica velocidad vs tiempo es la que se muestra: Respuesta. 200 m 3. Una partícula se encuentra en el punto x = 4,0 m en el momento de empezar a contar el tiempo (t = 0,0 s) y se mueve con una velocidad constante de 8,0 m/s. a) Escriba la ecuación de la posición en función del tiempo. b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de 10,0 s? Respuesta. a) x = 4,0 m + 8,0 m/s t ; b) 84 m 4. La ecuación que nos da la posición de un móvil viene dada por CBtAtx +−= 2 , donde A = 8 m/s2 , B = 6 m/s y C = 4 m. a) ¿Es un movimiento uniformemente acelerado? b) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 1 s? Respuesta. a) Sí; b) 10 m/s v(m/s) 20,0 -20,0 0 5,00 10,0 t(s)
  90. 90. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 85 5. Cuando un proyectil lanzado con un cañón alcanza la altura máxima, el módulo de su velocidad se reduce a la mitad. Determine el ángulo que el cañón forma con la horizontal. Respuesta. 60°
  91. 91. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 86 3.5. AUTOEVALUACIÓN 1. La distancia media de la Tierra al Sol es de 1,5·1011 m y el módulo de la velocidad de la luz es 3,0·108 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? a) 5,0×102 s b) 4,0×10 2 s c) 3,5×102 s d) 8,5×10 2 s e) 9,3×102 s 2. ¿Cuál es la velocidad en t = 8,00 s de la gráfica mostrada? a) 5,00 m/s b) 0 m/s c) −5,00 m/s d) 8,00 m/s e) 7,5 m/s x(m) 10 -15 0 5,00 10,0 t(s)
  92. 92. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 87 3. La gráfica que representa el movimiento de un móvil que marcha con una rapidez v = 20 m/s, con movimiento rectilíneo uniforme, es: a) b) c) d) a y b e) Ninguna v(m/s) 20,0 -20,0 0 5,00 10,0 t(s) x(m) 100 0 5,00 10,0 t(s) x(m) 20,0 -20,0 0 5,00 10,0 t(s)
  93. 93. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Cinemática 88 4. La ecuación de posición de una partícula en función del tiempo es x = (2,0 m/s)t + 1,0. ¿Cuál será su desplazamiento entre t = 0,0 s y t = 2,0 s? a) 5,0 m b) 4,0 m c) 1,0 m d) 2,0 m e) −4,0 m 5. Un disco de 1,00 m de diámetro que se encuentra en reposo acelera uniformemente durante 20,0 s y alcanza una velocidad de 2 000 rpm. La aceleración angular y las vueltas que ha dado hasta alcanzar dicha velocidad, son respectivamente: a) 20,0 rad/s2 ; 200 vueltas b) 20,0 rad/s2 ; 330 vueltas c) 55,0 rad/s2 ; 130 vueltas d) 10,0 rad/s2 ; 330 vueltas e) 5,00 rad/s2 ; 400 vueltas
  94. 94. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 89 4. LEYES DEL MOVIMIENTO La descripción del movimiento que hemos realizado hasta el momento, se hizo prescindiendo de sus causas, vamos a estudiar las causas del movimiento, es decir, las fuerzas. Acostumbramos a decir que se necesita una fuerza para producir movimiento o un cambio en él. Eso es cierto pero un elemento fundamental de la descripción del movimiento, es como una fuerza se relaciona con el movimiento resultante. Una aceleración es la evidencia de la acción que llamamos fuerza. Uno de los muchos logros del gran científico Isaac Newton fue resumir las relaciones entre fuerza y movimiento en tres enunciados generales que se conocen con el nombre de las Leyes del Movimiento. 4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA “Un objeto permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza no equilibrada”. Ejemplo: Cuando un vehículo que se mueve a gran velocidad, se detiene bruscamente, y cesa por tanto la acción impulsora que ejerce sobre los pasajeros, éstos se sienten lanzados hacia delante a causa de su propia inercia. Esta experiencia nos permite afirmar que toda partícula libre se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
  95. 95. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 90 4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO “La fuerza que actúa sobre un cuerpo, le produce aceleración, y es igual al producto de la masa del cuerpo por aceleración que le imprime”. La Segunda ley del movimiento de Newton se expresa comúnmente en forma de ecuación como sigue: maF = Donde la masa m representa la respuesta del cuerpo (Inercia) ante la acción de la fuerza F. Un sistema puede contener más de un objeto, y m es la masa total del sistema en movimiento. Conviene puntualizar que, si más de una fuerza está actuando sobre un objeto o sistema, entonces F es la fuerza neta o no equilibrada (resultante): aF rr m=∑ Unidades en el SI: 1 = kg· m/s 2 = 1 newton = 1 N El newton es la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s 2 cuando actúa sobre una masa de 1 kg. 4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO La masa (m) de un cuerpo es una cantidad escalar que representa a la inercia del cuerpo al aplicársele una fuerza. El peso (W) de un cuerpo es una cantidad vectorial y es la fuerza gravitacional con que la Tierra lo atrae: W = mg Donde g es la aceleración de la gravedad y cerca de la superficie tiene un valor relativo medio constante de 9,8 m/s2 . ∑ F r a r
  96. 96. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 91 Ejercicios resueltos 1. Se tiene una masa de 0,5 kg en reposo y se desea ponerla en movimiento. Se pide: a) La fuerza necesaria para que adquiera una aceleración de 0,3 m/s 2 . b) Si se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de 10 N, ¿cuál será su aceleración? Solución Fuerza. F = ma = 0,5 × 0,3 = 0,15 N ∑F = F – mg = ma, reemplazando datos: 10 – 0,5 × 9,8 = 0,5 × a, resultando a = 10,2m/s2 2. Una fuerza de 75 N actúa sobre un cuerpo que la imprime una aceleración de 5,0 m/s 2 . Calcular el valor de la masa en los siguientes casos: a) Si la fuerza es horizontal. b) Si la fuerza es vertical hacia arriba. Solución a) Fuerza horizontal. F = ma, reemplazando datos: 75 = m(5), resultando: m = 15kg b) Fuerza vertical hacia arriba. ∑F = F – mg = ma, reemplazando datos: 75 – m(9,8) = m(5), resolviendo, se obtiene: m = 5,06kg
  97. 97. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 92 4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y REACCIÓN “Para cada fuerza actuante sobre un cuerpo (acción), siempre existe otra fuerza actuante sobre un segundo cuerpo (reacción) de igual magnitud y sentido opuesto”. Esto indica: Facción = − Freacción Donde el signo negativo indica la dirección opuesta. Ejemplo: La fuerza que se ejerce para iniciar el movimiento de un cohete es la fuerza de reacción proveniente de los gases al ser expulsados. 4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO Hasta este momento hemos estudiado un movimiento prescindiendo casi por completo de la fricción, habiendo asumido por razones de comodidad superficies ideales sin fricción, sin embargo, no existe ninguna superficie perfectamente lisa. http://blog-comunidad.ebay.es/images/2006/11/ronaldinho1.jpg acciónF r reacciónF r
  98. 98. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 93 Fuerza de rozamiento Es aquella fuerza que surge entre dos superficies cuando una trata de desplazarse con respecto a la otra. Esta fuerza siempre se opone al deslizamiento. La fuerza de rozamiento se presenta de diferentes formas: • Rozamiento entre superficies • Rozamiento en fluidos Nos limitaremos a estudiar solamente el rozamiento entre superficies que se clasifica en: • Rozamiento estático • Rozamiento cinético Rozamiento Estático Es el que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estática varía desde 0 hasta un valor máximo. Este valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente fórmula: Nf ss µ≤ Siendo: fs = fuerza de rozamiento estático µs = coeficiente rozamiento estático N = reacción normal Rozamiento cinético Es aquella que se presenta cuando hay deslizamiento entre dos superficies. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el Fricción
  99. 99. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 94 valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece constante. Nf kk µ≤ Siendo: fk = fuerza de rozamiento cinético µk = coeficiente de rozamiento cinético N = reacción normal Ejercicios resueltos 1. Una caja de cedro cuya masa es 20 kg descansa sobre una mesa también de cedro. µs = 0,40 y µk = 0,30. Se pide: a) La fuerza mínima que es preciso ejercer para ponerla en movimiento. b) Si se aplica una fuerza de 80 N, qué aceleración tendrá. c) La fuerza necesaria aplicar a la caja para que se mueva con aceleración de 0,50 m/s2 . F Solución a. En este caso la fuerza normal es igual al peso del cuerpo. N = W = mg = 20 kg x 9,8 m/s2 = 196 N Fuerza mínima para iniciar el movimiento = µsN = 0,4 x 196 = 78,4 N b. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma Reemplazando datos se obtiene: 80 – 0,3 x 196 = 20(a), resultando: a = 1,06 m/s2
