38187212 algebra

ÁLGEBRA MANUAL DE PREPARACIÓN PRE-UNIVERSITARIA

IDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓN
Departamento de Creación Editorial de Lexus Editores

© LEXUS EDITORES S.A.
Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perú
www.lexuseditores.com

Primera edición, febrero 2008

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca
Nacional del Perú: 2008-01600

ISBN: 978-9972-209-44-4

EDICIÓN 2008

PRESENTACIÓN
Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias
de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y
superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el
dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-
piado.

Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-
dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y
la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva
como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en
etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar
sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.

Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado
para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y
docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-
sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,
usando métodos apropiados, fáciles y amigables.

Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-
tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios
resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para
que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecua-
do conocimiento y dominio de la materia.

Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña
esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre
en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor
en casa a tiempo completo.

Los Editores

SUMARIO
Pag.

Conceptos Fundamentales ……………………………………… 13
Expresión algebraica / Clasificación de las expresiones algebraicas ……………………… 13
Término algebraico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14
Teoría de exponentes ……………………………………………………………… 14
Potenciación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15
Leyes que rigen a los exponentes …………………………………………………… 15
Multiplicación de potencias de bases iguales ………………………………………… 15
División de potencias de bases iguales / Exponente cero … … … … … … … … … … … … … 15
Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente ………………… 15
Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raíz de una potencia …………… 16
Raíz de un producto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
Leyes de los signos en las operaciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … 17
Multiplicación / División … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17
Potenciación / Radicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18
Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18
Ejercicios Propuestos ……………………………………………………………… 25
Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26
Solución de una ecuación exponencial ……………………………… ……………… 26
Valor numérico de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 31

Grado de las Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … 39

Grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39
Grado de un monomio / Grado de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 39
Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 47

Notación Polinómica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Valor numérico de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Cambio de variable en un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50
Ejercicios Resueltos ……………………………………………………………… 51

Polinomios Especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
Polinomio ordenado / polinomio completo …………………………………………… 59
Polinomio homogéneo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59
Polinomios idéntico / Polinomio idénticamente nulos ………………………………… 60
Polinomio entero en “x” …………………………………………………………… 60

Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 70

Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 70
Supresión de signos de colección / Introducción de signos de colección … … … … … … … 70
Multipicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74
Propiedades de la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74
Casos que se presentan en la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … 76
Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76
Valor numérico de una expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 82
División algebraica / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90
Propiedades de la división / Casos de la división … … … … … … … … … … … … … … … 90
Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90
Método de coeficientes separados / Método de Horner … … … … … … … … … … … … … 91
Regla de Ruffini … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 99
Teorema del resto o de Descartes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105
Regla práctica para hallar el resto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105

Divisibilidad Algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 115
Principios de la divisibilidad algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115

Cocientes Notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Forma general de los coeficientes notables … … … … … … … … … … … … … … … … … 126
Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso … … … … … … … … … … … … … … 126
Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso … … … … … … … … … … … … … … … 127
Desarrollo del cociente notable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 127
Reglas prácticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable … … … … … … … 127
Determinación de un término cualquiera de un cociente notable … … … … … … … … … … 128

Factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Definición / Método para factorizar … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Factor común / Factor común monomio / Factor común polinomio … … … … … … … … … … 136
Factor común por agrupación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136
Método de identidades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Trinomio cuadrado perfecto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Suma o diferencia de cubos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139
Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142
Aspa simple … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142
Aspa doble … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 143
Aspa doble especial … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146
Método de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Finalidad / Divisor binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Fundamento teórico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Determinación de los posibles ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 149
Formas de factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149
Método de artificios de cálculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152
Reducción a diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152

Métodos de sumas y restas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 153
Cambio variable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155
Factorización recíproca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Polinomio recíproco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco … … … … … … … … … … … … … … 157
Ejercicicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157
Factorización simétrica y alternada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Representación de expresiones simétricas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159
Propiedad fundamental de un polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … 160
Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 160
Propiedades fundamentales de un polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … 160
Propiedades de los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … … … … … … … … 160
Factorización de un polinomio simétrico y alternos … … … … … … … … … … … … … … 160
Otros artificios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 163
Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo … … … … … 169
Máximo común divisor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169
Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169

Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Principales conceptos / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Signos de una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173
Simplificación de fracciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 174
Operaciones con fracciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175
Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175
Multiplicación y división … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 176

Introducción el Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … 183
Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183
Propiedades de los factoriales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 185
Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 186
Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción … … … … … … … … … … … … 190
Fórmula del término general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 191
Término central … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 194
Triángulo de Pascal o de Tartaglia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 196
Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … … … … 200
Propiedades del desarrollo del binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … 200

Radicación ……………………………………………… 206
Elementos de una raíz / Signo de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … 206
Raíz de un monomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 206
Raíz cuadrada de un polinomio / Regla práctica … … … … … … … … … … … … … … … … 207
Raíz cuadrada por el método de coeficientes indeterminados … … … … … … … … … … … 207
Raíz cúbica de polinomios / Regla práctica general …………………………………… 208
Raíces dobles / Concepto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212
Transformación de radicales dobles en radicales simples o sencillos … … … … … … … … … 212
Descomposición de radicales múltiples en simples … … … … … … … … … … … … … … … 219

Operaciones con Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … 227
Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227
Valor Aritmético de un radical / Valor algebraico de un radical ………………………… 227
Radicales homogéneos / Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … 227
Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … 227
Suma de radicales / Multiplicación de radicales ……………………………………… 228
Potencia de radicales / Raíz de radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … 228
Racionalización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 234
Fracción irracional / Factor racionalizante … … … … … … … … … … … … … … … … … 234
Casos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235

Primer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235
Segundo caso / Ejercicios Resueltos ………………………………………………… 235
Tercer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 237
Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos ………………………………………………… 238

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … 243
Formas singulares o determinadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Formas indeterminadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Verdadero valor / Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Forma 0/0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243
Forma ∞/∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 247
Forma ∞ - ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 249
Forma 0 . ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 251

Cantidades Imaginarias y Números Complejos … … … … … … … 255
Cantidades imaginarias / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 255
Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria … … … … … … … … … … … … … 255
Transformación de la potencia im donde “m” es entero y positivo … … … … … … … … … … 255
Números complejos, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Clase de números complejos / Complejo real / Complejo puro … … … … … … … … … … … 264
Complejo nulo / Complejos iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Complejos conjugados / Complejos opuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Representación gráfica de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264
Representación cartesiana / Representación polar o trigonométrica … … … … … … … … … 264
Operaciones con complejos / Suma de complejos … … … … … … … … … … … … … … … 265
Multiplicación de complejos / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … 265
División de complejos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265
Potencia de un complejo / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266
Raíz de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266
Raíces cúbicas de la unidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269
Propiedades / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269

Ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277
Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes … … … … … … … … … … … … 277
Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuación … … … … … … … … 277
Clasificación de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277
Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones …………………… 277
Ecuaciones de primer grado con una incógnita / Discución de la solución … … … … … … … 278
Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 282
Sistema de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes … … … … … … … … … … … … … 290
Solución del sistema … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 290
Principios fundamentales para la trasformación de sistema de ecuaciones … … … … … … … 290
Métodos de eliminación y resolución / Método de sustitución ………………………… 290
Método de igualación / Método de reducción … … … … … … … … … … … … … … … … 291
Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 298

Determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Signos de un elemento … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Determinante de un segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307
Valor determinante de segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Determinante de tercer orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308
Forma práctica de la regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 309
Menor complementario de un determinante … … … … … … … … … … … … … … … … … 309
Desarrollo de un determinante por menores complementarios … … … … … … … … … … … 310
Propiedades de los determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310
Método de los determinantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones ………… 310
Regla de Cramer … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310
Discusión de la solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 317

Ecuaciones de Segundo Grado … … … … … … … … … … … … … … … … 326
Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita … … … … … … … … … … 326
Deducción de la fórmula general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 326

Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … … … 327
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … 327
Forma de una ecuación de segundo grado conociendo raíces … … … … … … … … … . 327
Ecuaciones reductibles a cuadráticas / Ecuaciones bicuadradas ………………………… 339
Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 339
Formación de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … 339
Ecuaciones recíprocas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 340
Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 343
Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 345
Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos ………………………… 352
Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 356
Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 358

Desigualdad e Inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Desigualdades, definiciones importantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363
Ejercicios sobre desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 364
Clases de desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 365
Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … 365
Solución a una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 366
Intervalo abierto / Intervalo cerrado ………………………………………………… 366
Valor absoluto / Ejercicios Resueltos ……………………………………………… 366
Inecuaciones / Sistema de inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … 367
Sistema de inecuaciones con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … … … 367
Sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas … … … … … … … … … … … … … … 367
Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … 370
Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … 372

Progresiones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 375
Progresión aritmética (P.A.) o “progresión por diferencia” / Propiedades … … … … … … … … 375
Medios aritméticos o diferenciales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … 375

Interpolación de medios aritméticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 376
Progresión geométrica (P.G.) o “progresiones por cociente” … … … … … … … … … … … … 379
Representación de una progresión geométrica / Propiedades … … … … … … … … … … … … 379
Medios geométricos o proporcionales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … 380
Interpolar medios geométricos entre dos números dados … … … … … … … … … . . … 380

Logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 388
Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 389
Propiedades generales de los logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Cologaritmo / Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Cambio de un sistema de logaritmos a otro … … … … … … … … … … … … … … … … … 390
Logaritmos como progresiones / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … 396
Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. … … … … … … … … … … … 396
Sistema de logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 397
Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs … … … … … … … … … … … … … 398
Propiedades del sistema logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Cálculo de la mantisa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Transformar un logaritmo totalmente negativo en otro
parcialmente negativo y viceversa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398
Cálculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos … … … … … … … … … … 399
Producto de logaritmos / Multiplicación y división de logaritmos entre si … … … … … … … 399
Conversión de logaritmos decimales a logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … 400
Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales … … … … … … … … … … … 400

Interés Compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 404
Principales conceptos / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … … … … 404
Caso en que el tiempo es múltiplo del período de capitalización … … … … … … … … … … 405
Anualidades, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 405
Anualidad de capitalización (Ac) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … 405
Anualidad de amortización (Aa) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … 406

Á L G E B R A

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

El álgebra es la parte de la matemática que estudia a Es necesario aclarar que todas las expresiones que
la cantidad en su forma más general obteniendo ge- tienen números y letras son expresiones algebraicas;
neralizaciones sobre el comportamiento operacional a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-
de los números. Estudia de esta manera, funciones bre de funciones trascendentes y que son utilizadas
numéricas; para lo cual se emplea números, letras y muy a menudo en el cálculo superior. Para una
signos de operación. mayor ilustración, indicaremos la definición de las
siguientes funciones trascendentes:
Como el estudio de una función conduce finalmente
al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice Función exponencial.- Representada por una base nu-
también que el álgebra es la ciencia que estudia las mérica y un exponente literal, como por ejemplo:
ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos 7x (base = 7, exponente = x).
son analizados a continuación:
Función logarítmica.- Representada por el símbolo
EXPRESIÓN ALGEBRAICA “log.” y que se toma en una cierta base a un determi-
nado número. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo en
Es el conjunto de números y letras unidos entre sí base b del número N.
por los signos de operación de la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación y la radi- Función trigonométrica.- Representada por las fun-
cación.(*) ciones seno, coseno, tangente y sus complementos
Ejemplos: aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que
se lee: “seno de x”.
Son expresiones algebraicas las siguientes:
i) x CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ii) 4x
Según el tipo de número o variable de sus expo-
2 2
iii) 4x + 5y + 7z 2 nentes, radicales o denominadores las expresiones al-
_________ gebraicas pueden clasificarse en:
3x5 + 7 √ x2 - 5xy4
iv) ________________
3x2y - 3xy7

{ { Enteras
No son expresiones algebraicas: Racionales
Expresiones Fraccionarias
i) 5x
Algebraicas
ii) loga x Irracionales

iii) sen x
(*)Las letras son empleadas tanto para repre-
sentar valores conocidos o datos (en este a) Expresión algebraica racional
caso; por convención, se usa las primeras Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
letras del alfabeto) como valores desconoci- nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su-
dos (se usa las últimas letras del alfabeto). bradical (es decir, al interior de la raíz).

- 13 -

Ejemplos:
α Ejemplos:
α
i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5
ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7
ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8
1 1 1 ________ __
iii) –– x4 + –– x8 + –– x4
3 5 3 iii) √4x2 + 5y2 + 8 √z
x2 4z2 2z3 2 7 8
iv) –––– + –––– + –––– iv) –––– + –––– + ––––
3yz 7xy 2
9y4 __ __ __
√x √y √z
NOTA:
___
v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 √xyz
Se entiende por cantidad subradical a la parte de una
raíz que se encuentra en el interior del radical. De este
modo: Resumen de las características de las expresiones
__ algebraicas.
n
√A , se lee “raíz n de A”
Donde n = índice, A = cantidad subradical

α

{ {
Racionales Enteras
Exponente Exponente
a.1) Expresión algebraica racional entera
entero entero positivo
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- Subradical Denominador
nentes enteros positivos o no tiene letras en su sin letras sin letras
denominador.
Ejemplos: Fraccionarias
Expresiones Exponente
i) 2x2 + 5y7 + 12y15 Algebraica entero negativo
1– 1– 1– Denominador
ii) –– + –– + –– z4 con letras
3x 5y 4
iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 Irracionales
Exponente
a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria fracción
Subradical
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
con letras
nentes negativos o tiene letras en su denominador.
Ejemplos:
TÉRMINO ALGEBRAICO
i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4
Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es-
1– 2– 7–
ii) –– + –– + –––2 tán separadas ni por el signo más ni por el signo
3x 5y 4z menos. En otras palabras, un término algebraico es
4x2 + 3y3 + 7z4 un monomio.
iii) ––––––––––––
4x5 + 5yz
Ejemplos:
iv) 4x4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2
i) 4x2
b) Expresión algebraica irracional
ii) +5y3z4
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad iii) -3x4y5z8
subradical.

- 14 -

Á L G E B R A

Partes de un Término Algebraico LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.
coeficiente Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la suma de ellos.
(-7) x4 exponente
am. an = am+n
parte literal
Ejemplos:
i) x5 . x7 = x5+7 = x12
TEORIA DE EXPONENTES ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15
La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-
das las clases de exponentes que existen y las relacio- iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048
nes que se dan entre ellos.
División de Potencias de Bases Iguales.
La operación que permite la presencia del exponente
es la potenciación, la cual se define así: Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la diferencia de dichos exponentes.
POTENCIACIÓN
am
Es la operación que consiste en repetir un número ––– = am-n
an
llamado base tantas veces como factor, como lo indi-
Ejemplos:
que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-
ración se le denomina potencia, y se representa así: x8
i) ––– = x8-3
x3
Potencia = (base)exponente
x12
ii) ––– = x12-(-3) = x12+3 = x15
Ejemplos: x-3

i) 27 = 144424443= 128 2m+3
2.2.2.2.2.2.2 iii) –––– = 2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64
2m-3
7 factores 2
5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5
ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125 iv) –––––––– = –––––– = ––––
14243 52x+1 52x+1 52x+1
5 factores 5 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625
iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 Exponente Cero.
1442443
6 factores 4 Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero,
es igual a la unidad. Así:
En general:
a0 = 1, donde: a ≠ 0
an = a . a . a . a . … . a
1442443
“n” factores a Ejemplos:
0
NOTA: i) 57 = 51 = 5
0
Recuerdese que para efectos del estudio algebrai- 2
9 1
co, la base es literal y el exponente es numérico: ii) 4 = 42 = 42 = 16

x5, y4, z8, etc. iii) 24
0
+ 57
0
+ 87
0
= 2 + 5 + 8 = 15

- 15 -

Exponente Negativo
α Potencia Negativa de un Cociente.
α
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo- Se invierte el cociente y la potencia se transforma en
nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera- positiva. Luego, puede procederse como en el caso
dor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex- anterior.
presión pero con el signo del exponente cambiado a
positivo. Así:
1
() ()
–– = -n
a
b
––
bn
a-n = –– , donde: a ≠ 0 Ejemplos:
an

Ejemplos: i) () ()
2 -2 5 2 52 25
–– = –– = –– = –––
5 2 22 4
2
1 a
i) x-3 = –– ii) –– = a2b4
x3 b4
() ()
1 -3 5 3
ii) –– = –– = 53 = 125
5 1
1 a-3 b5
iii) 2-1 = –– = 0,5 iv) –– = ––
() () () () () ()
1 -2 1 -3 1 -4 2 2 3 3 4
2 b-5 a3 5
iii) –– + –– + –– = –– + –– + ––
2 3 5 1 1 1
Potencia de un Producto.

Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. Potencia de Potencia.
= 4 + 27 + 625 = 656

Se escribe la misma base y el nuevo exponente es
α
(a.b)n = an. bn igual al producto de los exponentes.
Ejemplos:
(am)n = am . n
i) (a . b)5 = a5.b5
Ejemplos:
___ 2
ii) (√3x ) = 3x2 i) (x2)3 = x(2)(3) = x6

iii) x4y4 = (xy)4 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60

3x . 2x (3 . 2)x 6x iii) (x-3)-4 = x12
iv) –––––– = ––––––– = ––
6x 6x 6x
iv) (x-2)5 = x-10
Potencia de un Cociente.
Se eleva tanto el numerador como el denominador a Nota:
dicha potencia. Para el caso de tener muchos exponentes, se
puede generalizar la regla como sigue:
()a n an
–– = ––
b bn { [(am)n]r }s = am . n . r . s

Ejemplos:
RAÍZ DE UNA POTENCIA

() ()
4 4 7 7
x x x x
i) –– = –– ii) –– = –– Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi-
y y4 y7 y
sión del exponente de la potencia entre el índice del
radical.

()
3 3 33 27
iii) –– = –– = –––
5 53 125
8n
2n
8 n
2 ()
iv) ––– = –– = 4n
n
__
√ap = an
p
_

- 16 -

Á L G E B R A

Ejemplos: Raíz de un Cociente.

5
__ __
10 Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno-
i) √ x10 = x 5 = x2 minador, y luego se procede a dividir estas raíces
___ resultantes.
______
___ ____ __
__
48 12
ii)√
3
4
√
√x48 = x 4 = 3√x12 = x 3 = x4 __
n a
n
√a
__

iii)√√
__________
_______
_____
____
64
_______

√
_____
____
_ _____
____
√ √ x = √ √ x = √ √x16 = x8 = x4
32
b √
–– = ––––
n
√b
__

Ejemplos:
Nota: _____ ___
5
5 x20 √x20 = ––
––– = ––––– x
4
Cuando se tiene muchos radicales, se puede
gene-ralizar la regla como sigue:
_________
______
i)
√ ___
y35
_____
5
√x20 y7
___
____
___ __ ___ 4

√√ √
1
√ √ a = mnsr a = a mnsr ii)
4

√ –––
y35
√x20 2
16 = –––––– = ––
____
4
√625 5

Exponente Fraccionario Introducción de un Factor en un Radical.

Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es Se multiplica el exponente del factor por el índice del
igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el radical, de la siguiente forma.
denominador de la fracción y el numerador per- __ n ______
n
manece como exponente. Por lo tanto: ap √b = √apn . b

_ n __
p Ejemplos:
n
a = √ap _ 5 ______ 5 ____
_
5
Ejemplos: i) x2 √y = √x(2)(5)y = √x10y
_ 5 __
3 3
_ _ 3 _______ 3 ____
_
i) a 5 = √a3 i) x2 √y2 = √x(5)(3)y2 = √x15y2
_ 3 __
1
ii) 8 3 = √8 = 2 LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
_
2
3
__ 2
iii) 64 3 = ( √64 ) = (4)2 = 16 MULTIPLICACIÓN
El producto de dos términos de signos iguales es po-
RAÍZ DE UN PRODUCTO
sitivo, y de signos diferentes es negativo.
Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-
tuar el producto. a) [+] . [+] = [+]
__ __ __
n n n b) [-] . [-] = [+]
√ab = √a . √b
c) [+] . [-] = [-]
Ejemplo:
______ 5 ___ 5 ___ d) [-] . [+] = [-]
5
i) √x10y25 = √x10 . √y25 = x2y5
DIVISIÓN
7
__ 7 __ 7 __
ii) √xy = √x . √y La división de dos términos de signos iguales es po-
sitivo, y de signos diferentes es negativo:

- 17 -

[+]
a) ––– = [+]
[+]
b) ––– = [-]
α 1.- Calcular el valor de:
α
[+] [-]
2x+4 + 36(2x-2)
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
[-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1)
c) ––– = [+] d) ––– = [-]
[-] [+]
Solución:
Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
POTENCIACIÓN
que:
m
La potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n
––
es positiva; pero la potencia de una base con expo- a
nente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio:

( )
x
2
a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 –––
22
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b) [+]impar = [+]

[-] par
2x
2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 –––
2 ( )
α
c) = [+]
Operando apropiadamente:
impar
d) [-] = [-]
16 . 2x + 9 . 2x
E = ––––––––––––––––––––––––––––
RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x

Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a
E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5
–
subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5a
imaginaria, que no existirá en el campo real.
___ Rpta.: = 5
impar
a) √[+] = [+]
2.- Calcular el valor de:
impar
___
-n
b) √[-] = [-]
par
___ ( )
4
–
43 8 3
E = ––––––––––
c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2
___
par Solución:
d) √[+] = cantidad imaginaria
Transformemos el numerador, para escribir con
base 4:
Nota:
-n -n -n
Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
(c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
(8 ) [ ]
_
4
3
_
4
= (23)3 [ ]
= (24)n = (22)2 = 4
sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
Reemplazando en la expresión original:
valor positivo.
43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n
E = –––––––– = ––––––– = – – –
–––
(41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n
EJERCICIO RESUELTOS
E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4

- 18 -

Á L G E B R A

3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales:
___________
n
20n+1 36 . 79 . 56 . 212
√
E = ––––––––––
4n+2 + 22n+2
E = ––––––––––––––
36 . 79 . 56 . 211
Solución: simplificando:
Transformando el denominador: 12
E = 2 = 212-11 = 21 = 2
–––
4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211
Rpta.: 2
= 4n+2 + (22)n+1
= 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de:
_
_
-6 3
= 4n+1 (41+1) _ ___
_
= 4n+1 . 5 E= [√ ]
3
√3 __
3√3
√

reemplazando en la expresión, y transformando Solución:
el numerador:
__________ Escribimos la raíz principal en la forma expo-
n nencial:
(4 . 5)n+1
√
E = –––––––––
4n+1 . 5
-6 –
_ √3
–

operando en el numerador:
n
__________
n+1
E = 4 n+1. 5 1
n+1
E=
3 [ ]
√3
–––
3
√3
_

√
–––––––––
4 .5 luego, transformamos los exponentes:

simplificando y descomponiendo la potencia:
[ ] [ ]
31/2 3-1/6 ( )
1 1 -1/6
–– - ––
_______ –––
1/3 2 3 3
__ 3 3
n
5n . 51 n E = (3) = (3)
√
E = ––––––– = √5n = 5n = 5
41
1
-–

[ ] 1 6 1 1 1 1
Rpta.: 5 – 3
6
– -–
6 6
–-–
6 6 0
3 . 3 3
= 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3
4.- Calcular el valor de: 3

216 . 353 . 803 Rpta.: 3
E = –––––––––––––
154 . 149 . 302
6.- Simplificar la expresión:
Solución:

{ [ ]}
1 1 -2
Se sabe que: (a . b)n = an . bn – –
E= m-1 m(m3) 2 5
descomponemos en factores primos, para aplicar
esta ley: Solución:
6 3 4 3
(3 . 7) (7 . 5) (2 . 5)
E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones:
(3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2

aplicando la ley anterior: [ 1
–
E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–}
-2 1
3 2
1 -2
5

36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3
E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-–
34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5

- 19 -

2 - 2+3
––– 2 - 5
–
α Luego:
_________________
α
5 5
E=m =m = m2-1 = m1 = m n
10n + 15n + 6n
–––––––––––––– ––––––––––
Rpta.: m

7.- Calcular:

n
_________
n+1
2__
E=
√ 1
–––––––––––––– =
[10n + 15n + 6n
––––––––––––
(5 . 2 . 3)n ] √
n
(5 . 2 . 3)n
–––––––––
1

E=
√√ –––––– __
n+2
____
––––
4 √4n
Simplificando:
n –––
n
–
n
E = √(30)n = 30 = 301 = 30
Solución:
Rpta.: 30
Trabajando con el denominador:
_____
___ _____
n+2 n+2 9.- Calcular:
√
4 √4n = √4 . 4n/2 _
1
2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n

n+2
___
__
n+2
____ [
E = ––––––– ––––––––
–
23 . 52 + 5n ]
√4 = √4 n n+2

α
1+ –– –––
2 2
=
Solución:
___
____

√(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma-
n+2 n+2 n+2
___
––– n+2
2 2 n+2 n+2
=2
= dos:
_
1
reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n

n
––––––
___ _
[
E = –––––––––––––––––––
23 . 52 + 5n ]
n
E=
√ 2n . 21 n
–––––– = √2n = 2n = 21 = 2
2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b:

_
1 _
1
_
1
Rpta.: 2 10ab - ab n
9ab n

8.- Calcular:
[
E = ––––––––
8b + b ] [ ]
= ––––
9b
=an

_____________
_ _
1 n
n n n
10n + 15n + 6n
E=
√ ––––––––––––
5-2 + 2-n + 3-n
reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2

Rpta.: 2
Solución:
10.- Calcular:
En primer lugar transformemos el denominador:
_____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces
n n
10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448
E=
√ ––––––––––––
1 1 1
–– + –– + ––
5n 2n 3n
[ x.x.x.….x
x.x.x.….x
1442443
x.x.x….x

(4n - 2) veces
x 6 ][ 1
E = –––––––––––––– –––––––––––– ––––
xn+2 ][ ]
Dando común denominador en el denominador
de la raíz: Solución:
_________________
n Cada expresión se reduce:
10n + 15n + 6n
E=
√( ––––––––––––––
6n + 15n + 10n
––––––––––––
5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ]
x3n+6 x2n+3
x4n-2 x6
1
E = –––– –––– ––––
xn+2

- 20 -

38187212 algebra

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 38187212 algebra

Similar to 38187212 algebra (20)

38187212 algebra