Este documento presenta tres oraciones o menos: 1) El documento explica cómo calcular el área entre las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) mediante el cálculo de la integral del área entre las funciones. 2) También explica cómo calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región bajo la gráfica de una función f(x) alrededor del eje x. 3) Incluye ejemplos detallados de cómo calcular estas cantidades.

1. PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II
TEMA III-IV: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES Y COORDENADAS
POLARES
CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE GRÁFICAS DE FUNCIONES1
Consideremos las curvas )()( xgyyxfy  con ambas funciones sobre el intervalo
.bxa  Ellas determinan la región que se muestra a continuación:
Y )(xgy 
)(xfy 
a b X
Observa que )()( xgyxf son funciones continuas en el intervalo cerrado  ba, . El área
de )(xf en el intervalo  ba, está dada por  dxxf
b
a
)( . Si g es otra función y )()( xgxf 
para toda x en  ba, , entonces el área A de la región acotada por las gráficas de
)()( xgyxf , bxyax  , está dada por
     dxxgxfdxxgdxxfA
b
a
b
a
b
a
)()()()(
Es importante que conozcas que para encontrar los puntos de intersección, estos se
calculan resolviendo simultáneamente las ecuaciones; es decir se igualan las dos funciones
y se resuelven éstas, encontrando los límites de integración.
1
Purcell, Edwin, J. Varberg, Dale. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 284-287.

2. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA II
Observa como se calcula el área entre dos curvas en el siguiente ejemplo: Encontraremos el
área de la región acotada por las gráficas 62
 xy y 032  xy y realizaremos la
gráfica.
PASO 1: Una forma de encontrar los límites de integración es realizando la gráfica. La otra
forma es igualando las dos funciones. Para este ejemplo, encontraremos los límites de
integración de las dos formas.
Sea 62
 xy Ecuación (1)
032  xy Ecuación (2)
Despejando “y” de la ecuación (1) y (2), tenemos que:
De la ecuación (1)
62
 xy Ecuación (3)
De la ecuación (2)
32  xy Ecuación (4)
Igualando las ecuaciones (3) y (4), se tiene:
0632
326
2
2


xx
xx
0322
 xx

3. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 MATEMÁTICA II
Factorizando esta ecuación:
0)1)(3(322
 xxxx
Igualando a cero cada factor:
303  xx
101  xx
Por lo tanto, los límites de integración es:  3,1
La otra forma es realizando la gráfica. De la ecuación (1) se despeja a la incógnita “y”, y se
elabora una tabla dando valores a “x” para encontrar el respectivo valor de “y”.
x 6 xy  yx,
-3 -(-3)2
+ 6 = -9 + 6 = - 3 (-3, -3)
-2 -(-2)2
+ 6 = - 4+6 = 2 (-2, 2)
-1 -(-1)2
+ 6 = -1 +6 = 5 (-1, 5)
0 -(0)2
+ 6 = 6 (0, 6)
1 -(1)2
+ 6 = -1 +6 = 5 (1, 5)
2 -(2)2
+ 6 = - 4 +6 = 2 (2, 2)
3 -(3)2
+ 6 = - 9 + 6 = - 3 (3, -3)
De la ecuación (2) se despeja la incógnita “y” y se elabora otra tabla dando valores a “x”
para encontrar su respectivo valor de “y”.

4. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 MATEMÁTICA II
x 32  xy  yx,
-3 -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 (-3, 9)
-2 -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7 (-2, 7)
-1 -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5 (-1, 5)
0 -2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 (0, 3)
1 -2(1) + 3 = - 2 + 3 = 1 (1, 1)
2 -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1 (2, -1)
3 -2(3) + 3 = -6 + 3 = -3 (3, -3)
PASO 2: Se realiza la gráfica con los valores obtenidos de las dos tablas.
y
32  xy
Como puedes observar en la gráfica los puntos donde se intersectan las dos gráficas son (-1,
5) y (3, -3), esto nos indica que 31  xyx son los límites de integración.
PASO 3: La gráfica que está por encima de la región es la que tiene por ecuación
62
 xy , como se observa en la gráfica, y la que está por debajo del área a determinar
es la que tiene por ecuación 32  xy . Esto nos indica que el área A entre las curvas está
dada por la diferencia de las funciones, es decir, la ecuación 62
 xy menos la
ecuación 32  xy , esto se representa por la integral siguiente:
     

dxxx 3262
3
1
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4 x
(3, -3)
(-1, 5)
62
 xy

5. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 MATEMÁTICA II
PASO 4: Se calcula la integral anterior.
    
   
2
2
3
2
3
3
1
23
2
3
1
2
3
1
3
32
3
1
1131
3
1
9
31
3
1
999
19(3)1(
3
)1(
333
3
)3(
3
2
2
3
)32(326
u
x
xx
dxxxdxxx




















Por lo tanto el área es: 2
3
32
uA 
Ejercita tus conocimientos y calcula el área entre las curvas de las siguientes funciones:
2
2)( xxxf  y 4
)( xxg  , realiza las gráficas correspondientes.
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.
Si una región plana situada completamente a un lado de una línea fija en su plano, gira
alrededor de ésta, entonces se genera un Sólido de revolución. La recta fija se llama eje del
sólido de revolución. Por lo tanto el volumen del sólido de revolución se define de la
siguiente manera:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado  ba, y sea R la región acotada por la
gráfica de f, el eje “x” y las rectas x=a y x=b. El volumen V del sólido de revolución
generado al girar R alrededor del eje “x” es:
  dxxfV
b
a
2
)(

6. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 MATEMÁTICA II
Para calcular el volumen de un sólido revisa con atención el siguiente ejemplo:
Sea 1)( 2
 xxf , observa como se calcula el volumen del sólido de revolución generado
al girar la región bajo la gráfica de f(x) con x = -1 y x = 1 alrededor del eje “x”.
PASO 1: Se gráfica la función 1)( 2
 xxf , en el intervalo que se indica.
y
x
PASO 2: Se aplica la fórmula para encontrar el volumen, en el intervalo  1,1 .
     

dxxxdxxV 121 24
1
1
2
1
1

PASO 3: Se integra y se evalúa dicha integral, obteniendo de esta manera el volumen del
sólido de revolución.
1
1
35
3
2
5 






 x
xx
V 
PASO 4: Se calcula la integral anterior.
1
-1
1)( 2
 xxf

7. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 MATEMÁTICA II
   









































1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
)1()1(
3
2
5
)1(
)1(1
3
2
5
1 3
5
3
5



V
V
V
Por lo tanto el volumen del sólido de revolución es: 
15
56
V
Ejercita tus conocimientos y calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar
la región bajo la gráfica de 2)( xf , en el intervalo  3,0 . Realiza la gráfica.
EJERCICIOS:
1. Calcula el área entre las gráficas de las funciones que se indican y realiza la gráfica
correspondiente.
a) 42
)(,2)( xxgxxxf 
b) 5)(,1)( 2
 xgxxf
c) xxgxxf  )(,)( 2
2. Calcula el volumen generado por el sólido de revolución alrededor del eje “x”,
dado en cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica. Realiza
la gráfica correspondiente.
d)  2,0)( xxf 
e)  1,1)( 2
 ttg
f)  4,0)( tth 
g)  0,33  xy

8. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 MATEMÁTICA II
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
a)
 1,0)(2)( 42
xxgxxxf 
       242
1
0
42
1
0 15
7
2)(2 udxxxxdxxxx
y
b)
 2,25)(1)( 2
 xgxxf
      

22
2
2
2
2
2 3
32
415 udxxdxx
y
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 1 2 3 4 x
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 1 2 3 x

9. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 MATEMÁTICA II
Número de pregunta Respuesta correcta
c)
 1,0)()( 2
xxgxxf 
   







 222
11
0
2
1
0 3
1
udxxxdxxx
y
d)
 2,0)( xxf 
    3
2
0
22
0
2 udxxdxxV 
y
x
e)  1,1)( 2
 ttg   

322
1
1 5
2
udttV 
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

10. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 MATEMÁTICA II
y
19.
f)
 4,0)( tth     32
4
0 3
64
udttV 
g)
 0,33  xy   

32
0
3
93 udxxV 
Sugerencias
Si te equivocaste en los reactivos del 1 al 6, revisa los ejercicios resueltos y consulta
el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p.
270-273.
-4
-2
0
2
4
-1 1 2 3 4
x
-4
-2
0
2
4
-4 -3 -2 -1 1 x
y
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1 x
y
Número de pregunta Respuesta correcta

11. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 MATEMÁTICA II
Si te equivocaste en los reactivos del 7 al 13, revisa los ejercicios resueltos y
consulta el libro de Earl W. Swokowski. “Cálculo con Geometría Analítica”, p.p.
460-485.
Si te equivocaste en los reactivos del 14 al 20 revisas los ejercicios resueltos y
consulta el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e
Integral”, p.p. 281-301.
Recuerda que   cu
u
du
ln
SISTEMA DE COORDENADAS PLANO
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el
origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y
ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de
las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto
A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

12. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 MATEMÁTICA II
COORDENADAS POLARES
Además de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas en el plano,
uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e (denominada eje polar y cuyo extremo
se llama polo y se denota con la letra O ) y una circunferencia con centro en el polo.
Para dar las coordenadas polares de un punto ,P se consideran la distancia del punto P al
extremo O y el ángulo  que forma la semirrecta e con el segmento .OP
En este caso, la primera coordenada está en el intervalo  ,0 mientras que la segunda en
el intervalo  .2,0 
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A COORDENADAS
POLARES Y VICEVERSA.
Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si
 ,r son las coordenadas polares de un punto en el plano, sus correspondientes
coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas por las fórmulas:
   .θen, y = r sθx = r cos

13. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 MATEMÁTICA II
Mientras que si  yx, son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las
coordenadas polares se obtienen a través de las fórmulas:
.,222







x
y
arctgyxr 
En la actualidad, con las calculadoras científicas se pueden obtener las coordenadas polares
de un punto conociendo las coordenadas cartesianas y viceversa.
En general un sistema de coordenadas en el espacio está definido por tres curvas o rectas
que se cortan en un único punto y unidades de medidas en cada una de estas.
Para calcular el ángulo  yx, calculamos el arcotangente de
a
b
prescindiendo de los
signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:



























IVcuadranteelen,360
0y0si,270
IIIcuadranteelen,180
0y0si,180
IIcuadranteelen,180
0y0si,90
Icuadranteelen,
0y0si,0
0
0
0
0
0
0
0





ba
ba
ba
ab
a
b
arctg
Ahora a cada punto P del espacio podemos asociar una terna de números reales
 111 , z, yx y viceversa. Los números 11, yx y 1z se denominan coordenadas del punto .P

14. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 MATEMÁTICA II
Los sistemas de coordenadas tienen distintas denominaciones. Los de uso más frecuente
son: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Ejemplo 1: Representar los puntos cuyas coordenadas polares son P1(2,
4
 ), P2(3,
6

), P3(-2,
6
 )
Solución:
Ejemplo 2: Localizar los siguientes puntos en el plano polar: a) P(3 , 60º) , b) Q(-3, 240º) ,
c) R(-3, -120º) , d) S(3, -300º)
Solución:
a) P(3, 60º )
b) Q(-3, 240º)

15. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 MATEMÁTICA II
c) R( -3, -120º)
d) S( 3, -300º)
Ejemplo 3: Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos con coordenadas polares
P1(-2,
6
5 ) y P2(3,
3
4 ).
Solución:
Para P1(-2,
6
5 ), tenemos que x = r cos θ = – 2 cos
6
5
= – 2 – (
2
3 ) = 3
y = r sen θ = – 2 sen
6
5
= – 2 (½ ) = –1, por tanto las coordenadas rectangulares del
punto son P1( 3 ,–1).
Para P2(3,
3
4 ), x = 3 cos
3
4
= 3 (–½) = – 3
/2
Y = 3 sen
3
4
= 3 (–
2
3 ) = –
2
33
, por tanto las coordenadas rectangulares del punto
son P2(– 3
/2, –
2
33
).
Para pasar de coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) han de usarse las ecuaciones:
θ = anc tan
x
y
y r = 22
yx 
Ejemplo 4: Dadas las coordenadas cartesianas del punto P(1, - 3 ) , determinar las
coordenadas polares del mismo.

16. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 MATEMÁTICA II
Solución:
  2431
222
 yxr
θ = ang tan
x
y
= ang tan 3 = -60º por lo tanto las coordenadas polares del punto son
P(2,-60º ).
Ejercicios:
1. Pasar a coordenadas cartesianas los puntos del ejemplo 2.
2. A continuación se dan los puntos en coordenadas polares calcular sus coordenadas
cartesianas.
Coordenadas Polares Resp en Coordenadas Cartesiana
a) P(4,
6
3
)
P(0, 4)
b) P(-1,
4
5
) P(
2
2,
2
2 )
c) P(4,
3

 ) P(2, 32 )
d) P( 2 , 2,36º) P(-1,004; 0,996)
3. A continuación se proporcionan puntos en coordenadas cartesianas calcular sus
correspondientes en coordenadas polares.
Coordenadas Cartesianas Res Coordenadas Polares
a) P(1, 1) P( 4
,2 
b) P(-3, 4) P(5, 2,214º )
c) P 3,3  P 4
5,6 
d) P(4, 6) P( 22 , 0,983º)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.