matrices

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I
TEMA II: MATRICES UNIDADES ACREDITABLES I
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858,
A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema
de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de
su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de
forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los
lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores
como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...
Definición: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en
general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden
n""m  a un conjunto rectangular de elementos ija dispuestos en m filas y en n
columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y
n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe .aij Si el elemento
genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: )(aA ji
nmmnmm
ij
n
n
nm
aaa
a
aaa
aaa
A





















21
22221
11211
Ejemplo: Sea la matriz ,
4
5
2
3
7
6
1
32 






 
A donde sus filas son: 





 53
6
1
y
 427 . Y sus columnas son: ,
7
6
1













 
2
3
y .
4
5







2. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA
Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz A nm es .m·n En matemáticas, tanto las Listas
como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices. Una lista numérica es un
conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices nmj )(aiA  y qpij )(bB  de la misma dimensión
(equidimensionales): pm  y qn  es otra matriz
    .nmjijinmji bacBAC 
 Por ejemplo, sean las matrices:
,
21
22221
11211
nmmnmm
ij
n
n
nm
aaa
a
aaa
aaa
AA





















.
21
22221
11211
nmmnmm
ij
n
n
nm
bbb
b
bbb
bbb
BB





















Definimos la suma mediante:
,
2211
2222222121
1112121111
nmmnmnmmmm
ijij
nn
nn
bababa
ba
bababa
bababa
BA
























Es una ley de composición interna con las siguientes propiedades:
· Asociativa: CB)(AC)(BA 
· Conmutativa: ABBA 
· Elemento neutro: (Matriz cero nm0 ), AAA  00
· Elemento simétrico: (Matriz opuesta-A ), 0A(-A)(-A)A 
Al conjunto de las matrices de dimensión nm cuyos elementos son números reales lo
vamos a representar por M nm y como hemos visto, por cumplir las propiedades
anteriores, )( M,  es un grupo abeliano.
NOTA: La suma de dos matrices y la diferencia de dos matrices (Suma de una matriz
con la opuesta de otra matriz) NO están definidas si sus dimensiones son distintas.

3. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGEBRA
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
 
































mnmm
ij
n
n
nmmnmm
ij
n
n
ijnm
aaa
a
aaa
aaa
A
aaa
a
aaa
aaa
aAA













21
22221
11211
21
22221
11211
;
Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades:
· Asociativa: AA )()(  
· Distributiva I: BABA   )(
· Distributiva II: AAA   )(
· Elemento Neutro de escalares: AA 1
Para todo ;1,, R para toda matriz .nmMA  Por lo tanto la terna ],,[ RM nm 
constituye un espacio vectorial.
MATRICES IGUALES
Dos matrices  aA nmij 
 y   qpijbB 
 son iguales, sí y solo si, tienen en los
mismos lugares elementos iguales, es decir: jibaqnpm ijij  ,;,
Ejercicio: Dadas las siguientes matrices
;
810
321





 
A ;
853
201







B 1 y 2
Calcular: ,BA  ,A ,BA  ,B .BA  
Solución:
Calculemos :BA
 





















 

522
885130
230211
853
201
810
321
BA
BA

4. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 ÁLGEBRA






























 

1663
522
885130
230211
853
201
810
321
BA
BA
BA
Calculemos :A
 
           
           























 

810
321
811101
312111
810
321
1
A
A
A



Calculemos :BA 
 
     
       































 














 













 

043
120
885130
230211
853
201
810
321
815131
210111
810
321
853
201
1
810
321
BA
BA
BA
BA
BA




  
     
       































 














 













 

043
120
885130
230211
853
201
810
321
815131
210111
810
321
853
201
1
810
321
BA
BA
BA
BA
BA





NOTA: ¿Qué nos define la operación ,BA  de acuerdo a lo estudiado en la
diferencia de vectores? Se puede decir que define la resta de vectores cuando .1

5. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 ÁLGEBRA
Calculemos :B
 

























16106
402
825232
220212
853
201
2
B
B
B



Calculemos :BA  
 
       
       






























































 

896
121
168101-60
430221
16106
402
81-0
321
825232
220212
811101
312111
853
201
2
810
321
1
BA
BA
BA
BA
BA





Recordar que las matrices al ser elementos de un espacio vectorial, son denominadas
vectores, lo cual no concuerda con la idea de vectores de los físicos, es decir, con la idea de
un ente con dirección y sentido a parte de una magnitud o módulo. Al igual que las matrices
de acuerdo a que ),,()( KXAKM nm  donde ,nm EEX  tenemos que las funciones son
vectores también.
En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal.
Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados.
Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios
vectoriales de dimensión n. Este resultado será realmente interesante. En toda esta parte,
supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con
algunas definiciones básicas.

6. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 ÁLGEBRA
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de dos matrices )( ijaA  de dimensión nm y otra matriz
)( jkbB  de dimensión pn  es la matriz BA. dada por: ).(. ikcBA 
Con ,. jkijik bac es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -
ésima de la primera matriz por la columna k -ésima de la segunda matriz.
Si











mnm
n
aa
aa
A



1
111
y











npn
p
bb
bb
B



1
111
entonces tenemos que:













npmnpmnmnm
npnpnn
babababa
babababa
AB



111111
1111111111
Por ejemplos:
1. Sean las matices:
,
0
7
5
4
1
2





 

A












17
43
01
B
Podemos realizar el producto de las matrices 32)(  ijaA y otra matriz 23)(  jkbB
dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC
       
       
.algebraicasumalaRealizando
2016
.2359
A
productos.losRealizando
02000151
716049122
matrices.de
productodeDefinición
104501703511
174402773412
17
43
01
0
7
5
4
1
2











































 


B
BA
BA
BA

7. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 ÁLGEBRA
.algebraicasumalaRealizando
2016
.2359
A
productos.losRealizando
02000151
716049122


















B
BA
2. Se puede realizar el producto AB en las matrices anteriores:
,
0
7
5
4
1
2





 

A












17
43
01
B
En efecto, podemos realizar el producto de las matrices 23)(  jkbB y otra
matriz 32)(  kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 33 jicABD
   
       
         
.algebraicasumalaRealizando
492315
21810
742
productos.losRealizando
049528114
021201246
070402
matrices.deproductodeDefinición
017751471127
047354431423
007150411021
0
7
5
4
1
2
17
43
01















































 














AB
AB
AB
AB
¿Siempre se podrá hacer el producto de BA y de AB ?

8. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 ÁLGEBRA
3. De acuerdo con la pregunta anterior que sucede con las matrices: ,
01
32





 
A








3
5
B . En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 22)(  ijaA
y otra matriz 12)(  jkbB dándonos una matriz BA . dada por:
.)(. 12 ikcBAC
   
 
.algebraicasumalaRealizando
5
19
productos.losRealizando
05
910
matrices.deproductodeDefinición
3051
3352
3
5
01
32





































 

BA
BA
BA
BA
   
 
.algebraicasumalaRealizando
5
19
productos.losRealizando
05
910
matrices.deproductodeDefinición
3051
3352
3
5
01
32





































 

BA
BA
BA
BA
Pero no podemos realizar el producto de las matrices 12)(  jkbB y otra matriz
22)(  ijaA .
Concluyendo que para realizar la multiplicación o producto de dos matrices, el
número de filas da la primera matriz deben ser igual al número de columnas de la segunda
matriz.
4. Si las matrices son cuadradas del mismo orden siempre se van a poder multiplicar
BA y AB , por ejemplo sean las matrices:
,
01
32





 
A 




 

72
10
B
En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 32)(  ijaA y otra matriz
22)(  jkbB dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC
En efecto:

9. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 ÁLGEBRA
     
 
.algebraicasumalaRealizando
10
236
productos.losRealizando
0100
21260
matrices.deproductodeDefinición
70112001
73122302
72
10
01
32
































 





 

BA
BA
BA
BA
Además, podemos realizar el producto de las matrices 22)(  jkbB y otra
matriz 22)(  kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 22 jicABD
En efecto:
     
 
.algebraicasumalaRealizando
611
01
productos.losRealizando
0674
0010
matrices.deproductodeDefinición
07321722
01301120
01
32
72
10
































 





 

AB
AB
AB
AB
Y ahora surge la siguiente pregunta: ¿ ABBA  ?
Es decir: ¿El producto de matrices es conmutativo?

10. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 ÁLGEBRA
GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES
MATRIZ DE ORDEN .nm
Sea K un cuerpo, una matriz de orden nm es una aplicación f cuyo dominio es
nm II  y su codominio es ,K siendo  ,,,2,1 mIm   .,,2,1 nIn  La matriz f asocia
a cada par ordenado ,),( nm IIji  un elemento .),( Kajif ij 
Y la matriz .)( nmijaf  El primer subíndice i toma valores desde 1 hasta m y el
subíndice j toma valores desde 1 hasta .n
Ejemplo: Sea la matriz en ,RK  32)(  ijaf dada por la aplicación jijif ),(
donde ,21  i .31  j Es una matriz 32 (2 filas y 3 columnas), cuyos elementos son:
532)3,2(
422)2,2(
312)1,2(
431)3,1(
321)2,1(
211)1,1(
23
22
21
13
12
11






fa
fa
fa
fa
fa
fa
Luego, la matriz así definida se escribe en la forma:
32
543
432







f
Ejercicio: Sea A la matriz en RK  definida por la aplicación 22
),( jijiA  con
,31  i .51  j Escribir la matriz A como un arreglo rectangular.
SUMA DE MATRICES
1. Sea A una matriz tal que .
3,30
3
2
1
22








 AA Hallar .A
2. Determine cuáles de las siguientes par de matrices se pueden sumar:
a.  ,652A 








3,2779
501
B
b. ,
71189
7605
4321










A














71187
17602
241521
B

11. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 ÁLGEBRA
3. Hallar x e y sabiendo que


















 
xy
y
54
11
1
3
63
21
4. Sean A y B matrices de orden mn  tal que .BA  Demuestre que si X es otra
matriz de orden ,mn  entonces .XBXA 
[Este resultado nos demuestra que si ,A B y C son matrices del mismo orden,
entonces si ,CBA  tenemos que    .BCBBA  Luego,
,0 BCA  y por tanto ,BCACBA  es decir podemos despejar una
ecuación donde intervienen matrices].
5. Hallar una matriz X tal que ,BXA  donde las matrices A y B están definidas
como sigue:
,
3
3
2
8
2
7
5
1
















A ,
3
1
9
1
2
1
3
5
2
9
















B
6. Verifique que la suma de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores, y
diagonales es una matriz triangular inferior, triangular superior ó diagonal
respectivamente.
7. Demuestre que toda matriz cuadrada se escribe como suma de:
a) Una matriz triangular superior y una matriz triangular superior.
b) Una matriz triangular superior, una matriz triangular superior y una matriz
diagonal.
c) Una matriz simétrica y una matriz triangular inferior ó triangular superior.
8. Sean A y B matrices del mismo orden. Demuestre que:   .TTT
BABA 
9. Verifique que la suma de matrices simétricas es también una matriz simétrica.
10. Compruebe que sí A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
     .BtrAtrBAtr  Donde dada una matriz cuadrada  ijaA  de orden n se
llama traza de la matriz A al número que se obtiene sumando los elementos de la
diagonal principal. A este número lo denotamos  .Atr Calcule además,  nItr y
 .0ntr
PRODUCTO DE MATRICES
1. Dadas las Matrices:
,






dc
ba
A 






hg
fe
B
¿Será cierto que BAAB  ? ¿Se cumple la propiedad conmutativa?

12. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 ÁLGEBRA
2. Determinar si es posible hacer el producto ,AB donde A y B son las siguientes
matrices:
a)  ,351 A 






43
21
B
b) 






312
531
A ,












21
12
31
B
3. Consideremos las matrices:












0132
1102
6417
A , 






512
302
B
¿Cuál de los productos es posible AB ó BA ?
4. Sea 








312
231
A , .
21
12
31











B Calcular AB y BA ¿Qué concluyes?
5. Demuestre que si A es una matriz cuadrada de orden ,n entonces .AAIAI nn 
para la matriz identidad de orden “ n ” ,nI la cual es el elemento neutro para la
multiplicación de matrices de orden “ n ”.
6. Sean











52
2
5
1
A y ,
42
105








B las cuales no son matrices nulas. Calcular
.AB [En este ejercicio se puede observar que el producto de matrices no nulas da como
resultado la matriz nula, situación que no ocurre con los números reales, pues:
00.  aba ó .0b ]
7. Sean ,
012
52
31












z
y
x
A ,
59
20
01













z
y
x
B .
2225
5109215
3266












z
yyC Hallar
los valores de ,x ,y z de tal forma que .CAB 
8. Sean A una matriz cuadrada y las siguientes matrices:
,
0000
0000
0000
0001
1














A ,
0000
0000
0010
0000
2














A ,
0000
0100
0000
0000
3














A .
1000
0000
0000
0000
4














A
Verificar que .4321 AAAAAAAAA 

13. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 ÁLGEBRA
9. Sean R, y consideremos la matriz ,
cos
cos










sen
sen
A
.
cos
cos










sen
sen
B Verifique que
   
   
.
cos
cos











sen
sen
AB
10. Sean A y B matrices tales que se puedan realizar los productos AB y .BA
¿Qué se pueden decir de los órdenes de A y B ?
11. Sean A y B matrices tales que .BAAB  Verifique que
  .2 222
BABABA  ¿Cuándo se espera que   222
2 BABABA  ? Da un
ejemplo de matrices A y B tales que   222
2 BABABA  y
  .2 222
BABABA 
[Potencias de Matrices: Sea A una matriz cuadrada. Las potencias de A se definen
de la siguiente manera: ,0
nIA  ,1
AA  ,2
AAA  ,23
AAAAAA  Y en general si 1n es
un entero entonces 1
 nn
AAA ]
DETERMINANTES
Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que
las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a
entender que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos
de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los
determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los
determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los
determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No
obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10
años antes.
Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del
matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una
memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA
detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de
cálculo de 1829 Leçons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente
clara de límite. Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las
aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo
la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría
de propagación de las ondas y las series infinitas. A Cauchy se le reconoce el haber
establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de Cauchy,
fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta
adhesión a las demostraciones rigurosas.
El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis
Francesa de Ciencias comenzó a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy
envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastos de impresión se hicieron tan
grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatro cuartillas
por cada documento a ser publicado. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser

14. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 ÁLGEBRA
mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por
primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor
conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de
matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes
(estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-
1851), con quien gano la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero
en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las
funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.
Definición: Sea   .nnijaA 
 Si ,1n definimos   .det 11aA  Si ,2n definimos
     .det1det
1
11
1



n
j
jj
j
AaA Por ejemplos:
1. Para ,1n la matriz cuadrada será  11aA  y por tanto su determinante será:
  .det 11aA 
2. Para ,2n la matriz cuadrada será 






2221
1211
aa
aa
A y por tanto su determinante
será:
     
         
         
       
     12121111
12121111
1212
3
1111
2
1212
21
1111
11
2
1
11
1
detdetdet
det1detdet
det1det1det
det1det1det
det1det
AaAaA
AaAaA
AaAaA
AaAaA
AaA
j
jj
j









Y como los menores son:  2211 aA  y  ,2112 aA  entonces:   21122211det aaaaA 
3. Para ,3n la matriz cuadrada será











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A y su determinante será:
     
             
             1313
4
1212
3
1111
2
1313
31
1212
21
1111
11
3
1
11
1
det1det1det1det
det1det1det1det
det1det
AaAaAaA
AaAaAaA
AaA
j
jj
j








15. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 ÁLGEBRA
     
             
             
         
       131312121111
131312121111
1313
4
1212
3
1111
2
1313
31
1212
21
1111
11
3
1
11
1
detdetdetdet
detdet1detdet
det1det1det1det
det1det1det1det
det1det
AaAaAaA
AaAaAaA
AaAaAaA
AaAaAaA
AaA
j
jj
j









Y como los menores son: ,
3332
2322
11 






aa
aa
A 






3331
2321
12
aa
aa
A y ,
3231
2221
13 






aa
aa
A
entonces:
 
       
2.ejemploelconacuerdoDe
det
detdetdetdet
312232211331233321123223332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aaaaaaaaaaaaaaaA
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA




















Si aplicamos la propiedad distributiva entonces nos queda:
 
 
   312213332112322311322113312312332211
312213332112322311322113312312332211
312213322113312312332112322311332211
det
det
det
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA



Que es la misma regla de Sarrus.
NOTA: Se puede usar también la notación  AD e inclusive colocar la matriz entre barra
.A
DEFINICIÓN DEL MENOR DE UN DETERMINANTE
El menor ijM del elemento ija en el determinante A se obtiene de la matriz A
suprimiendo el i ésimo renglón o fila y la j ésima columna de la matriz .A Por
ejemplo, para la matriz

16. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 ÁLGEBRA











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Tenemos que:
,,;,,
3331
1311
22
3332
1312
21
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 
aa
aa
M
aa
aa
M
aa
aa
M
aa
aa
M
aa
aa
M 
Y así sucesivamente.
4. Hallar el determinante de












523
411
012
A
Como 













53
41
,
52
41
1211 AA y ,
23
11
13 






A entonces d acuerdo con la definición
de determinante se tiene que:
 
         
     
     
 
  23det
176det
17132det
01251852det
312103451124512det
23
11
0
53
41
1
52
41
2det









A
A
A
A
A
A
NOTA: De manera general se define el determinante de la siguiente forma:
     .det1det
1



n
j
ijij
ji
AaA Para lo cual se puede realizar tomando cualquier columna o
fila.
Y para una matriz cuadrada ,3A se toma en cuenta los siguientes signos:

17. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 17 ÁLGEBRA



PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. 





















dc
ba
dc
ba
ddc
bba
detdetdet
2. 











dc
ba
t
tdc
tba
detdet
3. 













dc
ba
ctdc
btba
detdet
4. 











cd
ab
dc
ba
detdet
5.      BAAB detdetdet 
6.    AAT
detdet 
7.     11
detdet

 AA
EJERCICIO: Demostrar las propiedades.
EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES
1. Sea ,
01
11
221














aa
aA encuentre  .det A
2. Sean ,
723
413
102












A .
241
512
513











B Encuentre:
a)  .det BA 
b)    .detdet BA 

18. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 18 ÁLGEBRA
c)  .7det A
d)  .det B
e)  .det AB
f)  .det BA
3. Sea ,
coscos 




 


 sensen
A si ,
3
4
  encuentre  .det A
4. Encuentre los valores de x para los cuales













x
xx
xx
102
0
01
det es cero.
5. Sea   .nnijaA 
 Si T
A es la matriz transpuesta de la matriz ,A entonces
   .detdet AAT

6. Sean  ., KMBA n Demuestre que      .detdetdet BAAB 
7. Sean Rc  y  ,3 KMA demuestre que    .detdet 3
AccA  En general, sean
Rc  y  ,KMA n demuestre que    .detdet AccA n

8. Sean Rxxx 321 ,, demuestre que    .
1
1
1
det 231312
2
33
2
22
2
11
xxxxxx
xx
xx
xx











Demuestre que en general se cumple que:
 .
1
1
1
det
1
1
22
1
11



















ji
ij
n
nn
n
n
xx
xx
xx
xx




Este determinante se conoce con el nombre de determinante de Vandermonde.
9. Calcule .
410
141
014
det
















10. Demuestre que si .A y B son matrices semejantes de orden ,n entonces
   .detdet BA 
11. ¿Será cierto que      BABA detdetdet  ?

19. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 19 ÁLGEBRA
12. ¿Será cierto que si ,
cos
cos










sen
sen
A entonces   1det A ?
REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema
lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel
Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes
courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en
su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para
la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres
ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:
computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en
aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones.
Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que
la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas
operaciones SIMD.
Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:
O tomemos en cuenta que sea una matriz   .nnijaA 

 Si ,1n definimos   .det 11aA 
 Si ,2n definimos      .det1det
1
11
1



n
j
jj
j
AaA
 Y de manera general de la forma      .det1det
1



n
j
ijij
ji
AaA
Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.
La regla para resolver un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

20. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 20 ÁLGEBRA








lizhygx
kfzeydx
jczbyax
Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:
,
ihg
fed
cba
ihl
fek
cbj
x 
ihg
fed
cba
ilg
fkd
cja
y  e
ihg
fed
cba
lhg
ked
jba
z 
EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales:








42
22
123
zyx
zx
zyx
Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:
,
211
102
123
214
102
121

x
211
102
123
241
122
113


y
e
211
102
123
411
202
123


z
EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.

21. TEMA III: MATRICES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 21 ÁLGEBRA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :
a)








9432
164
135
zyx
zyx
zyx
b)








1334
423
622
zyx
zyx
zyx
c) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg
de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón
cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
d) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste
americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de
las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles
más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del
total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
e) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se
dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de
los radios de las circunferencias.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial
Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería).
Autores Editores.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones
y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish
Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha