Ecuacion de la recta

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  • 1. ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTASe llama ángulo de inclinación de una recta r al menor de losángulos que forma esa recta cuando cruza el eje x y que semide desde ese punto a la recta r en sentido contrario a lasmanecillas del reloj. y b x
  • 2. La inclinacion de una recta puede estar entre 0 y 180 grados. Si el angulo es cero grados, la recta es horizontal. Por otra parte si el angulo es 90 grados, entonces la recta es vertical.b Por otra parte, se llama pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Si se representa la pendiente de una recta con la letra m y su ángulo de inclinación con la letra b, entonces la pendiente es: m = Tang b
  • 3. La formula para obtener la pendientede una recta esta determinada por: m= y2 – y1 x2 – x1 Ejemplo: Halle la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1,-2) y B(4,8) m = y2 – y1 x2 – x1 m = 8 – (-2) 10 m=2 4 – (-1) 5 Tan b = m……… Tan b = 2 b = Tan-1 (2)…….. 63.43 grados
  • 4. 1.- Determine la pendiente e inclinación de la recta quepasa por los puntos A(-3,0) y B(1,2)2.- Obtén la pendiente y la inclinación de la recta quepasa por los puntos P1(-2,7) y P2(4, -1)
  • 5. Supongamos que una recta r, cuyaecuación queremos determinar, pasapor el punto P(x,y) y tiene una pendientem.Si P(x,y) es un punto cualquiera de larecta y es distinto de P1, tenemos laecuación siguiente: y – y1 = m(x – x1)Esta ecuación de la recta esta expresadaen la forma punto-pendiente, ya que seemplea cuando se conocen un punto dela recta y la pendiente de esta.
  • 6. ySolución:Tenemos que y – y1 = m(x – x1), donde x1 = 4, y1 = -5 y m = 3 y – (-5) = 3(x – 4) y + 5 = 3x - 12Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, -5) ycuya pendiente es 3, expresada en la forma punto-pendiente.
  • 7. 1.- Pasa por los puntos P(3,7) y tiene pendiente 4.2.- Pasa por el punto P(-2,5) y tiene pendiente – 33.- Pasa por el punto P(-1, -6) y tiene pendiente ¼4.- Pasa por el punto P(4,-9) y tiene pendiente – 1/5
  • 8. ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PENDIENTE – ORDENADAEN EL ORIGEN. Si una recta de pendiente m corta el eje y en el punto P(0,b), como se muestra en la figura, de acuerdo con la ecuación de la forma punto-pendiente tenemos: P(0, b) y- y1 = m(x – x1) Donde y1 = b y x1 = 0, por consiguiente: y – b = m(x – 0) y – b = mx y = mx + b Ecuación de la recta en la forma punto-ordenada en el origen
  • 9. Ejemplo:Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en elorigen es – 7. Escribe la ecuación en la forma pendiente-ordenada en elorigen.y = mx + b ------ y = 4(x – 7) ----- y = 4x – 7Ejemplo:Halla la ecuación de la recta cuya ordenada es el origen es -5 y que esparalela a la recta y = - 2x + 9. Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.Solucion:Como las rectas son paralelas, entonces tienen pendiente de igual valor. Porende, la pendiente de la recta cuya ecuación queremos determinar es -2. Así y = mx + b --- y = -2x - 5
  • 10. Ejemplo:Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es – 2 y que esperpendicular a la recta y = 5x + 2. Expresa la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.Como las rectas son perpendiculares, entonces los valores de sus pendientesson recíprocos entre si y de signo contrario. El reciproco de 5 es1/5, luego, el valor de la pendiente de la recta cuya ecuación queremosdeterminar es – 1/5.y = mx + b ---- y = -1/5(x + (-2)) ----- y = - 1/5x – 2
  • 11. Ejemplo:Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-1,-4) y P(3,2). Expresala ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen.Solución:Se deberá determinar la pendiente: m = y2 – y1 m = 2 – (-4) m= 2+4 m = 3/2 x2 – x1 3 – (-1) 3+2Con uno de los puntos y la pendiente 3/2 se puede determinar la ecuacion de larecta. Tomemos el punto P(3,2)y – y1 = m(x – x1) ----- y – 2 = 3/2(x - 3) ---- y – 2 = 3/2x – 9/2 ----- y = 3/2x - 9/2 + 4/2 ----
  • 12. FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTADETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERALLa ecuación de la forma Ax + By + C = 0 se llama ecuación general de larecta, donde A, B y C son números reales y además, A y B no pueden tomarel valor de cero. Con esta ecuación es posible determinar todas las rectasposibles.
  • 13. EJEMPLO:Escribe en la forma general la ecuación de la recta que pasa por estos dospuntos P(-2,-5) Q(3,5)Solución: Primero determinaremos la pendiente, para lo cual usaremos laecuación siguiente:m= y2 – y1 x2 – x1m=2Con el valor de la pendiente y tomando cualesquiera de los dos puntos,determinamos la ecuación de la recta. Si consideramos Q(3,5):y – y1 = m(x – x1)y = 2x – 6 + 5 ---- y = 2x -1 , luego 2x – y – 1 = 0
  • 14. Se resolvieron tres ejemplos en la clase
  • 15. DETERMINACION DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA ENEL ORIGEN A PARTIR DE LA ECUACION GENERAL.A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, si despejamos la variabley, tenemos:By = - Ax – C ------ y = - Ax – C ------ y = - Ax - C B B BLa ecuación anterior es de la forma y = mx + b, por lo que podemos decirentonces que: m=-A b=- C B BDonde b es la ordenada en el origen, o sea b es la ordenada del punto P(0,b)
  • 16. Determina la pendiente y ordenada en el origen (intersección con el eje y) de larecta 2x – 5y + 8 = 0Solución:A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, tenemos que A = 2, B = -5 y C =8, por tanto: m= -A m= -2 m= 2 ----------------- La pendiente de la recta B -5 5 2x – 5y + 8 = 0, es m = 2/5Ahora determinemos la ordenada en el origen b. b=-C --------------- - 8 b = 8/5 B -5Otra forma de encontrar la pendiente y ordenada al origen es despejando lavariable y de la ecuación 2x – 5y + 8 = 0
  • 17. EJEMPLO:Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que esperpendicular a la recta 7x + 6y + 8 = 0.La pendiente de la recta 7x + 6y * 8 = 0 es m= -A m= -7 La pendiente de la recta debe ser reciproca y de B 6 signo contrario, por lo tanto, m = 6/7Así, con m = 6/7 y el punto P(4,5) podremos hallar la ecuacion de la rectaindicada:y – y1 = m(x – x1) ------- y – 5 = 6/7 (x – 4)7(y – 5) = 6(x – 4) ----- 7y – 35 = 6x – 246x – 7y + 11 = 0