Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Segundo ciclo de ESO

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Una función polinómica de 2º grado, denominada función cuadrática tiene por ecuación: y = ax 2 + bx + c Su representación gráfica es una curva denominada parábola . Vamos a representar la función y = x 2 – 2x – 3 La curva resultante tiene un mínimo en el punto (1, – 4) , que es el vértice de la parábola .

Una función polinómica de 2º grado, denominada función cuadrática tiene por ecuación: y = ax 2 + bx + c

Su representación gráfica es una curva denominada parábola .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Si representamos la misma función pero cambiada de signo, nos encontramos con la parábola: La parábola resultante tiene un máximo (en lugar de un mínimo) en el punto (1, 4) , que es el vértice .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Hemos visto en los ejemplos anteriores, como la orientación de la parábola, depende del signo del coeficiente a . Si a>0 la parábola presenta un mínimo. Si a<0 , máximo. También observamos que la parábola puede cortar en dos puntos, sólo en uno, ó no cortar al eje de abscisas (eje X). Y que siempre tendrá un punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y). Este estudio lo haremos más adelante.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar varias funciones cuadráticas, tomando como referencia y = x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Podemos observar como a mayor valor de a , la parábola se cierra y a menor valor de a , la parábola se abre.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar ahora varias funciones cuadráticas, pero con valor de a negativo. Tomando como referencia y = – x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Podemos observar como a mayor valor absoluto de a , la parábola se cierra y a menor valor absoluto de a , la parábola se abre.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a representar varias funciones cuadráticas, tomando como referencia y = x 2 , que sería la gráfica más sencilla. Observa que ocurre al sumar o restar un número a x 2 . La gráfica es idéntica, pero sube o baja su vértice. Con el coeficiente de x 2 , positivo Con el coeficiente de x 2 , negativo

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Observa qué ocurre ahora, al sumar o restar un número a x y luego elevar al cuadrado. La gráfica es idéntica, pero su vértice se desplaza a la derecha y a la izquierda. Con el coeficiente de x 2 , positivo Con el coeficiente de x 2 , negativo

Observa qué ocurre ahora, al sumar o restar un número a x y luego elevar al cuadrado. La gráfica es idéntica, pero su vértice se desplaza a la derecha y a la izquierda.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Si hacemos simultáneamente los dos casos anteriores ocurre que tendremos la misma parábola desplazada hacia arriba o hacia abajo y a la vez hacia la izquierda o hacia la derecha. De esto deducimos que siempre que expresemos la función cuadrática de la forma: y = (x – p) 2 + q Tendremos localizado el vértice de la parábola en el punto V (p, q)

Si hacemos simultáneamente los dos casos anteriores ocurre que tendremos la misma parábola desplazada hacia arriba o hacia abajo y a la vez hacia la izquierda o hacia la derecha.

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a ver el caso anterior pero con un coeficiente a ≠ 1 . Partimos de la parábola: y = 5x 2 . Y con ella vamos a representar: y = 5(x – 3) 2 + 4 Observa como es la misma curva desplazado su vértice del (0, 0) al punto (3, 4) Conocemos, ahora otra expresión para la función cuadrática en función del vértice, que sería: y = a · (x – p) 2 + q siendo (p, q) el vértice y a el coeficiente de x 2 .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. La primera función que hemos representado era y = x 2 – 2x – 3 . Vamos a expresarla de la forma y = a · (x – p) 2 + q Para ello tenemos que conseguir el cuadrado de (x – p) . Sumamos y restamos 1 . y = x 2 – 2x – 3 = (x 2 – 2x + 1) – 1 – 3 = (x – 1) 2 – 4 Con lo cual la ecuación de nuestra parábola es y = (x – 1) 2 – 4 Que comparándola con y = (x – p) 2 + q , vemos que: p = 1 y q = – 4 . Entonces tenemos el vértice en el punto V (1, – 4 )

La primera función que hemos representado era y = x 2 – 2x – 3 . Vamos a expresarla de la forma y = a · (x – p) 2 + q

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a generalizar el resultado anterior. Por un lado tenemos la ecuación general de la parábola y = ax 2 + bx + c y por otro lado la misma parábola viene dada por la ecuación en función del vértice y = a(x – p) 2 + q . Vamos a desarrollar esta última. y = a(x – p) 2 + q = a(x 2 – 2px + p 2 ) + q = ax 2 – 2pax + (ap 2 + q) Si igualamos coeficientes con y = ax 2 + bx + c , tendremos: Entonces podemos calcular el vértice a partir de la ecuación general. – 2pa = b ap 2 + q = c

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Vamos a calcular los puntos de corte con los ejes. Primero con el eje de ordenadas, eje Y . Para ello tendremos que hacer x = 0 . Ahora, con el eje de abscisas, eje X . Para ello hacemos y = 0 Sustituimos en y = ax 2 + bx + c y nos queda y=a . 0 2 + b . 0 + c , por tanto el punto de corte con el eje Y será (0,c) . Entonces ax 2 + bx + c = 0 y resolvemos una ecuación de 2º grado, que puede tener dos, una o ninguna solución. De ahí que podemos tener dos puntos de corte con el eje X , uno sólo ó ninguno, según los valores de los coeficientes. Recordad que el número de soluciones de la ecuación de 2º grado, dependía del signo del discriminante b 2 – 4ac Si b 2 – 4ac > 0 , dos soluciones x 1 y x 2 . Tendríamos dos puntos de corte (x 1 ,0) y (x 2 ,0) Si b 2 – 4ac = 0 , una solución p . Tendremos un solo punto de corte (p,0) Si b 2 – 4ac < 0 , ninguna solución. La parábola no corta al eje X .

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Con todo lo visto anteriormente estamos en condiciones de representar una función cuadrática, dada su ecuación. Sea la función cuadrática: y = 3x 2 – 6x + 5 De momento ya sabemos que la curva tiene un mínimo porque a vale 3 , con lo cual a > 0 . Siguiente paso calculamos el vértice: Con lo cual el vértice de la parábola es el punto: V(1, 2) Punto de corte con el eje Y . Será (0, c) ó sea (0, 5)

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Punto de corte con el eje X . Hacemos y = 0 . Entonces 3x 2 – 6x + 5 = 0 Resolvemos la ecuación: Vemos que no tiene solución, entonces la curva no corta al eje de abscisas. Esto ya podíamos haberlo deducido dado que el vértice era el punto V(1, 2) y sabíamos que era el mínimo de la curva. Vamos a confeccionar una tabla de valores. En el centro situamos el vértice. Luego damos valores a izquierda y a derecha de él. 14 5 2 5 14 y 3 2 1 0 – 1 x

Función polinómica de 2º grado. Función cuadrática. Representamos los puntos y trazamos la curva: