Funcion cuadratica

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Segundo ciclo de ESO

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática.

Una función polinómica de 2º grado, denominada función cuadrática tiene por ecuación: y = ax 2 + bx + c

Su representación gráfica es una curva denominada parábola .

Vamos a representar la función y = x 2 – 2x – 3 La curva resultante tiene un mínimo en el punto (1, – 4) , que es el vértice de la parábola .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Si representamos la misma función pero cambiada de signo, nos encontramos con la parábola: La parábola resultante tiene un máximo (en lugar de un mínimo) en el punto (1, 4) , que es el vértice .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Hemos visto en los ejemplos anteriores, como la orientación de la parábola, depende del signo del coeficiente a . Si a>0 la parábola presenta un mínimo. Si a<0 , máximo. También observamos que la parábola puede cortar en dos puntos, sólo en uno, ó no cortar al eje de abscisas (eje X). Y que siempre tendrá un punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y). Este estudio lo haremos más adelante.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar varias funciones cuadráticas, tomando como referencia y = x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Podemos observar como a mayor valor de a , la parábola se cierra y a menor valor de a , la parábola se abre.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar ahora varias funciones cuadráticas, pero con valor de a negativo. Tomando como referencia y = – x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Podemos observar como a mayor valor absoluto de a , la parábola se cierra y a menor valor absoluto de a , la parábola se abre.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar varias funciones cuadráticas, tomando como referencia y = x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Observa que ocurre al sumar o restar un número a x 2 . La gráfica es idéntica, pero sube o baja su vértice. Con el coeficiente de x 2 , positivo Con el coeficiente de x 2 , negativo

Observa qué ocurre ahora, al sumar o restar un número a x y luego elevar al cuadrado. La gráfica es idéntica, pero su vértice se desplaza a la derecha y a la izquierda.

Con el coeficiente de x 2 , positivo Con el coeficiente de x 2 , negativo

Si hacemos simultáneamente los dos casos anteriores ocurre que tendremos la misma parábola desplazada hacia arriba o hacia abajo y a la vez hacia la izquierda o hacia la derecha.

De esto deducimos que siempre que expresemos la función cuadrática de la forma: y = (x – p) 2 + q Tendremos localizado el vértice de la parábola en el punto V (p, q)

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a ver el caso anterior pero con un coeficiente a ≠ 1 . Partimos de la parábola: y = 5x 2 . Y con ella vamos a representar: y = 5(x – 3) 2 + 4 Observa como es la misma curva desplazado su vértice del (0, 0) al punto (3, 4) Conocemos, ahora otra expresión para la función cuadrática en función del vértice, que sería: y = a · (x – p) 2 + q siendo (p, q) el vértice y a el coeficiente de x 2 .

La primera función que hemos representado era y = x 2 – 2x – 3 . Vamos a expresarla de la forma y = a · (x – p) 2 + q

Para ello tenemos que conseguir el cuadrado de (x – p) . Sumamos y restamos 1 . y = x 2 – 2x – 3 = (x 2 – 2x + 1) – 1 – 3 = (x – 1) 2 – 4 Con lo cual la ecuación de nuestra parábola es y = (x – 1) 2 – 4 Que comparándola con y = (x – p) 2 + q , vemos que: p = 1 y q = – 4 . Entonces tenemos el vértice en el punto V (1, – 4 )

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a generalizar el resultado anterior. Por un lado tenemos la ecuación general de la parábola y = ax 2 + bx + c y por otro lado la misma parábola viene dada por la ecuación en función del vértice y = a(x – p) 2 + q . Vamos a desarrollar esta última. y = a(x – p) 2 + q = a(x 2 – 2px + p 2 ) + q = ax 2 – 2pax + (ap 2 + q) Si igualamos coeficientes con y = ax 2 + bx + c , tendremos: Entonces podemos calcular el vértice a partir de la ecuación general. – 2pa = b ap 2 + q = c

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a calcular los puntos de corte con los ejes. Primero con el eje de ordenadas, eje Y . Para ello tendremos que hacer x = 0 . Ahora, con el eje de abscisas, eje X . Para ello hacemos y = 0 Sustituimos en y = ax 2 + bx + c y nos queda y=a . 0 2 + b . 0 + c , por tanto el punto de corte con el eje Y será (0,c) . Entonces ax 2 + bx + c = 0 y resolvemos una ecuación de 2º grado, que puede tener dos, una o ninguna solución. De ahí que podemos tener dos puntos de corte con el eje X , uno sólo ó ninguno, según los valores de los coeficientes. Recordad que el número de soluciones de la ecuación de 2º grado, dependía del signo del discriminante b 2 – 4ac Si b 2 – 4ac > 0 , dos soluciones x 1 y x 2 . Tendríamos dos puntos de corte (x 1 ,0) y (x 2 ,0) Si b 2 – 4ac = 0 , una solución p . Tendremos un solo punto de corte (p,0) Si b 2 – 4ac < 0 , ninguna solución. La parábola no corta al eje X .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Con todo lo visto anteriormente estamos en condiciones de representar una función cuadrática, dada su ecuación. Sea la función cuadrática: y = 3x 2 – 6x + 5 De momento ya sabemos que la curva tiene un mínimo porque a vale 3 , con lo cual a > 0 . Siguiente paso calculamos el vértice: Con lo cual el vértice de la parábola es el punto: V(1, 2) Punto de corte con el eje Y . Será (0, c) ó sea (0, 5)

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Punto de corte con el eje X . Hacemos y = 0 . Entonces 3x 2 – 6x + 5 = 0 Resolvemos la ecuación: Vemos que no tiene solución, entonces la curva no corta al eje de abscisas. Esto ya podíamos haberlo deducido dado que el vértice era el punto V(1, 2) y sabíamos que era el mínimo de la curva. Vamos a confeccionar una tabla de valores. En el centro situamos el vértice. Luego damos valores a izquierda y a derecha de él. 14 5 2 5 14 y 3 2 1 0 – 1 x

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Representamos los puntos y trazamos la curva: