Factorización de polinomios

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Factorización de polinomios

  1. 1. Objetivos• Definir qué es factorización de números reales• Factorizar polinomios utilizando los siguientes métodos – Factor en común – Agrupación – Diferencia de cuadrados – Suma y resta de cubos Forma x + bx + c 2 – – Forma ax + bx + c 2
  2. 2. ¿Qué es factorización?• Si a es factor de b entonces ac = b, donde a, b y c son reales. – Ejemplos • 3 es factor de 12 porque (3)(4) = 12• Número primo – Es un entero mayor que uno cuyos únicos factores son el 1 y el mismo. • Ejemplos –5 – Menciona otros
  3. 3. Factorización prima de un número• Hagamos la factorización prima de:12 12 12 ¿Cuántas factorizaciones primas tiene el 12?
  4. 4. Factorización prima de un número• Hagamos la factorización prima de: 24 24 24 ¿Cuántas factorizaciones primas tiene el 24?
  5. 5. Teoremafundamental de la Aritmética • El Teorema fundamental de la Aritmética establece que existe una única factorización prima de un número dado
  6. 6. ¿Qué es factorización de polinomios?• Expresar un polinomio como producto de dos o más polinomios primos• Existen diferentes métodos para factorizar polinomios. Veamos cuáles son.
  7. 7. Métodos deFactorización • Factor en común • Agrupación • Diferencia de cuadrados • Suma o resta de cubos • Factorización de trinomios de la forma: – x2+ bx + c • Factorización de trinomios de la forma: – ax2+ bx + c
  8. 8. Factor en común• Propiedad distributiva a(b+c) = ab + ac ab+ac = a(b+c)• La primera permite cambiar un producto en suma y la segunda una suma en producto.• En la factorización se trabaja con la segunda
  9. 9. Veamos lo siguiente• Monomio como factor en común• http://sipan.inictel.gob.pe/i nternet/av/fcomun1.htm• Polinomio como factor en común• http://sipan.inictel.gob.pe/i nternet/av/fcomun2.htm• http://mediateca.educa.ma drid.org/reproducir.php? id_video=ht9o834m1wqkp7 ua
  10. 10. Monomio como factor • Ejemplos3ab + 9b 2a + 4a 2 4 4 x ( a + b) + 5 y ( a + b)
  11. 11. Método por agrupación• http://sipan.inictel.gob.pe/i nternet/av/fcomun3.htm
  12. 12. Método por agrupación La propiedad distributiva nos permitió factorizar polinomios tales como: a + ab = a (a + b) 2También podemos factorizarpolinomios tales como:a + ab + ac + cb 2 Esto se= ( a + ab ) + ( ac + cb ) 2 conoce como el= a( a + b ) + c( a + b ) método de agrupación= ( a + b )( a + c )
  13. 13. Veamos otros ejemplos…cx + by + cy + bx xz + x − 6 z − 6
  14. 14. Otro ejemplos2ax − ab + 6cx − 3cb a − a + a − a 3 2 2
  15. 15. ProductosEspeciales
  16. 16. Diferencia de cuadrados • La diferencia( a + b )( a − b ) = a − b 2 2 de dos cuadrados se factorizaa − b = ( a + b )( a − b ) 2 2 como el producto de la suma y la diferencia de dos números
  17. 17. Diferencia de cuadrados• http://sipan.inictel.gob.pe/i nternet/av/dcuadra.htm
  18. 18. Diferencia de cuadrados• Para que un • Cuadrado polinomio sea la perfecto diferencia de – Un número que dos cuadrados se obtiene al perfectos debe multiplicar otro número por sí cumplir con lo mismo. siguiente: – Ejemplos – Tener dos • 1, 4, 9, 16, … términos. • x², x4, x4, x6… – Incluir la el exponente operación de es par resta o tomar • 4 x², 9 y², el opuesto (a+b)²,… – Cada término debe ser una cuadrado perfecto
  19. 19. Ejemplosx −9 2 8a 2 − 184 x − 25 y 2 2 ( a + b) 2 − 16a 2 3 x 2 − 3xy + x 2 − y 2
  20. 20. Factorización deSuma o resta de cubo(a + b)(a − ab + b ) 2 2(a − b)(a + ab + b ) = 2 2
  21. 21. Ejemplos( x + 3)( x − 3 x + 9) = 2( x − 2)( x + 2 x + 4) = 2
  22. 22. Factorización deSuma o resta de cuboSuma de cuboshttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htmResta de cuboshttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos2.htm
  23. 23. Factorización deSuma o resta de cuboa + b = (a + b)(a − ab + b ) 3 3 2 2a −b = (a − b)(a + ab + b ) 3 3 2 2
  24. 24. Ejemplosx + 27 3 x −83
  25. 25. Ejemplos3 y + 24 3
  26. 26. Ejemplosa −a b −a b +b 5 3 2 2 3 5
  27. 27. Factorización de trinomiosde la forma: x2+ bx + c• Vamos a acceder a la siguiente página – http://sipan.inictel.gob.pe/in ternet/av/tformax.htm – http://mediateca.educa.mad rid.org/reproducir.php? id_video=s7jg8jc41ajlspe9 – Otros ejemplos
  28. 28. Factorización de trinomiosde la forma: x2+ bx + c x − 4x + 3 2 x + 15 x + 56 2
  29. 29. Factorización de trinomiosde la forma: ax2+ bx + c• http://sipan.inictel.gob.pe/i nternet/av/tformbx.htm
  30. 30. Monomio como Agrupación factorDiferencia Suma o de Factorización Resta decuadrados cubos de polinomios Trinomios Trinomios x2+ bx + c ax2+ bx + c
  31. 31. Factorizaciónde polinomios

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