geometria
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

geometria

on

  • 5,726 views

 

Statistics

Views

Total Views
5,726
Views on SlideShare
5,725
Embed Views
1

Actions

Likes
0
Downloads
68
Comments
0

1 Embed 1

http://www.slideshare.net 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

geometria geometria Document Transcript

  • GEOMETRÍA PLANA INTRODUCCIÓN CONCEPTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO, LÍNEA Y PLANO) PUNTOS• Tendremos conjuntos de puntos que llamaremos; Espacio, línea, plano, que caracterizaremos mediante axiomas llamados de incidencia.• Punto, línea y plano son conceptos primitivos y por lo tanto no se definen. Tomaremos primero un conjunto que contenga a todos los conjuntos, es decir un universo relativo que llamaremos: ESPACIO• Lo designaremos por la letra E. Simbolizaremos por letras mayúsculas, A, B, C, D,..... a los elementos del espacio que serán llamados puntos. El segundo ente primitivo lo llamamos: PLANO• Es un subconjunto del espacio E que simbolizaremos por la letra P. Al conjunto de todas los planos lo simbolizaremos con Π Π = { P1, P2, P3,.....} = { líneas } El tercer concepto primitivo lo llamaremos: LÍNEA RECTA• Subconjunto del espacio E, lo simbolizaremos con la letra L. Al conjunto de todas las líneas lo simbolizaremos con Λ Λ = { L1, L2, L3,.....} = { líneas } Página 1 de 60
  • • Podemos dar una idea, mediante un diagrama de lo que aproximadamente son líneas rectas y planos: L • Línea recta I I A B Una figura geométrica de una línea recta, se extiende indefinidamente en ambas Línea recta: L direcciones. Si un punto A ∈ L, podemos decir que A esta en L o que L pasa por A.Definición: Dos o más puntos son colineales si están en una misma recta.Postulado: Existen a lo menos dos puntos en una línea. Postulado que se puede enunciar: 1. Por dos puntos cualesquiera dados, sólo puede pasar una línea que los contenga. 2. Por dos puntos dados pasa exactamente una línea. Este postulado o axioma caracteriza la línea y se puede enunciar formalmente como: ∀ A,B en E, A ≠ B ⇒ ∃ : L tal que A,B en L suu r que se denota por : L = AB Página 2 de 60
  • Dos subconjuntos importantes de una línea recta: • Trazo A Sea L una línea y A, B B son dos puntos de L, I I L A ≠ B, entonces A y B determinan lo que se llama trazo o segmento. I I AB Trazo o segmento es la unión A B de los dos puntos A y B y el conjunto de todos los puntos de L que quedan entre A y B. Trazo: AB Se denota por AB La longitud del trazo AB se denota por el número real AB. I I I • Rayo C A B uuu r Un rayo, AB , es un uuu r I I AB subconjunto de una recta que contiene un punto A A B dado y todos los puntosuuur que están en el mismoAC I I lado de A, como B. C A El rayo se denota por un uuu r uuur punto terminal y otros Rayo : AB y AC puntos que pertenece al rayo, colocando el punto terminal primero. Página 3 de 60
  • • Plano Una figura geométrica de un plano que se extiende indefinidamente en todas las direcciones. P Como por ejemplo puede ser Plano: P el piso de un cuarto que forma parte del plano, pero no es el plano, sino una parte muy pequeña de él. Si una línea L ⊆ P, diremos que L esta en P Si un punto A ∈ P, podemos decir que A esta en PDefinición : Puntos coplanares son los que se encuentran en un mismo plano. AXIOMAS O POSTULADOS 1. Existen a lo menos cuatro puntos no coplanares en el espacio E 2. Existen a lo menos tres puntos no colineales en un plano. 3. Dados dos puntos del espacio E, existe una única línea que los contiene. 4. Dado tres puntos no colineales, existe un único plano que los contiene. 5. Dados dos puntos en un plano, la línea que los contiene esta completamente contenido en ese plano. 6. Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una línea. Página 4 de 60
  • ÁNGULOUn ángulo es la unión de dos rayos que no están en la misma recta y tienenel mismo extremo. Un ángulo esta formado por los puntos que se hallan enlos rayos, y porrningún otro punto. uuu uuurSi los rayos AB y AC forman un ángulo entonces estos rayos se llamanlados del ángulo y el punto común A, vértice del ángulo.El símbolo para el ángulo es ∠ o .Un ángulo se puede designar por medio de: la letra del vértice ( A ), unaletra griega colocada entre los dos rayos y cerca del vértice ( α ),tresletras mayúsculas, colocando la letra del vértice entre las otras dos (BAC).Ejemplos de ángulos B B B α A C A A C C Medida de un ángulo Los ángulos se miden por medio de la cantidad B de rotación. B m( BAC) = 90O La notación para la m( BAC) medida de un ángulo A BAC es m( BAC ) . C A C Veremos tres sistemas de medición de ángulos Página 5 de 60
  • SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOSSistema sexagesimal La unidad es el grado (sexagesimal ) que es el ángulo del centro de 1 una circunferencia ( ) que subtiende un arco igual a de la . 360 Como submúltiplos están los minutos y los segundos (sexagesimal). Es decir se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. ( En las calculadoras aparece como Deg)Sistema circular La unidad es el radian, que es el ángulo del centro de una que subtiende un arco de longitud igual al radio de la . Se usan múltiplos y submúltiplos decimales del radian. Long. arco de circunferencia Ángulo en radianes = Radio de la circunferencia El perímetro de una circunferencia de radio r es de 2 π r entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia: o 180 1 radian = ≈ 57,29º π En las aplicaciones físicas es mucho mas práctico y directo que trabajar con grados. ( En las calculadoras aparece como Rad) Página 6 de 60
  • Conversión entre grados y radianes: Para cambiar de radianes a grados, multiplique el número de o 180 radianes por π π Para cambiar de grados a radianes, multiplique por 180oSistema centesimal La unidad es el grado centesimal, que es el ángulo del centro de 1 una circunferencia y que subtiende un arco igual a de la . 400 Como submúltiplos están los minutos y segundos centesimales : , , ,, 1 g = 100 , 1 = 100 ( En las calculadoras aparece como Grad) Clasificación de los ángulos. Según la medida de sus ángulos. Es un ángulo cuya medida está entre 0o y 90o. B Ángulo agudo m( BAC) 0 < m( BAC) < 90 o o A C Es un ángulo que mide 90o. El símbolo cuadrado B en el vértice indica m ( BAC) =90O Ángulo recto que es un ángulo recto. A C m( BAC) = 90o Página 7 de 60
  • Es un ángulo que mide más de 90o pero menos de 180o Ángulo obtuso B 90o < m( BAC) < 180o A C Un ángulo cóncavo es el que mide menos de 180ºPor lo tanto el ángulo agudo, recto y obtuso son ángulos cóncavos Es el que mide 180o Los lados de un ángulo extendido I I I Ángulo extendido están en la misma B A línea recta, pero no se debe confundir con una línea recta. Es el que mide más de180o y menos de Ángulo convexo 360o C A B 180o < m( ACB) < 360o I I Ángulo completo Es el que mide 360o B A Página 8 de 60
  • Tipos de Pares de ángulos Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común. En la figura :vértice DÁngulos Adyacentes A, ry el lado común es uuu B AB A C m ( BAC ) + m ( DAB ) = m ( DAC ) Dos ángulos son B E opuestos por el vértice si sus lados forman pares de rayos AÁngulos opuestos por C D opuestos y sus el vértice medidas son iguales. m ( BAC ) = m ( EAD ) m ( BAE ) = m ( CAD ) Son dos ángulos cuyas Complementarios adyacentes medidas suman 90o β α m ( α ) + m ( β ) = 90 o Ángulos Complementarios no adyacentes complementarios A cualquiera de los dos ángulos complementarios se le β denomina como el α complemento del otro. Son dos ángulos cuyas medidas suman 180o m ( α ) + m ( β ) = 180o Ángulos β α suplementarios A cualquiera de los dos ángulos suplementarios se le denomina como el suplemento del otro. Página 9 de 60
  • Es un par de ángulos con un lado común tal que la unión de los otros dos lados es unaPar lineal de ángulos recta . Postulado: Si dos β α ángulos forman un par lineal son suplementarios. m ( α ) + m ( β ) = 180o Líneas Perpendiculares, paralelas y transversal uuu r uuurSi AB y AC forman un ángulo recto, suu r suur Centonces las líneas AB y AC se diceque son suu perpendiculares y se r suu r A Bescribe AB ⊥ ACDos rectas son paralelas si están en A Bel r suu plano y no se intersecansuumismo rAB CD C D EUna transversal a dos o más líneases aquella que las corta. A B suu rEn suu figura EF es una transversal lar suu r C D Fde AB y CD Página 10 de 60
  • Rectas cortadas por una secante. Ángulos que se forman. E B 2 1 A 3 4 6 5 C 7 8 D FÁngulos internos Son los ángulos 3, 4, 5, 6Ángulos externos Son los ángulos 1, 2, 7, 8 Los ángulos alternos interiores son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal Los ángulos alternos exteriores son dos ángulosÁngulos alternos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal Alternos internos: 4 y 6 , 3 y 5 Alternos internos: 1 y 7 , 2 y 8 Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal. Uno de losÁngulos ángulos es un ángulo exterior, el otro es uncorrespondientes ángulo interior. 3 y 7, 1y 5, 4 y 8, 2 y 6 Son dos ángulos internos, o dos externos, situados en un mismo semiplano respecto a la secante.Ángulos conjugados Conjugados internos: 3 y 6 , 4 y 5 Conjugados internos: 1 y 8 , 2 y 7 Página 11 de 60
  • Rectas paralelas cortadas por una secante. Ángulos que se forman. E 2 1 A 3 4 B 6 5 C 7 8 D F Los ángulos alternos entre paralelas son igualesÁngulos alternos alternos internos: m 4 = m 6 , m 3 = m 5 alternos externos: m 1 = m 7 , m 2 = m 8 Los ángulos correspondientes entre paralelasÁngulos son iguales.correspondientes m 3 = m 7 ,m 1 =m 5 , m 4 = m 8 ,m 2 =m 6 Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios. Conjugados internos: m 3 + m 6 = 180o ,Ángulos conjugados m 4 + m 5 = 180o Conjugados internos: m 1 + m 8 = 180o m 2 + m 7 = 180o Página 12 de 60
  • POLÍGONOSSe denomina poligonal a una líneaquebrada.Una poligonal puede ser: 1. Convexa toda la poligonal pertenece al mismo semi plano 2. Cóncava no toda la poligonal pertenece al mismo semi planoSe denomina polígono a la porcióndel plano limitado por una líneapoligonal. P Página 13 de 60
  • CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS POR LA MANERA QUE ESTAN FORMADOS Polígonos convexos: están formados por una poligonal convexa cerrada. Todos los ángulos interiores miden menos de 180o Polígonos cóncavos: están formados por una poligonal cóncava cerrada. Tienen por lo menos un ángulo interior mayor que 180o Polígonos irregulares: son los que tienen sus lados y sus ángulos interiores desiguales. Polígonos regulares: son los que tienen sus lados y sus ángulos interiores iguales. Polígonos inscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus vértices sobre ella. Polígonos circunscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus lados tangente a la circunferencia.En todo polígono regular se puede inscribir o circunscribir unacircunferencia. Página 14 de 60
  • CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS NÚMERO DE EJEMPLO DE LADOS NOMBRE FIGURA 3 • Triángulo 4 • Cuadrilátero 5 • Pentágono • Hexágono o 6 Exágono • Heptágono o 7 Eptágono 8 • Octágono Página 15 de 60
  • Complete la tabla con las figuras que faltan y concluya • Nonágono o 9 Eneágono 10 • Decágono 11 • Endecágono 12 • Dodecágono 15 • Pentadecágono 20 • Icoságono n • ------------? Página 16 de 60
  • ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR DE N LADOSÁngulo central: es el ángulo quese forma al dibujar dos radios αhacia dos vértices sucesivos. 360om( α ) = nÁngulo interno (n − 2 )180o αm( α) = nÁngulo externo 360om( α ) = n α PARA CUALQUIER POLÍGONONúmero de diagonales Suma de ángulos internosEl número de diagonales de La suma de los ángulos internoscualquier polígono está dado está dado por:por: n(n − 3 ) (n − 2)180o 2 Página 17 de 60
  • TRIÁNGULOS C• Triángulo sean A, B y C γ tres puntos no colineales entonces la unión de los b a segmentos AB, BC y AC se denomina triángulo y se α β denota por ∆ ABC. A c B Elementos del triángulo - Vértices: Son los puntos A, B y C. - Lados : Son los segmentos AB, BC y AC - Ángulos: α, β y γ Elementos Secundarios del Triángulo • Altura de un triángulo : es C un trazo perpendicular desde un vértice del triángulo a la hc línea que contiene al lado b a opuesto. O • En un triángulo hay tres alturas ha , hb y hc. ha hb El punto O donde concurren las tres alturas se denomina A c B Ortocentro. Página 18 de 60
  • • Transversal de gravedad de un triángulo : es un trazo cuyos extremos son en un C vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Las transversales las tc designaremos t a , t b y t c. T El punto T donde concurren • las tres transversales se ta tb denomina Centro de Gravedad del triángulo. A B• Bisectriz : es un trazo que dividen cada ángulo interno C por la mitad. Las bisectrices las bc designaremos b a , b b y b c. El punto I donde concurren las tres bisectrices se I denomina Incentro y es el centro de una circunferencia bb ba inscrita. A B• Mediatriz de un trazo , es la línea perpendicular al trazo en su punto medio. En todo triangulo podemos trazar tres sb sa simetrales o mediatrices, que B se intercepta en un solo punto (B), se denomina circuncentro sc Página 19 de 60
  • • Medianas: un triángulo tiene tres medianas, que son los segmentos que se obtienen al unir los puntos medios de dos lados de un triángulo. Cada mediana de un triángulo es paralela al lado opuesto de ella. Página 20 de 60
  • TRIGONOMETRIAIntroducciónEn trigonometría plana se estudian propiedades y algunas aplicaciones de uncierto tipo de funciones de en llamadas las Funciones Trigonométricas,que son fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo están basadas en elTeorema de Thales aplicado a la figura. ,, B , B B α A , ,, C C CQue establece: , , ,, ,, , ,, BC BC B C AB AB AB = , = ,, = − − − −− = k1 = , , = ,, ,, = − − − − − = k4AB AB AB BC BC B C , ,, , ,, AC AC AC AB AB AB = , = , = − − − − − = k2 = , = ,, = − − − − − = k5AB AB AB AC AC AC , , ,, ,, , ,, BC BC B C AC AC AC = , = ,, = − − − − − = k3 = , , = ,, ,, = − − − − − = k6AC AC AC BC BC B CObteniéndose de este modo seis razones distintas: k1,k2,.......k6.Los valores de estas razones varían solo si varia el.Son funciones del α llamadas “Las Funciones Trigonométricas del α “.Para encontrar los seis valores de las razones para un mismo α es necesarioconsiderar únicamente uno de los triángulos rectángulos de la figura anterior. Página 21 de 60
  • Las seis funciones trigonométricas.Definición 1: En el ∆ ABC de la figura: B α A CSe definen: longitud cateto opuesto a α BCLa Función Seno del α: sen α = = longitud de la hipotenusa AB longitud cateto adyacente a α ACLa Función Coseno del α: cos α = = longitud de la hipotenusa AB longitud cateto opuesto a α BCLa Función Tangente del α: tan α = = longitud cateto adyacente α AC longitud cateto adyacente a α ACLa Función cotangente del α : cot α = = longitud cateo opuesto a α BC longitud de la hipotenusa ABLa Función Secante del α: sec α = = longitud cateto adyacente a α AC longitud de la hipotenusa ABLa Función Cosecante del α: csc α = = longitud cateto opuesto a α BCLas funciones trigonométricas de un α son cuocientes (razones) de trazos:números reales asociados al α . Cuando α cambia, cambian todos losvalores de esas razones.Dado que un cateto es siempre menor que la hipotenusa resulta:sen α <1 cos α <1sec α >1 csc α >1La tg α y la cot α pueden tomar cualquier valor positivo ( α es agudo) Página 22 de 60
  • Observaciones:Con una regla y un transportador es posible calcular, haciendo un dibujo,aproximadamente las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.Para los ángulos de 30o, 45o y 60o las funciones trigonométricas de esosángulos pueden ser estudiadas geométricamente dadas las característicasgeométricas de los ∆ en que aparecen. D C C O 30 2 2 3 1 O 60 A 1 B A B 1 α sen α cos α tan α cot α sec α csc α 1 3 1 30O 2 2 3 1 1 45O 1 2 2 3 1 60O 3 2 2 Complete la tabla. Página 23 de 60
  • Relaciones entre las funciones trigonométricas.1.- De las definiciones dadas se desprende que para un mismo α 1 1 1 sen α cos α cot α = sec α = csc α = tg α = cot α = tg α cos α sen α cos α sen α sen2α + cos2α = 1 tg2α + 1 = sec2 α cot2α + 1 = csc 2αObservación: para anotar las potencias de las funciones trigonométricas, seusa la notación senn α en lugar de (sen α )n. Lo mismo ocurre para las 5restantes funciones.2.- En las parejas: sen α , cos α tg α , cot α sec α , csc α cada una de ellas se llama la cofunción de la otra y de la figura B β = 90o - α α A CSe obtiene la función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento. sen α = cos (90o - α ) cos α = sen (90o - α ) tan α = cot (90o - α ) cot α = tg (90o - α ) sec α = csc (90o - α ) csc α = sec (90o - α ) Página 24 de 60
  • Identidades trigonométricasSon igualdades que contienen diversas combinaciones de funciones trigonométricas yque mediante reemplazos adecuados se llega a hacer ver que ambos miembros sonidénticos. sec α tg αEjemplo 1: Demostrar la identidad − =1 cos α cot αCambiando todas las funciones a expresiones que solo contienen senos ycosenos obtenemos: 1 sen αcos α cos α 1 sen2 α 1− sen2 α 1− sen2 α − = − = = =1cos α cos α cos2 α cos2 α cos2 α cos2 α sen α tg α + cos αEjemplo 2: Demostrar la identidad = sec α + cot α sen αSolución: sen α tg α cos α cos α cos α 1 + = + = + cot α = sec α + cot α sen α sen α sen α sen α cos αLas funciones trigonométricas inversas.Definición: La función inversa de sen α = a es α = arc sen (a) α es el arco seno de aDe manera análoga:(cos α = a) ⇔ ( α =arccos a)(tan α = a) ⇔ ( α =arctan a)(cot α = a) ⇔ ( α =arccot a)(sec α = a) ⇔ ( α =arcsec a)(csc α = a) ⇔ ( α =arccsc a)También, en lugar de α = arc sen a se anota α = sen-1 a y del mismomodo para las restantes funciones. Página 25 de 60
  • Generalización de las funciones trigonométricasSe trata de generalizar las funciones trigonométricas de modo que seanaplicables a ángulos de cualquier magnitud.Para ello se necesita previamente, generalizar el concepto de ángulo.Si en el ángulo AOB se mantiene fijo el lado OB y se hace girar OA en tornode O, de acuerdo a los desplazamientos de OA obtendremos ángulos agudos,rectos, obtusos,... A O α BPero este concepto de ángulo se generaliza de acuerdo a las siguientesconvenciones:Todos los ángulos se medirán a partir del lado fijo OB.Giro positivo de OA. Giro contrario al movimiento de los punteros de un reloj.Da origen a ángulos Positivos.Giro negativo de OA giro siguiendo el movimiento de los punteros de un reloj.Da origen a ángulos negativos. O α B α< 0 ASe permite que OA gire mas de una o más vueltas completas en uno u otrosentido, que generara ángulos de la forma : α = k ⋅ 360o ± β con k ∈ . Cadavalor de k representa entonces una vuelta completa en uno u otro sentido deacuerdo a su signo.De lo dicho se desprende que existen ángulos de cualquier magnitud:positivos, negativos y cero. Página 26 de 60
  • GENERALIZACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASLa circunferencia trigonométrica permite generalizar las funcionestrigonométricas a ángulos de cualquier magnitud manteniéndose lasdefiniciones dadas para las funciones de ángulos agudos y las relaciones queligan esas funciones.Para ello, se considera en el plano cartesiano una de radio r = 1 centradaen el origen: la circunferencia trigonométrica. y 1 P • α x -1 O 1 -1Si el punto P se mueve sobre la , el radio OP forma un ángulo α con el semieje positivo OX.OX : lado fijo del αOX : lado fijo del αLos ángulos determinados por los ejes coordenados 0o, 90o, 180o, 270o, 360ose llaman ángulos limites. Página 27 de 60
  • I) FUNCION SENO La función seno del α se define como la ordenada del punto P: sen α = QP y 1 P • α x -1 O Q 1 -1 El valor de la función sen α corresponde numéricamente a la longitud de QP donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonométrica). 1. Es una función acotada ∀ α : -1 ≤ sen α ≤ 1 o sen α ≤ 1 2. Valores de los ángulos limites. sen 0o = 1 sen 90o = 0 sen 180o = -1 sen 270o = 0 sen 360o = 1 3. Los signos de la ordenada de P dan los signos de la función sen α de acuerdo al cuadrante en que queda P. + + - - Página 28 de 60
  • 4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo 360o o 2 π rad. sen ( α + k 360o ) = sen α o sen ( α + k 360o ) = sen α k∈ , k representa una vuelta completa.5. Consideraciones geometricas llevan a: sen (- α ) = - sen α propiedad que se expresa diciendo que la función sen α es una función impar.6. Su representación gráfica es: Página 29 de 60
  • II)LA FUNCION COSENO La función coseno del α se define como la abscisa del punto P: cos α = OQ y P α x O Q El valor de la función cos α corresponde numéricamente a la longitud de OQ donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonometrica). 1. Es una función acotada ∀ α : -1 ≤ cos α ≤ 1 o cos α ≤ 1 2. Valores de los ángulos limites. cos 0o = 1 cos 90o = 0 cos 180o = -1 cos 270o = 0 cos 360o = 1 3. Los signos de la abscisa de P dan los signos de la función cos α de acuerdo al cuadrante en que queda P. - + - + Página 30 de 60
  • 4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo 360o o 2 π rad. cos ( α + k 360o ) = cos α o cos ( α + k 360o ) = cos α k∈ k representa una vuelta completa.5. Consideraciones geométricas llevan a: cos (- α ) = cos α propiedad que se expresa diciendo que la función cos α es una función par.6. Su representación gráfica es: Página 31 de 60
  • III) LA FUNCION TANGENTE Para definir la función tg α es necesario trazar una tangente a la trigonometrica en el punto (1,0) y prolongar OP en uno u otro sentido hasta que la corte en M. La tangente del α se define como la ordenada del punto M. tg α = QM y M P α x O Q El valor de la función tg α corresponde numéricamente a la longitud de MP. 1. No es una función acotada tg α puede tomar cualquier valor en 2. Valores de los ángulos limites. tan 0o = 0 tan 90o = ∃ / tan 180o = 0 tan 270o = ∃ / tan 360o = 0 3. Los signos de la tan α de acuerdo al cuadrante - + + - Página 32 de 60
  • 4. Función periódica periodo 180o o π rad. tan ( α + k 180o ) = tan α o tan ( α + k π ) = tan α k∈5. Función impar tan (- α ) = - tan α6. Su representación gráfica es: Página 33 de 60
  • Funciones de ángulos compuestos.Teorema: ∀ α sen( α + β ) = sen α cos β + sen β cos α sen( α − β ) = sen α cos β - sen β cos α cos( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β cos( α − β ) = cos α cos β +sen α sen β tg α + tg β tg ( α + β ) = 1 − tg α tg β tg α − tg β tg ( α − β ) = 1 + tg α tg β cot α cot β − 1 cot ( α + β ) = cot β + cot α cot α cot β + 1 cot ( α − β ) = cot β − cot αFunciones de múltiplos y submúltiplos de un ánguloTeorema: ∀ α : sen 2 α = 2 sen α cos α cos 2 α = cos2 α - sen2 α = 2cos2 α - 1 = 1 – 2 sen2 α 2 tg α tg 2 α = 1 − tg2 α sen 3 α = 3 sen α - 4 sen 3 α cos 3 α = 4 cos3 α - 3 cos α Página 34 de 60
  • Teorema: α α sen α = 2 sen cos 2 2 α α cos α = cos2 - sen2 2 2 α = 2 cos2 -1 2 α = 1 – 2 sen2 2Teorema: 1 − cos 2α sen α = ± 2 1 + cos 2α cos α = ± 2 1 − cos 2α tg α =± 1 + cos 2αSuma de funciones homónimasTeorema: ∀ α, β α +β α −β sen α + sen β = 2 sen cos 2 2 α +β α −β sen α − sen β = 2 cos sen 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = − 2 sen sen 2 2 Página 35 de 60
  • Ecuaciones trigonometricasSon ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) donde la variable o incógnita figuraen el argumento de las funciones trigonometricas. Resolverla es encontrar losconjuntos de ángulos que la satisfacen.Conviene representar aproximadamente la situación en la circunferenciatrigonometrica para encontrar esos conjuntos. yEjemplo 1: 1Resolver sen x = 2 o o 150 30 oR) Solución principal x = 30 . x  x = 30o + k 360o La solución general :  o o  x = 150 + k 360  yEjemplo 2:Resolver tan x = 2R) Solución principal 63o 63o xLa solución general : x = 63 o + k 180 o (k ∈ )Ejemplo 3:Resolver : sen ( 2 x ) tg ( x ) = 1R)2 sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 1 1sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 2 1sen2 ( x ) = 2 Página 36 de 60
  • 1sen ( x ) = ± 2arcsen ( 0,5 ) = 45ºx1 = 45º + 360º k (k∈ )x2 = 135º + 360º k (k∈ )  1 arcsen  –  = – 45º  2   x3 = 225º + 360º k (k∈ )x4 = 315º + 360º k (k∈ )Solución general: x = 45º + 90º k ( k ∈ )RESOLUCION DE TRIÁNGULOS CTeorema de los senos γ a b c = = = 2rsen α sen β sen γ α β A B rTeorema del coseno (Teorema general de Pitágoras) CEn todo trianguloa2 = b2 + c2 – 2bc cos α γ b ab = a + c – 2ac cos β 2 2 2c2= a2 + b2 – 2ab cos γ α β A B c Página 37 de 60
  • INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA PLANA1-. INTRODUCCION. La Geometría Analítica tiene por objeto el estudio de las relaciones que existen entre las curvas y las ecuaciones que las representan, estableciendo las correspondencias que existen entre las propiedades geométricas de esas curvas y las características de sus ecuaciones.2-. GENERALIDADES. Las representaciones gráficas, características de las curvas, relaciones entre puntos, puntos y curvas, rectas y puntos,......se estudiarán en el Plano Cartesiano, cuyos Ejes Coordenados serán perpendiculares: Sistema Ortogonal. Este sistema Cartesiano Ortogonal, esta formado por dos rectas perpendiculares que se cortan. El punto en que se cortan : Origen . La recta horizontal es la recta numérica orientada de izquierda a derecha. La recta vertical es la recta numérica orientada de abajo hacia arriba. Ambas rectas se cortan en el punto correspondiente al 0. Se pueden usar escalas diferentes para ambos ejes. El eje horizontal: Eje de las Abscisas, Eje de las x o Eje OX. El eje vertical: Eje de las Ordenadas, Eje de las y o Eje OY. Un punto queda caracterizado o determinado por sus coordenadas. Si A (xA,yA), la abscisa de A es xA y su ordenada es yA, existiendo una correspondencia biunívoca entre par ordenado de números reales y punto del plano cartesiano. y yA •A x xA Página 38 de 60
  • Los ejes OX y OY dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes numerados como se indica en la figura. y II I x O III IVREPRESENTACION GRAFICA EN GENERALUtilizaremos el plano cartesiano para representar: puntos, relaciones yfunciones. Estas últimas las denotaremos y = f (x) o f (x,y) = 0.Un punto P (xp, yp) pertenece o está sobre la curva de ecuación y = f (x) si ysólo si las coordenadas del punto P satisfacen ( o verifican ) la ecuacióny = f (x)Ej.- El punto P (0,1) pertenece a la curva y = x2 + 1 ya que 1 = 02 + 1. Encambio el punto (1,1) no está sobre la curva.Para representarlas en forma aproximada, seguiremos las normas:1. Determinar el dominio (Regla del Máximo Dominio ) y el recorrido cuando sea posible.2. Determinar los puntos en que la curva corta a los ejes coordenados: Con x = 0 : las ordenadas de los puntos en que la curva y = f (x) corta al eje OY. Página 39 de 60
