3° clase elementos secundarios de un triangulo

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  • 1. ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIAGULO Profesor: Rodolfo Arias Carrasco.
  • 2. Se llama altura al segmento que une un vértice perpendicularmente con el lado opuesto ( ha , hb , hc ) Sus medidas se denotan: AE= ha BF= hb ha CD= hc H: OrtocentroEl punto de intersección de las alturas se llamaortocentro.Si un triángulo es acutángulo, las alturas seintersectan en su interior, como se mostraban el lafigura anterior. Si es un triángulo rectángulo, lasalturas se intersectan en el vértice del ángulo recto.
  • 3. Si el triángulo es obtusángulo, las prolongaciones de las alturas seintersectan en el exterior del triángulo.
  • 4. Se llama bisectriz al segmento que une un vértice con su lado opuesto, bisectando el ángulo correspondiente. Sus medidas se denotan: AS= ba BT= bb CR= bc S T I: Incentro R REl punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y es el centro dela circunferencia inscrita en el triángulo
  • 5. La intersección de las bisectrices de dos ángulos exteriores es el centro de lacircunferencia exinscrita tangente al lado del triángulo, común a ambosángulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triángulo Oa Centro de la circunferencia tangente al lado BC , a la prolongación más allá de C del lado AC y a la prolongación más allá de B del lado AB Ob Centro de la circunferencia tangente al lado AC , a la prolongación más allá de C del lado BC y a la prolongación más allá de A del lado BA Oc Centro de la circunferencia tangente al lado AB , a la prolongación más allá de A del lado CA y a la prolongación más allá de B del lado CB
  • 6. Se llama transversal de gravedad al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuestoSus medidas se denotan:AE= t aBF= tbCD= tcG: Centro de gravedad El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro de gravedad del triángulo o baricentro y se denomina G. El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos cuyas medidas están en la razón 2:1 AG BG CG 2 GE GF GD 1
  • 7. Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada lado del triángulo Estas tres rectas se intersectan en el punto K, que se denomina circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo Llamaremos medidas de las simetrales a los segmentos: KN = sa KO = s b KM = sc K: CircuncentroKA = KB =KC: radio de lacircunferencia circunscrita altriángulo ABC
  • 8. 1. El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa. Si el triángulo es acutángulo, el circuncentro es un punto de su interior y si es obtusángulo, es de su exterior1. En un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad correspondiente al ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia circunscrita al triángulo
  • 9. Se llama mediana al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triánguloOBSERVACIONES:1. Cada mediana es igual a la mitad del lado que no contiene sus extremos2. Cada mediana es paralela al lado que no contiene sus extremos3. En un triángulo equilátero, las alturas, bisectrices, simetrales y transversales de gravedad respectivas a cada uno de 4. En un triángulo isósceles, los lados están contenidas en la misma la altura, la bisectriz, la recta, y: simetral y la transversal de gravedad correspondientes ha ba t a hb bb tb hc bc tc a la base son coincidentes
  • 10. • El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.• El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.• La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia delbaricentro al ortocentro.• Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro yCircuncentro) se llama RECTA DE EULER.
  • 11. El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados P=a+b+c El área de un triángulo se puede calcular de diversas formas:1. El área de un triángulo se calcula multiplicando la medida de uno de sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos a ha A ABC 22. Fórmula de Herón. Si se conocen las medidas de los tres lados, A ABC s(s a)(s b)(s c) donde a b c (semiperímetro) s 2
  • 12. 3. Área del triángulo en función del radio de la circunferencia inscrita (r) y el semiperímetro (s). A ABC r s4. Área del triángulo en función del radio de la circunferencia circunscrita (R) y el producto de la medida de sus lados a b c A ABC 4R
  • 13. Polígonos
  • 14. Se llama línea poligonal a la unión continua de segmentos, de modo que dossegmentos sucesivos tienen sólo un extremo en común, como el de la figura:Una poligonal cerrada simple esaquella que no puede cortarse a símisma, es decir, aquella en la cualdos segmentos no consecutivos nopueden tener puntos en común. En caso contrario la llamaremos poligonal cerrada compleja
  • 15. Definición: Un polígono es la porción del plano limitada poruna línea poligonal cerrada simple. Elementos de un polígono• Lados: son los trazos o segmentos que determinan el polígono.• Vértices: son los puntos de intersección de dos lados consecutivos. En general unpolígono se nombra por sus vértices• Diagonales: son los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos• Ángulos interiores: son los ángulos formados por dos lados consecutivos. Elvértice del ángulo es el punto de intersección de estos lados• Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del polígono y laprolongación de un lado consecutivo, de modo que el vértice del ángulo es el puntode intersección de estos lados. El número de lados de un polígono es igual al número de vértices, al número de ángulos interiores y exteriores.
  • 16. En general, el nombre de los polígonos depende del número de lados: Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono
  • 17. En general, los polígonos de más de 10 lados se mencionansólo indicando el número de lados.Un polígono se dice convexo si todos sus ángulos interioresmiden menos de 180ºSi alguno de los ángulos de un polígono miden más de 180º,entonces este polígono se le llama cóncavo
  • 18. Propiedades de los polígonos convexos Suma de ángulos interiores: si un polígono tiene n lados, entonces la suma de sus ángulos interiores está dada por: si (n 2)180 º Suma de ángulos exteriores: si un polígono tiene n lados, entonces la suma de sus ángulos exteriores es siempre 360ºNúmero de diagonales trazadas desde un vértice: si un polígonotiene n lados, entonces el número de diagonales d que se puedetrazar desde cualquiera de sus vértices es: d= n-3 Número total de diagonales: si un polígono tiene n lados, entonces el número total de diagonales D que se puede trazar entre sus vértices es: n(n 3) D 2
  • 19. Ejemplos: .1) Determinar la suma de los ángulos interiores de un pentágono Pentágono • Número de lados n=5 •Si Si (n 2)180 ºEntonces se tiene: Si (5 2) 180º Si 3 180º Si 540º La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 540º
  • 20. 2) La suma de los ángulos interiores de un polígono es 1260º, ¿De qué polígono se trata? • Si tenemos que la suma es 1260º y también sabemos que Si (n 2)180 ºentonces 1260º (n 2) 180º 1260 n 2 180 7 n 2 9 n El polígono tiene 9 lados .
  • 21. 3) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse enun pentágono Pentágono . • Número de lados n=5 n (n 3) •Si D 2entonces 5 (5 3) D 2 D 5 En un pentágono podemos trazar 5 diagonales en total
  • 22. . Un polígono se dice regular si es un polígono convexo, si todos sus lados tienen igual medida y si todos sus ángulos también tienen igual medida Medida del ángulo interior de un polígono regularLa medida de cada ángulo interior de un polígono regular se calcula dividiendo la suma deángulos interiores del polígono por el número de ladosAsí, si el polígono tiene n lados, entonces cada ángulo interior mide: ángulo interior = (n 2) 180º n Medida del ángulo exterior de un polígono regularLa medida de cada ángulo exterior de un polígono regular se calcula dividiendo la sumade ángulos exteriores del polígono, que es 360º, por el número de lados del polígonoSi el polígono tiene n lados, entonces cada ángulo exterior mide: ángulo exterior = 360º n
  • 23. Cuadriláteros
  • 24. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llamará cuadrilátero a una figura plana, cerrada y limitada por cuatro segmentos. Cuadrilátero No paralelogramo Paralelogramo Trapezoide Trapecio Cuadrado La suma de losángulos interiores es Rectángulo 360º Isósceles La suma de losángulos exteriores es Rombo 360º. Rectángulo Escaleno Romboide
  • 25. PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. • 4 ÁNGULOS RECTOS • 4 LADOS CONGRUENTES CUADRADO • DIAGONALES CONGRUENTES •DIAGONALES PERPENDICULARES RECTO • 4 ÁNGULOS RECTOS • 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES RECTÁNGULO • DIAGONALES CONGRUENTES •DIAGONALES OBLICUASPALELOGRAMO • 4 ÁNGULOS OBLICUOS • 4 LADOS CONGRUENTES ROMBO • DIAGONALES DISTINTAS •DIAGONALES PERPENDICULARES OBLICUO • 4 ÁNGULOS OBLICUOS • 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES ROMBOIDE • DIAGONALES DISTINTAS •DIAGONALES OBLICUAS
  • 26. TRAPECIO: Cuadrilátero que posee un solo par de lados paralelos llamados base.TRAPECIO ISÓSCELES: Los lados no paralelos deltrapecio son congruentes y tiene las siguientespropiedades: 􀃅 Diagonales congruentes. y a b 􀃅 Ángulos basales congruentes. 􀃅 Ángulos opuestos suplementarios. c d TRAPECIO RECTÁNGULO: uno de los lados no paralelos del trapecio es perpendicular a los lados paralelos. a b c d 90º TRAPECIO ESCALENO a b c d
  • 27. TRAPEZIODES: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. PROPIEDADES DEL DELTOIDE 􀃅 Diagonales perpendiculares. 􀃅 Una diagonal es bisectriz. 􀃅 La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral de la otra diagonal.