Tema ii espacios vectoriales algebra lineal uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL
TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO
MODELO FX-570ES PLUS)
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
El álgebra lineal hace su aparición en la Matemática específicamente en el siglo XVII, con
trabajos de dos matemáticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y René Descartes,
pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII, al
plano y al espacio ya que la extensión a espacios vectoriales de dimensión 3n tiene lugar en la
primera mitad del siglo XIX. Giuseppe Piano (lógico y matemático italiano, 1858-1932) define
en 1888 de manera axiomática los espacios vectoriales de cualquier dimensión y Otto Teoplitz
(matemático alemán, 01/08/1881-15/02/1940), extiende a los espacios vectoriales más generales
sobre cuerpos cualesquiera, los principales teoremas del álgebra lineal.
El álgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemática debido a sus aplicaciones a
diferentes ramas de la matemática y de la física, teniendo en cuenta que se adapta
particularmente al cálculo automático, de ahí la importancia que ocupa fundamentalmente en el
análisis numérico y en la investigación de operaciones. Por esto es de vital importancia que todo
estudiante a nivel universitario, debe adquirir el conocimiento básico del algebra lineal.
VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL
Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional n
R al conjunto de ternas ordenadas
a ),,,( naaa 21 donde naaa ,,, 21  son números reales.
DEFINICIÓN: Un vector es cualquier punto de n
R y, en general se designa con una letra
negrita ,,,,,, yxcba o también en mayúsculas por ,,, RQP (Los físicos los designan con
flechas arriba como por ejemplo a

).
El opuesto de un vector a es el vector ,a que viene definido por  a ),,,( naaa  21 . El
vector cero es el vector 0 dado por el punto ).0,,0,0( 
Se llama longitud, magnitud o módulo de un vector a ),,,( naaa 21 al número real
a .
22
2
2
1 naaa   Es evidente que a 0 y a 0 si y sólo si .0a
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIÓN DE VECTORES
Dados dos vectores a ),,,( naaa 21 y b ),,,( 21 nbbb  de ,n
R la suma de ba  es el vector
definido por  ba ).,,,( 2211 nn bababa  

TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL
DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores a y ,b le diferencia es el vector ),( baba  donde b es el vector
opuesto de b el cual ya fue definido.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Si k es un número real y a ),,,( naaa 21 es un vector, el producto de un vector por un escalar
k a se define como el vector k a ).,,,( 21 nkakaka 
EJEMPLOS: Sean los vectores 2,0)1,( a y ).0,1,1(b Entonces
).1,1(1,1)1,020,(1(0,1,1)2,0)1,(  ba
).1,2,0(0)2),(1,(2,0)1,(  a
).1,3,(0)2,111(01,2,0)(0,1,1)( 1 ab
.5041(0)2)((1) 222
a
La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con vectores de hasta dimensión
3. Para trabajar con vectores debemos seleccionar primero el MODE 8:VECTOR
Nos aparece la pantalla siguiente donde podemos trabajar hasta con 3 vectores
denominados VctA, VctB y VctC.

Al seleccionar uno de los vectores, normalmente 1: VctA, nos aparece otra pantalla
para elegir la dimensión que podrá ser 2 ó 3
Una vez elegida la dimensión, vamos introduciendo ordenadamente las componentes
del vector pulsando la tecla después de cada nuevo ingreso. De esta forma
queda almacenado en memoria el vector A. Podemos repetir la operación con el B y
el C.
Para operar con los vectores, debemos entrar en el submenú de operaciones
pulsando . Nos aparece el siguiente menú:
1. Dim nos permite dimensionar el vector
2: Data introducimos las componentes del vector
3: VctA hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector A
4: VctB hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector B
5: VctC hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector C
6: VctAns es la memoria de respuesta de los cálculos matriciales
7: Dot es el operador para el producto escalar
El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla
En el ejemplo: Sean los vectores:

La suma es:
El opuesto del vector a es:
La doferencia de b-a:
Y la norma del vector a es:
Notando que:
EJERCICIO: Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k
calcular: cbacbacbababba kkk ,,,,,),(,,, 
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adición de vectores cumple con las siguientes leyes: Dados tres vectores ba, y c tenemos
que:

 1A abba  (Ley conmutativa)
 2A )()( cbacba  (Ley asociativa)
 3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa  00 (Elemento neutro o
nulo de la adición)
 4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicación de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos
vectores ba, y dos escalares 21 kk , en R tal que se cumple:
 1M akkakkakk 212121  )()(
 2M akakakk 2121  )( (Ley distributiva)
 3M bkakbak 111  )( (Ley distributiva)
 4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades de la suma vectorial, desde  1A hasta la 4A .
Por ejemplo: Demostremos que se cumple la propiedad  1A : Sean los vectores
),,,,( naaaa 21 ),,( 21 nbbbb  donde nn bbbaaa ,,,,,,, 2121  son números reales de
acuerdo con la definición de vector. Luego,
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn





vectores.desumadeDefinición),,,(),,,(
reales.númerosde
adiciónladeaconmutativPropiedad),,,(
vectores.desumadeDefinición),,,(
),,,(),,,(
2121
2211
2211
2121




NOTA: Obsérvese que la demostración se basa en las propiedades de los números reales las
cuales son como las enunciadas en  1A , 2A ,  3A ,  4A ,  1M ,  2M ,  3M y  4M pero para
un campo de números.
2. Utilizando las propiedades desde  1A hasta la 4A , se puede demostrar que la ecuación
vectorial bxa  tiene la única solución .)( ababx  Usando este resultado,
demuestre que:
a. El vector 0 es único, es decir, si ,0 aa  entonces .00 
b. El vector a es único, es decir, si ,0 aa entonces .aa 
c. aa  )( para todo vector .a

3. Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector, desde  1M hasta
la 4M .
Por ejemplo: Sean el vector ),,,,( naaaa 21 y los escalares 21 kk , en .R Luego,
 
 
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vector.porescalarundeproducto
deldefiniciónlaconacuerdoDe),,,)(()(
reales.númeroslos
deasociativaPropiedad)(,,)(,)()(
un vector.porescalarundeproductodel
definiciónlaconacuerdoDe),,,()(
un vector.porescalarundeproductodel
definiciónlaconacuerdoDe),,,()(
),,,()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121











El espacio n
R cumpliendo las propiedades  1A , 2A ,  3A ,  4A ,  1M ,  2M ,  3M y  4M
se dice que es un espacio vectorial sobre .R Se nombra la terna ),,( n
R es un espacio vectorial
sobre .R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera. Veamos los siguientes ejercicios de abajo.
EJERCICIOS:
1. Sea X un conjunto no vació, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los números
reales R o complejos C ) y
 funciónoaplicaciónunaes,:),( fKXfKXAV 
Definamos:
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf


)())((:,
)()())((:,

Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K

2. Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los números reales R o complejos C ) y
nm, números naturales. Además,  ;,,2,1 mEm   nEn ,,2,1  y definamos el
conjunto:
 funciónoaplicaciónuna,:)( fKEEfKM nmnm 
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
.)( nmijaA  Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar.
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre .K
OBSERVACIÓN: Basta observar que ),,()( KXAKM nm  donde .nm EEx 
Ahora bien, se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad. En
general, el símbolo au servirá para denotar un vector unitario de la misma dirección y el mismo
sentido que el vector ,a diferente de cero. Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por ,
a
1
es decir, .
a
a
ua  Este proceso se llama normalización, como veremos
más adelante.
EJERCICIO: Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario.
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual dirección y sentido que otro vector ,b
diferente de cero, si para cualquier ,0k es .kba  En caso que se cumpla que ,kba  0b y
,0k entonces se dice que a tiene igual dirección que b pero sentido opuesto. En el primer
caso los físicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos.
Además, para que un vector quede unívocamente determinado es necesario tener su dirección,
sentido y longitud.
OBSERVACIÓN: Un espacio n -dimensional o también llamado euclidiano se clasifican así:
1
R = espacio unidimensional, línea recta real.
2
R = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3
= espacio tridimensional, terna ordenadas.
.......
n
R = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas o n -uplas.
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por
un escalar definidas en V.

Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma,
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
COMBINACIÓN LINEAL
Dados el vector a no nulo, un conjunto de n vectores ,,,, nvvv 21 y los n escalares
,,,, n 21 se dice que a es combinación lineal de los n vectores si se cumple:
.nnvvva   2211
EJEMPLO: Dados los vectores ),,,( 321a ),,,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Expresa, si
es posible, el vector d como combinación lineal de ,a b y .c
Solución: Debemos encontrar tres números, x, y, z, tales que: .zcybxad 
Es decir:        501111321311 ,,z,,y,,x,,- 
   zyxy,xz,yx,,- 532311 
:CramerdereglalaaplicandoresolvemosLo
353
12
1








zyx
yx
zyx
Sea,
Tenemos que:
6
513
012
111
A
0
6
0
6
313
112
111
;3
6
18
6
533
012
111
;2
6
12
6
513
011
111
















 zyx
Por tanto: 0z-3,y2,x  Y así, .cbad 032 
EJERCICIOS:
1) Determina la expresión general de los vectores de 3
R que son combinación lineal de los
vectores ),,( 121  y ).,,( 114 Solución: ),,(   24

2) Dados los vectores ,48 ),,(au  ),,( 021v y ).,,( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinación lineal de v y de .w Solución: .3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solución no trivial esto quiere
decir que la combinación lineal denotada así: ,02211  nnvvv   o sea que tiene una
solución única.
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea  nvvvS ,,, 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuación vectorial ,02211  nnvvv   (que es la misma que combinación lineal
donde ,,,, n 21 son escalares) se escribe un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en
variable .,,, n 21 Después se hace Gauss-Jordán a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solución de la diagonalización tiene solamente solución trivial
n ,021    entonces S es linealmente independiente. O también se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores.
Si un conjunto  nvvvS ,,, 21 , 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinación lineal de los demás vectores .S
EJEMPLO: Comprueba si los vectores 1)1,(1,y1)1,-(1,1),-1,(1, de 3
R son linealmente
independientes.
Solución: Primero formemos una matriz A con los vectores, es decir













111
111
111
A
Luego, hallemos el determinante de esa matriz, es decir, :det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet 












A
Y como el determinante no es nulo, los vectores son linealmente independientes.

EJEMPLO: El método del ejemplo anterior no es la única manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes, veamos los vectores )0,1,2(  y )1,2,3(  los cuales son linealmente
independientes. En efecto, si escribimos:
     .000123012  -y, -x
Es decir, formamos el siguiente sistema de ecuaciones:








0
02
032
y
yx
yx
El cual sólo tiene la solución trivial: . yx
EJERCICIOS:
1) Los vectores ),3,0,2(  )0,2,1(  y )6,2,3(  son linealmente dependientes.
En efecto, haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo.
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1t,(0,t),1,(1, y
t)2,-(1, sean linealmente dependientes.
Solución: Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar como combinación
lineal de los otros restantes, por tanto,
(1, 1, t) = (0, t, 1-t) + (1, -2, t)
Y de aquí se obtiene:








ttt)-(1
12-t
1
Y de aquí resulta





0)t1(
3t
Si 1t0t-1ó00)t1(  . Y si t = 1,  = 3
La relación de dependencia es )1,2,1.(1)0.1.0.(3)1,1,1(  , es decir,
)0,0,0()1,2,1.(1)0,1,0.(3)1,1,1( 

Otro método para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando
estos dos vectores )2,3(1 v y )4,6(2 v geométricamente como en la siguiente de abajo,
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes.
También podemos graficar estos dos vectores )2,1(1 v y )2,3(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal.
EJERCICIOS:
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2
R y 3
R cumplen esa
fórmula de determinantes.
2) Verificar que los vectores )3,2,1( y )1,1,1(  son linealmente independientes.
3) Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente
independientes, cualquiera que sea el valor de .k
4) Halle los valores de m para que los vectores ),1,1,0( )1,0,2( y )1,1,( mm sean
linealmente independientes.
5) Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51  hallar el valor de  para que los
vectores sean linealmente dependientes.
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la fórmula:



 
vu
vuv(u
Cos φ 2211
DEFINICIÓN: Donde los vectores son  , uuu 21 y  , vvv 21 y donde 2211 vuvu  se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores.

EJEMPLOS:
1) Halla el ángulo que forman los vectores )6,2,3(u y )1,5,4(v
Solución: Calculemos lo siguiente:
461012. vu
7493649|||| u ; 4212516|||| v
Luego,
427
4
||||.||||
.
cos 
vu
vu
.
Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno es
427
4
, se obtiene el siguiente ángulo:
º94,84
Usando la calculadora:
Sean los vectores:
El producto interno es:
Guardandolo en memoria:

Las normas de los vectores son:
Multiplicando lo anterior:
Guardandolo en memoria:
Luego calculando el coseno inverso:
En grados sexagesimales:
2) Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u y )6,2,(av  , sean perpendiculares.
Solución: Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,
0)6,2,).(5,1,2(  a  03022  a
Y de aquí se obtiene .a 16

Verifiquemos con la calculadora:
Sean los vectores:
Luego el producto escalar o interno es:
El producto punto para n
R se denota nnvu...vuvuvu  2211 las propiedades que
cumple son: Donde c es un escalar y que wvu ,, son vectores cualesquiera en .n
R
1) uvvu  (Ley de simetría)
2) wuvuwvu  )( (Ley distributiva)
3)    vucvuvcuvuc 
4) 0vv  y 0vv  si sólo si 0v (El producto interno es positivo)
5)
2
vvv  (Definición de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy – Schwarz dice que | v |||| u || |v |u | donde v |u | es valor
absoluto de vu  donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
ángulo entre dos vectores en n
R así:
vu
vu
Cos φ


Esta fórmula nos define ángulos entre dos vectores, si vu 0 se dice que los ángulos son
ortogonales.
LA DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v ||.|| u ||v |||| u 

EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v |||| u ||v |||| u 222
 solo para vectores
ortogonales. ¿Será cierto que: || v |||| u ||v |||| u 222
 ? Dar una interpretación
geométrica.
EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades del producto interno de vectores.
Por ejemplo demostremos la simetría: Sean dos vectores ),,,( nuuuu 21 y
),,,,( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn





interno.productodeDefinición),,,(),,,(
reales.númeroslos
deproductodelaconmutativPropiedad
interno.productodeDefinición
),,,(),,,(
2121
2211
2211
2121




2. Dados los vectores ),,( 312 u y ),,,( 224 v hallar vu, y el ángulo que forman los
vectores u y .v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea  321 eee ,, una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextrógira y los vectores
332211 eueueuu  y .332211 euvevevv  Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y ,v se representa por ,vu al vector
     
.cofactoreslosdeMetodos
matriz.unadetedeterminandeDefinición
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
e
vv
uu
e
vv
uu
e
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu































detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son: Sean los vectores ,u ,v w y un escalar c en los
números reales:

1.  uvvu  (Ley anticonmutativa).
2.   wuvuwvu  (Ley distributiva).
3.   cuvucvvuc 
4. 0uu
EJEMPLOS:
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )3,7,1( u y ).4,0,5(v
Solución: Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:
 
 405
371
,,-v
, -,u


Luego,
35)11,28,(
05-
71
,
5-4
13-
,
40
3-7








vu
Sean los vectores:
Luego, el producto vectorial es:
2)Dados los vectores 6),1,(4,y v5)2,(3,u  halla un vector perpendicular a ambos y el
área del paralelogramo que determinan.
Solución: Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:

6)1,(4,v
5)2,(3,u


Luego,
5)-2,7,(
14
23
,
46
35
,
61
52








vu
El producto vectorial puede obtenerse también desarrollando el siguiente determinante:
)5,2,7(527185832012
614
523  kjijikkji
kji
vu
El área del paralelogramo que determinan es el módulo del producto vectorial:
Área = 78)5(27|||| 222
vu
O bien, Área = 2
u78
Sean los vectores:
Y su norma (área) es:

Ya que:
3)Halla un vector w cuyo módulo sea 4 y además perpendicular a )1,0,2(u y ).2,1,3( v
Solución: Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos, por tanto, )2,1,1(
1-3
02
,
32
21
,
21-
10
vu 







 . Lo dividimos por su módulo
para obtener un vector de módulo unidad: )2,1,1(vu  . Es perpendicular a u y a v.
6)2()1(1||vu|| 222
 ; 




 


6
2,
6
1,
6
1)2,1,1(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:







 





 

3
64
,
3
62
,
3
62
6
2
,
6
1
,
6
1
4w
Sean los vectores:
La norma es:

Guardando en la memoria:
Ahora buscando un vector unitario:
Por último multiplicándolo por 4:
Notando que:
VERSOR
Representación gráfica del versor asociado a un vector:
u

u u u
 
 
u
1
u u
u



VECTOR PROYECCIÓN
Se necesita obtener la proyección del vector

a en la dirección del vector

b . Ello se
simboliza:
b
a

Proy
PROPIEDADES
Sea ,Proy ax
b


 entonces verificar geométrica y algebraicamente se cumple que:
i. bx

ii.   bxa


iii.   xxaa


EJERCICIOS:
1. Demostrar las propiedades de vector proyección.
2. Demostrar las propiedades del producto cruz.
3. Los vectores ,2kia  kjib  2 y kjic 22  están expresados en una base
ortonormal. Calcula: ;ba )( aca  y )..( baa 
Solución: kjiba  52 ; kjiaca 4108)(  ; 0).( baa
4. Demuestre que sí u y v son vectores cualesquiera, se tiene que
).()()( vuvuvu  2
Sugerencia: Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu ).
5. ¿Es cierto que )()( wvuwvu  ? Para cualesquiera trío de vectores ,,, vu y .w
Falso: Sugerencia, use los vectores ),,(),,( 001001  vu y ).,,( 010w
Proy
b
a k b
 