  • Con y = 0 : las abscisas de los puntos en que la curva y = f (x) corta al eje OX.3. Determinar si la curva tiene simetrías respecto de los ejes coordenados o del origen : 1) La curva y = f (x) tiene Simetría Axial respecto del eje: a) OY, si y sólo si al cambiar en la ecuación de la curva x por - x, ésta ecuación no cambia b) OX, si y sólo si al cambiar en la ecuación de la curva y por -y, ésta ecuación no cambia 2) La curva y = f (x) tiene Simetría Central respecto del origen O, si al cambiar x por -x , e y por -y en la ecuación, ésta no cambia. Página 40 de 60
  • 4. De acuerdo al dominio y simetrías ( si las hay) construir una tabla de valores (conjunto de pares ordenados pertenecientes a la relación) para comenzar a bosquejar la curva. De acuerdo a ésta tabla se escogen las escalas para los ejes coordenados.5. Se representan gráficamente los puntos, agregando nuevas parejas a la tabla de valores si es necesario. Se unen los puntos encontrados (interpolan) con una curva "suave".Intersección de dos curvas:Los puntos de intersección de dos curvas de ecuaciones y = f (x) , y = g (x) seencuentran resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones. y = f(x) y = g( x )Cada solución del sistema da las coordenadas de cada punto de intersección.Si el sistema no tiene solución : las curvas no se cortan.3-. RELACIONES ENTRE PUNTOSDistancia entre dos puntosLas distancias en geometría analítica se consideran siempre mayores o igualesa 0, pero nunca negativas. Página 41 de 60
  • Teorema.- La distancia entre los puntos A(xA,yA), B(xB,yB) es: y ( x A − xB ) + ( y A − yB ) 2 2 d= B yB d A yA x O xA xBSi el segmento que une los puntos es paralelo (o coincidente)con uno de los ejes coordenados, su distancia puede calcularse como:d = Abscisa Mayor - Abscisa Menor, si es paralelo a OX.d = Ordenada Mayor - Ordenada Menor , si es paralelo a OY.Punto de divisiónPunto de división : es el que divide a un segmento en una relación dada.Sea P(x,y) un tercer punto que divida al segmento en la relación y P1 P =r P P2 P2 y2 P y P1 y1 x O x1 x x2 Página 42 de 60
  • Como P1P y PP2 son del mismo sentido la relación es positiva.En caso contrario la relación es negativa.Teniendo en cuenta los triángulos semejantes x − x1 y − y1r= r= x2 − x y2 − ydespejando x despejando yr ⋅ ( x 2 − x ) = x − x1 r ⋅ ( y 2 − y ) = y − y1r ⋅ x 2 − r ⋅ x = x − x1 r ⋅ y 2 − r ⋅ y = y − y1r ⋅ x 2 + x1 = r ⋅ x + x r ⋅ y 2 + y1 = r ⋅ y + yr ⋅ x 2 + x1 = x ⋅ ( r + 1) r ⋅ y 2 + y1 = y ⋅ ( r + 1) x1 + r ⋅ x 2 y1 + r ⋅ y 2x= y= 1+ r 1+ rSi P(x,y) es el punto medio del segmento P1 P2, r = 1, entonces :son las coordenadas del punto medio x1 + x 2 y1 + y 2x= y= 2 2Area de un triángulo.Las áreas en geometria analitica son siempre mayores o iguales a 0.Teorema.- El área de triángulo de vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3) esigual al valor absoluto de: x1 y1 1 1 ⋅ x2 y2 1 2 x3 y3 1observaciones -.Para calcular él área de un polígono, se descompone en triángulos parciales Página 43 de 60
  • Tres puntos están alineados o en línea recta ( colineales sí el triángulo que x1 y1 1 x2 y2 1 =0 x3 y3 1ellos forman tiene área 0, sus coordenadas deben cumplir:4-. LA LÍNEA RECTA.a) Ecuación General de una Línea Recta. Teorema-. Toda ecuación de las formas: a x + b y + c = 0 ; a,b ∈ − {0} x= k o {( x,y ) / x = k ∀ y} y= k o {( x,y ) / y = k ∀ x} 2 Tiene por representación grafica en a una línea recta, y reciprocamente. En el primer caso: la ecuación representa a una recta oblícua respecto de los ejes coordenados. En el segundo caso : una recta paralela al eje OY. En el tercer caso : una recta paralela al eje OX. y y y x x x O O O Página 44 de 60
  • b) Ecuación Principal de una Línea Recta. Se obtiene al despejar la variable y en la ecuación ax + by + c = 0. La ecuación que se obtiene es de la forma y = mx + n , con m, n ∈ . Teorema.- En y = mx + n: m = tg ∝ , donde ∝ es el ángulo que forma la recta con el eje OX medido desde OX. n : Ordenada del punto en que la recta corta al eje OY. m : Coeficiente angular, Pendiente o Inclinación de la recta. n : Coeficiente de posición.Rectas Paralelas y Perpendiculares.Teorema .- 1) Dos o más rectas son paralelas si solo si sus pendientes son iguales 2) La recta y = m 1 x + n1 es perpendicular a la recta y = m 2 x + n2, si sólo si:c) Ecuación de una recta que pasa por dos puntosTeorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es: y − y1 x − x1 = y1 − y 2 x1 − x 2 siempre que la recta P1P2 no sea paralela a uno de los ejes coordenados.Observación .- La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1), P2(x2,y2) es: y1 − y 2 m= x1 − x 2 Página 45 de 60
  • d) Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene dirección m. Teorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y tiene dirección m es: y - y 1= m ( x- x1)5-. LA CIRCUNFERENCIA.Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dosvariables. Pero, no toda ecuación de este tipo representa siempre unacircunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto.Una circunferencia queda determinada si se conocen su centro y radio.La ecuación de la circunferencia de centro (h,k) y radio r es:( x - h )2 + ( y - k )2 = r2Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma: x2 + y2 = r2Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Página 46 de 60
  • Donde el centro es el punto:  D E − 2 , − 2   El radio r es : 1 r= D2 + E2 − 4F 2 Página 47 de 60