  100. 100. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 95 c. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma. Reemplazando datos se obtiene: F – 0,3 x 196 = 20 x 0,5, resultando: F = 68,8N Ventajas del rozamiento Gracias al rozamiento: • Podemos caminar o correr, impulsándonos con nuestros pies sin resbalar. • Las ruedas pueden rodar. • Podemos efectuar movimientos curvilíneos sobre la superficie. • Los clavos pueden quedar incrustados en las paredes. Desventajas del rozamiento • Debido del rozamiento los cuerpos en roce se desgastan, motivo por el cual se utiliza los lubricantes. • Para vencer la fuerza del rozamiento hay que realizar trabajos, el cual se pierde parte en calor Tabla 4.1. Coeficientes de fricción o de rozamiento SUPERFICIES EN CONTACTO µs µk Acero sobre Acero Cobre sobre Acero Vidrio sobre Vidrio Teflón sobre Acero Madera sobre Madera Piedra sobre Piedra 0,74 0,53 0,94 0,04 0,50 0,70 0,74 0,53 0,94 0,04 0,50 0,70
  101. 101. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 96 4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama que muestra el cuerpo escogido solo, libre de su entorno, con vectores que muestran los módulos y direcciones de todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan con él. En un DCL no se deben incluir las fuerzas que el cuerpo escogido ejerce sobre otro cuerpo. Si en un problema intervienen dos o más cuerpos, hay que descomponer el problema y dibujar un DCL para cada cuerpo. Ejercicios resueltos 3. Los dos bloques de la figura se mueven juntos hacia la derecha. Dibuje el DCL de cada bloque. Respuesta 4. Dos cajas de madera se encuentran en contacto como se muestra en la figura. Si se aplica una fuerza F a la primera caja (de masa m1), dibuje el DCL de cada caja. Considere que no hay fricción entre las cajas y el suelo. m1 F m2 W1 N1 f1 F W2 N1f1 f2 m2 F r m1
  102. 102. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 97 Respuesta 4.7. FUERZA CENTRÍPETA Es la fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y que produce el efecto de giro o curvatura en el movimiento de los cuerpos. La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y el mismo sentido que la aceleración centrípeta o sea apuntará hacia el centro de la curva. La expresión para la fuerza centrípeta es: ∑ === 2 2 ωm R v mmaF cscentrípeta Siendo m la masa del cuerpo en movimiento. La fuerza centrípeta hace que la velocidad del cuerpo cambia constantemente en dirección y produce la aceleración centrípeta. Ejemplo: Cuando un automóvil da vuelta en una pista, la fuerza de fricción estática actúa como fuerza centrípeta. F r Fc Fc W1 W2 N1 N2
  103. 103. Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física Leyes del movimiento 98 Ejercicios resueltos 5. Una pequeña esfera de masa m se sujeta al extremo de una cuerda de longitud R y se hace girar en una circunferencia vertical alrededor de un punto fijo O, como se ve en la figura. ¿En qué posición (A, B ó C) la cuerda podría romperse si la velocidad tangencial aumenta (vC > vB > vA )? Solución La cuerda se romperá en el punto donde la tensión sea mayor. El DCL de la masa m en los tres puntos se muestra en la siguiente figura. Las ecuaciones de movimiento de m en dirección radial son: En el punto A: 2 A A mv mg+T = R ó 2 A A v T =m -g R       En el punto B: 2 B B mv T = R En el punto C: 2 C C mv T -mg= R ó 2 C C v T =m +g R       Analizando estas ecuaciones se observa que la tensión TC es la mayor de todas. Entonces en C podría romperse la cuerda. R O A B C vA vC vB mg mg mg TA TB TC R O A B C vA vC vB

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