a

b
a

Proyb b


SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por
un escalar definidas en V. Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por
un escalar.
EJEMPLOS:
1. Sea 3
RV  y VS  definido por  0:),,(  xVzyxS Entonces, S es un subespacio
vectorial de ,V ya que ;)0,0,0( S y si ,),,( 321 Sxxx  tenemos que:
).,,(),,(),,( 332211321321 yxyxyxyyyxxx  Lo cual indica que esta suma
pertenece a ,S pues .00011  yx De manera análoga tomamos Syyy ),,( 321 y
,R entonces ,),,(),,( 321321 Sxxxxxx   ya que 0 implica que .01 x
Así, S es un subespacio vectorial de .V
2. Sea  funciónunaoaplicaciónunaes,:),( fRRfRRAV  y
 .encontinuafunciónunaes, RfVfS 
Entonces S es un subespacio vectorial de ,V ya que la función idénticamente nula es una
función continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por:
.todopara),()())(( Rxxgxfxgf 
Y el producto de una constante R por una función continua f definida por
.todopara,)())(( Rxxfxf  
Son funciones continuas. Así, S es un subespacio vectorial de .V
EJERCICIOS:
1) Sea  funciónunaoaplicaciónunaes,:),( fRRfRRAV  y
 .enderivablefunciónunaes, RfVfS 
Probar que S es un subespacio vectorial de .V

 .enordeneslostodosdederivadasadmitequefunciónunaes, RfVfS 
 .encreciententeestrictamefunciónunaes, RfVfS 
Probar que S no es un subespacio vectorial de .V
NOTA: Sabemos que una función es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
,, Rxx  se cumple que:
).()( xfxfxx 
Sugerencia: Basta probar que la función idénticamente nula no pertenece a .S
 .)()(R,xtodopara, xfxfVfS 
 .)()(R,xtodopara, xfxfVfT 
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de .V
NOTA: Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente.
OBSERVACIÓN: Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar.
BASE Y DIMENSIÓN
En un conjunto  nvvvS ,,, 21  es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un número finito de vectores, entonces V es de
dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita.
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito  nvvvS ,,, 21  es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene más de n vectores de V es linealmente dependiente.

EJEMPLOS:
1. Estudia si los vectores 1)(0,1,0),1,(1, y )11,(2,  forman una base de .3
R
Solución: Hemos de saber que:
 Dos vectores linealmente independientes de 2
R forman una base de 2
R
 Tres vectores linealmente independientes de 3
R forman una base de 3
R .
 Etc.
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formarán una base, haga
los cálculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y, por tanto, no
forman una base de .3
R
2. El vector ),,( 231 v está dado en la base canónica. Halla sus componentes respecto de la
base  .)3,2,0(),1,0,1(),1,1,1(B
Solución: Hagamos, )3,2,0()1,0,1()1,1,1()2,3,1( 
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:








23
32
1



Sumando la 1ª ecuación, cambiada de signo a las otras dos, se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente:





33
22


 1
Y entonces 4 , Si el valor de  lo llevamos a la 1ª ecuación del sistema inicial,
514   . El vector v queda expresado en función de los elementos que forman la base
en la forma siguiente: ).3,2,0(1)1,0,1(4)1,1,1(5)2,3,1( 
EJERCICIOS:
1. Prueba que los vectores (1,1,1)y(1,-1,1),111  cba ),,( son una base de .3
R Halla
las componentes del vector ),,( 1597x en esta base. Solución: Como son tres vectores,
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) .cbax 12811 

2. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d ¿Forman una base
de 3
R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinación lineal de los vectores ,a
b y .c
3. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v ¿Son linealmente independientes?
¿Forman una base de 3
R ? Halla un vector, w tal que .
2
32
v
wu 
NÚMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, toda base V tiene n
vectores.
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, esa n es la dimensión de esa
base y se denota .)dim( nV  . Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio, este conjunto es una base del
subespacio y la dimensión del mismo es el número de vectores que hay en la base.
Para ver que una base en un espacio n-dimensional: Siendo V su espacio vectorial y nn 
entonces  nvvvS ,,, 21  en un conjunto de vectores linealmente independientes en ,V
entonces S es una base de .V
EJEMPLO: Si  nvvvS ,,, 21  genera a ,V entonces S es una base de .V
OBSERVACIONES:
1. Si W es un subespacio vectorial de ,V .dimdim VW  Si ,0

W 0dim W
2. Si 21,WW son subespacios vectoriales de V se tiene
.dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW 
En particular dimW2.dimW1W2)dim(W1  .
Donde recordemos lo siguiente:
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
 22112121 W,vW,vvvV : vvWW 

El conjunto WW 21  es un subespacio vectorial de V . Si .0WW 21

 la suma se dice
directa y se denota .WW 21  Si V ,WW  21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios.
NOTA: Recordar que 0

es otra notación del vector nulo y 0

es el conjunto unitario formado
por el vector nulo.
EJEMPLO: Se consideran los siguientes subespacios de :R3
 .0,0:,, 3
zyxRz)y(xU 
 .02:2,, 3
zy; xxjRz)y(xV 
Hallar una base de U, otra de V ,la dimensión de U, V y los subespacios VU  y V .U 
Solución: Las ecuaciones paramétricas de U son: ., y z, yx .0   Por tanto,
 R)(U   :,,0
Luego una base de U es:  .110 ),,(BU  Y .U 1dim 
Las ecuaciones paramétricas de V son: .y22  z-, y-x  Por tanto,
 R) :,,-(V   22
Luego una base de V es:  .1,2,2 )(BV  Y .V 1dim 
El subespacio intersección es
 
 
 (0,0,0)
0
0200
3
3



zy:xR(x, y, z)
zy; x; x; y -z:xR(x,y, z)VU
El subespacio suma es  ))()(L(VU 1,2,2,1,1,0  . Esto es, VU(x,y, z)  si
existen Rα, β  tales que ),,-(-),,((x, y, z) 122110   . Esto es,

























z
xy
x
z
y
x
2
2
2

Por tanto, el sistema anterior tiene solución si y sólo si
xyz
x
xyz
2
3
2

Luego






 xy -: zR(x, y, z)VU
2
33
Y .V )(U 2dim  Como  ,),,(VU 000 así la suma es directa.
NOTA: Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinación lineal de S.
EJERCICIOS DE VECTORES
1. Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k calcular:
.,k),(,, aacbababa 
2. Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial:  2M acabcba  )( (Ley
distributiva)
3. Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente independientes,
cualquiera que sea el valor de .k
4. Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51  hallar el valor de  para que los vectores
sean linealmente dependientes.
5. Dados los vectores )3,1,2(u y ),2,9,4( v hallar vu, y el ángulo que forman los
vectores u y .v
6. Dados los vectores 6),9,-(4,y v5)4,(-6,u  halla un vector perpendicular a ambos y
el área del paralelogramo que determinan.
 .enderivablefunciónunaes, RfVfS 
 .)()(R,xtodopara, xfxfVfS 
Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones pares.
9. Prueba que los vectores (1,1,1)y(1,-1,1),111  cba ),,( son una base de .3
R Halla
las componentes del vector ),,( 1597x en esta base.
10. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d ¿Forman una base
de 3
R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinación lineal de los vectores ,a b y
.c

11. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v ¿Son linealmente independientes?
¿Forman una base de 3
R ? Halla un vector, w tal que .
2
32
v
wu 
12. Se consideran los siguientes subespacios de :R3
 .0,0:,, 3
zyxRz)y(xU 
 .02:2,, 3
zy; xxjRz)y(xV 
Hallar una base de U, otra de V ,la dimensión de U, V y los subespacios VU  y V .U 
13. Sea X un conjunto no vació, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los números
reales R o complejos C ) y
 funciónoaplicaciónunaes,:),( fKXfKXAV 
Definamos:
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf


)())((:,
)()())((:,

Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K
    xfxfRxVfS  ,todopara:
Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones impares.
15. Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz. De una idea geométrica.
16. Demuestre la desigualdad triángulo. De una idea geométrica.
17. Demuestre el teorema de Pitágoras. De una idea geométrica.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.
A de C. V. Noriega Editores. México.
 Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-
10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.
https://www.createspace.com/5230822
 Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera
reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.
 Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

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