  • SECCIONES CONICASINTRODUCCION. ,Dada una recta L fija en el espacio y una recta L ,que la corta en un punto P. Si se hace girar L en el L , , Lespacio manteniendo P y el ángulo α que L forma ,con L, L genera una superficie llamada un ConoCompleto de Revolución ( dos conos huecos α Punidos).L : Eje del cono ,L : Generatriz del cono.P : Vértice cúspide del cono.Definición: se llaman secciones cónicas, a las curvas que se obtienen alinterceptar (seccionar) un Cono Completo de Revolución con un plano.Desde el punto de vista geométrico, hay tres maneras esencialmentediferentes de seccionar el cono, lo que da origen a tres tipos o tres familias delas secciones cónicas: 1) La Familia Elipse : Las elipses se obtienen cuando el plano al cortar el cono corta a todas las generatrices, la que origina curvas cerradas ubicadas cada una de ellas a un lado del vértice del cono. La circunferencia es un caso especial de la elipse: cuando el plano es perpendicular al eje del cono. 2) La Familia Parábola: las parábolas se obtienen al cortar el cono con un plano paralelo a una generatriz. Se originan curvas abiertas ubicadas cada una de ellas a un solo lado del vértice del cono. 3) La Familia Hipérbola: las hipérbolas se obtienen al cortar el cono con un plano paralelo al eje del cono. Son curvas abiertas compuestas de dos ramas, cada una de ellas ubicadas a distinto lado del vértice del cono. Página 48 de 60
  • Elipse Parábola HipérbolaObservación :Estas curvas aparecen frecuentemente en las restantes ciencias. Ej. : lasorbitas de los planetas, satélites artificiales, orbitas en átomos, ... son elipses.Las trayectorias de los cohetes, cometas, proyectiles, ....son parábolas. Enchoques de partículas elementales en física muchas trayectorias sonhipérbolas,....etc.LAS SECCIONES CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS.Definición: El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a unpunto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica osimplemente cónica.El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relaciónconstante excentricidad que, se representa por la letra e.Si e < 1 la cónica se llama elipse.Si e = 1 la cónica se llama parábola.Si e > 1 la cónica se llama hipérbola. Página 49 de 60
  • LA ELIPSELa elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia a dospuntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. y y P P a a ′ b V V x x F′ O F F′ c F a a D′ DSean los dos puntos fijos F( c, 0) y F ′ (-c,0) y 2a la suma constante .Consideremos un punto genérico P(x,y) que pertenezca al lugar.Entonces: F ′P + P F = 2aResolviendo esta ecuación se llega a : x2 y2 + 2 =1 a2 bComo esta ecuación contiene potencias pares de x e y, la curva es simétricacon respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen. Elpunto O es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y ejemenor.Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0,c) y (0,-c), el eje mayorestaría sobre el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma : x2 y2 + 2 =1 b2 a Página 50 de 60
  • La excentricidad es: c a2 − b2 e= = a aLas ecuaciones de las directrices son: a a x+ =0 x− =0 e eSi los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices son: a a y+ =0 y− =0 e eSe denomina lado recto de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor poruno de sus focos. Su longitud es : 2b2 aLos puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.Si el centro de la elipse es el punto (h,k) y el eje mayor tiene la dirección deleje x, la ecuación de la elipse es de la forma: ( x − h) (y −k) 2 2 + =1 a2 b2O bien si el eje mayor es paralelo al eje y es de la forma: ( x − h) (y −k) 2 2 + =1 b2 a2 Página 51 de 60
  • PARÁBOLA.Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias aun punto dado y a una recta dada (que pasa por el punto dado ) son iguales. P(x,y) M C O F(a,0) D C′ PFDonde =1 PMResolviendo esta ecuación se llega a : y2 = 4axLa cuerda CC′ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama ladorecto. La longitud del lado recto es 4 a.Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma:y2 = - 4 axSi el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es:x2 = + 4ay o x2 = - 4aySi el centro de la parábola es el punto (h,k) sus ecuaciones son:( y - k )2 = 4 a( x - h ) o ( y - k )2 = -4 a( x - h )( x - h )2 = 4 a( y - k ) o ( x - h )2 = -4 a( y - k )Que desarrolladas adquieren la forma :x = ay2 + by + c o y = ax2 + bx + c Página 52 de 60
  • LA HIPERBOLALa hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia alos puntos fijos F(c,o) y F (-c, 0) es constante e igual a 2 a B(0,b) b c ′ A(a,0) A F′(-c,0) O a F(c,0) B′F′P - PF = 2 aResolviendo esta ecuación se obtiene: x2 y2 − =1 a2 b2Si los focos fueran (0,c) y (0, -c), la ecuación sería de la forma: y2 x2 − =1 a2 b2 Página 53 de 60
  • La expresión general de centro en el origen y cuyos focos estén sobre los ejescoordenados es: Ax 2 − B y 2 = ± 1,correspondiendo el signo mas cuando los focos pertenezcan al eje x.La curva es simétrica con respecto a los ejes x e y y con respecto al origen.A A′ eje real de longitud 2 aB B′ eje imaginario de longitud 2 b. c a2 + b2La excentricidad es: e = = a aLas ecuaciones de las directrices son: ax= ± cuando los focos están sobre el eje x, e ay= ± cuando los focos están sobre el eje y. e 2b2La longitud del lado recto es: aLas ecuaciones de las asíntotas son: by= ± x cuando el eje real es x, a ay= ± x cuando el eje real es y bSi el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h,k).Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es: ( x −h ) ( y −k) 2 2 − = 1 a2 b2 Página 54 de 60
  • Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es: ( y −h ) ( x −k) 2 2 − =1 a2 b2Las ecuaciones de las asíntotas son: by −k = ± ( x − h ) si el eje real es paralelo al eje x a ay −k = ± ( x − h ) si el eje real es paralelo al eje y bLa forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a loscoordenadas x e y es: Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0. Siendo A y B del mismosigno. Página 55 de 60
  • GUIA DE EJERCICIOS N°11-. Realice la gráfica de las siguientes funciones:  x 3 si x ≤ 0  a) f(x) = − 3 j) f(x) =  2x si 0 < x < 5   −2x + 20 si x ≥ 5 b) f(x) = 2x 2 k) f(x) = ln x c) f(x) = x 3 l) f(x) = e x d) f(x) = −3x − 6 m) x = 2y x 4 e) f(x) = x + 5x + 6 2 n) f(x) =   5 f ) f(x) = 3x − 6 o) f(x) = 2sen2 x x+2 g) f(x) = p) f(x) = sen3x x −3 2 h) f(x) = q) f(x ) = cos 2x 3x + 1 2x + 3 si x < 0  i) f(x) =  x 2 + 3 si 0 ≤ x < 2 r) f(x) = 2cos x  7 si x ≥ 2 2-. Hallar la distancia entre: a) (-2,3) y (5,1) b) (6, -1) y (-4, -3)3-. Demostrar que los puntos A (3,8), B (-11,3), C (-8, -2) son los vértices de un triángulo isósceles.4-. Demostrar que los puntos A (7,5), B (2,3), C (6, -7) son los vértices de un triángulo rectángulo. Hallar el área del triángulo rectángulo.5-. Demostrar que tres puntos dados son colineales : A (-3, -2), B (5,2), C (9,4). Página 56 de 60
  • 6-. Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7), B (8,6), C (7, -1)7-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y) que divida al segmento determinado por Q (1.7) y R (6, -3) en la relación r=2/3.8-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y ) que divida al segmento determinado por Q (-2, 1) y R (3, -4) en la relación r = -8/3.9-. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro Q (-4, 1) es R (2, 6). Hallar las coordenadas P(x, y) del otro extremo.10-. Hallar dos puntos Q y R que dividan al segmento que une A (3, -1) con B (9, 7) en tres partes iguales.11-. Hallar las coordenadas del extremo C (x, y) del segmento que une este punto con A (2, -2) sabiendo que el punto B (-4,1) está situado a una distancia de A a las tres quintas partes de la longitud total del segmento.12-. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P (x, y) llamado baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia dé cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices tienen de coordenadas A(xA, yA), B (xB, yB), C (xC, yC). Página 57 de 60
  • GUIA DE EJERCICIOS N°21. Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos: a) (2, -3) y (4, 2). Sol. 5x - 2y - 16 = 0. b) (0, 0) y (5, -3). Sol. 3x + 5y = 0. c) (5, -3) y (5, 2). Sol. x - 5 = 0. d) (-5, 2) y (3, 2). Sol. y - 2 = 0.2. En el triángulo de vértices A(-5, 6), B(-1, -4) y C(3, 2), hallar, a) las ecuaciones de sus medianas, Sol. 7x + 6y - 1 = 0, x+1=0 x - 6y + 9= 0. b) el punto de intersección de las mismas. Sol. (-1, 4/3).3. a) Hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo del Problema 3. Sol. 2x + 3y - 8 = 0, 2x - y - 2 = 0, 2x - 5y + 4 = 0. b) Hallar el punto de intersección de dichas alturas. sol. (7/4, 3/2)4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen. Sol. x + 2y - 8 = 0.5. Hallar el valor del parámetro K para que la recta de ecuación 2x + 3Ky - 13 = 0 pase por el punto (-2, 4). Sol. K = 17/12.6. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su punto de intersección con 3x - 2y + 8 = 0. Sol. 7x - 2y + 16 = 06. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x - 5y + 9 = 0 y 4x + 7y - 28 = 0 y cumple la condición siguiente: Página 58 de 60
  • a) Pasa por el punto (-3, -5).b) Pasa por el punto (4, 2).c) Es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = 0.d) Es perpendicular a la recta 4x + 5y - 20 = 0 Página 59 de 60
  • GUIA DE EJERCICIOS N°31-. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (5, -2) y que pasa por (-1,5).que tiene por diámetro el trazo que une (-3,5) y (7,-3). que pasa por (4,5), (3,-2), (1,-4).2-. Determinar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola 3y2 =8x.3-. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto ( 6, - −2 ) y directriz la recta x - 2 = 0. Hallar la longitud del lado recto.4-. Determinar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3,2) y foco (5,2).5-. Dada la elipse 9x2 + 16y2 = 576 hallar el semi eje mayor, el semi eje menor, la excentricidad, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las directrices y la longitud del lado recto.6-. Determinar la ecuación de la elipse de centro el origen, foco en el punto (0,3) y semi eje mayor igual a 5.7-. Hallar la ecuación de elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x y que pase por los puntos (4,3) y (6,2).8-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4,0) es igual a la mitad de la correspondiente a la recta x - 16 = 0.9-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4,2) y (-2,2) sea igual a 8.10-. Calcular la ecuación de hipérbola de vértices (±6,0) y asíntotas y = ± 2 x.11-. Un punto se mueve de modo que la suma a los puntos (4,2), (-2,2) es de 8 unidades. Encontrar la ecuación de la cónica descrita por el punto e identificarla.12-. Identificar 3y2 –8x = 0 . Encontrar excentricidad y directriz. Página 60 de 60